浙教版八年级数学上册等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)

全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)
总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等
【三角形辅助线做法】
图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题
2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形
3.角平分线在三种添辅助线
4.垂直平分线联结线段两端
5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，
6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形
7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变
换中的“对折”法构造全等三角形．
2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的
思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．
D C B
A
E
D F C
B A
3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂
线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平
移”或“翻转折叠”
5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条
线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
6)已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连
线，出一对全等三角形。

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．
一、倍长中线（线段）造全等
例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.
例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.
例3、如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.
E D C
B
A
应用：
1、（崇文二模）以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，
90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数
量关系．
（1）如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ， 线段AM 与DE 的数量关系是 ；
（2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒
θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．
C
C
B
A
二、截长补短
1、如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC
2、如图，AD ∥BC ，EA,EB 分别平分∠DAB,∠CBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AD+BC 。

3、如图，已知在ABC 内，0
60BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。

求证：BQ+AQ=AB+BP
4、如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠，
求证： 0
180=∠+∠C A
C
D
B
A
P
21
D
C
B
A
5、如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任意一点，求证;AB-AC ＞PB-PC 应用：
三、平移变换
例1 AD 为△ABC 的角平分线，直线MN ⊥AD 于A.E 为MN 上一点，△ABC 周长记为A P ，△EBC 周长记为B P .求证B P ＞A P .
C
B
A
例2 如图，在△ABC 的边上取两点D 、E ，且BD=CE ，求证：AB+AC>AD+AE.
E
D C
B
A
四、借助角平分线造全等
1、如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O ，求证：OE=OD
2、如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F. （1）说明BE=CF 的理由；（2）如果AB=a ，AC=b ，求AE 、BE 的长.
E
D
G
F
C
B
A
A
F
E
D C
B
A
应用：
1、如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三
角形。

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B =60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的
平分线，AD 、CE 相交于点F 。

请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；
（2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你
在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

五、旋转
例1 正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数.
例2 D 为等腰Rt ABC ∆斜边AB 的中点，DM ⊥DN,DM,DN 分别交BC,CA 于点E,F 。

