第三章动量定理和能量守恒定律
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第三章动量和能量守恒定律
解： 人和车组成的质点系，水平
方向不受力，动量守恒。
? ? L ?
tr u (t )dt
x?
tr v (t )dt
0
0
初态动量 p0 ? 0
? r
u(t) r v(t)
L0
x
末态动量 p ? Mv ? m(v ? u)
v? m u M?m
? ? x ?
t
r v (t ) dt
?
t
m
udt ?
mL
0
0M?m
计算力对物体做功时
必功须率说明P 是? 哪dW个力对P物?体F沿c哪os条?路d径rr ?所F做c的o功s?。v
dt
dt
P
?
r F
?vr
二、动能定理
? W合 AB ?
?
B A B
v F合
?drv
v F合
m dvv ?drv ?
? mav ? m dvv dt
m B (dvv) ?vv
21 代入
? ? ?
平速度 u 跳车 求：（1）同时跳后车速 v车=？
（2）一个一个跳后车速 v车=？ 解：
r u m
无摩擦
M vr
x
相对同一惯性参考系“地面”列动量守恒式
（车和人系统水平方向不受外力）
（1） Mv 车对地 ? 2 mv 人对地 ? 0
v人对地 ? -u + v车对地
v1 ? v车对地
?
2m u
M ? 2m
u
dm
火箭质量变为M-dm，对地速度为 v? ? dv? (t)
(t ? dt)
动量守恒
Mv ? dm(v ? dv? u) ? (M ? dm)(v ? dv)
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
注意 在 p 一定时
t 越小，则 F 越大 .
例如人从高处跳下、飞 机与鸟相撞、打桩等碰 撞事件中，作用时间很 短，冲力很大 .
mv
mv1
mv 2
F
F
Fm
F
o t1
t
t2
例 1 一质量为0.05kg、速率为10m·s-1的刚球,以与
钢板法线呈45º角的方向撞击在钢板上,并以相同的速率
y
F
Fx
2mv cos
t
14.1N
方向沿
x
轴反向
3-2 动量守恒定律
t
质点系动量定理 I t0
i
Fiexdt
i
pi
i
pi 0
动量守恒定律
若质点系所受的合外力为零
F ex
Fiex 0
则系统的总动量守恒，即 p
pi
方法:对每个质点分别使用牛顿定律,然后利用质 点系内力的特点加以化简 到 最简形式。
第1步，对
fi
mi
使用动量定理：
t2
t2
Fidt
t1
t1
fidt
Pi
Pi 0
mi
Fi
Pi
mii
Pi0
mii0
t2
t2
第2步，
( Fidt fidt) (Pi Pi0 )
教学基本要求
一 理解动量、冲量概念, 掌握动量定理和 动量守恒定律 .
二 掌握功的概念, 能计算变力的功, 理解 保守力作功的特点及势能的概念, 会计算万有 引力、重力和弹性力的势能 .
第三章动量守恒定律和能量守恒定律
t2
t1
t1
( F1 F12 )dt m1v1 m1v10
F12
F21
F2
m2
m1
质点系
上式表明：作用于两个质点所组成的系统的合 外力的冲量，等于系统动量的增量。 上述结论可以推广到由n个质点组成的系统， n 对质点系，内力的矢量和 Fi in 0 ，合外力为 ex i 1 F ，则有 n n t2 ex F dt mi vi mi vi 0 p p0
t1 i 1 i 1
t2
t1
( F1 F2 )dt (m1v1 m2 v2 ) (m1v10 m2 v20 )
上式表明：作用于系统的合外力的冲量，等于 系统动量的增量。—质点系动量定理
注意 1）质点系的动量定理同样有分量形式 ex 2） F F1 F2 FN 3）质点系的动量定理有微分形式：
o s1
ds
s2
s
讨论 (1)功是力作用于物体的空间积累效应的物 理量,是过程量； (2)功是标量，但有正、负 0o 90o，dW 0 o o 90 180 ，dW 0 o 90 F dr dW 0 正功表示某力对物体做功；负功表示物 体克服某力做功. （3） 功的单位： J（焦耳） 1 J 1 N m
推开后： v1与v2 方向相反，且
o
则 p m1v1 m2 v2 p 2m1v2 2m1v2 0
v1 2v2
推开前后系统动量不变
p p0
动量定理常应用于碰撞问题
t1 mv2 mv1 式中 F为平均冲力 F t2 t1 t2 t1 mv2 mv1 p mv F t2 t1 t mv2 mv1 当 p 一定时， t 越
t1
t1
( F1 F12 )dt m1v1 m1v10
F12
F21
F2
m2
m1
质点系
上式表明：作用于两个质点所组成的系统的合 外力的冲量，等于系统动量的增量。 上述结论可以推广到由n个质点组成的系统， n 对质点系，内力的矢量和 Fi in 0 ，合外力为 ex i 1 F ，则有 n n t2 ex F dt mi vi mi vi 0 p p0
