数学选修4-4(A)圆的极坐标方程 ppt
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湘教版高中数学选修4-4课件 1.4极坐标与平面直角坐标的互化(共17张PPT)
AB
1
1 2
2
0
3 2 2
3
小结： 1、极坐标化为平面直角坐标； 2、平面直角坐标化为极坐标.
谢谢！
任何朋友都是暂时的，只有利益是永恒的。敌人变成朋友多半是为了金钱，朋友变成敌人多半还是为了金钱。 有志者自有千方百计，无志者只感千难万难。 最孤独的时光，会塑造最坚强的自己。 如果要飞得高，就该把地平线忘掉。 如果要给美好人生一个定义，那就是惬意。如果要给惬意一个定义，那就是三五知己、谈笑风生。 一份耕耘，份收获，努力越大，收获越多。 蝴蝶如要在百花园里得到飞舞的欢乐，那首先得忍受与蛹决裂的痛苦。 如果你很聪明，为什么不富有呢？ 千万人的失败，都有是失败在做事不彻底，往往做到离成功只差一步就终止不做了。 对于攀登者来说，失掉往昔的足迹并不可惜，迷失了继续前时的方向却很危险。 只要更好，不求最好！奋斗是成功之父。 成功永远属于一直在跑的人。 日出时，努力使每一天都开心而有意义，不为别人，为自己。 勤学和知识是一对最美的情人。 如果知识不是每天在增加，就会不断地减少。 能克服困难的人，可使困难化为良机。 你要结交敢于指责你缺点，当面批评你的人，远离恭维你缺点，一直对你嘻嘻哈哈的人！ 松软的沙滩上最容易留下脚樱钽也最容易被潮水抹去。 为中华之崛起而读书。 没有人能替你承受痛苦，也没有人能抢走你的坚强。 谁不向前看，谁就会面临许多困难。
极坐标与平面直角坐标的互化
教学目标：
能进行极坐标和直角坐标的互化.
复习
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素
极点；极轴；长度单位；角度单位和 它的正方向. [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种 表达式？ 无数，极角有无数个. [3]一点的极坐标有否统一的表达式？
有.(ρ，2kπ+θ)
湘教版高中数学选修4-4课件--1.4极坐标与平面直角坐标的互化(共17张PPT)
例2. 将点M的直角坐标 化成极坐标.
解:
因为点在第三象限， 所以 因此， 点M的极坐标为
练习: 已知点的直角坐标， 求它们 的极坐标.
例3 已知两点(2，π )，(3，π )
求两点间的距离.3 B 2
解：∠AOB = π
用余弦定理求6
A
AB的长即可.
o
推广：在极坐标下，任意两点P1(1,1
),
其中
2、点 M(ρ，θ) 关于极点的对称点的一个坐标为(-ρ， θ) 或(ρ，π+θ) ；
3、点 M(ρ，θ) 关于极轴的对称点的一个坐标为(ρ， -θ) 或(-ρ，π-θ) ；
4、点 M(ρ，θ) 关于直线
的对称点的一个
坐标为(-ρ，-θ) 或(ρ，π-θ) ；
极坐标系与直角坐标的互化
问题：若点M的直角坐标为
用极坐标如何表示？
在直角坐标系中， 以原点作为极 y M (1，3)
点，x轴的正半轴作为极轴，两种
坐标系中取相同的长度单位.
θ
O
x
设点M的极坐标为(ρ，θ)
点M的极坐标为(2， )
3
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)
直角坐标化为极坐标：
思考：极坐标如何化为直角坐标？ y M (ρ，θ)
P2
(
2
,
2
x
)
之间的距离可总结如下：
P1P2 12 22 212 cos(1 2 )
练习：
1.把点M
的极坐标 (8, 2 ),
3
(4,11 ),
6
(2, )
化成直角坐标；
2.把点P的直角坐标( 6, 2) (2,2)和(0,15) 化成极坐标.
