2013学年广州市高二年级学生学业水平测试数学
2013学年广州市高二年级学生学业水平测试数学官方答案
2013学年广州市高二年级学生学业水平数学测试及答案本试卷分选择题和非选择题两部分, 共4页. 满分150分. 考试用时120分钟.注意事项:1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4．本次考试不允许使用计算器.5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高， 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1.函数()f x =( A)A ．[)1,-+∞B ．(],1-∞-C ．[)1,+∞D ．(],1-∞2.集合{a,b,c}的子集个数是( D)A. 5B. 6C. 7D. 83.已知数列{}n a 满足111,n n a a a n +==+，则3a 的值为（ C ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5解：∵111,n n a a a n +==+，∴令n=1，1111112a a +=+=+=，令n=2，2122224a a +=+=+=. 4.经过点（3,0）且与直线250x y +-=平行的直线方程为（ D ） A. 230x y --= B. 230x y +-= C. 260x y --= D. 260x y +-= 5. 函数sin 2y x =的一个单调区间是（ A ）A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6.做一个体积为32m 3，高为2m 的无盖长方体的纸盒，则用纸面积最小为 （ B ） A. 64m 2 B. 48m 2 C. 32m 2 D. 16m 27. 已知变量x y ,满足约束条件201010x y x y y ⎧--≥⎪+-≤⎨⎪+≥⎩,,.则目标函数2z y x =-的最小值为（ A ）A ．5-B ．4-C ．3-D ．2-8.如图1所示，程序框图（算法流程图）输出的结果是 （ C ）A ．2B ．4C ．8D ．16 9.关于x 的不等式2220x ax a +-> 的解集中的一个元素为1，则实数a 的取值范围是（ B ）A. ()(),12,-∞-+∞B.（-1,2）C. ()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭D. （-1,12） 解：关于x 的不等式2220x ax a +-> 的解集中的一个元素为1，所以()2120f a a =+->，220a a --<，-1<a<2.10.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是（0,0,0），（1,1,0），（1,0,1），（0,0,a ） (a <0)，画该四面体三视图中的正视图时，以xOz 平面为投影面，得到正视图的面积为2，则该四面体的体积是（ B ）A.13B. 12C. 1D. 3210.解：这个四面体是图中的O-MNP ，又以xOz 平面为投影面得到正视图是如图阴影的四边形ONQP ，它的面积为2，所以 ()111112,22a ⨯⨯+⨯⨯-=解得3a =-。
广东省广州市广州中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
广东省广州市广州中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若函数()22e e xf x =+，则()1f '=（ ）A ．2eB ．22eC ．23eD ．24e2．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有15的学生每天玩手机超过1h ，这些人近视率约为12，其余学生的近视率约为38，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（ ）A ．15B ．716 C ．25D ．783．在1022x ⎛ ⎝的二项展开式中，常数项是（ ）A ．132B ．160C ．180D ．1964．已知随机变量X 服从()20.5,N σ，若()0.30.3P X ≤=，则()0.30.7P X ≤≤=（ ）A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.55．已知随机变量X 的分布列如下：设Y ＝2X ＋1，则Y 的数学期望E (Y )的值是（ ） A ．－16B ．13C ．23D ．－236．从编号为1，2，3，…，10，11的11个球中，取出5个球，使这5个球的编号之和为奇数，其取法总数为（ ） A ．236 B ．328 C ．462D ．26407．已知a =b =c = ）A ．a c b >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．b c a >>8．设函数()2,0ln ,0x a x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，若()()()1212f x f x x x =<，且212x x -的最小值为ln2，则a的值为（ ）A ．12B ．(ln 2-C ．(ln 2-D ．e 2-二、多选题9．已知A ，B 分别为随机事件A ，B 的对立事件，()0P A >，()0P B >，则（ ） A ．()()||1P B A P B A +=B ．()()()||P B A P B A P A +=C ．若A ，B 独立，则()()P A B P A =D ．若A ，B 互斥，则()(|)|=P A B P B A10．甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）A ．若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有12种B ．若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种C ．若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种D ．如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种 11．已知函数()()1e x x k f x x-+=，其导函数为()f x '，且()11f =，记()()g x xf x =，则下列说法正确的是（ ）A ．()0f x ¢>恒成立B ．函数()g x 的极小值为0C ．若函数()y g x m =-在其定义域内有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是()0,1D ．对任意的()12,2,x x ∈+∞，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭三、填空题12．过原点的直线l 与e x y =相切，则切点的坐标是 .13．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙、丙、丁4名航天员开展实验，每名航天员只能去一个舱，每个舱至少安排一个人，则甲被安排在天和核心舱的条件下，乙也被安排在天和核心舱的概率为 ． 14．2023年第57届世界乒乓球锦标赛在南非德班拉开帷幕，参赛选手甲、乙进入了半决赛，半决赛采用五局三胜制，当选手甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束．每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为()01p p ≤≤，比赛局数的期望值记为()f p ，则()f p 的最大值是 ．四、解答题15．已知()72701271mx a a x a x a x +=++++L ，展开式中二项式系数的最大值为7m . (1)求m 的值；(2)求1357a a a a +++的值（结果可以保留指数形式）.16．为弘扬中华优秀传统文化，荣造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：(1)从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；(2)从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以X 表示这2人中团体赛获奖的人数，求X 的分布列和数学期望；17．已知函数()()3144R 3f x ax x a =-+∈在2x =-处取得极值．(1)确定a 的值并求()f x 的单调区间；(2)若关于x 的方程()f x b =至多有两个根，求实数b 的取值范围．18．在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从8个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答．已知这8个题目中，选手甲只能正确作答其中的6个，而选手乙正确作答每个题目的概率均为0.8，且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的． (1)求选手甲恰好正确作答2个题目的概率；(2)记选手乙正确作答的题目个数为X ，求X 的分布列和数学期望；(3)如果在抽取的3个题目中答对2个题目就可以晋级，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？请说明理由．19．英国数学家泰勒发现了如下公式：2312!3!!xnx x x x n =++++++e L L 其中!1234,e n n =⨯⨯⨯⨯⨯L 为自然对数的底数，e 2.71828=L L .以上公式称为泰勒公式.设()()e e e e ,22x x x xf xg x ---+==，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.(1)证明：e 1x x ≥+； (2)设()0,x ∈+∞，证明：()()f x g x x<；(3)设()()212x F x g x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若0x =是()F x 的极小值点，求实数a 的取值范围.。
广东省广州市2013年普通高中毕业班综合测试(二)理科数学考试试卷(word版)
试卷类型：A2013年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数 学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号．用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县／区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型 (A) 填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后．用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+． 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B = ．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,,)k k n kn n P k C p p k n -=-= ． 两数立方差公式：3322() ()a b a b a ab b -=-++．一、选择题：本大题共8小题．每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的 l ．已知i 为虚数单位，若复数(1)(1)a a -++i 为实数，则实数a 的值为A ．-1B ．0C ． 1D ．不确定2．已知全集U A B = 中有m 个元素，()()U UA A痧中有n 个元索，若A B 非空，则A B 的元素个数为A ．mnB ．m n +C ．m n -D ．n m -3．已知向量()sin ,cos a x x =，向量(b =，则a b +的最大值为A ．1BC ．3D ．94．若m ，n 是互不相同的空间直线，α是平面，则下列命题中正确的是A ．若//m n ，n α⊂，则//m αB ．若//m n ，//n α，则//m αC ．若//m n ，n α⊥，则m α⊥D ．若m n ⊥，n α⊥，则m α⊥5．在如图1所示的算法流程图中，若()2x f x =，()3g x x =，则()2h 的值为(注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“=”) A ．9 B ．8 C ．6 D ．46．已知点(),p x y 的坐标满足10,30,2x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩O 为坐标原点，则PO 的最小值为A．2B．2CD7．已知函数()sin f x x =，若12,[,]22x x ππ∈-且()()12f x f x <，则下列不等式中正确的是A ．12x x >B ．12x x <C ．120x x +<D ．2212x x < 8．一个人以6米／秒的匀速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始作变速直线行驶 (汽车与人的前进方向相同)，汽车在时刻t 的速度为()v t t =米／秒．那么．此人A ．可在7秒内追上汽车B ．可在9秒内追上汽车C ．不能追上汽车，但其间最近距离为14米D ．不能追上汽车，但其间最近距离为7米二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分 (一) 必做题 (9~13题)9．若函数()cos() cos() (>0)2f x x x πωωω=-的最小正周期为π，则m 的值为 ．10．已知椭圆C的离心率2e =，且它的焦点与双曲线2224x y -=的焦点重台，则椭圆C 的方程为 ．11．甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变量ξ、η，其分布列分别为：若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是． 12．图2是一个有n 层(2)n ≥的六边形点阵．它的中心是一个点，算作 第一层．第2层每边有2个点．第3层每边有3个点，…，第n 层 每边有n 个点，则这个点阵的点数共有 个．13．已知2nx ⎫⎪⎭的展开式中第5项的系数与第3项的系数比为56：3，则该展开式中2x 的系数为 ． (二) 选做题 (14~15题．考生只能从中选做一题)14．(坐标系与参数方程选做题) 已知直线l 的参数方程为142x ty t =+⎧⎨=-⎩(参数t R ∈)，圆C 的参数方程为2cos 22sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ (参数[0,2]θπ∈)，则直线l 被圆C 所截得的弦长为 ．15．(几何证明选讲选做题) 如图3，半径为5的圆O 的两条弦AD 和BC 相交于点P ，OD BC ⊥，P 为AD 的中点，6BC =，则弦AD 的长度为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分12分) 已知tan 24πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，1tan 2β=．(1) 求tan α值；(2) 求sin()2sin cos 2sin sin cos()αβαβαβαβ+-++的值．17．(本小题满分12分)如图4，在直角梯形ABCD 中，90ABC DAB ∠=∠=°．30CAB ∠=°，1BC =，AD CD =，把DAC ∆沿对角线AC 折起后如图5所示 (点D 记为点P )．点P 在平面ABC 上的正投影E 落在线段AB 上，连接PB ． (1) 求直线PC 与平面PAB 所成的角的大小；(2) 求二面角P AC B --的大小的余弦值．18．(本小题满分14分)一射击运动员进行飞碟射击训练，每一次射击命中飞碟的概率p 与运动员离飞碟的距离s (米)成反比．每一个飞碟飞出后离运动员的距离s (米)与飞行时间t (秒)满足15(1) (04)s t t =+≤≤，每个飞碟允许该运动员射击两次 (若第一次射击命中，则不再进行第二次射击)．该运动员在每一个飞碟飞出0.5秒时进行第一次射击．命中的概率为45，当第一次射击没有命中飞碟，则在第一次射击后0.5秒进行第二次射击，子弹的飞行时间忽略不计．(1) 在第一个飞碟的射击训练时，若该运动员第一次射击没有命中，求他第二次射击命中飞碟的概率；(2) 求第一个飞碟被该运动员命中的概率；(3) 若该运动员进行三个飞碟的射击训练 (每个飞碟是否被命中互不影响)，求他至少命中两个飞碟的概率19．(本小题满分14分)已知抛物线C ：22 (0)x py p => 的焦点为F ，A 、B 是抛物线C 上异于坐标原点O 的不同两点，抛物线C 在点A 、B 处的切线分别为1l 、2l ，且12l l ⊥，1l 与2l 相交于点D ．(1) 求点D 的纵坐标；(2) 证明：A 、B 、F 三点共线；(3) 假设点D 的坐标为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，问是否存在经过A 、B 两点且与1l 、2l 都相切的圆，若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分14分)已知函数()32(,)f x x x ax b a b R =-++∈的一个极值点为1x =.方程20ax x b ++=的两个实根为α，()βαβ<，函数()f x 在区间[,]αβ上是单调的(1) 求a 的值和b 的取值范围；(2) 若1x ，2[,]x αβ∈证明：()()121f x f x -≤．21．(本小题满分14分)已知数列{}n a 和{}n b 满足11a b =，且对任意n N ∈*都有1n n a b +=，211n n n na ba a +=-. (1) 求数列{}n a 和{}nb 的通项公式； (2) 证明：31324122341123...1 (1) ...n n n na a aa a a a a n nb b b b b b b b ++++++<+<++++．。
