离散元课件
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用多体动力学描述散粒体的力学行为的困难
（1）对于被研究的多粒子系统而言，已经存在的接触不断地分开， 而新的接触频繁的形成，在多体动力学中，接触的分开与形成都需 要改变控制方程； （2）即使接触网络保持相同，在每一个接触中，也可能发生在依附与 滑动间的过渡，而这种过渡也会导致系统运动方程的改变。
因而：多体动力学方法只能描述少数散体体系的力学行为，对于大
二 基本原理
离散化模型
在物体的离散化方面，离散元法的离散思想同有限元法有着相似 之处：将所研究的区域划分成各种单元，并通过节点建立单元间 的联系．离散元法的单元从几何形状上分类可分为颗粒元和块体 元两大类，如图1所示． 块体元中最常用的有4面体元、6面体元；对于二维问题可以是任 意多边形元，但应用范围不广．每个离散单元只有一个基本节点 (取形心点)． 颗粒元主要是采用球体元；对于二维问题采用圆盘形单元．还有 人采用椭球体单元和椭圆形，但不常用．
二基本原理球形颗粒元离散元法
接触模型
两个处于接触颗粒接触点的相对速度：
Vij V j Vi ω j R j ωi Ri
法向相对速度为
Vn,ij Vij n n
或者写为
切向相对速度为
Vt,ij Vij Vij n n
Vt,ij Vij n n
一 历史由来及研究现状
产生背景
用连续介质力学研究散粒岩土材料力学特性的不足
连续介质力学把散粒体作为一个整体来考虑，研究的重点放在建 立粒子集合的本构关系，从粒子集合整体的角度研究散粒体介质 的力学行为。 不足：不能体现颗粒间的复杂相互作用及高度非线性行为；不能 真实刻画散体材料的流动变形特征。
一 历史由来及研究现状
一 历史由来及研究现状
早期的离散单元法
主要思路：用Newton定律描述颗粒运动，通过颗粒间及颗粒与边 界间的相互作用传递载荷，求解方法是解藕的。 理论难点：接触力模型（Contact Force Model)与接触发现算法 (Contact Detection Algorithm)。
一 历史由来及研究现状
颗粒间的接触力作用在两个颗粒的接触点上，而不是作 用在颗粒的中心，所以这些接触力（除法向接触力Fcn,ij 外）将会对颗粒产生力矩 Ti ，
Ti Ri Fct,ij Fdt ,ij
Ri为从颗粒i 的质心指向接触点的矢量，其幅值为 式中， R （颗粒的半径）。 i
二基本原理球形颗粒元离散元法
二基本原理球形颗粒元离散元法
运动描述
接触力的分解：
颗粒 i 与 j 间的接触力可分解为法向与切向接触力，即
Fc,ij Fcn,ij Fct,ij
同理，粘性接触阻尼力也可分解为法向与切向分量形 式，即
Fd ,ij Fdn,ij Fdt ,ij
二基本原理球形颗粒元离散元法
运动描述
接触力产生的力矩：
第6章 离散单元法
The Theory of DEM (Discrete Element Method) and Its Applications
俞 缙
bugyu0717@hqu.edu.cn
华侨大学岩土工程研究所
离wenku.baidu.com单元法的基本理论及应用
历史由来及研究现状 基本原理 程序设计及商业软件介绍 应用
一 历史由来及研究现状
离散单元法 的研究现状
离散元理论研究的发展
近30年来，离散元法的应用领域在不断扩大，它自身的内涵也发 生了变化，以致于目前很难对离散元法给出一个严格的定义。下 面，我们从离散元法的离散模型特点及便于甄别与其它数值计算 方法的关系的角度给予离散元法一个比较宽松的定义。
一 历史由来及研究现状
对于理想散体颗粒（无粘连）：采用 Hertz 理论描述法向作用，而采 用Mindlin与Deresiewicz理论描述切向作用； 对于存在粘连的散体颗粒：法向接触力根据在 Hertz 理论基础上考虑 粘连力的JKR（Johnson-Kendall-Roberts）理论确定，切向接触力增量 则根据把 Savkoor 和 Briggs 理论与 Mindlin 和 Deresiewicz理论相结合形 成的理论确定。