t1 i 1 i 1
t2
t1
( F1 F2 )dt (m1v1 m2 v2 ) (m1v10 m2 v20 )
上式表明：作用于系统的合外力的冲量，等于 系统动量的增量。—质点系动量定理
注意 1）质点系的动量定理同样有分量形式 ex 2） F F1 F2 FN 3）质点系的动量定理有微分形式：
o s1
ds
s2
s
讨论 (1)功是力作用于物体的空间积累效应的物 理量,是过程量； (2)功是标量，但有正、负 0o 90o，dW 0 o o 90 180 ，dW 0 o 90 F dr dW 0 正功表示某力对物体做功；负功表示物 体克服某力做功. （3） 功的单位： J（焦耳） 1 J 1 N m
推开后： v1与v2 方向相反，且
o
则 p m1v1 m2 v2 p 2m1v2 2m1v2 0
v1 2v2
推开前后系统动量不变
p p0
动量定理常应用于碰撞问题
t1 mv2 mv1 式中 F为平均冲力 F t2 t1 t2 t1 mv2 mv1 p mv F t2 t1 t mv2 mv1 当 p 一定时， t 越
大学物理第三章-动量守恒定律和能量守恒定律-习题及答案
t1
即：作用在两质点组成的系统的合外力的冲量等于系统内两质点动量之和的增 量，即系统动量的增量。 2．推广：n 个质点的情况
t2 t2 n n n n F d t ＋ F d t m v mi vi 0 i外 i内 i i i 1 i 1 i 1 i 1 t1 t1
yv 2
同乘以 ydy，得
y 2 gdty y
积分 得
y
0
y
gdty
yvdt( yv)
0
1 3 1 gy ( yv) 2 3 2
因而链条下落的速度和落下的距离的关系为
2 v gy 3
1/ 2
7
第4讲
动量和冲量
考虑到内力总是成对出现的，且大小相等，方向相反，故其矢量和必为零， 即
F
i 0
n
i内
0
设作用在系统上的合外力用 F外力 表示，且系统的初动量和末动量分别用
5
第4讲
动量和冲量
P0 和 P 表示，则
t2 n n F d t m v mi vi 0 i i 外力 t1
F外 dt＝dPFra bibliotek力的效果 关系 适用对象 适用范围 解题分析
*动量定理与牛顿定律的关系 牛顿定律 动量定理 力的瞬时效果 力对时间的积累效果 牛顿定律是动量定理的 动量定理是牛顿定律的 微分形式 积分形式 质点 质点、质点系 惯性系 惯性系 必须研究质点在每时刻 只需研究质点（系）始末 的运动情况 两状态的变化
1
第4讲
动量和冲量
§3－1 质点和质点系的动量定理
实际上，力对物体的作用总要延续一段时间，在这段时间内，力的作用将 积累起来产生一个总效果。下面我们从力对时间的累积效应出发，介绍冲量、 动量的概念以及有关的规律，即动量守恒定律。 一、冲量 质点的动量定理 1．动量：Momentum——表示运动状态的物理量 1）引入：质量相同的物体，速度不同，速度大难停下来，速度小容易停下；速 度相同的物体，质量不同，质量大难停下来，质量小容易停下。 2）定义：物体的质量 m 与速度 v 的乘积叫做物体的动量，用 P 来表示 P=mv 3）说明：动量是矢量，大小为 mv，方向就是速度的方向；动量表征了物体的 运动状态 -1 4）单位：kg.m.s 5）牛顿第二定律的另外一种表示方法 F=dP/dt 2．冲量:Impulse 1）引入：使具有一定动量 P 的物体停下，所用的时间Δt 与所加的外力有关， 外力大，Δt 小；反之外力小，Δt 大。 2）定义： 作用在物体外力与力作用的时间Δt 的乘积叫做力对物体的冲量， 用 I 来表 示 I= FΔt 在一般情况下，冲量定义为
即：作用在两质点组成的系统的合外力的冲量等于系统内两质点动量之和的增 量，即系统动量的增量。 2．推广：n 个质点的情况
t2 t2 n n n n F d t ＋ F d t m v mi vi 0 i外 i内 i i i 1 i 1 i 1 i 1 t1 t1
yv 2
同乘以 ydy，得
y 2 gdty y
积分 得
y
0
y
gdty
yvdt( yv)
0
1 3 1 gy ( yv) 2 3 2
因而链条下落的速度和落下的距离的关系为
2 v gy 3
1/ 2
7
第4讲
动量和冲量
考虑到内力总是成对出现的，且大小相等，方向相反，故其矢量和必为零， 即
F
i 0
n
i内
0
设作用在系统上的合外力用 F外力 表示，且系统的初动量和末动量分别用
5
第4讲
动量和冲量
P0 和 P 表示，则
t2 n n F d t m v mi vi 0 i i 外力 t1
F外 dt＝dPFra bibliotek力的效果 关系 适用对象 适用范围 解题分析
*动量定理与牛顿定律的关系 牛顿定律 动量定理 力的瞬时效果 力对时间的积累效果 牛顿定律是动量定理的 动量定理是牛顿定律的 微分形式 积分形式 质点 质点、质点系 惯性系 惯性系 必须研究质点在每时刻 只需研究质点（系）始末 的运动情况 两状态的变化
1
第4讲
动量和冲量