广东省广州市第六十五中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷
广东省广州市第六十五中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷一、单选题1．直线3410x y --=的一个方向向量是（）A ．(3,4)B ．(4,3)C ．31,4⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．41,3⎛⎫- ⎪⎝⎭2．直线()12:10,:210l ax y l a x ay +-=--+=，则“2a =-”是“12//l l ”的（）条件A ．必要不充分B ．充分不必要C ．充要D ．既不充分也不必要3．已知空间向量()2, 2 1,a =-，()1 ,1 2,b =- ，则向量b 在向量a 上的投影向量是（）A ．4243,3,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．（2，﹣1，2）C ．2423,3,3⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．（1，﹣2，1）4．某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间，收集了某位学生100天每天完成作业的时间，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每个区间均为左闭右开），根据此直方图得出了下列结论，其中正确的是（）A ．估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有50天B ．估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为0.3C ．估计该学生每日完成作业时间的中位数为2.625小时D ．估计该学生每日完成作业时间的众数为2.3小时5．在三棱锥O ABC -中，已知23BE BC = ，G 是线段AE 的中点，则OG =（）A ．111236OA OB OC ++ B ．111623OA OB OC ++C ．111362OA OB OC++D ．111263OA OB OC++6．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A 为“第一次向下的数字为2或3”，事件B 为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（）A ．1()4P A =B ．事件A 与事件B 互斥C ．事件A 与事件B 相互独立D ．1()2P A B ⋃=7．空间直角坐标系O xyz -中，经过点000(,,)P x y z ，且法向量为(,,)m A B C =的平面方程为0()A x x -+00)0(()B y y C z z -+-=，经过点000(,,)P x y z 且一个方向向量为(,,)(0)n a b c abc =≠ 的直线l 的方程为000x x y y z z a b c---==，阅读上面的内容并解决下面问题：现给出平面α的方程为2740x y z -+-=，经过(0,0,0)的直线l 的方程为231x y z ==-，则直线l 与平面α所成角的正弦值为（）A B C D 8．已知P 是圆22:1O x y +=上一动点，则点P 到直线()()():21640l x y λλλλ+-+--=∈R 的距离的取值范围为（）A ．1⎡⎤⎣⎦B ．1,1⎡⎤⎣⎦C ．0,1⎡⎤+⎣⎦D ．)0,1⎡+⎣二、多选题9．已知事件,A B 发生的概率分别为1(),()36P A P B 1==，则（）A ．2()3P A =B ．11()32P A B ≤+≤C ．若4()9P A B = ，则1()9P AB =D ．一定有B A⊆10．已知直线1:(1)10l x a y +-+=，直线2:220l ax y ++=，则下列结论正确的是（）A ．1l 在x 轴上的截距为1B ．若1l //2lC ．若12l l ⊥，则23a =D ．2l 与连接点(1,2),(2,1)A B -的线段总有公共点，则直线2l 的倾斜角α的取值范围为π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭11．已知P 、Q 分别为棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -棱1DD 、1BC 上的动点，则下列说法正确的是（）A ．线段PQ 长度的最小值为2B ．三棱锥11P A BC -的外接球体积的最大值为C ．若点M 在正方体的内部且满足1321432DM DC DA DD =++，则点M 到直线BC 的距D ．当P 、Q 为中点时，平面1B PQ 截正方体1111ABCD A B C D -所形成的图形的面积为94三、填空题12．一条光线从()6,4P 射出，经直线1y x =-后反射，反射光线经过点()2,0Q ，则反射光线所在直线方程为.13．已知向量()()()1,3,2,2,1,3,4,3,a b c m =--=-=，若{},,a b c 不能构成空间的一个基底，则实数m 的值为.14．甲､乙两队进行答题比赛，每队3名选手，规定两队的每名选手都完成一次答题为一轮比赛，每名选手答对一题得1分，答错一题得0分.已知甲队中每名选手答对题的概率都为12，乙队中3名选手答对题的概率分别为211,,334.在第一轮比赛中，甲队得x 分，乙队得y 分，则在这一轮中，满足02x y <-≤且0y ≠的概率为.四、解答题15．如图在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB AD AA ===1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠= ．(1)求证：直线1A C ⊥平面11BDD B ；(2)求直线1AC 和1BC 夹角的余弦值．16．为弘扬中华民族传统文化，营造浓厚的节日氛围，某市文联在南山公园广场举办2023年正月十五“闹元宵猜灯谜”灯谜展猜活动，活动分一、二两关，分别竟猜5道、20道灯谜．现有甲、乙两位选手独立参加竟猜，在第一关中，甲、乙都猜对了4道，在第二关中，甲、乙分别猜对12道、15道．假设猜对每道灯谜都是等可能的．(1)从第一关的5道灯谜中任选2道，求甲都猜对的概率；(2)从第二关的20道灯谜中任选一道，求甲、乙两人恰有一个人猜对的概率．17．已知圆心为C 的圆经过点()1,4A ，()3,6B ，且圆心C 在直线340x y -=上．(1)求圆C 的方程：(2)已知直线l 过点()1,1且直线l 截圆C 所得的弦长为2，求直线l 的方程．(3)已知点()1,2M -，()3,4N -，且P 为圆C 上一动点，求22PM PN +的最小值．18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为2的等边三角形，12CC =，,D E 分别是线段1,AC CC 的中点，1C 在平面ABC 内的射影为D ．(1)求证：1AC //平面BDE ；(2)若点F 为棱11B C 的中点，求点F 到平面BDE 的距离；(3)若点F 为线段11B C 上的动点（不包括端点），求平面FBD 与平面BDE 夹角的余弦值的取值范围．19．已知圆22:16O x y +=，点()6,0A ，点B 为圆O 上的动点，线段AB 的中点M 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)设点()2,0T ，过点T 作与x 轴不重合的直线l 交曲线C 于E ，F 两点．（ⅰ）若直线l 的斜率为1，且过点T 作与直线l 垂直的直线1l 交曲线C 于G ，H 两点，求四边形EGFH 的面积；（ⅱ）设曲线C 与x 轴交于P ，Q 两点，直线PE 与直线QF 相交于点N ，试讨论点N 是否在定直线上，若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由．。
清华大学中学生标准学术能力(TDA)诊断性测试2024-2025学年高二上学期数学试卷和答案
标准学术能力诊断性测试2024年9月测试数学试卷（A 卷）本试卷共150分，考试时间90分钟.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设,a b ∈R ，则“22log log a b >”是“1122b a ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.集合(){}{}22ln 23,23,A x y x x B y y x x x A ==--==-+∈∣∣，则A B ⋂=R ð（）A.(),1∞-- B.()(],13,6∞--⋃C.()3,∞+ D.()[),16,∞∞--⋃+3.已知复数z 满足5z z ⋅=，则24i z -+的最大值为（）C. D.4.已知非零向量,a b 满足3a b = ，向量a 在向量b 方向上的投影向量是9b - ，则a 与b 夹角的余弦值为（） A.33 B.13 C.33- D.13-5.设函数()f x 的定义域为R ，且()()()()42,2f x f x f x f x -++=+=-，当[]1,2x ∈时，()()()2,303f x ax x b f f =+++=-，则b a -=（）A.9-B.6-C.6D.96.班级里有50名学生，在一次考试中统计出平均分为80分，方差为70，后来发现有3名同学的分数登错了，甲实际得60分却记成了75分，乙实际得80分却记成了90分，丙实际得90分却记成了65分，则关于更正后的平均分和方差分别是（）A.82，73 B.80，73 C.82，67D.80，677.已知()sin 404cos50cos40cos θθ-=⋅⋅ ，且ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则θ=（）A.π3- B.π6- C.π6 D.π38.已知函数()2221x f x x =-++，则不等式()()2232f t f t +->的解集为（）A.()(),13,∞∞--⋃+ B.()1,3- C.()(),31,∞∞--⋃+ D.()3,1-二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对但不全得3分，有错选的得0分.9.已知实数,,a b c 满足0a b c <<<，则下列结论正确的是（）A.11a c b c>-- B.a a c b b c +<+C.b c a c a b --> D.2ac b bc ab+<+10.已知函数()sin3cos3f x a x x =-，且()3π4f x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭对任意的x ∈R 恒成立，则下列结论正确的是（）A.1a =±B.()f x 的图象关于点π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭对称C.将()f x 的图象向左移π12个单位，得到的图象关于y 轴对称D.当π23π,1236x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，满足()2f x ≤-成立的x 的取值范围是π7π,3636⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11.在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4,2AB BC ==，13,AA M N =､分别为1111B C A B ､的中点，则下列结论正确的是（）A.异面直线BM 与AC 所成角的余弦值为7210B.点T 为长方形ABCD 内一点，满足1D T ∥平面BMN 时，1D T的最小值为5C.三棱锥1B B MN -的外接球的体积为14πD.过点,,D M N 的平面截长方体1111ABCD A B C D -所得的截面周长为+三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若实数,x y 满足1232,34x y x y ≤+≤≤-+≤，则x y +的取值范围是__________.13.如图所示，在梯形ABCD 中，1,3AE AB AD =∥,3,BC BC AD CE =与BD 交于点O ，若AO x AD y AB =+ ，则x y -=__________.14.在四面体ABCD 中，3,,CD AD CD BC CD =⊥⊥，且AD 与BC 所成的角为30 .若四面体ABCD 的体积为2，则它的外接球表面积的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知复数12213i z =-+=--.（1）若12z z z =，求z ；（2）在复平面内，复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB ，其中O 是原点，求AOB ∠的大小.16.（15分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且cos cos 1a C b A c -+=.（1）求角A ；（2）已知b D =为BC 边上一点，且2,BD BAC ADC ∠∠==，求AD 的长.17.（15分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，点Q 为PA 的三等分点，满足13PQ PA =.（1）设平面QCD 与直线PB 相交于点S ，求证：QS ∥CD ；（2）若3,2,60,AB AD DAB PA ∠==== ，求直线CQ 与平面PAD 所成角的大小.18.（17分）甲､乙两位同学进行投篮训练，每个人投3次，甲同学投篮的命中率为p ，乙同学投篮的命中率为()q p q >，且在投篮中每人每次是否命中的结果互不影响.已知每次投篮甲､乙同时命中的概率为15，恰有一人命中的概率为815.（1）求,p q 的值；（2）求甲､乙两人投篮总共命中两次的概率.19.（17分）已知函数()233x x f x a --=⋅+是偶函数，()246h x x x =-+.（1）求函数()e 2x y h a =-的零点；（2）当[],x m n ∈时，函数(()h f x 与()f x 的值域相同，求n m -的最大值.标准学术能力诊断性测试2024年9月测试数学（A卷）参考答案一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.12345678A B C C D B A C二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对但不全的得3分，有错选的得0分.91011AD BC BD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.21,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦13.11114.73π-四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）解：（1）()() ()()12224i13i24i26i4i127i13i13i13i19i5 zzz-+---++-++ =====-+-+---5z∴==（2）依题意向量()()2,4,1,3OA OB=-=--于是有()()()214310OA OB⋅=-⨯-+⨯-=-OA OB====AOB∠为OA 与OB 的夹角，2cos2OA OBAOBOA OB∠⋅∴==-[]0,πAOB∠∈，3π4AOB∠∴=16.（15分）解：（1）由正弦定理可得：cos sin cos sin cos 1sin a C b A C B A c C--+==()cos 1sin sin cos sin A C A C B ∴+=-，由()sin sin B A C =+可得：()cos sin sin sin cos sin A C C A C A C ⋅+=-+，cos sin sin sin cos sin cos cos sin A C C A C A C A C ⋅+=--，cos sin sin cos sin A C C A C∴⋅+=-sin 0C ≠ 可得：cos 1cos A A +=-，1cos 2A ∴=-，()0,πA ∈ ，2π3A ∴=（2）,BAC ADC BCA ACD ∠∠∠∠== ，BAC ∴ 与ADC 相似，满足：AC BC CD AC =，设CD x =，则有3x =解得：1,3x x ==-（舍去），即：1CD =2π3ADC BAC ∠∠== ，在ADC 中，由余弦定理可得：2222πcos 32AD CD AC AD CD+-=⋅⋅，即：211221AD AD +--=⨯⨯解得：1,2AD AD ==-（舍去），AD ∴的长为117.（15分）解：（1）证明：因为平面QCD 与直线PB 相交于点S ，所以平面QCD ⋂平面PAB QS=因为四边形ABCD 为平行四边形，AB ∴∥CD ，AB ⊄ 平面,QCD CD ⊂平面,QCD AB ∴∥平面QCDAB ⊂ 平面PAB ，平面QCD ⋂平面,PAB QS AB =∴∥QS ，AB ∥,CD QS ∴∥CD（2）过点C 作CH AD ⊥于点H ，PA ⊥ 平面,ABCD PA ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ，因为平面PAD ⋂平面ABCD AD =，且CH AD ⊥，CH ∴⊥平面PAD连接,QH CQH ∠∴是直线CQ 与平面PAD 所成的角因为点Q 为PA 的三等分点，232,223PA QA PA =∴==，在Rt DCH 中，333sin602CH =⋅= 在ACD 中，利用余弦定理可得：222223cos120,19223AC AC +-=∴=⨯⨯ ，在Rt QAC 中，222(22)1933QC QA AC =+=+=在Rt QCH 中，3312sin 233CH CQH CQ ∠===，可得π6CQH ∠=，即直线CQ 与平面PAD 所成的角等于π618.