离散元课件
离散完整ppt课件3.1-3共41页
证明 X=Y
命题演算法 等式代入法 反证法 运算法
以上的 X, Y 代表集合公式
18
命题演算法证 XY
任取 x ， xX … xY
例3 证明AB P(A)P(B) 任取x xP(A) xA xB xP(B) 任取x xA {x}A {x}P(A) {x}P(B) {x}B xB
13
例1
F:一年级大学生的集合
S：二年级大学生的集合
R：计算机系学生的集合
M：数学系学生的集合
T：选修离散数学的学生的集合
L：爱好文学学生的集合
P：爱好体育运动学生的集合
所有计算机系二年级学生都选修离散数学
数学系一年级的学生都没有选修离散数学
数学系学生或爱好文学或爱好体育运动 只有一、二年级的学生才爱好体育运动 除去数学和计算机系二年级学生外都不 选修离散数学3.2 集合的基本运算
集合基本运算的定义
文氏图（John Venn） 例题 集合运算的算律 集合包含或恒等式的证明
10
集合基本运算的定义
并 交 相对补 对称差
绝对补
AB = { x | xA xB } AB = { x | xA xB } AB = { x | xA xB } AB = (AB)(BA)
由已知包含式通过运算产生新的包含式 XY XZYZ, XZYZ
= (AB)(AB) A = EA
11
文氏图表示
12
关于运算的说明
运算顺序： 和幂集优先，其他由括号确定 并和交运算可以推广到有穷个集合上，即
A1A2…An= {x | xA1xA2…xAn} A1A2…An= {x | xA1xA2…xAn} 某些重要结果 ABA AB AB=（后面证明） AB= AB=A
离散元法及其应用
1.
球颗粒模型：最常见的球颗粒抽象，也是最容易实现的三 维颗粒模型。
2. 3.
椭圆颗粒模型：接触计算较为复杂，计算耗费时间长。 球-柱颗粒模型
3.离散元法的应用
从简单的几何形状流场到复杂的工业规模的流场地，从二维 到三维，从球形均一尺寸颗粒到非球形有一定粒径分布的情 况都有所涉及。在土木工程领域方面主要集中于：
2.离散元法的基本原理
2.1 离散元法的基本思想和假定
离散元法的基本思想是，把研究对象分离为刚性元素的 集合，使每个元素满足牛顿第二定律，用中心差分的方法求 解各元素的运动方程，得到研究对象的整体运动形态。
2.1 离散元法的基本思想和假定
离散元法的基本假定：
1.块体单元为理想刚体，各块体的运动只是空间位置的平移
①
运用离散元颗粒流软件PFC2D/3D分析道路工程材料性能，
包括沥青混凝土开裂问题的离散元分析
② ③
边坡、地下洞室稳定性分析 模拟节理岩体动力响应问题，例如施工过程中的爆破和地 震所带来的动力
谢谢!
离散元法及其应用
1.离散元的历史及发展 2.离散元法的基本原理
2.1 离散元法的基本思想和假定 2.2离散元方法的建模
3.离散元法的应用
1.离散元的历史及发展
20世纪70年代，Cundall提出离散元法（Discrete Element Method，简称DEM),用以track又提出适于土力学的离散元法，并 推出二维圆盘(Disc）程序BALL和三维圆球程序TRUBAL(后 发展为PFC),形成较系统的模型与方法，被称为软颗粒模型。 1988年Cundall所在的ITASCA咨询公司推出针对三维块体元 的3DEC程序。至此离散元的理论体系基本形成。
左孝凌离散数学课件
组合数学的应用实例
THANKS FOR
WATCHING
感谢您的观看
组合公式
C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)，其中"!"表示阶乘。
组合数学的基本概念
C(n, k) = C(n, n-k)，C(n+1, k) = C(n, k) + C(n, k-1)等。
组合数的性质
∑(k=0~n) C(n, k)x^(n-k)y^k = (x+y)^n。
帕斯卡恒等式
详细描述
图的应用实例
04
离散概率论
在离散随机试验中，每个样本点发生的可能性可以用一个实数表示，这个实数就是离散概率。
离散概率
由样本空间和概率函数组成，描述离散随机试验的所有可能结果及其对应的概率。
离散概率空间
如果两个事件之间没有相互影响，则称这两个事件是独立的。
独立性
离散概率的基本概念
如果两个事件互斥，则它们同时发生的概率为各自概率的和。
02
集合论
总结词
详细描述
总结词
详细描述
总结词
详细描述
集合是离散数学中的基本概念，它是由确定的、不同的元素所组成的。
集合是由确定的、不同的元素所组成的，这些元素之间具有某种共同特征或属性。例如，所有自然数可以组成一个集合，所有三角形也可以组成一个集合。
集合的表示方法通常使用大括号 {} 或方括号 []，例如 A = {1, 2, 3} 表示一个包含三个元素的集合。
抽样调查
通过抽样调查来估计总体特征时，可以使用离散概率来计算样本的代表性。
赌博游戏
在赌博游戏中，庄家和玩家各自有赢的概率，这些概率可以用离散概率来表示。
PFC(经典)解析PPT课件
1、模型介质的宏观基本物理力学特征不可能通过直接赋值的形式实现； 2、介质的初始条件如地应力场条件会影响介质的结构特征； 3、介质的力学特性取决于介质内部粒子的结构和接触特征； 4、构建PFC模型和进行相应的运算准备工作必须使用PFC的二次开发功
能。
.
15
PFC中几何特征、物理特性和解题条件的说明不如 FLAC和UDEC程序那样直截了当。（微观参数选取）
整颗粒单元直径，可以调节孔隙率，通过jset 命令可以模拟岩体中节理
等软弱面。颗粒间接触相对位移的计算，不需要增量位移而直接通过坐
标来计算。
举例
①允许粒子发生有限位移和转动，粒子间可以完全脱离
②在计算过程中能够自动辩识新的. 接触
9
PFC 优点：
1、它有潜在的高效率。因为圆形物体间的接触探测比角状物体间的更简单。 2、对可以模拟的位移大小实质上没有限制。
当要求满足有实验室实际测试的模拟物体的力学特性时， 出现了更大的困难。在某种程度上，这是一个反复试验的过 程，因为目前还没有完善的理论可以根据微观特性来预见宏 观特性。
（try-exam-determine） 举例
然而，给出一些准则应该有助于模型与原型的匹配，如
哪些因素对力学行为的某些方面产生影响，哪些将不产生影 响。应该意识到，由于受现有知识的限制，这样的模拟很难。 然而，用PFC进行试验，对固体力学，特别是对断裂力学和损 伤力学，可以获得一些基本认识。
用户定义的接触本构模型
可以用C++语言来编写，并编译成动态链接库文件，一旦需要就可以加载。
并行处理技术
允许将一个PFC2D模型分成几个部分，每个部分可以在单独的处理器上平 行运行。与一个PFC2D模型在一个处理器上运行相比，平行处理在内存容量和 计算速度方面得到大大提高。
2024版PFC颗粒流模拟讲解PPT课件
04
PFC颗粒流模拟案例分析
案例一：颗粒堆积过程模拟
初始状态设定
定义颗粒属性（形状、大 小、密度等）和初始空间 分布。
堆积过程模拟
通过PFC内置算法模拟颗 粒在重力作用下的堆积过 程。
结果分析
观察堆积形态，分析颗粒 间的相互作用力及能量转 化。
案例二：颗粒流动特性分析
案例四：复杂系统中的PFC应用
复杂系统描述
介绍涉及多物理场耦合、非线性行为的复杂系统。
PFC建模方法
阐述如何运用PFC建立复杂系统的颗粒流模型。
应用案例分析
展示PFC在复杂系统中的应用实例，如岩土工程、 化工过程等。
05
PFC颗粒流模拟挑战与解决方案
计算效率问题及其优化措施
计算量大
PFC颗粒流模拟涉及大量颗粒间的相 互作用，计算量大，需要高效的算法 和计算能力。
科研领域
用于研究颗粒物质的基本性质和动力学行为， 推动相关学科的发展。
PFC发展历程与现状
20世纪80年代
离散元法被提出并应用于颗粒物质 模拟。
90年代至今
随着计算机技术的发展，PFC在模 拟规模、精度和效率等方面取得显 著进步。
PFC发展历程与现状
01
现状
02
03
04பைடு நூலகம்
PFC已成为研究颗粒物质的重 要工具之一。
通过改变颗粒物质的流动条件，如流量、流速、流动角度等，观察颗粒物质的流动行为。
实验方案设计与步骤
• 利用高速摄像机和图像处理技术，对颗粒物质的流动过程 进行实时观测和记录。
实验方案设计与步骤
实验步骤 1. 准备实验装置和颗粒物质。
《aolm离散数学》PPT课件
精选PPT
20
2
15
14
16
3
4
1
13
17
20
12
5
11 18
19
6
10 9
7
8
十二面体图
十二面体由 20 个结点（体的尖角）精选、PPT30 条边（面的边界）和 12 个面组21 成
* 定义11.3 给定图 G，若存在一条路经过图中的每一个结 点恰好一次，这条路称作 Hamilton 路。若存在一条回 路，经过图中的每一个结点恰好一次，这个回路称作 Hamilton 回 路 。 具 有 Hamilton 回 路 的 图 称 为 Hamilton 图。
精选PPT
12
若 L1 通过了 G 的所有边，则 L1 就是欧拉路。
若 G 中去掉 L1 后得到子图 G′，则 G′中每一点的度 数为偶数，因原图是连通的，故 L1 与 G′至少有一个结点 vi 重合，在 G′中由 vi 出发重复 的方法，得到闭迹 L2。
当 L1 与 L2 组合在一起，如果恰是 G，则即得欧拉 路，否则重复 可得到闭迹 L3，以此类推直到得到一条经 过图 G 中所有边的欧拉路。
精选PPT
22
* 定理11.3 （ Hamilton 回路的必要条件）若图 G＝(V, E) 具有 Hamilton 回路，则对于结点集 V 的每一个非空子集 S 均 有 W(G－S)≤ S 成立。其中 W(G－S) 是 G－S 中连通分支 数。
证明：设 C 是 G 的一条 Hamilton 回路，则对于 V 的任何一
精选PPT
16
No【例11.1】设某城市的街道布局如下图所示。每条边
离散元讲义05
DEM course, July 2009Technical University of GrazDiscrete element modelling and simulation of rock cuttingJ. RojekInstitute of Fundamental Technological Research (IPPT PAN), Warsaw, Poland International Center for Numerical Methods in Engineering (CIMNE), Barcelona, SpainOutline of the presentationIntroduction–basic information of rock cuttingBasic assumptions of the numerical model of rock cuttingDiscrete element model of rock cuttingExperimental validation of the numerical modellaboratory testsnumerical simulationSensitivity studiesConcluding remarksIntroductionRock cutting−process or rock desintegration under the action ofthe cutting tool in different works of rock excavation in mining industry or civil engineeringRoadheader DredgeFrom Discovery channel: …Dirty Jobs: Road Headers”Excavation sequence with a roadheader: a) sumping, b) cutting of face, c)profilingDesign of a point attack pickBreakthrough of the tunnel with a TBMTBM cutterheadTBM disc cutters Cutting mechanismLaboratory test of rock cuttingPhysical phenomena in rock cuttingReproduced from P.N.W.Verhoef“Wear of Rock Cutting Tools)Rock cuttingReproduced from P.N.W.Verhoef“Wear of Rock Cutting Tools)Cutting forceCutting force in ductile and brittle cutting(P.N.W. Verhoef “Wear of Rock Cutting Tools”)Cutting force parametersMost important factors influencing rock cuttingRock properties/cuttability−mechanical properties (uniaxial compressive strength,tensilestrength, brittleness, fracture properties,hardness)−texture, discontinuities existing in the rock−abrasive capacity of rockTool characteristics−mechanical properties of the tool material (strength, stiffness,hardness)−tool design, geometryCutting process parameters−position of a tool with respect to rock (cutting depth, rake and cutting angles)−cutting velocity−heat generation and conduction, temperatureMain assumption:breakage is essentially tensile and occurs along failure surface, which approximates a circular arc .Evans’modelof cuttingwith drag picksMain assumption:failure is purely due to shear and occurs along a plane .Nishimatsumodel−angle of internal friction of intact plane −angle of sliding friction rock-tool−stress distribution factor obtained from the testsFinite element modelling of rock cuttingRemark:Difficulties in modelling of discontinuities using finite element method(special formulations must be used). Modelling of failure characterized with multiple fracturing and post-fracture behaviour is especially difficult.Discrete element model of rock cuttingModel of rockdiscretisation with spherical discreteelementsappropriate contact laws allow us to obtaindesired macroscopic material propertiescohesive bonds between particles takeninto accountfracture modelled by breakage of bondswhen cohesion strength exceededafter fracture frictional contact betweenparticlesModel of tooltool considered rigiddiscrete or finite element typediscretization ofthe tool or tool surfacetool surface interact with rock particles leadingto rock fracturenormal (pressure) and tangential (friction)interaction at the tool/rock interfaceProcess modellingrock cutting treated as dynamic processprescribed tool velocityadequate damping introducedFailure modeDiscrete element model of rock cuttingSimulation of rock cutting2D simulation of rock cuttingExperimental