§3－1 质点和质点系的动量定理
实际上，力对物体的作用总要延续一段时间，在这段时间内，力的作用将 积累起来产生一个总效果。下面我们从力对时间的累积效应出发，介绍冲量、 动量的概念以及有关的规律，即动量守恒定律。 一、冲量 质点的动量定理 1．动量：Momentum——表示运动状态的物理量 1）引入：质量相同的物体，速度不同，速度大难停下来，速度小容易停下；速 度相同的物体，质量不同，质量大难停下来，质量小容易停下。 2）定义：物体的质量 m 与速度 v 的乘积叫做物体的动量，用 P 来表示 P=mv 3）说明：动量是矢量，大小为 mv，方向就是速度的方向；动量表征了物体的 运动状态 -1 4）单位：kg.m.s 5）牛顿第二定律的另外一种表示方法 F=dP/dt 2．冲量:Impulse 1）引入：使具有一定动量 P 的物体停下，所用的时间Δt 与所加的外力有关， 外力大，Δt 小；反之外力小，Δt 大。 2）定义： 作用在物体外力与力作用的时间Δt 的乘积叫做力对物体的冲量， 用 I 来表 示 I= FΔt 在一般情况下，冲量定义为
第三章 动量守恒定律与能量守恒定律
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律3-1 一架以12ms 100.3-⨯的速率水平飞行的飞机，与一只身长为0.20m 、质量为0.50kg 的飞鸟相碰。
设碰撞后飞鸟的尸体与飞机具有同样的速度，而原来飞鸟对于地面的速率很小，可以忽略不计。
估计飞鸟对飞机的冲击力，根据本题的计算结果，你对高速运动的物体与通常情况下不足以引起危害的物体相碰后产生后果的问题有什么体会？解：以飞鸟为研究对象，其初速为0，末速为飞机的速度，由动量定理。
vlt mv t =∆-=∆ ,0F 联立两式可得： N lmv F 521025.2⨯==飞鸟的平均冲力N F F 51025.2'⨯-=-=式中的负号表示飞机受到的冲击力与飞机的运动速度方向相反。
从计算结果可知N F F 51025.2'⨯-=-=大于鸟所受重力的4.5万倍。
可见，冲击力是相当大的。
因此告诉运动的物体与通常情况下不足以引起危险的物体相碰，可能造成严重的后果。
3-2 质量为m 的物体，由水平面上点O 以初速为0v 抛出，0v 与水平面成仰角α。
若不计空气阻力。
求：（1）物体从发射点O 到最高点的过程中，重力的冲量；（2）物体从发射点到落回至同一水平面的过程中，重力的冲量。
解：（1）在垂直方向上，物体m 到达最高点时的动量的变化量是：αsin 01mv P -=∆而重力的冲击力等于物体在垂直方向的动量变化量：ααsin sin 0011mv mv P I -=-=∆=（2）同理，物体从发射点到落回至同一水平面的过程中，重力的冲力等于物体竖直方向上的动量变化量αααsin 2sin sin 1222mv mv mv mv mv P I -=--=-=∆=负号表示冲量的方向向下。
3-3 高空作业时系安全带是非常必要的。
假如一质量为51.0kg 的人，在操作时不慎从高空跌落下来，由于安全带保护，最终使他悬挂起来。
已知此时人离原处的距离为 2.0m ，安全带弹性缓冲作用时间为0.50s 。
大学物理B1_第3章_3
0 mAvA sin mB vB sin 1 1 1 2 2 2 mA v A0 mA v A mB vB 2 2 2
2014年10月15日星期三
5
第三章 动量与能量守恒定律3 3-8 能量守恒定律
德国物理学家和生理学家.于 1874年发表了《论力（现称能 量）守恒》的演讲，首先系统地 以数学方式阐述了自然界各种运 动形式之间都遵守能量守恒这条 规律.所以说亥姆霍兹是能量守恒 定律的创立者之一。 1. 能量守恒定律： 对与一个孤立系统来说, 系统内 各种形式的能量是可以相互转换 的，但是不论如何转换，能量既不 能产生，也不能消灭。
2
2014年10月15日星期三
第三章 动量与能量守恒定律3
一、碰撞的概念 两个或几个物体之间相互作用时间很短，但相互作用力很大， 以至外力的作用可以忽略不计，这种过程称为碰撞。
3-7
碰撞
f内 F外
二、碰撞的分类
mi vi C
1. (完全)弹性碰撞：两物体碰撞之后， 它们的动能之和不变 。
答：动量、动能、势能、功
7 2014年10月15日星期三
第三章 动量与能量守恒定律3 3-9 质心
1. 质心(质量中心) 为简单描述多质点系統的运动情形，设想质点系的质量集中于 某一特殊位置，此位置称为质点系的質心。 n 质心的质量是质点系质量总和： mc mi i 1 质心运动代表质点系的运动。 2. 质心的位置 n个质点组成的质点系的质心位置定义为: 质点的质量加权平均
2014年10月15日星期三
补例
第三章 动量与能量守恒定律3
第三章 小结 1.基本物理量 1）动量
P mv
t2 t1
3）冲量 I Fdt 2.基本定理
大学物理 第三章 动量守恒定律和能量守恒定律 3-9 质心 质心运动定律
物理学
第五版
3-9 质心 -
