第10讲矢量场的环量及旋度2

表明若
A, B
均为无
1.旋度运算的基本公式 例6：试证明矢量场 证：
A ugradu 是无旋场。
rotuA urotA gradu A （ u 为数性函数）
rotA rot (ugradu) urot( gradu) gradu gradu
1） rot (cA) crotA （ c
为常数）
2） rot ( A B) rotA rotB
3） rotuA urotA gradu A（ u 为数性函数）
4） div( A B) B rotA A rotB
证： A urotA A gradu A 0 A gradu A 0 所以有， A urotA 0 因为， rotA 0 u( x, y, z) 0 所以， A rotA 0 A rotA
R rotA
旋度矢量在数值和方向上给定最大的环量面密
度的大小和方向。
旋度的定义与坐标系选择无关。
1.旋度运算的基本公式
旋度在直角坐标系中的表达式为，
R Q P R Q P R rotA ( )i ( )j ( )k y z z x x y
的一种量度。
旋度的性质 3：旋度 rotA 矢量在任一方向 l 上的
投影等于该方向上的环量面密度
0 u n ( rotA) l
。
1.旋度运算的基本公式
旋度的性质4：旋度 rotA矢量的模是最大环量面
密度。 旋度的性质 5 ：旋度矢量的定义与坐标系的选
择无关。
1.旋度运算的基本公式
用行列式表示为，
i R rotA x P j y Q k z R
1.旋度运算的基本公式 旋度的性质1：旋度是与矢量场相关的一个矢量 场，即用矢量场来描述矢量场。
旋度的性质2：旋度 rotA 描述场内任一点 M 邻
域内，矢量函数的变化情况，是矢量场非均匀性
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rot( gradu) 0 gradu gradu 0 rotA rot (ugradu) 0
所以
A ugradu 为无旋场。
1.旋度运算的基本公式 例：设点电荷
电位移矢量 D
q
位于坐标原点，试证明其产生的
的旋度为零（习题5第9题）。
r xi yj zk
Homework 9
作业 9
P77 习题5：5，6，7，8
x t
Q P Pdx Qdy ( )dxdy y x l S
3.梯度、散度、旋度小结 梯度矢量 gradu 是标量场非均匀性的量度，用一 个矢量场描述标量场。
u u u gradu i j k x y z
散度
divA
是矢量场散发或吸收通量的量度，即
5） rot( gradu) 0 6）
div(rotA) 0
1.旋度运算的基本公式 通常把
rotA 0 的矢量场 A 叫做无旋场。
rot( gradu) 0 表明任何梯度场都是无旋场。
div(rotA) 0 表明旋度场是无源场。
div( A B) B rotA A rotB 旋场，则 A B为无源场。
三个坐标函数都有二阶连续偏导数，证明（习题5
第10题）(1) rot（gradu) 0 (2)
证：（1）
div(rotA) 0 。
u u u gradu i j k x y z
又因函数 u 有二阶的连续偏导数，由施瓦兹定 理可知，
2u 2u , xy yx 2u 2u , yz zy
k y z f (r ) y f (r ) z
z i 0 f (r ) z
qr rotD rot ( ) rot ( f (r )r ) 0 3 4r
1.旋度运算的基本公式
例：设函数 u( x, y, z) 及矢量
A P( x, y, z )i Q( x, y, z ) j R( x, y, z )k 的
A P( x, y, z )i Q( x, y, z ) j R( x, y, z )k 的
三个坐标函数都有二阶连续偏导数，证明（习题5
rot（gradu) 0 (2) div(rotA) 0
。
0
1.旋度运算的基本公式 例：设矢量场
A
的旋度为 rotA 0 ，若存在非零
函数 u( x, y, z)使 uA为某数量场 ( x, y, z) 的梯度， u A grad 即 ，试证明 A rotA （习题5第11题）。
rot (uA) rot ( grad ) 证： rot ( grad ) 0 rot (uA) 0 rot (uA) urotA gradu A 0