离散单元法 的研究现状
离散元法自问世以来，在岩土工程和粉体 ( 颗 粒散体 ) 工程这两大传统的应用领域中发挥了 其它数值算法不可替代的作用。
一 历史由来及研究现状
离散单元法 的研究现状
岩土工程中的应用
由于离散元单元具有更真实地表达节理岩体的几何特点能力，便
于处理以所有非线性变形和破坏都集中在节理面上为特征的岩体 破坏问题，被广泛地应用于模拟边坡、滑坡和节理岩体下地下水 渗流等力学过程的分析和计算中；离散元法还可以在颗粒体模型 基础上通过随机生成算法建立具有复杂几何结构模型，通过单元 间多种连接方式来体现土壤等多相介质间的不同物理关系，从而 更有效地模拟土壤的开裂、分离等非连续现象，成为分析和处理 岩土工程问题的不可缺少的方法 。
一 历史由来及研究现状
离散单元法 的研究现状
粉体工程中的应用
其次，在粉体工程(过程)方面，颗粒离散元被广泛地应用于粉体
在复杂物理场作用下的复杂动力学行为的研究和多相混合材料介 质或具有复杂结构的材料其力学特性的研究中．它涉及到粉末加 工、研磨技术、混合搅拌等工业加工和粮食等颗粒离散体的仓储 和运输等生产实践领域中。
程序设计及商业软件介绍
程序设计方法 UDEC 3DEC PFEC2D与PFC3D
离散单元法的基本理论及应用
应用
理想散体岩土介质中的应用
• 堆积问题 • 磨矿 • 铁路道砟
离散单元法的基本理论及应用
应用
在连续岩土介质中的应用
• • • • • • 岩石力学性质分析 颗粒破碎模拟 边坡稳定性分析 洞室围岩稳定性分析 桩与土介质相互作用模拟 分层岩土介质中侵彻与爆炸模拟
一 历史由来及研究现状
早期的离散单元法
离散元法的思想源于较早的分子动力学（Molecular Dynamics）。 1971年Cundall提出适于岩石力学的离散元法； 1979年Cundall和Strack又提出适于土力学的离散元法，并推出二 维圆盘（Disc）程序BALL和三维圆球程序 TRUBAL （后来发展 为商业软件PFC-2D/3D），形成较系统的模型与方法，被称为软 颗粒模型。
二 基本原理-球形颗粒元离散元法
基本假设
假定速度和加速度在每个时间步长内为常量 ； 选取的时间步长应该足够小以至于在单个时间步长
内扰动的传播不会超过当前与之相邻的粒子 。
二 基本原理-球形颗粒元离散元法
运动描述
处于一个理想散体中的任意一个颗粒 , 具有 6 个自由 度 ,3 个平动自由度与三个转动自由度 , 可通过 Newton 第二定律分别描述。
运动描述
转动方程：
转动方程可以表示为
dωi Ii Ti dt j 1
式中，I i 与ωi 分别为颗粒 i 的转动惯量与角速度，对于 球形颗粒 I i为
ki
2 I i mi Ri2 5
二 基本原理-球形颗粒元离散元法
接触模型
综述：
关于接触力的计算模型已有大量的研究成果，目前仍旧是 一个活跃的研究领域，特别是对于切向力的计算方法。
二 基本原理
离散化模型
图1 颗粒元与块体元示意图
二 基本原理-球形颗粒元离散元法
俞 缙
bugyu0717@hqu.edu.cn
华侨大学岩土工程研究所
二 基本原理
根据离散化模型中所采用的单元种类分别介绍离 散元法的基本原理：
颗粒元
• 二维圆盘单元 • 三维圆球单元
块体元
• 多边形单元 • 多面体单元
二基本原理球形颗粒元离散元法
运动描述
平动方程：
dVi k mi Fc ,ij Fd ,ij mi g dt j 1
i
式中， mi 与 Vi 分别为颗粒 i 的质量和速度。 t 为时间， mi g 为颗粒的重力，Fc,ij 与 Fd ,ij 分别为颗粒 i 与 j 的 接触力与粘性接触阻尼力， k i 为所有与颗粒接触的颗 粒总数。
二基本原理球形颗粒元离散元法
接触模型
法向接触力计算模型—