质心运动定律
一 质心
1 质心的概念
板上C点的运动轨迹是抛物线 板上 点的运动轨迹是抛物线 其余点的运动=随 点的平动+绕 点的 点的平动 点的转动 其余点的运动 随C点的平动 绕C点的转动
第三章 动量守恒和能量守恒
1
物理学
第五版
3-9 质心 -
质心运动定律
2 质心的位置 由n个质点组成 个质点组成 的质点系， 的质点系，其质心 的位置： 的位置：
13
物理学
第五版
3-9 质心 n n v v v m'vC = ∑ mi vi = ∑ pi = p i =1 i =1
质心运动定律
求一阶导数， 再对时间 t 求一阶导数，得
质心加速度
dp v m'aC = dt v v dp ex 根据质点系动量定理 = Fi dt
第三章 动量守恒和能量守恒
}⇒
x2 = 2 xC
17
第三章 动量守恒和能量守恒
物理学
第五版
3-9 质心 -
质心运动定律
例4 用质心运动定律 y F 来讨论以下问题． 来讨论以下问题． 一长为l 一长为 、密度均匀的 y 柔软链条， 柔软链条，其单位长度的质 c yC 量为 λ ．将其卷成一堆放在 地面． 若手提链条的一端， 地面． 若手提链条的一端， o 以匀速v 将其上提．当一端 以匀速 将其上提． 被提离地面高度为 y 时，求手的提力． 求手的提力．
竖直方向作用于链条的合外力为 F − λyg
第三章 动量守恒和能量守恒
20
物理学
第五版
3-9 质心 -
质心运动定律
v 得到 F − yλg = lλ ⋅ l
第五版
3-9 质心 -
质心运动定律
一 质心
1 质心的概念
板上C点的运动轨迹是抛物线 板上 点的运动轨迹是抛物线 其余点的运动=随 点的平动+绕 点的 点的平动 点的转动 其余点的运动 随C点的平动 绕C点的转动
第三章 动量守恒和能量守恒
1
物理学
第五版
3-9 质心 -
质心运动定律
2 质心的位置 由n个质点组成 个质点组成 的质点系， 的质点系，其质心 的位置： 的位置：
13
物理学
第五版
3-9 质心 n n v v v m'vC = ∑ mi vi = ∑ pi = p i =1 i =1
质心运动定律
求一阶导数， 再对时间 t 求一阶导数，得
质心加速度
dp v m'aC = dt v v dp ex 根据质点系动量定理 = Fi dt
第三章 动量守恒和能量守恒
}⇒
x2 = 2 xC
17
第三章 动量守恒和能量守恒
物理学
第五版
3-9 质心 -
质心运动定律
例4 用质心运动定律 y F 来讨论以下问题． 来讨论以下问题． 一长为l 一长为 、密度均匀的 y 柔软链条， 柔软链条，其单位长度的质 c yC 量为 λ ．将其卷成一堆放在 地面． 若手提链条的一端， 地面． 若手提链条的一端， o 以匀速v 将其上提．当一端 以匀速 将其上提． 被提离地面高度为 y 时，求手的提力． 求手的提力．
竖直方向作用于链条的合外力为 F − λyg
第三章 动量守恒和能量守恒
20
物理学
第五版
3-9 质心 -
质心运动定律
v 得到 F − yλg = lλ ⋅ l
4_1质点和质点系的动量定理
p = p0
p =0
3–1 质点和质点系的动量定理 1 动量定理常应用于碰撞问题
第三章动量守恒定律和能量守恒定律
∫ F=
mv2 mv1 = t 2 t1 t 2 t1
t1
t2
mv
Fdt
m v1
F
mv2
在 p 一定时 t 越小,则 F 越大 . 越小, 例如人从高处跳下,飞 例如人从高处跳下, 机与鸟相撞, 机与鸟相撞,打桩等碰 撞事件中, 撞事件中,作用时间很 短,冲力很大 .
�
∫
t
0
( F mg )dt = 0 mv0
3–1 质点和质点系的动量定理 1
第三章动量守恒定律和能量守恒定律
F t mgt = m 2 gh
由此解得
F 1 = 1+ mg t
计算结果如下
2h 0.55 = 1+ g t
t
F / mg
10-1s 6.5
10-2s 56
10-3s 551
10-4s 5501
第三章动量守恒定律和能量守恒定律
内力不改变质点系的总动量, 内力不改变质点系的总动量,但内力 做功却可以改变系统的总动能. 做功却可以改变系统的总动能
初始速度
v g 0 = v b 0 = 0 m b = 2m g 则
且方向相反 则
p0 = 0
推开后速度 v g = 2 v b 推开前后系统动量不变
(1)冲量的方向与动量增量的方向一致. (1)冲量的方向与动量增量的方向一致. 冲量的方向与动量增量的方向一致 (2)动量定理中的动量和冲量都是矢量, (2)动量定理中的动量和冲量都是矢量,常用的是 动量定理中的动量和冲量都是矢量 其在某个方向上的分量式. 其在某个方向上的分量式. 在碰撞或冲击问题中, 牛顿定律无法直接应用, (3) 在碰撞或冲击问题中, 牛顿定律无法直接应用, 而动量定理的优点在于避开了细节而只讨论过程的 总体效果. 总体效果. 动量定理仅适用于惯性系, (4) 动量定理仅适用于惯性系, 且与惯性系的选择 无关. 无关.
