最短路径问题-教案
最短路径问题教案
最短路径问题教案一、前置知识在学习最短路径问题之前，需要掌握以下基础知识：1.图的基本概念：顶点、边、度、路径、连通性等。
2.图的存储方式：邻接矩阵、邻接表等。
3.图的遍历算法：深度优先搜索（DFS）、广度优先搜索（BFS）等。
4.基本的算法思想：贪心、分治、动态规划等。
二、最短路径问题最短路径问题是指在一个加权图中，找到从一个顶点到另一个顶点的最短路径。
其中，加权图是指每条边都有一个权值，表示从一个顶点到另一个顶点的距离或代价。
最短路径问题是图论中的一个经典问题，也是许多实际问题的基础。
例如，在计算机网络中，路由器需要找到从源节点到目标节点的最短路径，以便将数据包传输到目标节点。
最短路径问题可以分为两类：单源最短路径和全源最短路径。
1. 单源最短路径单源最短路径是指从一个固定的源节点出发，到达图中其他所有节点的最短路径。
常见的算法有：•Dijkstra算法•Bellman-Ford算法•SPFA算法1.1 Dijkstra算法Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决单源最短路径问题。
它的基本思想是：从源节点开始，每次选择距离源节点最近的一个节点，然后以该节点为中心进行扩展，直到扩展到终点为止。
Dijkstra算法的具体步骤如下：1.初始化：将源节点到所有节点的距离初始化为无穷大，源节点到自身的距离为0。
2.选择：从未确定最短路径的节点中，选择距离源节点最近的节点。
3.更新：对于该节点的所有邻居节点，更新它们到源节点的距离。
4.标记：将该节点标记为已确定最短路径。
5.重复：重复步骤2~4，直到所有节点都被标记为已确定最短路径，或者无法到达终点。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n为节点数。
如果使用堆优化，可以将时间复杂度降为O(mlogn)，其中m为边数。
1.2 Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是一种动态规划算法，用于解决单源最短路径问题。
它的基本思想是：从源节点开始，每次对所有边进行松弛操作，即尝试通过当前节点更新其他节点的距离，直到所有节点的距离都不再更新。
最短路径问题教学设计优质课
最短路径问题教学设计优质课在咱们的日常生活中，最短路径问题可谓是一个“老生常谈”的话题。
想想看，我们每天出门，走到学校、上班、逛街，都是在考虑怎么走得更快，怎么省时间。
就像咱们常说的，“走哪条路都得看哪条路最短”，这就跟数学里的最短路径问题不谋而合了。
今天，就让我给大家讲讲这个看似复杂其实很有趣的课题，保证让你听得津津有味。
想象一下，你和小伙伴约好去游乐园，兴致勃勃地出门，可偏偏被堵在路上，心里那个急啊，恨不得飞过去。
这个时候，你就会想，哎，哪个路口更短呢？怎么能快速到达目的地呢？最短路径问题其实就是在问，怎么在地图上找到最省时间的那条路。
简单来说，就是怎么才能让你的小脚丫尽量少走冤枉路。
这里有个小知识点：最短路径算法有很多种，像迪杰斯特拉算法、贝尔曼福特算法等等，听起来复杂，但其实用的时候并不难。
咱们先说说迪杰斯特拉算法。
这名字听上去高大上，其实它的核心思想就是把问题分解得简单明了。
就像是把一个大蛋糕切成小块，吃的时候就不觉得那么累。
你从起点开始，每走一步，就把周围的路都给考虑清楚。
遇到新的路口，就跟朋友们分享一下信息，看看哪个路口最短。
就像玩“谁是卧底”游戏，你不断地收集线索，最终找出那条最短的路。
这种算法的好处是，它能处理很多复杂的情况，不会让你迷了方向。
再说说贝尔曼福特算法，它的特点是可以处理有负权重的边。
听起来是不是很厉害？比如说，有的人可能在路上打折扣，这样走过去的路反而变得便宜。
这时候，贝尔曼福特就能派上用场。
它像一个耐心的老师，慢慢教你，每一步都不急，逐渐找出最短路径。
虽然速度没那么快，但它的可靠性是毋庸置疑的。
就像那句老话，“慢工出细活”，认真总会有回报。
在教学设计中，如何把这些算法用得活灵活现，才是关键。
首先得让学生明白最短路径问题的实际应用，想象他们每天上学放学时的情景。
课堂上可以用一些小游戏，比如说“寻宝游戏”，把学生分成小组，每组找出从一个点到另一个点的最短路径。
边玩边学，乐趣无穷，学生们的积极性也会提高。
八年级数学上册《最短路径问题》教案、教学设计
4.方法指导：教师引导学生运用坐标系、网格纸等工具，将实际问题转化为数学模型。
5.课堂小结：总结解决最短路径问题的方法，提炼数学思想。
第二课时：巩固提高，解决实际问题
1.创设情境：提供一些实际生活中的问题，让学生运用所学知识解决。
2.自主探究：学生独立思考，尝试解决实际问题。
2.培养学生面对困难时，勇于挑战、积极思考的良好品质。
3.培养学生合作交流、共同解决问题的团队意识，提高沟通能力。
4.培养学生将所学知识运用到实际生活中的意识，增强学生的实践能力。
5.使学生认识到数学与现实生活的紧密联系，体会数学在解决实际问题中的价值，提高学生对数学学科的认识。
二、学情分析
八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于坐标系、距离计算等概念有初步的了解。在此基础上，他们对最短路径问题充满好奇心，但可能尚未形成系统性的解题思路和方法。因此，在本章节的教学中，应关注以下几个方面：
b.请学生尝试研究：在给定的条件下，如何判断两点之间是否存在最短路径？若存在，如何求解？
作业要求：
1.学生需独立完成作业，确保解题过程清晰、规范。
2.鼓励学生在解决最短路径问题时，尝试不同的方法和思路，培养创新意识。
3.做完作业后，学生应认真检查，确保答案正确，并对解题过程进行总结和反思。
4.作业完成后，及时上交，教师将进行批改和反馈。
五、作业布置
为了巩固本节课所学知识，提高学生解决最短路径问题的能力，特布置以下作业：
1.必做题：
a.请学生绘制一幅包含五个点的坐标系图，任意指定两个点作为起点和终点，找出所有可能的最短路径，并计算出它们的长度。
b.从教材或课外资料中选择两道最短路径问题的题目，运用课堂所学方法进行解答。