（17分）解：（1）设事件A ：甲投篮命中，事件B ：乙投篮命中，甲､乙投篮同时命中的事件为C ，则C AB =，恰有一人命中的事件为D ，则D AB AB =⋃，由于两人投篮互不影响，且在投篮中每人每次是否命中的结果互不影响，所以A 与B 相互独立，,AB AB 互斥，所以：()()()()P C P AB P A P B ==⋅()(()()(()()()P D P AB AB P AB P AB P A P B P A P B =⋃=+=⋅+⋅可得：()()1581115pq p q p q ⎧=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩解得：1335p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3315,,,1533p p q p q q ⎧=⎪⎪>∴==⎨⎪=⎪⎩（2）设i A ：甲投篮命中了i 次；j B ：乙投篮命中了j 次，,0,1,2,3i j =，()30285125P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭()2213223223365555555125P A ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2223232323545555555125P A ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3028327P B ⎛⎫== ⎪⎝⎭()2211221221433333339P B ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2222112112233333339P B ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设E ：甲､乙两人投篮总共命中两次，则021120E A B A B A B =++由于i A 与j B 相互独立，021120,,A B A B A B 互斥，()()()()()()()()021*********P E P A B A B A B P A P B P A P B P A P B ∴=++=⋅+⋅+⋅8236454830412591259125271125=⨯+⨯+⨯=19.（17分）解：（1）()233x x f x a --=⋅+ 是偶函数，则()()f x f x -=，即11333399x x x x a a --⋅+=⋅+，()113309x x a -⎛⎫∴--= ⎪⎝⎭，由x 的任意性得119a =，即9a =()246h x x x =-+ ，()()()()()22e 2e 4e 618e 4e 12e 6e 2x xx x x x x y h a ∴=-=-⋅+-=-⋅-=-+，令()()e 6e 20x x -+=，则e 6x =或e 2x =-（舍去），即ln6x =，()e 2x y h a ∴=-有一个零点，为ln6（2）设当[],x m n ∈时，函数()f x 的值域为[],s t ，则函数()()h f x 的值域也为[],s t ，由（1）知()2933332x x x x f x ---=⋅+=+≥=当且仅当33x x -=，即0x =时等号成立，令()p f x =，则2p ≥，()2246(2)2h x x x x =-+=-+ 在区间[)2,∞+上单调递增，所以当[],p s t ∈时，()2,s h p ≥的值域为()(),h s h t ⎡⎤⎣⎦，即()()h s s h t t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则224646s s s t t t ⎧-+=⎨-+=⎩，即,s t 为方程246x x x -+=的两个根，解得23s t =⎧⎨=⎩，所以当[],x m n ∈时，()f x 的值域为[]2,3令()30x x λ=>，则()133,1x x y f x λλλ-==+=+>，3x λ= 在()0,∞+上单调递增，对勾函数1y λλ=+在()1,∞+上单调递增，由复合函数的单调性知，()f x 在()0,∞+上单调递增，()f x 是偶函数，()f x ∴在(),0∞-上单调递减令()3f x =，即333x x -+=，解得332x +=或332x =，即33log 2x +=或33log 2x -=，故n m -的最大值为3333535735log log log 222-+-=答案解析1.A【解析】由22log log a b >可得0a b >>，由1122b a⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得a b >，由a b >得不到0a b >>，故必要性不成立；由0a b >>可以得到a b >，故充分性成立，则“22log log a b >”是“1122b a ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”的充分不必要条件.2.B 【解析】集合(){}{}22ln 23230A x y x x x x x ==--=-->∣∣()(){}310{13},x x x x x x =-+>=<->∣∣或集合{}{}223,6B yy x x x A y y ==-+∈=>∣∣，{}()(]6,,13,6B y y A B ∞=≤∴⋂=--⋃R R ∣3.C【解析】复数z 满足5z z ⋅=，设22i,5z a b z z a b =+⋅=+=，()()2224i 24i (2)(4)z a b a b -+=-++=-++，则点()2,4-到圆225a b +=+=4.C【解析】设非零向量,a b 夹角为θ，向量a 在向量b 方向上的投影向量是39b - ，则cos ,39b a a b b θ⨯=-= ∣，解得3cos 3θ=-.5.D【解析】()()42f x f x -++= ，取()()1,312x f f =+=，()()()321211f f a b a b =-=-++=--，()()2f x f x +=- ，取()()0,2042x f f a b ===++，()()303,1423,2f f a b a b a +=---+++=-=- ，()()42f x f x -++= ，取2x =，则()21f =，则7b =，则729b a -=+=.6.B【解析】设更正前甲，乙，丙 的成绩依次为12350,,,,a a a a ，则12505080a a a +++=⨯ ，即507590655080a ++++=⨯ ，()222250(7580)(9080)(6580)807050a -+-+-++-=⨯ ，更正后平均分：()5016080908050x a =++++= ，()22222501(6080)(8080)(9080)807350s a ⎡⎤=-+-+-++-=⎣⎦ .7.A 【解析】()sin 40sin40cos cos40sin θθθ-=- 4cos50cos40cos 4sin40cos40cos θθ=⋅⋅=⋅⋅ 1cot40tan 4cos40θ⇒-=14cos40tan cot40θ-⇒=sin404sin40cos40cos40-=()sin 30102sin80cos40+-= 13cos102cos1022cos40+-=3313sin10cos10sin10cos102222cos40cos40--==()()sin 1060sin 50cos40cos40--===πππ,,223θθ⎛⎫∈-∴=- ⎪⎝⎭.8.C【解析】设()()21121x g x f x x =-=-++，()()2221112121x x x g x f x x x -⋅-=--=--+=--+++，()()2221102121x x x g x g x x x ⎛⎫⋅+-=-++--+= ⎪++⎝⎭，设()()1212121222,112121x x x x g x g x x x ⎛⎫⎛⎫>-=-+--+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()()()122121121222222021212121x x x x x x x x x x -⎛⎫=-+-=-+> ⎪++++⎝⎭，故()g x 为奇函数，且单调递增，()()()()()()22223212310230f t f t f t f t g t g t +->⇒-+-->⇒+->，()()()()()222302332g t g t g t g t g t +->⇒>--=-，故232t t >-，解得()(),31,t ∞∞∈--⋃+.9.AD【解析】A.0a b c <<<，可得a c b c -<-，故11a c b c>--，A 正确；B.设不等式成立，则()()a a c b c b b c b b b c++<++，可得ab ac ab bc +<+，即ac bc <，由0a b c <<<可得ac bc >，故假设不成立，B 错误；C.不妨假设211313210,,1332b c a c a b c a b --+--+=-<=-<=-<====--，故,C b c a c a b --<错误；D.设不等式成立，()()22,,,0ac b bc ab ac bc ab b a b c a b b a b c +<+-<--<-<<< ，()()a b c a b b -<-成立，故2ac b bc ab +<+成立，D 正确.10.BC【解析】A.()()sin3cos33sin 0,cos πf x a x x x ϕϕϕϕ⎛⎫=-=+=-=≤ ⎪⎝⎭()3π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意x ∈R 恒成立，()f x ∴在3π4x =处取得极值，即3ππ3π42k ϕ⨯+=+，解得7π3ππ,sin 0,π,,sin 4422k ϕϕϕϕϕϕ=-+=-≤∴=-=-=- ，可求得1a =-，A 错误；B.()()3ππ3,0,44f x x f f x ⎛⎫⎛⎫=-=∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象关于点π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，B 正确；C.将()f x 的图象向左平移π12个单位，得到()π3ππ3331242g x x x x ⎛⎫⎛⎫=+⨯-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数图象关于y 轴对称，C 正确；D.()3π2342f x x ⎛⎫=-≤- ⎪⎝⎭，即3π1sin 342x ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭，7π3π11π2π32π646k x k ∴+≤-≤+，解得23π231π2ππ363363k x k +≤≤+，由题意知π23π,1236x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，符合条件的k 的取值为1,0-，当1k =-时，π7π3636x -≤≤，均在定义域内，满足条件，当0k =时，23π31π3636x ≤≤，此时仅有23π36x =满足条件，所以满足()22f x ≤-成立的x 的取值范围为π7π23π,363636⎡⎤⎧⎫-⋃⎨⎬⎢⎣⎦⎩⎭，D 错误.11.BD【解析】A.MN ∥,AC BMN ∠∴为直线MN 与AC 所成角，在BMN 中，根据余弦定理可知222cos 2BM MN BN BMN BM MN∠+-=⋅，422BM MN BN ======，代入求得cos 10BMN A ∠=错误；B.取AD 的中点E ，取CD F ，取11A D 的中点S ，连接11,,,,EF D E D F AS SM ，SM ∥,AB AS ∥BM ，所以四边形ABMS 是平行四边形，AS ∥BM 且AS ∥11,D E D E ∴∥1BM D E ∴∥平面BMN ，同理可得1D F ∥平面BMN ，1DT ∥平面,BMN T ∈平面ABCD ，所以点T 的运动轨迹为线段EF ，在1ΔD EF 中，过点1D 作1D T EF ⊥，此时1D T 取得最小值，由题意可知，11D E D F EF ===，1111sin sin sin 105D EF BMN D T D E D EF ∠∠∠====，B 正确；C.取MN 的中点1O ，连接11B O ，则1111O N O M O B ==，过点1O 作1OO ∥1BB ，且111322OO BB ==，OM ∴为外接球的半径，在1Rt MB N 中，MN =，2R OM ∴==，34ππ,33V R C ∴==球错误；D.由平面11AA D D ∥平面11BB C C 得，过点,,D M N 的平面必与11,AA C C 有交点，设过点,,D M N 的平面与平面11AA D D 和平面11BB C C 分别交于,DO PM DO ∴∥,PM 同理可得DP ∥,ON 过点,,D M N 的平面截长方体1111ABCD A B C D -所得的截面图形为五边形DPMNO ，如图所示，以D 为坐标原点，以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设,AO m CP n ==，则()()()()()0,0,0,2,0,,0,4,,1,4,3,2,2,3D O m P n M N ，()()()()0,2,3,1,0,3,2,0,,0,4,ON m PM n DO m DP n ∴=-=-== ，DP ∥,ON DO ∥PM ，()()2323m n n m ⎧=-⎪∴⎨=-⎪⎩，解得2m n ==，DO DP ∴==ON PM MN ====，所以五边形DPMNO 的周长为DO DP ON PM MN ++++==+，D 正确.12.21,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】令()()()()2323x y m x y n x y m n x m n y +=++-+=-++，2131m n m n -=⎧∴⎨+=⎩，解得()()2121,,235555m n x y x y x y ==-∴+=+--+，1232,34x y x y ≤+≤≤-+≤ ，则()()22441323,555555x y x y ≤+≤-≤--+≤-，24435555x y ∴-≤+≤-，即21,55x y ⎡⎤+∈-⎢⎣⎦.13.111【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设1AD =，则3BC =，()()()()220,0,3,0,,,1,,,33B C A m n D m n E m n ⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭，所以直线BD 的方程为1n y x m =+，直线CE 的方程为()2329n y x m =--，联立两直线方程求得()()666655,,,,1,0,,11111111m n m n O AO AD AB m n +-⎛⎫⎛⎫∴=-==-- ⎪ ⎝⎭⎝⎭ ，6511,511m x my AO xAD y AB n ny -⎧=-⎪⎪=+∴⎨⎪-=-⎪⎩ ，解得651,,111111x y x y ==∴-=.14.73π-【解析】依题意，可将四面体ABCD 补形为如图所示的直三棱柱ADE FCB -，AD 与BC 所成的角为30 ，30BCF ∠∴= 或150，设,CB x CF y ==，外接球半径记为R ，外接球的球心如图点O ，11113sin 23324ABCD CBF V DC S xy BCF xy ∠⎛⎫∴=⋅⋅=⨯⨯== ⎪⎝⎭ ，解得8xy =，在2Rt OCO 中，2222222223922sin 4BF R OC OO CO BF BCF ∠⎛⎫⎛⎫==+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在BCF 中，由余弦定理可得2222cos BF BC CF BC CF BCF ∠=+-⋅⋅，要使外接球表面积最小，则R 要尽可能小，则BCF ∠应取30 ，(2222BF x y xy ∴=+≥-，当且仅当x y =时取等，(22min 99732444R BF xy ∴=+=+=-所以外接球表面积的最小值2min min 4π73πS R ==-.。