第3章-动量守恒定律和能量守恒定律
质点的位移在力方向的分量和力的大小的乘积。
dW
F
cos
dr
F cos
ds
dW F dr
B
*
0 90, dW 0 90 180 , dW 0
dr
*A
F
90 F dr dW 0
20
3-4 动能定理
• 变力的功
W
B F dr
B
F
cos
ds
A
A
dri
i
B
*
端 , 绳的上端固定在天花板上 . 起初把绳子放在与竖
直线成 30 角处, 然后放手使小球沿圆弧下落 . 试求
绳解与: 竖d直W线成F
10角时 小球 的速率 d s FT d s P d s
.
P d s mgl d cos
mgl sin d
W mgl sin d 0
mgl (cos cos0 )
I
t2 t1
Fdt
p2
p1
mv2
mv1
问：冲量是矢量，它的方向就是力的方向吗 ？
分量形 式 I Ixi Iy j Izk
单位和量纲 1N·s = 1kgm/s dimI = M·L-1·T-1
Ix
t2 t1
Fxdt
mv2 x
mv1x
I y
t2 t1
Fydt
mv2 y
mv1y
Iz
14
3-2 动量守恒定律
例 1 设有一静止的原子核, 衰变辐射出一个电子和一
个中微子后成为一个新的原子核. 已知电子和中微子的
运动方向互相垂直, 电子动量为1.210-22 kg·m·s-1,中微
子的动量为 6.410-23 kg·m·s-1 . 问新的原子核的动量的
第三章-(1)动量和能量守恒定律
动量，但不能改变系统的总动量.
讨论
F
（1） F 为恒力
I F t
t1
（2） F 为变力
F
I
t2 t1
Fdt F(
t2
t1
)
F
t2 t
t1 t2 t
动量定理常应用于碰撞问题
F
t2 t1
Fdt
mv2
mv1
t2 t1
t2 t1
注意
在 p 一定时
t 越小，则 F 越大
m v1
mv mv2
F
例2、质量m = 1kg的质点从o点开始沿半径R = 2m的
圆周运动。以O点为自然坐标原点。已知质点的运动
方程为 s 0.5 t 2 m。试求从 t1 2s到 t2 2s这段
时间内质点所受合外力的冲量。
解：s1
1 2
2
2
1
s1 R
2
mv1
s2
1
2
22
2
2
s2 R
o
v ds t
dt
mv2
F2
f12 m1
f21 m2
t
合外力的冲量：
t0
Fidt
t
t0 Fidt P P0 P
质点系的动量定理：
质点系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。
微分式：
Fi
dP dt
注意：系统的内力不能改变整个系统的总动量。
注意 ➢区分外力和内力 ➢内力仅能改变系统内某个物体的
对地平均冲力
O
F 2mv 2 0.58 6.3 3.8102(N)
t
0.019
相当于 40 kg 重物所受重力!
t 0.019 s
讨论
F
（1） F 为恒力
I F t
t1
（2） F 为变力
F
I
t2 t1
Fdt F(
t2
t1
)
F
t2 t
t1 t2 t
动量定理常应用于碰撞问题
F
t2 t1
Fdt
mv2
mv1
t2 t1
t2 t1
注意
在 p 一定时
t 越小，则 F 越大
m v1
mv mv2
F
例2、质量m = 1kg的质点从o点开始沿半径R = 2m的
圆周运动。以O点为自然坐标原点。已知质点的运动
方程为 s 0.5 t 2 m。试求从 t1 2s到 t2 2s这段
时间内质点所受合外力的冲量。
解：s1
1 2
2
2
1
s1 R
2
mv1
s2
1
2
22
2
2
s2 R
o
v ds t
dt
mv2
F2
f12 m1
f21 m2
t
合外力的冲量：
t0
Fidt
t
t0 Fidt P P0 P
质点系的动量定理：
质点系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。
微分式：
Fi
dP dt
注意：系统的内力不能改变整个系统的总动量。
注意 ➢区分外力和内力 ➢内力仅能改变系统内某个物体的
对地平均冲力
O
F 2mv 2 0.58 6.3 3.8102(N)
t
0.019
相当于 40 kg 重物所受重力!
