求线性目标函数的取值范围或最值
线性规划的常见题型
线性规划的常见题型一、基础能力【一】已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的取值范围为( )A ．[7，23]B ．[8，23]C ．[7，8]D ．[7，25]【二】变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，(1)设z ＝y2x －1，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．技能掌握1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by ．求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值，间接求出z 的最值．(2)距离型：形一：如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，z ＝x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点的距离；形二：z ＝(x －a )2＋(y －b )2，z ＝x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点的距离的平方．(3)斜率型：形如z ＝y x ，z ＝ay －b cx －d ，z ＝ycx －d ，z ＝ay －b x ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点所在直线的斜率．二、题型分解题型一：求线性目标函数的最值1．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．22．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，2x ＋y －3≤0，则目标函数z ＝x ＋6y 的最大值为( )A ．3B ．4C ．18D ．403．若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为( ) A ．－6 B ．－2 C ．0D ．2题型二：求非线性目标的最值4．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－125．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y ，则z ＝2x ＋y －1x －1的取值范围 ． 6．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2y －x ≤2，y ≥1，则x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[1，2]B ．[1，4]C ．[2，2]D ．[2，4]7．设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．8．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，|AB |的最小值等于( )A ．285B ．4C ．125D ．2题型三：求线性规划中的参数9．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是A ．73B ．37C ．43D ．3410．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2C ．12D ．－1211．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为A ．12或－1B ．2或12C ．2或1D ．2或－112．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤s ，y ＋2x ≤4.下，当3≤s ≤5时，目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的取值范围是( )A ．[6，15]B ．[7，15]C ．[6，8]D ．[7，8]13．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x 3a ＋y 4a ≤1，若z ＝x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为32，则a 的值为________．题型四：线性规划的实际应用14．A，B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A产品每件利润300元，B产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．15．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？三、练习巩固一、选择题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)2．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则z ＝x －y 的最小值是( )A ．－3B ．0C ．32D ．33．已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OA →·OP →的最大值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．24．已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤53，5B ．[0，5]C ．⎣⎡⎭⎫53，5D ．⎣⎡⎭⎫－53，5 5．如果点(1，b )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间，则b 应取的整数值为( ) A ．2 B ．1 C ．3D ．06．已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是( )A ．(1－3，2)B ．(0，2)C ．(3－1，2)D ．(0，1＋3)7．在平面直角坐标系xOy 中，P 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y －2≥0，x －y －1≤0，所表示的平面区域上一动点，则直线OP 斜率的最大值为( )A ．2B ．13C ．12D ．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1C ．12D ．149．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2≤0，x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为4，则ab的取值范围是( )A ．(0，4)B ．(0，4]C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)10．设动点P (x ，y )在区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，x ＋y ≤4上，过点P 任作直线l ，设直线l 与区域Ω的公共部分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π11．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，x －y ≥2，3x ＋y ≤14，若使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值集合是( )A ．{－3,0}B ．{3,－1}C ．{0,1}D ．{－3,0,1}12．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－313．若a ≥0，b ≥0，且当⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时，恒有ax ＋by ≤1，则由点P (a ，b )所确定的平面区域的面积是( )A ．12B ．π4C ．1D ．π214．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2．求得m 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－∞，43B ．⎝⎛⎭⎫－∞，13 C ．⎝⎛⎭⎫－∞，－23D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－53 15．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D ．若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是 ( )A ．(1，3]B ．[2，3]C ．(1，2]D ．[3，＋∞)16．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．4917．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，y ≤k (x －1)－1表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)18．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，|x |－y －1≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．1019．当变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋3y ≤4x ≥m 时，z ＝x －3y 的最大值为8，则实数m 的值是( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－120．已知O 为坐标原点，A ，B 两点的坐标均满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，x －1≥0，则tan ∠AOB 的最大值等于( )A ．94B ．47C ．34D ．12二、填空题21．不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．22．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，则x ＋y 的取值范围是________．23．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为____．24．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，则w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8的最小值为________．25．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________．26．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨，煤不超过18吨，则该企业可获得的最大利润是______万元．27．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：________亩． 28．若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为________．29．当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．30．已知动点P (x ，y )在正六边形的阴影部分(含边界)内运动，如图，正六边形的边长为2，若使目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则k 的值为________．31．设m ＞1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围 ．32．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，若目标函数z ＝x －y 的最小值的取值范围是[－2，－1]，则目标函数的最大值的取值范围是________．33．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0.令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．34．已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ．若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为__________．35．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －13≤02y －x ＋1≥0x ＋y －4≥0且有无穷多个点(x ，y )使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝________．。