validation of discrete elementmodel of rock cuttingLaboratory tests−uniaxial compressive strength test−Brazilian test−rotating rock cutting testNumerical simulations−determination of the numerical model parameters(dimensionless relationships)−simulation of the uniaxial compressive test−simulation of the Brazilian test−simulation of the cutting test−sensitivity studiesUniaxial compression testRock sample: sandstone, d=h=50 mm(Sandvik Mining and Construction, Zeltweg, Austria)Brazilian testRock sample: sandstone, d=50 mm, h=25 mm (Sandvik Mining and Construction, Zeltweg, Austria)Laboratory test of rock cuttingRock type: sandstone Cutting tool: roadheader cutterhead bitLaboratory of Sandvik Mining and Construction, Zeltweg, AustriaTest parametersTestResults of laboratory testsDimensionless micro–macro relationshipsKt/Kn = 0.2v = 0.2Kt/Kn = 0.2Distribution of axial stresses Force−strain curveUniaxial compressive strength•in simulation: 116 MPa•average measured in laboratory: 127 MPat=0.0014 st=0.0018 st=0.0020 sStresses SyySimulationLaboratory testDiscrete element simulationSimulation Tensile strength:•calculated 05.0110319,12260=⋅⋅⋅⋅==ππLD P T t=0.0010 st=0.0016 st=0.0018 s2D Numerical simulation of the cutting testFailure mode Force vs. timeNumerical simulation of the cutting testComparison of averaged cutting force:experiment: ~ 6350 N2D simulation: ~ 4300 NStressvs. strain Simulation ofthe unconfinedcompressiontest3D simulation of Brazilian testForce vs. Time curveCalibrationNumerical modelExperimental and numerical cutting force componentsAverage experimental and numerical cutting force componentsComparisonof numericaland experimentalresults Chip sizes20-25 mm15-20 mmDistributionof chip sizes(experiment)Cutting with TBM disc cutters–linear cutting testLaboratory of Colorado School of MinesObjective:Numerical prediction of interactionforcesNumerical model of the linear cutting testNormal forceRolling forceFailure mode Equivalent Stress Numerical simulation of the linear cutting testInfluence of material propertiesMaterial1UCS = 147.3 MPaBTS = 10.2 MPaMaterial2UCS = 102.6 MPaBTS = 11.5 MPaDredging–underwater rock cuttingCourtesy of Boskalis bv, HollandModel of dredgingKinematics of a dredge cutterhead Model geometrySimulation of dredgingModel details:92 000 particles modelling a sample of a rock5400 elements modelling a toothswing velocity0.2 m/s, rotational velocity1.62 rad/sTool geometry and positionα–rake angleβ–clearance angleInfluence of the rake angleRemarks:smaller rake angle–bigger cutting forcesthe normal force in the plot above smallerthan the cutting force。
离散元课件(三)..
二 基本原理-多面体单元离散元法
公共面法
基本思路：
•构造一个公共面，通过公共面把两个块体 所占据的空间分为两部分； •分别检验每个块体与公共面的接触情况。 公共面的构造方法可以用一个悬在两个未 接触块体间的金属盘来说明，当两个块体 未接触时，金属盘与任何一个块体都不接 触，但是，随着两个块体逐步靠近直至接 触时，金属盘在两个块体的作用下发生扭 转直至完全被两个块体夹紧。无论这两个 块体的形状和位向如何，金属盘被夹紧后， 总会在一个特定位置达到稳定，而金属盘 达到稳定的位置恰恰就是处于接触中的两 个块体的接触面。
况，检测次数为
n v A vB
•
•对于两个立方体的情况，公共面法的检测次数为 16 ，而直接法为 240。
二 基本原理-多面体单元离散元法
公共面法
优点：
•对于点- 面接触类型，没有必要检测该接触是否位于面的周边以内， 因为公共面的位置在不断变化（见后面叙述），如果两个块体都与 公共面接触，那么这两个块体必然接触，如果两个块体没有接触， 则肯定与公共面不接触； •公共面的法向矢量就是接触的法向矢量，不需要额外进行计算； •既然公共面的法向是唯一的，那么就可以排除接触法向矢量的不连 续变化。公共面的法向矢量可能化发生迅速变化（如点-点接触）， 但是不会因为接触类型的改变而发生跳跃式变化。 •可以很容易地确定两个未接触块体间的最大空隙：只需要把两个块 体距公共面的距离相加即可。 •
分析：
•接触检验的次数直接取决于所要判别块体的边、顶点与面的平均 数量； •模拟中不仅要确定块体间是否接触，还要确定接触时的详细信息， 如：侵入深度、接触面的法向向量以及接触点等；
•对某些类型的接触检测是很困难的，例如，在点-面接触检测中，
离散数学讲义ppt课件
课程概况
教材：
《离散数学（第三版）》，耿素云等编著 清华大学出版社，2004年3月
参考书：
（1） 《离散数学(第二版)》及其配套参考书《离散 数学题解》作者：屈婉玲，耿素云，张立昂 清华大学出版社
（2） 《离散数学》焦占亚主编 电子工业出版社 2005年1月
2
课程概况
选修课/必修课：选修 周学时：3（学时） 上课周：1－16周 总学时：48（学时）
3
课程内容及学时安排
第一篇 数理逻辑（14学时）
第一章 命题逻辑（8） 第二章 谓词逻辑（6）
第二篇 集合论（12学时）
第三章 集合（4） 第四章 二元关系与函数（8）
第四篇 图论（14学时）
第七章 图论（8） 第八章 一些特殊图（4） 第九章 树 （2）
4
课程考核
第四篇 代数系统（8学时）
第5、6章 图论（8）
所以，伊勒克持拉既知道并且又不知道这个人是她的 哥哥。
20
NO.3 M：著名的理发师悖论是伯特纳德·罗素提出的。一个理发 师的招牌上写着： 告示：城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸，我 也只给这些人刮脸。 M：谁给这位理发师刮脸呢？ M：如果他自己刮脸，那他就属于自己刮脸的那类人。但 是，他的招牌说明他不给这类人刮脸，因此他不能自己来 刮。 M：如果另外一个人来给他刮脸，那他就是不自己刮脸的 人。但是，他的招牌说他要给所有这类人刮脸。因此其他 任何人也不能给他刮脸。看来，没有任何人能给这位理发 师刮脸了！
P
Q
PQ
P
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
离散元ppt课件
一 历史由来及研究现状
离散单元法 的研究现状
离散元理论研究的发展
近30年来，离散元法的应用领域在不断扩大，它自身的内涵也发 生了变化，以致于目前很难对离散元法给出一个严格的定义。下 面，我们从离散元法的离散模型特点及便于甄别与其它数值计算 方法的关系的角度给予离散元法一个比较宽松的定义。
一 历史由来及研究现状
一 历史由来及研究现状
产生背景
散粒岩土材料在自然界中普遍存在
从本质上讲，岩土材料都是由离散的、尺寸不一、形状各异的颗 粒或块体组成的，例如，土就是松散颗粒的堆积物，同样，天然 岩体也是由被结构面切割而成的大小不一、形态各异的岩石块体 所组成。散粒岩土材料的力学特性有着重要的工程应用，如泥砂 的沉淀，土堤、土（岩）坡、铁路道渣等的稳定性研究，散粒岩 土材料的力学特性研究是岩土力学中最基本的、也是最重要的问 题之一。
离散单元法 的研究现状
离散元理论研究的发展
• 数值方法通常将实际具有无限自由度的介质近似为具有有限 自由度的离散体(或网络)的计算模型(有限离散模型)进行计算。 有限离散模型具有三个要素：单元(或网络)、节点和节点间 的关联。
一 历史由来及研究现状
离散单元法 的研究现状
离散元理论研究的发展
• 离散元单元的形状有形形色色，但它只有一个基本节点(取单 元的形心点)，是一种物理元(physicalelement)．这种单元与有 限元法、边界元法等数值方法采用的由一组基本节点联成的 单元(一般称为网络元，mesh element)相比有明显的不同。
一 历史由来及研究现状
早期的离散单元法
Cundall称之为“Distinct Element Method”，随着该方法的推广， 有的学者称其为“Discrete Element Method”，缩写形式均为 DEM。 最初，离散元的研究对象主要是岩石等非连续介质的力学行为， 它的基本思想是把不连续体分离为刚性元素的集合，使各个刚性 元素满足运动方程，用时步迭代的方法求解各刚性元素的运动方 程，继而求得不连续体的整体运动形态。离散元法允许单元间的 相对运动，不一定要满足位移连续和变形谐调条件，计算速度快， 所需存储空间小，尤其适合求解大位移和非线性问题。
离散数学第七章二元关系ppt课件.ppt
实例
例2 (1) 证明A=B,C=D AC=BD (2) AC = BD是否推出 A=B,C=D? 为什么？
解 (1) 任取<x,y> <x,y>AC
xAyC xByD <x,y>BD (2) 不一定.反例如下： A={1}，B={2}, C = D = , 则AC = BD但是A B.
<x,y> <x,y>∈RIA
t (<x,t>∈R∧<t,y>∈IA) t (<x,t>∈R∧t=y∧y∈A) <x,y>∈R
20
关系运算的性质
定理7.4
(1) F(GH) = FG∪FH (2) (G∪H)F = GF∪HF
(3) F(G∩H) FG∩FH (4) (G∩H)F GF∩HF
只证 (3) 任取<x,y>, <x,y>∈F(G∩H)
t (<x,t>∈F∧<t,y>∈G∩H) t (<x,t>∈F∧<t,y>∈G∧<t,y>∈H)
t ((<x,t>∈F∧<t,y>∈G)∧(<x,t>∈F∧<t,y>∈H))
t (<x,t>∈F∧<t,y>∈G)∧t (<x,t>∈F∧<t,y>∈H)
(4) 若 A 或 B 中有一个为空集，则 AB 就是空集. A = B =
(5) 若 |A| = m, |B| = n, 则 |AB| = mn
3
性质证明
证明 A(BC) = (AB)(AC)
证 任取<x,y> <x,y>∈A×(B∪C)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
转动方程：
转动方程可以表示为
dωi Ii Ti dt j 1
式中，I i 与ωi 分别为颗粒 i 的转动惯量与角速度，对于 球形颗粒 I i为
ki
2 I i mi Ri2 5
二 基本原理-球形颗粒元离散元法
接触模型
综述：
关于接触力的计算模型已有大量的研究成果，目前仍旧是 一个活跃的研究领域，特别是对于切向力的计算方法。
二 基本原理
离散化模型
图1 颗粒元与块体元示意图
二 基本原理-球形颗粒元离散元法
俞 缙
bugyu0717@
华侨大学岩土工程研究所
二 基本原理
根据离散化模型中所采用的单元种类分别介绍离 散元法的基本原理：
颗粒元
• 二维圆盘单元 • 三维圆球单元
块体元
• 多边形单元 • 多面体单元
对于理想散体颗粒（无粘连）：采用 Hertz 理论描述法向作用，而采 用Mindlin与Deresiewicz理论描述切向作用； 对于存在粘连的散体颗粒：法向接触力根据在 Hertz 理论基础上考虑 粘连力的JKR（Johnson-Kendall-Roberts）理论确定，切向接触力增量 则根据把 Savkoor 和 Briggs 理论与 Mindlin 和 Deresiewicz理论相结合形 成的理论确定。
