高数第五版答案1-4

合集下载

高数第五版答案（同济）总习题十

高数第五版答案（同济）总习题十总习题十 1. 填空: (1)第二类曲线积分Γ++Rdz Qdy Pdx 化成第一类曲线积分是____________, 其中α、β、γ为有向曲线弧Γ上点(x , y , z )处的_____________的方向角.解Γ++ds R Q P )cos cos cos (γβα, 切向量.(2)第二类曲面积分Rdxdy Qdzdx Pdydz ++∑化成第一类曲面积分是_______, 其中α、β、γ为有向曲面∑上点(x , y , z )处的________的方向角.解dS R Q P )cos cos cos (γβα++∑, 法向量.2. 选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论: 设曲面∑是上半球面: x 2+y 2+z 2=R 2(z ≥0), 曲面∑1是曲面∑在第一卦限中的部分, 则有________. (A )xdS xdS 14∑∑=; (B )xdS ydS 14∑∑=;(C )xdS zdS 14∑∑=; (D )xyzdS xyzdS 14∑∑=.解 (C ).3. 计算下列曲线积分: (1)+Lds y x 22, 其中L 为圆周x 2+y 2=ax ;解 L 的参数方程为θcos 22a a x +=, θsin 2a y =(0≤θ≤2π), 故θθθθπd y x ax ds ax ds y x LL )()()(222022'+'?==+?θθθθππd ad a=?+=204204|2cos 2|4)cos 1(2422202022)cos cos (|cos |4a tdt tdt a dt t a =-==ππππ(2θ=t 这里令).(2)?Γzds , 其中Γ为曲线x =t cos t , y =t sin t , z =t (0≤t ≤t 0); 解+++-?=Γ00221)cos (sin )sin (cos t dt t t t t t t t zds322)2(232002-+=+=?t dt t t . (3)?+-L xdy dx y a )2(, 其中L 为摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )上对应t 从0到2π的一段弧; 解-+-?+-=+-π20]sin )sin ()cos 1()cos 2[()2(dt t a t t a t a t a a a xdy dx y a L22022sin a tdt t a ππ-==?.(4)?Γ-+-dz x yzdy dx z y 2222)(, 其中Γ是曲线x =t , y =t 2, z =t 3上由听t 1=0到t 2=1的一段弧; 解-??+?-=-+-Γ1223264222]3221)[(2)(dt t t t t t t t dz x yzdy dx z y351)32(164=+-=?dt t t . (5)-+-L x x dy y e dx y y e )2cos ()2sin (, 其中L 为上半圆周(x -a )2 +y 2=a 2, y ≥0, 沿逆时针方向;解这里P =e x sin y -2y , Q =e x cos y -2,22cos cos =+-=??-??y e y e yP x Q x x. 令L 1为x 轴上由原点到(2a , 0)点的有向直线段, D 为L 和L 1所围成的区域, 则由格林公式+-+-1)2cos ()2sin (LL x x dy y e dx y y e dxdy yPx Q D)(-??=?? 22a dxdy Dπ==??,-+--=-+-1)2cos ()2sin ()2cos ()2sin (2L x x L x x dy y e dx y y e a dy y e dx y y e π22020a dx a aππ=-=?.(6)Γxyzdz , 其中Γ是用平面y =z 截球面x 2+y 2+z 2=1所得的截痕, 从z 轴的正向看去,沿逆时针方向.解曲线Γ的一般方程为?==++z y z y x 1222, 其参数方程为tz t y t x sin 22 ,sin 22 ,cos ===, t 从0变到2π.于是tdt t t t xyzdz cos 22cos 22cos 22cos 20=??Γπππ162cos sin 422022==tdt t .4. 计算下列曲面积分: (1)222z y x dS ++∑, 其中∑是界于平面z =0及z =H 之间的圆柱面x 2+y 2=R 2; 解∑=∑1+∑2, 其中221:y R x -=∑, D xy : -R ≤y ≤R , 0≤z ≤H , dydz yR R dS 22-=; 221:y R x --=∑, D xy : -R ≤y ≤R , 0≤z ≤H , dydz yR R dS 22-=, 于是22222222221z y x dS z y x dS z y x dS +++++=++∑∑∑?????? ????+-=-?+=-H R R D dz z R dy y R R dydz y R R z R xt02222222211212RH arctan 2π=. (2)dxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(222-+-+-∑, 其中∑为锥面22y x z +=(0≤z ≤h ) 的外侧;解这里P =y 2-z , Q =z 2-x , R =x 2-y ,0=??+??+??zR y Q x P . 设∑1为z =h (x 2+y 2≤h 2)的上侧, Ω为由∑与∑1所围成的空间区域, 则由高斯公式0)()()()(2221=??+??+??=-+-+-Ω∑+∑dv zR y Q x P dxdy y x dzdx x z dydz z y ,而dxdy y x dxdy y x dzdx x z dydz z y )()()()(222211-=-+-+-∑∑40222024)sin cos ()(1h d r r d dxdy y x hπθθθθπ=-=-∑, 所以42224)()()(h dxdy y x dzdx x z dydz z y π-=-+-+-∑. (3)zdxdy ydzdx xdydz ++∑, 其中∑为半球面222y x R z --=的上侧;解设∑1为xOy 面上圆域x 2+y 2≤R 2的下侧, Ω为由∑与∑1所围成的空间区域, 则由高斯公式得dv zR y Q x P zdxdy ydzdx xdydz )(1+??+??=++Ω∑+∑332)32(33R R dv ππ===Ω,而00011====++∑∑dxdy zdxdy zdxdy ydzdx xdydz xyD ,所以33202R R zdxdy ydzdx xdydz ππ=-=++∑.(4)3222)(z y x zdxdy ydzdx xdydz ++++∑??, 其中∑为曲面9)1(16)2(5122-+-=-y x z (z ≥0)的上侧;解这里3r x P =, 3r y Q =, 3r z R =, 其中222z y x r ++=. 52331r x r x P -=??, 5 2331r y r x Q -=??, 52331r z r x R -=??,033)(3352352223=-=++-=??+??+??rr r r z y x r z R y Q x P . 设∑1为z =0)19)1(16)2((22≤-+-y x 的下侧, Ω是由∑和∑1所围成的空间区域, 则由高斯公式0)()(32221=??+??+??=++++Ω∑+∑dv zR y Q x P z y x zdxdy ydzdx xdydz ,32223222)()(1z y x zdxdyydzdx xdydz z y x zdxdy ydzdx xdydz ++++-=++++∑∑0)(0322=+=dxdy y x xyD .(5)xyzdxdy ∑, 其中∑为球面x 2+y 2+z 2=1(x ≥0, y ≥0)的外侧. 解∑=∑1+∑2, 其中∑1是221y x z --=(x 2+y 2≤1, x ≥0, y ≥0)的上侧; ∑2是221y x z ---=(x 2+y 2≤1, x ≥0, y ≥0)的下侧,xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy 21∑∑∑+=dxdy y x xy dxdy y x xy xyxyD D )1(12222------=-??=--=13220221sin cos 212ρρρθθθπd d dxdy y x xy xyD15212sin 103220=-=?ρρρθθπd d .5. 证明22y x ydyxdx ++在整个xOy 平面除去y 的负半轴及原点的区域G 内是某个二元函数的全微分, 并求出一个这样的二元函数. 解这里22y x x P +=, 22y x y Q +=. 显然, 区域G 是单连通的, P 和Q 在G 内具有一阶连续偏导数, 并且xQ y x xy y P ??=+-=??222)(2, 所以22y x ydyxdx ++在开区域G 内是某个二元函数u (x , y )的全微分.C y x dy y x y dx x y x ydy xdx y x u y x y x ++=++=++=)ln(211),(220221),()0 ,1(22.6. 设在半平面x >0内有力)(3j i y x k F +-=ρ构成力场, 其中k 为常数,22y x +=ρ. 证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关. 解场力沿路径L 所作的功为 dy kydx kx W L33ρρ?--=.令3ρkx P -=, 3ρky Q -=. 因为P 和Q 在单连通区域x >0内具有一阶连续的偏导数, 并且xQ xy k y P ??==??53ρ, 所以上述曲线积分所路径无关, 即力场所作的功与路径无关. 7. 求均匀曲面222y x a z --=的质心的坐标. 解这里∑:222y x a z --=, (x , y )∈D xy ={(x , y )|x 2+y 2≤a 2}. 设曲面∑的面密度为ρ=1, 由曲面的对称性可知, 0==y x . 因为3222221a dxdy a dxdy z z y x a zdS xyxyD y x D π=='+'+?--=∑,222421a a dS ππ=?=∑, 所以 2223a a a z ==ππ.因此该曲面的质心为)2,0 ,0(a .8. 设u (x , y )、v (x , y )在闭区域D 上都具有二阶连续偏导数, 分段光滑的曲线L 为D 的正向边界曲线. 证明: (1)+?-=?L D D ds n u v dxdy v u udxdy v ) (grad grad ;(2)-??=?-?L D ds nu v n v u dxdy u v v u )()(, 其中n u ??、n v ??分别是u 、v 沿L 的外法线向量n 的方向导数, 符号2222yx ??+??=?称为二维拉普拉斯算子.证明设L 上的单位切向量为T =(cos α, sin α), 则n =(sin α, -cos α). (1)+??-=??-??=??L L L ds x uv y u v ds y u x u v ds n u v ]sin cos [)cos sin (ααααdxdy yu v y x u v x D )]()([??-??-=dxdy y u v y u y v x u v x u x v D)(2222??++??+=?? dxdy y u x u v dxdy y u y v x u x v DD )()(2222??+??++= udxdy v udxdy v D D ?+?=grad grad ,所以+?-=?L D D ds nu v dxdy v u udxdy v ) (grad grad . (2)dxdy yu x u v y v x v u ds n u v n v u L L )]cos sin ()cos sin ([)(αααα??-??-??-??=??- dxdy xuv x v u y u v y v u L ]sin )(cos )[(αα??-??+??+??-=?dxdy yu v y v u y x u v x v u x D )]()([??+??-??-??-=dxdy y u v y u y v y v u y v y u x u v x u x v x v u x v x u D)(22222222??--??++??--??+=?? dxdy u v v u dxdy y u x u v y v x v u D D )()]()([22222222?-?=??+??-??+??=. 9. 求向量A =x i +y j +z k 通过闭区域Ω={(x , y , z )|0≤x ≤1, 0≤y ≤1, 0≤z ≤1}的边界曲面流向外侧的通量.解设∑为区域Ω的边界曲面的外侧, 则通量为 dv zR y Q x P zdxdy ydzdx xdydz )(??+??+??=++=ΦΩ∑ 33==Ωdv .10. 求力F =y i +z j +x k 沿有向闭曲线Γ所作的功, 其中Γ为平面x +y +z =1被三个坐标面所截成的三角形的整个边界, 从z 轴正向看去, 沿顺时针方向.解设∑为平面x +y +z =1在第一卦部分的下侧, 则力场沿其边界L (顺时针方向)所作的功为++=L xdz zdy ydx W .曲面∑的的单位法向量为)cos cos ,(cos )1 ,1 ,1(31γβα=-=n , 由斯托克斯公式有dS xz y z y x W =∑γβαcos cos cos233sin )2(2133)111(312=?==----=∑∑πdS dS .。

同济大学《高等数学》第五版上册答案(详解)

解 (1)列方程,(2)解方程
练习 12-11
总习题十二
解正弦级数展开, 余弦级数展开
总习题十一
练习 12-1
练习 12-2
练习 12-3
练习 12-4
练习 12-5
练习 12-6
练习 12-7
提示：
提示：
练习 12-8
练习 12-9
总习题六
练习 7-1
练习 7-2
练习 7-3
练习 7-4
练习 7-5
练习 7-6
总习题七
练习 8-1
练习 8-2
>
练习 8-3
练习 8-4
练习 8-5
练习 2-5
总习题二
练习 3-1
练习 3-2
练习 3-3
练习 3-4
练习 3-5
练习 3-6
x
( 2)
y

y
+
yf(x) ↘
2 0 +
17/5
(2 1) 1
练习 10-4
练习 10-5
练习 10-6
练习 10-7
总习题十
练习 111
练习 112
练习 113
练习 11-4
练习 11-5
练习 11-7
练习 11-8
解正弦级数展开, 余弦级数展开
练习 8-6
练习 8-7
练习 8-8
总习题八
练习 9-1
练习 9-2
>>
<< >>
<<
练习 9-3
练习 9-4
总习题九
练习 10-1
练习 10-2
练习 10-3