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题
的点(x，y)所形成区域的面积为( B． 2π D．π
)
A．4π C. 3π 2
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解析：不等式 f(x)＋ f(y)≤0 可转化为(x－1)2＋ (y－1)2≤2，不 等式 f(x)－ f(y)≥0 可转化为(x－ y)(x＋ y－2)≥0.于是点(x， y)所形成 1 的区域为两个 圆面，而圆面积是 2π. 4
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解析：设对甲项目投资 x 万元，对乙项目投资 y 万元，获得 总利润为 z 万元，则 z＝ 0.4x＋ 0.6y，且
x＋ y≤60， x≥2y， 3 x≥5， y≥5，
作出不等式组表示的平面区域，
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如图所示，作直线l0：0.4x＋0.6y＝0，并将l0向 上 平 移 ， 过 点 时 z 取 得 最 大 值 ， 即 zmax ＝ 0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)．故选B.
点评： (1)用图解法解决线性规划问题时，分析 题目的已知条件找出约束条件和目标函数是关 键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清 头绪，然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件， 并就题目所述找到目标函数． (2) 可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧 开放的无限大的平面区域． 如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点 处使目标函数取得最大值或最小值，最优解一 般就是多边形的某个顶点． 特别地，当表示线性目标函数的直线与可行域 5 共 57 页 的某条边平行时 (k ＝ ki) ，其最优解可能有无数
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答案：B
x＋y≥0， 5． (全国卷Ⅰ) 若 x 、 y 满足约束条件x－y＋3≥0， 0≤x≤3，
灵活建构线性规划模型彰显数学思想方法魅力
边 同除以 ｃ 得５ — ３ ≤ ≤４ 一ａ ，令 ｘ ＝ ， ｙ ＝
Ｃ Ｃ Ｃ Ｃ
．
数 ｙ ＝ 、 ／ ｒ ｓ ｉ ｎ （ ｅ ＋ ｝ ） ， ｒ ∈ 【 、 ／ ， ｍ ］ ， ０ ∈ Ｒ 的 值
域和 区间［ ２ ｍ 一 ２ ， ２ ｍ 一 １ １ 存在公共元素 。 解答时主要
‘ ｍ
／ ２ ｍ － ２ ￣ ｍ
பைடு நூலகம்
－ ２ ４ － － ＜ ｍ － ￣ ２ ＋ Ｖ
的试题可 以促使 我们 在高三复习过程 中注重学生 对这些数学思想方法的体验和认识 ， 培养学生在面
综上得 ｉ ｎ 的取值范围是 ： 【 ， ２ ＋ 、 ／ 】 。
评析 ： 首先要搞清楚当 ｉ １ ３ 取不同值时集合 Ａ表
集合 Ａ由 １ Ｔ Ｉ 取值不同表示不同的点集。 由 Ｉ ｎ＝ ｍ ｚ 解
得ｍ － ０ 或 。
式 函数等知识综合 ， 注重知识应用 的综合性 、 交汇 性、 灵活 陛和创造性 ， 命制出了一些注重能力考查的 新颖题 目， 体现对数学能力不同层次的要求 ， 有利于 “ 能力立意” 的命题指导思想 ， 可 以引导我们 日常教 学， 促使我们搞好高中数学教学和备考复习。
条平行线之 间的带型区域 ，但其位置不定 ；集合 Ａ
所构成区域是否存在、形状如何都与 Ｉ Ｔ Ｉ 取值有关 ， 千丝万缕 的联系 、 不确定 因素之多致使 问题错综 复
杂 。考生要在紧张的高考中顺利完成本题 ， 不仅要
｛ （ ｒ ， 、 ／ ≤ ｒ ＜ － ｍ ｝ ， Ａ ｆ ｑ Ｂ ＃ ￣ Ｃ ＝ ＞ ｑ ｒ Ｅ 【 、 ／ ， ｍ ］ ， ０ ∈ Ｒ 使 得 ２ ｍ 一
Ｌ 二 Ｊ
线性规划最值问题
线性规划最值问题什么是线性规划线性规划是一种数学优化方法，用于解决一类最值问题。
在线性规划中，我们试图找到一组变量的值，使得目标函数取得最大（或最小）值，同时满足一组线性等式或不等式约束条件。
线性规划问题的一般形式线性规划问题可以用下列一般形式来表示：$$\max (或 \min) c^T x$$$$s.t.\quad Ax \leq b$$其中，$x$是变量向量，$c$是目标函数系数向量，$A$是约束条件系数矩阵，$b$是约束条件右侧常数向量。
求解线性规划最值问题的步骤求解线性规划最值问题的一般步骤如下：1. 确定目标函数：根据问题要求确定目标函数的系数向量$c$和优化目标（最大化或最小化）。
2. 设置约束条件：根据问题要求确定约束条件的系数矩阵$A$和右侧常数向量$b$。
3. 求解最值：应用线性规划算法，求解线性规划问题，找到使目标函数取得最大（或最小）值的变量向量$x$。
4. 解释结果：将最值代入目标函数，得到最终的最值结果，并解释其含义。
线性规划最值问题的应用线性规划最值问题在实际应用中具有广泛的应用，例如：- 产品混合问题：决定不同产品的生产数量，以最大化收益或最小化成本。
- 运输问题：确定不同货物在不同运输路线上的分配方案，以最小化运输成本。
- 资源分配问题：决定资源的最优分配，以最大化效益或实现平衡。
总结线性规划最值问题是一种在实际应用中常见的问题求解方法。
通过确定目标函数和约束条件，并应用线性规划算法，我们可以找到使目标函数取得最大（或最小）值的变量向量。
该方法可以应用于多个领域，帮助优化决策和资源分配。
最新高中文科数学线性规划部分常见题型整理资料讲解
高中文科数学线性规划部分常见题型整理1．图中的平面区域（阴影部分包括边界）可用不等式组表示为 （A ．20≤≤xB ．⎩⎨⎧≤≤≤≤1020y xC ．⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+yx y x 022D ．⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-+00022y x y x 3．已知点P （x 0，y 0）和点A （1，2）在直线0823:=-+y x l 的异侧，则 （ D ）A ．02300>+y xB ．<+0023y x 0C ．82300<+y xD ．82300>+y x一、求线性目标函数的取值范围4.若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y 的取值范围是 （ ）A 、[2,6]B 、[2,5]C 、[3,6]D 、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选 A5.已知变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≤+-07102y x x y x ，则x y 的取值范围是（ A ）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,59B.[]6,3C.[)∞+⎥⎦⎤⎝⎛∞-,659, D.(][)∞+∞-,63,二、求可行域的面积7.不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为 （ ）A 、4 B 、1 C 、5 D 、无穷大解：如图作出可行域，△ABC 的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选 B8.已知R y x ∈,，则不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≥02|||1|x x y x y 表示的平面区域的面积是__45______.9.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+>>123400y x y x 表示的平面区域的面积是____，平面区域内的整点坐标 .三、求可行域中整点个数10.满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ） A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0)x y x y x y x y x y x y x y xy+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D四、求线性目标函数中参数的取值范围11.已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为（ ） A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1解：如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选 D五、求非线性目标函数的最值12.已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是 （ ） A 、13，1 B 、13，2C 、13，45D、解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为45，选C13.若变量x y 、满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为 （A ）A.2B.3C.5D.614.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =+的最大值为（ C ）A ． 5 B. 3 C. 7 D. -8六、求约束条件中参数的取值范围19.已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m 的取值范围是（ ）A 、（-3,6）B 、（0,6）C 、（0,3）D 、（-3,3） 解：|2x －y ＋m|＜3等价于230230x y m x y m -++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩ ,故0＜m ＜3，选 C七、线性规划的实际应用20.某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m 3，第二种有56m 3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产一个衣柜可获利10元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多?产品木料(单位m3)第一种第二种圆桌0.18 0.08衣柜0.09 0.28解：设生产圆桌x只,生产衣柜y个,利润总额为z元,那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+5628.008.07209.018.0yxyxyx而z=6x+10y.如上图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.作直线l:6x+10y=0,即l:3x+5y=0,把直线l向右上方平移至l1的位置时,直线经过可行域上点M,且与原点距离最大,此时z=6x+10y取最大值解方程组⎩⎨⎧=+=+5628.008.07209.018.0yxyx,得M点坐标(350,100).答:应生产圆桌350只,生产衣柜100个,能使利润总额达到最大.18．某厂生产甲、乙两种产品，产量分别为45个、50个，所用原料为A、B两种规格的金属板，每张面积分别为2m2、3 m2，用A种金属板可造甲产品3个，乙产品5个，用B种金属板可造甲、乙产品各6个，则A、B两种金属板各取多少张时，能完成计划并能使总用料面积最省？（ A ）A．A用3张，B用6张B．A用4张，B用5张C．A用2张，B用6张D．A用3张，B用5张一、单项选择题1.下列纳税人中应缴纳城建税的是（）。
线性规划章节复习