1988 年 Cundall 所在的 ITASCA 咨询公司推出针对三维块体元的 3DEC程序。至此，离散元的理论体系基本形成。
一 历史由来及研究现状
早期的离散单元法
Cundall称之为“Distinct Element Method”，随着该方法的推广， 有的学者称其为“ Discrete Element Method” ，缩写形式均为 DEM。 最初，离散元的研究对象主要是岩石等非连续介质的力学行为， 它的基本思想是把不连续体分离为刚性元素的集合，使各个刚性 元素满足运动方程，用时步迭代的方法求解各刚性元素的运动方 程，继而求得不连续体的整体运动形态。离散元法允许单元间的 相对运动，不一定要满足位移连续和变形谐调条件，计算速度快， 所需存储空间小，尤其适合求解大位移和非线性问题。
一 历史由来及研究现状
早期的离散单元法
主要思路：用Newton定律描述颗粒运动，通过颗粒间及颗粒与边 界间的相互作用传递载荷，求解方法是解藕的。 理论难点：接触力模型（Contact Force Model)与接触发现算法 (Contact Detection Algorithm)。
一 历史由来及研究现状
一 历史由来及研究现状
离散单元法 的研究现状
离散元理论研究的发展
近30年来，离散元法的应用领域在不断扩大，它自身的内涵也发 生了变化，以致于目前很难对离散元法给出一个严格的定义。下 面，我们从离散元法的离散模型特点及便于甄别与其它数值计算 方法的关系的角度给予离散元法一个比较宽松的定义。
一 历史由来及研究现状
一 历史由来及研究现状
早期的离散单元法
离散元法的思想源于较早的分子动力学（Molecular Dynamics）。 1971年Cundall提出适于岩石力学的离散元法； 1979年Cundall和Strack又提出适于土力学的离散元法，并推出二 维圆盘（Disc）程序BALL和三维圆球程序 TRUBAL （后来发展 为商业软件PFC-2D/3D），形成较系统的模型与方法，被称为软 颗粒模型。
颗粒间的接触力作用在两个颗粒的接触点上，而不是作 用在颗粒的中心，所以这些接触力（除法向接触力Fcn,ij 外）将会对颗粒产生力矩 Ti ，
Ti Ri Fct,ij Fdt ,ij
Ri为从颗粒i 的质心指向接触点的矢量，其幅值为 式中， R （颗粒的半径）。 i
二基本原理球形颗粒元离散元法
二基本原理球形颗粒元离散元法
接触模型
两个处于接触颗粒单位法向和切向向量：
单位法向向量
n Ri / Ri
Vij Vij n n Vij
ij
单位切向向量 t
V
n n
单位切向量之所以通过两个颗粒的相对速度来计算， 是因为接触力与粘性阻尼力的方向与相对速度的方 向相同。
二 基本原理
离散化模型
在物体的离散化方面，离散元法的离散思想同有限元法有着相似 之处：将所研究的区域划分成各种单元，并通过节点建立单元间 的联系．离散元法的单元从几何形状上分类可分为颗粒元和块体 元两大类，如图1所示． 块体元中最常用的有4面体元、6面体元；对于二维问题可以是任 意多边形元，但应用范围不广．每个离散单元只有一个基本节点 (取形心点)． 颗粒元主要是采用球体元；对于二维问题采用圆盘形单元．还有 人采用椭球体单元和椭圆形，但不常用．
二基本原理球形颗粒元离散元法
运动描述
接触力的分解：
颗粒 i 与 j 间的接触力可分解为法向与切向接触力，即
Fc,ij Fcn,ij Fct,ij
同理，粘性接触阻尼力也可分解为法向与切向分量形 式，即
Fd ,ij Fdn,ij Fdt ,ij
二基本原理球形颗粒元离散元法
运动描述
接触力产生的力矩：
二基本原理球形颗粒元离散元法
接触模型
法向接触力计算模型—
Cundall模型：
Fcn,ij k n n n
式中， k n为法向弹簧刚度。Βιβλιοθήκη 二 基本原理-球形颗粒元离散元法
二基本原理球形颗粒元离散元法
运动描述
平动方程：
