人教版七年级数学下册第一章有理数

（大脑放电影~）
知识点一：有理数的概念及分类
(1) 有理数的概念：凡能写成)0p q ,p (p
q ≠为整数且形式的数，都是有理数。

一般来说，无限循环小数及有限小数均可表现为分数形式，因此有理数一般包括整数，分数（包括无限循环小数及有限小数）。

【注意】π值为3.14159……，是无限不循环小数，因此不是有理数。

(2)有理数的分类: ① ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0 ② ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0
【注意】0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数。

知识点二：数轴
数轴的三要素：①原点②方向 ③单位长度
①直线上任取一点表示数0，该点叫原点；
②通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或向下）为负方向。

T 同步——有理数的相关概念
同步知识梳理
③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点依次表示1,2,3……
数轴上的点到原点的距离相等的点有两个。

知识点三：相反数
相反数：
一、只有符号不同的两个数叫互为相反数；
【注意】0的相反数还是0；
(2)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a、b互为相反数.
一般的地，a与-a互为相反数。

知识点四：绝对值
一、定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。

一、正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；
一、互为相反数的两个数的绝对它本身值相等。

一、
；【绝对值的问题经常分类讨论】；
【注意】绝对值的非负性
（1）因为有理数的绝对值表示两点之间的距离，距离总是正数或零，所以任意一个有理数的绝对值是非负数，即
0。

（2）非负数的重要性：①非负数有最小值，是0；②若几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0
③有限个非负数之和仍是非负数。

知识点四：有理数比较大小方法归纳
（1）数轴比较法：将两数分别表示在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。

在数轴上表示有理数，从左到右的顺序就是从小到大的顺序，左边的数小于右边的数比较有理数。

（2）代数比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数;两个负数绝对值大的反而小。

例如：-5>-6>-7
（3）商值比较法：
此外，还有倒数比较法、中间值比较法、平方比较法、换元比较法等。

（异号两数比较大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值。

）
（热个身先~~~）
题型一：正数与负数
1.如果电梯上升5层记为+5．那么电梯下降2层应记为（）
同步题型分析
A.+2
B.﹣2
C.+5
D.﹣5
【答案】B
【解析】【解答】解：∵电梯上升5层记为+5，
∵电梯下降2层应记为：﹣2．
故答案为：B．
【分析】根据正数与负数可以表示具有相反意义的量，故电梯上升5层记为+5，电梯下降2层应记为：﹣2。

2.在下列各数：﹣（+2），﹣32，，，-（-1）2001，-|-3|中，负数的个数是（）个．
A.2
B.3
C.4
D.5
【答案】C
【解析】【解答】−(+2)=−2是负数，
−32=−9，是负数，
是正数，
，是负数，
−(−1)2001=1是正数，
−|−3|=−3，是负数，
所以,负数有−(+2),−32, ，，−|−3|共4个.
故答案为：C.
【分析】将含有多重符号的先化简，将含有乘方运算的根据乘方的意义也化简，再根据负数一定带有负号即可一一判断。

3.下列说法正确的是（）
A.一个数前面加上“﹣”号，这个数就是负数
B.零既是正数也是负数
C.若a是正数，则﹣a不一定是负数
D.零既不是正数也不是负数
【答案】D
【解析】【解答】解：A、负数是小于0的数，在负数和0的前面加上“﹣”号，所得的数是非负数，故A不符合题意；
B、0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界点，故B不符合题意；
C、若a是正数，则a＞0，﹣a＜0，所以﹣a一定是负数，故C不符合题意；
D、0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界点，故D符合题意．
故答案为：D
【分析】负数就是小于0的数，一个数前面加上“﹣”号，也可以表示求这个数的相反数，如在负数和0的前面加上“﹣”号，所得的数是非负数；0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界点；若a是正数，﹣a表示的是a的相反数，一定是负数，根据性质意义判断即可。

4.在知识抢答赛中,如果+10表示加10分,那么扣20分表示________．
【答案】-20分
【解析】【解答】解：∵+10表示加10分，加与扣是相反的，∵扣20分，表示为-20分.
故答案为：-20分.
【分析】用正负数表示具有相反意义的量：加分与扣分是相反的，加分记作“+”，那么扣分记作“-”.
5.如果水位升高2m时，水位的变化记为+2m，那么水位下降3m时，水位的变化情况应记为________．
【答案】﹣3m
【解析】【解答】解：∵ 水位升高2m时，水位的变化记为+2m，
∵ 水位下降3m，水位的变化记为-3m.
故答案是：-3m.
【分析】根据正数与负数可以表示具有相反意义的量，即可得出答案。