2023-2024学年广东省广州市五校联考高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省广州市五校联考高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=−i1−i（i是虚数单位），则共轭复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．下列直线中，倾斜角最大的是（）A．√3x+y+1=0B．√3x−y+1=0C．x+y+1＝0D．x﹣y+1＝03．集合A＝{y|y＝3x}，B＝{x|y＝log2（3x+2）}，则（∁R A）∩B＝（）A．(−23，+∞)B．（﹣∞，0]C．(−23，0)D．(−23，0]4．一组数据按从小到大的顺序排列为2，4，m，12，16，17，若该组数据的中位数是极差的35，则该组数据的第40百分位数是（）A．4B．5C．6D．9 5．函数f(x)=2x+√4−x2的最大值是（）A．√5B．2√5C．2+√3D．46．将f(x)=sin2(x−π12)的图像向左平移π6个单位后，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的1ω(ω＞0)，得到函数g（x）的图像．已知g（x）在[0，π]上单调递增，则ω的取值范围是（）A．(0，512]B．(0，12]C．(0，34]D．(0，56]7．广州塔昵称“小蛮腰”，位于广州城市新中轴线与珠江景观轴交汇处，是中国第一高塔、国家级旅游景区、广州的地标性景点．广州塔的塔身是由倾斜扭转的24根直钢柱包围而成的一个单叶双曲面（即由双曲线一支绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面）．如图，已知广州塔的主塔体（不含天线桅杆）高O1O2＝450米，塔身最细处（直钢柱PQ和中心轴线O1O2距离最近的位置）离地面高度OO1＝300米、直径为30米，每根直钢柱与地平面所成角的正切值为20√33，则塔底直径为（）A ．40米B ．50米C ．60米D ．70米8．已知椭圆C ：x 22+y 2b2=1(b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若|AF 1|＝3|AF 2|，点M 满足F 1M →=3MF 2→，且AM ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．13B ．√33 C ．23D ．√63二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知事件A ，B 发生的概率分别为P(A)=13，P(B)=16，则（ ）A ．P(A)=23B ．13≤P(A +B)≤12C ．若A 与B 互斥，则P(A ∪B)=49D ．一定有B ⊆A10．下列结论错误的是（ ）A ．若非零空间向量a →，b →，c →满足a →⊥b →，b →⊥c →，则有a →∥c →B ．若非零向量AB →与CD →平行，则A ，B ，C ，D 四点共线C ．设{a →，b →，c →}是空间中的一组基底，则{a →+b →，b →+c →，c →+a →}也是空间的一组基底D ．若OP →=xOA →+yOB →+zOC →，则x +y +z ＝1是P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件11．已知O 为坐标原点，过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点M(3p2，0)，直线AM 交C 于另一点N ，若|AF |＝|AM |，则（ ） A ．直线AB 的斜率为2√2 B ．|F A |＝3|FB |C ．|OB |＝|OF |D ．直线BN 的斜率为定值12．如图，在棱长为6的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，动点P 在截面AB 1D 1内（含边界），且满足A 1P =3√2．下列说法正确的是（ ）A ．点P 的轨迹长度为6πB．A1P与平面AB1D1所成角的余弦值为√3 3C．存在点P使得CP⊥BC1D．C1P与平面AB1D1所成角的正切值的取值范围是[√23，√2]三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.13．若f(x)=a−22x+1为奇函数，则f（1）＝．14．已知椭圆x29+y2m=1和双曲线x2−y2m−6=1共焦点，则m的值为．15．已知直线l过点P（1，2）且与x轴、y轴分别交于A（a，0），B（0，b）（a＞0，b＞0）两点，O为坐标原点，则|OA|+2|OB|的最小值为．16．已知直线l：x+√3y−3=0与圆C1：x2+y2＝4、圆C2：x2+y2﹣2ax+a＝0（a＞0）相交于从左到右依次排列的四个不同点A，B，C，D，且满足|AB|＝|CD|，则线段AD的长为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知函数f(x)=√32sin(2x+φ)+sin2x，其中0＜φ＜π．（1）若φ=π3，求f（x）的最小正周期和其图像的对称中心；（2）若f(π6)=−14，求cosφ的值．18．（12分）网络流行词“新四大发明”是指移动支付、高铁、网购与共享单车．某中学为了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，从全校3000名学生中随机抽取了100人，发现样本中使用过移动支付的有60人，使用过共享单车的有43人，其中两种都使用过的有8人．（1）利用样本数据估计该校学生中，移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数；（2）经过进一步调查，样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生里，有3人坐过高铁．现从样本中两种都没使用过的学生里随机选出2名学生，求这2名学生都坐过高铁的概率．19．（12分）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且4asin2B2=2a+b−2c．（1）求角A的大小：（2）若b＝1，c＝3，D为BC中点，点E在AB上且满足DE⊥AB，求CE的长．20．（12分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）过点P（4，4）．（1）求抛物线C的方程；（2）过点P的射线l交抛物线C于另一点Q，交准线于点M，求|PQ||PM|的最大值．21．（12分）五面体ABCDEF的底面ABCD是一个边长为4的正方形，∠ADE＝90°，DE＝CF＝2，二面角E ﹣AD ﹣C 的大小为60°． （1）求证：DF ⊥CF ；（2）设点P 为棱AE 上一点，若平面BDP 与平面BCF 的夹角的余弦值为√64，求AP AE的值．22．（12分）已知双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)与圆x 2+y 2＝a 2+b 2的一个交点为(√72，32)．（1）求双曲线E 的方程；（2）设点A 为双曲线E 的右顶点，点B ，C 为双曲线E 上关于原点O 对称的两点，且点B 在第一象限，直线BC 与直线x =12交于点M ，直线AM 与双曲线E 交于点D ．设直线AC 与BD 的斜率分别为k 1，k 2，请问k 1+k 2是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．2023-2024学年广东省广州市五校联考高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=−i1−i（i是虚数单位），则共轭复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：z=−i1−i=−i(1+i)(1+i)(1−i)=12−12i，则z=12+12i，故共轭复数z在复平面内对应的点（12，12）位于第一象限．故选：A．2．下列直线中，倾斜角最大的是（）A．√3x+y+1=0B．√3x−y+1=0C．x+y+1＝0D．x﹣y+1＝0解：直线√3x+y+1=0的斜率为−√3，倾斜角为120°；直线√3x−y+1=0的斜率为√3，倾斜角为60°，直线x+y+1＝0的斜率为﹣1，倾斜角为135°；直线x﹣y+1＝0的斜率为1，倾斜角为45°，∴直线x+y+1＝0的倾斜角最大．故选：C．3．集合A＝{y|y＝3x}，B＝{x|y＝log2（3x+2）}，则（∁R A）∩B＝（）A．(−23，+∞)B．（﹣∞，0]C．(−23，0)D．(−23，0]解：A＝{y|y＝3x}＝{y|y＞0}，B＝{x|y＝log2（3x+2）}＝{x|x＞−23}，故∁R A＝{y|y≤0}，所以（∁R A）∩B＝（−23，0]．故选：D．4．一组数据按从小到大的顺序排列为2，4，m，12，16，17，若该组数据的中位数是极差的35，则该组数据的第40百分位数是（）A．4B．5C．6D．9解：根据题意，数据按从小到大的顺序排列为2，4，m，12，16，17，则极差为17﹣2＝15，故该组数据的中位数是15×35=9，数据共6个，故中位数为m+122=9，解得m＝6，6×40%＝2.4，故该组数据的40百分位数为从小到大第3个数，故该组数据的40百分位数是m＝6．故选：C．5．函数f(x)=2x+√4−x2的最大值是（）A．√5B．2√5C．2+√3D．4解：由4﹣x2≥0，得﹣2≤x≤2，令x＝2sinθ（−π2≤x≤π2），则原函数化为y＝4sinθ+√4−4sin2θ=4sinθ+2cosθ=2√5sin（θ+φ），tanφ=1 2，∴当θ+φ=π2时，y取最大值为2√5，即函数f(x)=2x+√4−x2的最大值是2√5．故选：B．6．将f(x)=sin2(x−π12)的图像向左平移π6个单位后，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的1ω(ω＞0)，得到函数g（x）的图像．已知g（x）在[0，π]上单调递增，则ω的取值范围是（）A．(0，512]B．(0，12]C．(0，34]D．(0，56]解：f(x)=sin2(x−π12)=1−cos(2x−π6)2的图像向左平移π6个单位后，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的1ω(ω＞0)，得到函数g（x）=1−cos(2ωx+π6)2的图像，令2kπ≤2ωx+π6≤2kπ+π，k∈Z，解得，kπω−π12ω≤x≤kπω+5π12ω，k∈Z，因为g（x）在[0，π]上单调递增，所以5π12ω≥π且ω＞0，解得，0＜ω≤5π12．故选：A．7．广州塔昵称“小蛮腰”，位于广州城市新中轴线与珠江景观轴交汇处，是中国第一高塔、国家级旅游景区、广州的地标性景点．广州塔的塔身是由倾斜扭转的24根直钢柱包围而成的一个单叶双曲面（即由双曲线一支绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面）．如图，已知广州塔的主塔体（不含天线桅杆）高O1O2＝450米，塔身最细处（直钢柱PQ和中心轴线O1O2距离最近的位置）离地面高度OO1＝300米、直径为30米，每根直钢柱与地平面所成角的正切值为20√33，则塔底直径为（）A．40米B．50米C．60米D．70米解：由题意设直钢柱PQ中MQ在底面圆O1上的投影线段为NQ，连接O1N，OM，所以在Rt△MNQ中，tan∠PQN=20√33=|MN||NQ|=300|NQ|，得|NQ|=15√3，由题意可得四边形O1NOM为矩形，又因为点M是圆O的切点，所以O1N⊥NQ，且ON1＝15，设圆O 1的半径为r ，所以在Rt △O 1NQ 中，r 2=O 1N 2+NQ 2=152+(15√3)2=900，得r ＝30，所以圆O 1的直径为60． 故选：C ．8．已知椭圆C ：x 22+y 2b2=1(b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若|AF 1|＝3|AF 2|，点M 满足F 1M →=3MF 2→，且AM ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．13B ．√33 C ．23D ．√63解：如图：因为过F 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若|AF 1|＝3|AF 2|， 所以|AF 1|+|AF 2|＝2a ，所以|AF 1|=3a 2，|AF 2|=a 2， 又因为F 1M →=3MF 2→，所以|MF 1|＝3|MF 2|， 所以AM 是∠F 1AF 2的平分线，又因为AM ⊥F 1B ， 所以|AF 1|＝|AB |=3a2=|AF 2|+|BF 2|， 所以|BF 2|＝a ，|BF 2|：|AF 2|＝2．所以A （3c 2，b2），点A 在椭圆：x 22+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)上，所以9c 28+14=1，解得c 2=23，e 2=c 2a 2=232=13，所以e =√33．故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知事件A ，B 发生的概率分别为P(A)=13，P(B)=16，则（ ）A ．P(A)=23B ．13≤P(A +B)≤12C ．若A 与B 互斥，则P(A ∪B)=49D ．一定有B ⊆A解：∵P （A ）=13，∴P （A ）=23，故A 正确；当A ，B 互斥时，P （AB ）＝0，当B ⊆A 时，P （AB ）=16，故13≤P （A +B ）＝P （A ）+P （B ）﹣P （AB ）≤12，故B 正确；当A ，B 互斥时，P （A +B ）＝P （A ）+P （B ）=13+16=12，故C 错误； 不一定B ⊆A ，故D 错误． 故选：AB ．10．下列结论错误的是（ ）A ．若非零空间向量a →，b →，c →满足a →⊥b →，b →⊥c →，则有a →∥c →B ．若非零向量AB →与CD →平行，则A ，B ，C ，D 四点共线C ．设{a →，b →，c →}是空间中的一组基底，则{a →+b →，b →+c →，c →+a →}也是空间的一组基底D ．若OP →=xOA →+yOB →+zOC →，则x +y +z ＝1是P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件解：对于A ：若非零平面向量a →，b →，c →满足a →⊥b →，b →⊥c →，故a →∥c →，但在空间内不一定成立，故A 错误； 对于B ：若非零向量AB →与CD →平行，则A ，B ，C ，D 四点共线也可能平行，故B 错误；对于C ：设{a →，b →，c →}是空间中的一组基底，不存在实数λ和μ使a →+b →=λ(b →+c →)+μ(a →+c →)，故C 正确；对于D ：点P 、A 、B 、C 四点共面的充要条件是存在实数m ，n 使AP →=mAB →+nAC →，整理得OP →=(1−m −n)OA →+mOB →+nOC →=xOA →+yOB →+zOC →，所以x +y +z ＝1，故D 正确． 故选：AB ．11．已知O 为坐标原点，过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点M(3p2，0)，直线AM 交C 于另一点N ，若|AF |＝|AM |，则（ ） A ．直线AB 的斜率为2√2 B ．|F A |＝3|FB |C ．|OB |＝|OF |D ．直线BN 的斜率为定值解：根据题意可得F （p 2，0），又点M(3p2，0)，且|AF |＝|AM |，∴A的横坐标为p2+3p22=p，将其代入y2＝2px中，可得A（p，√2p），∴直线AB的斜率为√2pp−p2=2√2，∴A选项正确；∴直线AB的方程为y=2√2（x−p2），联立{y=2√2(x−p2)y2=2px，解得x＝p或x=p4，∴B点横坐标为p4，将其代入y2＝2px中，可得B（p4，√2），∴|F A|=p2+x A=p2+p=3p2，|FB|=p2+x B=p2+p4=3p4，∴|F A|＝2|FB|，∴B选项错误；∴|OB|=√p216+p22=3p4，而|OF|=p2，∴|OB|≠|OF|，∴C选项错误；∵直线AB的斜率为2√2，|AF|＝|AM|，∴AM直线的斜率为−2√2，∴直线AM的方程为y=−2√2（x−3p2），联立{y=−2√2(x−3p2)y2=2px，解得x＝p或x=9p4，∴N点横坐标为9p4，将其代入y2＝2px中，可得N（9p4，√2），∴直线BN的斜率为√2−√29p 4−p4=√22，∴直线BN的斜率为定值，∴D选项正确．故选：AD．12．如图，在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，动点P在截面AB1D1内（含边界），且满足A1P= 3√2．下列说法正确的是（）A．点P的轨迹长度为6πB．A1P与平面AB1D1所成角的余弦值为√3 3C．存在点P使得CP⊥BC1D．C1P与平面AB1D1所成角的正切值的取值范围是[√23，√2]解：对于A，取B1D1的中点O1，三棱锥A1﹣AB1D1为正三棱锥，过A1作A1G⊥面AB1D1于G，则G为正△AB1D1的中心，又AB1=6√2，AO1=√32AB1=√32×6√2=3√6，∴GO1=13AO1=√6，AG=23AO1=2√6，由V A1−AB1D1=V A−A1B1D1，得13S△AB1D1⋅A1G=13S△A1B1D1⋅AA1，∴13×√34×(6√2)2×A1G=13×12×6×6×6，∴A1G=2√3，由于A1P=3√2，∴GP=√A1P2−A1G2=√6，∴点P的轨迹是以G为圆心，√6为半径的圆，即正△AB1D1的内切圆，∴点P的轨迹长度为2π×√6=2√6π，故A错误；对于B，设A1P与平面AB1D1所成角为α，∵A1到平面AB1D1距离为A1G=2√3，∴sinα=A1GA1P=√332=√63，0≤α≤π2，∴cosα=√1−sin2α=√33，即A1P与平面AB1D1所成角的余弦值为√33．故B正确；对于C，当P为该内切圆与AD1的切点，即P为AD1与A1D的交点时，CP⊥BC1，证明如下：连接B1C，则BC1⊥B1C，∵A1B1⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴A1B1⊥BC1，又B1C∩A1B1＝B1，B1C，A1B1⊂平面CDA1B1，∴BC1⊥平面CDA1B1，∵CP⊂平面CDA1B1，∴CP⊥BC1，故C正确；对于D ，如图，该内切圆与AO 1的交点为E ，取BD 的中点O ，作EF ⊥AO 于F ，EF ∥OO 1， EF ⊥面ABCD ，∵AE ＝AO 1﹣2GO 1=√6=13AO 1，∴EF =13OO 1=2，AF =13AO =13×3√2=√2，CF ＝AC ﹣AF =5√2，C 1E =√CF 2+(CC 1−EF)2=√(5√2)2+(6−2)2=√66，C 1O 1=3√2， 当P 与E 重合时，C 1P 取最大值；当P 与O 1重合时，C 1P 取最小值．∴3√2≤C 1P ≤√66，∵O 1 为A 1C 1的中点，∴C 1到平面AB 1D 1距离d 与A 1到平面AB 1D 1距离相等， 即d =A 1G =2√3，设C 1P 与平面AB 1D 1 所成角为θ， 则tanθ=√C1P −d2=√3√C1P −12，∵3√2≤C 1P ≤√66，∴6≤C 1P 2−12≤54，√6≤√C 1P 2−12≤3√6， ∴√23≤√3√C 12≤√2，即√23≤tanθ≤√2，即C 1P 与平面AB 1D 1所成角的正切值的取值范围是[√23，√2]，故D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分. 13．若f(x)=a −22x +1为奇函数，则f （1）＝ 13．解：根据题意，若f(x)=a−22x+1为奇函数，则f（0）＝a﹣1＝0，即a＝1，当a＝1时，f（x）＝1−22x+1，f（﹣x）＝1−22(−x)+1=1−2⋅2x2x+1=−（1−22x+1）＝﹣f（x），f（x）为奇函数，符合题意，故f（x）＝1−22x+1，则f（1）＝1−23=13；故答案为：1 314．已知椭圆x29+y2m=1和双曲线x2−y2m−6=1共焦点，则m的值为7．解：∵双曲线x2−y2m−6=1中a2＝1，b2＝m﹣6，可得焦点在x轴上，且c2＝1+m﹣6＝m﹣5，又椭圆x29+y2m=1和双曲线x2−y2m−6=1共焦点，∴9﹣m＝m﹣5，解得m＝7．故答案为：7．15．已知直线l过点P（1，2）且与x轴、y轴分别交于A（a，0），B（0，b）（a＞0，b＞0）两点，O为坐标原点，则|OA|+2|OB|的最小值为9．解：根据题意，可得直线l方程为xa +yb=1（a＞0，b＞0），代入P点得1a+2b=1，因此，|OA|+2|OB|＝a+2b=(a+2b)(1a+2b)=5+2ba+2ab≥5+2√2ba⋅2ab=9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立，故|OA|+2|OB|的最小值为9．故答案为：9．16．已知直线l：x+√3y−3=0与圆C1：x2+y2＝4、圆C2：x2+y2﹣2ax+a＝0（a＞0）相交于从左到右依次排列的四个不同点A，B，C，D，且满足|AB|＝|CD|，则线段AD的长为√3+√7．解：圆C1：x2+y2＝4的圆心C1（0，0），半径为2，圆C2：x2+y2﹣2ax+a＝0（a＞0）的圆心C2（a，0），半径为√a2−a，a＞1，由直线l与圆C2相交，可得|a−3|2＜√a2−a，解得a＞2√7−13，由|AB|＝|CD|，可得|AC|＝|BD|，即有2√4−(32)2=2√a2−a−(a−32)2，解得a ＝2，圆C 2的方程为x 2+y 2﹣4x +2＝0， 圆心C 1C 2的距离为2，弦长AC =√7， 则|AD |=√72+√22−(32−12)2+√72=√3+√7． 故答案为：√3+√7．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）已知函数f(x)=√32sin(2x +φ)+sin 2x ，其中0＜φ＜π．（1）若φ=π3，求f （x ）的最小正周期和其图像的对称中心；（2）若f(π6)=−14，求cos φ的值．解：（1）φ=π3时，f(x)=√32sin(2x +φ)+sin 2x=√32sin （2x +π3）+1−cos2x2 =√34sin2x +14cos2x +12=12sin （2x +π6）+12， 故T ＝π， 令2x +π6=k π，k ∈Z ，则x =kπ2−π12，k ∈Z ， 故函数的对称中心为（kπ2−π12，12），k ∈Z ； （2）因为f(x)=√32sin(2x +φ)+sin 2x ，所以f （π6）=√32sin （π3+φ）+14=−14，即sin （π3+φ）=−√33，因为0＜φ＜π， 所以π3＜π3+φ＜4π3，所以cos （π3+φ）=−√63，所以cos φ＝cos （π3+φ−π3）=12cos （π3+φ）+√32sin （π3+φ）=12×(−√63)+√32×(−√33)=−3−√66．18．（12分）网络流行词“新四大发明”是指移动支付、高铁、网购与共享单车．某中学为了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，从全校3000名学生中随机抽取了100人，发现样本中使用过移动支付的有60人，使用过共享单车的有43人，其中两种都使用过的有8人．（1）利用样本数据估计该校学生中，移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数；（2）经过进一步调查，样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生里，有3人坐过高铁．现从样本中两种都没使用过的学生里随机选出2名学生，求这2名学生都坐过高铁的概率．解：（1）从全校3000名学生中随机抽取了100人，发现样本中使用过移动支付的有60人，使用过共享单车的有43人，其中两种都使用过的有8人．∴样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数为100﹣60﹣43+8＝5， 利用样本数据估计该校学生中，移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数为5×3000100=150人． （2）样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生里，有3人坐过高铁， 现从样本中两种都没使用过的学生里随机选出2名学生，基本事件总数n =C 52=10，这2名学生都坐过高铁包含的基本事件个数m =C 32=3，∴这2名学生都坐过高铁的概率P =m n =310． 19．（12分）已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且4asin 2B2=2a +b −2c ． （1）求角A 的大小：（2）若b ＝1，c ＝3，D 为BC 中点，点E 在AB 上且满足DE ⊥AB ，求CE 的长． 解：（1）由4asin 2B2=2a +b −2c ， 可得2a （1﹣cos B ）＝2a +b ﹣2c ，由余弦定理，可得−2a ×a 2+c 2−b22ac=b −2c ，整理得b 2+c 2﹣a 2＝bc ，则cosA=b2+c2−a22bc=12，又A∈（0，π），所以A=π3；（2）法一：由b＝1，c＝3，A=π3及余弦定理，可得a2=1+9−2×1×3×12=7，故a＝BC=√7，又D为BC中点，故BD＝DC=√72，由正弦定理，可得sinB=b⋅sinAa=1√32√7=√2114，又DE⊥AB，所以DE=BD⋅sinB=√72×√2114=√34，由sinB=√2114，可得cos∠BDE=√2114，又∠BDE+∠CDE＝π，则cos∠CDE=−√2114，在△CDE中，由余弦定理，可得CE2=74+316−2×√72×√34×(−√2114)=3716，所以CE=√374；法二：由b＝1，c＝3，A=π3及余弦定理，可得a2=1+9−2×1×3×12=7，故a＝BC=√7，又D为BC中点，故BD＝DC=√72，由正弦定理，可得sinB=b⋅sinAa=1√327=√2114，故cosB=√1−sin2B=5√7 14，则BE=BD⋅cosB=√72×5√714=54，在△BCE中，由余弦定理，可得CE2=7+2516−2×√7×54×5√714=3716，所以CE=√374．20．（12分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）过点P（4，4）．（1）求抛物线C的方程；（2）过点P的射线l交抛物线C于另一点Q，交准线于点M，求|PQ||PM|的最大值．解：（1）抛物线C：x2＝2py（p＞0）过点P（4，4），可得16＝8p，解得p＝2，即抛物线的方程为x2＝4y；（2）设射线l的方程为y﹣4＝k（x﹣4），k＞0，由抛物线的准线方程为y＝﹣1，可得M（4−5k，﹣1），联立{x2=4yy=kx+4−4k，可得x2﹣4kx﹣16+16k＝0，Δ＝16k2﹣4（﹣16+16k）＞0，即有k≠2，由韦达定理可得4+x Q＝4k，即x Q＝4k﹣4，由4k﹣4＜4，可得0＜k＜2，则|PQ||PM|=√1+k2|4k−4−4|√1+k2|4−5k−4|=45|k2﹣2k|=45|（k﹣1）2﹣1|，由0＜k＜2，可得k＝1时，|PQ||PM|取得最大值45．21．（12分）五面体ABCDEF的底面ABCD是一个边长为4的正方形，∠ADE＝90°，DE＝CF＝2，二面角E﹣AD﹣C的大小为60°．（1）求证：DF⊥CF；（2）设点P为棱AE上一点，若平面BDP与平面BCF的夹角的余弦值为√64，求APAE的值．（1）证明：由底面ABCD 是正方形，可得AD ⊥DC ， 又∠ADE ＝90°，可得AD ⊥DE ，则∠EDC 即为二面角E ﹣AD ﹣C 的平面角，即∠EDC ＝60°， 在正方形ABCD 中，AB ∥CD ，又AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ，所以AB ∥平面CDEF ， 又AB ⊂平面ABEF ，平面ABEF ∩平面CDEF ＝EF ， 所以AB ∥EF ，即CD ∥EF ，故四边形CDEF 为梯形， 又DE ＝CF ＝2，所以四边形CDEF 为等腰梯形， 故∠DCF ＝60°，又CD ＝4，CF ＝4，由余弦定理，可得DF 2＝CD 2+CF 2﹣2CD •CF •cos60°＝16+4﹣2×4×2×12=12，所以DF =2√3， 故DF 2+CF 2＝CD 2，则有DF ⊥CF ； （2）解：由（1）知，AD ⊥DC ，AD ⊥DE ，又CD ∩DE ＝D ，CD ，DE ⊂平面CDEF ，故AD ⊥平面CDEF ， 又AD ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面CDEF ， 过D 作Dz ⊥平面ABCD ，则Dz ⊂平面CDEF ， 故以D 为坐标原点，建立如图所示坐标系D ﹣xyz ，则有A （4，0，0），B （4，4，0），C （0，4，0）， D （0，0，0），E （0，1，√3），F （0，3，√3）， 设AP →=λAE →(0≤λ≤1)，则有AP →=λ(−4，1，√3)， 故P (4−4λ，λ，√3λ)，设平面BDP 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)， 由DB →=(4，4，0)，DP →=(4−4λ，λ，√3λ)， 可得{n →⋅DB →=4x +4y =0n →⋅DP →=(4−4λ)x +λy +√3λz =0，令x =√3，则y =−√3，z =5−4λ，可得n →=(√3，−√3，5−4λ)，设平面BCF 的一个法向量为m →=(a ，b ，c)， 由BC →=(−4，0，0)，BF →=(−4，−1，√3)， 可得{m →⋅BC →=−4a =0m →⋅BF →=−4a −b +√3c =0，令c ＝1，则b =√3，a ＝0，可得m →=(0，√3，1)， 由平面BDP 与平面BCF 的夹角的余弦值为√64， 可得|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →||n →|=|2−4λ|2×√6+(5−4λ)2=√64，整理得16λ2−88λ+85=0，令1λ=t ， 则有16t 2﹣88t +85＝0，解得t =174或t =54， 即λ=417或λ=45，即AP AE =417或45． 22．（12分）已知双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)与圆x 2+y 2＝a 2+b 2的一个交点为(√72，32)．（1）求双曲线E 的方程；（2）设点A 为双曲线E 的右顶点，点B ，C 为双曲线E 上关于原点O 对称的两点，且点B 在第一象限，直线BC 与直线x =12交于点M ，直线AM 与双曲线E 交于点D ．设直线AC 与BD 的斜率分别为k 1，k 2，请问k 1+k 2是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 解：（1）由双曲线E 与圆x 2+y 2＝a 2+b 2的一个交点为(√72，32)， 可得{74a 2−94b 2=174+94=a 2+b 2，所以{7b 2−9a 2=4a 2b 2a 2+b 2=4， 所以7（4﹣a 2）﹣9a 2＝4a 2（4﹣a 2），所以a 4﹣8a 2+7＝0， 解得a 2＝7，b 2＝﹣3（舍去）或a 2＝1，b 2＝3， 所以双曲线E 的方程为x 2−y 23=1； （2）设B （m ，n ），m ＞1，n ＞0，则C （﹣m ，﹣n ）， 则l BC ：y =n m x ，令x =12，则y =n2m，即M(12，n2m)，则l AM：y=n2m−012−1(x−1)=−nm(x−1)，代入x2−y23=1，得x2−[−nm(x−1)]23=1，所以3m2−n2m2x2+2n2m2x−n2m2−3=0，所以x A+x D=−2n23m2−n2，即x D=−2n23m2−n2−1=−n2−3m23m2−n2，故y D=−nm(−n2−3m23m2−n2−1)=6mn3m2−n2，所以D(−n2−3m23m2−n2，6mn3m2−n2)，则k1=−n−0−m−1=nm+1，k2=6mn3m2−n2−n−n2−3m23m2−n2−m=6mn−3m2n+n3−n2−3m2−3m3+mn2，由B（m，n）在双曲线上，可得m2−n23=1，即n2＝3m2﹣3，所以k2=6mn−3m2n+n3−n2−3m2−3m3+mn2=n(6m−3m2+3m2−3)−3m2−3m3+(m−1)(3m2−3)=3n(2m−1)−3m2−3m3+3m3−3m2−3m+3=3n(2m−1)−3(2m2+m−1)=n(2m−1)−(2m−1)(m+1)=−nm+1，所以k1+k2=nm+1−nm+1=0，所以k1+k2为定值，且该定值为0．。
广东省广州市广东实验中学越秀学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含简单答案)
广东实验中学越秀学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回.第一部分选择题（共58分）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求．）1. 在等差数列中，，则值是（）A. 12B. 18C. 24D. 302. 已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么对于函数 ，下列说法正确的是（ ）A. 在 上单调递增B. 在 上单调递减C. 在 处取得最大值D. 在 处取得极大值3. 已知离散型随机变量X 的分布列，则（ ）A. 1B.C.D.4. 已知等比数列的各项互不相等，且，，成等差数列，则（ ）的{}n a 3712a a +=72S S -()y f x =()f x '()y f x =(),1∞--()1,∞+1x =2x =(1,2,3,4,5)5k P X ak k ⎛⎫=== ⎪⎝⎭13105P X ⎛⎫<<= ⎪⎝⎭231513{}n a 14a 312a 23a 2021202320202022a a a a -=-A. 1B. 2C. 3D. 45. 老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有（ ）A. 248种B. 168种C. 360种D. 210种6. 的展开式中常数项为（ ）A. 120B. C. 180D. 7. 若函数恰有2个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 8. 已知数列的前n 项和为且，若对任意恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）A. 如果甲，乙必须相邻且乙在甲右边，那么不同的排法有24种B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C. 甲乙不相邻的排法种数为82种D. 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种10. 定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则（ ）A. 数列的前60项和B. 数列的前60项和的()62132x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭120-180-()e x f x a x =-10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭(0,1)1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭(,0)-∞{}n a n S 2n nn a =(1)nn n S a a +>-*N n ∈(,1)(2,)-∞-⋃+∞(1,2)-3(1,)2-3(,1)(,)2-∞-+∞ {}n a 135a =11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭60S =11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭605S =C. 数列的通项公式是D. 数列的通项公式是11. 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1000件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且当该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大时，则有（ ）A. 年产量为9000件B. 年产量为10000件C. 年利润最大值38万元D. 年利润最大值为38.6万元第二部分 非选择题（共92分）三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12 已知数列满足，且对任意，有，则______.13. 