Cundall模型：
Fcn,ij k n n n
式中， k n为法向弹簧刚度。
二 基本原理-球形颗粒元离散元法
1988 年 Cundall 所在的 ITASCA 咨询公司推出针对三维块体元的 3DEC程序。至此，离散元的理论体系基本形成。
一 历史由来及研究现状
早期的离散单元法
Cundall称之为“Distinct Element Method”，随着该方法的推广， 有的学者称其为“ Discrete Element Method” ，缩写形式均为 DEM。 最初，离散元的研究对象主要是岩石等非连续介质的力学行为， 它的基本思想是把不连续体分离为刚性元素的集合，使各个刚性 元素满足运动方程，用时步迭代的方法求解各刚性元素的运动方 程，继而求得不连续体的整体运动形态。离散元法允许单元间的 相对运动，不一定要满足位移连续和变形谐调条件，计算速度快， 所需存储空间小，尤其适合求解大位移和非线性问题。
二 基本原理-球形颗粒元离散元法
接触模型
法向接触力计算模型 —Hertz模型： 4 * * 3/ 2 Fcn,ij E R n n 3
E 1 1 * R 2 2(1 v ) Ri R j
式中 E*
δn为颗粒i与j接触时的侵入深度
n Ri R j R j Ri
量散体组成的岩土材料则相当困难。
一 历史由来及研究现状
分子动力学方法的引入
分子动力学模拟是一种用来计算一个经典多体体系的平衡河传递 性质的方法。所谓的经典意味着颗粒体系的运动遵守经典力学定 律。该方法最初是用来描述分子运动的（当处理一些较轻的原子 或分子时，才需要考虑量子效应）。 分子动力学方法模拟分子的运动时，邻近分子间存在吸引或排斥 力。该方法可以模拟大量分子的运动。 去除分子间作用力，把分子动力学中的小尺度粒子作为散体岩 土材料中的颗粒，并入颗粒间及颗粒与边界间的相互作用描述， 即是Cundall离散元法的最初思路。
一 历史由来及研究现状
产生背景
散粒岩土材料在自然界中普遍存在
从本质上讲，岩土材料都是由离散的、尺寸不一、形状各异的颗 粒或块体组成的，例如，土就是松散颗粒的堆积物，同样，天然 岩体也是由被结构面切割而成的大小不一、形态各异的岩石块体 所组成。散粒岩土材料的力学特性有着重要的工程应用，如泥砂 的沉淀，土堤、土（岩）坡、铁路道渣等的稳定性研究，散粒岩 土材料的力学特性研究是岩土力学中最基本的、也是最重要的问 题之一。
离散单元法 的研究现状
离散元理论研究的发展
• 数值方法通常将实际具有无限自由度的介质近似为具有有限 自由度的离散体(或网络)的计算模型(有限离散模型)进行计算。 有限离散模型具有三个要素：单元 (或网络) 、节点和节点间 的关联。
一 历史由来及研究现状
离散单元法 的研究现状
离散元理论研究的发展
• 离散元单元的形状有形形色色，但它只有一个基本节点(取单 元的形心点)，是一种物理元(physicalelement)．这种单元与有 限元法、边界元法等数值方法采用的由一组基本节点联成的 单元(一般称为网络元，mesh element)相比有明显的不同。 • 另外，离散元法的节点间的关联又具有明确的物理意义，同 差分法等数值方法从数学上建立节点间的关联又有明显的差 异．因此，我们可以将离散法简单地定义为：通过物理元的 单元离散方式并构成具有明确物理意义的节点关系来建立有 限离散模型的数值计算方法。
离散单元法的基本理论及应用
历史由来及研究现状
产生背景 发展现状 存在的问题
离散单元法的基本理论及应用
基本原理
Cundall二维圆盘单元离散元法 三维球体单元(颗粒元)离散元法 多边形单元离散元法 多面体单元离散元法 接触发现算法
• Cundall公共面法 • 其他方法
离散单元法的基本理论及应用
二基本原理球形颗粒元离散元法
接触模型
两个处于接触颗粒单位法向和切向向量：
单位法向向量
n Ri / Ri
Vij Vij n n Vij
ij
单位切向向量 t
V
n n