t 0.019 s
大学物理-第三章-动量守恒定律和能量守恒定律
20
★一对作用力与反作用力的功只与相对位移有关
f ji
ri
f ij
rij
rj
0
dW
jidWij
f
ji
dri
fij drj
f ji fij
fji f ji
(dd(rriidrrjj))
f ji
drij
S
S u
动量的相 对性和动量定 理的不变性
F(t)
t1 m
v1
光滑
v 2
m t2
参考系 t1 时刻 t2 时刻
动量定理
S系
S’系
mv1
mv2
m(v1 u) m(v2 u)
t2 t1
F (t )dt
mv2
mv1
5
例3-1: 作用在质量为1kg 的物体上的力 F=6t+3,如果物体在这
0＝m1(v1+v2)+m2v2
v2
m1v1 m1 m2
x
t 0
v2dt
m1 m1 m2
t 0
v1dt
L
t
0 v1dt
x m1L 0.8m m1 m2
负号表示船移动的方向与人前进的方向相反。
17
3-４ 动能定理
一、功的概念(work) 功率(power) 1、恒力的功
2、动能定理
2
1
或
F
dr
F
dr
1 2
mv22
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律基本要求1.掌握动量、冲量的概念，明确它们的区别和关系。
2.熟练应用动量定理和动量守恒定律求解力学问题。
3.掌握功和动能的概念，会计算变力的功。
4.理解保守力作功的特点及势能的概念，会计算重力、弹性力、和万有引力势能。
5.熟练运用动能定理、功能原理和机械能守恒定律求解力学问题。
基本概念及规律一、动量定理和动量守恒定律动量定理 合外力的冲量等于质点（或质点系）的增量。
动量定理 21Fdt P P =- ， 质点系 21i i i iFdt P P =-∑∑ 。
动量守恒定律 当一个质点所受合外力为零时，这一质点的总动量保持不变。
0F =∑ 外时， i i i P m v ==∑∑ 恒矢量在直角坐标系中：0x F=∑时， i ix x m v P ==∑常量； 0y F=∑时，i iy y m v P ==∑常量； 0z F =∑时， i iz z m v P ==∑常量。
二、功的定义元功 cos dw F dr Fdr ϕ=⋅=有限运动的功 BAB A w F dr =⋅⎰三、动能、动能定理动能：是描述物体运动状态的单值函数，反映物体运动时具有作功的本领。
212k E mv = 动能定理：合外力对质点做的功等于质点动能的增量。
AB KB KA w E E =-四、保守力、势能、功能原理保守力 某力所作的功与受力质点所经过的具体路径无关，而只决定于质点的始、末位置，则这个力称为保守力。
例如：重力、引力、弹性力等。
势能 以保守力相互作用的物体系统在一定的位置状态所具有的能量，叫势能。
物体系统内部物体间相对位置变化时，保守力作功等于势能增量的负值，即：p W E =-∆保内功能原理 外力和非保守内力对系统作的功等于系统机械能的增量。
()()2211K P K P W W E E E E +=+-+外非保内机械能守恒定律 一个物体系，如果只有保守力作功，而其它非保守力及外力都不作功，则该物体系的动能与各种势能 的总和保持不变。
大学物理动量守恒定律和能量守恒定律
比 外力做正功等于相应动能的增加； 较 外力做负功等于相应动能的减少。
注意:
1、计算势能必须规定零势能参考点。势能是相对量， 其量值与零势能点的选取有关。
2、势能函数的形式与保守力的性质相关，对应于一种 保守力的函数就可以引进一种相关的势能函数。
3、势能是属于以保守力形式相互作用的物体系统所共 有的。
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
守恒定律
动量守恒定律 机械能守恒定律 能量守恒定律
物理学大厦 的基石
3-1 质点和质点系的动量定理
一、冲量 质点的动量定理
F dpd(mv) dt dt
牛顿第二定律 动量 pm v
F d td pd(m v)
I t 1 t2 F d t p p 1 2 d p p 2 p 1 m v 2 m v 1
vv 21 vv 2m m 1v 1 rvm r 23 .1 2 7 .1 71 0 1 3 0m 3m /s /s
3-4 动能定理
一、功、功率
1、功
r
i
F
B
i
恒力功： W F s c o s F s
变力功
A
元功：
d W Fd r
取得有限位移 W dW r2Fdr r1
冲量： I t2 Fdt t1
力对时间的累积效应
作用于物体上的合外力的冲量等于物体动量的增量
——质点的动量定理
分量表示式
t1t2FxdtIx mv2xmv1x t1 t2FydtIymv2ymv1y t1t2FzdtIz mv2zmv1z
问题：动量增量方向？
o v0
x
冲量的方向？动量增量的 方向，一般与力的方向不一致。
功的单位：焦耳(J)
注意:
1、计算势能必须规定零势能参考点。势能是相对量， 其量值与零势能点的选取有关。
2、势能函数的形式与保守力的性质相关，对应于一种 保守力的函数就可以引进一种相关的势能函数。
3、势能是属于以保守力形式相互作用的物体系统所共 有的。
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
守恒定律
动量守恒定律 机械能守恒定律 能量守恒定律
物理学大厦 的基石
3-1 质点和质点系的动量定理
一、冲量 质点的动量定理
F dpd(mv) dt dt
牛顿第二定律 动量 pm v
F d td pd(m v)
I t 1 t2 F d t p p 1 2 d p p 2 p 1 m v 2 m v 1
vv 21 vv 2m m 1v 1 rvm r 23 .1 2 7 .1 71 0 1 3 0m 3m /s /s
3-4 动能定理
一、功、功率
1、功
r
i
F
B
i
恒力功： W F s c o s F s
变力功
A
元功：
d W Fd r
取得有限位移 W dW r2Fdr r1
冲量： I t2 Fdt t1
力对时间的累积效应
作用于物体上的合外力的冲量等于物体动量的增量