高数习题答案4-1

习题4-11. 求下列不定积分: (1)⎰dx x 21; 解C xC x dx x dx x +-=++-==+--⎰⎰112111222. (2)⎰dx x x ; 解 C x x C x dx x dx x x +=++==+⎰⎰212323521231. (3)⎰dx x1;解C x C x dx xdx x+=++-==+--⎰⎰21211112121. (4)⎰dx x x 32; 解 C x x C x dx x dx x x+=++==+⎰⎰3313737321031371. (5)⎰dx xx 21;解C x x C x dx xdx xx +⋅-=++-==+--⎰⎰12312511125252. (6)dx x mn ⎰;解C x m n m C x mn dx x dx x mn m m nm nmn++=++==++⎰⎰111.(7)⎰dx x 35;解 C x dx x dx x +==⎰⎰4334555.(8)⎰+-dx x x )23(2;解 C x x x dx dx x dx x dx x x ++-=+-=+-⎰⎰⎰⎰2233123)23(2322.(9)⎰ghdh 2(g 是常数);解C ghC h gdh hgghdh +=+⋅==⎰⎰-22212122121. (10)⎰-dx x 2)2(;解 C x x x dx dx x dx x dx x x dx x ++-=+-=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰423144)44()2(23222.(11)⎰+dx x 22)1(;解 C x x x dx dx x dx x dx x x dx x +++=++=++=+⎰⎰⎰⎰⎰3524242232512)12()1(.(12)dx x x ⎰-+)1)(1(3;解 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-=-+-=-+dx dx x dx x dx x dx x x x dx x x 23212323)1()1)(1(C x x x x +-+-=25233523231.(13)⎰-dx xx 2)1(;解C x x x dx x x xdx xx x dx xx ++-=+-=+-=-⎰⎰⎰-2523212321212252342)2(21)1(. (14)⎰+++dx x x x 1133224; 解C x x dx x x dx x x x ++=++=+++⎰⎰arctan )113(1133322224.(15)⎰+dx xx 221; 解⎰⎰⎰+-=+-=+-+=+C x x dx xdx xx dx x x arctan )111(111122222.(16)⎰+dx xe x )32(;解 C x e dx xdx e dx x e x x x ++=+=+⎰⎰⎰||ln 32132)32(.(17)⎰--+dx xx )1213(22;解 ⎰⎰⎰+-=--+=--+C x x dx xdx x dx xx arcsin 2arctan 3112113)1213(2222.(18)dx xe e x x⎰--)1(;解 C x edx xe dx xe e xxx x+-=-=-⎰⎰--21212)()1(.(19)⎰dx e x x 3;解 C e C e e dx e dx e xx x xxx++=+==⎰⎰13ln 3)3ln()3()3(3.(20)⎰⋅-⋅dx xxx 32532; 解 C x C x dx dx x xx x xx+--=+-=-=⋅-⋅⎰⎰)32(3ln 2ln 5232ln)32(52])32(52[32532. (21)⎰-dx x x x )tan (sec sec ;解 ⎰⎰+-=-=-C x x dx x x x dx x x x sec tan )tan sec (sec )tan (sec sec 2.(22)⎰dx x2cos 2;解 C x x dx x dx x dx x ++=+=+=⎰⎰⎰)sin (21)cos 1(212cos 12cos 2. (23)⎰+dx x 2cos 11;解 ⎰⎰+==+C x dx x dx x tan 21cos 212cos 112.(24)⎰-dx xx xsin cos 2cos ;解 ⎰⎰⎰+-=+=--=-C x x dx x x dx xx xx dx x x x cos sin )sin (cos sin cos sin cos sin cos 2cos 22.(25)⎰dx x x x22sin cos 2cos ;解 ⎰⎰⎰+--=-=-=C x x dx x x dx x x x x dx x x x tan cot )cos 1sin 1(sin cos sin cos sin cos 2cos 22222222.(26)⎰-dx x x x)11(2;解 ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-dx x x x 211⎰++=-=--C x x dx x x 41474543474)(.2. 一曲线通过点(e 2, 3), 且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数, 求该曲线的方程.解设该曲线的方程为y =f (x ), 则由题意得xx f y 1)(='=',所以 C x dx xy +==⎰||ln 1.又因为曲线通过点(e 2, 3), 所以有=3-2=1 3=f (e 2)=ln|e 2|+C =2+C , C =3-2=1. 于是所求曲线的方程为y =ln|x |+1.3. 一物体由静止开始运动, 经t 秒后的速度是3t 2(m/s ), 问 (1)在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ (2)物体走完360m 需要多少时间？解设位移函数为s =s (t ), 则s '=v =3 t 2, C t dt t s +==⎰323. 因为当t =0时, s =0, 所以C =0. 因此位移函数为s =t 3. (1)在3秒后物体离开出发点的距离是s =s (3)=33=27. (2)由t 3=360, 得物体走完360m 所需的时间11.73603≈=t s. 4. 证明函数x e 221, e x sh x 和e xc h x 都是x x e x sh ch -的原函数.证明x x x x x x x x x e ee e e e e e x x e 222sh ch ==--+=----. 因为x x e e 22)21(=', 所以x e 221是x x e x sh ch -的原函数. 因为(e x sh x )'=e x sh x +e x ch x =e x (sh x +ch x )x xx x x x e e e e e e 2)22(=++-=--,所以e x sh x 是xx e xsh ch -的原函数.因为(e x ch x )'=e x ch x +e x sh x =e x (ch x +sh x )x xx x x x e e e e e e 2)22(=-++=--, 所以e x ch x 是xx e xsh ch -的原函数.习题 2-21. 推导余切函数及余割函数的导数公式: (cot x )'=-csc 2x ; (csc x )'=-csc x cot x .解 xx x x x x x x 2sin cos cos sin sin )sin cos ()(cot ⋅-⋅-='=' x xx x x 22222c s c s i n 1s i n c o s s i n -=-=+-=. x x xx x x c o t c s c s i n c o s )s i n 1()(c s c 2⋅-=-='='.2. 求下列函数的导数: (1)1227445+-+=x x x y ; (2) y =5x 3-2x +3e x ; (3) y =2tan x +sec x -1;(4) y =sin x ⋅cos x ; (5) y =x 2ln x ; (6) y =3e x cos x ; (7)x x y ln =;(8)3ln 2+=xe y x ; (9) y =x 2ln x cos x ;(10)tt s cos 1sin 1++=;解 (1))12274()12274(14545'+-+='+-+='---x x x xx x y 2562562282022820x x x x x x +--=+--=---. (2) y '=(5x 3-2x +3e x )'=15x 2-2x ln2+3e x .(3) y '=(2tan x +sec x -1)'=2sec 2x +sec x ⋅tan x =sec x (2sec x +tan x ). (4) y '=(sin x ⋅cos x )'=(sin x )'⋅cos x +sin x ⋅(cos x )' =cos x ⋅cos x +sin x ⋅(-sin x )=cos 2x . (5) y '=(x 2ln x )'=2x ⋅ln x +x 2⋅x1=x (2ln x +1) .(6) y '=(3e x cos x )'=3e x ⋅cos x +3e x ⋅(-sin x )=3e x (cos x -sin x ).(7)22ln 1ln 1)ln (x x x xx x x x y -=-⋅='='. (8)3422)2(2)3ln (xx e x x e x e x e y x x x x -=⋅-⋅='+='. (9) y '=(x 2ln x cos x )'=2x ⋅ln x cos x +x 2⋅x1⋅cos x +x 2 ln x ⋅(-sin x )2x ln x cos x +x cos x -x 2 ln x sin x . (10)22)cos 1(cos sin 1)cos 1()sin )(sin 1()cos 1(cos )cos 1sin 1(t tt t t t t t t t s +++=+-+-+='++='.3. 求下列函数在给定点处的导数: (1) y =sin x -cos x , 求6π='x y 和4π='x y .(2)θθθρcos 21sin +=,求4πθθρ=d d .(3)553)(2x x x f +-=, 求f '(0)和f '(2) . 解 (1)y '=cos x +sin x , 21321236s i n 6c o s 6+=+=+='=πππx y , 222224s i n 4c o s 4=+=+='=πππx y . (2)θθθθθθθθρcos sin 21sin 21cos sin +=-+=d d ,)21(4222422214c o s 44s i n 214πππππθρπθ+=⋅+⋅=+==d d . (3)x x x f 52)5(3)(2+-=', 253)0(='f , 1517)2(='f . 4. 以初速v 0竖直上抛的物体, 其上升高度s 与时间t 的关系是2021gt t v s -=.求:(1)该物体的速度v (t ); (2)该物体达到最高点的时刻. 解 (1)v (t )=s '(t )=v 0-gt . (2)令v (t )=0, 即v 0-gt =0, 得gv t 0=, 这就是物体达到最高点的时刻. 5. 求曲线y =2sin x +x 2上横坐标为x =0的点处的切线方程和法线方程. 解因为y '=2cos x +2x , y '|x =0=2, 又当x =0时, y =0, 所以所求的切线方程为 y =2x ,所求的法线方程为x y 21-=, 即x +2y =0.6. 求下列函数的导数: (1) y =(2x +5)4(2) y =cos(4-3x ); (3)23x e y -=; (4) y =ln(1+x 2); (5) y =sin 2x ; (6)22x a y -=; (7) y =tan(x 2); (8) y =arctan(e x ); (9) y =(arcsin x )2; (10) y =lncos x .解 (1) y '=4(2x +5)4-1⋅(2x +5)'=4(2x +5)3⋅2=8(2x +5)3. (2) y '=-sin(4-3x )⋅(4-3x )'=-sin(4-3x )⋅(-3)=3sin(4-3x ). (3)22233236)6()3(x x x xe x e x e y ----=-⋅='-⋅='. (4)222212211)1(11x x x x x x y +=⋅+='+⋅+='.(5) y '=2sin x ⋅(sin x )'=2sin x ⋅cos x =sin 2x . (6))()(21])[(22121222122'-⋅-='-='-x a x a x ay222122)2()(21xa x x x a --=-⋅-=-.(7) y '=sec 2(x 2)⋅(x 2)'=2x sec 2(x 2). (8)xx x x e e e e y 221)()(11+='⋅+='.(9) y '21arcsin 2)(arcsin arcsin 2xx x x -='⋅=.(10)x x x x x y tan )sin (cos 1)(cos cos 1-=-='⋅='.7. 求下列函数的导数: (1) y =arcsin(1-2x );(2)211x y -=; (3)x e y x3cos 2-=;(4)xy 1arccos =;(5)xx y ln 1ln 1+-=;(6)x x y 2sin =;(7)x y arcsin =; (8))ln(22x a x y ++=; (9) y =ln(sec x +tan x ); (10) y =ln(csc x -cot x ). 解 (1)2221)21(12)21()21(11xx x x x y --=---='-⋅--='. (2))1()1(21])1[(21212212'-⋅--='-='---x x xy222321)1()2()1(21xx x x x --=-⋅--=-.(3))3)(3sin (3cos )2()3(cos 3cos )(2222'-+'-='+'='----x x e x x e x e x e y xxx x )3s i n 63(c o s 213s i n 33c o s 21222x x e x e x e xxx +-=--=---. (4)1||)1()1(11)1()1(1122222-=---='--='x x x x x x x y . (5)22)ln 1(2)ln 1(1)ln 1()ln 1(1x x x x x x x y +-=+--+-='.(6)222sin 2cos 212sin 22cos x x xx x x x x y -=⋅-⋅⋅='. (7)2222121)(11)()(11x x x x x x y -=⋅-='⋅-='. (8)])(211[1)(12222222222'+++⋅++='++⋅++='x a x a x a x x a x x a x y 2222221)]2(211[1xa x x a x a x +=++⋅++=.(9) x xx x x x x x x x y sec tan sec sec tan sec )tan (sec tan sec 12=++='+⋅+='. (10) x xx x x x x x x x y csc cot csc csc cot csc )cot (csc cot csc 12=-+-='-⋅-='.8. 求下列函数的导数:(1)2)2(arcsin x y =;(2)2tan ln x y =;(3)x y 2ln 1+=; (4)xe y arctan=;(5)y =sin n x cos nx ; (6)11arctan -+=x x y ;(7)x x y arccos arcsin =;(8) y =ln[ln(ln x )] ;(9)xx x x y -++--+1111; (10)xx y +-=11arcsin . 解 (1)'⋅=')2(arcsin )2(arcsin 2x x y )2()2(11)2(a r c s i n 22'⋅-⋅=x x x 21)2(11)2(a r c s i n 22⋅-⋅=x x . 242a r c s i n 2x x -= (2))2(2sec 2tan 1)2(tan 2tan 12'⋅⋅='⋅='x x x x xy x x x c s c 212s e c 2t a n 12=⋅⋅=. (3))ln 1(ln 121ln 1222'+⋅+=+='x xx y )(ln ln 2ln 1212'⋅⋅+=x x xx x x 1ln 2ln 1212⋅⋅+= xx x 2ln 1ln +=. (4))(arctan arctan '⋅='x e y x )()(112arctan '⋅+⋅=x x e x)1(221)(11a r c t a n 2a r c t a n x x e x x e x x +=⋅+⋅=. (5) y '=n sin n -1x ⋅(sin x )'⋅cos nx +sin n x ⋅(-sin nx )⋅(nx )'=n sin n -1x ⋅cos x ⋅cos nx +sin n x ⋅(-sin nx )⋅n=n sin n -1x ⋅(cos x ⋅cos nx -sin x ⋅sin nx )= n sin n -1x cos(n +1)x .(6)222211)1()1()1()11(11)11()11(11x x x x x x x x x x y +-=-+--⋅-++='-+⋅-++='. (7)222)(arccos arcsin 11arccos 11x x x x x y -+-=' 22)(a r c c o s a r c s i n a r c c o s 11x x x x +⋅-=22)(a r c c o s 12x x -=π. (8))(ln ln 1)ln(ln 1])[ln(ln )ln(ln 1'⋅⋅='⋅='x x x x x y )l n (l n ln 11ln 1)ln(ln 1x x x x x x ⋅=⋅⋅=. (9)2)11()121121)(11()11)(121121(x x x x x x x x xx y -++--+--+--++-++=' 22111x x -+-=. (10)2)1()1()1(1111)11(1111x x x xx x x x x y +--+-⋅+--='+-⋅+--=' )1(2)1(1x x x -+-=. 9. 设函数f (x )和g (x )可导, 且f 2(x )+g 2(x )≠0, 试求函数)()(22x g x f y +=的导数.解 ])()([)()(212222'+⋅+='x g x f x g x f y )]()(2)()(2[)()(2122x g x g x f x f x g x f '+'⋅+=)()()()()()(22x g x f x g x g x f x f +'+'=. 10. 设f (x )可导, 求下列函数y 的导数dx dy : (1) y =f (x 2);(2) y =f (sin 2x )+f (cos 2x ).解 (1) y '=f '(x 2)⋅(x 2)'= f '(x 2)⋅2x =2x ⋅f '(x 2).(2) y '=f '(sin 2x )⋅(sin 2x )'+f '(cos 2x )⋅(cos 2x )'= f '(sin 2x )⋅2sin x ⋅cos x +f '(cos 2x )⋅2cos x ⋅(-sin x ) =sin 2x [f '(sin 2x )- f '(cos 2x )].11. 求下列函数的导数:(1) y =ch(sh x );(2) y =sh x ⋅e ch x ;(3) y =th(ln x );(4) y =sh 3x +ch 2x ;(5) y =th(1-x 2);(6) y =arch(x 2+1);(7) y =arch(e 2x );(8) y =arctan(th x );(9)xx y 2ch 21ch ln +=; (10))11(ch 2+-=x x y 解 (1) y '=sh(sh x )⋅(sh x )'=sh(sh x )⋅ch x .(2) y '=ch x ⋅e ch x +sh x ⋅e ch x ⋅sh x =e ch x (ch x +sh 2x ) .(3))(ln ch 1)(ln )(ln ch 122x x x x y ⋅='⋅='. (4) y '=3sh 2x ⋅ch x +2ch x ⋅sh x =sh x ⋅ch x ⋅(3sh x +2) .(5))1(ch 2)1()1(ch 122222x x x x y --=-⋅-='. (6)222)1()1(112422++='+⋅++='x x x x x y .(7)12)(1)(142222-='⋅-='x x x x e e e e y . (8)xxx x x x x y 222222ch 1ch sh 11ch 1th 11)th ()th (11⋅+=⋅+='⋅+=' xx x 222sh 211sh ch 1+=+=. (9))ch (ch 21)ch (ch 124'⋅-'⋅='x xx x y x x xx x sh ch 2ch 21ch sh 4⋅⋅-= xx x x x x x x 323ch sh ch sh ch sh ch sh -⋅=-= x xx x x x 33332th ch sh ch )1ch (sh ==-⋅=. (10)'+-⋅+-⋅+-='+-⋅+-=')11()11(sh )11(ch 2])11(ch [)11(ch 2x x x x x x x x x x y )112(sh )1(2)1()1()1()112(sh 22+-⋅+=+--+⋅+-⋅=x x x x x x x x . 12. 求下列函数的导数:(1) y =e -x (x 2-2x +3);(2) y =sin 2x ⋅sin(x 2);(3)2)2(arctan x y =; (4)n xx y ln=; (5)t t t t ee e e y --+-=; (6)xy 1cos ln =; (7)x e y 1sin 2-=;(8)x x y +=;(9) 242arcsin x x x y -+=;(10)212arcsin tty +=. 解 (1) y '=-e -x (x 2-2x +3)+e -x (2x -2) =e -x (-x 2+4x -5).(2) y '=2sin x ⋅cos x ⋅sin(x 2)+sin 2x ⋅cos(x 2)⋅2x =sin2x ⋅sin(x 2)+2x ⋅sin 2x ⋅cos(x 2).(3)2arctan 44214112arctan 222x x xx y +=⋅+⋅='. (4)121ln 1ln 1+--=⋅-⋅='n n n n x x n x nx x x x y . (5)2222)1(4)())(())((+=+---++='-----t t t t t t t t t t t t e e e e e e e e e e e e y . (6)x xx x x x x y 1tan 1)1()1sin (1sec )1(cos 1sec 22=-⋅-⋅='⋅='. (7))1(1cos )1sin 2()1sin (21sin 21sin 22x x x e xe y x x -⋅⋅-⋅='-⋅='-- x e x x1s i n 222s i n 1-⋅⋅=. (8))211(21)(21x x x x x x x y +⋅+='+⋅+=' xx x x +⋅+=412. (9)2arcsin )2(421214112arcsin 22x x x x x x y =-⋅-+⋅-⋅+='. (10)22222222)1()2(2)1(2)12(11)12()12(11t t t t tt t t t t y +⋅-+⋅⋅+-='+⋅+-=')1(|1|)1(2)1()1(2)1(1222222222t t t t t t t +--=+-⋅-+=.。