《简单的线性规划》章节复习编写：高级教师李亚和 审核：高级教师李亚和班级 姓名 成绩一、典例精解1、求线性目标函数的最值例1．设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x x y ，则目标函数y x z +=2的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．9 2、求平面区域的面积问题例2．在平面直角坐标系xOy 内，已知平面区域A ={(x ，y )|1≤+y x ，且0≥x ，0≥y }，则平面区域B ={(x +y ，x –y )|(x ，y )∈A }的面积为（ ）A ．2B ．1C ．21D ．41 3、求距离的最值问题例3．已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+-≥022011y x y x x ，则22y x +的最小值是（ ）A ．5B ．25C ．1D ．5 4、求斜率的范围问题例4．已知变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≤+-07102y x x y x ，则x y 的取值范围是（ ）A ．[59，6] B ．-∞(，59] [6，)∞+ C ．-∞(，3] [6，)∞+ D ．[3，6] 5、求线性规划的整点最优解问题例5．设变量x ，y 满足条件3210411,0,0x y x y x y Z x y +<⎧⎪+<⎪⎨∈⎪⎪>>⎩，则y x s 45+=的最小值为 ．6、求参数的范围问题例6．若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-ay x y y x y x 0220表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ）A ．34≥aB ．10≤<aC ．341≤≤a D ．10≤<a 或34≥a例7．在约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥4200x y s y x y x 下，当53≤≤s 时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是（ ）A ．[6，15]B ．[7，15]C ．[6，8]D ．[7，8] 7、线性规划问题与其他知识的交汇例8．已知D 是由不等式组⎩⎨⎧≥+≥-0302y x y x ，所确定的平面区域，则圆422=+y x 在区域D 内的弧长为（ ） A ．4π B ．2π C ．43π D ．23π例9．在坐标平面内，不等式组22x y x yy x ⎧+≤+⎨≥⎩所表示平面区域的面积为 ．例10．若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥43430y x y x x ，所表示的平面区域被直线34+=kx y 分成面积相等的两部分，则k 的值是（ ）A ．37 B ．73 C ．34 D ．43二、强化训练1．不等式062>--y x 表示的平面区域在直线062=--y x 的（ ）A ．左上方B ．右上方C ．左下方D ．右下方 2．满足2||||≤+y x 的整点的点（x ，y ）的个数是（ ）A ．5B ．8C ．12D ．133．点P 在平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≥+-01202022y x y x y x 上，点Q 在曲线1)2(22=++y x 上，那么||PQ 的最小值为（ ）A ．15-B ．154- C ．122- D ．12- 4．若x ,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+2211y x y x y x ，目标函数y ax z 2+=仅在点()1,0处取得最小值，则a 的取值范围是（ ）A ．（–1，2）B ．（–4，2）C ．（–4，2]D ．（–2，4）5．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+20202x y x y x 表示的平面区域的面积是（ ）A ．24B ．4C ．22D ．26．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是 （ ）A ．12万元B ．20万元C ．25万元D ．27万元7．若不等式组502x y y a x -+≥0⎧⎪≥⎨⎪≤≤⎩，，表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围（ ）A ．5a <B ．7a ≥C ．5a <或7a ≥D ．57a ≤<8．若实数x ，y 满足约束条件24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，目标函数z tx y =+有最小值2，则t 的值可以为（ ）A ．3B ．3-C ．1D ．1-9．如果x ，y 满足不等式组 1235x y x y ⎧≤≤⎪≥⎨⎪+≤⎩，那么目标函数z x y =-的最小值是（ ）A ．–1B ．–3C ．–4D ．–910．若实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧+-≥≥≥-m x y x y y x 02 且z =y x +2的最大值为3，则m 的值为（ ）A ．0B ．2C ．49D ．3 11．在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界），若目标函数 z =x +ay 取得最小值的最优解有无数个，则yx a-的最大值是（ ） A ．23 B ．25 C ．16 D ．1412．已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+033042022y x y x y x ，则22)1()1(-++y x 的最小值是（）A ．2B ．5CD 13．已知实数x ，y 满足140x x y ax by c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≤⎩，且目标函数2z x y =+的最大值为6，最小值为1，其中0b ≠，则cb的值为有（ ）A ．4B ．3C ．2D ．114．如果实数x ，y 满足430352501x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，目标函数z kx y =+的最大值为12，最小值为3，那么实数k 的值为（ ）A ．2B ．–2C ．15D ．不存在15．若实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-0001x y x y x ，则z =3x +y 的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．3D ．916．在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（a 为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a 的值为（ ）A ．5-B ．1C ．2D ．317．若A 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤200x y y x 表示的平面区域，则当a 从–2连续变化到1时，动直线a y x =+扫 过A 中的那部分区域的面积为（ ）A ．34 B ．1 C ．74D ．2 18．已知O 是坐标原点，若点M （x ，y ）为平面区域210100x y x y x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩上的一个动点，则⋅的最大值是（ ）A ．-1B ．-12C ．0D ．1 19．设不等式组1x-2y+30y x x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域是1Ω，平面区域是2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称，对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B ，||AB 的最小值等于（ ） A ．285B ．4C ．125 D ．220．若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥42420y x y x x 所表示的平面区域被直线2y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是（ ）A ．1B ．2C ．12D ．1-二、典例精解例1（图1），A （2，0），B （1，1），C （3平移直线0l ：02=+y x （1，1）时，则目标函数y x z +=2例2．解析：令⎩⎨⎧-=+=yx v y x u ，得2v u x +=又(x ，y )∈A ，则由⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥100y x y x ，得⎪⎩⎪⎨⎧-+≤u u u 则点（u ，v ）所在的平面区域B 为如图阴影部分，即等腰直角三角形OMN 的点构成．这里N （1，–1），M （1，111221=⨯⨯=∆OMN S 选B ． 例3．解析：由约束条件画出可行域，图3由图形知点B 与原点O 的距离最小．联立方程⎩⎨⎧=+-=011y x x ，得B （1，2因此22y x +的最小值为5．故选D ．例4．解析：画出可行域如图4，为一个∆内部的点构成，三顶点为C （1，3）、A 和B （25，29）．xy 表示可行域内的点（与原点（0，0）连线的斜率， xy例5．解析：依约束条件作出可行域，如图5阴影部分．平移直线0l ：045=+y x 到1l ，使1l 过可行域内点A ，由方程组⎩⎨⎧=+=+114023y x y x ，解得P （59，1023）．因为当直线y x s 45+=平移时，从P 点起向左下方移动时第一个通过的整点是 A （2，1），所以A （2，1）是所求的最优解．故141425max =⨯+⨯=s ． 点评：本题易出现错误，59110234595max ==⨯+⨯=s 18.2错误． 例6．解析：由不等式前三个不等式画出可行域，即ABC ∆的边界及内部的点构成，三顶点分别为A （0，x0）、B （1，0），C （32，32）．第四个不等式a y x ≤+，表示的是斜率为-1的直线的下方，所以当10≤<a 时，表示的平面区域是一个三角形；当34≥a 时，表示的平面区域也是一个三角形．选D ．例7．解析：由⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=+=+42442s y s x x y s y x 交点为A （2，0），B （4s -，24s -），C （0，s ），C '（4，4），如图2：当43<≤s 时可行域是四边形OABC 此时，87≤≤z ；当54≤≤s 时可行域是OAC '∆，此时， 8max =z ．故选D ．点评S 的函数关系来求解．例8．解析：如图12所示，图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率分别是21，31-，所以圆心角α即为两直线的夹角．由1|031(211||)31(21|tan =-⨯+--=α，得4πα=．所以弧长是42π⨯例9．解析：作出线性规划区域图，220x y x y +--≤22111()()222x y -+-≤求出第所围成的图像的面积为12π+．速作出图像求出面积．例10．解析：不等式组所表示的平面区域如图13所示阴影部分．因为B 的坐标为（0，34），故直线34+=kx y 过点B ．因为平面区域被直线34+=kx y 分为面积相等的两部分，所以直线34+=kx y 过AC 的中点（21，25）．将（21，25）代入直线方程，即25=3421+⨯k ，得=k 37．故选A ．二、强化训练1．D 2．D 3．A 4．B 5．B 6．D 7．D 8．C 9．D 10．B11．B 12．D 13．A 14．A 15．B 16．D 17．C 18．D 19．B 20．Ay y。
线性规划求最值问题
(2)若z=2x-y,求z的最值.
Zmax 2 5 2 8,
x
Zmin 2 1 4.4 2.4.
y
(3)若z=x2+y2,求z的最值.
( x 2 y 2 )min 12 12 2, ( x y )max 52 22 29,
2 2
5
C
注意： 目标函数化为斜截式后， 分析斜率大小；z的系数符号。
x 0 1. x , y满足 x 2 y 3 2 x y 3
求z=x-y的最值
解：z x y化为y x z， 与直线y x平行,纵截距为-z
直线过点 A 时z值最大; 过点 B 时z值最小.
4 2 2 1 1 10
x 4 y ≤ 3, 例1.已知x、y满足 3 x 5 y ≤ 25. x ≥ 1. y
C
x-4y+3=0
A B
1 x=1 5
3x+5y-25=0
O
x
x 4 y ≤ 3, 例1.已知x、y满足 3 x 5 y ≤ 25. x ≥ 1.
