大师之路——抛物线中的动点轨迹

1（2019广益第二学期第一次月考26题）

如图，在直角坐标系中有 Rt △AOB ，O 为坐标原点，OB=1,tan 3ABO ∠=，将此三角形绕原点O 顺时针旋转90°，得到 Rt △COD ，二次函数2y x bx c =-++ 的图象刚好经过A, B, C 三点．

（1）求二次函数的解析式及顶点 P 的坐标；

（2）过定点Q 的直线 : 3l y kx k =-+与二次函数图象相交于 M , N 两点．

①若2PMN S = ，求 k 的值；

②证明：无论 k 为何值，△PMN 恒为直角三角形；

③当直线

l 绕着定点Q 旋转时，△PMN 外接圆圆心在一条抛物线上运动，写出该抛物线的表达式．