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：1-4第一讲-坐标系
3．点的空间坐标的互相转化公式 设空间一点 P 的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ，z)，球 坐标为(r，φ，θ)，则 空间直角坐标(x，y，z) x＝ y＝ z＝ x＝ y＝ z＝ 转换公式 ， ，
柱坐标(ρ，θ，z)
球坐标(r，φ，θ)
， ，
1.(ρ，θ，z) 空间的点 自我 校对 2.正向 标系 逆时针 球坐标 ρsinθ z
(3)在极坐标中，方程 ρ＝ρ0(ρ0 为不等于 0 的常数)表示圆心在 极点，半径为 ρ0 的圆，方程 θ＝θ0(θ0 为常数)表示与极轴成 θ0 角的 射线．而在空间的柱坐标系中，方程 ρ＝ρ0 表示中心轴为 z 轴，底 半径为 ρ0 的圆柱面， 它是上述圆周沿 z 轴方向平行移动而成的． 方 程 θ＝θ0 表示与 Oxz 坐标面成 θ0 角的半平面．方程 z＝z0 表示平行 于 Oxy 坐标面的平面． 常把上述的圆柱面、 半平面和平面称为柱坐 标系的三族坐标面．
π π 2，6，4，则点 M 的柱坐
)
π π 2，4， 6 B. 2，4， 6 π π 2，6，2 2 D. 2，6， 2
解析 因为点 M
的球坐标为2
π π π 2，6，4，即 r＝2 2，φ＝ ， 6
π θ＝ ，故点 M 的直角坐标为 4 π π x＝rsinφcosθ＝2 2sin cos ＝1， 6 4 π π y＝rsinφsinθ＝2 2sin sin ＝1， 6 4 π z＝rcosφ＝2 2cos ＝ 6. 6
2．球坐标系与球坐标
一般地，如图所示，建立空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空间任 意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴________所夹的角为 φ. 设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按________方向旋转到 OQ 时所转过的 ________ 为 θ. 这样点 P 的位置就可以用有序数组 ________表示．这样空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种 对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做 ________(或空间极 坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做 P 的________，记作 P(r，φ，θ)， 其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π.
人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件
A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为 直0)角坐标方程的形
式是 （ ）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示 同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式 为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除 极 点外,平面内的点和极坐标就可以一一对 应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐 标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标 表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（ ） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,
湘教版高中数学选修4-4课件 1.4极坐标与平面直角坐标的互化(共17张PPT)
极坐标与平面直角坐标的互化
教学目标：
能进行极坐标和直角坐标的互化.
复习
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素
极点；极轴；长度单位；角度单位和 它的正方向. [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种 表达式？ 无数，极角有无数个. [3]一点的极坐标有否统一的表达式？
有.(ρ，2kπ+θ)
复习
1、极坐标 (ρ，2kπ+θ) 和(-ρ，2kπ+θ+π) 表示同一个点(ρ，θ)；
用极坐标如何表示？
在直角坐标系中， 以原点作为极 y M (1，3)
点，x轴的正半轴作为极轴，两种
坐标系中取相同的长度单位.
θ
O
x
设点M的极坐标为(ρ，θ)
点M的极坐标为(2， )
3
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)
直角坐标化为极坐标：
思考：极坐标如何化为直角坐标？ y M (ρ，θ)
P2
(
2
,
2
x
)
之间的距离可总结如下：
P1P2 12 22 212 cos(1 2 )
练习：
1.把点M
的极坐标 (8, 2 ),
3
(4,11 ),
6
(2, )
化成直角坐标；
2.把点P的直角坐标( 6, 2) (2,2)和(0,15) 化成极坐标.
3. 3 的直角坐标方程是
4
解：tan y tan 3 y ,即y x( y 0)
θ
O
x
极坐标化为直角坐标：x=ρcosθ， y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合； 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
教学目标：
能进行极坐标和直角坐标的互化.
复习
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素
极点；极轴；长度单位；角度单位和 它的正方向. [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种 表达式？ 无数，极角有无数个. [3]一点的极坐标有否统一的表达式？
有.(ρ，2kπ+θ)
复习
1、极坐标 (ρ，2kπ+θ) 和(-ρ，2kπ+θ+π) 表示同一个点(ρ，θ)；
用极坐标如何表示？
在直角坐标系中， 以原点作为极 y M (1，3)
点，x轴的正半轴作为极轴，两种
坐标系中取相同的长度单位.
θ
O
x
设点M的极坐标为(ρ，θ)
点M的极坐标为(2， )
3
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)
直角坐标化为极坐标：
思考：极坐标如何化为直角坐标？ y M (ρ，θ)
P2
(
2
,
2
x
)
之间的距离可总结如下：
P1P2 12 22 212 cos(1 2 )
练习：
1.把点M
的极坐标 (8, 2 ),
3
(4,11 ),
6
(2, )
化成直角坐标；
2.把点P的直角坐标( 6, 2) (2,2)和(0,15) 化成极坐标.
3. 3 的直角坐标方程是
4
解：tan y tan 3 y ,即y x( y 0)
θ
O
x
极坐标化为直角坐标：x=ρcosθ， y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合； 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
1.3.1 圆的极坐标方程 课件(人教A选修4-4)
④证明所得方程就是曲线的极坐标方程．
返回
2．圆的极坐标方程 (1)圆心在 C(a,0)(a＞0)，半径为 a 的圆的极坐标方程 为 ρ＝2acos θ . .
(2)圆心在极点，半径为 r 的圆的极坐标方程为 ρ＝r π (3)圆心在点(a， )处且过极点的圆的方程为 2 ρ＝2asin θ(0≤θ≤π) ．
返回
返回
1．曲线的极坐标方程 (1)在极坐标系中，如果曲线C上 任意一点 的极坐标中 至少 有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ， θ)＝0的点 的 都在曲线C上 ，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C 极坐标方程 ．
(2)建立曲线的极坐标方程的方法步骤是： ①建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点． ②列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式． ③将列出的关系式整理、化简．
1 (3)∵ρ＝ ， 2－cos θ ∴2ρ－ρcos θ＝1. ∴2 x2＋y2－x＝1.化简，得 3x2＋4y2－2x－1＝0.
返回
在进行两种坐标方程间的互化时，要注意： (1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐 标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重
合，两种坐标系的单位长度相同．
2 2 2 2 2
返回
4．把下列极坐标方程化为直角坐标方程． (1)ρ2cos 2θ＝1； π (2)ρ＝2cos(θ－ )． 4
解：(1)因为ρ2cos 2θ＝1， 所以ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1.
所以化为直角坐标方程为x2－y2＝1. π π (2)因为 ρ＝2cos θcos ＋2sin θsin ＝ 2cos θ＋ 2sin θ， 4 4
所以 ρ2＝ 2ρcos θ＋ 2ρsin θ. 所以化为直角坐标方程为 x2＋y2－ 2x－ 2y＝0.
人教A版数学选修4-41.3.1圆的极坐标方程课件
( 0, 0 )
0
0
r
P(, )
ห้องสมุดไป่ตู้
2+ 0 2 -2 0 cos( - ０)= r2
归纳总结
（1）求曲线的极坐标方程与直角坐标系里的情况一
样，就是找出动点M的坐标与之间的关系，然后列
出方程f (, )=0，再化简并检验特殊点．
（2）极坐标方程涉及的是长度与角度，因此列方程
(x-3)2+y2=9
2、圆心（0，3）半径为3
极坐标系
极坐标图形
圆心（3，0）半径为3
=6cos
O
x
C(3,0)
圆心（3,／2)
C(3, ／2 )
x2+(y-3)2=9
=6sin
O
3、圆心（0，0）半径为3
x2+y2=9
x
圆心在极点，半径为3
=3
3
O
x
探究新知
中心在Ｃ(0,0 )，半径为r的圆的极坐标方程为
中 OM OA cos MOA即＝2a cos ...........(1)
A(6，0)
可以验证，点O(0, ), A(2a,0)的坐标满足等式(1)
2
所以，等式(1)就是圆上任意一点的极坐标( , )
满足的条件，另一方面，可以验证，坐标适合
等式(1)的点都在这个圆上。
一般地，中心在Ｃ（a，０），半径为a的圆的极坐标
（5）化：检验并确认所得的方程即为所求。
探究新知
1、圆心坐标为(3,0)且半径为3的圆方程为
(x-3)2+y2=9
探究新知
1、圆心坐标为(3,0)且半径为3的圆方程为
1.3.1 圆的极坐标方程 课件 (北师大选修4-4)
所以， 2a cos就是圆心在C (a,0)(a 0),半径 为a的圆的极坐标方程。
例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐 标系，可以使圆的极坐标方程简单？
M
O
r x
解：如果以圆心 为极点，从O出发的一条射线 O 为极轴建立坐标系（如 图），那么圆上各点的 几 何特征就是它们的极径 都等于半径r. 设M ( , )为圆上任意一点，则 OM r ,即
解：方程可化为 － cos 4 2 即2 ＝4＋x 两边平方得： 2＝( x 4) 2 4 4 x 2 4 y 2 x 2 8 x 16 3x 8 x 4 y 16
2 2
7、从极点O作圆C：＝8cos 的弦ON， 求ON的中点的轨迹方程。
M
N
解：如图，圆C的圆心(4, 0), 半径r OC 4,
O
C(4,0)
连结CM ， M 是弦ON的中点 CM ON , 所以，动点M 的轨迹方程是＝4 cos
练习 4 把极坐标方程＝ 化为直角坐标方程。 2－cos
2 2
你可以用极坐标方程直接来求吗？
解：原式可化为 3 1 ＝10(cos sin ) 10 cos( ) 2 2 6 所以圆心为(5, ), 半径为5 6
圆心为(a, )(a 0)半径为a 圆的极坐标方程为 ＝2a cos( ) 此圆过极点O
＝2
(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；
＝2acos (３)中心在(a,/2)，半径为a； ＝2asin
(４)中心在Ｃ(0,０)，半径为r。 2+ 0 2 -2 0 cos( - ０)= r2
题组练习2
1、曲线的极坐标方程 ＝4 sin 化为直角坐标 方程是什么？
人教新课标版数学高二选修4-4课件 第1课时 圆的极坐标方程
答案
当堂训练
1.极坐标方程分别为ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是
A.3
B. 2
C.1
√D.