其实，世上最温暖的语言，“ 不是我爱你，而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊重， 相互包容，相互懂得，才能走的更远。 相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！ 择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓 言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。 人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无怨无悔足矣。大千世界，与万千人中遇见，只是相识的 开始，只有彼此真心付出，以心交心，以情换情，相知相惜，才能相伴美好的一生，一路同行。 然而，生活不仅是诗和远方，更要面对现实。如果曾经的拥有，不能天长地久，那么就要学会华丽地转身，学会忘记。 忘记该忘记的人，忘记该忘记的事儿，忘记苦乐年华的悲喜交集。 人有悲欢离合，月有阴晴圆缺。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪， 弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。 人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时， 你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人。 岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏 识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。 其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使 你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能 善待自己和他人。 一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每 一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！
线性规划求最值
线性规划求最值线性规划（Linear Programming）是一种优化问题的数学方法，通过建立线性模型来求解最大或最小值。
线性规划的目标是在给定的限制条件下，找到一个最优解，使得目标函数取得最大（或最小）值。
线性规划的数学模型可以表示为：目标函数：max（min）Z = c₁x₁ + c₂x₂ + … + cₙxₙ约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a₂ₙxₙ ≤ b₂…aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + … + aₙₙxₙ ≤ bₙ其中x₁, x₂, …, xₙ为决策变量，c₁, c₂, …, cₙ为目标函数的系数，a₁₁, a₁₂, …, a₈ₙ为约束条件中的系数，b₁, b₂, …,bₙ为约束条件的常数。
解线性规划问题的过程可以分为以下几个步骤：1. 建立数学模型：根据实际问题，确定目标函数以及约束条件。
2. 线性规划的几何表示：将目标函数和约束条件用图形表示，目标函数是一个线性函数，而约束条件则是一组线性不等式。
3. 求解可行解：通过图形方法，找到目标函数与所有约束条件的交点，得到一组可行解。
4. 求解最优解：在可行解中，通过计算目标函数在每个可行解点的函数值，找到使目标函数取得最大（或最小）值的可行解，即为最优解。
5. 检验最优解的可行性：将最优解代入到原始线性规划问题中，检验是否满足所有约束条件。
如果不满足，则需要重新调整模型。
线性规划在实际应用中广泛使用，例如生产计划、资源分配、运输调度等领域。
通过线性规划，可以有效地进行决策，并找到最优解，提高效率，节约资源。
然而，线性规划也有一些局限性，如对问题的要求较高，不能解决非线性的问题等。
总之，线性规划是一种数学方法，通过建立线性模型，在给定的约束条件下求解最大或最小值，可以在各种实际问题中应用，并得到最优解。
通过线性规划，可以优化决策，提高效率，实现最大化利益。
线性规划归类解析
解: 是可行域内的点 M（x,y）与原点 O（0,0）连
y x
5 9 y 线的斜率,当直线 OM 过点（ ， ）时, 取得最小 2 2 x 9 y 值 ；当直线 OM 过点（1,6）时, 取得最大值 6 5 x
y 2 x 3, 画出 表示的区域 , y 3.
并求所有的正整数解(x,y)
说明：这类题可以将平面直角坐标系用网络线画 出来，然后在不等式组所表示的平面区域内找出 符合题设要求的整数点来
求线性目标函数中参数的取值范围
x y 5 例 4、 x、 y 满 足 约 束 条 件 x y 5 0 ， 使 z = x+ ay (a >0) x 3
点评：在解决简单 线性规划中的最优 整数解时,可在去掉 限制条件求得的最 优解的基础上,调整 优解法,通过分类讨 论获得最优整数解。
已知平面区域，逆向考查约束条件
用不等式表示以A(1,4)， B(-3,0)，C(-2,-2)为顶点的 三角形内部的平面区域．
分析：首先要将三点中的任意两 点所确定的直线方程写出来，然 后结合图形考虑三角形内部区域 应怎样表示 △ABC的内部在不等式x-y+3>0 所表示平面区域内，同时在不等 式2x+y+6>0所表示的平面区域 内，同时又在不等式2x-y+2<0 所表示的平面区域内
解 析 ： 如 图 ７ ， 作 出 可 行 域 ， 由 z z 10 x 10 y y x ，它表示为斜率为 1 , 10 z 纵截距为 的平行直线系 , 要使 z 10 x 10 y 最 10 11 9 得最大值。 当直线 z 10 x 10 y 通过 A( , ) z 取 2 2 得最大值。因为 x, y N ，故Ａ点不是最优整数 解。 于是考虑可行域内Ａ点附近整点Ｂ （５,４） , Ｃ（４ ,４）,经检验直线经过Ｂ点时, Z max 90.
高中数学：简单的线性规划问题含解析
课时训练18 简单的线性规划问题一、求线性目标函数的最值1.(2015广东湛江高二期末,10)若实数x ,y 满足若z=x+2y ,则z 的最大值为( ){x -y +1≥0,x +y ≥0,x ≤0, A.1B.2C.3D.4答案:B解析:作出不等式组对应的平面区域,由z=x+2y ,得y=-x+,平移直线y=-x+,12z212z 2由图象可知当直线经过点A (0,1)时,直线y=-x+的截距最大,此时z 最大,代入目标函数得z=2.12z2故选B .2.(2015河南郑州高二期末,7)设变量x ,y 满足约束条件则目标函数z=2x+3y 的最小值为( ){x +y ≥3,x -y ≥-1,2x -y ≤3,A.6 B.7C.8 D.23答案:B解析:画出不等式表示的可行域,如图,{x +y ≥3,x -y ≥-1,2x -y ≤3让目标函数表示直线y=-在可行域上平移,知在点B 处目标函数取到最小值,解方程组2x 3+z 3得(2,1).{x +y =3,2x -y =3,所以z min =4+3=7.故选B .3.设变量x ,y 满足约束条件则z=x-3y 的最小值为 . {y ≥x ,x +2y ≤2,x ≥-2,答案:-8解析:作出可行域如图阴影部分所示.可知当x-3y=z 经过点A (-2,2)时,z 有最小值,此时z 的最小值为-2-3×2=-8.二、求非线性目标函数的最值4.若实数x ,y 满足的取值范围是( ){x -y +1≤0,x >0,则y xA.(0,1)B.(0,1]C.(1,+∞)D.[1,+∞)答案:C解析:实数x ,y 满足的相关区域如图中的阴影部分所示.{x -y +1≤0,x >0表示阴影部分内的任意一点与坐标原点(0,0)连线的斜率,由图可知,的取值范围为(1,+∞).y x yx 5.在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值{2x +3y -6≤0,x +y -2≥0,y ≥0是 . 答案:2解析:由约束条件可画出可行域如图阴影部分所示.由图可知OM 的最小值即为点O 到直线x+y-2=0的距离,即d min =.|-2|2=2三、求线性规划中的参数6.x ,y 满足约束条件若z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一,则实数a 的值为( ){x +y -2≤0,x -2y -2≤0,2x -y +2≥0,A.或1 B.2或1212C.2或1D.2或-1答案:D解析:作出可行域,如图中阴影部分所示.由y=ax+z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距,故当a>0时,要使z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一,则a=2,当a<0时,要使z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一,则a=-1.7.(2015山东潍坊四县联考,15)已知a>0,x ,y 满足若z=2x+y 的最小值为1,则a= .