高等数学第五章教材答案

高等数学第五章教材答案第一节：导数与微分1. a) 导数的定义是：对于函数y=f(x)，若极限lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h存在，则称此极限为函数f在点x处的导数，记作f'(x)。

b) 导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。

2. a) 由导数的定义可得，对于函数y=ax^n，其中a为常数，n为正整数，则它的导数为f'(x)=nax^(n-1)。

b) 对于常数函数y=c，其中c为常数，则它的导数为f'(x)=0。

c) 对于自然指数函数y=e^x，则它的导数为f'(x)=e^x。

d) 对于对数函数y=log_a(x)，其中a为常数且不等于1，则它的导数为f'(x)=1/(xlna)。

e) 对于三角函数y=sin(x)，则它的导数为f'(x)=cos(x)。

3. a) 利用导数定义证明：对于函数y=kx，其中k为常数，则它的导数为f'(x)=k。

b) 利用导数的四则运算法则证明：对于两个可导函数f(x)和g(x)，则有(f±g)'(x)=f'(x)±g'(x)。

c) 利用导数的链式法则证明：对于复合函数y=f(g(x))，其中函数g(x)可导且函数f(u)可导，则它的导数为f'(g(x))·g'(x)。

4. a) 用导数求函数在一点处的切线方程：对于函数y=f(x)，若知道函数在点x=a处的导数f'(a)，则可求得切线方程为y=f'(a)(x-a)+f(a)。

b) 用导数求函数的极值点：对于函数y=f(x)，若函数在点x=a处的导数f'(a)存在且为零，且函数在该点的导数由正变负或由负变正，则该点为函数的极值点。

第二节：不定积分1. a) 不定积分的定义是：对于函数y=f(x)，若存在函数F(x)，使得F'(x)=f(x)，则称F(x)为函数f(x)的一个原函数，并记作∫f(x)dx=F(x)+C，其中C为常数。

(完整版)2019年电大高数基础形考1-4答案

2019 年电大高数基础形考 1-4 答案《高等数学基础》作业一第 1 章函数第 2 章极限与连续（一）单项选择题 ⒈以下各函数对中，（C ）中的两个函数相等．A.f ( x) ( x) 2 ， g( x)C. f ( x) ln x 3， g (x)⒉设函数 f ( x) 的定义域为 ( A. 坐标原点 C. y 轴x B.f ( x)x 2 ， g (x) x3 ln xD. f ( x)x 2 1x 1 ， g( x)1x,) ，则函数 f ( x) f ( x) 的图形关于（ C ）对称．B. x 轴D.y x⒊以下函数中为奇函数是（ B ）．A. y ln( 1 x 2 )B.yx cos xC. ya xa x D. y ln(1 x)2C ）．⒋以下函数中为基本初等函数是（A. y x 1B. y xC.y x2D.y1 , x 01 ,x 0⒌以下极限存计算不正确的选项是（ D ）．A. lim x 2 1B.lim ln(1 x)x 2x2x 0C.lim sin xD.1lim x sinxxxx⒍当 x 0 时，变量（ C ）是无量小量．A.sin xB.1xxC. x sin1D. ln( x 2)x⒎若函数 f ( x) 在点 x 0 满足（ A ），则 f ( x) 在点 x 0 连续。

A. lim f ( x) f ( x 0 )B. f ( x) 在点 x 0 的某个邻域内有定义x x 0C. lim f ( x)f ( x 0 )D. limf ( x) lim f ( x)x x 0x x 0x x 0（二）填空题x 2 9ln(1 x) 的定义域是x | x 3 ．⒈函数 f ( x)3xx ，则 f (x) x2-x⒉已知函数 f ( x 1) x 2 ．⒊ lim (1 1 )x ．x2xlim(1 1) x lim(11 2 x 1 1) 2 e2x 2x x 2x1⒋若函数 f ( x) (1 x) x , x 0，在 x 0 处连续，则 k e ．x k , x 0⒌函数 y x 1 , x 0的中止点是x 0 ．sin x , x 0⒍若 lim f (x) A，则当x x0时， f ( x) A 称为x x0时的无量小量．x x0（二）计算题⒈设函数f (x) e x , x 0 x , x 0求： f ( 2) , f (0) , f (1) ．解： f 2 2 ， f 0 0， f 1 e1 e2 x 1的定义域．⒉求函数y lg x2x 1x 0lg 2x1 x1或x 0解： y 有意义，要求解得xx 02 x 0则定义域为x | x 0或 x 1 2⒊在半径为 R 的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数．解： DARO h EBC设梯形 ABCD 即为题中要求的梯形，设高为直角三角形AOE 中，利用勾股定理得h，即OE=h，下底CD ＝ 2R AE OA2 OE2 R2 h2则上底＝ 2AE 2 R2h2故 Shg 2R 2 R 2 h 2h R R 2 h 22⒋求 lim sin 3x ．x 0sin 2 xsin3 xsin3 x解： lim sin3 x3x3 ＝ 1 3 3 lim 3xlim 3xx 0sin 2x x 0 sin2x 2xx 0 sin2x 2 1 2 22 x2xx 2⒌求 lim1 ． x1sin( x 1)解： limx 2 1 lim (x 1)(x 1) limx 1 1 1 2x1sin( x 1) x1sin( x 1) x1 sin( x 1)1x 1⒍求 lim tan 3x ．x 0x解：limtan3 xlim sin3 x 1lim sin3 x13 11g3 3x 0xx 0xcos3 x x 03xcos3x1⒎求 lim1 x2 1 ．x 0sin x解： lim1 x2 1 lim ( 1 x2 1)( 1 x 21) limsin x( 1 x 21)sin xx 0x 0x0 ( 1limx0 02sin x1 1 1x 01x 1)(x⒏求 lim (x1 )x ．xx 311)x1 )x 11 (1[(1x ] 1 解： lim( xlim( x ) x limxlimxxx )33x1x3x1 x (1 ) x3 3[(1 x)]x xx 23 ⒐求 lim 6x 8 ．x 4x 25x 4解： limx 26 x 8x4 x 2limx24 22limx 4x25x 4x 4x 4 x 1x 4 x1 4 1 3⒑设函数(x2)2 , x 1f ( x) x , 1 x 1x1,x1谈论 f (x) 的连续性，并写出其连续区间．解：分别对分段点x 1,x 1 处谈论连续性（ 1）x 2x 2 1)sin xe 1 e 4e 3lim f x lim x 1x 1 x 1lim f x lim x 1 1 1 0x 1 x 1所以lim f x lim f x ，即 f x 在 x 1 处不连续x 1 x 1（ 2）lim f x lim x 2 2 1 2 12x 1 x 1lim f x lim x 1x 1 x 1f 1 1所以 lim f x lim f x f 1 即 f x 在 x 1 处连续x 1 x 1由（ 1）（ 2）得f x 在除点 x 1 外均连续故 f x 的连续区间为, 1 U 1,《高等数学基础》作业二第 3 章导数与微分（一）单项选择题⒈设 f (0) 0 且极限 lim f ( x)存在，则 limf ( x)（C ）．x 0 x x 0 xf (0) f (0)A. B.C. f (x)D. 0 cvx⒉设 f (x) 在 x0可导，则 lim f ( x0 2h) f (x0 )h 0 2hA. 2 f ( x0 )B. f (x0)C. 2 f ( x0)D. f ( x0 )⒊设 f (x) e x，则 lim f (1 x) f (1) （Ax 0 xA. eB. 2eC. 1 eD. 1 e2 4⒋设 f ( x) x(x 1)( x 2) (x 99) ，则 f (0)A. 99B. 99（D ）．）．（D ）．C. 99!D.99!⒌以下结论中正确的选项是（C ）．A. 若 f ( x) 在点 x0有极限，则在点x0可导．B. 若 f ( x) 在点 x0连续，则在点x0 可导．C. 若 f ( x) 在点 x0可导，则在点 x0 有极限．D. 若 f ( x) 在点 x0有极限，则在点x0连续．（二）填空题f ( x)x 2sin 1, x 0 ( 0)⒈设函数x ，则 f ．0 , x 0⒉设 f (e x )e 2 x 5e x ，则 df (ln x)2 lnx5 ．dxxx⒊曲线 f ( x) x 1 在 (1, 2) 处的切线斜率是k12⒋曲线 f ( x) πy2 2 )sin x 在 ( , 1) 处的切线方程是x(14224⒌设 y x 2x ，则 y 2x 2 x (1 ln x)⒍设 y1x ln x ，则 yx（三）计算题⒈求以下函数的导数y ：31⑴ y (x x 3)exy(x23)ex3x 2e xx 2 ln xcsc 22⑵ y cot x yx x 2x ln x⑶ yx 2y2x ln x xln xln 2x2 x 2x2 x )⑷ ycos xx( sin x ln 2) 3(cos xx 3yx 41ln x x 2sin x( 2 x) (ln x x 2 ) cos x⑸ yyxsin 2 xsin x⑹ yx 4sin x ln x y4x 3 sin x cosxln xx23xx x 2 )3xln 3⑺ ysin x(cos x 2x) (sin x3xy32x⑻ ye x tan x ln xye x tan xe x x 1y ：cos 2 x⒉求以下函数的导数⑴y e1 x 2y e 1 x 2x1 x 2⑵ y ln cos x 33sin x223y3 3x 3x tan x⑶ yx x x771y x8y8x8⑷ y3x x1 21y1 ( x x2 ) 3(1 1x 2 )3 2 ⑸ ycos 2 e xye x sin( 2e x)2⑹ycosexyx 2x 22xe sin e⑺ ysin n x cos nxyn sin n 1 x cos x cosnx n sin n x sin( nx)⑻y5sin x 2y2x ln 5cosx 2 sin x25⑼yesin 2 xysin 2 xsin 2xe⑽yx x2ex2yx x2(xx22xln x) 2xe⑾yxe xee xyx e x( e xe x ln x ) e e x e xx⒊在以下方程中，是由方程确定的函数，求 ⑴ y cos xe 2 yy cos x y sin x2e 2 y yyy sin xcos x 2e 2 y⑵ y cos y ln xy sin y.y ln x cos y.1xycos ysin y ln x)x(1⑶ 2xsin yx 2y2 yx x2 y 2 sin y2 y (2 x cos yy：x 2 )2yx 2sin yy 2y 2y2xy 2y sin y2xy 2 cos y x 2⑷ y x ln y yy 1yyyy 1⑸ ln xe yy 21 e y y2 yy x1 yx(2 ye y)⑹ y 2 1 e x sin y2yye x cos y. yxye x sin y2 y e xcos y⑺ e ye x y 3e y y e x 3y 2 yye x 3y 2 ey⑻ y5x2 yy5x ln 5 y 2 y ln 2 5x ln 5 y1 2 y ln 2⒋求以下函数的微分 d y ：⑴ y cot x cscxdy (1 cos x )dxcos 2 x sin 2 x ⑵ yln xsin x1sin x ln x cosx dyx 2 dxsin x⑶ y arcsin1x1 xdy1(1 x) (1 x) 1 x 21 2 dx1 x(1 x) 2dxx(1 x) 1 ( ) 21 x⑷ y31x1 x两边对数得：1 ln(1 x ) ln(1 ) ln yx3y111y (x1 )3 1 xy1 3 1 x ( 1 1 1 )3 1 x 1 xx⑸ y sin 2 e xdyx x3xsin(2e xx2 sin e e e dx )e dx⑹ ytan e x 3dy 2 x3 3x 2dx 3x 2 e x32sec e sec xdx⒌求以下函数的二阶导数：⑴ y x ln xy 1 ln x y1 x⑵ y x sin xy yx cos x x sin xsin x2cosx⑶ y arctanxy 1x 21 y2x(1 x 2)2⑷ y 3x2y2x3x 2ln 3y4x 23x 2ln 23 2 ln 3 3x 2（四）证明题设 f (x) 是可导的奇函数，试证 f ( x) 是偶函数．证：因为 f(x) 是奇函数所以两边导数得： f (x)( 1)所以 f (x) 是偶函数。

高数上册习题4-1,4-2,4-3部分习题解答

习题 4-2 一阶微分方程
1．求下列微分方程的通解：（1） ydx xdy 0 ；（3） y e y sin x ；解：（1）原方程可变形为（ 2） (1 y 2 )dx xy(1 x 2 )dy 0 ；（4） y
1 y2 ( x 1) ． 1 x2
（4）原方程可变形为
1 1 ）， dy dx （这是一个“可分离变量的微分方程” 2 1 y 1 x2
两边同时取不定积分，得

1 1 dy dx arcsin y arcsin x C arcsin y arcsin x C ， 2 1 y 1 x2
1 1
（这是一个“ x 是因变量 y 是自变量的一阶齐次线性微分方程” ）因为 e
y ln y dy
e
ln y d (ln y )
e ln ln y C
eC dx 1 1 ，则方程，得 x0 两边同乘 ln y dy y ln y ln y
1 1 dx 1 x 0 2 ln y dy y ln y ln y
y2 x2 故 xy C 即为所求通解 . 2 2
3．求 y 10 x y 满足初始条件 y
x 0
1 的特解。
解：原方程可变形为 10 y dy 10 x dx （这是一个“可分离变量的微分方程” ），两边同时取不定积分，得 10 y dy 10 x dx 10 y 10 x C ，又y

1 1 1 d (1 2u u2 ) 2 dx ln 1 2u u2 ln 2 ln C1 2 1 2u u x x
C1 C1 2y y 1 2 2 ( y x )2 2 x 2 C (C C1 ) 2 x x x x dy x y ( x y )dy ( x y )dx xdy ydy xdx ydx dx x y

XXX《高数基础形考》1-4答案

XXX《高数基础形考》1-4答案2020年XXX《高等数学答案》2020年XXX《高等数学》基础形考1-4答案，高等数学基础作业一第1章函数，第2章极限与连续。

一）单项选择题1.下列各函数对中，（C）中的两个函数相等。

A。

f(x) = x^2.g(x) = xB。

f(x) = x^2.g(x) = x/(x^2 - 1)C。

f(x) = ln(x)。

g(x) = 3ln(x)D。

f(x) = x+1.g(x) = 3/(x-1)2.设函数f(x)的定义域为(-∞。

+∞)，则函数f(x) + f(-x)的图形关于（C）对称。

A。

坐标原点B。

x轴C。

y轴D。

y=x3.下列函数中为奇函数是（B）。

A。

y=ln(1+x^2)B。

y=xcos(x)C。

y=ax+a^-xD。

y=ln(1+x)/24.下列函数中为基本初等函数是（C）。

A。

y=x+1B。

y=-xC。

y=x^2D。

y=|x|5.下列极限中计算不正确的是（D）。

A。

lim(x^2/(x^2+2x)) = 1B。

lim(ln(1+x)/x^2) = 0C。

lim(sin(x)/x) = 1D。

lim(xsin(1/x)) = 06.当x→0时，变量（C）是无穷小量。

A。

1/sin(x)B。

x/xC。

xsin(x)D。

ln(x+2)7.若函数f(x)在点x满足（A），则f(x)在点x连续。

A。

lim(x→x)(f(x) = f(x))B。

f(x)在点x的某个邻域内有定义C。

lim(x→x)(f(x) = f(x))D。

lim(x→x)(f(x)) = lim(x→x)(f(x))二）填空题1.函数f(x) = (x^2-9)/(x-3) + ln(1+x)的定义域是{x|x>3}。