——质点的动量定理
分量表示式
t1t2FxdtIx mv2xmv1x t1 t2FydtIymv2ymv1y t1t2FzdtIz mv2zmv1z
问题：动量增量方向？
o v0
x
冲量的方向？动量增量的 方向，一般与力的方向不一致。
功的单位：焦耳(J)
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东北石油大学
一.冲量和动量
1 冲量
恒力： I F (t 2 t1 ) 变力： F F (t )
F
ti ti ti : I i Fi ti t1 t2 : I Fi ti I lim Fi ti
ti 0 i i
t2 I Fdt
t1
O t1
t i t i+ t i
t2
t
东北石油大学
2. 质点的动量
p m
量纲：MLT－1
量度质点机械运动的强度
单位：kgm/s
3. 质点动量的时间变化率 dp dm d m ma F ( c) dt dt dt 质点动量的时间变化率是质点所受的合力
Mg
东北石油大学
东北石油大学
例2 质量m=140g的垒球以速率 v = 40m/s沿水平方向
飞向击球手，被击后以相同速率沿仰角 60o飞出。求 棒对垒球的平均打击力。设棒和球的接触时间为 t =1.2 ms。
v2
v1
60o
东北石油大学
因打击力很大，所以由碰撞引起的质点的动量改 变，基本上由打击力的冲量决定。 重力、阻力的冲量可以忽略。
东北石油大学
为什么同是一个物体掉下来，态度却如此不同呢？
东北石油大学
3-1 质点和质点系的动量定理
东北石油大学
动量 动量守恒定律
结构框图 质量 速度 动 量
动量
变化率
动量 定理
动量守 恒定律
牛顿运动定律
以动量及其守恒定律为主线，从动量变化率引入牛顿运 动定律，并在中学基础上扩展其应用范围。 恒力，质点，惯性系 变力，质点系
力=0；③内力>>外力。在碰撞、打击、爆炸等相 互作用时间极短的过程中，内力>>外力，可略去外 力。
3.若系统所受外力的矢量和≠0，但合外力在某个坐标
轴上的分矢量为零，动量守恒可在某一方向上成立。
东北石油大学
4. 定律中的速度应是对同一惯性系的速度，动量和
应是同一时刻的动量之和。 5. 动量守恒定律只适用于惯性系。 6. 动量守恒定律在微观、高速范围仍适用。
动量守恒定律是比牛顿定律更普遍的最基本的定律
东北石油大学
例1 如图，求当人从小车的一端走到另一端时，小
车相对与地面移动的距离。
解：
v
0 mv MV v v V m V v mM
M l
m
V
m S Vdt t0 mM
t
m t0 vdt m M l
t
东北石油大学
质点动量定理：质点所受的外力冲量，等于质点动量 的增量。
东北石油大学
动量定理的分量式：
I x Fx dt mvx mv0 x
t2 t1
I y Fy dt mvy mv0 y
t2 t1
I z Fz dt mv Z mv 0 Z
t1
t2
力随时间变化较快时，用一平均力代替变力： t Fdt F (t2 t1 ) p2 p1 t P2 P1 可算出平均冲力： F t2 t1Βιβλιοθήκη f12 f 21
t2
两式求和，得：
m2
f 12 f 21
t1
Fdt mivi mivi0 P2 P1 i
F2
质点系的动量定理：合外力的冲量等于质点系动量的 增量。
东北石油大学
四、动量守恒定律
由
当
t
t0
Fi dt P2 P1 P
东北石油大学
东北石油大学
东北石油大学
二.质点的动量定理
牛顿第二定律表述为：
dp d (mv ) F dt dt
对牛顿第二定律两边同乘 dt，积分：
t2
t1
t2 Fdt dp
t1
t2
左边称合力的冲量，表示为： 于是有：
t2 I Fdt
t1
t1
Fdt mv mv0
mv2
60o
mg t
mv1
打击力冲量 F t
F t m v 2 m v1
东北石油大学
F t m v m v
2
1
F t
30o 60o m=140g
mv2
v v v
2 1
2mv cos 30 mv1 F t 20.1440cos 30 1.210 3 8.1 103 ( N)
时
Fi 0
P P2 1
动量守恒定律：当系统所受的合外力为0 时，系统的 动量守恒。
东北石油大学
注意：
1. 动量的矢量性：系统的总动量不变是指系统内各物
体动量的矢量和不变，而不是指其中某一个物体的 动量不变。系统动量守恒，但每个质点的动量可能 变化。
2.系统动量守恒的条件：①系统不受外力；②合外
物体之间的碰撞冲力是很大的。
平均打击力约为垒球自重的5900倍！在碰撞过程中，
东北石油大学
三、质点系的动量定理
考虑两个质点的质点系：
v10 v1
t2
t1
( F1 f12 )dt m1v1 m1v10
F1
m1
v 20 v 2
t2
t1
( F2 f 21 )dt m2v2 m2v20
时间为：(1) t=0.1s，(2) t=0.01s。求两种情况下 锤对工件的平均作用力。
解：
M
N
v 2 gh ( Mg N )t 0 Mv M 2 gh
h
N Mg (
1 t
2h 1) g
(1) t 0.1s, N 4.32 105 (N) (2) t 0.01s, N 3.88 106 (N)
2 1
东北石油大学
碰撞过程的平均冲击力： F
y
v0
Fm F
v
0
t
I
t1
t2
t
t I p2 p1 F t t1 t2 t1 t2 t1 2
0
F t
东北石油大学
例1 如图，质量为M=5.0×103kg的重锤自高度h＝
3m处下落，落在一锻压工件上。设重与工件的作用
一.冲量和动量
1 冲量
恒力： I F (t 2 t1 ) 变力： F F (t )
F
ti ti ti : I i Fi ti t1 t2 : I Fi ti I lim Fi ti
ti 0 i i
t2 I Fdt
t1
O t1
t i t i+ t i
t2
t
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2. 质点的动量
p m
量纲：MLT－1
量度质点机械运动的强度
单位：kgm/s
