求线性目标函数的取值范围或最值

简单的线性(整数)规划问题

一.知识要点：

1.线性规划的基础概念

(1)线性约束条件

约束条件都是关于x, y的一次整式不等式.

(2)目标函数

待求最值(最大值或最小值)的函数.

(3)线性目标函数

目标函数是关于变量x, y的一次解析式(整式).

(4)线性规划

在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问题, 其中在限定变量为整数的时候, 对应的线性规划问题, 也称为整数规划问题.

(5)可行解

满足全部约束条件的解(x, y).

(6)可行域

全部可行解构成的集合称为线性规划问题的可行域.

(7)最优解

使目标函数取到最大值或最小值的可行解.

注意:

①线性约束条件即可用二元一次不等式表示, 也可以用二元一次方程表示.

②最优解如果存在(当然, 最优解有不存在的情况), 其个数并不一定是唯一的, 可能有多个最优解, 也可能存在无数个最优解.

③目标函数z ax by

=+取到最优解(最大或最小值)的点, 往往出现在可行域的顶点或边界上.

④对于整数规划问题(,

∈∈), 最优解未必在边界或顶点处取

x y

得, 往往要在可行域的顶点或边界附近寻找.

⑤寻找最优解的前提是尽量准确画出可行域的草图, 从而有助于我们发现最优解.

二. 解题思路:

解决线性规划问题, 先要准确作出可行域, 且明白目标函数表示的几何意义, 通过数形结合找到目标函数取到最值时可行域的顶点(或边界上的点). 而对于整数规划问题, 则应该进一步验证解决, 边界点或顶点可能不在是最优点, 而是在它们的临近区域的整点.

三．求解步骤

①在平面直角坐标系中画出可行域(对于应用问题, 则要先正确写出

规划模型及满足的约束条件, 再画出可行域).

②结合目标函数的几何意义, 将目标函数变形写成直线的方程形式或写成一次函数的形式.

③确定最优点: 在可行域内平行移动目标函数变形后的直线, 从而找到最优点.

④ 将最优点的坐标代入目标函数即可求出最大值或最小值.

四. 高考题演练

1. (新课标全国高考) 设x , y 满足约束条件1010,3x y x y x -+≥⎧⎪

+-≥⎨⎪≤⎩

则23z x y =-的

最小值是( ) 提示1 A. 7- B. 6- C. 5- D. 3- 2. (福建高考) 若变量x , y

满足约束条件210x y x y +≤⎧⎪

≥⎨⎪≥⎩

, 则2z x y =+的最

大值和最小值分别为( ). 提示2 A. 43和 B. 4和2 C. 3和2 D. 2和0 3. (湖北高考) 某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行, A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人, 租金分别为1600元/辆和2400元/辆, 旅行社要求租车的总数不超过21辆, 且B 型车不多于A 型车7辆. 则租金最小为( ). 提示3

A. 31200元

B. 36000元

C. 36800元

D. 38400元

4. (湖南高考) 若变量x , y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪

+≤⎨⎪≥-⎩

, 则2x y +的最大值

为( ). 提示4 A. 52

- B. 0 C. 53 D.

52

5. (天津高考) 设变量,x y满足约束条件

360,

20,

30

x y

x y

y

+-≥

⎧

⎪

--≤

⎨

⎪-≤

⎩

则目标函数

2

z y x

=-的最小值为( ) 提示5

A. 7-

B. 4-

C.1

D. 2

6. (陕西高考) 若点(x, y)位于曲线y x=与2

y=所围成的封闭区域, 则2x y

-的最小值是( ). 提示6 A. 6- B. 2- C.0 D. 2

7. (四川高考) 若变量,x y满足约束条件

8,

24

,

x y

y x

x

y

+≤

⎧

⎪-≤

⎪

⎨

≥

⎪

⎪≥

⎩

且目标函数

5

z y x

=-的最大值为a, 最小值为b, 则a b-的值是( ) 提示7 A. 48 B. 30 C.24 D. 16

_

参考答案:

提示1：不等式组表示的平面区域如图1中阴

影部分所示, 其顶点A , B , C 的面积可直接算 出, 待求面积为

1144

(4)1.2233

ABC

S

AC h =

⋅=⨯-⨯= 图1

提示2：不等式组10,

10,10x y x ax y +-≥⎧⎪

-≤⎨⎪-+≥⎩

所围成的平面区域如图2中阴影部分所

示, 面积为2, 则12114352

AC AC a a or =⋅⇒=+=⇒=-其中-5舍

去.

图2 图3

提示3: 已知可求出,.3

OA OB π

〈〉=可设(2,0),(1,3),(,),OA OB OP

x y ===

则

1(22x x y λλμμ⎧=-⎪+=⎧⎪⎪⇒⎨

=⎪=

⎪⎩

,

由12y y λμ+≤

⇒-+≤

可行域参考图3, 所求面积1

24

2

S =⨯⨯=

可行域由如下四个子区域拼接而成: