数学理卷·2014届上海市普陀区高三12月教学质量调研(2013.12)

（ n ∈ N * ），则 S2014
=
第 10 .题
12. 已 知 全 集 U = {1,2,3,4,5,6,7,8} ， 在 U 中 任 取 四 个 元 素 组 成 的 集 合 记 为
A = {a1 , a2 , a3 , a4} ， 余 下 的 四 个 元 素 组 成 的 集 合 记 为 CU A = {b1 , b2 , b3 , b4 } ， 若
| PQ |2 = (x − 2)2 + 2x = x 2 − 2x + 4 = (x −1)2 + 3 （ x ≥ 0 ）…………10 分 当 x = 1时，| PQ |min = 3 ……………………………………12 分 （不指出 x ≥ 0 ，扣 1 分）
20. （本题满分 14 分）本大题共有 2 小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.
给出下列说法：
①| OA1 |=| OA2 |= L =| OAn |=| OA | ；
A
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O
B
第 18 题
②| OAi | 的最小值一定是| OB | ； ③点 A 、 Ai 在一条直线上；
④向量 OA 及 OAi 在向量 OB 的方向上的投影必相等.
其中正确的个数是…………………………………………………………………………（ ）
（2）在数列{an} 中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若
不存在，请说明理由；
（3）若1< r < s 且 r ， s ∈ N * ，求证：使得 a1 ，ar ，as 成等差数列的点列 (r, s) 在某一直
线上.
3.（本题满分 18 分） 本大题共有 3 小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分 ，第 3 小题满分 8 分.
【解】设 Q(x, y) （ x > 0, y > 0 ）, y2 = 2x （1）由已知条件得| PQ |= (x − 2)2 + y2 = 2 …………………………2 分
将 y2 = 2x 代入上式，并变形得，x 2 − 2x = 0 ，解得 x = 0（舍去）或 x = 2 ……………
4分
当 x = 2 时， y = ±2 只有 x = 2, y = 2 满足条件，所以点 Q 的坐标为 (2, 2) ………………6 分 （2）| PQ | = (x − 2)2 + y 2 其中 y 2 = 2x …………………………7 分
第 21 题
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22. （本题满分 16 分） 本大题共有 3 小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 5 分 ，第 3
小题满分 6 分.
已知数列{an} 中， a1 = 3 ， an+1 + an = 3⋅ 2n ， n ∈ N * .
{ } （1）证明数列 an − 2n 是等比数列，并求数列{an} 的通项公式；
15.若 f (x) 和 g(x) 都是定义在 R 上的函数，则“ f (x) 与 g(x) 同是奇函数或偶函数”是
“ f (x) ⋅ g(x) 是偶函数”的………………………………………………………………
（
）
( A) 充分非必要条件.
(B) 必要非充分条件.
(C) 充要条件.
(D) 既非充分又非必要条件
( A) 1个.
(B) 2 个.
(C) 3 个.
(D) 4 个.
三．解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤.
19. （本题满分 12 分）本大题共有 2 小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分.
已知点 P(2, 0) ，点 Q 在曲线 C : y2 = 2x 上. （1）若点 Q 在第一象限内，且| PQ |= 2 ，求点 Q 的坐标；
达式为 y = 2 sin 2 x ，则函数 f (x) 的表达式可以是………………………………………
（
）
(A) 2 sin x .
(B) 2 cos x .
(C) sin 2x .
(D) cos 2x .
18. 若 Ai ( i = 1,2,3,L, n )是 ∆AOB 所在的平面内的点，且 OAi ⋅ OB = OA ⋅ OB .
cos 2θ = cos[(2θ + π ) − π ] ………………13 分 66
= 5 × 3 + 2 × 1 = 15 + 2 ………………14 分 3 2 32 6
21. （本题满分 14 分） 本大题共有 2 小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分.
【解】（1） f (x) = cos 2x + 3 sin 2x = 2 sin(2x + π ) ………………2 分 6
【文科】由于 − 2 ≤ 2sin(2x + π ) ≤ 2 ，所以函数 f (x) 的值域为[−2, 2] ………4 分 6
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由 − π + 2kπ ≤ 2x + π ) ≤ π + 2kπ 得 − π + kπ ≤ x ≤ π + kπ
.
2. 设 e1 、 e2 是平面内两个不平行的向量，若 a = e1 + e2 与 b = me1 − e2 平行，则实数
m=
.
3. 在△ ABC 的内角 A 、 B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，若 a = 2 ，c = 2 3 ，C = π ， 3
则b =
.
4. 在 (x − 3)n 的展开式中，若第 3 项的系数为 27 ，则 n =
16. 若 a 和 b 均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是……………………………（
）
(A) | a + b | ≥ | ab | . 2
(B) b + a ≥ 2. ab
(C) (a + b)( 1 + 1) ≥ 4 . ab
(D) a2 + b2 ≥ (a + b)2 .
2
2
17.将函数 y = f (x) 的图像向右平移 π 个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表 4
答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分.
题号
15
16
17
18
答案
A
D
C
B
三．解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤.
19. （本题满分 12 分）本大题共有 2 小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分.
.
x
2
10．如图，正四棱柱 ABCD − A1B1C1D1 的底面边长 AB = 2 ，若直线 B1C 与底面 ABCD 所
成的角的大小为 arctan 2 ，则正四棱柱 ABCD − A1B1C1D1 的侧面积为
.
11.
数列{an }的前 n 项和为 Sn ，若 an
= 1 + n cos nπ 2
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a1 + a2 + a3 + a4 < b1 + b2 + b3 + b4 ，则集合 A 的取法共有
种.
13.正三角形 ABC 的三个顶点都在半径为 2 的球面上，球心 O 到平面 ABC 的距离为1，点
D 是线段 BC 的中点，过 D 作球 O 的截面，则截面面积的最小值为
.
14.已知函数
f (x)max
=
2 ，此时 x
=
π 6
………6 分
（2）由（1）得， f (θ ) = 2 sin(2θ + π ) = 4 ，即 sin(2θ + π ) = 2 ……………8 分
63
63
其中 π < 2θ + π < π 得 cos(2θ + π ) > 0 ………………10 分
6
62
6
所以 cos(2θ + π ) = 5 ……………11 分 63
x2 4
+
y2 3
= 1的左、右两个焦点分别为 F1 、 F2 ，若经过 F1 的直线 l 与椭圆相交
于 A 、 B 两点，则△ ABF2 的周长等于
.
8.
数列{an}中，若 a1 = 1，an
+ an+1 =1（ 2nn源自∈N*），则
lni→m∞(a1
+
a2
+L + a2n ) =
.
9. 若函数 f (x) = x + 1 ，则不等式 2 ≤ f (x) < 5 的解集为
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域不给分）；
7. 8 ； 8. 2 ； 3
科】1006； 12.31；
9. (1 , 2) 10．32； 11.【文科】 4n − n − 1（ n ∈ N * ）； 【理 2
13.【文科】150；【理科】 9π ； 4
14. a < 2 ；
二．选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在
f
(x)
=
2x − a , x ≥ 0
f
(
x
+
1),
x
<
0
，若方程
f
(x)
+
x
=
0
有
且仅有两个解，则实数 a 的取值范围是
.
二．选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且 只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答
第 13 题
案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分.
6
3
21.（本题满分 14 分） 本大题共有 2 小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8
分.
如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液
时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径 r = 3 10 毫米,滴管
内液体忽略不计.
（1）如果瓶内的药液恰好156 分钟滴完，问每分钟应滴下多少滴？ （2）在条件(1)下,设输液开始后 x （单位：分钟），瓶内液面与进气管 的距离为 h （单位：厘米），已知当 x = 0 时，h = 13 .试将 h 表示为 x 的 函数.（注:1cm3 = 1000mm3 ）
（2）求| PQ | 的最小值.
20. （本题满分 14 分）本大题共有 2 小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.
已知函数 f (x) = cos 2x + 2 3 sin x cos x
（1）求函数 f (x) 的最大值，并指出取到最大值时对应的 x 的值；
（2）若 0 < θ < π ，且 f (θ ) = 4 ，计算 cos 2θ 的值.
定义在 (0, +∞) 上的函数 f ( x) ，如果对任意 x ∈(0, +∞) ，恒有 f (kx) = kf ( x)（ k ≥ 2 ， k ∈ N * ）成立，则称 f ( x) 为 k 阶缩放函数.
( ) （1）已知函数 f ( x) 为二阶缩放函数，且当 x ∈(1, 2] 时， f ( x) = 1+ log1 x ，求 f 2 2 2
.
5. 若 圆 x 2 + ( y − 1)2 = 1 的 圆 心 到 直 线 ln : x + ny = 0 （ n ∈ N * ） 的 距 离 为 dn ， 则
lim
n→∞
d
n
=
.
6. 函数 f (x) = log2 (x −1) (1 < x ≤ 2) 的反函数 f −1 (x) =
.
7.
已知椭圆
的值；
（2）已知函数 f ( x) 为二阶缩放函数，且当 x ∈(1, 2] 时， f ( x) = 2x − x2 ，求证： 函数 y = f ( x) − x 在 (1, +∞) 上无零点； （3）已知函数 f ( x) 为 k 阶缩放函数，且当 x ∈(1, k ] 时，f ( x) 的取值范围是[0,1) ，求 f ( x)
2013 学年第一学期普陀区高三数学质量调研卷
数学(理)
2013.12
一.填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接
填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分.
1. 若集合 A = {x | x2 − 2x > 0}， B = {x || x + 1 |< 2} ，则 A I B =
2
62
3
6
所以函数 f (x) 的单调的增区间为[kπ − π , kπ + π ] ， k ∈ Z ………6 分
3
6
（文科不写 k ∈ Z ，不扣分；不写区间，扣 1 分）
【理科】由 0 ≤ x ≤ π 得， π ≤ 2x + π ≤ 7π ………4 分
26
66
所以当 2x + π 6
=
π 2
时，
(在 0, k n+1 （ n ∈ N ）上的取值范围.
2013 学年第一学期普陀区高三数学质量调研卷评分标准
一.填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分.
1. (−3, 0) ； 2. −1； 3. 4 ；4. 3 ； 5.1； 6. f −1 (x) = 1 + 2x (x ≤ 0) （不标明定义