Lorenz 系统的最优控制

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Lorenz 系统的最优控制

周俊冬 马 明

（南通广播电视大学，江苏 南通 226006）

【摘 要】文章讨论了Lorenz 系统的最优控制问题，将该混沌系统控制到任意所期望的状态。基于哈密顿-雅可比-贝尔曼方程将构建最优控制器问题归结为解偏微分方程问题，通过巧妙构造Lyapunov 函数从而得到最优控制器。数值仿真表明，所设计的控制器实用有效并且易于实现。

【关键词】Lorenz 系统；最优控制；哈密顿-雅可比-贝尔曼方程 【中图分类号】TP273 【文献标识码】A 【文章编号】1008-1151(2010)05-0037-02

（一）引言

1963年Lorenz 发现了第一个混沌吸引子——Lorenz 系统，从此揭开了混沌研究的序幕。Lorenz 系统在信息加密和保密通信等领域有着广阔的应用前景，自从Pecora 和Carroll 提出混沌系统控制的观点和理论以后，线性和非线性反馈控制、自适应控制、延迟控制、变结构控制等多种不同方法都被成功地应用于Lorenz 混沌系统的控制中。

近十多年来，混沌控制的研究得到了蓬勃的发展，这一方向迅速成为混沌和控制学科交叉研究的热点，其间，人们提出了各种混沌控制方法，其中优化控制是一种在系统控制中应用最为广泛的手段，通常给定性能指标，或称目标函数泛函，寻找一容许控制，使目标泛函沿系统所有可能的状态轨迹取最小值。

目前，国内外学者已提出许多不同的混沌最优控制方法，并且问题最后都归结为求解动态规划中所涉及的偏微分方程。实际上，在许多情况下，动态规划中的偏微分方程的解是不存在或不惟一的。因此，求解动态规划中的偏微分方程是获得非线性系统最优控制的主要障碍。

本文针对Lorenz系统提出了一种最优控制方法，将该混沌系统控制到任意所期望的状态。基于哈密顿-雅可比-贝尔曼方程将构建最优控制器问题归结为解偏微分方程问题，通过巧妙构造Lyapunov函数从而得到最优控制器，同时找出了哈密顿-雅可比-贝尔曼方程的解。仿真结果表明该方法的有效性。

（二）哈密顿-雅可比-贝尔曼方程

设一个连续的非线性动力系统方程为：

*()()(),()0x t f x g x u f x =+=& （1） 式中n x R ∈是状态变量，m u R ∈是控制器，():n n f x R R →和

():n n m g x R R ×→是连续函数，驱使系统从任意初始值到任意

确定点*

x 的最优控制方案是，使目标函数

[][()]T

J u q x u Ru dt ∞

=+∫ （2）

取得最小值，式中()q x 是连续、可微且正定的函数，根据动态规划，最优控制归结为Hamilton-Jacobi-Bellman 偏微分方程：

min 0u U

u u dS dS dt dt ωω∈=⎛⎞⎛⎞+=+=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠ （3） 式中()T q x u Ru ω=+，(())min

[()]T t

u U

S x t q x u Ru dt ∞

∈=+∫

，U 为所有

控制器的集合。0u 为最优控制

（三）Lorenz系统的最优控制

Lorenz 系统的数学模型为：

121212133123

()x

a x x x bx x x x x

x x cx =−⎧⎪

=−−⎨⎪=−⎩&&& （4） 当参数10a =、28b =、83c =时，系统是混沌的，图1显

示了系统的混沌吸引子。下面把该混沌系统从任意初始点稳

定到任意给定的目标点****123(,,)T

x x x x =。

x (3)

图1 Lorenz 系统的混沌吸引子

控制器分为前馈控制****123(,,)

T u u u u =和反馈控制123(,,)T u u u u =两部分，那么系统（4）变为：

*

12111

*

2121322*

312333

()x a x x u u x bx x x x u u x x x cx u u ⎧=−++⎪=−−++⎨⎪=−++⎩&&& （5） 取前馈控制为：

***1122

*******

212133113******31212213

2u ax ax ax u bx x x x x x x x u x x x x x x cx ⎧=−+⎪=−+++−⎨⎪=−−+⎩ （6） 则受控系统（5）变为：