2.已知函数f(x+1) = x^2 + x，则f(x) = x^2-x。

3.lim(x→∞)((1+x)/(2x))^x = e^(1/2)。

4.若函数f(x) = {x(1+x)。

高数(同济)第五版习题答案1-6

习题1-61. 计算下列极限:(1)xx x ωsin lim 0→; 解 ωωωωω==→→x x xx x x sin lim sin lim 00. (2)xx x 3tan lim 0→; 解 33cos 133sin lim 33tan lim 00=⋅=→→xx x x x x x . (3)xx x 5sin 2sin lim 0→; 解 52525sin 522sin lim 5sin 2sin lim 00=⋅⋅=→→x x x x x x x x . (4)x x x cot lim 0→; 解 1cos lim sin lim cos sin lim cot lim 0000=⋅=⋅=→→→→x x x x x x x x x x x x . (5)xx x x sin 2cos 1lim 0-→; 解法一 ()2sin lim 2sin 2lim 2cos1lim sin 2cos 1lim 20220200===-=-→→→→xx x x x x x x x x x x x .解法二 2sin lim 2sin sin 2lim sin 2cos 1lim 0200===-→→→x x x x x x x x x x x . (6)n n n x 2sin 2lim ∞→(x 为不等于零的常数). 解 x x xxx nn n n n n =⋅=∞→∞→22sin lim 2sin 2lim . 2. 计算下列极限:(1)x x x 10)1(lim -→;解 {}11)(10)1()(1010)](1[lim )](1[lim )1(lim ---→--→→=-+=-+=-e x x x x x x x x x . (2)x x x 10)21(lim +→; 解 []22210221010)21(lim )21(lim )21(lim e x x x x x x x x x =+=+=+→⋅→→.(3)x x xx 2)1(lim +∞→; 解 []222)11(lim )1(lim e xx x xx x x =+=+∞→∞→.(4)kx x x)11(lim -∞→(k 为正整数). 解 k k x x kx x e xx ---∞→∞→=-+=-))(()11(lim )11(lim . 3. 根据函数极限的定义, 证明极限存在的准则I '. 解4. 利用极限存在准则证明: (1)111lim =+∞→nn ; 证明因为nn 11111+<+<, 而 11lim =∞→n 且1)11(lim =+∞→n n , 由极限存在准则I, 111lim =+∞→nn . (2)()11 211lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→πππn n n n n n ; 证明因为()πππππ+<++⋅⋅⋅++++<+22222221 211n n n n n n n n n n , 而 1lim 22=+∞→πn n n n , 1lim 22=+∞→πn n n , 所以 ()11 211lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→πππn n n n n n . (3)数列2, 22+, 222++, ⋅ ⋅ ⋅ 的极限存在; 证明 21=x , n n x x +=+21(n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅). 先证明数列{x n }有界. 当n =1时221<=x , 假定n =k 时x k <2, 当n =k +1时,22221=+<+=+k k x x ,所以x n <2(n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), 即数列{x n }有界.再证明数列单调增.nn n nn n n n n n n n x x x x x x x x x x x x +++--=++-+=-+=-+2)1)(2(22221,而x n -2<0, x n +1>0, 所以x n +1-x n >0, 即数列{x n }单调增. 因为数列{x n }单调增加有上界, 所以此数列是有极限的.(4)11lim 0=+→n x x ; 证明当|x |≤1时, 则有1+x ≤1+|x |≤(1+|x |)n ,1+x ≥1-|x |≥(1-|x |)n ,从而有 ||11||1x x x n +≤+≤-. 因为 1|)|1(lim |)|1(lim 00=+=-→→x x x x , 根据夹逼准则, 有11lim 0=+→n x x . (5)[]11lim 0=+→xx x . 证明因为[]x x x 1111≤<-, 所以[]111≤<-xx x . 又因为11lim )1(lim 00==-++→→x x x , 根据夹逼准则, 有[]11lim 0=+→x x x .。

国家开放大学《高数基础形考》1-4答案

2020年国家开放大学《高等数学》基础形考1-4答案《高等数学基础》作业一第1章函数第2章极限与连续（一）单项选择题⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等． A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =，x x g =)(C. 3ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，11)(2--=x x x g⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称．A. 坐标原点B. x 轴C. y 轴D. x y = ⒊下列函数中为奇函数是（B ）．A. )1ln(2x y +=B. x x y cos =C. 2x x a a y -+= D. )1ln(x y +=⒋下列函数中为基本初等函数是（C ）． A. 1+=x y B. x y -= C. 2x y = D. ⎩⎨⎧≥<-=0,10,1x x y ⒌下列极限存计算不正确的是（D ）．A. 12lim22=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x xC. 0sin lim=∞→x x x D. 01sin lim =∞→xx x ⒍当0→x 时，变量（C ）是无穷小量． A.xxsin B. x 1C. xx 1sin D. 2)ln(+x ⒎若函数)(x f 在点0x 满足（A ），则)(x f 在点0x 连续。

A. )()(lim 00x f x f xx =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义C. )()(lim 00x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0x f x f x x x x -+→→=（二）填空题 ⒈函数)1ln(39)(2x x x x f ++--=的定义域是 {}|3x x >．⒉已知函数x x x f +=+2)1(，则=)(x f x 2-x ．⒊=+∞→xx x)211(lim 1122211lim(1)lim(1)22x x x x e x x ⨯→∞→∞+=+= ⒋若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=0,0,)1()(1x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k e ． ⒌函数⎩⎨⎧≤>+=0,sin 0,1x x x x y 的间断点是 0x =．⒍若A x f xx =→)(lim 0，则当0x x →时，A x f -)(称为 x →x 0时的无穷小量.（二）计算题⒈设函数 ⎩⎨⎧≤>=0,0,e )(x x x x f x 求：)1(,)0(,)2(f f f -．解：()22f -=-，()00f =，()11f e e == ⒉求函数21lgx y x-=的定义域．解：21lg x y x -=有意义，要求21x x x -⎧>⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩解得1020x x x ⎧⎪⎪><⎨⎪≠⎪⎩或则定义域为1|02x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或⒊在半径为R 的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数．解：C设梯形ABCD 即为题中要求的梯形，设高为h ，即OE=h ，下底CD ＝2R直角三角形AOE 中，利用勾股定理得AE ==则上底＝2AE =故((222hS R R h R =+=+ ⒋求xxx 2sin 3sin lim0→．解：000sin3sin33sin3333lim lim lim sin 2sin 2sin 22222x x x x xxx x x x x x xx x→→→⨯==⨯⨯＝133122⨯= ⒌求)1sin(1lim 21+--→x x x ．解：21111(1)(1)111lim lim lim 2sin(1)sin(1)sin(1)11xx x x x x x x x x x →-→-→---+---====-++++ ⒍求xxx 3tan lim0→．解：000tan3sin31sin311limlim lim 3133cos33cos31x x x x x x x x x x x →→→==⨯⨯=⨯⨯=⒎求xx x sin11lim 20-+→．解：20001lim sin x x x x→→→-== ()00lim 0sin 1111)x xx x→===+⨯⒏求xx x x )31(lim +-∞→．解：1143331111(1)[(1)]1lim()lim()lim lim 33311(1)[(1)]3x x x x x x x x x x x e x x x e x e x x x----→∞→∞→∞→∞--+--=====++++ ⒐求4586lim 224+-+-→x x x x x ．解：()()()()2244442682422lim lim lim 54411413x x x x x x x x x x x x x →→→---+--====-+---- ⒑设函数⎪⎩⎪⎨⎧-<+≤≤->-=1,111,1,)2()(2x x x x x x x f讨论)(x f 的连续性，并写出其连续区间．解：分别对分段点1,1x x =-=处讨论连续性（1）()()()1111lim lim 1lim lim 1110x x x x f x x f x x →-+→-+→--→--==-=+=-+=所以()()11lim lim x x f x f x →-+→--≠，即()f x 在1x =-处不连续（2）()()()()()221111lim lim 2121lim lim 111x x x x f x x f x x f →+→+→-→-=-=-====所以()()()11lim lim 1x x f x f x f →+→-==即()f x 在1x =处连续由（1）（2）得()f x 在除点1x =-外均连续故()f x 的连续区间为()(),11,-∞--+∞《高等数学基础》作业二第3章导数与微分（一）单项选择题 ⒈设0)0(=f 且极限x x f x )(lim→存在，则=→xx f x )(lim 0（ C ）． A. )0(f B. )0(f ' C. )(x f ' D. 0 ⒉设)(x f 在0x 可导，则=--→hx f h x f h 2)()2(lim 000（ D ）．A. )(20x f '-B. )(0x f 'C. )(20x f 'D. )(0x f '- ⒊设x x f e )(=，则=∆-∆+→∆xf x f x )1()1(lim（ A ）． A. e B. e 2 C.e 21 D. e 41 ⒋设)99()2)(1()(---=x x x x x f ，则=')0(f （ D ）． A. 99 B. 99- C. !99 D. !99- ⒌下列结论中正确的是（ C ）．A. 若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 可导．B. 若)(x f 在点0x 连续，则在点0x 可导．C. 若)(x f 在点0x 可导，则在点0x 有极限．D. 若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 连续．（二）填空题⒈设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x x x x f ，则=')0(f 0 ． ⒉设x x x f e 5e )e (2+=，则=x x f d )(ln d xx x 5ln 2+． ⒊曲线1)(+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是 21=k ⒋曲线x x f sin )(=在)1,4π(处的切线方程是 )41(2222π-==x y ⒌设x x y 2=，则 ='y )ln 1(22x x x + ⒍设x x y ln =，则 =''y x1（三）计算题⒈求下列函数的导数y '： ⑴x x x y e )3(+=解：x xe x e x y 212323)3(++='⑵x x x y ln cot 2+= 解：x x x x y ln 2csc 2++-='⑶xx y ln 2=解：xxx x y 2ln ln 2+=' ⑷32cos xx y x+= 解：4)2(cos 3)2ln 2sin (x x x x y x x +-+-='⑸xx x y sin ln 2-=解：xxx x x x x y 22sin cos )(ln )21(sin ---='⑹x x x y ln sin 4-= 解：x x xxx y ln cos sin 43--=' ⑺xx x y 3sin 2+=解：xx x x x x x y 2233ln 3)(sin )2(cos 3+-+='⑻x x y x ln tan e +=解：xx e x e y x x1cos tan 2++='⒉求下列函数的导数y '： ⑴21ex y -=解：2112xx ey x -='-⑵3cos ln x y =解：32233tan 33cos sin x x x xx y -=-=' ⑶x x x y =解：87x y = 8187-='x y⑷3x x y +=解：)211()(31213221--++='x x x y⑸x y e cos 2=解：)2sin(xxe e y -=' ⑹2e cos x y=解：22sin 2xx e xe y -='⑺nx x y n cos sin =解：)sin(sin cos cos sin 1nx x n nx x x n y n n -='- ⑻2sin 5x y =解：2sin 25cos 5ln 2x x x y ='⑼xy 2sin e=解：xxey 2sin 2sin ='⑽22ex x x y +=解：222)ln 2(x x xex x x x y ++='⑾xxx y e e e+=解：x e x x e e e x e xe xy x x++=')ln ( ⒊在下列方程中，y y x =()是由方程确定的函数，求：⑴y x y 2e cos =解：y e x y x y y '=-'22sin cosyex xy y 22cos sin -=' ⑵x y y ln cos =解：xy x y y y 1.cos ln .sin +'=')ln sin 1(cos x y x yy +='⑶yx y x 2sin 2=解：222sin 2.cos 2y y x yx y y y x '-=+' y yyxy x y x y sin 22)cos 2(222-=+'2020年国家开放大学《高等数学答案》22cos 2sin 22x y xy yy xy y +-='⑷y x y ln += 解：1+'='yy y 1-='y y y ⑸2e ln y x y =+ 解：y y y e xy '='+21)2(1y e y x y -='⑹y y x sin e 12=+解：x x e y y y e y y .sin .cos 2+'='ye y ye y x x cos 2sin -=' ⑺3e e y x y -= 解：y y e y e x y '-='2323y ee y y x+='⑻y x y 25+=解：2ln 25ln 5y x y y '+='2ln 215ln 5y x y -='⒋求下列函数的微分y d ： ⑴x x y csc cot += 解：dx xxx dy )sin cos cos 1(22--= ⑵xxy sin ln =解：dx xx x x x dy 2sin cos ln sin 1-= ⑶xxy +-=11arcsin 解：dx x x x dx x x x xx dy 2222)1(11)1()1()1()11(11++-=+--+-+--=⑷311xxy +-= 解：两边对数得：[])1ln()1ln(31ln x x y +--=)1111(31xx y y +---=' )1111(11313xx x x y ++-+--=' ⑸x y e sin 2=解：dx e e dx e e e dy x x x x x )2sin(sin 23== ⑹3e tan x y =xdx e x dx x e dy x x 2222sec 33sec 33==⒌求下列函数的二阶导数： ⑴x x y ln = 解：x y ln 1=='xy 1='' ⑵x x y sin = 解：x x x y sin cos +='x x x y cos 2sin +-=''⑶x y arctan =解：211x y +=' 22)1(2x xy +-='' ⑷23x y = 解：3ln 322x x y =' 2233ln 23ln 3422x x x y ⋅+=''（四）证明题设)(x f 是可导的奇函数，试证)(x f '是偶函数．证：因为f(x)是奇函数所以)()(x f x f -=- 两边导数得：)()()()1)((x f x f x f x f =-'⇒'-=--' 所以)(x f '是偶函数。