3.梯度、散度、旋度小结 比如旋度未必再与直观的流体漩涡，电磁场涡 流等相关联。
但梯度、散度、旋度都与导数（偏导数）有关， 因此是处理非线性问题的一种方法。
空间是由点、线、面构成的，空间的不同性质 表现为这些空间线积分和面积分的不同。 物理场的性质就由所在的特殊空间的线积分和 面积分来刻画，即由空间各点的梯度、散度和旋 度来描述。
3.梯度、散度、旋度小结 例如在电磁场（矢量场）中放入点电荷时，电 荷就会受到作用力； 取不同的路径做线积分，环量一般不同；
取不同的曲面做面积分，通量一般不同；
该空间中的各点的旋度、散度与电荷电流的分 布及电磁场运动有关，因此一般也不同； 这是电磁场内禀属性的反映，也是电磁场物质 性的反映。
A P( x, y, z )i Q( x, y, z ) j R( x, y, z )k
用一个标量场来描述矢量场。
P Q R divA x y z
3.梯度、散度、旋度小结
旋度矢量 rotA 是矢量场非均匀性的一种量度，
即用一个矢量场来描述一个矢量场。
《矢量分析与场论》
第10讲 矢量场的环量及旋度（2）
张元中
中国石油大学（北京）地球物理与信息工程学院
《矢量分析与场论》
主要内容
1. 旋度运算的基本公式
2. 二维旋度
3. 梯度、散度、旋度小结 教材：第2章，第4节
1.旋度运算的基本公式
旋度的定义：若在矢量场 A 中的一点 M 处存在 一个矢量 R ，矢量场 A 在点 M 处沿其方向的环量 面密度为最大，最大值为 R ，则称矢量 R 为矢量 场 A 在点 M 处的旋度(rotation)，记作 rotA ，即
2u 2u zx xz
1.旋度运算的基本公式 例：设函数 u( x, y, z) 及矢量 第10题）(1) 证：（1）
A P( x, y, z )i Q( x, y, z ) j R( x, y, z )k 的
三个坐标函数都有二阶连续偏导数，证明（习题5
uA grad
A
上式两端同时点乘
，得到，
A urotA A gradu A 0
1.旋度运算的基本公式 例：设矢量场
A
的旋度为 rotA 0 ，若存在非零
函数 u( x, y, z)使 uA为某数量场 ( x, y, z) 的梯度， 即 uA grad，试证明 A rotA （习题5第11题）。
rot（gradu) 0 (2) div(rotA) 0
j y u y k z u z
。
i rot ( gradu) x u x
2u 2u 2u 2u 2u 2u （ )i （ )j （ )k 0 yz zy zx xz xy yx
2.二维旋度
环量积分中， l 一般是空间曲线，则 S 是空间
曲面。 如果退化到二维情况，即要在 xoy 平面上讨论问
题，可写出，
A t dl rotA kdS
l S
l
S
y
o
二维旋度 分量形式
Q P rotA ( )k y x
1.旋度运算的基本公式 例：设函数 u( x, y, z) 及矢量 第10题）(1) 证：（2）
R Q P R Q P rotA ( )i ( )j ( )k y z z x x y R Q P R Q P div(rotA) ( ) ( ) ( ) x y z y z x z x y
A P( x, y, z )i Q( x, y, z ) j R( x, y, z )k
R Q P R Q P rotA ( )i ( )j ( )k y z z x x y
梯度、散度、旋度之名来自于物理学。比如流 体力学中流体通过某个面的流量、电力线穿过某 个面的通量，流体的漩涡等。 数学家将其抽象为数学概念，脱离了具体的物 理场背景。
证：点电荷的电位矢量为，
qr D 4r 3
r r x2 y 2 z 2
电位矢量的旋度为，
qr rotD rot ( ) rot ( f (r )r ) 3 4r
q f (r ) 4r 3
i rotr x x j y y k 0 z z
1.旋度运算的基本公式 例：设点电荷
电位移矢量 D
q
位于坐标原点，试证明其产生的
的旋度为零（习题5第9题）。
证 ：
qr rotD rot ( ) rot ( f ( r ) r ) 3 4r
i rotf (r )r x f (r ) x
j y f (r ) y