6.将下列各数5；；2010；-0.02；6.5；0；-2填入相应的括号里．正数集合{________}；负数集合{________}
【答案】5；2010；6.5；；-0.02；-2
【解析】【解答】解：正数集合{5；2010；6.5……}；
负数集合{；-0.02；-2……}
【分析】正数大于0，负数小于0，0既不是正数，也不是负数，根据定义即可判断。

题型二：有理数及其分类
1.下列各数中：+5、-
2.5、、2、、-（-7）、0、-|+3|负有理数有（）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
【答案】B
【解析】【解答】解：∵+5=5；-（-7）=7；-|+3|=-3；
∵负有理数为：-2.5；-；-|+3|；共3个.
2.下面说法正确的有()
A.正整数、负整数统称为整数
B.零是整数，但不是正数，也不是负数
C.分数包括正分数、负分数和零
D.有理数不是正数就是负数
【答案】B
【解析】【解答】解：A、由于整数包括正整数、负整数和0，故A说法错误；
B、由于有理数分为正数、负数和0，故B选项说法正确，D选项说法错误；
C、由于分数包括正分数和负分数，故C不符合题意.
3.下列语句正确的个数是（）
∵整数和分数统称为有理数；∵任何有理数都有相反数；∵任何有理数都有倒数；∵任何有理数的绝对值都是非负数．
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【答案】C
4.如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为5，则第1次输出的结果为8，第2次输出的结果为4，…，第2017次输出的结果为()
A.1
B.2
C.4
D.8
【答案】A
【解析】【解答】解：开始输入5，∵是奇数，∵第一次输出5+3=8；
第二次运算：8是偶数，∵ ，输出4；
第三运算：4是偶数，∵ ，输出2；
第四次运算：2是偶数，∵ ，输出1；
第五次运算：1是奇数，∵1+3=4，输出4；第五次与第二次输出结果相同，从而可知从第二次开始，每三次一个循环，
∵（2017-1）÷3=673，
∵第2017的输出结果与第四的输出结果相同，都为1.
5.下列说法中，∵ 的相反数的绝对值是；∵最大的负数是；∵一个有理数的平方
一定是正数；∵
，，的倒数是本身．其中正确的是（）
A.个
B.个
C.个
D.
个
【答案】A
【解析】【解答】当a为负数时，其相反数的绝对值是-a，故∵错误；没有最大的负数，故∵错误；0的平方还是0，0是非正非负的数，故∵错误；0没有倒数，故∵错误；
以上4个描述均错误，
6.在有理数中，有（）.
A.最大的数
B.最小的数
C.绝对值最大的数
D.绝对值最小的数
【答案】D
【解析】【解答】根据有理数包括正数、0、负数，可知没有最大的，也没有最小的，而一个数的绝对值为非负数，因此有绝对值最小的数，是0.
7.下列说法正确的是（）
A.－a一定是负数
B.一定是正数
C.一定不是负数
D.－一定是负数
【答案】C
【解析】【解答】∵当a＞0时，-a＜0，|a|＞0，-|a|＜0；
∵当a=0时，-a=0，|a|=0，-|a|=0；
∵当a＜0时，-a＞0，|a|＞0，-|a|＜0．
综上所述：-a可以是正数、0、负数；|a|可以是正数、0；-|a|可以是负数、0．
课堂达标检测
（你都掌握了没有呢~~~）
1.有这样一个数字游戏，将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字分别填在如图所示的九个空格中，要求每一行从左到右的数字逐渐增大，每一列从上到下的数字也逐渐增大．当数字3和4固定在图中所示的位置时，x代表的数字是________，此时按游戏规则填写空格，所有可能出现的结果共有________种．
【答案】2；6
【解析】【解答】根据题意知，x<4且x≠3，则x=2或x=1，
∵x前面的数要比x小，∵x=2，
∵每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，
∵9只能填在右下角，5只能填右上角或左下角，5之后与之相邻的空格可填6、7、8任意一个，余下的两个数字按从小到大只有一种方法，
∵共有2×3=6种结果，
2.某工厂一周计划每日生产自行车100辆，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如下表（以计划量为标准，增加的车辆数记为正数，减少的车辆数记为负数）：
（1）通过计算求出生产量最多的一天是多少辆？
（2）本周总的生产量是多少辆？
（3）若每辆自行车的生产成本为150元，出厂价为每辆280元，求本周自行车的利润．【答案】（1）解：星期一生产了100-1=99辆；
星期二生产了100+3=103辆；
星期三生产了100-2=98辆；
星期四生产了100+4=104辆；
星期五生产了100+7=107辆；
星期六生产了100-5=95辆；
星期日生产了100-10=90辆；
107＞104＞103＞99＞98＞95＞90.
答：计算求出生产量最多的一天是107辆。