dVi k mi Fc ,ij Fd ,ij mi g dt j 1
i
式中， mi 与 Vi 分别为颗粒 i 的质量和速度。 t 为时间， mi g 为颗粒的重力，Fc,ij 与 Fd ,ij 分别为颗粒 i 与 j 的 接触力与粘性接触阻尼力， k i 为所有与颗粒接触的颗 粒总数。
离散单元法的基本理论及应用
历史由来及研究现状
产生背景 发展现状 存在的问题
离散单元法的基本理论及应用
基本原理
Cundall二维圆盘单元离散元法 三维球体单元(颗粒元)离散元法 多边形单元离散元法 多面体单元离散元法 接触发现算法
• Cundall公共面法 • 其他方法
离散单元法的基本理论及应用
二 基本原理-球形颗粒元离散元法
基本假设
假定速度和加速度在每个时间步长内为常量 ； 选取的时间步长应该足够小以至于在单个时间步长
内扰动的传播不会超过当前与之相邻的粒子 。
二 基本原理-球形颗粒元离散元法
运动描述
处于一个理想散体中的任意一个颗粒 , 具有 6 个自由 度 ,3 个平动自由度与三个转动自由度 , 可通过 Newton 第二定律分别描述。
一 历史由来及研究现状
产生背景
散粒岩土材料在自然界中普遍存在
从本质上讲，岩土材料都是由离散的、尺寸不一、形状各异的颗 粒或块体组成的，例如，土就是松散颗粒的堆积物，同样，天然 岩体也是由被结构面切割而成的大小不一、形态各异的岩石块体 所组成。散粒岩土材料的力学特性有着重要的工程应用，如泥砂 的沉淀，土堤、土（岩）坡、铁路道渣等的稳定性研究，散粒岩 土材料的力学特性研究是岩土力学中最基本的、也是最重要的问 题之一。
一 历史由来及研究现状
离散单元法 的研究现状
粉体工程中的应用
其次，在粉体工程(过程)方面，颗粒离散元被广泛地应用于粉体
在复杂物理场作用下的复杂动力学行为的研究和多相混合材料介 质或具有复杂结构的材料其力学特性的研究中．它涉及到粉末加 工、研磨技术、混合搅拌等工业加工和粮食等颗粒离散体的仓储 和运输等生产实践领域中。
量散体组成的岩土材料则相当困难。
一 历史由来及研究现状
分子动力学方法的引入
分子动力学模拟是一种用来计算一个经典多体体系的平衡河传递 性质的方法。所谓的经典意味着颗粒体系的运动遵守经典力学定 律。该方法最初是用来描述分子运动的（当处理一些较轻的原子 或分子时，才需要考虑量子效应）。 分子动力学方法模拟分子的运动时，邻近分子间存在吸引或排斥 力。该方法可以模拟大量分子的运动。 去除分子间作用力，把分子动力学中的小尺度粒子作为散体岩 土材料中的颗粒，并入颗粒间及颗粒与边界间的相互作用描述， 即是Cundall离散元法的最初思路。
离散单元法 的研究现状
离散元法自问世以来，在岩土工程和粉体 ( 颗 粒散体 ) 工程这两大传统的应用领域中发挥了 其它数值算法不可替代的作用。
一 历史由来及研究现状
离散单元法 的研究现状
岩土工程中的应用
由于离散元单元具有更真实地表达节理岩体的几何特点能力，便
于处理以所有非线性变形和破坏都集中在节理面上为特征的岩体 破坏问题，被广泛地应用于模拟边坡、滑坡和节理岩体下地下水 渗流等力学过程的分析和计算中；离散元法还可以在颗粒体模型 基础上通过随机生成算法建立具有复杂几何结构模型，通过单元 间多种连接方式来体现土壤等多相介质间的不同物理关系，从而 更有效地模拟土壤的开裂、分离等非连续现象，成为分析和处理 岩土工程问题的不可缺少的方法 。
第6章 离散单元法
The Theory of DEM (Discrete Element Method) and Its Applications
俞 缙
bugyu0717@
华侨大学岩土工程研究所
离散单元法的基本理论及应用
历史由来及研究现状 基本原理 程序设计及商业软件介绍 应用
一 历史由来及研究现状
产生背景
用连续介质力学研究散粒岩土材料力学特性的不足
连续介质力学把散粒体作为一个整体来考虑，研究的重点放在建 立粒子集合的本构关系，从粒子集合整体的角度研究散粒体介质 的力学行为。 不足：不能体现颗粒间的复杂相互作用及高度非线性行为；不能 真实刻画散体材料的流动变形特征。
一 历史由来及研究现状