3. 质点动量的时间变化率 dp dm d m ma F ( c) dt dt dt 质点动量的时间变化率是质点所受的合力
Mg
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例2 质量m=140g的垒球以速率 v = 40m/s沿水平方向
飞向击球手，被击后以相同速率沿仰角 60o飞出。求 棒对垒球的平均打击力。设棒和球的接触时间为 t =1.2 ms。
v2
v1
60o
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因打击力很大，所以由碰撞引起的质点的动量改 变，基本上由打击力的冲量决定。 重力、阻力的冲量可以忽略。
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为什么同是一个物体掉下来，态度却如此不同呢？
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3-1 质点和质点系的动量定理
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动量 动量守恒定律
结构框图 质量 速度 动 量
动量
变化率
动量 定理
动量守 恒定律
牛顿运动定律
以动量及其守恒定律为主线，从动量变化率引入牛顿运 动定律，并在中学基础上扩展其应用范围。 恒力，质点，惯性系 变力，质点系
力=0；③内力>>外力。在碰撞、打击、爆炸等相 互作用时间极短的过程中，内力>>外力，可略去外 力。
3.若系统所受外力的矢量和≠0，但合外力在某个坐标
轴上的分矢量为零，动量守恒可在某一方向上成立。
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4. 定律中的速度应是对同一惯性系的速度，动量和
应是同一时刻的动量之和。 5. 动量守恒定律只适用于惯性系。 6. 动量守恒定律在微观、高速范围仍适用。
动量守恒定律是比牛顿定律更普遍的最基本的定律
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例1 如图，求当人从小车的一端走到另一端时，小
车相对与地面移动的距离。
解：
v
0 mv MV v v V m V v mM
M l
m
V
m S Vdt t0 mM
t
m t0 vdt m M l
t
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质点动量定理：质点所受的外力冲量，等于质点动量 的增量。
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动量定理的分量式：
I x Fx dt mvx mv0 x
t2 t1
I y Fy dt mvy mv0 y
t2 t1
I z Fz dt mv Z mv 0 Z
t1
t2
力随时间变化较快时，用一平均力代替变力： t Fdt F (t2 t1 ) p2 p1 t P2 P1 可算出平均冲力： F t2 t1Βιβλιοθήκη f12 f 21
t2
两式求和，得：
m2
f 12 f 21
t1
Fdt mivi mivi0 P2 P1 i
F2
质点系的动量定理：合外力的冲量等于质点系动量的 增量。
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四、动量守恒定律
由
当
t
t0
Fi dt P2 P1 P
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二.质点的动量定理
牛顿第二定律表述为：
dp d (mv ) F dt dt
对牛顿第二定律两边同乘 dt，积分：
t2
t1
t2 Fdt dp
t1
t2
左边称合力的冲量，表示为： 于是有：
t2 I Fdt
t1
t1
Fdt mv mv0
mv2
60o
mg t
mv1
打击力冲量 F t
F t m v 2 m v1
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F t m v m v
2
1
F t
30o 60o m=140g
mv2
v v v
2 1
2mv cos 30 mv1 F t 20.1440cos 30 1.210 3 8.1 103 ( N)
时
Fi 0
P P2 1
动量守恒定律：当系统所受的合外力为0 时，系统的 动量守恒。
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注意：
1. 动量的矢量性：系统的总动量不变是指系统内各物
体动量的矢量和不变，而不是指其中某一个物体的 动量不变。系统动量守恒，但每个质点的动量可能 变化。
2.系统动量守恒的条件：①系统不受外力；②合外
物体之间的碰撞冲力是很大的。
平均打击力约为垒球自重的5900倍！在碰撞过程中，
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三、质点系的动量定理
考虑两个质点的质点系：
v10 v1
t2
t1
( F1 f12 )dt m1v1 m1v10
F1
m1
v 20 v 2
t2
t1
( F2 f 21 )dt m2v2 m2v20
时间为：(1) t=0.1s，(2) t=0.01s。求两种情况下 锤对工件的平均作用力。
解：
M
N
v 2 gh ( Mg N )t 0 Mv M 2 gh
h
N Mg (
1 t
2h 1) g
(1) t 0.1s, N 4.32 105 (N) (2) t 0.01s, N 3.88 106 (N)
2 1
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碰撞过程的平均冲击力： F
y
v0
Fm F
v
0
t
I
t1
t2
t
t I p2 p1 F t t1 t2 t1 t2 t1 2
0
F t
东北石油大学
例1 如图，质量为M=5.0×103kg的重锤自高度h＝
3m处下落，落在一锻压工件上。设重与工件的作用