{x ≥1,x +y ≤3,y ≥a (x -3),答案:12解析:因为a>0,作出不等式组表示的平面区域,{x ≥1,x +y ≤3,y ≥a (x -3)得到如图的△ABC 及其内部,其中A (1,2),B (1,-2a ),C (3,0).由z=2x+y 得y=-2x+z ,将直线y=-2x 进行平移,可得当经过点B 时,目标函数z 达到最小值,此时z=1,即2-2a=1,解得a=.128.当实数x ,y 满足时,1≤ax+y ≤4恒成立,则实数a 的取值范围是 .{x +2y -4≤0,x -y -1≤0,x ≥1答案:[1,32]解析:画出可行域,如图中阴影部分所示,设目标函数z=ax+y ,则y=-ax+z ,要使1≤z ≤4恒成立,则a>0,数形结合知满足即可,{1≤2a +1≤4,1≤a ≤4,1≤a +32≤4解得1≤a ≤,所以a 的取值范围是.32[1,32]四、线性规划中的实际应用9.(2015河南南阳高二期中,20)某人上午7:00乘汽车以v 1 km/h(30≤v 1≤100)匀速从A 地出发到相距300 km 的B 地,在B 地不作停留,然后骑摩托车以v 2 km/h(4≤v 2≤20)匀速从B 地出发到相距50 km 的C 地,计划在当天16:00至21:00到达C 地,设乘汽车、骑摩托车的时间分别是x ,y 小时.如果已知所需的经费p=100+3(5-x )+2(8-y )元,那么v 1,v 2分别是多少时走的最经济,此时花费多少元?解:由题意得,x=,y=,300v 150v 2∵30≤v 1≤100,4≤v 2≤20,∴3≤x ≤10,≤y ≤.52252由题设中的限制条件得9≤x+y ≤14,于是得约束条件{9≤x +y ≤14,3≤x ≤10,52≤y ≤252,目标函数p=100+3(5-x )+2(8-y )=131-3x-2y ,作出可行域(如图),设z=3x+2y ,当y=-x+平移到过(10,4)点时在y 轴上的截距最大,32z2此时p 最小.所以当x=10,y=4,即v 1=30,v 2=12.5时,p min =93元.(建议用时:30分钟)1.已知点(x ,y )构成的平面区域如图所示,z=mx+y (m 为常数)在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个,则m 的值为( )A.-B.C.D.72072012720或12答案:B解析:观察平面区域可知直线y=-mx+z 与直线AC 重合,则解得m=.{225=-m +z ,3=-5m +z ,7202.设变量x ,y 满足约束条件则目标函数z=y-2x 的最小值为( ){3x +y -6≥0,x -y -2≤0,y -3≤0,A .-7B .-4C .1D .2答案:A解析:作约束条件所表示的可行域,如图所示,z=y-2x 可化为y=2x+z ,z 表示直线在y 轴{3x +y -6≥0,x -y -2≤0,y -3≤0上的截距,截距越大z 越大,作直线l 0:y=2x ,平移l 0,当l 0过点A (5,3)时,z 取最小值,且为-7,选A.3.若A 为不等式组表示的平面区域,则当a 从-2连续变化到1时,动直线x+y=a 扫过A 中的{x ≤0,y ≥0,y -x ≤2那部分区域的面积为( )A. B.1C. D.23474答案:C解析:如图所示,区域A 表示的平面区域为△OBC 内部及其边界组成的图形,当a 从-2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC 所围成的区域.S四边形ODEC =S △OBC -S △BDE=2-.14=744.如果点P 在平面区域上,点Q 在曲线x 2+(y+2)2=1上,那么|PQ|的最小值为( ){2x -y +2≥0,x -2y +1≤0,x +y -2≤0A.-1 B.-1545C.2-1 D.-122答案:A解析:由图可知不等式组确定的区域为阴影部分(包括边界),点P 到点Q 的最小距离为点(-1,0)到点(0,-2)的距离减去半径1,|PQ|min =-1=-1.12+2255.已知x ,y 满足条件(k 为常数),若目标函数z=x+3y 的最大值为8,则k=( ){x ≥0,y ≤x ,2x +y +k ≤0A.-16 B.-6 C.- D.683答案:B解析:由z=x+3y 得y=-x+.13z 3先作出的图象,{x ≥0,y ≤x因为目标函数z=x+3y 的最大值为8,所以x+3y=8与直线y=x 的交点为C ,解得C (2,2),代入直线2x+y+k=0,得k=-6,选B .6.若变量x ,y 满足约束条件则z=x-2y 的最大值为 . {y ≤1,x +y ≥0,x -y -2≤0,答案:3解析:线性约束条件对应的平面区域如图所示,由z=x-2y ,得y=,当直线y=在y 轴上的截距最x 2‒z 2x 2‒z 2小时,z 取得最大值.由图知,当直线通过点A 时,在y 轴上的截距最小,由解得A (1,-1).{x +y =0,x -y -2=0,所以z max =1-2×(-1)=3.7.记不等式组所表示的平面区域为D ,若直线y=a (x+1)与D 有公共点,则a 的取值范围是 .{x ≥0,x +3y ≥4,3x +y ≤4 答案:[12,4]解析:作出如图所示的可行域,且A (0,4),B (1,1).又∵直线y=a (x+1)过点C (-1,0),而k BC =,k AC =4.12从而直线y=a (x+1)与D 有公共点时,a ∈.[12,4]8.已知变量x ,y 满足则z=x+y-2的最大值为 . {2x -y ≤0,x -3y +5≥0,答案:1解析:作出可行域,如图所示的阴影部分,由图知,目标函数z=x+y-2在点A 处取最大值.又A (1,2),∴z max =1+2-2=1.9.设z=2y-2x+4,式中x ,y 满足求z 的最大值和最小值.{0≤x ≤1,0≤y ≤2,2y -x ≥1,解:作出满足条件的可行域如图:{0≤x ≤1,0≤y ≤2,2y -x ≥1作直线l :2y-2x=t ,当l 过点A (0,2)时,z max =2×2-2×0+4=8.当l 过点B (1,1)时,z min =2×1-2×1+4=4.所以,z 的最大值为8,最小值为4.10.某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 min 的广告,广告总费用不超过9万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/min 和200元/min,规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别是0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元?解:设公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别是x min,y min,总收益为z 万元,由题意得:{x +y ≤300,500x +200y ≤90 000,x ≥0,y ≥0,目标函数为z=3 000x+2 000y.作出二元一次不等式组所表示的区域,即可行域,如图:{x +y ≤300,5x +2y ≤900,x ≥0,y ≥0作直线l ,即3 000x+2 000y=0,即3x+2y=0.平移直线l ,从图中可知,当直线l 过点M 时,目标函数取得最大值.由解得{x +y =300,5x +2y =900,{x =100,y =200,即M (100,200).则z max =3 000x+2 000y=700 000(元),即该公司在甲电视台做100 min 广告,在乙电视台做200 min 广告,公司收益最大,最大收益是70万元.。
线性规划基本题型
例5
(2023年北京-7)设不等式组
3x表x达y旳y平1面13
0 0
区(A域)(1为，D3，] 若(B指)数[2，函3数] y=(aCx旳) (1图，像2上] 存在(D区)[域35D，x上+旳∞3]点y，则9a旳0取值范围是
解：作出可行域如右图所示绿色
区域． 0<a<1 时 ， x>0 时 ， 0<ax<1 ， y=ax
离旳平方旳最值问题．
题型三 求非线性目旳函数旳最值—斜率型
例3
x＋y－6≥0， 已知实数 x，y 满足4x－3y＋12≥0，
x≤4.
求xy的最大值与最小值.
【解】
x＋y－6≥0， 作出不等式组4x－3y＋12≥0，
x≤4
平面区域，如图所示．
表示的
(1)令 z＝xy，则 y＝zx.故求xy的最大值与最小值就是求 不等式组所表示的平面区域内的点与原点连线的斜率的 最大值与最小值，由图易知，kOC 最小，kOA 最大．
联立2x＋x＋2yy＝ ＝4500 ，得xy＝＝2100 ， ∴A(10,20)． ∴z＝3x＋2y 的最大值为 z＝3×10＋2×20＝70.
题型二 求非线性目旳函数旳最值—距离型
若目旳函数不是线性函数，我们可先将目旳函数变形找 到它旳几何意义，再利用解析几何知识求最值．
例2
x－y＋2≥0 已知x＋y－4≥0 ，求：
的交点(4,6)时，目标函数 z＝ax＋by(a>0，
b>0)取得最大值 12，即 4a＋6b＝12，即 2a＋3b＝6，而2a＋3b＝(2a＋3b)2a＋6 3b＝163＋(ba＋ab)≥163＋2＝ 265，故2a＋3b的最小值为265.