（2）解：100×7+（-1+3-2+4+7-5-10）
=700+（-4）
=696
答：本周总的生产量是696辆。

（3）解：696×（280-150）=696×130=90480元
答：本周自行车的利润是90480元
3.股民老黄上星期五买进某股票1000股，每股35元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元）（注：用正数记股价比前一日上升数，用负数记股价比前一日下降数）
（1）星期四收盘时，每股是多少元？
（2）本周内最高价是每股多少元？最低价每股多少元？
（3）根据交易规则，老黄买进股票时需付0.15%的手续费，卖出时需付成交额0.15%的手续费和0.1%的交易税，如果老黄在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？【答案】（1）解：
星期四收盘时，每股是34.2元
（2）解：本周内最高价是每股37.4元，最低价每股33.7元
（3）解：买入总金额=1000×35=35000元；买入手续费=35000×0.15%=52.5元；
卖出总金额=1000×36.3=36300元；卖出手续费=36300×0.15%=54.45元；
卖出交易税=36300×0.1%=36.3元；
收益=36300﹣（35000+52.5+54.45+36.3）=1156.75元
4.某工厂一周计划每天生产电动车80辆，由于工人实行轮休，每天上班人数不同，实际每天生产量与计划量相比情况如表（增加的为正数，减少的为负数）：
（1）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少辆电动车？
（2）本周总生产量是多少辆？比原计划增加了还是减少了？增加或减少多少辆？
【答案】（1）解：生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产6-（-5）=6+5=11辆；（2）解：总产量4+（-1）+2+（-2）+6+（-3）+（-5）+80×7=561辆，比原计划增加了，增加了561-560=1辆．
5.有理数﹣5，|﹣|，﹣12，0，﹣3.14，+1.99，﹣（﹣6），中，整数有________个，分数有________个，负数有________个．
【答案】4；4；4
【解析】【解答】解：有理数﹣5，|﹣|，﹣12，0，﹣3.14，+1.99，﹣（﹣6），中，整数有﹣5、﹣12、0、﹣（﹣6）这4个，
分数有|﹣|，﹣3.14，+1.99，这4个，
负数有﹣5，﹣12，﹣3.14，﹣（﹣6）这4个，
6.把下列各数填在相应的大括号内：
1，﹣5，|﹣|，﹣12，0，﹣3.14，+1.99，﹣（﹣6），
正数集合：{…}
负数集合：{…}
整数集合：{…}
分数集合：{…}．
【答案】解：正数集合：{1，|﹣|，+1.99，﹣（﹣6），…}；
负数集合：{﹣5，﹣12，﹣3.14 …}；
整数集合：{1，﹣5，﹣12，0，﹣（﹣6）…}；
分数集合：{|﹣|，﹣3.14，+1.99，…}
7.如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB=14，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t>0）秒。