设抛掷一枚骰子的点数为随机变量X______．14. 已知定义在上的函数满足，且，则的解集是______．四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知函数在点处的切线与直线垂直.（1）求的值；（2）求的单调区间和极值.16. （1）若，求的值；（2）在的展开式中，二项式系数最大的项只有第五项，①求的值；②若第项是有理项，求的取值集合；③求系数最大的项．为.{}2n a221n a n =-{}2n a 221n a n =+()R x ()22110.8,010,301081000,103x x R x x xx ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩{}n a 11a =*n ∈N ()11nn n a a n +=+-⋅22a ==()0,∞+()f x ()()0xf x f x '-<()22f =()e e0xxf ->()21ex x af x -+=()()1,1f 420240x y ++=a ()f x 423401234(2x a a x a x a x a x -=++++1234a a a a +++22nx ⎫-⎪⎭n k k17. 已知数列的前项和为，满足．（1）求的通项公式；（2）删去数列的第项（其中），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，设的前项和为，请写出的前6项，并求出和．18. 为建设“书香校园”，学校图书馆对所有学生开放图书借阅，可借阅的图书分为“期刊杂志”与“文献书籍”两类.已知该校小明同学的图书借阅规律如下：第一次随机选择一类图书借阅，若前一次选择借阅“期刊杂志”，则下次也选择借阅“期刊杂志”的概率为，若前一次选择借阅“文献书籍”，则下次选择借阅“期刊杂志”的概率为.（1）设小明同学在两次借阅过程中借阅“期刊杂志”的次数为X ，求X 的分布列与数学期望；（2）若小明同学第二次借阅“文献书籍”，试分析他第一次借哪类图书的可能性更大，并说明理由.19. 已知函数在处取得极值．（1）求的值；（2）设（其中），讨论函数的单调性；（3）若对，都有，求n 取值范围．的{}n a n n S 22n n S a =-{}n a {}n a 3i 1,2,3,i =⋅⋅⋅{}n b {}n b n nT{}n b 6T 2n T 1335()ln ()af x x x a x=+∈R 1x =(e)f ()322111()2()2x P x m x x f x x x+=--+m ∈R ()P x [1,3]x ∀∈2164()ln 11nx x f x x n x x +--+-≤-+广东实验中学越秀学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学简要答案一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求．）【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】C二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）【9题答案】【答案】ABD【10题答案】【答案】BC【11题答案】【答案】AD第二部分非选择题（共92分）三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．）【12题答案】【答案】【13题答案】【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）（2）单调递减区间为和，单调递增区间为，的极大值为，极小值为.【16题答案】【答案】（1）；（2）①；②；③.【17题答案】【答案】（1）（2）前6项为2，，，，，；；【18题答案】【答案】（1）分布列略，（2）小明第一次选择借阅“期刊杂志”的可能性更大，理由略【19题答案】【答案】（1） （2）答案略（3）10-(),ln 2-∞3a =-(),1-∞-()3,+∞()1,3-()f x ()263ef =()212e f -=-88-8n ={}1,3,5,7,91171792T x -=2n n a =22425272826438T =()26817nn T =-2930()1e e ef =+5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。
2022-2023学年广东省广州市教育联盟高二年级上册学期12月联考数学试题【含答案】
2022-2023学年广东省广州市真光中学、深圳二中教育联盟高二上学期12月联考数学试题一、单选题1．已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ）A ．2B ．3C ．6D ．9【答案】C【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.【详解】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知，即，解得.||122A pAF x =+=1292p =+6p =故选：C.【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.2．椭圆的一个焦点坐标为，则实数m 的值为（ ）2213x y m +=-()0,1-A ．2B ．4C ．D ．4-2-【答案】C【分析】由焦点坐标得到，求解即可.31m --=【详解】根据焦点坐标可知，椭圆焦点在y 轴上，所以有，解得．31m --=4m =-故选：C.3．设z 为任一实数，则点表示的图形是（ ）()2,2,z A ．z 轴B ．与平面xOy 平行的一直线C ．平面xOy D ．与平面xOy 垂直的一直线【答案】D【分析】在空间直角坐标系中画出动点表示的图形后可得正确的选项.()2,2,z 【详解】在空间直角坐标系中画出动点表示的图形如图所示：()2,2,z故点表示的图形为与平面xOy 垂直的一直线，()2,2,z 故选：D.4．若圆与圆有3条公切线，则（ ）221x y +=()()22416x a y -+-==a A ．3B ．3C ．5D ．3或3--【答案】D【分析】根据公切线的条数可判断两圆的位置关系即可求解.【详解】因为两圆有3条公切线,所以两圆的位置关系为外切,则圆心距等于两圆半径之和,,解得或,14=+=3a 3-故选:D.5．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>A ．B ．C ．D ．y =y =y =y =【答案】A【详解】分析：根据离心率得a,c 关系，进而得a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.详解：2222221312,c b c a b e e a a a a -==∴==-=-=∴=因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.b y xa =±y =点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.22221(,0)x y a b a b -=>22220x y b y x ab a -=⇒=±6．如图，在三棱锥S —ABC 中，点E ，F 分别是SA ，BC 的中点，点G 在棱EF 上，且满足，若，，，则（ ）12EG GF =SA a = SB b = SC c = SG = A ．B ．111326a b c -+ 111362a b c -+C ．D ．111632a b c -+ 111366a b c ++ 【答案】D【分析】利用空间向量的加、减运算即可求解.【详解】由题意可得()1133SG SE EG SE EF SE SF SE=+=+=+-()2121133332SE SF SE SB SC =+=+⋅+.()111362113626SA SB S a c C b ++=⋅++=故选：D7．已知平面的法向量为，点在平面内，点到平面的距离为α()2,2,1n =--(),3,0A x α()2,1,4P -α，则（ ）103x =A ．-1B ．-11C ．-1或-11D ．-21【答案】C【分析】根据点到平面距离的向量法公式求解即可.【详解】，而，(2,2,4)PA x =+- 103n d n PA ⋅==，103=解得或－11.=1x -故选：C8．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A 【详解】设，直线的方程为，联立方程11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y D x y E x y 1l 1(1)y k x =-，得，∴，同理直线与抛物214(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩2222111240k x k x x k --+=21122124k x x k --+=-212124k k +=2l 线的交点满足，由抛物线定义可知22342224k x x k ++=12342AB DE x x x x p +=++++=，当且仅当（或）时，取等号.22122222121224244448816k k k k k k ++++=++≥=121k k =-=1-点睛:对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以α22||sin pAB α=2222||πcos sin (+)2p p DE αα==222221||||4(cos sin cos p p AB DE ααα+=+=+.222222222111sin cos )4()(cos sin )4(2)4(22)16sin cos sin cos sin ααααααααα=++=++≥⨯+=二、多选题9．下列命题是真命题的有（ ）A ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么A ，B ，M ，N 共面,,BA BM BNB ．直线l 的方向向量为，直线m 的方向向量为，则l 与m 垂直()1,1,2a =-12,1,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．直线l 的方向向量为，平面α的法向量为，则l ⊥α()0,1,1a =-()1,1,1n =--D ．平面α经过三点是平面α的法向量，则(1,0,1),(0,1,0),(1,2,0),(1,,)A B C n u t --=1u t +=【答案】ABD【分析】由基底的概念以及空间位置关系的向量证明依次判断4个选项即可.【详解】对于A ，若不能构成空间的一个基底，则共面，可得,,BA BM BN ,,BA BM BNA ，B ，M ，N 共面，A 正确；对于B ，，故，可得l 与m 垂直，B 正确；2110a b ⋅=--= a b ⊥ 对于C ，，故，可得l 在α内或，C 错误；0110a n ⋅=-+=a n ⊥ //l α对于D ，，易知，故，故，D 正确.(1,1,1)AB =- n AB ⊥ 10u t -++=1u t +=故选：ABD.10．已知曲线的方程为，下列说法正确的是（ ）C 221y x m n -=A ．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则B ．曲线可能是圆C x 0m n >->C C ．若，则曲线一定是双曲线D ．若为双曲线，则渐近线方程为0mn <CC y =【答案】BD【分析】根据各选项及曲线的特征一一判断即可；【详解】解：因为曲线的方程为，C 221y x m n -=对于A ：曲线为焦点在轴上的椭圆，则，即，故A 错误；C x 221x y n m +=-0n m ->>对于B ：当时曲线表示圆，故B 正确；0m n =->C 对于C ：若，满足，曲线为，表示圆，故C 错误；1m n =-=0mn <C 221x y +=对于D ：若为双曲线，则，221y x m n -=0mn >当时，表示焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，00m n >⎧⎨>⎩221y x m n -=y y =当时，表示焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，故D 正确；00m n <⎧⎨<⎩221x y n m -=--x y =故选：BD11．已知圆和圆的交点为A ，B ，则（ ）221:(1)4O x y -+=222:(1)2O x y +-=A ．两圆的圆心距122O O =B ．直线AB 的方程为10x y -+=C ．圆上存在两点P 和Q 使得2O PQ AB>D ．圆上的点到直线AB 的最大距离为1O 2【答案】BD【分析】求出两圆圆心距，可判断A 选项；将两圆方程作差即得公共弦AB 的方程，可判断B 选项；求出，可判断C 选项；求出圆上的点到直线的最大距离，可判断D 选项.AB1O AB 【详解】对于A ，圆的标准方程为，圆心为，半径为，1O ()2214x y -+=()11,0O 12r =圆的标准方程为，圆心为，半径为2O ()2212x y +-=()20,1O 2r =所以，A 不正确；1O =对于B ，将两圆方程作差可得，2220x y -+-=即得公共弦AB 的方程为，故B 正确；10x y -+=对于C 选项，圆心到直线的距离为，所以1O AB 1d ==AB ==对于圆上的任意两点、，，C 不正确；2O P Q 22PQ r AB≤=对于D 选项，圆心到直线的距离的最大值为D 正确.1O AB 112d r +=故选：BD.12．如图，菱形边长为2，，E 为边AB 的中点.将沿DE 折起，使A 到，ABCD 60BAD ∠=︒ADE A '且平面平面，连接，.则下列结论中正确的是（ ）A DE '⊥BCDE AB 'AC 'A ．B ．四面体的外接球表面积为BD AC '⊥A CDE '8πC ．BC 与所成角的余弦值为D ．直线与平面A D '34A B 'A CD '【答案】BCD【分析】将沿折起，使到，且平面平面，连接，，则，ADE DE A A 'A DE '⊥BCDE A B 'A C 'EB ，两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．ED EA 'E【详解】解：将沿折起，使到，且平面平面，连接，ADE ∆DE A A 'A DE '⊥BCDE A B 'A C '，，两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，EB ∴ED EA 'E 对于，，0，，，，0，， 2，A (1B 0)(0D 0)(0A '1)(C 0)，，(1BD =- 0)(2A C '=1)-，与不垂直，故错误；2310BD A C '⋅=-+=≠BD ∴A C'A 对于，取中点，连接，B CE F DF ，⊥ DE DC 12FE FD FC CE ∴====过作平面，四面体的外接球球心在直线上，F FO ⊥CDE A CDE 'O OF 设，由，得，解得，OFt =OD OA R ='=2277(1)44x x +=+-12x =R ∴==四面体的外接球表面积为：，故正确；∴A CDE'248S R ππ==B 对于，，，C (1BC =0)(0A D '=1)-设与所成角的为，BC A D 'θ则，||3cos 4||||BC A D BC A D θ'⋅='⋅与所成角的余弦值为，故正确；BC ∴A D '34C 对于，，0，，，，D (1A B '= 1)-(2A C '= 1)-(0A D '=1)-设平面的法向量，，，A CD '(n x =y )z 则，取，得，1，200n A C x z n A D z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩'' 1y =(0n = 直线与平面所成角的正弦值为：∴A B 'A CD '，故正确．||sin ||||A B n A B n θ'⋅==='⋅D 故选：．BCD三、填空题13．若为圆的弦的中点，则直线的方程为______．()2,1-()22125x y -+=AB AB 【答案】30x y --=【分析】根据条件可知，利用两直线的位置关系求直线方程.CP AB ⊥【详解】设圆的圆心， ,则，由条件可知，(1,0)C (2,1)P -10121CP k --==--CP AB ⊥则的斜率为1，AB 所以直线的方程为，即.AB (1)2y x --=-30x y --=故答案为：.30x y --=14．已知向量，，，若向量，，共面，则实数的值为()2,0,1a =()0,2,1b =-()2,4,c m =a b cm ______．【答案】1-【分析】根据题意：存在实数使得，再根据坐标运算解方程求解即可.,x y c x a y b →→→=+【详解】因为向量共面，,,a b c →→→所以存在实数使得，即,x y c x a y b →→→=+()()2422,m x y x y =-,,,所以，解得2224x y m x y =⎧⎪=⎨⎪=-⎩121x y m =⎧⎪=⎨⎪=-⎩故答案为:1-15．设、是椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于、两点，则的1F 2F 2216416x y +=1F l A B 22AF BF +最大值为______.【答案】28【分析】根据椭圆的定义，化简得，进而得到22112232AF BF AF BF AF BF AB +++=++=，结合椭圆的焦点弦的性质，即可求解.2232AF BF AB+=-【详解】由题意，椭圆，可得，即，2216416x y +=2264,16a b ==8,4a b ==根据椭圆的定义，可得，121216,16AF AF BF BF +=+=则，22112232AF BF AF BF AF BF AB +++=++=所以，2232AF BF AB+=-当垂直于轴时，取得最小值，此时取得最大值，AB x AB22AF BF +此时，所以的最大值为.2221648b AB a ⨯===22AF BF +32428-=故答案为：.2816．