检测：
目标函数系数的取值范围
目标函数系数的取值范围1. 取值范围为正实数当目标函数系数的取值范围为正实数时，表示对目标的增加有正向的促进作用。
换言之，增加目标函数系数的值将使得问题的目标得到更好的实现。
例如，在生产计划中，如果目标函数系数代表利润，那么增加目标函数系数的值将使得企业的利润更大。
因此，当目标函数系数的取值范围为正实数时，问题的解将趋向于使目标函数值最大化。
2. 取值范围为负实数与正实数相反，当目标函数系数的取值范围为负实数时，表示对目标的增加有负向的阻碍作用。
换言之，增加目标函数系数的值将使得问题的目标实现变得更困难。
例如，在资源分配中，如果目标函数系数代表成本，那么增加目标函数系数的值将使得资源分配的成本更高。
因此，当目标函数系数的取值范围为负实数时，问题的解将趋向于使目标函数值最小化。
3. 取值范围为零当目标函数系数的取值范围为零时，表示目标函数系数对目标的实现没有影响。
换言之，无论目标函数系数取多少，问题的目标实现都不会受到任何影响。
例如，在线性回归中，如果目标函数系数代表特征的重要性，那么目标函数系数为零可能表示该特征对目标变量的影响不显著。
因此，当目标函数系数的取值范围为零时，问题的解可以不受目标函数系数的影响而得出。
4. 取值范围为整数当目标函数系数的取值范围为整数时，表示目标的优化需要整数解。
换言之，问题的解必须是整数值才能满足目标函数的要求。
例如，在生产调度中，如果目标函数系数代表生产数量，那么目标函数系数为整数可能表示生产数量必须为整数值。
因此，当目标函数系数的取值范围为整数时，问题的解必须满足整数约束条件。
5. 取值范围为任意实数当目标函数系数的取值范围为任意实数时，表示目标的优化没有特定的限制。
换言之，问题的解可以是任意实数值，没有特定的优化方向和程度。
例如，在线性规划中，如果目标函数系数代表某个指标的权重，那么目标函数系数为任意实数可以表示对该指标的优化没有特定的要求。
因此，当目标函数系数的取值范围为任意实数时，问题的解可以是任意实数值。
高考数学线性规划常见题型及解法[1]
![高考数学线性规划常见题型及解法[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/e12c850c001ca300a6c30c22590102020740f2d2.png)
高考数学线性规划常见题型与解法线性规划问题是高考的重点，也是常考题型，属于中等偏简单题，易得分，高考中要求会从实际问题中建立一格二元线性规划的模型，使实际问题得到解决。
现就常见题型与解决方法总结如下： 一、求线性目标函数的最值；例题：(2012年广东文5)已知变量,x y 满足条件1110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为 A.3 .1 C5 6解析:利用线性规划知识求解。
可行域如图阴影所示，先画出直线01:2l y x =-，平移直线0l ,当直线过点A 时，2z x y =+的值最小，得110,x x y =-⎧⎨--=⎩12,x y =-⎧⎨=-⎩min (1,2),12(2)5A z ∴--∴=-+⨯-=- 探究提高：本题主要考查线性规划求最值,同时考查学生的作图能力，数形结合思想与运算求解能力，难度适中。
二、求目标函数的取值范围；例题：(2012山东文6)设变量,x y 满足约束条件2224,41x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数3z x y =-的取值范围是解析：作出不等式组表示的区域，如图阴影部分所示，作直线30x y -=，并向上、向下平移，由图可得，当直线过点C 时，目标函数取得最大值，当直线过点A 是，目标函数取得最小值，由210,(2,0)240x y A x y ++=⎧⎨+-=⎩得;由4101,(,3)2402x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得B 探究提高：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条条件，取得目标函数的最大（小）值，进一步确定取值范围 三、求约束条件中参数的取值；例题：(2012福建文10)若直线2x y =上存在点(,)x y 满足条件-30-2-30,x y x y x m +≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为（ ）解析：在同一直角坐标系中函数2x y =的图像与30230x y x y +-≤⎧⎨--≤⎩，所表示的平面区域图阴影部分所示。
目标函数系数的取值范围
目标函数系数的取值范围目标函数是数学规划中的一个重要概念，它用于描述问题的目标或者利益。
在线性规划中，目标函数是一个线性表达式，其中每个变量的系数决定了在优化过程中该变量的重要性。
本文将讨论目标函数系数的取值范围，并解释不同取值范围对优化结果的影响。
1. 系数取值为正数：如果目标函数系数都为正数，那么最优解将会在约束条件允许的范围内最大化目标函数的值。
这种情况常见于追求最大收益、最大利润、最大效益等问题。
例如，一个企业希望最大化其销售额，那么目标函数中的销售额系数应为正数，以确保在满足其他约束条件的前提下，销售额能够最大化。
2. 系数取值为负数：与系数取值为正数相反，如果目标函数系数都为负数，那么最优解将会在约束条件允许的范围内最小化目标函数的值。
这种情况常见于成本最小化、风险最小化、损失最小化等问题。
例如，一个企业希望最小化其生产成本，那么目标函数中的成本系数应为负数，以确保在满足其他约束条件的前提下，成本能够最小化。
3. 系数取值为零：如果目标函数中某个变量的系数为零，那么该变量在优化过程中将不会对目标函数的值产生影响。
这种情况常见于某些变量与目标函数之间不存在直接的关联关系，或者该变量在实际问题中并不需要被优化。
例如，一个企业的目标是最大化销售额，而目标函数中的某些变量与销售额无关，那么这些变量的系数可以设为零。
4. 系数取值范围为正负数：在实际问题中，目标函数系数的取值范围往往是正负数都有可能。
这种情况下，最优解将会在约束条件允许的范围内使得目标函数的值最大或最小。
例如，一个企业希望在给定的资源约束下最大化利润，那么目标函数中的利润系数可以是正数，表示追求最大利润，也可以是负数，表示追求最小成本。
需要注意的是，目标函数系数的取值范围只是影响优化结果的一个因素，还有其他因素如约束条件、变量的取值范围等也会对优化结果产生影响。
在实际问题中，我们需要综合考虑这些因素，选择合适的目标函数系数取值范围，以获得最优解。
简单的线性规划问题(附答案)
简单的线性规划问题［学习目标]1。
了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。
2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．知识点一线性规划中的基本概念名称意义约束条件关于变量x，y的一次不等式（组）线性约束条件关于x，y的一次不等式(组)目标函数欲求最大值或最小值的关于变量x，y的函数解析式线性目标函数关于变量x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解（x，y）可行域由所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题知识点二线性规划问题1．目标函数的最值线性目标函数z＝ax＋by (b≠0）对应的斜截式直线方程是y＝－错误!x＋错误!，在y轴上的截距是错误!,当z变化时,方程表示一组互相平行的直线．当b〉0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值;当b〈0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时,z取得最大值．2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为:“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．（2）移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界）便是最优解．(3)求:解方程组求最优解,进而求出目标函数的最大值或最小值．(4)答:写出答案．知识点三简单线性规划问题的实际应用1．线性规划的实际问题的类型（1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有：①物资调动问题例如,已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小?②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品,每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的数量,此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？2．解答线性规划实际应用题的步骤(1)模型建立:正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．（2)模型求解：画出可行域,并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．(3)模型应用:将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．题型一求线性目标函数的最值例1已知变量x，y满足约束条件错误!则z＝3x＋y的最大值为(）A．12 B．11C．3 D．－1答案 B解析首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分,即为约束条件对应的可行域，当直线y＝－3x＋z经过点A时，z取得最大值．由错误!⇒错误!此时z＝3x＋y＝11。
线性规划问题的标准型
线性规划问题的标准型线性规划是运筹学中的一种数学优化方法，用于在给定约束条件下寻找一个线性目标函数的最大值或最小值。
线性规划问题通常可以表示为标准型，即包含一组线性不等式约束条件和一个线性目标函数的数学模型。
首先，我们来定义线性规划问题的标准型。
一个线性规划问题的标准型可以表示为：\[\max_{x} c^Tx\]\[s.t. Ax \leq b\]\[x \geq 0\]其中，\(x\) 是一个 \(n\) 维向量，表示问题的决策变量；\(c\) 是一个 \(n\) 维向量，表示目标函数的系数；\(A\) 是一个 \(m \times n\) 的矩阵，表示约束条件的系数；\(b\) 是一个 \(m\) 维向量，表示约束条件的右端常数。
在这个模型中，我们的目标是找到一个 \(x\) 的取值，使得目标函数 \(c^Tx\) 的值最大，同时满足约束条件 \(Ax \leq b\) 和 \(x \geq 0\)。
接下来，我们来详细讨论线性规划问题的标准型中的各个要素。
首先是目标函数 \(c^Tx\)。
目标函数通常表示了我们希望最大化或最小化的目标。
在线性规划中，目标函数是一个线性函数，由决策变量\(x\) 的线性组合构成。
我们希望通过调整 \(x\) 的取值，使得目标函数的值达到最大或最小。
其次是约束条件 \(Ax \leq b\)。
约束条件表示了问题的限制条件，限制了决策变量 \(x\) 的取值范围。
在标准型中，约束条件通常表示为一组线性不等式。
这些不等式可以用矩阵 \(A\) 和向量 \(b\) 来表示，它们限制了决策变量 \(x\) 的取值范围。
最后是非负约束 \(x \geq 0\)。
非负约束表示了决策变量 \(x\) 的取值必须大于等于零。
这个约束条件在很多实际问题中是合理的，因为很多决策变量都有非负的物理意义。
总结一下，线性规划问题的标准型包括一个线性目标函数和一组线性不等式约束条件，以及决策变量的非负约束条件。
线性规划求最值的常见题型
y
x+y=1 x-y=0
1
C
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
1
y=-1
B(-1,-1)
������0（2，-1）A
[类题通法] 解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理 解z的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一般在可 行域的边界上取得．在解题中也可由此快速找到最大值点 或最小值点．
(2)������ = ������������++31的最值.