（1）写出数轴上点B表示的数________，点P表示的数________（用含t的代数式表示）；（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？
（3）若M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；
（4）若点D是数轴上一点，点D表示的数是x，请你探索式子|x+6|+|x-8|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．
【答案】（1）-6；8-5t
（2）解：设点P运动x秒时，在点C处追上点Q（如图）
则AC=5x，BC=3x，
∵AC-BC=AB
∵5x-3x=14
解得：x=7，
∵点P运动7秒时，在点C处追上点Q
（3）解：没有变化．分两种情况：
∵当点P在点A、B两点之间运动时：
MN=MP+NP= AP+ BP= （AP+BP）= AB=7
∵当点P运动到点B的左侧时：
MN=MP-NP= AP-BP= （AP-BP）= AB=7
综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为7
（4）解：式子|x+6|+|x-8|有最小值，最小值为14．
C专题——数轴相反数绝对值
知识典例
（画竹必先成竹于胸！）
题型一：数轴
1.下面所画数轴正确的是（）
A. B. C.
D.
【答案】B
【解析】【解答】解: A.没有单位长度,不符合题意;
B.符合题意;
C.没有原点,不符合题意;
D.没有正方向,不符合题意.
2.数轴上一点表示的有理数为，若将点向右平移个单位长度后，点表示的有理数应为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【解答】﹣2+3=1．
故A点表示的有理数应为1．
3.如图，数轴上点A、B、C分别表示有理数a 、b、c，若a 、b、c三个数的乘积为正
数，这三个数的和与其中一个数相等，则b________0.
【答案】＜
【解析】【解答】解：∵a 、b、c三个数的乘积为正数，∵a,b,c三个数都是正数或其中两个是负数，又∵这三个数的和与其中一个数相等，∵这三个数只能是一个正数，两个为负数，∵a＜b＜c,∵只能a,b是负数，c是正数，即a＜0,b＜0,c＞0.
4.点A，B在数轴上，以AB为边作正方形，该正方形的面积是49．若点A对应的数是－2，则点B对应的数是________．
【答案】5
【解析】【解答】解：∵正方形的面积为49,
∵正方形的边长AB==7
∵点A对应的数是－2
∵点B对应的数是：-2+7=5
5.如图，在数轴上，点A表示的数为－1，点B表示的数为4，C是点B关于点A的对称点，则点C表示的数为________．
【答案】-6
【解析】【解答】解：∵点A表示的数为－1，点B表示的数为4，
∵AB=|-1-4|=5,
∵C是点B关于点A的对称点，
∵AC=AB=5
∵点A表示的数为－1
∵点C表示的数为：-5+（-1）=-6
6.在数轴上，点A，B，C表示的数分别是－6，10，12．点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时线段BC以每秒1个单位长度的速度也向右运动．
（1）运动前线段AB的长度为________；
（2）当运动时间为多长时，点A和线段BC的中点重合？
（3）试探究是否存在运动到某一时刻，线段AB= ？若存在，求出所有符合条件的点A表示的数；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）16
（2）设当运动时间为x秒长时，点A和线段BC的中点重合，依题意有
﹣6+3t=11+t，
解得t=
故当运动时间为秒长时，点A和线段BC的中点重合
（3）存在，理由如下：设运动时间为y秒，
∵当点A在点B的左侧时，依题意有(10+y)﹣(3y﹣6)=2，解得y=7，
﹣6+3×7=15；
∵当点A在线段BC上时，依题意有（3y-6）-（10+y）=
解得y=
综上所述，符合条件的点A表示的数为15或19．
7.在数轴上表示下列数（要准确画出来），并用“＜”把这些数连接起来．－(－4)，－|－
3.5|，，0，＋(＋2.5)，1
【答案】解：如图，
－|－3.5|<0< <1 <＋(＋2.5)< －(－4)
题型二：有理数的大小比较
1.有理数在数轴上对应的点如图所示，则，，的大小关系正确的是（）
A. -a<a<1
B.a<-a<1
C.1<-a<a
D.a<1<-a 【答案】D
【解析】【解答】根据数轴可得：则，故三个数的大小关系为：，
2.下列各组数的大小关系正确的是（）
A. B. C.
D. -3.5>-3.6
【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵正数大于负数，∵，故A错误不符合题意；B、∵
，∵，B错误不符合题意；C、∵正数大于负数，∵，C错误不符合题意；D、∵-3.5-（-3.6）=-3.5+3.6=0.1＞0，∵-3.5>-3.6
3.已知a、b是有理数，满足a＜0＜b，a＋b＞0，则把a、－a、b、－b按照从小到大的顺序排列，正确的是（）
A.－b＜－a＜a＜b
B.－b＜a＜－a＜b
C.－a＜－b＜a＜b
D.a＜－b＜b＜－a
【答案】B
【解析】【解答】∵a＋b＞0，
∵a＞-b，b＞-a，
∵a＜0＜b，
∵-a＞a，
∵-b＜a＜-a＜b．
4.观察图中的数轴，用字母a，b，c 依次表示点A，B，C对应的数，则，，
的大小关系是()
A.< <
B.< <
C.< <
D.< <
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，，c＞1
∵
∵
∵
∵，
∵
∵
∵
∵
5.若a、b、c、d四个数满足，则a、b、c、d四个数的大小关系为（）
A.a＞c＞b＞d
B.b＞d＞a＞c
C.d＞b＞a＞c
D.c＞a＞b＞d
【答案】D
【解析】【解答】解：令四个分式的分母为1，则有a=2001，b=﹣2000，c=2003，d=﹣2002，
则c＞a＞b＞d．
6.在数轴上表示-3，4的两个点之间的距离是________个单位长度，这两个数之间的有理数有________个；这两个数之间的整数有________个.
【答案】7；无数；6
【解析】【解答】解：-3与4的距离为；-3与4之间的有理数有无数个；在-3与4之间的整数有：-2，-1,0，1,2,3，共有6个.
故答案为：7；无数；6.
7.若0<a<1，则a，－a，，-的大小关系是________．（用“>”连接）
【答案】
【解析】【解答】解：∵ 0<a<1
∵＞1，a＞-a
∵＞a，＞0＞
∵＞a＞-a＞
8.已知a,b的和，a,b的积及b的相反数均为负，则a,b,-a,a+b,b-a的大小关系是________．（用“<”把它们连接起来）
【答案】a<a+b<b<-a<b-a
【解析】【解答】解：∵ab<0，
∵a,b异号，
∵b的相反数为负数，
∵b为正数，a为负数，
∵a+b<0，
∵ ，
题型三：相反数
1.若a+3=0，则a的相反数是（）
A.3
B.
C.﹣
D.﹣3
【答案】A
2.a的相反数是( )
A.|a|
B.
C.－a
D.以上都不对
【答案】C
3.的相反数是（）
A.
B.
C.-2
D.2
【答案】A
4.下列运算结果为负数的是（）.
A. B. C. D.
【答案】D
5.若2（a+3）的值与4互为相反数，则a的值为()．
A. -1
B. -
C. -5
D.
【答案】C
6.下列说法：∵平方等于64的数是8；∵若a．b互为相反数，则；∵若|-a|=a，则
（-a）3的值为负数；∵若ab≠0，则的取值在0，1，2，-2这四个数中，不可取的值是0．正确的个数为（）
A.0个
B.1个
C.2
个 D.3个
【答案】A
【解析】【解答】∵∵（±8）2=64，∵平方等于64的数是±8，故∵错；∵若a．b互为相反数，且a≠b,则;故∵错；∵∵|-a|=a，∵a≥0,∵（-a）3的值为零和负数，故∵错；∵若ab≠0，则a,b同号，或a,b异号，当a,b同号时为2，或-2；当a,b异号，
的值为0，故∵错；
7.相反数是________，倒数是________.
【答案】2；
8.如图，点A．B和线段MN都在数轴上，点A．M、N、B对应的数字分别为﹣1、0、2、11．线段MN沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动，移动时间为t
秒．
（1）用含有t的代数式表示AM的长为________.
（2）当t=________秒时，AM+BN=11．
（3）若点A．B与线段MN同时移动，点A以每秒2个单位速度向数轴的正方向移动，点B以每秒1个单位的速度向数轴的负方向移动，在移动过程，AM和BN可能相等吗？若相等，请求出t的值，若不相等，请说明理由．
【答案】（1）t+1
（2）
（3）解：假设能相等，则点A表示的数为2t﹣1，M表示的数为t，N表示的数为t+2，B 表示的数为11﹣t，∵AM=|2t﹣1﹣t|=|t﹣1|，BN=|t+2﹣（11﹣t）|=|2t﹣9|，
∵AM=BN，
∵|t﹣1|=|2t﹣9|，
解得：t1= ，t2=8．
题型四：绝对值
1.下列说法正确是（）
A.|a|是正数
B.若a＞|b|，则a＞b
C.若a＜b，则|a|＜|b|
D.若|a|=5，则a=-5
【答案】B
2.下列选项正确的是（）
A.若|a|=|b|，则a=b
B.若a2=b2，则a=b
C.若a3=b3，则a=b
D.若|a|+|b|=|a+b|，则a＞0，b＞0
【答案】C
3.已知a，b，c为非零的实数，则的可能值的个数为（）
A.4
B.5
C.6
D.7
【答案】A
【解析】【解答】解：∵a、b、c三个数都是正数时，a＞0，ab＞0，ac＞0，bc＞0，原式=1+1+1+1=4；∵a、b、c中有两个正数时，设为a＞0，b＞0，c＜0，则ab＞0，ac＜0，bc＜0，原式=1+1﹣1﹣1=0；
设为a＞0，b＜0，c＞0，则ab＜0，ac＞0，bc＜0，原式=1﹣1+1﹣1=0；
设为a＜0，b＞0，c＞0，则ab＜0，ac＜0，bc＞0，原式=﹣1﹣1﹣1+1=﹣2；
∵a、b、c有一个正数时，设为a＞0，b＜0，c＜0，则ab＜0，ac＜0，bc＞0，原式=1﹣1﹣1+1=0；
设为a＜0，b＞0，c＜0，则ab＜0，ac＞0，bc＜0，原式=﹣1﹣1+1﹣1=﹣2；
设为a＜0，b＜0，c＞0，则ab＞0，ac＜0，bc＜0，原式=﹣1+1﹣1﹣1=﹣2；
∵a、b、c三个数都是负数时，即a＜0，b＜0，c＜0，则ab＞0，ac＞0，bc＞0，原式=﹣1+1+1+1=2．
4.若|x|=3，则x=________.
【答案】
5.若|a|=a，则a是________，若|a|=-a，则a是________．
【答案】非负数；非正数
6.若有理数在数轴上的位置如图所示，则化简|a-c|+|a+b|﹣
|c+b|=________．
【答案】0
【解析】【解答】解：由数轴可得，，∵a-c>0，a+b<0，c+b<0，
∵ a-c+(-a-b)+(c+b)=a-c-a-b+c+b=0
7.绝对值小于10的所有整数的和为________，积为________.
【答案】0；0
【解析】【解答】解：绝对值小于10的所有整数为：-9，-8，-7，-6，-5，-4，-3，-2，
-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，∵和=-9-8-7-6-5-4-3-2-1+0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=0，
积=-9×（-8）×（-7）×（-6）×（-5）×（-4）×（-3）×（-2）×（-1）×0×1×2×3×4×5×6×7×8×9=0，
8.如果m是最大的负整数，n是绝对值最小的有理数，那么代数式2017m+2018n的值为
________．
【答案】
【解析】【解答】最大的负整数是绝对值最小的有理数是0，
故答案为：
9.同学们，我们都知道：|5-2|表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|表示5与-2的差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：
（1）|﹣4+6|=________；|﹣2﹣4|=________；
（2）找出所有符合条件的整数x，使|x+2|+|x-1|=3成立；
（3）若数轴上表示数a的点位于﹣4与6之间，求|a+4|+|a﹣6|的值；
（4）当a=________时，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，最小值是________；
（5）当a=________时，|a﹣1|+|a+2|+|a﹣3|+|a+4|+|a﹣5|+…+|a+2n|+|a﹣(2n+1)|的值最小，最小值是________.
【答案】（1）2；6
（2）解：此题可以理解为数轴上一点到-2,1的距离的和是3，由于1到-2 的距离就是3,，故当-2≤x≤1的时候即可满足条件，又因为x是整数，所以x的值可以为：-2，-1,0,1.
（3）解：∵数轴上表示数a的点位于﹣4与6之间，∵a+4＞0，a﹣6＜0，∵|a+4|+|a﹣
6|=a+4-a+6=10;
（4）1；9
（5）1；4n+1
【解析】【解答】（1）|﹣4+6|=|2|=2，|﹣2﹣4|=|-6|=6；
（4）此题可以理解为数轴上一点到1，-5,4的距离的和最小，根据两点之间线段最短，故当a表示的数是1的时候，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，当a=1的时候，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|=|1﹣1|+|1+5|+|1﹣4|=9；
(5)此题可以理解为数轴上一点到1，-2,3，-4…-2n,(2n+1)的距离和最小，根据两点之间线段最短，故当a=1的时候，|a﹣1|+|a+2|+|a﹣3|+|a+4|+|a﹣5|+…+|a+2n|+|a﹣(2n+1)|的值最小，最小值是2n+2n+1=4n+1.
10.对于任意有理数a，
（1）求|a+1|+5的最小值；
（2）求4-|a|的最大值．
【答案】（1）解：∵|a+1|≥0，
∵|a+1|+5≥5，
∵|a+1|+5的最小值为5.
（2）解：∵|a|≥0，
∵-|a|≤0，
∵4-|a|≤4，
∵4-|a|的最大值为4.
11.如果1＜x＜2，求代数式的值．
【答案】解：∵1＜x＜2，
∵|x-2|＜0，|x-1|＞0，|x|＞0，
∵原式=-+，
=-1+1+1，
=1.
强化练习
（举一反三增能力！）
1.已知数轴上有A，B两点，A，B两点间的距离为2，点B到原点O的距离为4，求所有满足条件的点A所表示的数，并求出这些点到原点O的距离之和．
【答案】16
【解析】【解答】解：∵点B和原点的距离为4
∵点B对应的数是±4
当点B对应的数是4时，则点A对应的数是4+2=6或4−2=2；
当点B对应的数是−4时，则点A对应的数是−4+2=−2或−4−2=−6；
∵所有满足条件的点A与原点O的距离之和为：|-6|+|-2|+2+6=16.
2.阅读下面的材料：
如图1，在数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为AB．线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB=b-a．请用上面的知识解答下面的问题：
如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动3cm到达A点，再向左移动1cm到达B 点，然后向右移动6cm到达C点，用1个单位长度表示1cm．
（1）请你在数轴上表示出A、B、C三点的位置：
（2）点C到点A的距离CA=________cm；若数轴上有一点D，且AD=4，则点D表示数________；
（3）若将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为________；（用代数式表示）；（4）若点B以每秒3cm的速度向左移动，同时A、C点分别以每秒1cm、5cm的速度向右移动．设移动时间为t秒，试探索：CA-AB的值是否会与t的值有关？请说明理由.
【答案】（1）解：点A表示-3，点B表示-4，点C表示2，如图所示，
（2）5；1或-7
（3）-3+x
（4）解：CA-AB的值与t的值无关.理由如下：由题意得，点A所表示的数为-3+t，点B表示的数是-4-3t，点C表示的数是2+5t，
∵点C的速度比点A的速度快，
∵点C在点A的右侧，∵CA=（2+5t）-(-3+t)=5+4t,
∵点B向左移动，点A向右移动，
∵点A在点B的右侧，
∵AB=（-3+t）-（-4-3t）=1+4t，
∵CA-AB=(5+4t)-(1+4t)=4.
3.如图，动点A从-2表示的点向数轴的正方向运动，同时，动点B也从点+4向数轴的负方向运动，2秒钟后相遇，已知动点A的速度为1单位长度/秒．
（1）求出动点B的速度；
（2）若A、B两点从开始位置上同时按照原速度向数轴负方向运动，几秒后，点D（-1）使得线段AD：BD=2：3：
（3）若A、B两点从原始点位置上同时按照原速度向数轴负方向运动，此时C点立即从+6点以3单位长度/秒的速度处追赶动点B，当C点追上B点时立即返回向数轴正方向运动，当点B追上A点时，C点立即停止，问：此时点C在什么位置？
【答案】（1）解：设动点B的速度为x单位长度/秒，根据题意得：
2（1+x）=4-(-2)
解之：x=2
答：动点B的速度为2单位长度/秒.
（2）解：设t秒后，点D（-1）使得线段AD：BD=2：3：
∵当点B在点D的右侧时
∵AD：BD=2：3
∵（1+t）:（5-2t）=2：3
解之：t=1；
∵当点B在点D的左侧时，
（1+t）:（2t-5）=2:3
解之：t=13
答1秒或13秒后点D（-1）使得线段AD：BD=2：3.
（3）解：C追上B的时间：（6-4）÷（3-2）=2秒此时C的位置：6-3×2=0
B追上A的时间：（4+2）÷（2-1）=6（秒）
此时C的位置：0+3×（6-2）=12
4.如图，在数轴上，点A、B表示的数分别是－4、8（A、B两点间的距离用AB表示），点M、N是数轴上两个动点，分别表示数m、n
（1）AB＝________个单位长度；若点M在A、B之间，则|m＋4|＋|m－8|＝________
（2）若|m＋4|＋|m－8|＝20，求m的值
（3）若点M、点N既满足|m＋4|＋n＝6，也满足|n－8|＋m＝28，则m＝________；n＝________ 【答案】（1）12；12
（2）解：如果m在-4的左边，则-m-4+8-m=20,
m=-8.
如果m在8的右边，则m+4+m-8=20,
m=12
所以m=-8或12.
（3）11；-9
【解析】【解答】解：（1）12,12.
（3 ）|m＋4|＋n＝6，|n－8|＋m＝28
当m<-4,n<8时，-m-4+n=6,8-n+m=28，无解.
当m<-4,n>8时，-m-4+n=6,n-8+m=28，n=23,m=13，矛盾.