（1） 当MDN ∠绕点D 转动时，求证DE=DF 。

（2） 若AB=2，求四边形DECF 的面积。

例3 如图，ABC ∆是边长为3的等边三角形，BDC ∆是等腰三角形，且0120BDC ∠=，以D 为顶点做一个060角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，则AMN ∆的周长为 ；
B
C
应用：
1、已知四边形ABCD 中，AB AD ⊥，BC CD ⊥，AB BC =，120ABC =∠，
60MBN =∠，MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交AD DC ，（或它们的延长线）
于E F ，．
当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF =时（如图1），易证AE CF EF +=．
当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF ≠时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE CF ，，EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
A B C D E F M N A B C D E F M N A B C D E F M
N
2、（西城一模）已知:PA=2,PB=4,以AB 为一边作正方形ABCD,使P 、D 两点落在直线AB 的两侧.
(1)如图,当∠APB=45°时,求AB 及PD 的长;
(2)当∠APB 变化,且其它条件不变时,求PD 的最大值,及相应∠APB 的大小.
3、在等边ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为ABC 外一点，且
︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC. 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、
NC 、MN 之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．
图1 图2 图3
（I ）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ； 此时
=L
Q
； （II ）如图2，点M 、N 边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想（I ）问的两个结论还成立
吗？写出你的猜想并加以证明；
（III ） 如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，
D C B
A
E
D F C
B A
若AN=x，则Q= （用x、L表示）．
参考答案与提示
一、倍长中线（线段）造全等
例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________. 解：延长AD至E使AE＝2AD，连BE，由三角形性质知
AB-BE <2AD<AB+BE 故AD的取值范围是1<AD<4
例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.
解：(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长FD至G使FG＝2EF，连BG，EG,
显然BG＝FC，
在△EFG中，注意到DE⊥DF，由等腰三角形的三线合一知
EG＝EF
在△BEG中，由三角形性质知
EG<BG+BE
故：EF<BE+FC
例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.
E
D C
B
A
解：延长AE至G使AG＝2AE，连BG，DG,
显然DG ＝AC ， ∠GDC=∠ACD 由于DC=AC ，故 ∠ADC=∠DAC 在△ADB 与△ADG 中， BD ＝AC=DG ，AD ＝AD ，
∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC ＝∠ADG
故△ADB ≌△ADG ，故有∠BAD=∠DAG ，即AD 平分∠BAE 应用：
Rt ABD ∆和等腰
1、（崇文二模）以的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰
Rt ACE ∆，90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．
（1）如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ， 线段AM 与DE 的数量关系是 ；
（2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒
θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．
解：（1）AM ED 2=，ED AM ⊥；
证明：延长AM 到G ，使AM MG =，连BG ，则ABGC 是平行四边形 ∴BG AC =，︒=∠+∠180BAC ABG 又∵︒=∠+∠180BAC DAE ∴DAE ABG ∠=∠ 再证：ABG DAE ∆≅∆
∴AM DE 2=，EDA BAG ∠=∠ 延长MN 交DE 于H
ABC ∆
E
D
A
∵︒=∠=∠90DAH BAG ∴︒=∠+∠90DAH HDA ∴ED AM ⊥ （2）结论仍然成立．
证明：如图，延长CA 至F ，使FA AC =，FA 交DE 于点P ，并连接BF ∵BA DA ⊥，AF EA ⊥ ∴EAD DAF BAF ∠=∠+︒=∠90 ∵在FAB ∆和EAD ∆中 ⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=DA BA EAD BAF AE FA ∴EAD FAB ∆≅∆（SAS ） ∴DE BF =，AEN F ∠=∠
∴︒=∠+∠=∠+∠90AEN APE F FPD ∴DE FB ⊥
又∵AF CA =，MB CM = ∴FB AM //，且FB AM 2
1
= ∴DE AM ⊥，DE AM 2
1
=
二、截长补短
1、如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC 解：（截长法）在AB 上取中点F ，连FD
△ADB 是等腰三角形，F 是底AB 中点，由三线合一知 DF ⊥AB ，故∠AFD ＝90° △ADF ≌△ADC （SAS ）
∠ACD ＝∠AFD ＝90°即：CD ⊥AC
2、如图，AD ∥BC ，EA,EB 分别平分∠DAB,∠CBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝
AD+BC
D
A
P
Q
C
B
A
解：（截长法）在AB 上取点F ，使AF ＝AD ，连FE △ADE ≌△AFE （SAS ） ∠ADE ＝∠AFE ， ∠ADE+∠BCE ＝180° ∠AFE+∠BFE ＝180° 故∠ECB ＝∠EFB △FBE ≌△CBE （AAS ） 故有BF ＝BC 从而;AB ＝AD+BC
3、如图，已知在△ABC 内，0
60BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。

求证：BQ+AQ=AB+BP 解：（补短法, 计算数值法）延长AB 至D ，使BD ＝BP ，连DP 在等腰△BPD 中，可得∠BDP ＝40° 从而∠BDP ＝40°＝∠ACP
△ADP ≌△ACP （ASA ） 故AD ＝AC
又∠QBC ＝40°＝∠QCB 故 BQ ＝QC BD ＝BP
从而BQ+AQ=AB+BP
4、如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠，
求证： 0
180=∠+∠C A
解：（补短法）延长BA 至F ，使BF ＝BC ，连FD △BDF ≌△BDC （SAS ）
P
2 1
D C
B A
故∠DFB＝∠DCB ，FD＝DC
又AD＝CD
故在等腰△BFD中
∠DFB＝∠DAF
故有∠BAD+∠BCD＝180°
5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC
解：（补短法）延长AC至F，使AF＝AB，连PD
△ABP≌△AFP（SAS）
故BP＝PF
由三角形性质知
PB－PC＝PF－PC < CF＝AF－AC＝AB－AC
应用：
分析：此题连接AC，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题。