从目标函数的 几何意义思考
非线性目标函 数
（1）������ = (������ + 3)2+(������ + 1)2的最大值和最小值
可求得������可���目���9���行标���,���域8函���������中数.=的���的������点几������������到������何���������P2意=点义=的���可���距2���表���离22示的5=为平654
线性规划求最值的常见题型
龙海一中 徐艺凤
线性规划求最值常见的题型有
一、求线性目标函数的最值问题 二、求非线性目标函数的最值问题 三、实际问题中的最值问题
题型一、求线性目标函数的最值
x-y≥0 例1.设x,y满足约束条件： x+y-1 ≤ 0
y ≥ -1
线性目标函 数
求z=2x+y最大值与最小值。
在这里甲、乙两个电视 台的广告时间为主要变 量，公司的收益为两个 电视台获得的收益总和， 故可设两个电视台的广 告时间,列出不等式组
和建立目标函数。
间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？ [解] 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别
几类线性规划问题的解法分析
线性规划问题经常出现在高考数学试题中.此类问题通常会要求同学们从实际问题中抽象出二元一次不等式，在了解二元一次不等式的几何意义的基础上，画出二元一次不等式组所表示的平面区域，并求出最优解.但问题中的目标函数经常会有所变化，常见的形式有直线型、分式型、平方型，且解法各不相同.下面结合实例，谈一谈三类线性规划问题的解法.一、直线型目标函数直线型的目标函数一般形如z =ax +by (ab ≠0)，这类问题通常要求根据二元一次不等式组，求目标函数z =ax +by (ab ≠0)的最值.求解此类线性规划问题，一般需将函数z =ax +by 转化为直线的斜截式方程：y =-a b x +z b，根据二元一次不等式组画出可行域后，在可行域内讨论直线的截距zb的最值.通过求直线的截距zb的最值来间接求出z 的最值.例1.设x ，y 满足ìíîïïx -y ≥0,x +y -2≤0,y ≥-2,则z =2x +y 的最大值为.解：画出ìíîïïx -y ≥0,x +y -2≤0,y ≥-2,表示的可行域，如图1中的阴影部分所示，由{x +y -2≤0,y ≥-2,可得{x =4,y =-2,平移直线y =-2x +z ，可知当直线y =-2x +z 经过点()4,-2时，该直线在纵轴上的截距最大，即在()4,-2点处，z 取大值，可得z max =2×4-2=6．由于直线的截距有正有负，所以取最值的情形有所不同.当b >0时，截距zb取最大值，此时z 也取最大值，当截距zb 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距z b 取最大值，此时z 取最小值，当截距z b取最小值时，z 取最大值．图1图2例2.某养鸡场有1万只鸡，用动物饲料和谷物饲料混合喂养.每天每只鸡平均吃混合饲料0.5kg ，其中动物饲料不能少于谷物饲料的15.动物饲料每千克0.9元，谷物饲料每千克0.28元，饲料公司每周仅能保证供应谷物饲料50000kg ，问怎样混合饲料，才使成本最低.解:设每周需用谷物饲料x kg,动物饲料y kg,每周总的饲料费用为z 元，由题意可得ìíîïïïïx +y ≥35000，y ≥15x ，0≤x ≤50000，y ≥0，则z =0.28x +0.9y ，作出以上不等式组所表示的平面区域，如图2中阴影部分所示，联立x +y =35000和y =15x ，可得x =875003，y =175003，则A (875003,175003)，作一组平行直线y =-2890+10z9（即图2中虚线），当直线经过可行域内的点A (875003,175003)时，直线的纵截距最小，此时z 最小.故当x =875003，y =175003时，即将谷物饲料和动物饲料按5:1的比例混合时，成本最低.本题是一道实际应用问题.解答此类线性规划问题，需首先仔细读题，根据题意设出变量，建立关于变量的不等关系式以及目标函数.而本题中的目标函数为直线型，所以需将其转化为直线的截距式，在可行域内寻找直线的截距取最小值时的点，即可解题.一般地，线性目标函数的最优解一般会在可行域的顶点或边界处取得，我们可以重点研究可行域的顶点或边界上的点.二、分式型目标函数分式型目标函数一般形如z =y -bx -a.求解此类线性规划问题，需根据目标函数的几何意义：已知点(a ,b )与可行域内的点(x ,y )连线的斜率.当斜率取最大值时，z 取最大值；当斜率取最小值时，z 取最小值.而直线的斜率k =tan a 受倾斜角a 影响：（1）当倾斜角a 为魏上茗43当直线经过点(1,6)时，直线的斜率取得最大值，最大值为6；当直线经过点直线的斜率最小，此时yx取得最小值，最小的取值范围是éëùû95,6，所以本题选A.本题的可行域在第一象限，所以只需讨论直线的范围内的变化情况，可将直线y=zx在可行域内找出直线的倾斜角最大或即斜率取最值时的点，即可解题.图4图5例5.设实数x,y满足ìíîïïx+y-6≥0,x+2y-14≤0,2x+y-10≤0,则x2+y的最小值为____．解：x2+y2表示可行域内的点P(x,y)到原点的距离，作出不等式组表示的平面区域,如图5中的阴影部分所示，过点O作OA垂直于直线x+y-6=0，垂足为A在可行域内），所以原点到直线x+y-6=0的距离，就是点P(x,y)到原点距离的最小值，由点到直线的图3。
求线性规划问题中目标函数最值专题
．
• 3. 线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界 上取得，特别地对最优整数解可视情况而定.
利用线性规划求最值（名师，考点二）
x＋2y≥2， 例 1 设变量 x，y 满足约束条件2x＋y≤4，
• 2项必须防范
• 1. 画出平面区域，避免失误的重要方法就是 首先使二元不等式标准化．
• 2. 注意不等式中不等号有无等号，含等号时， 直线画为实线；不含等号时，画为虚线．
• 3点必知关键 • 1. 线性规划问题中，正确画出不等式组表示的平面
区域是解题的基础． • 2. 目标函数的意义，有的可以用直线在y轴上的截距
离最小.又即ຫໍສະໝຸດ OM 13, ON 9 ,
2
∴z的9最大x值2 为y12 3,最13小,值9为 x2 y2 13.