课题学习最短路径问题教案人教版八年级数学上册
13.4课题学习最短路径问题【教学目标】1．知识与技能：通过对最短路径的探索，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短的性质.2.过程与方法：让学生经历运用所学知识解决问题的过程，培养学生解决问题的能力，掌握探索最短路径的思想方法.3.情感态度与价值观：在数学学习活动中，获得成功的体验，树立自信心.【教学重难点】重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题，培养学生解决实际问题的能力；难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题．【教学方法】情境学习法、探究实践法.【教学过程】新课导入：创设情境，提出问题：问题1：如图，连接A，B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？答：②最短，因为两点之间，线段最短问题2：如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？答：PC最短，因为垂线段最短.“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.本节将利用数学知识探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”.深入学习最短路径问题.由复习相关问题入手，为后面学习做好铺垫.新课讲授：（一）牧人饮马问题问题：如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？把实际问题抽象为数学作图问题：在直线l上求作一点C，使AC+BC最短问题.动手探究：探究1：现在假设点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？解：连接AB，与直线l相交于一点C.根据是“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.探究2：如果点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．探究3：你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC =B′C，BC′=B′C′．②AC +BC= AC +B′C = AB′，② AC′+BC′= AC′+B′C′．在②AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，②AC +BC＜AC′+BC′．即AC +BC最短．例1：如图，已知点D，点E分别是等边三角形ABC中BC，AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，求BF+EF的最小值.解：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，AB=BC，BD=CD，∴点B与点C关于直线AD对称.∵点F 在AD 上，∴BF =CF ，∴BF +EF =CF +EF ，∴连接CE ，线段CE 的长即为BF +EF 的最小值.∵当CE ⊥AB 时，CE 最小，∴当CE ⊥AB 时，BF +EF 的最小值.∵12AB ·CE =12BC ·AD ，∴CE =AD =5， ∴BF +EF 的最小值是5.归纳结论：求线段和的最小值问题:找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解.（二）造桥选址问题活动探究：如图，A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN .桥造在何处可使从A 到B 的路径AMNB 最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？抽象出数学习题思考：N 在直线b 的什么位置时，AM +MN +NB 最小？由于河岸宽度是固定的，因此当AM +NB 最小时，AM +MN +NB 最小.AM 沿与河岸垂直的方向平移，点M 移到点N ，点A 移到点A ′，则AA ′ = MN ，AM + NB = A ′N + NB . 这样问题就转化为：当点N 在直线b 的什么位置时， A ′N +NB 最小？如图，连接A ′B 与b 相交于N ，N 点即为所求.试说明桥建在M ′N ′上时，从A 到B 的路径AMNB 增大.（两点之间线段最短）例2：如图，荆州古城河在CC ′处直角转弯，河宽相同，从A 处到B 处，须经两座桥：DD ′，EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB 的路程最短？解：作AF ②CD ，且AF =河宽，作BG ②CE ，且BG =河宽，连接GF ，与河岸相交于E ′，D ′.作DD ′，EE ′即为桥.理由：由作图法可知，AF //DD ′，AF =DD ′，则四边形AFD ′D 为平行四边形，于是AD =FD ′， 同理，BE =GE ′，由两点之间线段最短可知，GF最小.归纳结论：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择.课堂练习：A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径.解：如图所示，AP+PQ+BQ最短.2.（1）如图②，在AB直线一侧C，D两点，在AB上找一点P，使C，D，P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．（2）如图②，在②AOB内部有一点P，是否在OA，OB上分别存在点E，F，使得E，F，P三点组成的三角形的周长最短，找出E，F两点，并说明理由．（3）如图②，在②AOB内部有两点M，N，是否在OA，OB上分别存在点E，F，使得E，F，M，N，四点组成的四边形的周长最短，找出E，F两点，并说明理由．答案：课堂小结：说一说哪些问题是线段最短问题.说一说牧民饮马问题的解决方法和原理.说一下造桥选址类问题的解决方法和原理.作业布置：1.如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（）A．（0，3）B．（0，2）C．（0，1）D．（0，0）答案：A2.完成本节配套习题.【板书设计】最短路径问题的解题原理：线段公理和垂线段最短.最短路径问题的分类：饮马问题和造桥选址问题.饮马问题的解题方法：轴对称知识+线段公理.造桥选址问题的解题方法：关键是将固定线段“桥”平移.【课后反思】创设与学生生活环境、知识背景相关的教学情境，以生动活泼的形式呈现有关内容，教学时，根据本课内容特点，尽可能的让学生动手实践，通过探索交流获取作图方法.。
17.1勾股定理的应用最短路径问题(教案)
在今天的教学中，我重点关注了勾股定理在实际问题中的应用，尤其是最短路径问题的求解。通过这节课的教学，我发现以下几点值得反思：
1.学生对勾股定理的理解程度。在授课过程中，我发现部分学生对勾股定理的理解还不够深入，导致在实际问题中不知如何运用。针对这个问题，我需要在今后的教学中加强对勾股定理原理的讲解，让学生真正理解并掌握这个定理。
4.学生参与度。在课堂教学中，我注意到部分学生的参与度不高，可能是因为他们对课程内容不感兴趣或跟不上教学进度。为了提高学生的参与度，我需要关注每一个学生，及时了解他们的需求和困惑，调整教学节奏和策略。
5.课堂氛围的营造。在今天的教学中，课堂氛围较为活跃，学生们积极讨论、互动。我认为这是一个好的现象，说明学生们对课程内容感兴趣。在今后的教学中，我需要继续保持这种氛围，让学生在轻松愉快的氛围中学习。
17.1勾股定理的应用最短路径问题（教案）
一、教学内容
本节课选自教材第十七章第一节，主要围绕勾股定理的应用——最短路径问题展开。内容包括：
1.勾股定理的复习与巩固：引导学生回顾勾股定理的内容及其证明，理解直角三角形边长之间的数量关系。
2.最短路径问题引入：通过实际生活中的例子（如城市规划、园林设计等），引出最短路径问题，激发学生兴趣。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解勾股定理的基本概念。勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。它是解决最短路径问题的关键工具，广泛应用于建筑、工程等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何利用勾股定理在实际中找到两点之间的最短路径，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的运用和最短路径问题的求解方法这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例题和图示来帮助大家理解。
八年级数学上册《学习最短路径问题》教案、教学设计
1.设计练习题：根据教学目标和重难点，设计不同难度的练习题，让学生巩固所学知识。
2.独立完成：学生独立完成练习题，提高解决问题的能力。
3.教师指导：针对学生做题过程中遇到的问题，给予个别指导，帮助学生掌握解题方法。
4.评价与反馈：对学生的练习成果进行评价，及时反馈，促使学生改进和提高。
八年级数学上册《学习最短路径问题》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解最短路径问题的基本概念，了解其在现实生活中的应用，如地图导航、网络路由等。
2.学会使用数学方法求解最短路径问题，包括但不限于：欧几里得算法、迪杰斯特拉算法等。
3.能够运用所学的最短路径算法解决实际问题，并能够根据问题背景选择合适的算法。
（五）总结归纳
1.知识点回顾：对本节课所学的最短路径问题、欧几里得算法、迪杰斯特拉算法等知识点进行回顾和总结。
2.学生分享：邀请学生分享自己在学习过程中的收获和感悟，提高学生的表达能力。
3.教师点评：针对学生的分享，给予积极的评价和引导学生认识到数学在解决实际问题中的价值，培养他们勇于探索、积极思考的精神，以及团队合作、尊重他人的品质。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重点
1.最短路径问题的基本概念及其在实际中的应用。
2.欧几里得算法、迪杰斯特拉算法等最短路径求解方法。
3.将实际问题转化为数学模型的能力。
4.培养学生的逻辑思维能力和团队合作意识。
（二）教学难点
1.理解并掌握最短路径算法的原理和步骤。
2.将算法应用于解决实际问题，进行数学建模。
4.掌握最短路径问题的数学表达和建模方法，能够将实际问题转化为数学模型。
（二）过程与方法
在教学过程中，教师应关注以下过程与方法：
最短路径问题 教案
教学设计基本信息名称最短路径问题教材分析本节课是在学习了轴对称的知识后学习的与实际问题密切相关的最短路径问题，集中体现了利用数学知识解决实际问题，体现了数学知识在实际中的用处。
学情分析八年级学生中等成绩的多，优秀生和学困生较少。
知识与能力目标1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．2.能做出一个图形经轴对称变化后的图形。
3.能利用轴对称变换解决日常生活中的实际问题。
过程与方法目标通过问题解决培养学生转化问题能力教学目标情感态度与价值观目标数学来源实际服务生活，培养数学学习兴趣重点利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.教学重难点难点在实际题目中会运用最短路径问题。
教学策略与设计说明利用教学资源网站，通过创设具有启发性的、学生感兴趣的、有助自主学习和探索的问题情境，使学生在活动丰富、思维积极的状态中进行探究学习，组织好合作学习，并对合作过程进行引导，使学生朝着有利于知识建构的方向发展。
教学过程教学环节（注明每个环节预设的时间）教师活动学生活动设计意图像这样我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线问题3 你能用所学的知识证明′．AB′，三．运用新知练习2 如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返请画出旅游船的最短路径。
P′，P点关于课堂小结2分钟同学们谈谈这节课运用了哪些数学知识，你们学到了什么？1、利用轴对称解决两点之间最短路径问题2、轴对称知识在生活中的运用布置作业1分钟教科书66页12题。
板书设计利用轴对称解决简单的最短路径问题教学反思我对本节课的讲授结果满意，学生能逐渐由简单到复杂，逐步深入地理解了两点在直线同侧的情况，如何找最短路径。
学生能正确做图，找到要找的点，解决了最短路径问题的作图。
这是本节课的一个目标，学生实现的很好。
在别的关于最短路径问题中，学生大部分能根据轴对称找到最短路径。
初中最短路径教案
初中最短路径教案教学目标：1. 了解最短路径问题的概念和意义；2. 学会使用图论中的 Dijkstra 算法求解最短路径问题；3. 能够应用最短路径算法解决实际问题。
教学重点：1. 最短路径问题的概念和意义；2. Dijkstra 算法的原理和实现。
教学难点：1. Dijkstra 算法的理解和应用。
教学准备：1. 课件和教学素材；2. 网络环境。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入话题：讲解最短路径问题的实际应用，如地图导航、物流配送等；2. 提问：什么是最短路径问题？为什么它重要？二、新课讲解（20分钟）1. 讲解最短路径问题的定义和意义；2. 介绍 Dijkstra 算法的原理和步骤；3. 通过示例图讲解 Dijkstra 算法的具体实现过程；4. 讲解 Dijkstra 算法的优化方法和扩展版本。
三、课堂实践（15分钟）1. 让学生使用网络环境，尝试运行 Dijkstra 算法；2. 让学生自主编写代码实现 Dijkstra 算法；3. 让学生讨论和交流 Dijkstra 算法的应用和优化方法。
四、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，总结最短路径问题和 Dijkstra 算法的概念和应用；2. 强调 Dijkstra 算法的的重要性和实际应用价值。
五、作业布置（5分钟）1. 让学生完成课后练习题，巩固所学知识；2. 让学生思考和探索最短路径问题的其他解决方法和算法。
教学反思：本节课通过讲解最短路径问题的概念和意义，以及 Dijkstra 算法的原理和实现，使学生了解了最短路径问题的实际应用和解决方法。
在课堂实践环节，让学生自主编写代码实现Dijkstra 算法，培养了学生的动手能力和编程技能。
通过课堂小结，使学生对所学知识有了更深刻的理解和认识。
在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，引导学生主动思考和探索。
此外，还要注重培养学生的实际应用能力，让学生能够将所学知识应用到实际问题中，提高解决问题的能力。
最短路径问题教案
最短路径问题教案目标：通过教学学生如何解决最短路径问题的基本方法和算法。
预备知识：- 图的基本概念和表示：- 顶点（节点）和边（连接节点的线段）- 有向图和无向图- 图的存储方法：- 邻接矩阵- 邻接表引入最短路径问题：- 解释最短路径问题的定义和场景（例如，在道路网络中找到两个位置之间的最短路程）解决最短路径问题：1. 单源最短路径（从一个顶点出发，找到到达其他所有顶点的最短路径）- 方法：- 迪杰斯特拉算法（Dijkstra Algorithm）- 贝尔曼-福特算法（Bellman-Ford Algorithm）2. 多源最短路径（从任意一个顶点到达其他所有顶点的最短路径）- 方法：- 弗洛伊德算法（Floyd-Warshall Algorithm）详细讲解迪杰斯特拉算法（Dijkstra Algorithm）：1. 解释算法的基本思想（通过逐步更新当前节点到其他节点的最短距离）2. 介绍算法的步骤：- 创建一个距离集合，用于存储从源节点到其他节点的当前最短距离（初始值为无穷大）；- 遍历所有节点，选取一个未被访问的节点作为当前节点；- 更新当前节点到其他节点的距离；- 选择下一个未被访问的节点作为当前节点，重复前面两个步骤，直到所有节点都被访问；- 最终得到源节点到每个节点的最短距离。
3. 通过一个示例图进行演示和详细讲解算法的步骤和执行过程。
4. 讲解算法的复杂度分析：- 时间复杂度：O(V^2)，其中 V 是顶点数，对于稀疏图可以使用堆优化的方式将时间复杂度优化到 O((V+E)logV)。
- 空间复杂度：O(V)，用于存储距离集合。
应用和实际问题：- 最短路径问题在实际生活中的应用- 导航系统- 网络路由- 物流配送优化等练习和作业：1. 练习手动计算给定图的最短路径。
2. 通过编程实现迪杰斯特拉算法，并测试不同的图和输入情况。
授课方法：- 结合课堂讲解、示例图演示和实践编程练习- 鼓励学生提问和参与讨论- 可以结合图形化工具展示算法执行过程评估方式：- 练习题和作业的完成情况- 对算法执行过程的理解和分析。
课题学习最短路径问题教案市公开课一等奖省优质课获奖课件
2．教师总结：“两点之间，线段最短”“连接直线外一点 与直线上各点全部线段中，垂线段最短”等问题，我们称 之为最短路径问题．
探究二：河边饮马问题 多媒体出示问题1：牧马人从A地出发，到一条笔直河边l 饮马，然后到B地，牧马人从河边什么地方饮马，可使所 走路径最短？
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提出问题：假如点A和点B分别位于直线两侧，怎样在直 线l上找到一点，使得这个点到点A和点B距离和最短？
第11页
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尝试选址作出图形． 多媒体展示教材图13.4－7，13.4－8，13.4－9，引导 学生分析、观察，让学生依据刚才分析，完成证实过 程． 依据问题1和问题2，你有什么启示？ 三、知识拓展 已知长方体长为2 cm、宽为1 cm、高为4 cm，一只蚂 蚁假如沿长方体表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最 近，最短旅程是多少？
经过对最短路径问题探索，深入了解和掌握两点之间线 段最短和垂学知识处理最短路径问题． 难点 选择合理方法处理问题．
第3页
一、创设情境 多媒体展示：如图，一个圆柱底面周长为20 cm，高AB 为4 cm，BC是底面直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱 侧面爬行到点C，试求出爬行最短路径．
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[让学生讨论有几个爬行方法，计算出每种方案中旅 程，再进行比较]
四、归纳总结 1．本节课你学到了哪些知识？ 2．怎样处理最短路径问题？
第10页
本节课以数学史中一个经典问题——“将军饮马问题”为载 体开展对“最短路径问题”课题学习，让学生经历将实际问 题抽象为数学问题线段和最小问题，再利用轴对称将线段 和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题．
这是一个立体图形，要求蚂蚁爬行最短路径，就是要把圆 柱侧面展开，利用“两点之间，线段最短”求出最短路 径．那么怎样求平面图形中最短路径问题呢？
最短路径问题(将军饮马为题) 优秀教案
人教版八年级上册第十三章轴对称课题学习最短路径问题教学设计课题人教版八年级上册第十三章轴对称教具准备多媒体课件，正方体纸盒13.4课题学习最短路径问题学具准备正方体纸盒，三角板课时共（1）课时，第（1）课时执教教师教材分析本节课是在学生已经学习了“两点之间，线段最短”“垂线段最短”的基础上，借助轴对称研究以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题．学情分析最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此之前很少接触，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的极值问题，更会感到陌生，无从下手。
教学目标知识与技能1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题。
2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用。
3.感悟转化思想。
过程与方法1.在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力。
；2.渗透数学建模的思想。
情感态度与价值观1.通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.2.体验数学学习的实用性,体现人人都学有所用的数学教学重点利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题；培养学生解决实际问题的能力.教学难点路径最短的证明教学过程设计设计意图一、以旧引新，激情引趣1、利用101PPT中本课的一道习题，复习“两点之间，线段最短”为了激发学生的求知欲，利用蚂蚁爬行最短路径问题激情引趣。
充分利用101PPT学科工具中立体展开还原的动画过程，让学生通过观察纸盒的打开过程，寻找蚂蚁的爬行捷径。
从而引出线段公理：两点之间线段最短和垂线段的性质：垂线段最短让学生体会新知识是在原有知识基础上“生长”出来的。
以旧引新，给予学生亲切感，树立学好本节课的信心。
二、展示目标，合理定位利用思维导图，展示本节课的学习目标三、探究新知，教师主导1、师生一起借助信息技术探究“将军饮马问题（一）”传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天骑马从城堡出发，到军营，途中马要到小溪边饮水一次。
13.4课题学习-最短路径问题 教案 2022-2023学年度人教版八年级数学上册
13.4课题学习－最短路径问题教案一、教学目标1.了解最短路径问题的基本概念和特点；2.掌握最短路径问题相关的算法和求解方法；3.能够灵活运用最短路径问题的算法解决实际问题。
二、教学重点1.最短路径问题的基本概念和特点；2.最短路径问题的相关算法和求解方法。
三、教学难点能够灵活运用最短路径问题的算法解决实际问题。
四、教学内容1. 最短路径问题的概念和特点最短路径问题是图论中的一个经典问题，主要是求解两点之间经过路径长度最短的问题。
最短路径问题的特点有：•可以用图来表示，顶点表示路径的起点和终点，边表示路径；•可以是有向图或无向图；•边上可以有权值，表示路径长度。
2. 最短路径问题的相关算法和求解方法最短路径问题有多种求解方法和算法，常用的有以下几种：2.1. 迪杰斯特拉算法迪杰斯特拉算法是一种用于求解单源最短路径问题的算法。
它的基本思想是从起点开始，逐步扩展最短路径，直到到达终点。
迪杰斯特拉算法的步骤如下：1.初始化起点到各个顶点的最短距离，起点到起点的最短距离为0，其他顶点的最短距离为无穷大；2.选择一个未访问且距离起点最近的顶点，标记为已访问；3.更新当前顶点的邻居顶点的最短距离，如果经过当前顶点到达邻居顶点的距离小于邻居顶点当前的最短距离，则更新最短距离；4.重复步骤2和步骤3，直到所有顶点都被访问。
2.2. 弗洛伊德算法弗洛伊德算法是一种用于求解多源最短路径问题的算法。
它的基本思想是通过计算任意两个顶点之间的最短路径，来得到整个图的最短路径。
弗洛伊德算法的步骤如下：1.初始化距离矩阵，如果两个顶点之间存在边，则距离为边的权值，否则距离为无穷大；2.对于每个顶点对(i, j)，尝试经过某个中间顶点k来更新距离，如果从i到j的距离大于从i到k再到j的距离，则更新距离；3.重复步骤2，直到所有顶点对的最短路径都被计算。
2.3. 贝尔曼-福特算法贝尔曼-福特算法是一种用于求解单源最短路径问题的算法。
八年级上册数学教案《最短路径问题》
八年级上册数学教案《最短路径问题》学情分析最短路径在现实生活中经常遇到，也是数学分支——图论研究的一个经典算法问题，初中阶段，主要以“两点之间线段最短”连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短“为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变化进行研究。
教学目的1、理解利用轴对称变化解决最短路径问题的思路和原理，能够利用轴对称变化解决最短路径问题。
2、通过探究最短路径问题的过程，提升应用意识。
3、感受数学与生活的练习，提高学习数学的兴趣。
教学重点利用轴对称变化解决最短路径问题。
教学难点理解利用轴对称变化解决最短路径问题的思路和原理。
教学方法讲授法、提问法、讨论法、练习法教学过程一、回顾旧知1、什么是轴对称？对称轴：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。
2、什么是轴对称的性质？（1）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
（2）角平分线上的点到角两边距离相等。
（3）线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。
（4）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
（5）轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
二、探究新知1、提出问题如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地。
牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？2、分析题干引导：如果把河边l近似地看成一条直线，要确定的点C为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为什么问题？明确问题转化：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小。
分析：两点之间，线段最短，但要从A到B要先经过河边点C，不能直接应用。
如果C位于A，B之间，即A，B在河的两侧，则能够应用“两点之间线段最短”确定最短路径。
生：可以在直线另一侧找一个点A′或点B′代替原来的点A或点B，但A与A′或B与B′到两边任意一点C的距离要相等，A C = A′C或BC = B′C。
第十八章平行四边形四边形中的最短路径问题(教案)
在实践活动方面，虽然大部分学生能够积极参与，但仍有个别学生操作不够熟练，对实验结果的理解也不够深入。为了提高实践活动的效果，我计划在后续教学中增加一些简单的练习，让学生有更多机会动手操作，提高他们的实际应用能力。
五、教学反思
在本次教学活动中，我重点关注了平行四边形的性质以及四边形中最短路径问题的解决方法。从学生的反应和学习成果来看，我觉得有以下几个方面值得反思：
首先，关于平行四边形性质的讲解，我尝试通过生动的例子和实际操作，让学生更好地理解这一概念。从课堂反馈来看，这种方法效果还不错，学生能够较快地掌握平行四边形的性质。但在接下来的教学中，我需要更多地关注那些对几何图形理解能力较弱的学生，尽可能让他们也能跟上教学进度。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解平行四边形的基本概念。平行四边形是具有两组对边分别平行的四边形。它在几何学中具有重要性，因为它的性质可以帮助我们解决很多实际问题，如最短路径问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何在平行四边形中找到两点之间的最短路径，以及这一知识如何帮助我们解决实际问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调平行四边形的性质和最短路径的寻找方法这两个重点。对于难点部分，我会通过图形示例和步骤分解来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与平行四边形最短路径相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示如何在实际图形中应用平行四边形的性质来寻找最短路径。
人教版初中数学八年级上册13.4最短路径问题(教案)
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与最短路径相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示最短路径的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“最短路径在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《最短路径问题》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过如何找到两点间最短距离的情况？”（如从家到学校的最短路线）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索最短路径的奥秘。
（3）在复杂图形中寻找最短路径时，可以引导学生从简单图形出发，逐步增加难度，让学生掌握解题方法；
（4）结合实际应用，可以设计一些案例，如旅行商问题、工程选址问题等，指导学生如何将所学知识运用到实际中。
在教学过程中，教师应针对这些难点和重点，运用生动形象的语言、具体实例和操作演示，帮助学生理解、掌握和运用相关知识。同时，注意关注学生的反馈，适时调整教学方法和进度，确保学生透彻理解本节课的核心内容。
（3）在实际图形中寻找最短路径，如三角形、四边形等；
（4）将现实生活中的问题转化为数学模型，利用数学知识求解。
举例：讲解最短路径概念时，可以通过实际生活中的例子（如地图上两点间的最短距离）进行说明，使学生理解并掌握这个核心概念。
2.教学难点
（1）如何将实际问题抽象为数学模型，找到最短路径；
最短路径问题教案
最短路径问题教案最短路径问题是图论中的一个重要问题，它涉及到在一个给定图中找到两个节点之间最短的路径的长度。
最常见的应用场景是在网络中找到两个节点间的最短路径，在计算机科学中，最短路径问题也常被应用于路由算法和图像处理等领域。
一、教学目标：1. 理解最短路径问题的基本概念和应用场景。
2. 掌握最短路径算法的基本原理和实现方法。
3. 能够用编程语言实现最短路径算法的代码。
4. 能够解决实际问题中的最短路径问题。
二、教学重点：1. 最短路径问题的基本概念和应用场景。
2. 最短路径算法的基本原理和实现方法。
三、教学难点：1. 最短路径算法的实现方法。
2. 如何解决实际问题中的最短路径问题。
四、教学过程：1. 导入：通过实际例子引入最短路径问题，如旅行商问题、网络路由等。
2. 概念讲解：讲解最短路径问题的基本概念，包括图、节点、边、路径等相关概念。
3. 最短路径算法：讲解最短路径算法的基本原理和实现方法，包括迪杰斯特拉算法、弗洛伊德算法等。
4. 实例演示：（1）演示迪杰斯特拉算法的实现过程，并给出具体的图示例。
（2）演示弗洛伊德算法的实现过程，并给出具体的图示例。
5. 练习：（1）以小组为单位，每个小组选择一个最短路径问题，分析问题，设计算法，编写代码求解。
（2）小组展示解题过程和结果。
6. 总结：总结最短路径问题的概念、算法和应用场景，并提出建议和思考。
五、教学手段：1. PPT讲解：用PPT讲解最短路径问题的基本概念、算法原理和实现方法，并配以图示例进行讲解。
2. 实例演示：通过具体的图示例演示最短路径算法的实现过程，帮助学生理解算法的具体步骤和操作。
3. 问题解答：在讲解过程中，及时解答学生提出的问题，帮助学生理解和消除疑惑。
4. 小组练习：通过小组合作的方式，让学生在实际问题中应用最短路径算法，锻炼解决问题的能力和编程实践能力。
六、思考题：1. 最短路径问题有哪些应用场景？2. 迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法有什么区别？3. 最短路径问题还有哪些其他的解法？分别适用于什么情况？4. 如何判断一个图中是否存在负权边？5. 如何判断一个图中是否存在负权环？七、教学反思：最短路径问题是图论中的一个经典问题，教学过程中需要注意以问题为导向，通过实例来讲解和演示算法的实现过程，培养学生的问题分析和解决能力。
最短路径问题八年级数学上(人教版)学习教案
B
P′ P Q′ Q
连接A′′B，与直线l交于一点 即为所求点Q.
l
A′′
问题：在直线l上求作两点P，Q ， 使得四边形APQB的周长最小．
练习 已知线段a，点A、B在直线l的同侧，在直线l上求作 两点P，Q （点P在点Q的左侧）且PQ＝a，使得四 边形APQB的周长最小． 作法：
a A A′
B
将点A沿直线l的方向平移A′， 使得AA′=a. 作A′关于直线l的对称点A′′
当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？
当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？
A
Ma Nb
B
思考： 问题能否简化？
问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？
A
Ma Nb
B
问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？
A
A
Ma Nb
B
B
思考： 能否通过图形的变化（轴对称，平移等），
A
实际问题用数学语言表达.
Ma Nb
B
总结 当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？ 转化1：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？
A
Ma Nb
B
总结 当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？ 转化1：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？
利用平移，实现线段的转移. 转化2：当点N在直线b的什么位置时， A′N+NB最小？
N
AM′+N′B=A′N′+N′B.
B 由两点之间，线段最短可知：
最短路径教案
最短路径教案第一篇：最短路径教案13.4最短路径问题一、教学内容：本节课的主要内容是利用轴对称研究某些最短路径问题，最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有连线中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究。
本节课以数学史中的一个经典故事----“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间、线段最短”的问题。
二、教学目标1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题2、再谈岁最短路径的过程中，体会“轴对称”的桥梁作用，感悟转化的数学思想。
三、教学重难点重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。
难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。
四、教学问题诊断最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中学生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。
解答“当点AB在直线l的同侧时，如何在l上找到点C，使AC与BC的和最小”，需要将其转化为“直线l异侧的两点，与直线l上的点的线段的和最小”的问题，为什么需要这样转化，怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解上和操作上的困难。
在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求做的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路和方法，一些学生想不到。
教学时，教师可以让学生首先思考“直线l异侧的两点，与直线l 上的点的和最小”为学生搭建“脚手架”，在证明最短时，教师要适时点拨学生，让学生体会任意的作用。
五、教学过程教师引语：现实生活中经常会有这样的生活经历，比如学校虽然为我们铺设了一些石板甬路，方便同学们的行走，但是很多时候我们却并不在这些小路上行走，这样做的目的是什么呢？（学生一起回答）如果用数学知识来解释这种行为，那就是我们曾经学习的“两点之间、线段最短”或“垂线段最短”，我们称这样的问题为最短路径问题（板书课题）现实生活中经常涉及到最短路径问题，这节课我们学习的主要任务就是最短路径问题，并用所学知识探究数学史上著名的“将军饮马问题”。
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最短路线问题
一、教学对象：小学三四年级学生
二、教学目标
1.能够在理解的基础上准确运用“标数法”解决最短路线题目；
2.能够运用“标数法”解决其他应用问题，提高学生综合运用知识解决问题的能力；
3.在运用“标数法”解决最短路线问题的过程中，引导学生认识杨辉三角，通过找规律，
体会数学的魅力；
三、教学过程
1.导入新知
老师：同学们，在日常生活、工作中，我们其实经常会遇到有关行程路线的问题。
快递员送包裹，要穿遍所有的街道，为了少走冤枉路，需要选择一条最短的路线；旅
行者希望寻求最佳旅行路线，以求在走最少的路的同时能够游遍所有的景点。
而
这些的问题，就是我们今天所要研究学习的“最短路线问题”
2.讲解新知
最短路线的选择
老师：现在请大家看向讲义开头的那一张地图（图1）。
小明同学想从A点步行到达B点，怎么走才是最省时省力的呢？对，很好，在
走的路线最短的情况下。
我们常常说两点之间直线最短，但同学们也应该注意到
了，在现实生活中，我们的街道常常是纵横交错的，也就是说，小明是不可以直
接从A飞到B的，而只能沿着地图上的街道行走。
为了解决这样的问题，我们不妨把问题简单化一下，假设我们要走的城市街道如
图（图2）。
好的，现在请同学们拿出一支铅笔画一画从A到B的最短路径，并且尝试着数
一数究竟有多少条可选择的最短路径，给大家一分钟的时间，现在开始。
老师：通过尝试，我们不难发现，像城市街道这样的道路布局，两点之间往往不止一条的最短路径，而这些最短路线也有着明显的相似之处。
B在A的右上（东北）
方，我们其实只要在从A到B的过程中仅选择向右走或向上走，而不选择向左
走或向下走，也就是我们常说的“不走回头路”，是不是就可以保证我们走的就
是最短路线呀。
运用“标数法”计算最短路线数目
老师：那么，从A到B到底有多少最短路径可供我们选择呢？现在请同学们看向例1，让我们一起来解决这一问题；
老师：首先，我们在位于角上的起点标上1，因为只有一种方式选择起点；
然后，我们将从这个点出发向东走或者向北走所有能够到达的点上标1。
这个1
代表从起点出发到达这个点的最短路径只有1条。
好，这时候我们看向C点，大家可不可以告诉我从A到C的最短路径有几条；
对，有两条不同的路线可以到达，所以我们在C点上标记上数字2。
我们继续向B点推荐，再看向点D。
这时我们要注意到一点，要到达点D，我
们不是要经过点C就是要经过点E，而从A到达C有2条路，到达E有1条路，
也就是说从点A到D一共有（2+1）=3条路。
我们也来实际验证一下，从A到
D的路线是不是这样分别有1.2.3条？同理，点F是不是也是3条呀。
分析到这里，可能大家也已经发现了路径数的规则了。
（1）从某一点出发到另一点只有一条路径的时候，则后点上标记的数字应该和前一点相同；
（2）如果到达某一点必须经过与这个点相邻的两个点时，则该点上标记的数字是能够到达这一点的相邻的两个点上标记的数字之和。
根据这两条规则，接下来请大家独立地继续把这一问题解决完，看同学们谁算的
又快又准！
老师：这时候同学们会问了，为什么一开始就想到通过在点上表数来计算最短路径呢？
其实，我们只要把问题反过来想就不难看出“标数法”的窍门了。
为了最终到达点B，每一条最短路线是不是必须要经过点X或者点Y，那么通过分别计算出A到X的最短路线数以及A到Y到的最短路线数，再通过相加是不是就
可以计算出最后结果。
以此类推，A到X的路线数是不是也可以通过……。
也
就是说，当我们将每个点上标记出从起点出发到此点的路线数时，就可以逐步的
推算出最终我们所需要的结果。
3.应用新知
依次分别练习+讲解例2到例5；
其中例5，借助网络图中的最短路径来刻画甲乙双方的比赛状态。
画一幅4*2的网络图。
图中起点代表比赛开始的状态0：0；在起点放置一枚棋子，甲队进球时把棋子向右移动一格（1：0），乙队进球时把棋子向上移动一格（1：1）。
为了达到最终比分，棋子必须向右四格，向上两格，并且不可能向左或向下移动，问有多少种比赛状态是不是就是问从O地点移动到P地点有多少种最短路线？
4.拓展新知
老师：接下来，请各位同学运用今天学习的标数法完成拓展中的这一道练习，请在每个圆圈内填入，从顶点A到达各个圆圈的最短路径数。
那么，结合一旁的注释，我们可以了解到我们通常把这个数阵成为杨辉三角，或
“贾宪三角”“帕斯卡三角”；杨辉是我国宋代著名的数学家，杨辉三角的最早出
现在其编著的《详解九章算术》中。
各种史料表明此表在中国到达发现世界不晚
于11世纪，比法国的数学家帕斯卡早发现500年左右。
所以，正是为了纪念这
几位数学家，我们把这一三角数阵以他们的名字命名。
5.小结作业
老师：请独立完成课后一共五道练习题。
下节课检查。