___《高等数学》第五版下册习题答案

___《高等数学》第五版下册习题答案以下是练8-1的答案：1.对于第一题，我们可以使用分部积分法来求解。

具体来说，我们可以将被积函数拆分成两个部分，一部分是三角函数，另一部分是指数函数。

然后，我们可以分别对这两个部分进行积分，并利用分部积分公式将它们结合起来，最终得到原函数的表达式。

2.第二题是一个比较简单的求导题。

我们只需要利用链式法则和乘法法则，对给定的函数进行求导即可。

需要注意的是，有些项可能需要使用指数函数的求导公式来进行求导。

3.第三题是一个求极限的题目。

我们可以利用洛必达法则来求解。

具体来说，我们可以将被积函数化为一个分式，然后对分子和分母分别求导，最后利用洛必达法则求出极限的值。

4.第四题是一个求解微分方程的问题。

我们可以先将微分方程化为标准形式，然后利用分离变量法或者其他的求解方法来求解。

需要注意的是，有些微分方程可能需要使用变量代换或者其他的技巧来进行求解。

5.第五题是一个求解曲线长度的问题。

我们可以利用弧微分公式来求解。

具体来说，我们可以将曲线分成若干小段，然后对每一小段进行求解，最后将它们相加得到曲线的长度。

需要注意的是，有些曲线可能需要使用参数方程或者其他的表示方法来进行求解。

练9-2：本题要求证明一个三次方程的根的关系式。

先根据题目中给出的条件，将三次方程化为标准形式，然后利用___定理求出三个根的和、积，再利用___引理求出其中两个根的积的模，最后代入关系式中验证即可。

练9-3：本题要求证明一个函数的连续性。

先根据定义分别讨论左极限和右极限是否相等，若相等，则证明函数在该点处连续。

若不相等，则需要进一步讨论函数在该点处是否有间断点，若有，则证明函数在该点处不连续；若无，则证明函数在该点处跳跃，但仍是连续的。

练9-4：本题要求求出一个定积分的值。

首先根据积分的定义，将被积函数分解为正负两部分，然后利用线性性质将定积分分解为两个简单积分的和，再利用换元法或分部积分法求解即可得到最终结果。

高数一第1-4套

x0 x
x x0 x0
12. 函数在第二类间断点处两个单侧极限都存在
13. 函数在所有连续点都可导，不可导的点也不连续。
14. 如果f(x) ln x,那么[f(3)] = 1 3
15. 求此极限可使用洛必达法则：lim x sin x lim1cos x 1
x0
x0
16. 闭区间上连续函数的最大值可能是该区间上的极大值
C．3
D．4
3. y (2e)x,则y
A． (2e)x
B． (2e)x ln 2e
4. 函数y | x | 在点x 0处
A．可导不连续
B．连续不可导
5. f (x0 ) 0,则x0是
A．拐点
B．驻点
6. 以下哪个极限可用洛必达法则计算
A． lim x sin x x
B． lim xex x
C． (2e)x
一、判断题
高数一第 1 套
1. 计算此极限可用如下算法是正确的：lim 1 sin x lim 1 lim sin x
x x
x x x
2. 连续函数在开区间上必然有最大值
3. 连续一定可导，可导未必连续
4. y f (x)的自变量是x,它的导函数y的自变量则是y
5.
求此极限可两次使用洛必达法则：lim x0
a
a
二、选择题
11.
以下哪个是收敛数列（1） xn
1 en
（2）
xn
1 (1)n
（3）
xn
n2 1 （4） n 1
xn
1 cos n
A．1
B．2
C．3
D．4
12. 以下哪个函数在[0,1]连续
(1).y cos x (2).y ln x 2

高数第五版答案1-5

1 2 3 ( n 1) n2
n
;
( n 1) n
解
n
lim
lim
n
2 n2

1 n 1 1 lim 2 n n 2
.
(13) lim 解 lim
( n 1)( n 2 )( n 3) 5n 3
n
;
1 5
( n 1)( n 2 )( n 3) 5n 3
x1
解
lim (
x1
(1 x )( x 2 ) 1 3 1 x x2 3 x2 ) lim lim lim 1 . x 1 (1 x )(1 x x 2 ) x 1 (1 x )(1 x x 2 ) x1 1 x x 2 1 x 1 x3
;
4x3 2x2 x 4x2 2x 1 1 lim . 解 lim 2
x 0 x 0
3x 2
2
(5) lim
( x h)2 x 2 h
h 0
;
lim x 2 2 hx h 2 x 2 lim ( 2 x h ) 2 x h 0 h
解 lim
( x h)2 x 2 h
h 0
h 0
.
1 1 (6) lim ( 2 2 ) ;
x
x
x
1 1 1 1 解 lim ( 2 2 ) 2 lim lim 2 2 .
xHale Waihona Puke xxx
x
x
x
(7) lim
x
x 2 1 ; 2 x 2 x 1
1 1 x2
解

高等数学下(同济大学第五版)课后习题答案解析

word 完美格式第八章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念本节主要概念，定理，公式和重要结论理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域；理解二重极限概念，注意A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00是点),(y x 以任何方式趋于),(00y x ;注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。

习题 8－11.求下列函数表达式:(1)xy y x y x f +=),(，求),(y x xy f +解：(,)()x yxy f xy x y xyx y ++=++(2)22),(y x y x y x f -=-+，求),(y x f解：(,)()()(,)f x y x y x y x y f x y xy +-=-+⇒= 2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形: (1)221)1ln(yx x y x z --+-+=解：22221011010x y x y x y x y x +->⎧+>⎧⎪-->⇒⎨⎨+<⎩⎪≥⎩(2))12ln(2+-=y x z 解：2210x y -+>(3) |)|||1ln(),(y x y x f --= 解：1||||0||||1x y x y -->⇒+< 3.求下列极限:(1)22)1,0(),(1limy x xyx y x ++-→解：22(,)(0,1)1lim1x y x xyx y →-+=+ (2)xy xy y x 42lim)0,0(),(+-→解一：(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)18lim2lim2lim 4x y x y x y xyxy →→→=-=-=-(3)yxy x y x )sin()2(lim )0,1(),(+→(4)2222011limy x y x y x +-+→→解一：(,)(1,0)(,)(1,0)sin()sin()lim (2)lim [(2)]3x y x y xy xy x x x y xy→→+=+=解二：(,)(1,0)(,)(1,0)(,)(1,0)sin()lim (2)lim (2)lim (2)3x y x y x y xy xyx x x x y y →→→+=+=+= (4)22220011limyx y x y x +-+→→解一：2222222200000011lim lim()022x x x y y y x y y x x y x y →→→→→→==⋅=++解二：222222000000x x x y y y y x y →→→→→→===+ 4.证明下列函数当)0,0(),(→y x 时极限不存在:(1)2222),(yx y x y x f +-=解：222222222222001lim lim 1x x y kxx y x k x k x y x k x k →→=---==+++ (2)22222)(),(y x y x y x y x f -+= 解：224222400lim lim 1()x x y x x y x x y x y x →→===+- 2222200lim 0()x y x y x y x y →==+- 5.下列函数在何处是间断的? (1) yx z -=1解：x y =(2)x y xy z 2222-+=解：22y x =第二节偏导数word 完美格式本节主要概念，定理，公式和重要结论1.偏导数：设),(y x f z =在),(00y x 的某一邻域有定义，则xy x f y x x f y x f x x ∆∆∆),(),(lim),(0000000-+=→， yy x f y y x f y x f y y ∆∆∆),(),(lim ),(0000000-+=→. ),(00y x f x 的几何意义为曲线⎩⎨⎧==0),(y y y x f z 在点)),(,,(0000y x f y x M 处的切线对x 轴的斜率.),(y x f 在任意点),(y x 处的偏导数),(y x f x 、),(y x f y 称为偏导函数，简称偏导数.求),(y x f x 时，只需把y 视为常数，对x 求导即可. 2.高阶偏导数),(y x f z =的偏导数),(),,(y x f y x f y x 的偏导数称为二阶偏导数，二阶偏导数的偏导数称为三阶偏导数，如此类推. 二阶偏导数依求导次序不同，有如下4个：xy zy x z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂222222,,,，其中后两个称为混合偏导数. 若两个混合偏导数皆为连续函数，则它们相等，即可交换求偏导数的次序.高阶混合偏导数也有类似结果.习题 8－21.求下列函数的一阶偏导数:(1)xy y xz +=解：21,z z xy x x y y y∂∂=+=-+∂∂ (2)xyz arctan =解：2222222111,1()1()z y y z x y y x x x y y x x y x x∂--∂=⋅==⋅=∂+∂+++ (3))ln(22y x x z ++=解：(1z x ∂=+=∂z y ∂==∂ (4))ln(222z y x u ++=解：222222222222,,u x u y u z x x y z y x y z z x y z∂∂∂===∂++∂++∂++ (5)⎰=yzxzt dt e u 2解：22222222,,x z y z y z x z u u u ze ze ye xe x y z∂∂∂=-==-∂∂∂ (6)x y y x z cos sin = 解：2211cos cos sin sin ,cos cos sin sin z x y y x y u x x y x y x y y x x y x y y y x x y x ∂∂=+=--∂∂ (7)y x xy z ++=)1( (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：(1)[ln(1)],(1)[ln(1)]11x y x y z x y u x y xy xy y xy xy x x xy y xy ++∂+∂+=+++=+++∂+∂+ (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：[cos()sin()],[cos()sin()]u u e e θϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕ++∂∂=---=-+-∂∂ 2.求下列函数在指定点处的一阶偏导数: （1）yxy x z arcsin)1(2-+=，求)1,0(x z 解：20(0,1)lim0x x x z x∆→∆==∆ （2）xyx e x z yarctan)1(2-+=，求)0,1(y z 解：01(1,0)lim1y y y e z y∆∆→-==-∆ 3.求下列函数的高阶偏导数:(1))ln(xy x z =，求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z∂∂∂2解：ln()1,z z x xy x y y∂∂=+=∂∂ 22222211,,z z x z x x y y x y y∂∂∂==-=∂∂∂∂ (2))2(cos 2y x z +=，求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z ∂∂∂2，x y z ∂∂∂2解：2cos(2)sin(2)sin 2(2)z x y x y x y x∂=-++=-+∂word 完美格式4cos(2)sin(2)2sin 2(2)zx y x y x y y∂=-++=-+∂ 222222cos 2(2),8cos 2(2),4cos 2(2)z z zx y x y x y x y x y∂∂∂=-+=-+=-+∂∂∂∂ (3)⎰+=22 y x xtdt e z ，求22x z ∂∂， yx z∂∂∂2解：22222222222,2(12),4x y x x y x x y z z z xe e x e e xye x x x y+++∂∂∂=-=+-=∂∂∂∂ 4.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0 00),(22222233y x y x y x xy y x y x f ，求)0,0(xy f 和)0,0(yx f .解：00(0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x ∆→∆→∆--===∆∆，00(0,)(0,0)00(0,0)lim lim 0y y y f y f f y y ∆→∆→∆--===∆∆4224222224(,),0()x x x y y f x y y x y x y +-=+≠+ 4224222224(,),0()y x x y y f x y x x y x y --=+≠+ 54000(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1x x xy y y y f y f y f y y∆→∆→-∆-∆-∆===-∆∆54000(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x yx x x x f x f x f x x ∆→∆→∆-∆-∆===∆∆5.设)11(y x e z +-=，求证z y z y x z x222=∂∂+∂∂ 解: 1111()()2211,x y x y z z e ex x y y-+-+∂∂==∂∂ 111111()()()2222221122x yx y x y z z x y x e y e e z x y x y -+-+-+∂∂+=⋅+⋅==∂∂ 6.设222z y x r ++=，证明r zr y r x r 2222222=∂∂+∂∂+∂∂证明: 22222223,r x r x r r x r r x x r x r x r r r ∂--∂∂-∂=====∂∂由轮换对称性, 2222222323,r r y r r z y r z r∂-∂-==∂∂ 222222222223321r r r r x y z r x y z r r r∂∂∂---++===∂∂∂ 第三节全微分本节主要概念，定理，公式和重要结论1.全微分的定义若函数),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量z ∆表示成22),(y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ则称),(y x f z =在点),(00y x 可微，并称Bdy Adx y B x A +=+∆∆为),(y x f z =在点),(00y x 的全微分，记作dz .2.可微的必要条件：若),(y x f z =在),(00y x 可微，则（1）),(y x f 在),(00y x 处连续；（2）),(y x f 在),(00y x 处可偏导，且),(),,(0000y x f B y x f A y x ==，从而dy y x f dx y x f dz y x ),(),(0000+=.一般地，对于区域D 内可微函数， dy y x f dx y x f dz y x ),(),(+=.3.可微的充分条件：若),(y x f z =在),(00y x 的某邻域内可偏导，且偏导数在),(00y x 处连续，则),(y x f z =在),(00y x 可微。