2 2
12345
答案
2.将极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0化为直角坐标方程为
A.x2＋y2＝0或y＝1 C.x2＋y2＝0或x＝1
B.x＝1 √
D.y＝1
12345
答案
3.在极坐标系中，圆ρ＝2sin θ的圆心的极坐标是
π 4
＝ 2cos θ＋ 2sin θ，
∴ρ2＝ 2ρcos θ＋ 2ρsin θ，
∴化为直角坐标方程为 x2＋y2－ 2x－ 2y＝0.
解答
(3)ρcos(θ＋π4)＝ 22； 解 ∵ρcos(θ＋4π)＝ 22， ∴ρ(cos θ·cos π4－sin θ·sin π4)＝ 22， ∴ρcos θ－ρsin θ－1＝0. 又ρcos θ＝x，ρsin θ＝y， ∴x－y－1＝0.
解答
反思与感悟
在进行两种坐标方程间的互化时，要注意 (1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、 极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同. (2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但这里约定只在 0≤θ<2π范围内求值.
跟踪训练2 把下列直角坐标方程化为极坐标方程. (1)y2＝4x； 解 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＝4x， 得(ρsin θ)2＝4ρcos θ， 化简，得ρsin2θ＝4cos θ. (2)x2＋y2－2x－1＝0. 解 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋y2－2x－1＝0， 得(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2－2ρcos θ－1＝0， 化简，得ρ2－2ρcos θ－1＝0.
当堂训练
1.极坐标方程分别为ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是
A.3
B. 2
C.1
√D.
2 2
12345
答案
2.将极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0化为直角坐标方程为
A.x2＋y2＝0或y＝1 C.x2＋y2＝0或x＝1
B.x＝1 √
D.y＝1
12345
答案
3.在极坐标系中，圆ρ＝2sin θ的圆心的极坐标是
π 4
＝ 2cos θ＋ 2sin θ，
∴ρ2＝ 2ρcos θ＋ 2ρsin θ，
∴化为直角坐标方程为 x2＋y2－ 2x－ 2y＝0.
解答
(3)ρcos(θ＋π4)＝ 22； 解 ∵ρcos(θ＋4π)＝ 22， ∴ρ(cos θ·cos π4－sin θ·sin π4)＝ 22， ∴ρcos θ－ρsin θ－1＝0. 又ρcos θ＝x，ρsin θ＝y， ∴x－y－1＝0.
解答
反思与感悟
在进行两种坐标方程间的互化时，要注意 (1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、 极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同. (2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但这里约定只在 0≤θ<2π范围内求值.
跟踪训练2 把下列直角坐标方程化为极坐标方程. (1)y2＝4x； 解 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＝4x， 得(ρsin θ)2＝4ρcos θ， 化简，得ρsin2θ＝4cos θ. (2)x2＋y2－2x－1＝0. 解 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋y2－2x－1＝0， 得(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2－2ρcos θ－1＝0， 化简，得ρ2－2ρcos θ－1＝0.
高二数学之人教版高中数学选修4-4课件：第二讲一第2课时圆的参数方程
y＝1＋2tt2，
1 所以 y＝(1－x2)2，y2＝1－x2，
所以 x2＋y2＝1.
答案：D
4．已知圆的普通方程 x2＋y2＋2x－6y＋9＝0，则它 的参数方程为__________________．
解析：由 x2＋y2＋2x－6y＋9＝0，
得(x＋1)2＋(y－3)2＝1.
令 x＋1＝cos θ，y－3＝sin θ，
θ， θ
θ∈0，π2都表示同一圆．(
)
(4)圆的参数方程为xy＝＝2－si2n＋θ2cos
θ， (θ
为参数)，则
圆心坐标为(－2，0)．( )
x＝5sin 解析：(1)参数方程
θ， 消参后得到
x2＋y2＝
y＝5cos θ
25 ， 可 以 表 示 圆 ， 不 过 此 时 参 数 θ 的 几 何 意 义 与
审题指导：(1)先将圆的参数方程化为普通方程，然 后和直线方程联立方程组，解得交点的直角坐标，再化为 直角坐标．
(2)利用点到直线的距离公式求出距离，然后利用三 角函数知识求最值或结合圆的性质求最值．
[规范解答] (1)直线 l：y＝x＋4，圆 C：x2＋(y－2)2
＝4，(1 分)
y＝x＋4，
4
x＝4cos 的圆，而
y＝4sin
θθ，θ∈0，π2表示以原点为圆心，半径
为 4 的圆的一部分，故不正确．
(4)由圆的参数方程知圆心为(－2，0)，故正确． 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．圆(x－1)2＋y2＝4 上的点可以表示为( ) A．(－1＋cos θ，sin θ) B．(1＋sin θ，cos θ) C．(－1＋2cos θ，2sin θ) D．(1＋2cos θ，2sin θ) 解析：由圆的方程知圆心为(1，0)，半径为 2，故由
选修4-4.1.3.极坐标方程 课件
2019/5/23
v:pzyandong
2
复习引入
一、复习： 曲线的方程概念：…… 二、讨论回答： 曲线的极坐标方程概念：……
2019/5/23
v:pzyandong
3
探究
如图，半径为a的圆的圆心坐标为C(a,0) (a>0)，你能用一个等
式表示圆上任意一点的极坐标(,)满足的条件？
设圆和极轴的另一个交点是A,那么|OA|=2a,
v:pzyandong
10
高三数学 选修4-4
第一章 极坐标
一、复习已学知识
1、以极点O为圆心，r为半径的圆， 极坐标方程为:
r
M (, )
O rA x
2、以点C(a,0)为圆心，a为半径的圆，
M(, )
极坐标方程为:
2acos
O
c(a,0) A
x
3、以点C(a,φ)为圆心，a为半径的圆， M(,)
3
5
6
O
x
(2)过点(2,
3
),并且和极轴垂直的直线:
cos 1
3
二、例题选讲
例3 设点P的极坐标为 (1,1),直线l过点P且与极轴所成的角为 ,
求直线l的极坐标方程 。
分析: 如图,设M (, )为直线l上除点
M(, )
极坐标方程为:
2acos
O
c(a,0) A
x
3、以点C(a,φ)为圆心，a为半径的圆， M(,)
极坐标方程为:
2acos( )
c(a,)
O
Ax
2019/5/23
v:pzyandong
人教版选修4-4 极坐标与参数方程(精品课件)共24张PPT
三、极坐标的正式应用和扩展
◆1736年出版的《流数术和无穷级数》一书中，牛顿 第一个将极坐标系应用于表示平面上的任何一点。牛 顿在书中验证了极坐标和其他九种坐标系的转换关系。 ◆在1691年出版的《博学通报》一书中伯努利正式使 用定点和从定点引出的一条射线，定点称为极点，射 线称为极轴。平面内任何一点的坐标都通过该点与定 点的距离和与极轴的夹角来表示。伯努利通过极坐标 系对曲线的曲率半径进行了研究。
（2）点P（ρ，θ）与点（ρ，2kπ+θ）（k∈Z）
所表示的是同一个点，即角θ与2kπ+θ的终边是 相同的。 综上所述，在极坐标系中，点与其点的极 坐标之间不是一一对应而是一对多的对应
(ρ，θ)，（ρ，2kπ+θ），（-ρ，（2k+1）π+θ）均 表示同一个点
3.极坐标和直角坐标的互化
y
（1）互化背景：把直角坐标系 的原点作为极点，x轴的正半轴 作为极轴，并在两种坐标系中取 相同的长度单位，如图所示：
极坐标系和参数方程虽为选修内容，高中学生也 应该重视对本专题的学习，既可以体会其中的数 学思想，也能提高对数学的认识，而且可以与已 学知识融会贯通
极坐标系
定义：平面内的一条有规 定有单位长度的射线0x,0 为极点，0x为极轴，选定 一个长度单位和角的正方 向(通常取逆时针方向)， 这就构成了极坐标系。
关于教材编排
参数方程是选修4-4专题的一个重要内容。这一专 题包含、涉及了很多高中内容。利用高二学生已掌 握的直线、圆和圆锥曲线曲线方程为基础，鼓励学 生利用参数的思想对它们进行探究解析，以及能学 习掌握如何优化参数的选择推出已知曲线方程的参 数形式，能等价互化参数方程与普通方程；借助实 际生活例子或相应习题体会参数方程的优势，理解 学习参数方程的缘由。
1.3.1 圆的极坐标方程 课件(人教A选修4-4)(2)
2． 圆心在极点， 半径为 r 的圆的极坐标方程是什么？圆心在点(a， π 2)处且过极点的圆的方程又是什么？
提示：圆心在极点，半径为 r 的圆的极坐标方程为 ρ＝r；圆心 π 在点(a，2)处且过极点的圆的方程为 ρ＝2asin θ(0≤θ≤π)．
[研一题] [例1] 设一个直角三角形的斜边长一定，求直角顶点轨迹
[研一题] [例2] 求圆心在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程． 在圆周上任取一点P(如图)
[精讲详析]
设其极坐标为(ρ，θ)．
由余弦定理知： CP2＝OP2＋OC2－2OP· OCcos ∠COP， ∴r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cos (θ－θ0)． 故其极坐标方程为
r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cos (θ－θ0)．
[通一类] π 2．在极坐标系中，已知圆 C 的圆心为(3，3)，半径为 3，Q 点在 圆周上运动． (1)求圆 C 的极坐标方程； (2)若 P 是 OQ 中点，求 P 的轨迹．
解：(1)如图，设 Q(ρ，θ)为圆上任意一点，连结 DQ、OQ， 则|OD|＝6， π ∠DOQ＝3－θ，
π π 或∠DOQ＝θ－3，∠DQO＝2. π 在 Rt△ODQ 中，|OQ|＝|OD|cos (θ－3)， π 即 ρ＝6cos (θ－3)． (2)若 P 的极坐标为(ρ，θ)，则 Q 点的极坐标为(2ρ，θ)． π π ∴2ρ＝6cos (θ－3)，∴ρ＝3cos (θ－3)． ∴P 的轨迹是圆．
2θ
(4)∵ρ2cos 2θ＝4， ∴ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝4，即 x2－y2＝4. 1 (5)∵ρ＝ ， 2－cos θ ∴2ρ－ρcos θ＝1. ∴2 x2＋y2－x＝1.化简，得 3x2＋4y2－2x－1＝0.
【人教版】数学(理)一轮复习：选修4-4《坐标系与参数方程》(第2节)ppt课件 公开课一等奖课件PPT
选修4-4 坐标系与参数方程
2．(2013·陕
西
高考
)圆
锥曲线
x＝t2， y＝2t
(t 为参数)的焦点坐标是
________．
解析 代入法消参，得到圆锥曲线的方程为 y2＝4x，
则焦点坐标为(1,0)．
答案 (1,0)
选修4-4 坐标系与参数方程
3．(2012·湖北高考)在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴
选修4-4 坐标系与参数方程
直线的参数方程 [典题导入]
(2014·东北三省三校第二次联考)在直角坐标系 xOy 中，已
知点 P(0， 3)，曲线 C 的参数方程为xy＝ ＝
5cos φ， 15sin φ
(φ 为参数)．以
原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标
方程为 ρ＝2cosθ3－π6.
解析 直线方程可化为 x－y＋1＝0，圆的方程可化为(x－1)2＋y2 ＝1.由点到直线的距离公式可得，圆心 C(1,0)到直线 l 的距离为
12＋|2|－12＝ 2. 答案 2
选修4-4 坐标系与参数方程
5．(2013·广东高考)已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ.以极点
为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线 C 的参
(t 为参数)．若 A，B 为直线 l 上两点，其对应的
参数分别为 t1，t2.线段 AB 的中点为 M，点 M 所对应的参数为 t0. 注意以下几个常用的结论：
(1)t0＝t1＋2 t2；(2)|PM|＝|t0|＝|t1＋2 t2|；(3)|AB|＝|t2－t1|；(4)|PA|·|PB|
＝|t1t2|.
选修4-4 坐标系与参数方程
高中数学 第一章 坐标系 3 柱坐标系和球坐标系课件 北师大版选修4-4.ppt
及xy＝＝rrssiinn
φcos φsin
θ， θ，
z＝rcos φ.
ρ＝ x2＋y2，
x＝ x2＋y2＋z2，
得 tan
θ＝xyx≠0
及 cos
φ＝zr
(x≠0)．
又yx＝＝11，， z＝1，
所以ρ＝ tan
2， θ＝1
r＝ 3，
及 cos
φ＝
33，
结合图形得 θ＝π4，
由 cos φ＝ 33得 tan φ＝ 2
将点的直角坐标化为柱坐标或球坐标
[例 1] 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 长为 1，如图所示建立空间直角坐标系，以 Ax 为极轴，求点 C1 的直角坐标、柱坐标以及 球坐标．
[思路点拨] 本题考查直角坐标系，柱坐标系及球坐标 系下点的坐标的确定及其关系的转化；解答此题需用法一： 结合图形分别求三种坐标，法二：先求出点 C1 的直角坐标， 再分别化为柱坐标、球坐标即可．
(2)空间点 M 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之
x＝rsin φcos θ， y＝rsin φsin θ， 间的变换关系为 z＝rcos φ. .
[合作探究]
1．空间中点的直角坐标、柱坐标和球坐标各有何特点？ 提示：设空间中点 M 的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(r， θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，它们都是有序数组，但意义不同， 直角坐标为三个实数；柱坐标分别表示距离、角、实数；球坐 标分别表示距离、角、角．
所以点
C1
的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为
2，π4，1，球
坐标为
3，φ，π4(其中 tan φ＝
2，0≤φ≤π)．
1．在三种坐标系中确定点的坐标，一般数形结合确定
1.3.1 圆的极坐标方程 课件(人教A选修4-4)(2)
极坐标方程常常可以在一个三角形中实现，找出这样的三角形
便形成了解题的关键．
[通一类] 1．设 M 是定圆 O 内一定点，任作半径 OA，连结 MA，过 M 作 MP⊥MA 交 OA 于 P，求 P 点的轨迹方程． 解：以 O 为极点，射线 OM 为极轴，建立极坐标系，如图．
设定圆 O 的半径为 r，OM＝a，P(ρ，θ)是轨迹上任意一点． ∵MP⊥MA，∴|MA|2 ＋|MP|2 ＝|PA|2.由余弦定理，可知|MA|2 ＝a2＋r2－2arcos θ，|MP|2＝a2＋ρ2－2aρcos θ.而|PA|＝r－ρ， 由此可得 a2＋r2－2arcos θ＋a2＋ρ2－2aρcos θ＝(r－ρ)2. aa－rcos θ 整理化简，得 ρ＝ . acos θ－r
Байду номын сангаас
[通一类] π 2．在极坐标系中，已知圆 C 的圆心为(3，3)，半径为 3，Q 点在 圆周上运动． (1)求圆 C 的极坐标方程； (2)若 P 是 OQ 中点，求 P 的轨迹．
解：(1)如图，设 Q(ρ，θ)为圆上任意一点，连结 DQ、OQ， 则|OD|＝6， π ∠DOQ＝3－θ，
π π 或∠DOQ＝θ－3，∠DQO＝2. π 在 Rt△ODQ 中，|OQ|＝|OD|cos (θ－3)， π 即 ρ＝6cos (θ－3)． (2)若 P 的极坐标为(ρ，θ)，则 Q 点的极坐标为(2ρ，θ)． π π ∴2ρ＝6cos (θ－3)，∴ρ＝3cos (θ－3)． ∴P 的轨迹是圆．
[通一类] π 3．把极坐标方程 ρcos(θ－6)＝1 化为直角坐标方程．
π 3 1 解：由 ρcos (θ－6)＝1 得 2 ρcos θ＋2ρsin θ＝1， 3 y 将 ρcos θ＝x，ρsin θ＝y 代入上式，得 2 x＋2＝1， 即 3x＋y－2＝0.
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教学目的
1、认识曲线的极坐标方程的条件， 比较与曲线与直角坐标方程的异同。 2、掌握各种圆的极坐标方程。 3、能根据圆的极坐标方程画出其对 应的图形
教学重点： 总结怎样求极坐标方程的方法与步骤 教学难点：极坐标方程是涉及长度与角 度的问题，列方程实质是解直角或斜 三角形问题，要使用旧的三角知识。
练习2
极坐标方程分别是ρ＝cosθ和
ρ＝sinθ的两个圆的圆心距是多少
2 2
练习3
以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为 半径的圆的方程是
A. 2 cos B . 2 sin 4 4 C . 2 cos 1 D . 2 sin 1
１.小结： （１）曲线的极坐标方程概念 （２）怎样求曲线的极坐标方程 （3）圆的极坐标方程
作业布置 课本Ｐ15: １(1)(3)、２、(３)(4)
C
练习4
曲线 5 3 cos 5 sin 关于极轴对 称的曲线是：
C
A. 10 cos 6 C . 10 cos 6
B . 10 cos 6 D . 10 cos 6
例1 已知圆O的半径为r，建立怎样 的坐标系，可以使圆的极坐标方程 更简单？
题组练习1
求下列圆的极坐标方程 （１）中心在极点，半径为２；
＝2
（２）中心在Ｃ（ａ，０），半径为ａ；
＝2acos （３）中心在（ａ，／2），半径为ａ； ＝2asin （４）中心在Ｃ（0，０），半径为ｒ。 2+ 2 -2 cos( - )= r2 0 0 ０
曲线的极坐标方程
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程 f(,)=0有如下关系 （１）曲线Ｃ上任一点的坐标（所有坐标 中至少有一个）符合方程f(,)=0 ； （２）方程f(,)=0的所有解为坐标的 点都在曲线Ｃ上。 则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
曲线的极坐标方程
二、怎样求曲线的极坐标方程？ 与直角坐标系里的情况一样，求 曲线的极坐标方程就是找出曲线 上动点Ｐ的坐标与之间的关系， 然后列出方程f(,)=0 ，再化简并 说明。
复习引入
一、复习： 曲线的方程概念：…… 二、讨论回答： 曲线的极坐标方程概念：……
探究 如图，半径为a的圆的圆心坐 标为(a,0)(a>0)，你能用一个 等式表示圆上任意一点的极 坐标(,)满足的条件？
O
C(a,0)
x
思路分析
1、先和学生一齐在黑板上画出圆与极坐标轴 2、把所设圆上任意一点的极坐标在所画图形上 明确标出来、 即明确长度与角度是哪一 边，哪一个角 3、找边与角能共存的三角形，最好是直角三角 形 4、利用三角形的边角关系的公式与定理列等式 5、列式时要充分利用所给的圆心与半径的条件 6、引出指明极坐标方程的条件
1、认识曲线的极坐标方程的条件， 比较与曲线与直角坐标方程的异同。 2、掌握各种圆的极坐标方程。 3、能根据圆的极坐标方程画出其对 应的图形
教学重点： 总结怎样求极坐标方程的方法与步骤 教学难点：极坐标方程是涉及长度与角 度的问题，列方程实质是解直角或斜 三角形问题，要使用旧的三角知识。
练习2
极坐标方程分别是ρ＝cosθ和
ρ＝sinθ的两个圆的圆心距是多少
2 2
练习3
以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为 半径的圆的方程是
A. 2 cos B . 2 sin 4 4 C . 2 cos 1 D . 2 sin 1
１.小结： （１）曲线的极坐标方程概念 （２）怎样求曲线的极坐标方程 （3）圆的极坐标方程
作业布置 课本Ｐ15: １(1)(3)、２、(３)(4)
C
练习4
曲线 5 3 cos 5 sin 关于极轴对 称的曲线是：
C
A. 10 cos 6 C . 10 cos 6
B . 10 cos 6 D . 10 cos 6
例1 已知圆O的半径为r，建立怎样 的坐标系，可以使圆的极坐标方程 更简单？
题组练习1
求下列圆的极坐标方程 （１）中心在极点，半径为２；
＝2
（２）中心在Ｃ（ａ，０），半径为ａ；
＝2acos （３）中心在（ａ，／2），半径为ａ； ＝2asin （４）中心在Ｃ（0，０），半径为ｒ。 2+ 2 -2 cos( - )= r2 0 0 ０
曲线的极坐标方程
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程 f(,)=0有如下关系 （１）曲线Ｃ上任一点的坐标（所有坐标 中至少有一个）符合方程f(,)=0 ； （２）方程f(,)=0的所有解为坐标的 点都在曲线Ｃ上。 则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
曲线的极坐标方程
二、怎样求曲线的极坐标方程？ 与直角坐标系里的情况一样，求 曲线的极坐标方程就是找出曲线 上动点Ｐ的坐标与之间的关系， 然后列出方程f(,)=0 ，再化简并 说明。
复习引入
一、复习： 曲线的方程概念：…… 二、讨论回答： 曲线的极坐标方程概念：……
探究 如图，半径为a的圆的圆心坐 标为(a,0)(a>0)，你能用一个 等式表示圆上任意一点的极 坐标(,)满足的条件？
O
C(a,0)
x
思路分析
1、先和学生一齐在黑板上画出圆与极坐标轴 2、把所设圆上任意一点的极坐标在所画图形上 明确标出来、 即明确长度与角度是哪一 边，哪一个角 3、找边与角能共存的三角形，最好是直角三角 形 4、利用三角形的边角关系的公式与定理列等式 5、列式时要充分利用所给的圆心与半径的条件 6、引出指明极坐标方程的条件