单位切向量之所以通过两个颗粒的相对速度来计算， 是因为接触力与粘性阻尼力的方向与相对速度的方 向相同。
（1）对于被研究的多粒子系统而言，已经存在的接触不断地分开， 而新的接触频繁的形成，在多体动力学中，接触的分开与形成都需 要改变控制方程； （2）即使接触网络保持相同，在每一个接触中，也可能发生在依附与 滑动间的过渡，而这种过渡也会导致系统运动方程的改变。
因而：多体动力学方法只能描述少数散体体系的力学行为，对于大
二 基本原理
离散化模型
在物体的离散化方面，离散元法的离散思想同有限元法有着相似 之处：将所研究的区域划分成各种单元，并通过节点建立单元间 的联系．离散元法的单元从几何形状上分类可分为颗粒元和块体 元两大类，如图1所示． 块体元中最常用的有4面体元、6面体元；对于二维问题可以是任 意多边形元，但应用范围不广．每个离散单元只有一个基本节点 (取形心点)． 颗粒元主要是采用球体元；对于二维问题采用圆盘形单元．还有 人采用椭球体单元和椭圆形，但不常用．
二基本原理球形颗粒元离散元法
接触模型
两个处于接触颗粒接触点的相对速度：
Vij V j Vi ω j R j ωi Ri
法向相对速度为
Vn,ij Vij n n
或者写为
切向相对速度为
Vt,ij Vij Vij n n
Vt,ij Vij n n
一 历史由来及研究现状
产生背景
用连续介质力学研究散粒岩土材料力学特性的不足
连续介质力学把散粒体作为一个整体来考虑，研究的重点放在建 立粒子集合的本构关系，从粒子集合整体的角度研究散粒体介质 的力学行为。 不足：不能体现颗粒间的复杂相互作用及高度非线性行为；不能 真实刻画散体材料的流动变形特征。
一 历史由来及研究现状
一 历史由来及研究现状
早期的离散单元法
主要思路：用Newton定律描述颗粒运动，通过颗粒间及颗粒与边 界间的相互作用传递载荷，求解方法是解藕的。 理论难点：接触力模型（Contact Force Model)与接触发现算法 (Contact Detection Algorithm)。
一 历史由来及研究现状
颗粒间的接触力作用在两个颗粒的接触点上，而不是作 用在颗粒的中心，所以这些接触力（除法向接触力Fcn,ij 外）将会对颗粒产生力矩 Ti ，
Ti Ri Fct,ij Fdt ,ij
Ri为从颗粒i 的质心指向接触点的矢量，其幅值为 式中， R （颗粒的半径）。 i
二基本原理球形颗粒元离散元法
二基本原理球形颗粒元离散元法
运动描述
接触力的分解：
颗粒 i 与 j 间的接触力可分解为法向与切向接触力，即
Fc,ij Fcn,ij Fct,ij
同理，粘性接触阻尼力也可分解为法向与切向分量形 式，即
Fd ,ij Fdn,ij Fdt ,ij
二基本原理球形颗粒元离散元法
运动描述
接触力产生的力矩：
第6章 离散单元法
The Theory of DEM (Discrete Element Method) and Its Applications
俞 缙
bugyu0717@hqu.edu.cn
华侨大学岩土工程研究所
离wenku.baidu.com单元法的基本理论及应用
历史由来及研究现状 基本原理 程序设计及商业软件介绍 应用
一 历史由来及研究现状
离散单元法 的研究现状
离散元理论研究的发展
近30年来，离散元法的应用领域在不断扩大，它自身的内涵也发 生了变化，以致于目前很难对离散元法给出一个严格的定义。下 面，我们从离散元法的离散模型特点及便于甄别与其它数值计算 方法的关系的角度给予离散元法一个比较宽松的定义。
一 历史由来及研究现状
对于理想散体颗粒（无粘连）：采用 Hertz 理论描述法向作用，而采 用Mindlin与Deresiewicz理论描述切向作用； 对于存在粘连的散体颗粒：法向接触力根据在 Hertz 理论基础上考虑 粘连力的JKR（Johnson-Kendall-Roberts）理论确定，切向接触力增量 则根据把 Savkoor 和 Briggs 理论与 Mindlin 和 Deresiewicz理论相结合形 成的理论确定。