同济第五版高数习题答案

习题3−11. 验证罗尔定理对函数y =ln sin x 在区间上的正确性.解因为y =ln sin x 在区间上连续, 在内可导, 且, 所以由罗尔定理知, 至少存在一点 , 使得y ′(ξ)=cot ξ=0. 由y ′(x )=cot x =0得 .因此确有, 使y ′(ξ)=cot ξ=0.2. 验证拉格朗日中值定理对函数y =4x 3−5x 2+x −2在区间[0, 1]上的正确性.解因为y =4x 3−5x 2+x −2在区间[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导, 由拉格朗日中值定理知, 至少存在一点ξ∈(0, 1), 使 . 由y ′(x )=12x 2−10x +1=0得 .因此确有, 使.3. 对函数f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间上验证柯西中值定理的正确性. 解因为f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间上连续, 在可导, 且F ′(x )=1−sin x 在内不为0, 所以由柯西中值定理知至少存在一点 , 使得.令 , 即 .化简得 . 易证 , 所以在内有解,即确实存在, 使得.4. 试证明对函数y =px 2+qx +r 应用拉格朗日中值定理时所求得的点总是位于区间的正中间.证明因为函数y =px 2+qx +r 在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 由拉格朗日中值定理, 至少存在一点ξ∈(a , b ), 使得y (b )−y (a )=y ′(ξ)(b −a ), 即 (pb 2+qb +r )−(pa 2+qa +r )=(2p ξ+q )(b −a ). 化间上式得p (b −a )(b +a )=2p ξ (b −a ),故 .5. 不用求出函数f (x )=(x −1)(x −2)(x −3)(x −4)的导数，说明方程f ′(x )=0有几个实根, 并指出它们所在的区间.解由于f (x )在[1, 2]上连续, 在(1, 2)内可导, 且f (1)=f (2)=0, 所以由罗尔定理可知, 存在ξ1∈(1, 2), 使f ′(ξ1)=0. 同理存在ξ2∈(2, 3), 使f ′(ξ2)=0; 存在ξ 3∈(3, 4), 使f ′(ξ 3)=0. 显然ξ1、ξ2、ξ3都是方程f ′(x )=0的根. 注意到方程f ′(x )=0是三次方程, 它至多能有三个实根, 现已发现它的三个实根, 故它们也就是方程f ′(x )=0的全部根. 6. 证明恒等式: (−1≤x ≤1). 证明设f (x )= arcsin x +arccos x . 因为, 所以f (x )≡C , 其中C 是一常数. 因此 , 即.7. 若方程a 0x n +a 1xn −1+ ⋅ ⋅ ⋅ + an −1x =0有一个正根x 0, 证明方程a 0nxn −1+a 1(n −1)xn −2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n −1=0必有一个小于x 0的正根. 证明设F (x )=a 0x n+a 1xn −1+ ⋅ ⋅ ⋅ + a n −1x , 由于F (x )在[0, x 0]上连续, 在(0, x 0)内可导, 且F (0)=F (x 0)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ∈(0, x 0), 使F ′(ξ)=0, 即方程 a 0nxn −1+a 1(n −1)xn −2+ ⋅ ⋅ ⋅ +an −1=0必有一个小于x 0的正根.8. 若函数f (x )在(a , b )内具有二阶导数, 且f (x 1)=f (x 2)=f (x 3), 其中a <x 1<x 2<x 3<b , 证明:在(x 1, x 3)内至少有一点ξ, 使得f ′′(ξ)=0.证明由于f (x )在[x 1, x 2]上连续, 在(x 1, x 2)内可导, 且f (x 1)=f (x 2), 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ1∈(x 1, x 2), 使f ′(ξ1)=0. 同理存在一点ξ2∈(x 2, x 3), 使f ′(ξ2)=0.又由于f ′(x )在[ξ1, ξ2]上连续, 在(ξ1, ξ2)内可导, 且f ′(ξ1)=f ′(ξ2)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ∈(ξ1, ξ2)⊂(x 1, x 3), 使f ′′(ξ )=0.9. 设a >b >0, n >1, 证明:nbn −1(a −b )<a n −b n <nan −1(a −b ) .证明设f (x )=x n, 则f (x )在[b , a ]上连续, 在(b , a )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(b , a ), 使f (a )−f (b )=f ′(ξ)(a −b ), 即a n−b n=n ξ n −1(a −b ).因为 nbn −1(a −b )<n ξn −1(a −b )< nan −1(a −b ),所以 nb n −1(a −b )<a n−b n< na n −1(a −b ) .10. 设a >b >0, 证明:.证明设f (x )=ln x , 则f (x )在区间[b , a ]上连续, 在区间(b , a )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(b , a ), 使f (a )−f (b )=f ′(ξ)(a −b ), 即 .因为b <ξ<a , 所以, 即 .11. 证明下列不等式:(1)|arctan a −arctan b |≤|a −b |;(2)当x >1时, e x>e ⋅x .证明 (1)设f (x )=arctan x , 则f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(a , b ), 使f (b )−f (a )=f ′(ξ)(b −a ), 即 ,所以, 即|arctan a −arctan b |≤|a −b |.(2)设f (x )=e x, 则f (x )在区间[1, x ]上连续, 在区间(1, x )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(1, x ), 使f (x )−f (1)=f ′(ξ)(x −1), 即 e x−e =e ξ(x −1). 因为ξ >1, 所以e x−e =e ξ(x −1)>e (x −1), 即e x >e ⋅x . 12. 证明方程x 5+x −1=0只有一个正根.证明设f (x )=x 5+x −1, 则f (x )是[0, +∞)内的连续函数.因为f (0)=−1, f (1)=1, f (0)f (1)<0, 所以函数在(0, 1)内至少有一个零点, 即x 5+x −1=0至少有一个正根.假如方程至少有两个正根, 则由罗尔定理, f ′(x )存在零点, 但f ′(x )=5x 4+1≠0, 矛盾. 这说明方程只能有一个正根.13. 设f (x )、g (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 证明在(a , b )内有一点ξ, 使解设 , 则ϕ(x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(a , b ), 使ϕ(b )−ϕ(a )=ϕ′(ξ)(b −a ),即 .因此14. 证明: 若函数.f (x )在(−∞, +∞)内满足关系式f ′(x )=f (x ), 且f (0)=1则f (x )=e x. 证明令, 则在(−∞, +∞)内有,所以在(−∞, +∞)内ϕ(x )为常数. 因此ϕ(x )=ϕ(0)=1, 从而f (x )=e x.15. 设函数y =f (x )在x =0的某邻域内具有n 阶导数, 且f (0)=f ′(0)= ⋅ ⋅ ⋅ =f (n −1)(0)=0, 试用柯西中值定理证明:(0<θ<1). 证明根据柯西中值定理(ξ1介于0与x 之间),(ξ2介于0与ξ1之间),(ξ3介于0与ξ2之间),依次下去可得(ξn介于0与ξn −1之间),所以由于ξn可以表示为ξn=θ x (0<θ<1), 所以 (0<θ<1).习题3−21. 用洛必达法则求下列极限:(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7);(8);(9);(10);(11);(12);(13);(14);(15);(16).解(1).(2).(3) . (4).(5) .(6).(7) .(8).(9) .(10) (注: cos x ⋅ln(1+x 2)~x 2).(11).(12) (注: 当x →0时, ).(13) .(14)因为,而,所以..(15)因为,而,所以.(16)因为 ,而,所以.2. 验证极限存在,但不能用洛必达法则得出.解, 极限是存在的.但不存在, 不能用洛必达法则.3. 验证极限存在, 但不能用洛必达法则得出.解, 极限是存在的.但不存在, 不能用洛必达法则.4. 讨论函数在点x =0处的连续性.解,,因为 ,而 ,所以.因此f (x )在点x =0处连续.习题3−31. 按(x −4)的幂展开多项式x 4−5x 3+x 2−3x +4. 解因为f (4)=−56,f ′(4)=(4x 3−15x 2+2x −3)|x =4=21, f ′′(4)=(12x 2−30x +2)|x =4=74, f ′′′(4)=(24x −30)|x =4=66, f (4)(4)=24,所以按(x −4)的幂展开的多项式为=−56+21(x −4)+37(x −4)2+11(x −4)3+(x −4)4.2. 应用麦克劳林公式, 按x 幂展开函数f (x )=(x 2−3x +1)3. 解因为f ′(x )=3(x 2−3x +1)2(2x −3),f ′′(x )=6(x 2−3x +1)(2x −3)2+6(x 2−3x +1)2=30(x 2−3x +1)(x 2−3x +2), f ′′′(x )=30(2x −3)(x 2−3x +2)+30(x 2−3x +1)(2x −3)=30(2x −3)(2x 2−6x +3), f (4)(x )=60(2x 2−6x +3)+30(2x −3)(4x −6)=360(x 2−3x +2), f (5)(x )=360(2x −3), f (6)(x )=720;f (0)=1, f ′(0)=−9, f ′′(0)=60, f ′′′(0)=−270, f (4)(0)=720, f (5)(0)=−1080, f (6)(0)=720,所以=1−9x +30x 3−45x 3+30x 4−9x 5+x 6. 3. 求函数按(x −4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒公式.解因为 ,,,,所以(0<θ<1). 4. 求函数f (x )=ln x 按(x −2)的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式. 解因为f ′(x )=x −1, f ′′(x )=(−1)x −2, f ′′′(x )=(−1)(−2)x −3, ⋅ ⋅ ⋅ ,;(k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n +1)所以.5. 求函数按(x +1)的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式.解因为f (x )=x −1, f ′(x )=(−1)x −2, f ′′(x )=(−1)(−2)x −3, ⋅ ⋅ ⋅ , ;(k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ),所以(0<θ<1).6. 求函数f (x )=tan x 的带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林公式. 解因为f ′(x )=sec 2x ,f ′′(x )=2sec x ⋅sec x ⋅tan x =2sec 2x ⋅tan x ,f ′′′(x )=4sec x ⋅sec x ⋅tan 2x +2sec 4x =4sec 2x ⋅tan 2x +2sec 4x , f (4)(x )=8sec 2x ⋅tan 3x +8sec 4x ⋅tan x +8sec 4x ⋅tan x ;f (0)=0, f ′(0)=1, f ′′(0)=0, f ′′′(0)=2,所以(0<θ<1).7. 求函数f (x )=xe x的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式. 解因为 f ′(x )=e x+x e x,f ′′(x )=e x+e x +x e x =2e x +x e x, f ′′′(x )=2e x+e x+x e x=3e x+x e x, ⋅ ⋅ ⋅, f (n )(x )=ne x+xe x; f (k )(0)=k (k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ),所以8. 验证当时, 按公式计算e x的近似值时, 所产生的误差小于0.01, 并求的近似值, 使误差小于0.01.解因为公式右端为e x的三阶麦克劳林公式, 其余项为所以当时，按公式计算e x的误差..9. 应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值, 并估计误差: (1) ; (2)sin 18°. 解 (1)设, 则f (x )在x 0=27点展开成三阶泰勒公式为(ξ介于27与x 之间).于是,其误差为.(2) 已知(ξ介于0与x 之间),所以 sin 18° , 其误差为.10. 利用泰勒公式求下列极限: (1);(2) ;(3) .解 (1) .因为, 所以.(2).(3).习题3−41. 判定函数f (x )=arctan x −x 单调性.解因为 , 且仅当x =0时等号成立, 所以f (x )在(−∞, +∞)内单调减少.2. 判定函数f (x )=x +cos x (0≤x ≤2π)的单调性.解因为f ′(x )=1−sin x ≥0, 所以f (x )=x +cos x 在[0, 2π]上单调增加. 3. 确定下列函数的单调区间: (1) y =2x 3−6x 2−18x −7; (2) (x >0);(3) ; (4);(5) y =(x −1)(x +1)3; (6);(7) y =x n e −x(n >0, x ≥0); (8)y =x +|sin 2x |.解 (1) y ′=6x 2−12x −18=6(x −3)(x +1)=0, 令y ′=0得驻点x 1=−1, x 2=3.列表得可见函数在(−∞, −1]和[3, +∞)内单调增加, 在[−1, 3]内单调减少.(2),令y ′=0得驻点x 1=2, x 2=−2(舍去).因为当x >2时, y >0; 当0<x <2时, y ′<0, 所以函数在(0, 2]内单调减少, 在[2, +∞)内单调增加.(3) , 令y ′=0得驻点, x 2=1, 不可导点为x =0.列表得(− +↘ ↗可见函数在(−∞, 0), , [1, +∞)内单调减少, 在上单调增加.(4)因为, 所以函数在(−∞, +∞)内单调增加.(5) y ′=(x +1)3+3(x −1)(x +1)2. 因为当时, y ′<0; 当时, y ′>0,所以函数在内单调减少, 在内单调增加.(6), 驻点为 ,不可导点为 ,x=a .3列表得可见函数在 ,, (a, +∞)内单调增加,在内单调减少.(7)y′=e−x x n−1(n−x), 驻点为x=n. 因为当0<x<n时,y′>0; 当x>n时,y′<0, 所以函数在[0, n]上单调增加,在[n, +∞)内单调减少.(8)(k=0, ±1, ±2, ⋅⋅⋅),(k=0, ±1, ±2, ⋅⋅⋅).y′是以π为周期的函数,在[0, π]内令y′=0, 得驻点 ,, 不可导点为.列表得根据函数在[0, π]上的单调性及y′在(−∞, +∞)的周期性可知函数在上单调增加,在上单调减少(k=0, ±1, ±2, ⋅⋅⋅).4. 证明下列不等式:(1)当x >0时, ;(2)当x >0时, ;(3)当时, sin x +tan x >2x ;(4)当时,;(5)当x >4时, 2x>x 2;证明 (1)设, 则f (x )在[0, +∞)内是连续的. 因为,所以f (x )在(0, +∞)内是单调增加的, 从而当x >0时f (x )>f (0)=0, 即,也就是 .(2)设, 则f (x )在[0, +∞)内是连续的. 因为, 所以f (x )在(0, +∞)内是单调增加的, 从而当x >0时f (x )>f (0)=0, 即,也就是.(3)设f (x )=sin x +tan x −2x , 则f (x )在内连续,f ′(x )=cos x +sec 2x −2 .因为在内cos x −1<0, cos 2x −1<0, −cos x <0, 所以f ′(x )>0, 从而f (x )在内单调增加, 因此当时, f (x )>f (0)=0, 即 sin x +tan x −2x >0, 也就是 sin x +tan x >2x .(4)设, 则f (x )在内连续,.因为当时, tan x>x, tan x+x>0, 所以f′(x)在内单调增加,因此当时,f(x)>f(0)=0, 即,也就是.(5)设f(x)=x ln2−2ln x, 则f (x)在[4, +∞)内连续,因为,所以当x>4时,f′(x)>0, 即f(x)内单调增加.因此当x>4时,f(x)>f(4)=0, 即x ln2−2ln x>0, 也就是也就是2x>x2.5. 讨论方程ln x=ax (其中a>0)有几个实根？解设f(x)=ln x−ax. 则f(x)在(0, +∞)内连续,, 驻点为 .因为当时,f′(x)>0, 所以f(x)在内单调增加;当时,f′(x)<0,所以f(x)在内单调减少.又因为当x→0及x→+∞时,f(x)→−∞, 所以如果,即 ,则方程有且仅有两个实根;如果 ,即 ,则方程没有实根.如果 ,即 ,则方程仅有一个实根.6. 单调函数的导函数是否必为单调函数？研究下面这个例子:f(x)=x+sin x .解单调函数的导函数不一定为单调函数.例如f(x)=x+sin x在(−∞,+∞)内是单调增加的,但其导数不是单调函数.事实上, f′(x)=1+cos x≥0,这就明f(x)在(−∞, +∞)内是单调增加的.f′′(x)=−sin x在(−∞, +∞)内不保持确定的符号,故f′(x)在(−∞, +∞)内不是单调的.7. 判定下列曲线的凹凸性:(1) y=4x−x2 ;(2) y=sh x ;(3) (x >0); (4) y =x arctan x ;解 (1)y ′=4−2x , y ′′=−2,因为y ′′<0, 所以曲线在(−∞, +∞)内是凸的. (2)y ′=ch x , y ′′=sh x . 令y ′′=0, 得x =0.因为当x <0时, y ′′=sh x <0; 当x >0时, y ′′=sh x >0, 所以曲线在(−∞, 0]内是凸的, 在[0, +∞)内是凹的.(3) , .因为当x >0时, y ′′>0, 所以曲线在(0, +∞)内是凹的.(4) , .因为在(−∞, +∞)内, y ′′>0, 所以曲线y =x arctg x 在(−∞, +∞)内是凹的.8. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: (1).y =x 3−5x 2+3x +5 ; (2) y =xe −x;(3) y =(x +1)4+e x;(4) y =ln(x 2+1);(5) y =e arctan x;(6) y =x 4(12ln x −7),解 (1)y ′=3x 2−10x +3, y ′′=6x −10. 令y ′′=0, 得 .因为当时, y ′′<0; 当时, y ′′>0, 所以曲线在内是是凸的, 在内是凹的, 拐点为.(2)y ′=e −x−x e −x, y ′′=−e −x−e −x +x e −x =e −x(x −2). 令y ′′=0, 得x =2.因为当x <2时, y ′′<0; 当x >2时, y ′′>0, 所以曲线在(−∞, 2]内是凸的, 在[2, +∞)内是凹的, 拐点为(2, 2e −2).(3)y ′=4(x +1)3+e x, y ′′=12(x +1)2+e x.因为在(−∞, +∞)内, y ′′>0, 所以曲线y =(x +1)4+e x的在(−∞, +∞)内是凹的, 无拐点.(4) ,. 令y ′′=0, 得x 1=−1, x 2=1.列表得可见曲线在(−∞, −1]和[1, +∞)内是凸的, 在[−1, 1]内是凹的, 拐点为(−1, ln2)和(1, ln2).(5) , . 令y ′′=0得,.因为当时, y ′′>0; 当时, y ′′<0, 所以曲线y =earctg x在内是凹的,在内是凸的, 拐点是.(6) y ′=4x 3(12ln x −7)+12x 3, y ′′=144x 2⋅ln x . 令y ′′=0, 得x =1.因为当0<x <1时, y ′′<0; 当x >1时, y ′′>0, 所以曲线在(0, 1]内是凸的, 在[1, +∞)内是凹的, 拐点为(1, −7).9. 利用函数图形的凹凸性, 证明下列不等式:(1) (x >0, y >0, x ≠y , n >1); (2) ;(3)(x >0, y >0, x ≠y ).证明 (1)设f (t )=t n, 则f ′(t )=nt n −1, f ′′(t )=n (n −1)t n −2. 因为当t >0时, f ′′(t )>0, 所以曲线f (t )=t n在区间(0, +∞)内是凹的. 由定义, 对任意的x >0, y >0, x ≠y 有, 即.(2)设f (t )=e t, 则f ′(t )=e t, f ′′(t )=e t. 因为f ′′(t )>0, 所以曲线f (t )=e t在(−∞, +∞)内是凹的. 由定义, 对任意的x , y ∈(−∞, +∞), x ≠y 有, 即.(3)设f (t )=t ln t , 则 f ′(t )=ln t+1, .因为当t >0时, f ′′(t )>0, 所以函数f (t )=t ln t 的图形在(0, +∞)内是凹的. 由定义, 对任意的x >0, y >0, x ≠y 有, 即.10. 试证明曲线有三个拐点位于同一直线上. 证明,.令y ′′=0, 得x 1=−1,,.例表得可见拐点为(−1, −1), , . 因为, ,所以这三个拐点在一条直线上.11. 问a 、b 为何值时, 点(1, 3)为曲线y =ax 3+bx 2的拐点？解 y ′=3ax 2+2bx , y ′′=6ax +2b . 要使(1, 3)成为曲线y =ax 3+bx 2的拐点, 必须y (1)=3且y ′′(1)=0, 即a +b =3且6a +2b =0, 解此方程组得, .12. 试决定曲线y =ax 3+bx 2+cx +d 中的a 、b 、c 、d , 使得x =−2处曲线有水平切线, (1, −10)为拐点, 且点(−2, 44)在曲线上. 解 y ′=3ax 2+2bx +c , y ′′=6ax +2b . 依条件有, 即.解之得a =1, b =−3, c =−24, d =16.13. 试决定y =k (x 2−3)2中k 的值, 使曲线的拐点处的法线通过原点. 解y ′=4kx 3−12kx , y ′′=12k (x −1)(x +1). 令y ′′=0, 得x 1=−1, x 2=1.因为在x 1=−1的两侧y ′′是异号的, 又当x =−1时y =4k , 所以点(−1, 4k )是拐点.