2
2
9
.
2
(3)由图可得,原点与可行域内的点A的连线的斜率值最大,与点B
的连线的斜率值最小,
又
k OA
2, kOB
1 , 1 22
y 2. x
∴z的最大值为2,最小值为 1 .
(1)形如 z＝ax＋by 的截距型； (2)形如 z＝yx－ －ab的斜率型； (3)形如 z＝(x－a)2＋(y－b)2 的距离型．
x≥0
[变式探究] 设变量 x，y 满足约束条件y≥0
，
4x＋3y≤12
则 z＝yx＋ ＋11的取值范围是(
)
A．[0,4]
B．[14，5]
C．[54，6]
• 答案：B
x y 3 0
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简单的线性(整数)规划问题
一.知识要点：
1.线性规划的基础概念
(1)线性约束条件
约束条件都是关于x, y的一次整式不等式.
(2)目标函数
待求最值(最大值或最小值)的函数.
(3)线性目标函数
目标函数是关于变量x, y的一次解析式(整式).
(4)线性规划
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问题, 其中在限定变量为整数的时候, 对应的线性规划问题, 也称为整数规划问题.
(5)可行解
满足全部约束条件的解(x, y).
(6)可行域
全部可行解构成的集合称为线性规划问题的可行域.
(7)最优解
使目标函数取到最大值或最小值的可行解.
注意:
①线性约束条件即可用二元一次不等式表示, 也可以用二元一次方程表示.
②最优解如果存在(当然, 最优解有不存在的情况), 其个数并不一定是唯一的, 可能有多个最优解, 也可能存在无数个最优解.
③目标函数z ax by
=+取到最优解(最大或最小值)的点, 往往出现在可行域的顶点或边界上.
④对于整数规划问题(,
∈∈), 最优解未必在边界或顶点处取
x y
得, 往往要在可行域的顶点或边界附近寻找.
⑤寻找最优解的前提是尽量准确画出可行域的草图, 从而有助于我们发现最优解.
二. 解题思路:
解决线性规划问题, 先要准确作出可行域, 且明白目标函数表示的几何意义, 通过数形结合找到目标函数取到最值时可行域的顶点(或边界上的点). 而对于整数规划问题, 则应该进一步验证解决, 边界点或顶点可能不在是最优点, 而是在它们的临近区域的整点.
三．求解步骤
①在平面直角坐标系中画出可行域(对于应用问题, 则要先正确写出
规划模型及满足的约束条件, 再画出可行域).
②结合目标函数的几何意义, 将目标函数变形写成直线的方程形式或写成一次函数的形式.
③确定最优点: 在可行域内平行移动目标函数变形后的直线, 从而找到最优点.
④ 将最优点的坐标代入目标函数即可求出最大值或最小值.
四. 高考题演练
1. (新课标全国高考) 设x , y 满足约束条件1010,3x y x y x -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
则23z x y =-的
最小值是( ) 提示1 A. 7- B. 6- C. 5- D. 3- 2. (福建高考) 若变量x , y
满足约束条件210x y x y +≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
, 则2z x y =+的最
大值和最小值分别为( ). 提示2 A. 43和 B. 4和2 C. 3和2 D. 2和0 3. (湖北高考) 某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行, A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人, 租金分别为1600元/辆和2400元/辆, 旅行社要求租车的总数不超过21辆, 且B 型车不多于A 型车7辆. 则租金最小为( ). 提示3
A. 31200元
B. 36000元
C. 36800元
D. 38400元
4. (湖南高考) 若变量x , y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
, 则2x y +的最大值
为( ). 提示4 A. 52
- B. 0 C. 53 D.
52
5. (天津高考) 设变量,x y满足约束条件
360,
20,
30
x y
x y
y
+-≥
⎧
⎪
--≤
⎨
⎪-≤
⎩
则目标函数
2
z y x
=-的最小值为( ) 提示5
A. 7-
B. 4-
C.1
D. 2
6. (陕西高考) 若点(x, y)位于曲线y x=与2
y=所围成的封闭区域, 则2x y
-的最小值是( ). 提示6 A. 6- B. 2- C.0 D. 2
7. (四川高考) 若变量,x y满足约束条件
8,
24
,
x y
y x
x
y
+≤
⎧
⎪-≤
⎪
⎨
≥
⎪
⎪≥
⎩
且目标函数
5
z y x
=-的最大值为a, 最小值为b, 则a b-的值是( ) 提示7 A. 48 B. 30 C.24 D. 16
_
参考答案:
提示1：不等式组表示的平面区域如图1中阴
影部分所示, 其顶点A , B , C 的面积可直接算 出, 待求面积为
1144
(4)1.2233
ABC
S
AC h =
⋅=⨯-⨯= 图1
提示2：不等式组10,
10,10x y x ax y +-≥⎧⎪
-≤⎨⎪-+≥⎩
所围成的平面区域如图2中阴影部分所
示, 面积为2, 则12114352
AC AC a a or =⋅⇒=+=⇒=-其中-5舍
去.
图2 图3
提示3: 已知可求出,.3
OA OB π
〈〉=可设(2,0),(1,3),(,),OA OB OP
x y ===
则
1(22x x y λλμμ⎧=-⎪+=⎧⎪⎪⇒⎨
=⎪=
⎪⎩
,
由12y y λμ+≤
⇒-+≤
可行域参考图3, 所求面积1
24
2
S =⨯⨯=
可行域由如下四个子区域拼接而成:
①
002y y y y y y y ≥≥≥⇔≥⎨⎨⎪-+≤≤+⎩②
002y
y y y y y y x ≥≥≤⇔≤⎨⎨⎪--≤⎪≥-⎪⎩
③
0233y
y y y y y y x ≤≤≥⇔≥⎨⎨⎪⎪++≤⎩⎪≤+⎪⎩
④
002y y
y y y y y ≤≤≤⇔≤⎨⎨⎪⎪+-≤≥-⎩⎩
提示4：已知0,0,a b ≥≥且当0,
0,1x y x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
时, 恒有1ax by +≤⇒
当0110 1.x y by b b =⇒=⇒=≤⇒≤≤同理, 当0110 1.y x ax a a =⇒=⇒=≤⇒≤≤ 不等式组01
01
a b ≤≤⎧⎨
≤≤⎩所围成的平面区域参考图4, 其面积为1.
图4 图
5
提示5: 由不等式组直接作出平面区域见图5, 注意直线20
kx y -+=过
定点(0, 2). 由平面区域面积为4, 可知122241 3.2
k k or ⨯⨯+=⇒=-
其中-3舍去. 提示6：换元法
平面区域{}(,)(,)B x y x y x y A =+-∈, 可令2,2
m n x m x y n x y m n
y +⎧=
⎪=+⎧⎪⇒⎨⎨=--⎩⎪=⎪⎩再根据 条件, 1
221(,)00,20
02m n m n
m m n x y A m n m n m n
+-⎧+≤⎪≤⎧⎪
+⎪⎪
∈⇔≥⇔+≥⎨⎨⎪⎪-≥⎩-⎪≥⎪⎩
由此不等式组确定的平
面区域即为{}(,)(,)B x y x y x y A =+-∈确定的平面区域, 见图6, 其面积 为112 1.2
⨯⨯=
图
6 图7
提示7: 平面区域D 见上图7阴影部分所示, 直线1y kx =+过定点(0, 1)
根据平面几何知识可知, 若直线1y kx =+将区域D 分成面积相等的两
部分, 则直线1
.
=+只需过AB的中点即可. 易求中点坐标33
y kx
(,)
22再
代入到直线1
=+, 可求1.
y kx
k=
3。