离散单元法 的研究现状
离散元法自问世以来，在岩土工程和粉体 ( 颗 粒散体 ) 工程这两大传统的应用领域中发挥了 其它数值算法不可替代的作用。
一 历史由来及研究现状
离散单元法 的研究现状
岩土工程中的应用
由于离散元单元具有更真实地表达节理岩体的几何特点能力，便
于处理以所有非线性变形和破坏都集中在节理面上为特征的岩体 破坏问题，被广泛地应用于模拟边坡、滑坡和节理岩体下地下水 渗流等力学过程的分析和计算中；离散元法还可以在颗粒体模型 基础上通过随机生成算法建立具有复杂几何结构模型，通过单元 间多种连接方式来体现土壤等多相介质间的不同物理关系，从而 更有效地模拟土壤的开裂、分离等非连续现象，成为分析和处理 岩土工程问题的不可缺少的方法 。
一 历史由来及研究现状
离散单元法 的研究现状
粉体工程中的应用
其次，在粉体工程(过程)方面，颗粒离散元被广泛地应用于粉体
在复杂物理场作用下的复杂动力学行为的研究和多相混合材料介 质或具有复杂结构的材料其力学特性的研究中．它涉及到粉末加 工、研磨技术、混合搅拌等工业加工和粮食等颗粒离散体的仓储 和运输等生产实践领域中。
程序设计及商业软件介绍
程序设计方法 UDEC 3DEC PFEC2D与PFC3D
离散单元法的基本理论及应用
应用
理想散体岩土介质中的应用
• 堆积问题 • 磨矿 • 铁路道砟
离散单元法的基本理论及应用
应用
在连续岩土介质中的应用
• • • • • • 岩石力学性质分析 颗粒破碎模拟 边坡稳定性分析 洞室围岩稳定性分析 桩与土介质相互作用模拟 分层岩土介质中侵彻与爆炸模拟
一 历史由来及研究现状
早期的离散单元法
离散元法的思想源于较早的分子动力学（Molecular Dynamics）。 1971年Cundall提出适于岩石力学的离散元法； 1979年Cundall和Strack又提出适于土力学的离散元法，并推出二 维圆盘（Disc）程序BALL和三维圆球程序 TRUBAL （后来发展 为商业软件PFC-2D/3D），形成较系统的模型与方法，被称为软 颗粒模型。
二 基本原理-球形颗粒元离散元法
基本假设
假定速度和加速度在每个时间步长内为常量 ； 选取的时间步长应该足够小以至于在单个时间步长
内扰动的传播不会超过当前与之相邻的粒子 。
二 基本原理-球形颗粒元离散元法
运动描述
处于一个理想散体中的任意一个颗粒 , 具有 6 个自由 度 ,3 个平动自由度与三个转动自由度 , 可通过 Newton 第二定律分别描述。
运动描述
转动方程：
转动方程可以表示为
dωi Ii Ti dt j 1
式中，I i 与ωi 分别为颗粒 i 的转动惯量与角速度，对于 球形颗粒 I i为
ki
2 I i mi Ri2 5
二 基本原理-球形颗粒元离散元法
接触模型
综述：
关于接触力的计算模型已有大量的研究成果，目前仍旧是 一个活跃的研究领域，特别是对于切向力的计算方法。
二 基本原理
离散化模型
图1 颗粒元与块体元示意图
二 基本原理-球形颗粒元离散元法
俞 缙
bugyu0717@hqu.edu.cn
华侨大学岩土工程研究所
二 基本原理
根据离散化模型中所采用的单元种类分别介绍离 散元法的基本原理：
颗粒元
• 二维圆盘单元 • 三维圆球单元
块体元
• 多边形单元 • 多面体单元
二基本原理球形颗粒元离散元法
运动描述
平动方程：
dVi k mi Fc ,ij Fd ,ij mi g dt j 1
i
式中， mi 与 Vi 分别为颗粒 i 的质量和速度。 t 为时间， mi g 为颗粒的重力，Fc,ij 与 Fd ,ij 分别为颗粒 i 与 j 的 接触力与粘性接触阻尼力， k i 为所有与颗粒接触的颗 粒总数。
二基本原理球形颗粒元离散元法
接触模型
法向接触力计算模型—
Cundall模型：
Fcn,ij k n n n
式中， k n为法向弹簧刚度。
二 基本原理-球形颗粒元离散元法
1988 年 Cundall 所在的 ITASCA 咨询公司推出针对三维块体元的 3DEC程序。至此，离散元的理论体系基本形成。
一 历史由来及研究现状
早期的离散单元法
Cundall称之为“Distinct Element Method”，随着该方法的推广， 有的学者称其为“ Discrete Element Method” ，缩写形式均为 DEM。 最初，离散元的研究对象主要是岩石等非连续介质的力学行为， 它的基本思想是把不连续体分离为刚性元素的集合，使各个刚性 元素满足运动方程，用时步迭代的方法求解各刚性元素的运动方 程，继而求得不连续体的整体运动形态。离散元法允许单元间的 相对运动，不一定要满足位移连续和变形谐调条件，计算速度快， 所需存储空间小，尤其适合求解大位移和非线性问题。
二 基本原理-球形颗粒元离散元法
接触模型
法向接触力计算模型 —Hertz模型： 4 * * 3/ 2 Fcn,ij E R n n 3
E 1 1 * R 2 2(1 v ) Ri R j
式中 E*
δn为颗粒i与j接触时的侵入深度
n Ri R j R j Ri
量散体组成的岩土材料则相当困难。
一 历史由来及研究现状
分子动力学方法的引入
分子动力学模拟是一种用来计算一个经典多体体系的平衡河传递 性质的方法。所谓的经典意味着颗粒体系的运动遵守经典力学定 律。该方法最初是用来描述分子运动的（当处理一些较轻的原子 或分子时，才需要考虑量子效应）。 分子动力学方法模拟分子的运动时，邻近分子间存在吸引或排斥 力。该方法可以模拟大量分子的运动。 去除分子间作用力，把分子动力学中的小尺度粒子作为散体岩 土材料中的颗粒，并入颗粒间及颗粒与边界间的相互作用描述， 即是Cundall离散元法的最初思路。
一 历史由来及研究现状
产生背景
散粒岩土材料在自然界中普遍存在
从本质上讲，岩土材料都是由离散的、尺寸不一、形状各异的颗 粒或块体组成的，例如，土就是松散颗粒的堆积物，同样，天然 岩体也是由被结构面切割而成的大小不一、形态各异的岩石块体 所组成。散粒岩土材料的力学特性有着重要的工程应用，如泥砂 的沉淀，土堤、土（岩）坡、铁路道渣等的稳定性研究，散粒岩 土材料的力学特性研究是岩土力学中最基本的、也是最重要的问 题之一。
离散单元法 的研究现状
离散元理论研究的发展
• 数值方法通常将实际具有无限自由度的介质近似为具有有限 自由度的离散体(或网络)的计算模型(有限离散模型)进行计算。 有限离散模型具有三个要素：单元 (或网络) 、节点和节点间 的关联。
一 历史由来及研究现状
离散单元法 的研究现状
离散元理论研究的发展
• 离散元单元的形状有形形色色，但它只有一个基本节点(取单 元的形心点)，是一种物理元(physicalelement)．这种单元与有 限元法、边界元法等数值方法采用的由一组基本节点联成的 单元(一般称为网络元，mesh element)相比有明显的不同。 • 另外，离散元法的节点间的关联又具有明确的物理意义，同 差分法等数值方法从数学上建立节点间的关联又有明显的差 异．因此，我们可以将离散法简单地定义为：通过物理元的 单元离散方式并构成具有明确物理意义的节点关系来建立有 限离散模型的数值计算方法。
离散单元法的基本理论及应用
历史由来及研究现状
产生背景 发展现状 存在的问题
离散单元法的基本理论及应用
基本原理
Cundall二维圆盘单元离散元法 三维球体单元(颗粒元)离散元法 多边形单元离散元法 多面体单元离散元法 接触发现算法
• Cundall公共面法 • 其他方法
离散单元法的基本理论及应用
二基本原理球形颗粒元离散元法
接触模型
两个处于接触颗粒单位法向和切向向量：
单位法向向量
n Ri / Ri
Vij Vij n n Vij
ij
单位切向向量 t
V
n n
单位切向量之所以通过两个颗粒的相对速度来计算， 是因为接触力与粘性阻尼力的方向与相对速度的方 向相同。