当m>-4,n<8时，m+4+n=6,8-n+m=28，m=11,n=-9.
当m>-4,n>8时，m+4+n=6,n-8+m=28，无解.
5.若a,b是整数，且ab＝12，＜，则a+b=________.
【答案】7，8，13
6.在数轴上表示下列各数，并用“ ”把它们连接起来．
-3 2.50-4.50.5
【答案】解：如图所示：
，
用“＞”把它们连接起来为：2.5＞0.5＞0＞-＞-3＞-4.5．
7.若m＜0，n＞0，且|m|＞|n|，比较-m，-n，m-n，n-m的大小，并用“＞”号连接．
【答案】解：∵m＜0，n＞0
∵-m＞0，-n＜0，|m|=-m,|n|=n,
又∵|m|＞|n|，
∵-m＞n＞0,
∵n-m＞-m,m＜-n＜0,
∵n-m＞-m＞n＞0
∵n-m＞-m＞-n＞m-n
8.若a＞0，b＞0，且，则a＞b；若a＜0，b＜0，且，则a＜b．以上这种比较大小的方法，叫做作商比较法．试利用作商比较法，比较与的大小．
【答案】解：因为，，，所以
9.点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，则在数轴上A、
B两点之间的距离AB=|a﹣b|．
所以式子|x﹣2|的几何意义是数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离．借助于数轴回答下列问题：
∵数轴上表示2和5两点之间的距离是________，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是________．
∵数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为________．
∵数轴上表示x的点到表示1的点的距离与它到表示﹣3的点的距离之和可表示为：|x﹣
1|+|x+3|．则|x﹣1|+|x+3|的最小值是________．
∵若|x﹣3|+|x+1|=8，则x=________
【答案】3；4；x+2；4；﹣3或5
【解析】【解答】解：∵数轴上表示2和5两点之间的距离是：|5﹣2|=3，
数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是：|1﹣（﹣3）|=4．∵数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为：|x﹣（﹣2）|=|x+2|．∵数轴上表示x的点到表示1的点的距离与它到表示﹣3的点的距离之和可表示为：|x﹣1|+|x+3|，
当数轴上表示x的点在表示1的点和表示﹣3的点之间时，
|x﹣1|+|x+3|的最小值是：|1﹣（﹣3）|=4．∵若|x﹣3|+|x+1|=8，
∵、x≤﹣1时，
3﹣x﹣x﹣1=8，
解得x=﹣3．
∵、﹣1＜x＜3时，
3﹣x+x+1=8，
此时x无解．
∵、x≥3时，
x﹣3+x+1=8，
解得x=5．
故答案为：3、4；|x+2|；4；﹣3或5．
10.若a是正有理数，在-a与a之间有2015个整数，求a取值范围．
【答案】解：（2015+1）÷2=1008，-a是个负整数，（2005-1）÷2=1007∵1007＜a≤1008
11.已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是1．求2013（a+b）﹣cd+2m．【答案】解：根据题意得：a+b=0，cd=1，m=1或﹣1，当m=1时，原式=0﹣1+2=1；当m=﹣1时，原式=0﹣1﹣2=﹣3
12.已知a、b为有理数，且|a＋2|＋(b－3)2＝0，求a b＋a(3－b)的值．
【答案】解：∵|a＋2|＋(b－3)2＝0，
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∵a+2=0，b-3=0，
∵a=-2，b=3，
∵a b＋a(3－b)=(-2)3+(-2)×(3-3)=-8
13.求满足|a-b|+ab=1的非负整数对．
【答案】解：∵|a-b|≥0，
∵-|a-b|≤0，
∵1-|a-b|≤1，
又∵|a-b|+ab=1，
∵1-|a-b|=ab，
∵ab≤1，
又∵a、b是非负整数，
∵a=1，b=1；a=1，b=0；a=0，b=1；
∵满足条件的非负整数对为：（1，0），（1，1），（0，1）.
另解：∵当a≥b时，
∵a-b+ab=1，
即（b+1）（a-1）=0，
∵b≥0，
∵a=1，
∵（1，0），（1，1），
∵当a＜b时，
∵-a+b+ab=1，
即（b-1）（a+1）=0，
∵a≥0，
∵b=1，
∵（0，1），
综上所述：满足条件的非负整数对为：（1，0），（1，1），（0，1）.
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