最短路径问题-教案

最短路线问题

一、教学对象：小学三四年级学生

二、教学目标

1.能够在理解的基础上准确运用“标数法”解决最短路线题目；

2.能够运用“标数法”解决其他应用问题，提高学生综合运用知识解决问题的能力；

3.在运用“标数法”解决最短路线问题的过程中，引导学生认识杨辉三角，通过找规律，

体会数学的魅力；

三、教学过程

1.导入新知

老师：同学们，在日常生活、工作中，我们其实经常会遇到有关行程路线的问题。快递员送包裹，要穿遍所有的街道，为了少走冤枉路，需要选择一条最短的路线；旅

行者希望寻求最佳旅行路线，以求在走最少的路的同时能够游遍所有的景点。而

这些的问题，就是我们今天所要研究学习的“最短路线问题”

2.讲解新知

最短路线的选择

老师：现在请大家看向讲义开头的那一张地图（图1）。

小明同学想从A点步行到达B点，怎么走才是最省时省力的呢？对，很好，在

走的路线最短的情况下。我们常常说两点之间直线最短，但同学们也应该注意到

了，在现实生活中，我们的街道常常是纵横交错的，也就是说，小明是不可以直

接从A飞到B的，而只能沿着地图上的街道行走。

为了解决这样的问题，我们不妨把问题简单化一下，假设我们要走的城市街道如

图（图2）。

好的，现在请同学们拿出一支铅笔画一画从A到B的最短路径，并且尝试着数

一数究竟有多少条可选择的最短路径，给大家一分钟的时间，现在开始。

老师：通过尝试，我们不难发现，像城市街道这样的道路布局，两点之间往往不止一条的最短路径，而这些最短路线也有着明显的相似之处。B在A的右上（东北）

方，我们其实只要在从A到B的过程中仅选择向右走或向上走，而不选择向左

走或向下走，也就是我们常说的“不走回头路”，是不是就可以保证我们走的就

是最短路线呀。

运用“标数法”计算最短路线数目

老师：那么，从A到B到底有多少最短路径可供我们选择呢？现在请同学们看向例1，让我们一起来解决这一问题；

老师：首先，我们在位于角上的起点标上1，因为只有一种方式选择起点；

然后，我们将从这个点出发向东走或者向北走所有能够到达的点上标1。这个1

代表从起点出发到达这个点的最短路径只有1条。

好，这时候我们看向C点，大家可不可以告诉我从A到C的最短路径有几条；

对，有两条不同的路线可以到达，所以我们在C点上标记上数字2。

我们继续向B点推荐，再看向点D。这时我们要注意到一点，要到达点D，我

们不是要经过点C就是要经过点E，而从A到达C有2条路，到达E有1条路，

也就是说从点A到D一共有（2+1）=3条路。我们也来实际验证一下，从A到

D的路线是不是这样分别有1.2.3条？同理，点F是不是也是3条呀。

分析到这里，可能大家也已经发现了路径数的规则了。

（1）从某一点出发到另一点只有一条路径的时候，则后点上标记的数字应该和前一点相同；

（2）如果到达某一点必须经过与这个点相邻的两个点时，则该点上标记的数字是能够到达这一点的相邻的两个点上标记的数字之和。

根据这两条规则，接下来请大家独立地继续把这一问题解决完，看同学们谁算的

又快又准！

老师：这时候同学们会问了，为什么一开始就想到通过在点上表数来计算最短路径呢？

其实，我们只要把问题反过来想就不难看出“标数法”的窍门了。

为了最终到达点B，每一条最短路线是不是必须要经过点X或者点Y，那么通过分别计算出A到X的最短路线数以及A到Y到的最短路线数，再通过相加是不是就

可以计算出最后结果。以此类推，A到X的路线数是不是也可以通过……。也

就是说，当我们将每个点上标记出从起点出发到此点的路线数时，就可以逐步的

推算出最终我们所需要的结果。

3.应用新知

依次分别练习+讲解例2到例5；

其中例5，借助网络图中的最短路径来刻画甲乙双方的比赛状态。画一幅4*2的网络图。

图中起点代表比赛开始的状态0：0；在起点放置一枚棋子，甲队进球时把棋子向右移动一格（1：0），乙队进球时把棋子向上移动一格（1：1）。为了达到最终比分，棋子必须向右四格，向上两格，并且不可能向左或向下移动，问有多少种比赛状态是不是就是问从O地点移动到P地点有多少种最短路线？

4.拓展新知

老师：接下来，请各位同学运用今天学习的标数法完成拓展中的这一道练习，请在每个圆圈内填入，从顶点A到达各个圆圈的最短路径数。

那么，结合一旁的注释，我们可以了解到我们通常把这个数阵成为杨辉三角，或

“贾宪三角”“帕斯卡三角”；杨辉是我国宋代著名的数学家，杨辉三角的最早出

现在其编著的《详解九章算术》中。各种史料表明此表在中国到达发现世界不晚

于11世纪，比法国的数学家帕斯卡早发现500年左右。所以，正是为了纪念这

几位数学家，我们把这一三角数阵以他们的名字命名。

5.小结作业

老师：请独立完成课后一共五道练习题。下节课检查。