因为y ′(−1)=8k , 所以过拐点(−1, 4k )的法线方程为. 要使法线过原点, 则(0, 0)应满足法线方程, 即 , .同理, 因为在x 1=1的两侧y ′′是异号的, 又当x =1时y =4k , 所以点(1, 4k )也是拐点.因为y ′(1)=−8k , 所以过拐点(−1, 4k )的法线方程为 . 要使法线过原点, 则(0, 0)应满足法线方程, 即,.因此当时, 该曲线的拐点处的法线通过原点.14. 设y =f (x )在x =x 0的某邻域内具有三阶连续导数, 如果f ′′(x 0)=0, 而f ′′′(x 0)≠0, 试问 (x 0, f (x 0))是否为拐点？为什么？解不妨设f ′′′(x 0)>0. 由f ′′′(x )的连续性, 存在x 0的某一邻域(x 0−δ, x 0+δ), 在此邻域内有f ′′′(x )>0. 由拉格朗日中值定理, 有f ′′(x )−f ′′(x 0)=f ′′′(ξ)(x −x 0) (ξ介于x 0与x 之间),即 f ′′(x )=f ′′′(ξ)(x −x 0).因为当x 0−δ<x <x 0时, f ′′(x )<0; 当x 0<x <x 0+δ 时, f ′′(x )>0, 所以(x 0, f (x 0))是拐点.习题3−51. 求函数的极值: (1) y =2x 3−6x 2−18x +7; (2) y =x −ln(1+x ) ; (3) y =−x 4+2x 2 ; (4) ; (5) ; (6);(7) y =e xcos x ; (8);(9) ; (10) y =x +tan x . 解 (1)函数的定义为(−∞, +∞), y ′=6x 2−12x −18=6(x 2−2x −3)=6(x −3)(x +1), 驻点为x 1=−1, x 2=3.列表可见函数在x =−1处取得极大值17, 在x =3处取得极小值−47.(2)函数的定义为(−1, +∞), , 驻点为x =0. 因为当−1<x <0时, y ′<0; 当x >0时, y ′>0, 所以函数在x =0处取得极小值, 极小值为y (0)=0. (3)函数的定义为(−∞, +∞),y ′=−4x 3+4x =−4x (x 2−1), y ′′=−12x 2+4, 令y ′=0, 得x 1=0, x 2=−1, x 3=1.因为y ′′(0)=4>0, y ′′(−1)=−8<0, y ′′(1)=−8<0, 所以y (0)=0是函数的极小值, y (−1)=1和y (1)=1是函数的极大值.(4)函数的定义域为(−∞, 1],,令y ′=0, 得驻点.因为当时,y′>0; 当时,y′<0, 所以为函数的极大值.(5)函数的定义为(−∞, +∞), , 驻点为 .因为当时,y′>0; 当时,y′<0, 所以函数在处取得极大值,极大值为 .(6)函数的定义为(−∞, +∞), , 驻点为x1=0, x2=−2.列表极小值可见函数在x=−2处取得极小值 ,在x=0处取得极大值4.(7)函数的定义域为(−∞, +∞).y′=e x(cos x−sin x ), y′′=−e x sin x.令y′=0, 得驻点 ,, (k=0, ±1, ±2, ⋅⋅⋅).因为 ,所以是函数的极大值.因为y′′, 所以是函数的极小值.(8)函数的定义域为(0, +∞),.令y′=0, 得驻点x=e .因为当x<e时,y′>0; 当x>e时,y′<0, 所以为函数f(x)的极大值.(9)函数的定义域为(−∞, +∞), , 因为y′<0, 所以函数在(−∞, +∞)是单调减少的, 无极值.(10)函数y =x +tg x 的定义域为(k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).因为y ′=1+sec 2x >0, 所以函数f (x )无极值.2. 试证明: 如果函数y =ax 3+bx 2+cx +d 满足条件b 2−3ac <0, 那么这函数没有极值 .证明y ′=3a x 2+2b x +c . 由b 2−3ac <0, 知a ≠0. 于是配方得到 y ′=3ax 2+2bx +c因3ac −b 2>0, 所以当a >0时, y ′>0; 当a <0时, y ′<0. 因此y =ax 3+bx 2+cx +d 是单调函数, 没有极值.3. 试问a 为何值时, 函数在处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值.解 f ′(x )=a cos x +cos 3x , f ′′(x )=−a sin x −3 sin x .要使函数f (x )在处取得极值, 必有, 即 , a =2 .当a =2时,. 因此, 当a =2时, 函数f (x )在处取得极值, 而且取得极大值, 极大值为 . 4. 求下列函数的最大值、最小值:(1) y =2x 3−3x 2, −1≤x ≤4;(2) y =x 4−8x 2+2, −1≤x ≤3 ; (3) , −5≤x ≤1.解 (1)y ′=6x 2−6x =6x (x −1), 令y ′=0, 得x 1=0, x 2=1. 计算函数值得 y (−1)=−5, y (0)=0, y (1)=−1, y (4)=80,经比较得出函数的最小值为y (−1)=−5, 最大值为y (4)=80.(2)y ′=4x 3−16x =4x (x 2−4), 令y ′=0, 得x 1=0, x 2=−2(舍去), x 3=2. 计算函数值得 y (−1)=−5, y (0)=2, y (2)=−14, y (3)=11,经比较得出函数的最小值为y (2)=−14, 最大值为y (3)=11.(3), 令y′=0, 得 .计算函数值得, , y(1)=1,经比较得出函数的最小值为 ,最大值为 .5. 问函数y=2x3−6x2−18x−7(1≤x≤4)在何处取得最大值？并求出它的最大值.解y′=6x2−12x−18=6(x−3)(x+1), 函数f(x)在1≤x≤4内的驻点为x=3.比较函数值:f(1)=−29, f(3)=−61, f(4)=−47,函数f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f (1)=−29.6. 问函数(x<0)在何处取得最小值？解, 在(−∞, 0)的驻点为x=−3. 因为, ,所以函数在x=−3处取得极小值.又因为驻点只有一个,所以这个极小值也就是最小值,即函数在x=−3处取得最小值,最小值为.7. 问函数(x≥0)在何处取得最大值？解. 函数在(0, +∞)内的驻点为x=1.因为当0<x<1时,y′>0; 当x>1时y′<0, 所以函数在x=1处取得极大值.又因为函数在(0, +∞)内只有一个驻点,所以此极大值也是函数的最大值,即函数在x=1处取得最大值,最大值为f (1)=.8. 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20cm长的墙壁,问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？解设宽为x长为y, 则2x+y=20, y=20−2x, 于是面积为S= xy=x(20−2x)=20x−2x2.S ′=20−4x=4(10−x), S′′=−4.令S′=0, 得唯一驻点x=10.因为S′′(10)−4<0, 所以x=10为极大值点,从而也是最大值点.当宽为5米,长为10米时这间小屋面积最大.9. 要造一圆柱形油罐, 体积为V , 问底半径r 和高h 等于多少时, 才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？解由V =π r 2h , 得h =V π−1r −2. 于是油罐表面积为S =2π r 2+2π rh (0<x <+∞),.令S ′=0, 得驻点 . 因为 , 所以S 在驻点处取得极小值, 也就是最小值. 这时相应的高为. 底直径与高的比为2r : h =1 : 1.10. 某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图), 截面的面积为5m 2, 问底宽x 为多少时才能使截面的周长最小, 从而使建造时所用的材料最省？解设矩形高为h , 截面的周长S , 则 ,. 于是(),.令S ′=0, 得唯一驻点 .因为, 所以为极小值点, 同时也是最小值点. 因此底宽为时所用的材料最省.11. 设有重量为5kg 的物体, 置于水平面上, 受力F 的作用而开始移动(如图). 设摩擦系数μ=0.25, 问力F 与水平线的交角α为多少时, 才可使力F 的大小为最小？解由F cos α =(m −F sin α)μ 得(),,驻点为α= arctan μ.因为F的最小值一定在内取得,而F在内只有一个驻点α= arctan μ,所以α=arctan μ一定也是F的最小值点.从而当α=arctan0.25=14°时,力F最小.12. 有一杠杆,支点在它的一端.在距支点0.1m处挂一重量为49kg的物体.加力于杠杆的另一端使杠杆保持水平(如图). 如果杠杆的线密度为5kg/m, 求最省力的杆长?解设杆长为x (m), 加于杠杆一端的力为F, 则有, 即 .,驻点为x=1.4. 由问题的实际意义知,F的最小值一定在(0, +∞)内取得,而F在(0, +∞)内只有一个驻点x=1.4, 所以F一定在x=1.4m处取得最小值,即最省力的杆长为1.4m.13. 从一块半径为的圆铁片上挖去一个扇形做成一漏斗(如图), 问留下的扇形的中心角ϕ取多大时,做成的漏斗的容积最大？解漏斗的底周长l、底半径r、高h分别为l=R⋅ϕ, , .漏斗的容积为(0<ϕ<2π).，驻点为 .由问题的实际意义,V一定在(0, 2π)内取得最大值,而V在(0, 2π)内只有一个驻点,所以该驻点一定也是最大值点.因此当ϕ时,漏斗的容积最大.14. 某吊车的车身高为1.5m, 吊臂长15m, 现在要把一个6m宽、2m高的屋架,水平地吊到6m高的柱子上去(如图), 问能否吊得上去？解设吊臂对地面的倾角为ϕ时, 屋架能够吊到的最大高度为h. 在直角三角形ΔEDG中15sin ϕ=(h−1. 5)+2+3tan ϕ,故,.令h′=0得唯一驻点°.因为 ,所以ϕ=54°为极大值点,同时这也是最大值点.当ϕ=54°时,m.所以把此屋最高能水平地吊至7. 5m高,现只要求水平地吊到6m处,当然能吊上去.15. 一房地产公司有50套公寓要出租.当月租金定为1000元时,公寓会全部租出去.当月租金每增加50元时,就会多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花费100元的维修费.试问房租定为多少可获最大收入？解房租定为x元,纯收入为R元.当x≤1000时,R=50x−50×100=50x−5000, 且当x=1000时,得最大纯收入45000元.当x>1000时,,.令R′=0得(1000, +∞)内唯一驻点x=1800. 因为 ,所以1800为极大值点,同时也是最大值点.最大值为R=57800.因此,房租定为1800元可获最大收入.习题3−8描绘下列函数的图形:1. ; 解 (1)定义域为(−∞, +∞);(2),,令y ′=0, 得x =−2, x =1; 令y ′′=0, 得x =−1, x =1. (3)(4)作图:2. ;解 (1)定义域为(−∞, +∞);(2)奇函数, 图形关于原点对称, 故可选讨论x ≥0时函数的图形. (3) , , 当x ≥0时, 令y ′=0, 得x =1; 令y ′′=0, 得x =0, . (4)( 极大值(5)有水平渐近线y =0; (6)作图:3. ;解 (1)定义域为(−∞, +∞);(2),令y ′=0, 得x =1; 令y ′′=0, 得 ,.(3)(4)有水平渐近线y =0; (5)作图:4. ;解 (1)定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞);(2), ,令y′=0, 得 ;令y′′=0, 得x=−1.(3)列表(4)有铅直渐近线x=0;(5)作图:5. .解(1)定义域为(n=0, ±1, ±2, ⋅⋅⋅)(2)是偶函数,周期为2 π . 可先作[0, π]上的图形,再根据对称性作出[−π, 0)内的图形,最后根据周期性作出[−π, π]以外的图形;(3), ,在[0, π]上,令y′=0, 得x=0, x=π ; 令y′′=0, 得 .(4)(5)有铅直渐近线及;(6)作图:习题3−71. 求椭圆4x 2+y 2=4在点(0, 2)处的曲率. 解两边对x 求导数得8x +2yy ′=0, , .y ′|(0, 2)=0, y ′′|(0, 2)=−2. 所求曲率为.2. 求曲线y =lnsec x 在点(x , y )处的曲率及曲率半径.解, .所求曲率为曲率半径为.3. 求抛物线y =x 2−4x +3在其顶点处的曲率及曲率半径. 解 y ′=2x −4, y ′′=2.令y ′=0, 得顶点的横坐标为x =2. y ′|x =2=0, y ′′|x =2=2. 所求曲率为, 曲率半径为.4. 求曲线x=a cos3t, y=a sin 3t在t=t0处的曲率.解, .所求曲率为.5. 对数曲线y=ln x上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径.解, .,.令ρ′=0, 得 .因为当时, ρ<0; 当时,ρ>0, 所以是ρ的极小值点,同时也最小值点.当时, . 因此在曲线上点处曲率半径最小, 最小曲率半径为 .6. 证明曲线在点(x , y )处的曲率半径为 .解 , . 在点(x , y )处的曲率半径为.7. 一飞机沿抛物线路径 (y 轴铅直向上, 单位为m )作俯冲飞行, 在坐标原点O 处飞机的速度为v =200m /s 飞行员体重G =70Kg. 求飞机俯冲至最低点即原点O 处时座椅对飞行员的反力.解,; y ′|x =0=0,..向心力(牛顿).飞行员离心力及它本身的重量对座椅的压力为 79×9.8+560=1246(牛顿).8. 汽车连同载重共5t, 在抛物线拱桥上行驶, 速度为21.6km/h , 桥的跨度为10m, 拱的矢高为0.25m . 求汽车越过桥顶时对桥的压力.解如图取直角坐标系, 设抛物线拱桥方程为y =ax 2, 由于抛物线过点(5, 0.25), 代入方程得,于是抛物线方程为y =0. 01x 2. y ′=0.02x , y ′′=0.02..向心力为(牛顿).因为汽车重为5吨, 所以汽车越过桥顶时对桥的压力为 5×103×9.8−3600=45400(牛顿).*9. 求曲线y=ln x在与x轴交点处的曲率圆方程.*10. 求曲线y=tan x在点处的曲率圆方程.*11. 求抛物线y2=2px的渐屈线方程.总习题三1. 填空:设常数k>0, 函数在(0, +∞)内零点的个数为________.解应填写2.提示: , .在(0, +∞)内, 令f′(x)=0, 得唯一驻点x=e .因为f′′(x)<0, 所以曲线在(0, +∞)内是凸的, 且驻点x=e一定是最大值点, 最大值为f(e)=k>0.又因为, , 所以曲线经过x轴两次, 即零点的个数为2.2. 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论:设在[0, 1]上f′′(x)>0, 则f′(0), f′(1), f(1)−f(0)或f(0)−f(1)几个数的大小顺序为( ).(A)f′(1)>f′(0)>f(1)−f(0); (B)f′(1)>f(1)−f(0)>f′(0);(C)f(1)−f(0)>f′(1)>f′(0); (D)f′(1)>f(0)−f(1)>f′(0).解选择B .提示: 因为f′′(x)>0, 所以f′(x)在[0, 1]上单调增加, 从而f′(1)>f′(x)>f′(0).又由拉格朗日中值定理, 有f(1)−f(0)=f′(ξ), ξ∈[0, 1], 所以f′(1)> f(1)−f(0)>f′(0).3. 列举一个函数f(x)满足: f(x)在[a, b]上连续, 在(a,b)内除某一点外处处可导, 但在(a, b)内不存在点ξ, 使f(b)−f(a)=f ′(ξ)(b−a).解取f(x)=|x|, x∈[−1, 1].易知f(x)在[−1, 1]上连续, 且当x>0时f′(x)=1; 当x>0时, f′(x)=−1; f′(0)不存在, 即f(x)在[−1, 1]上除x=0外处处可导.注意f(1)−f(−1)=0, 所以要使f(1)−f(−1)=f′(ξ)(1−(−1))成立, 即f′(ξ)=0, 是不可能的.因此在(−1, 1)内不存在点ξ, 使f(1)−f(−1)=f′(ξ)(1−(−1)).4. 设, 求.解根据拉格朗日中值公式, f(x+a)−f (x)=f′(ξ )⋅a, ξ介于x+a与x之间.当x→∞时, ξ→∞, 于是.5. 证明多项式f (x)=x3−3x+a在[0, 1]上不可能有两个零点.证明f′(x)=3x2−3=3(x2−1), 因为当x∈(0, 1)时, f′(x)<0, 所以f (x)在[0, 1]上单调减少. 因此, f(x) 在[0, 1]上至多有一个零点.6. 设 =0, 证明多项式f(x)=a0+a1x+⋅⋅⋅+anx n在(0,1)内至少有一个零点.证明设, 则F(x)在[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导, 且F(0)=F(1)=0. 由罗尔定理, 在(0, 1)内至少有一个点ξ, 使F(ξ )=0. 而F ′(x)=f(x), 所以f(x)在(0, 1)内至少有一个零点.7. 设f(x)在[0, a]上连续, 在(0, a)内可导, 且f(a)=0, 证明存在一点ξ∈(0, a), 使f(ξ)+ξf′(ξ)=0.证明设F(x)=xf(x), 则F(x)在[0, a]上连续, 在(0, a)内可导, 且F(0)=F(a)=0. 由罗尔定理, 在(0, a)内至少有一个点ξ, 使F(ξ)=0. 而F(x)=f(x)+x f′(x), 所以f(ξ)+ξf′(ξ)=0.8. 设0<a<b, 函数f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 试利用柯西中值定理, 证明存在一点ξ∈(a, b)使.证明对于f(x)和ln x在[a, b]上用柯西中值定理, 有, ξ∈(a, b),即, ξ∈(a, b).9. 设f(x)、g(x)都是可导函数, 且|f′(x)|<g′(x), 证明: 当x>a时, |f(x)−f(a)|<g(x)−g(a).证明由条件|f′(x)|<g′(x)得知, , 且有g′(x)>0, g(x)是单调增加的, 当x>a 时,g(x)>g(a).因为f (x)、g (x)都是可导函数, 所以f (x)、g (x) 在[a, x]上连续, 在(a, x)内可导, 根据柯西中值定理, 至少存在一点ξ∈(a, x), 使.因此, , |f (x)−f (a)|<g (x)−g (a).10. 求下列极限:(1); (2);(3) .(4)(其中a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n >0). 解 (1) (x x)′=(ex l n x)′=ex l n x(ln x +1)=x x(ln x +1)..(2)(3) ,因为,所以.(4)令. 则, 因为=ln a 1+ln a 2+⋅ ⋅ ⋅+ln a n =ln(a 1⋅a 2⋅ ⋅ ⋅ a n ). 即=ln(a 1⋅a 2⋅ ⋅ ⋅ a n ), 从而 .11. 证明下列不等式:(1)当时,;(2):当x >0时, .证明 (1)令, . 因为,所以在内f (x )为单调增加的. 因此当时有], 即.(2)要证(1+x )ln(1+x )>arctan x , 即证(1+x )ln(1+x )− arctan x >0.设f (x )=(1+x )ln(1+x )− arctan x , 则f (x )在[0, +∞)上连续,.因为当x >0时, ln(1+x )>0, , 所以f ′(x )>0, f (x )在[0, +∞)上单调增加. 因此, 当x >0时, f (x )>f (0), 而f (0)=0, 从而f (x )>0, 即(1+x )ln(1+x )−arctan x >0 .12. 设, 求f (x )的极值.解 x =0是函数的间断点.当x <0时, f ′(x )=1; 当x >0时, f ′(x )=2x 2x(ln x +1).令f ′(x )=0, 得函数的驻点.列表:极小值函数的极大值为f (0)=2, 极小值为.13. 求椭圆x2−xy +y2=3上纵坐标最大和最小的点.解2x−y−xy′+2yy′=0, . 当时, y′=0.将代入椭圆方程, 得, y =±2 .于是得驻点x=−1, x=1. 因为椭圆上纵坐标最大和最小的点一定存在, 且在驻点处取得, 又当x=−1时, y=−2, 当x=1时, y=2, 所以纵坐标最大和最小的点分别为(1, 2)和(−1, −2).14. 求数列的最大项.解令(x>0), 则,,.令f′(x)=0, 得唯一驻点x=e .因为当0<x<e时, f′(x)>0; 当x>e时, f′(x)<0, 所以唯一驻点x=e为最大值点.因此所求最大项为.15. 曲线弧y=sin x(0<x<π)上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径.解y′=cos x, y′′=−sin x,(0<x<π),.在(0, π)内, 令ρ′=0, 得驻点.因为当时, ρ′<0; 当时, ρ′>0, 所以是ρ的极小值点, 同时也是ρ的最小值点, 最小值为.16. 证明方程x3−5x−2=0只有一个正根. 并求此正根的近似值, 使精确到本世纪末10−3 .解设f (x)=x3−5x−2, 则f′(x)=3x2−5, f′′(x)=6x .当x>0时, f′′(x)>0, 所以在(0, +∞)内曲线是凹的, 又f(0)=−2, , 所以在(0, +∞)内方程x3−5x−2=0只能有一个根.(求根的近似值略)17. 设f ′′(x)存在, 证明.证明. 18. 设f(n)(x)存在, 且f (x)=f′(x)= ⋅⋅⋅ =f (n)(x)=0, 证明f(x)=o[(x−x)n] (x→x). 证明因为=⋅⋅⋅,所以f (x )=o [(x −x 0)n] (x →x 0).19. 设f (x )在(a , b )内二阶可导, 且f ′′(x )≥0. 证明对于(a , b )内任意两点x 1, x 2及0≤t ≤1, 有f [(1−t )x 1+tx 2]≤(1−t )f (x 1)+tf (x 2).证明设(1−t )x 1+tx 2=x 0. 在x =x 0点的一阶泰勒公式为(其中ξ介于x 与x 0之间).因为f ′′(x )≥0, 所以f (x )≥f (x 0)+f ′(x 0)(x −x 0).因此f (x 1)≥ f (x 0)+f ′(x 0)(x 1−x 0), f (x 2)≥f (x 0)+f ′(x 0)(x 2−x 0).于是有(1−t )f (x 1)+tf (x 2)≥(1−t )[ f (x 0)+f ′(x 0)(x 1−x 0)]+t [f (x 0)+f ′(x 0)(x 2−x 0)] =(1−t )f (x 0)+t f (x 0)+f ′(x 0)[(1−t )x 1+t x 2]−f ′(x 0)[(1−t )x 0+t x 0] =f (x 0)+f ′(x 0)x 0−f ′(x 0)x 0 =f (x 0),即 f (x 0)≤(1−t )f (x 1)+tf (x 2),所以 f [(1−t )x 1+tx 2]≤(1−t )f (x 1)+tf (x 2) (0≤t ≤1).20. 试确定常数a 和b , 使f (x )=x −(a +b cos x )sin x 为当x →0时关于x 的5阶无穷小. 解 f (x )是有任意阶导数的, 它的5阶麦克劳公式为.要使f (x )=x −(a +b cos x )sin x 为当x →0时关于x 的5阶无穷小, 就是要使极限存在且不为0. 为此令,解之得,.因为当,时,,所以当,时, f(x)=x−(a+b cos x)sin x为当x→0时关于x的5阶无穷小.。