【收稿日期】2010-01-29

【作者简介】周俊冬，南通广播电视大学机械工程系教师；马明，南通广播电视大学机械工程系教师。

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**

111221

****

2112211332***

31122333

()()()()()()()()()x a x x a x x u x b x x x x x x x x u x x x x x c x x u ⎧=−−−−+⎪=−−−−−−+⎨⎪=−−−−+⎩&&& （7） 下面确定最优控制u 将系统（7）从任意初始点控制到目

标点****123(,,)

T x x x x =。 定义一个目标函数：

*2*2*2222

1112223331122330

[][()()()]J u m x x m x x m x x r u r u r u dt ∞=−+−+−+++∫

（8）

式中1m ，2m ，3m ，1r ，2r ，3r 是正常数，并记

3

*2222112233

1()i i i i m x x ru r u r u ω==−+++∑。显然ω是正定的函数。根据

动态规划，如果（8）的最小值存在，并且存在光滑函数S 满足哈密顿-雅可比-贝尔曼方程（3），此时的控制器u 为最优控制0u 。

下面构造函数S ，一方面应满足方程（3）

，另一方面还要使系统（7）稳定到点*

x 。取函数S 为：

*2*2*2

111222333()()()S s x x s x x s x x =−+−+− （9） 式中1s 、2s 、3s 为正常数，所以，函数S 为正定函数。根据Lyapunov 稳定性理论，令函数S 为系统（7）的Lyapunov 函数，如果0u u =是一个最优控制器，那么哈密顿-雅可比-贝尔曼方程变为：0dS dt

ω+=，即dS dt

ω=−。因为ω是正定的，所

以，dS dt

是负定的，所以系统（7）在点*

x 处稳定。为求最优

控制器0

u ，将函数S 和系统（7）代入方程（3）得：

{***

11111221*****

222112211331min 2()[()()]2()[()()()()]u U

s x x a x x a x x u s x x b x x x x x x x x u ∈−−−−−++−−−−−−−+

}****33311223332()[()()()]0s x x x x x x c x x u ω+−−−−−++= （10） 由0,1,2,3i dS i u dt ω∂⎛⎞+==⎜⎟∂⎝⎠

，可得最优控制器为：

0*

11111

0*

222220*

3333

3()()()s u x x r s u x x r s u x x r ⎧=−−⎪⎪

⎪=−−⎨⎪

⎪=−−⎪⎩

（11） 将式（11）代入式（10），比较两边系数得：

21111

20s as m r −−+=，21bs as =，2

222

220s s m r −−+= 23s s =，2

33

3

3

20s cs m r −−+= （12）

据以上讨论得如下定理。

定理 1 在施加前馈控制器（6）和最优反馈控制器（11）后。混沌系统（4）能从任意初始点稳定到给定的目标点*x ，其中相关系数满足式（12），并且i m 、i r 、i s （1,2,3i =）为正常数。

（四）数值仿真

运用Matlab 数值仿真，取11344m =，2120m =，34603

m =

，1231r r r ===。

根据式（12）得：128s =，2310s s ==，参数10a =、28b =、83

c =，那么受控系统（7）变为：

**

11122****211221133***311223338()10()28()11()()()38()()()

3x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧

⎪=−−−−⎪=−−−−−−⎨⎪⎪=−−−−⎩

&&& 驱使Lorenz 系统从初始点(2,3,5)到目标点(0,0,2)的时序图

如图2所示。

时间t/s

x

图2 控制Lorenz 系统到点(0,0,2)的时序图

（五）小结

本文针对Lorenz 系统提出了一种最优控制方法，将该混

沌系统控制到任意所期望的状态。基于哈密顿-雅可比-贝尔

曼方程将构建最优控制器问题归结为解偏微分方程问题，通

过巧妙构造Lyapunov 函数从而得到最优控制器。仿真结果表

明该方法的有效性。

【参考文献】

[1] Lorenz E N. Deterministic non-periodic flows[J].J Atmos Sci,1963,20:130-141. [2] Ott E，Grebogi C，Yorke J A．Controlling chaos[J]．Phys. Rev. Lett，1990，64：1196-1199. [3] Pcora L M ,Carroll T L ．Synchronization in chaotic systems[J].Phys. Rev. Lett,1990,64(8):821-824. [4] Yassen M T.The optimal control of Chen chaotic dynamical system[J].Applied Mathematics and Computation, 2002, 131:171-180. [5] Awad El-Gohary,F.Bukhari．Optimal control of Lorenz system during different time intervals[J]．Applied Mathematics and Computation,2003,144:337-351.