解：有AE
AD
BC+
=
连接AC，过E作BC
EF//并AC于F点
则可证AEF
∆为等边三角形
即EF
AE=，︒
=
∠
=
∠60
AFE
AEF
∴︒=∠120CFE
又∵BC AD //，︒=∠60B ∴︒=∠120BAD 又∵︒=∠60DEC ∴FEC AED ∠=∠ 在ADE ∆与FCE ∆中
CFE EAD ∠=∠，EF AE =，FEC AED ∠=∠
∴FCE ADE ∆≅∆ ∴FC AD = ∴AE AD BC +=
点评：此题的解法比较新颖，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用全等三角形的性质解决。

三、平移变换
例1 AD 为△ABC 的角平分线，直线MN ⊥AD 于A.E 为MN 上一点，△ABC 周长记为A P ，△EBC 周长记为B P .求证B P ＞A P .
解：（镜面反射法）延长BA 至F ，使AF ＝AC ，连FE AD 为△ABC 的角平分线, MN ⊥AD 知∠FAE ＝∠CAE 故有
△FAE ≌△CAE （SAS ） 故EF ＝CE
在△BEF 中有： BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC 从而P B =BE+CE+BC>BF+BC=BA+AC+BC=P A
例2 如图，在△ABC 的边上取两点D 、E ，且BD=CE ，求证：AB+AC>AD+AE.
O E
D C
B A
证明：取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AM,连BN,DN.
∵BD=CE,
∴DM=EM,
∴△DMN≌△EMA(SAS),
∴DN=AE,
同理BN=CA.
延长ND交AB于P,则BN+BP>PN,DP+PA>AD,
相加得BN+BP+DP+PA>PN+AD,
各减去DP,得BN+AB>DN+AD,
∴AB+AC>AD+AE。

四、借助角平分线造全等
1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD，DC+AE =AC
证明 (角平分线在三种添辅助线,计算数值法)∠B=60度,
则∠BAC+∠BCA=120度;
AD,CE均为角平分线,
则∠OAC+∠OCA=60度=∠AOE=∠COD;
∠AOC=120度.
在AC上截取线段AF=AE,连接OF.
又AO=AO;∠OAE=∠OAF
.则⊿OAE≌ΔOAF(SAS),
OE=OF;AE=AF;
∠AOF=∠AOE=60度.
则∠COF=∠AOC-∠AOF=60度=∠COD;
又CO=CO;∠OCD=∠OCF.
故⊿OCD≌ΔOCF(SAS),
OD=OF;CD=CF.
OE=OD
DC+AE=CF+AF=AC.
2、如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F. （1）说明BE=CF 的理由；（2）如果AB=a ，AC=b ，求AE 、BE 的长. 解：(垂直平分线联结线段两端)连接BD ，DC DG 垂直平分BC ，故BD ＝DC
由于AD 平分∠BAC ， DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，故有 ED ＝DF
故RT △DBE ≌RT △DFC （HL ） 故有BE ＝CF 。

AB+AC ＝2AE AE ＝（a+b ）/2 BE=(a-b)/2 应用：
1、如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三
角形。

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B =60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的
平分线，AD 、CE 相交于点F 。

请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；
（2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你
在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

解：（1）FE 与FD 之间的数量关系为FD FE = （2）答：（1）中的结论FD FE =仍然成立。

证法一：如图1，在AC 上截取AE AG =，连结FG ∵21∠=∠，AF 为公共边， ∴AGF AEF ∆≅∆
E D
G
F
C
B
A
F
E
D C
B
A
∴AFG AFE ∠=∠，FG FE =
∵︒=∠60B ，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线 ∴︒=∠+∠6032
∴︒=∠=∠=∠60AFG CFD AFE ∴︒=∠60CFG
∵43∠=∠及FC 为公共边 ∴CFD CFG ∆≅∆ ∴FD FG = ∴FD FE =
证法二：如图2，过点F 分别作AB FG ⊥于点G ，FH ⊥∵︒=∠60B ，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线 ∴可得︒=∠+∠6032，F 是ABC ∆的内心 ∴160∠+︒=∠GEF ，FG FH = 又∵1∠+∠=∠B HDF ∴HDF GEF ∠=∠ ∴可证DHF EGF ∆≅∆ ∴FD FE = 五、旋转
例1 正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数. 证明：将三角形ADF 绕点A 顺时针旋转90度，至三角形ABG 则GE=GB+BE=DF+BE=EF 又AE=AE ，AF=AG ， 所以三角形AEF 全等于AEG
所以∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF 又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90 所以∠EAF=45度
例2 D 为等腰Rt ABC ∆斜边AB 的中点，DM ⊥DN,DM,DN 分别交BC,CA 于点E,F 。

(1)当MDN ∠绕点D 转动时，求证DE=DF 。

(2)若AB=2，求四边形DECF 的面积。

解：(计算数值法)（1）连接DC ，
D 为等腰Rt ABC ∆斜边AB 的中点，故有CD ⊥AB ，CD ＝DA CD 平分∠BCA ＝90°，∠ECD ＝∠DCA ＝45° 由于DM ⊥DN ，有∠EDN ＝90° 由于 CD ⊥AB ，有∠CDA ＝90° 从而∠CD
E ＝∠FDA ＝
故有△CDE ≌△ADF （ASA ） 故有DE=DF
（2）S △ABC =2, S 四DECF = S △ACD =1
例3 如图，ABC ∆是边长为3的等边三角形，BDC ∆是等腰三角形，且0120BDC ∠=，以D 为顶点做一个060角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，则AMN ∆的周长为 ；
解：(图形补全法, “截长法”或“补短法”, 计算数值法) AC 的延长线与BD 的延长线交于点F ，在线段CF 上取点E ，使CE ＝BM
∵△ABC 为等边三角形，△BCD 为等腰三角形，且∠BDC=120°， ∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°， ∠DCE=180°-∠ACD=180°-∠ABD=90°， 又∵BM=CE ，BD=CD ， ∴△CDE ≌△BDM ， ∴∠CDE=∠BDM ，DE=DM ，
∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°， ∵在△DMN 和△DEN 中， DM=DE
∠MDN=∠EDN=60° DN=DN ∴△DMN ≌△DEN ， ∴MN=NE
∵在△DMA 和△DEF 中， DM=DE
∠MDA=60°- ∠MDB=60°- ∠CDE=∠EDF (∠CDE=∠BDM) ∠DAM=∠DFE=30° ∴△DMN ≌△DEN (AAS)， ∴MA=FE
AMN ∆的周长为AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6
应用：
1、已知四边形ABCD 中，AB AD ⊥，BC CD ⊥，AB BC =，120ABC =∠，
60MBN =∠，MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交AD DC ，（或它们的延长线）
于E F ，．
当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF =时（如图1），易证AE CF EF +=．
当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF ≠时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE CF ，，EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
A B C D E F M N A B C D E F M N A B C D E F M
N
解：（1）∵AD AB ⊥，CD BC ⊥，BC AB =，CF AE =
∴CBF ABE ∆≅∆（SAS ）；
∴CBF ABE ∠=∠，BF BE =
∵︒=∠120ABC ，︒=∠60MBN
∴︒=∠=∠30CBF ABE ，BEF ∆为等边三角形
∴BF EF BE ==，BE AE CF 2
1=
= ∴EF BE CF AE ==+
（2）图2成立，图3不成立。

证明图2，延长DC 至点K ，使AE CK =，连接BK
则BCK BAE ∆≅∆
∴BK BE =，KBC ABE ∠=∠
∵︒=∠60FBE ，︒=∠120ABC
∴︒=∠+∠60ABE FBC
∴︒=∠+∠60KBC FBC
∴︒=∠=∠60FBE KBF
∴EBF KBF ∆≅∆
∴EF KF =
∴EF CF KC =+
即EF CF AE =+
图3不成立，AE 、CF 、EF 的关系是EF CF AE =-
2、（西城一模）已知2以AB 为一边作正方形ABCD,使P 、D 两点落在直线AB
的两侧.
(1)如图,当∠APB=45°时,求AB 及PD 的长;
(2)当∠APB 变化,且其它条件不变时,求PD 的最大值,及相应∠APB 的大小.
分析：（1）作辅助线，过点A 作PB AE ⊥于点E ，在PAE
Rt ∆中，已知APE ∠，AP 的值，根据三角函数可将AE ，PE 的值求出，
由PB 的值，可求BE 的值，在ABE Rt ∆中，根据勾股定理可将AB 的值求出；求PD 的值有两种解法，解法一：可将PAD ∆绕点
A 顺时针旋转︒90得到A
B P '∆，可得AB P PAD '∆≅∆，求PD 长即
为求B P '的长，在P AP Rt '∆中，可将P P '的值求出，在B P P Rt '∆中，根据勾股定理可将B
P '的值求出；解法二：过点P 作AB 的平行线，与DA 的延长线交于F ，交PB 于G ，在AEG
Rt ∆中，可求出AG ，EG 的长，进而可知PG 的值，在PFG Rt ∆中，可求出PF ，在PDF Rt ∆中，
根据勾股定理可将PD 的值求出；
（2）将PAD ∆绕点A 顺时针旋转︒90，得到AB P '∆，PD 的最大值即为B P '的最大值，
故当P '、P 、B 三点共线时，B P '取得最大值，根据PB P P B P +'='可求B P '的最大值，此
时︒='∠-︒=∠135180P AP APB ． A B C D E F M N
解：（1）①如图，作PB AE ⊥于点E
∵PAE Rt ∆中，︒=∠45APB ，2=PA ∴()1222===PE AE
∵4=PB
∴3=-=PE PB BE
在ABE Rt ∆中，︒=∠90AEB ∴1022=+=BE AE AB
②解法一：如图，因为四边形ABCD 为正方形，可将将PAD ∆绕点A 顺时针旋转︒90得
到AB P '∆，，可得AB P PAD '∆≅∆，B P PD '=，A P PA '=
∴︒='∠90P PA ，︒='∠45P AP ，︒='∠90PB P
∴2='P P ，2=PA ∴52422222=+=+'='=PB P P B P PD ；
解法二：如图，过点P 作AB 的平行线，与DA 的延长线交于F ，设DA 的延长线交PB 于
G ．
在AEG Rt ∆中，可得310cos cos =∠=∠=ABE AE EAG AE AG ，31=EG ，3
2=-=EG PE PG 在PFG Rt ∆中，可得510cos cos =∠=∠=ABE PG FPG PG PF ，15
10=FG 在PDF Rt ∆中，可得 ()5231015101051022
22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++=FG AG AD PF PD （2）如图所示，将PAD ∆绕点A 顺时针旋转︒90,得到AB P '∆，PD 的最大值，即为B
P '的最大值
∵B P P '∆中，PB P P B P +'' ，22=='PA P P ，4=PB 且P 、D 两点落在直线AB 的两
侧
∴当P '、P 、B 三点共线时，B P '取得最大值（如图）
此时6=+'='PB P P B P ，即B P '的最大值为6
此时︒='∠-︒=∠135180P AP APB
3、在等边ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为ABC 外一点，且
︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC. 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、
NC 、MN 之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．
图1 图2 图3
（I ）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系
是 ； 此时=L
Q ； （II ）如图2，点M 、N 边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想（I ）问的两个结论还成立
吗？写出你的猜想并加以证明；
（III ） 如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，
若AN=x ，则Q= （用x 、L 表示）．
分析：（1）如果DN DM =，DNM DMN ∠=∠，因为DC BD =，那么
︒=∠=∠30DCB DBC ，也就有︒=︒+︒=∠=∠903060NCD MBD ，直角三角形MBD 、NCD 中，
因为DC BD =，DN DM =，根据HL 定理，两三角形全等。

那么NC BM =，
︒=∠=∠60DNC BMD ，三角形NCD 中，︒=∠30NDC ，NC DN 2=，在三角形DNM 中，
DN DM =，︒=∠60MDN ，因此三角形DMN 是个等边三角形，因此
BM NC NC DN MN +===2，三角形AMN 的周长=++=MN AN AM Q
AB AC AB NC MB AN AM 2=+=+++，三角形ABC 的周长AB L 3=，因此3:2:=L Q ．
（2）如果DN DM ≠，我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换。

延长AC 至E ，
使BM CE =，连接DE ．（1）中我们已经得出，︒=∠=∠90NCD MBD ，那么三角形MBD 和
ECD 中，有了一组直角，CE MB =，DC BD =，因此两三角形全等，那么DE DM =，
CDE BDM ∠=∠，︒=∠-∠=∠60MDN BDC EDN ．三角形MDN 和EDN 中，有DE DM =，
︒=∠=∠60MDN EDN ，有一条公共边，因此两三角形全等，NE MN =，至此我们把BM 转
换成了CE ，把MN 转换成了NE ，因为CE CN NE +=，因此CN BM MN +=．Q 与L 的关系的求法同（1），得出的结果是一样的。

（3）我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换，思路同（2）过D 作MDB CDH ∠=∠，三角形BDM 和CDH 中，由（1）中已经得出的︒=∠=∠90MB DCH ，我们做的角
CDH BDM ∠=∠，CD BD =，因此两三角形全等（ASA ）
．那么CH BM =，DH DM =，三角形MDN 和NDH 中，已知的条件有DH MD =，一条公共边ND ，要想证得两三角形全等就需要知道HDN MDN ∠=∠，因为MDB CDH ∠=∠，因此︒=∠=∠120BDC MDH ，因为︒=∠60MDN ，那么︒-︒=∠60120NDH
︒=60，因此NDH MDN ∠=∠，这样就构成了两三角形全等的条件．三角形MDN 和DNH 就全等了．那么BM AC AN NH NM -+==，三角形AMN 的周长+++=++=BM AB AN MN AM AN Q
AB AN BM AC AN 22+=-+．因为x AN =，L AB 3
1=，因此三角形AMN 的周长L x Q 3
22+=． 解：（1）如图1，BM 、NC 、MN 之间的数量关系：MN NC BM =+；此时
32=L Q ． （2）猜想：结论仍然成立．
证明：如图2，延长AC 至E ，使BM CE =，连接DE
∵CD BD =，且︒=∠120BDC
∴︒=∠=∠30DCB DBC
又ABC ∆是等边三角形
∴︒=∠=∠90NCD MBD
在MBD ∆与ECD ∆中
⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠=DC BD ECD MBD CE BM
∴ECD MBD ∆≅∆（SAS ）
∴DE DM =，CDE BDM ∠=∠
∴︒=∠-∠=∠60MDN BDC EDN
在MDN ∆与EDN ∆中
⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠=DN DN EDN MDN DE DM
∴EDN MDN ∆≅∆（SAS ）
∴BM NC NE MN +==
故AMN ∆的周长=++=MN AN AM Q ()()AB AC AB NC AN BM AM 2=+=+++
而等边ABC ∆的周长AB L 3= ∴3
232==AB AB L Q （3）如图3，当M 、N 分别在AB 、CA 的延长线上时，若x AN =，则L x Q 322+
=（用x 、L 表示）．
点评：本题考查了三角形全等的判定及性质；题目中线段的转换都是根据全等三角形来实现的，当题中没有明显的全等三角形时，我们要根据条件通过作辅助线来构建于已知和所求条
件相关的全等三角形。

初中数学试卷。