同济大学《高等数学》第五版[上册]的答案解析

完美 WORD 格式专业整理知识分享
完美 WORD 格式
练习 11-7
专业整理知识分享
完美 WORD 格式专业整理知识分享
完美 WORD 格式专业整理知识分享
完美 WORD 格式专业整理知识分享
完美 WORD 格式专业整理知识分享
完美 WORD 格式专业整理知识分享
完美 WORD 格式专业整理知识分享
完美 WORD 格式专业整理知识分享
完美 WORD 格式专业整理知识分享
完美 WORD 格式专业整理知识分享
完美 WORD 格式
练习 10-4
专业整理知识分享
完美 WORD 格式专业整理知识分享
完美 WORD 格式专业整理知识分享
完美 WORD 格式专业整理知识分享
完美 WORD 格式专业整理知识分享
完美 WORD 格式专业整理知识分享
完美 WORD 格式
<<
专业整理知识分享
完美 WORD 格式专业整理知识分享
完美 WORD 格式专业整理知识分享
完美 WORD 格式
专业整理知识分享
练习 9-3
完美 WORD 格式专业整理知识分享
完美 WORD 格式
总习题八
专业整理知识分享
完美 WORD 格式专业整理知识分享
完美 WORD 格式专业整理知识分享
完美 WORD 格式专业整理知识分享
完美 WORD 格式专业整理知识分享
完美 WORD 格式专业整理知识分享
完美 WORD 格式专业整理知识分享
完美 WORD 格式
练习 6-3

高等数学《复变函数与积分变换》(第五版)参考答案

高等数学《复变函数与积分变换》（第五版）参考答案目录第一章 (2)第二章 (3)第三章 (6)第四章 (8)第五章 (14)第六章 (16)第七章 (19)第八章 (23)第九章 (26)第一章1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。

（1）；解： =（2）解：2．将下列复数写成三角表示式。

1）解：（2）解： i ii i 524321----i i i i 524321----i 2582516+zk k Argz z z z ∈+====π221arctan2558258Im 2516Re 3)231(i +3)231(i +zk k Argz z z z e i i∈+===-=-==+=πππππ210Im 1Re 1][)3sin3(cos333i 31-i 31-)35sin 35(cos2ππi +=i i+12i i +12)4sin 4(cos21ππi i +=+=3．利用复数的三角表示计算下列各式。

（1）解：（2）解：4．.设三点适合条件：=0是内接于单位圆=1的一个正三角形的项点。

证：因所以都在圆周又因=0则，所以也在圆周上，又所以以0，为顶点的三角形是正三角形，所以向量之间的张角是，同理之间的张角也是，于是之间的张角是，同理与，与之间的张角都是，所以是一个正三角形的三个顶点。

5．解方程i i 2332++-i i 2332++-2sin2cosππi i +==422i +-422i +-41)]43sin 43(cos 22[ππi +=3,2,1,0]1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 28383=+++=+++=k ki k k i k ππππππ321,,z z z 321z z z ++,1321===z z z 321,,z z z z,1321===z z z 321,,z z z ,11==z z 321z z z ++,321z z z -=+1321=-=+z z z 21z z +1=z ,12121==-+z z z z 211,z z z +211z z z +与3π212z z z +与3π21z z 与32π1z 3z 2z 3z 32π321,,zz z 013=+z6．试证：当时，则。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

习题1-4
1. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之.
解不一定.
例如, 当x →0时, α(x )=2x , β(x )=3x 都是无穷小, 但32)()(lim
0=→x x x βα, )
()(x x βα不是无穷小. 2. 根据定义证明:
(1)392+-=x x y 当x →3时为无穷小; (2)x
x y 1sin =当x →0时为无穷小. 证明 (1)当x ≠3时|3|3
9||2-=+-=x x x y . 因为∀ε >0, ∃δ=ε , 当0<|x -3|<δ时, 有 εδ=<-=+-=|3|3
9||2x x x y , 所以当x →3时3
92+-=x x y 为无穷小. (2)当x ≠0时|0||1sin |||||-≤=x x
x y . 因为∀ε >0, ∃δ=ε , 当0<|x -0|<δ时, 有 εδ=<-≤=|0||1sin |||||x x
x y , 所以当x →0时x
x y 1sin =为无穷小.
3. 根据定义证明: 函数x x y 21+=
为当x →0时的无穷大. 问x 应满足什么条件, 能使|y |>104？
证明分析2||11221||-≥+=+=x x x x y , 要使|y |>M , 只须M x >-2||1, 即21||+<M x . 证明因为∀M >0, ∃21+=
M δ, 使当0<|x -0|<δ时, 有M x x >+21, 所以当x →0时, 函数x
x y 21+=是无穷大. 取M =104, 则21014+=δ. 当2
101|0|04+<-<x 时, |y |>104. 4. 求下列极限并说明理由:
(1)x
x n 12lim +∞→; (2)x
x x --→11lim 2
0.
解 (1)因为x
x x 1212+=+, 而当x →∞ 时x 1是无穷小, 所以212lim =+∞→x x n . (2)因为x x
x +=--1112
(x ≠1), 而当x →0时x 为无穷小, 所以111lim 20=--→x x x . 5. 根据函数极限或无穷大定义, 填写下表:
6. 函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内是否有界？这个函数是否为当x →+∞ 时的无穷大？为什么？
解函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内无界.
这是因为∀M >0, 在(-∞, +∞)内总能找到这样的x , 使得|y (x )|>M . 例如
y (2k π)=2k π cos2k π=2k π (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),
当k 充分大时, 就有| y (2k π)|>M .
当x →+∞ 时, 函数y =x cos x 不是无穷大.
这是因为∀M >0, 找不到这样一个时刻N , 使对一切大于N 的x , 都有|y (x )|>M . 例如
0)2
2cos()22()22(=++=+ππππππk k k y (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), 对任何大的N , 当k 充分大时, 总有N k x >+=22π
π, 但|y (x )|=0<M . 7. 证明: 函数x
x y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x →0+时的无穷大. 证明函数x
x y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界. 这是因为 ∀M >0, 在(0, 1]中总可以找到点x k , 使y (x k )>M . 例如当
221
π
π+=k x k (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)
时, 有
22)(ππ+
=k x y k ,
当k 充分大时, y (x k )>M . 当x →0+ 时, 函数x
x y 1sin 1=不是无穷大. 这是因为 ∀M >0, 对所有的δ>0, 总可以找到这样的点x k , 使0<x k <δ, 但y (x k )<M . 例如可取
π
k x k 21=(k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), 当k 充分大时, x k <δ, 但y (x k )=2k πsin2k π=0<M .。