在平面直角坐标系中，已知，为双曲线的左､右焦点，，为C 的左xOy 1F 2F 2222:1x y C a b -=1A 2A ､右顶点，C 的离心率等于2，P 为C 左支上一点，若平分，直线与的斜率分别PO 12A PF ∠1PF 1PA 为，，且，则等于___________.1k 2k ()1210k k k =->1k【分析】根据结合直线与的斜率分别为，的斜率关系，角平分线定理以及双曲线的定1PF 1PA 1k 2k 义，可得，又由离心率得，又在焦点三角形中用余弦定理得直线214,2PF a PF a==2c a =12PF F △倾斜角的余弦值，从而可得直线的斜率的值.1PF 1k 【详解】解：由题意得下图：则，，，，1(,0)F c -2(,0)F c 1(,0)A a -2(,0)A a 双曲线的离心率，所以，则2ce a ==2c a =1224F F c a ==又直线与的斜率分别为，，且，且在第二象限1PF 1PA 1k 2k ()1210k k k =->P 所以，则，1111PF A PA F ∠=∠11PF PA =因为平分，由角平分线定理得：，结合，PO 12A PF ∠1212PA PF A OF O=11PF PA =即可得，所以12PF PF ac =212PF PF =又在双曲线中有，所以212PF PF a-=214,2PF a PF a==则在中，12PF F △222222112212112416161cos 22244PF F F PF a a a PF FPF F F a a +-+-∠===⋅⨯⨯由题意，可得为锐角，10k >12PF F ∠所以12sin PF F ∠=则.1211212sin tan cos PF F k PF F PF F ∠=∠=∠四、解答题17．如图，在边长是2的正方体中，E ，F 分别为AB ，的中点．1111ABCD A B C D -1A C (1)求证： 平面；//EF 1ACD (2)证明：EF 与平面不垂直．11A DC 【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连结，连结，先利用平行四边形证得，再利用线面平行11AD A D G Ç=GF //EF AG的判定定理得到平面；EF 1ACD （2）建立坐标系求出点的坐标，表示出，因为，所以不垂直，则1,EF DC 120EF DC ⋅=≠ EF 1DC EF 与平面不垂直．11A DC 【详解】（1）如图，连结，连结，11AD A D G Ç=GF 因为在正方体中，面是正方形，所以，1111ABCD A B C D -11ADD A 1AG A D ^是的中点，又因为是的中点，所以且，G 1A D F 1A C //GF CD 112GF CD ==因为是的中点，所以，又，所以，E AB 112AE AB ==//AB CD //,GF AE GF AE =所以四边形是平行四边形，故，AEFG //EF AG 又面，面，所以平面；EF ⊄1ACD AG ⊂1ACD //EF 1ACD（2）建立以为坐标原点，，，分别为，，轴的空间直角坐标系如图：D DA DC 1DD x y z则，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，0，(0D 0)(2A 0)(0C 0)(2B 0)1(2A 2)1(0D 2)，分别为，的中点，E F AB 1A C ，1，，，1，，所以(2E ∴0)(1F 1)()=101，，EF -，而，故不垂直，()10,2,2DC =120EF DC ⋅=≠EF 1DC 则EF 与平面不垂直．11A DC18．已知圆C 以为圆心，被直线截得的弦长为()5,560x y +-=(1)求圆C 的方程；(2)若点，点P 为在圆C 上任一点，当最小时，求的值．()()4,0,0,2A B PBA ∠PB【答案】(1)()()225516x y -+-=(2)【分析】（1）求出到圆心距离，结合弦长，可得圆半径.60x y +-=（2）当且仅当PB 与圆相切时，最小.则PBA ∠222PB PC BC+=【详解】（1）直线到圆心，又弦长为60x y +-=()5,5=.故圆C 方程为：.4=()()225516x y -+-=（2）由题可得，当且仅当PB 与圆相切时，最小.PBA ∠则此时，，故PB PC ⊥PB ==19．如图，已知直线，直线，C 是夹在两直线中的动点，过点C 作1:210l x y -+=2:240l x y --=任意直线交于点A ，交于点B ，且都满足．1l 2l 32CA CB =(1)求动点C 的轨迹方程；(2)已知点，是否存在点C ，使得﹖若存在，求出点C 的坐标、若不存在，说明理()4,2P -3PC =由．【答案】(1)220x y --=(2)存在点C ，使得，且或.3PC =81,55C ⎛⎫- ⎪⎝⎭()4,1C 【分析】（1）设，，由题意可得，代入消去可得动()()21,,24,A a a B b b -+(),C x y 23CA BC =,a b 点C 的轨迹方程；（2）设，，解方程即可得出答案.()22,C yy +3PC ==【详解】（1）因为分别在直线和直线上，,A B 1:210l x y -+=2:240l x y --=所以设，()()21,,24,A a a B b b -+设，因为，所以，(),C x y 32CA CB =23CA BC =而，()()21,,24,CA a x a y BC x b y b =---=---所以，即()()()()22132423a x x b a y y b ⎧--=--⎪⎨-=-⎪⎩46510010460a b x y a b +-+=⎧⎨--=⎩消去可得：.,a b 220x y --=所以动点C 的轨迹方程为：.220x y --=（2）由（1）知，在直线上，C 220x y --=可设，而，()22,C y y +()4,2P -则，则，3PC ==25410y y --=解得：或.15y =-1y =当时，，15y =-81,55C ⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，.1y =()4,1C 故存在点C ，使得，且或.3PC =81,55C ⎛⎫- ⎪⎝⎭()4,1C20．三棱柱中已知侧面．111ABC A B C -AB ⊥1111,1,2,60BB CC AB BC BB BCC ===∠=︒(1)求证：平面ABC ；1BC ⊥(2)E 是棱上的一点，若平面与平面的夹角为，求CE 的长．1CC 1AB E 1BB E 30︒【答案】(1)证明见解析；(2)2.【分析】（1）由侧面，可得，在中利用余弦定理可得，然后AB ⊥11BB CC 1AB BC ⊥1CBC △1C B =利用勾股定理的逆定理可得，再由线面垂直的判定定理可证得结论；1C B BC⊥（2）由（1）可知两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴1,,AB BC BC B 1,,BC BA BC ,,x y z 建立空间直角坐标系，令，然后分别表示出平面和的法向量，再1(01)CE CC λλ=≤≤1AB E 11BB CC 由已知条件列方程可求得结果.【详解】（1）证明：因为侧面，平面，AB ⊥11BB CC 1BC ⊂11BB CC 所以，1AB BC ⊥在中，，1CBC △1111,2,60BC CC BB BCC ===∠=︒则由余弦定理得22211112cos C B BC C C BC C C BCC =+-⋅∠，2211221232=+-⨯⨯⨯=所以，1C B =所以，222221114C B BC C C +=+==所以，1C B BC ⊥因为，平面，BC AB B = ,BC AB ⊂ABC 所以平面；1C B ⊥ABC （2）解：由（1）可知两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为1,,AB BC BC B 1,,BC BA BC 轴建立空间直角坐标系，则,,x y z，11(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(B A C C B -所以，11((1,(1,1,0)CC AB AC =-=--=-令，则，1(01)CE CC λλ=≤≤()CE λ=- 所以，(1,)AE AC CE λ=+=--设平面的法向量为，1AB E (,,)n x y z =，1(1)00n AE x y z n AB x y λ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ 令，z =333,22x y λλλ-==--所以，333,22n λλλ-⎛= --⎝ 因为侧面，AB ⊥11BB CC 所以是平面的一个法向量，(0,1,0)BA =11BB CC 因为平面与平面的夹角为，1AB E 1BB E 30︒所以cos ,cos30BA n =︒=化简得，解得或（舍去），22530λλ-+=1λ=32λ=所以.12CE CC ==21．已知抛物线的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，B 在x()2:20C y px p =>轴的上方，且点B 到F 的距离为5，且B 的纵坐标为．2p(1)求抛物线C 的标准方程与点B 的坐标；(2)设点M 为抛物线C 上异于A ，B 的点，直线MA 与MB 分别交抛物线C 的准线于E ，G 两点，x 轴与准线的交点为H ，求证：为定值，并求出定值．HG HE⋅【答案】(1)，24y x =()4,4B (2)定值为4，证明见解析【分析】（1）由抛物线的焦半径公式可得，代入抛物线方程解得即可；5,22p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭p （2）由（1）直线l 的方程：，联立抛物线方程可得，再设点，()413y x =-114A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，24n M n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得直线MA 方程，进而可得，同理，即可得定值.41n HE n +=--444n HG n -=+【详解】（1）由题意得：，因为点B 到F 的距离为5，且B 在x 轴的上方，且B 的纵坐,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭标为所以，故，即，因为得，2p 5,22p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭24252p p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()20p p -=0p >2p =故抛物线C 的方程为：，此时.24y x =()4,4B （2）由（1）得：，线方程，()4,4B ()1,0F 1x =-直线l 的方程：，()413y x =-由，解得或，于是得．()24134y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩14x =4x =114A ⎛⎫- ⎪⎝⎭设点，又题意且，24n M n ⎛⎫ ⎪⎝⎭1n ≠4n ≠-所以直线MA ：，即，令，得，即21111444n y x n ⎛⎫⎪+⎛⎫+=⨯- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭41114y x n ⎛⎫+=- ⎪-⎝⎭=1x -41n y n +=--.41n HE n +=--同理直线MB ：，即，()244444n y x n --=--()4444y x n -=-+令，得，=1x -444n y n -=+即，444n HG n -=+故．444414n n HG HE n n +-⋅=-⨯=-+22．如图，椭圆的下顶点为C ，右顶点为D，且()222210x y a b a b +=>>CD =，过F 且斜率为的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，交y 轴于点P ，M 为线段AB()2,0F -()0k k >的中点，直线OM 交CD 于点N ，过点P 作交x 轴于点E ．PE MN ⊥(1)求椭圆的方程和直线CD的斜率；(2)当时，求的值．MAEOMON【答案】(1)221 84x y+=【分析】（1）由题意可得，可求出，即可得椭圆的方程，即可求CD==2c=,,a b c出直线CD的斜率；（2）设，，直线的方程为，联立直线的方程和椭圆的方程，()11,A x y()22,B x y AB()2y k x=+AB结合韦达定理可求出的坐标，表示出直线的方程，可求出，再进一步表示出M PE()1,0E-的面积可求出，可求出点的坐标，即可得出的值.MAEkNOMON【详解】（1）由题意可得：()()0,,,0,C bD a CD-==，又因为，2c=2224a b c-==解得：，所以椭圆的方程为：.2a b==22184x y+=则.()()0,2,,C D-CDk==故直线CD（2）设，，因为直线l过F且斜率为，()11,A x y()22,B x y()0k k>设，()2y k x=+由得，()222184y k xx y⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，()2222128880k x k x k+++-=所以，，2122821kx xk-+=+21228821kx xk-=+因为M 为线段AB 的中点，所以，，22421M k x k -=+22242202121M k k y k k k ⎛⎫-=+=> ⎪++⎝⎭所以，又因为，12M OM M y k x k ==-1PE OM k k ⋅=-所以，因为在直线上，2PE k k =P ()2y k x =+令，所以，所以直线的方程为：，0,2x y k ==()0,2P k PE 22y kx k =+令，所以，0,1y x ==-()1,0E -2AB x =-==所以12AM AB==到直线的距离为：，E AB d所以的面积为：，MAE12==化简得：，则，解得：即424430k k +-=()()2221230k k -+=212k=k =所以，则直线的方程为：，M ⎛- ⎝MNy x =而则.()()0,2,,CD -CD k==所以直线的方程为：，CDy x =-联立直线的方程与的方程可得：，MN CD )1N-所以.=OM ON。
2023-2024学年广东省广州市八区高二下学期期末教学质量检测数学试卷
2023-2024学年广东省广州市八区高二下学期期末教学质量检测数学试卷1.在等差数列中，为其前项和，若，，则（）A．7B．8C．9D．122.已知随机变量服从正态分布，且，则等于（）A．0.1B．0.2C．0.3D．0.43.已知函数，则单调递增区间是（）A．B．C．D．4.五一假期期间，某单位安排5人值5天班，每人值班一天，要求甲不值第一天，乙不值第五天，则不同安排方法的种数有（）A．42B．72C．78D．965.有（）个不同的正因数A．8B．10C．12D．156.某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据如表所示：34562.534 4.5根据表中数据得出关于的线性回归方程为，若生产7吨产品，预计相应的生产能耗为（）A．5.15吨B．5.25吨C．5.5吨D．9.5吨7.下列四个不等式①，②，③，④中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．48.有一个游戏，规则如下：如图，在圆上有，，，，，，，共八个点，一枚棋子起始位置在点处，抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为.则棋子前进步，每步从一个点按顺时针方向前进到相邻的另一个点，可以循环进行，抛掷三次骰子后，游戏结束.若此时棋子在点处，则游戏过关.试问游戏结束时过关的概率为（）A．B．C．D．9.设离散型随机变量的分布列如下表，若离散型随机变量满足.则下列结论正确的是（）01230.20.10.2A．B．C．D．10.如图，正方形的边长为，取正方形各边的中点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，，，，作第3个正方形的，依此方法一直继续下去.设第个正方形面积为，则下列结论正确的是（）A．B．C．前6个正方形面积和为D．如果这个作图过程可以一直继续下去，那么这些正方形的面积之和将趋近11.有3台车床加工同一型号的零件.第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的，，.则下列结论正确的是（）A．任取一个零件，它是第1台车床加工的次品的概率为B．任取一个零件，它是次品的概率为C．如果取到的零件是次品，它是第2台车床加工的概率为D．如果取到的零件不是第3台车床加工的，它是次品的概率为12.若数列满足，，则_____________.13.在展开式中，含项的系数是_____________.（用数字作答）14.已知函数只有1个零点，则的取值范围是_____________.15.函数，.(1)若函数的图象在点处的切线与直线垂直，求切线的方程；(2)若，，求的取值范围.16.某校“足球社团”为了解学生对足球的喜欢是否与性别有关，现采用问卷调查，得到如下列联表：性别足球合计喜欢不喜欢男生302050女生102030合计404080(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生性别与喜欢足球有关联？(2)现从喜欢足球的学生中按性别比例进行分层抽样，抽取8人组成志愿服务队.再从志愿服务队中抽取3人进行宣传报导活动，记抽到3人中的男生人数为，求随机变量的分布列和期望.附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.841 6.6357.87910.82817.数列的首项，.(1)证明是等差数列，并求的通项公式；(2)设，①当数列的项取得最大值时，求的值；②求数列的前项和.18.3名同学去听同时举行的，，课外知识讲座，每名同学只能随机选择听其中1个讲座（每个讲座被选择是等可能的）.(1)记选择课外知识讲座的人数为随机变量，求的分布列与数学期望；(2)对于两个不相互独立的事件，，若，，称为事件，的相关系数.①已知，证明；②记事件“课外知识讲座有同学选择”，事件“至少有两个课外知识讲座有同学选择”，判断事件，是否独立，若独立，说明理由；若不独立，求.19.已知函数.(1)讨论的单调性；(2)当时，求证：.。
广东省广州市白云中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题
广东省广州市白云中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知直线l 过点()1,0A ，(B ，则直线l 的倾斜角为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．已知平面α的一个法向量(2,2,1)n =--，点(1,3,0)A --在平面α内；若点(,0,2)B m m -在平面α内，则m 的值为（）A ．2-B ．0C ．1D ．23．对于任意空间向量a，b，c，下列说法正确的是（）．A ．若a b ⊥ ，b c ⊥，则a c⊥ B ．()a b c a b a c⋅+=⋅+⋅ C ．若0a b ⋅<，则a ，b 的夹角是钝角D ．()()a b c a b c⋅=⋅ 4．“3a =”是“直线111:22a l y x -=-与直线231:l y x a a=-+平行”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在正三棱柱111ABC A B C -中，12,3AB BB ==，则1AB AC ⋅=（）A ．1B ．2C ．3D ．46．向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件A 表示两次点数之和小于8，事件B 表示两次点数之和既能被2整除又能被3整除，则事件A B ⋂用样本点表示为（）A ．()()()()(){1,5,2,4,3,3,4,2,5,1}B ．()()()(){1,5,2,4,4,2,5,1}C ．()()(){1,5,2,4,3,3}D ．()(){1,5,2,4}7．已知二面角l αβ--的棱l 上有A ，B 两点，直线BD ，AC 分别在平面,αβ内，且它们都垂直于l ．若5,3,6,AB AC BD CD ====AC 与BD 所成角为（）A ．30°B ．60°C ．120︒D ．135︒8．甲､乙､丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：（1）累计负两场者被淘汰；（2）比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；（3）每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；（4）当一人被淘汰后，剩余两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签甲､乙首先比赛，丙首轮轮空，设每场比赛双方获胜概率都为12，则丙最终获胜的概率为（）A ．516B ．716C ．12D ．38二、多选题9．已知事件,A B 发生的概率分别为()()11,23P A P B ==，则下列说法正确的是（）A ．若A 与B 互斥，则()23P A B +=B ．若A 与B 相互独立，则()23P A B +=C ．若()13P AB =，则A 与B 相互独立D ．若B 发生时A 一定发生，则()16P AB =10．以下命题正确的是（）A ．已知空间向量(1,0,1)a = ，(2,1,2)b =- ，则向量a在向量b 上的投影向量的坐标是848,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．若A ，B ，C 三点不共线，对于空间任意一点O ，若212555OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面C ．已知(1,1,2)a =- ，(0,2,3)b = ，若ka b + 与2a b -垂直，则34k =-D ．已知ABC V 的顶点坐标分别为(1,1,2)A -，(4,1,4)B ，(3,2,2)C -，则AC 边上的高BD11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为面11A ABB 的中心，E 、F 分别为BC 和11D C 的中点，则（）A ．1//B D 平面1A EFB ．若G 为1B B 上的动点，则1AG GC +的最小值为C ．点O 到直线1A E 的距离为26D ．平面1ACD 与平面1A EF 相交三、填空题12．某个制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有500名志愿者服用此药，结果如下体重变化体重减轻体重不变体重增加人数27614480如果另有一人服用此药，估计其体重减轻的概率为;13．已知两点()0,4A ，()2,2B -，直线1l 为线段AB 的垂直平分线，则直线1l 的方程为；直线1l 与坐标轴所围成的三角形的面积为14．在空间直角坐标系中，()()()0000u x x v y y w z z -+-+-=表示经过点()000,,x y z ，且法向量为(),,u v w 的平面的方程，则点()1,1,3P 到平面()()()121220x y z --++-=的距离为.四、解答题15．甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.(1)写出甲、乙抽到牌的所有情况；(2)设事件A =“乙抽到的牌的数字比3大”，求A 的概率.(3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？16．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是1CC 的中点.(1)求证：1AC是平面1BDC 的一个法向量；(2)求点1A 到平面1BDC 的距离；(3)求1A B 与平面BDE 所成角的大小.17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱AP 的长为2，且AP 与AB AD 、的夹角都等于60,M在棱PD 上，13PM PD = ，设AB a =，,AD b AP c == .(1)试用,,a b c 表示向量BM；(2)求BM 与AP的夹角.18．A ，B ，C 三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立.已知A 闯关成功的概率是23，A ，B ，C 三人闯关都成功的概率是16，A ，B ，C 三人闯关都不成功的概率是112.(1)求B ，C 两人各自闯关成功的概率；(2)求A ，B ，C 三人中恰有两人闯关成功的概率.19．如图所示：多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，四边形ABEF 为直角梯形，且//AF BE ，AF ⊥平面ABCD ，22AB BE AF ===．(2)若直线DA与平面ACF所成的角为60︒，求平面ACF与平面CEF所成角的正弦值．。
2022-2023学年广东省广州市越秀区高二(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年广东省广州市越秀区高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 6＝12，S 6＝42，则{a n }的公差为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．已知f （x ）＝x 3+x 2，则f （x ）的单调递减区间是（ ） A ．(−∞，−23) B ．(−23，0)C ．（0，+∞）D ．(−∞，−23)和（0，+∞）3．设函数f （x ）在R 上可导，其导函数为f '（x ），且函数f （x ）在x ＝﹣2处取得极大值，则函数y ＝xf '（x ）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．随着广州的城市生态环境越来越好，越来越多的家庭选择市区景点轻松度周末．现有两个家庭，他们分别从“南沙海滨公园”、“白云山”、“海珠湿地公园”、“大夫山森林公园”、“火炉山森林公园”这5个户外景点中随机选择1个景点度周末．记事件A 为“两个家庭中至少有一个家庭选择白云山”，事件B 为“两个家庭选择的景点不同”，则P （B |A ）＝（ ） A ．23B ．78C ．89D ．9105．某区进行高二数学期末调研测试，数学测试成绩X ～N （78，9），如果按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩由高到低分为A ，B ，C ，D 四个等级，则A 等级的分数线应该是（ ） 参考数据：若X ～N （μ，σ2），则P （|X ﹣μ|≤σ）≈0.68，P （|X ﹣μ|≤2σ）≈0.96． A ．69B ．81C ．87D ．966．某外贸工厂今年的月份x 与订单y （单位：万元）的几组对应数据如下：变量x ，y 具有线性相关关系，其经验回归方程为：y =b x +a ，则估计10月份该厂的订单数为（ ）参考数据：∑ 5i=1y i =175，∑x i y i 5i=1=608，∑ 5i=1x i 2=55参考公式：b =∑(x i −x)(y i −y)ni=1∑ n i=1(x i −x)2=∑x i y i−nxyni=1∑x i 2−nx2ni=1A ．93.1B ．89.9C ．83.1D ．59.97．下列说法正确的是（ ）A ．在进行回归分析时，残差平方和越大，决定系数R 2越大B ．随机变量X 的方差为2，则D （2X +1）＝5C ．随机变量ξ～B （n ，p ），若E （ξ）＝30，D （ξ）＝20，则n ＝45D ．安排4名飞行员同时到3所不同的学校作报告，每所学校至少安排一名飞行员，则不同的安排方法有36种8．已知f （x ）＝2lnx ﹣x ，g(x)=−12tx 2+2tx ，t ∈R ，则下列说法正确的是（ ） A ．当t ＜ln 2﹣1时，函数f （x ）的图象和函数g （x ）的图象有两个公共点 B ．当ln 2﹣1＜t ＜0时，函数f （x ）的图象和函数g （x ）的图象只有一个公共点C ．当t ≤−12或t ≥0时，函数f （x ）的图象和函数g （x ）的图象没有公共点D ．当−12＜t ＜ln2−1时，函数f （x ）的图象和函数g （x ）的图象只有一个公共点二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列关于(1−√x)10的说法，正确的是（ ） A ．展开式的各二项式系数之和是1024 B ．展开式各项系数之和是1024 C ．展开式的第5项的二项式系数最大 D ．展开式的第3项为45x10．设数列{a n }满足a 1＝﹣1，a n+1=a n2+5a n（n ∈N *），则（ ） A ．{1a n+5}为等比数列 B ．{a n }的通项公式为a n =12n+1−5C ．{a n }为递减数列D ．{1a n}的前n 项和T n =2n+2−5n −411．费马原理是几何光学中的一条重要原理，可以推导出双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知F 1、F 2分别是以y =±34x 为渐近线且过点A(4√2，3)的双曲线C 的左、右焦点，在双曲线C 右支上一点P （x 0，y 0）（x 0＞4，y 0＞0）处的切线l 交x 轴于点Q ，则（ ）A ．双曲线C 的离心率为√74B ．双曲线C 的方程为x 216−y 29=1C ．过点F 1作F 1K ⊥PQ ，垂足为K ，则|OK |＝8D ．点Q 的坐标为(16x 0，0)12．已知函数f （x ）＝x （1﹣lnx ），下列选项正确的是（ ） A ．f （x ）有最大值 B ．f(3e )＜f(1e )C ．若x ≥e 时，f （x ）﹣a （e ﹣x ）≤0恒成立，则a ≤1D ．设x 1，x 2为两个不相等的正数，且lnx 1x 1−lnx 2x 2=1x 2−1x 1，则1x 1+1x 2＞2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（x +y ）（x ﹣y ）5的展开式中x 2y 4的系数是 （用数字作答）．14．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误的接收为1或0．已知发送信号0时，接收到0和1的概率分别为0.9和0.1；发送给信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05．假设发送信号0和1是等可能的，则接收的信号为1的概率是 ；若已知接收的信号为1，则发送的信号是1的概率是 ． 15．已知函数f （x ）在R 上满足2f(x)=f(2−x)+x 2+4x −4−sinπxπ，则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程是 ．16．已知数列{a n }满足2n a 1+2n−1a 2+⋯+22a n−1+2a n =2n −n 2−1，若c n =1√a +a ，则数列{c n }的前n 项和T n ＝ ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2﹣b 2+c 2＝4，sinB =√24． （1）求△ABC 的面积； （2）若sinAsinC =√147，求b ．18．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n+1={2a n ，n 为奇数，3a n ，n 为偶数.．（1）记b n ＝a 2n ，证明数列{b n }为等比数列，并求数列{b n }的通项公式； （2）求{a n }的前2n 项和T 2n ．19．（12分）为了有针对性提高学生体育锻炼的积极性，某校需了解性别因素对本校学生体育锻炼的经常性是否有影响，调查团队对学校内的学生进行简单随机抽样调查，得到如下列联表：（1）根据以上调查结果，采用样本量比例分配的分层随机抽样，在经常进行体育锻炼的学生中抽取8人，再从这8人中随机选取4人访谈，记参与访谈的女生人数为X ，求X 的分布列和数学期望； （2）依据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析体育锻炼的经常性是否与性别有关．参考公式和数据如下：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d20．（12分）如图，矩形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，AB ＝2，M 是CD ̂上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMC ⊥平面AMD ； （2）当三棱锥M ﹣ABC 的最大体积为√33时，求直线DM 与平面MAB 所成角的余弦值．21．（12分）随着社会快速发展，学生的成长环境也不断发生变化，学生的心理健康越来越受到全社会的关注．某高校为了了解学生的心理健康情况，在全校大学生中开展了心理健康测试，随机抽取了50名学生的测试成绩，按照[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分组，得到如下所示的样本频率分布直方图：（1）用样本的频率估计概率，从该高校所有学生中随机抽取2名学生的成绩，记成绩在[80，100]的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；（2）为了促进在校大学生的心理健康，该校开设了心理健康教育课程，课程中有一项传彩球的活动，甲乙丙三人传彩球，第一次由甲将彩球传出，每次传出时传球者都等可能地将彩球传给另外两个人中的任何一人．①求第二次传球后彩球在乙手上的概率；②记第i 次传球后彩球在乙手上的概率为p i ，求p i ．22．（12分）已知函数f(x)=x +e xa，g （x ）＝sin x ，其中a 为实数，e 是自然对数的底数． （1）若a ＝﹣1时，证明：∀x 1，x 2∈R ，f （x 1）≤g （x 2）；（2）若h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）在（0，π）上有唯一的极值点，求实数a 的取值范围．2022-2023学年广东省广州市越秀区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a6＝12，S6＝42，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．4解：由题意可知：S6=6(a1+a6)2=3(a1+12)=42，解得a1＝2，所以{a n}的公差d=a6−a16−1=2．故选：B．2．已知f（x）＝x3+x2，则f（x）的单调递减区间是（）A．(−∞，−23)B．(−23，0)C．（0，+∞）D．(−∞，−23)和（0，+∞）解：∵f（x）＝x3+x2，∴f′（x）＝3x2+2x＝x（3x+2），令f′（x）＜0，解得：−23＜x＜0，故f（x）的递减区间是（−23，0）．故选：B．3．设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），且函数f（x）在x＝﹣2处取得极大值，则函数y＝xf'（x）的图象可能是（）A．B．C．D．解：∵函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x＝﹣2处取得极大值，∴当x ＞﹣2时，f ′（x ）＜0； 当x ＝﹣2时，f ′（x ）＝0； 当x ＜﹣2时，f ′（x ）＞0．∴当0＞x ＞﹣2时，xf ′（x ）＞0；x ＞0时，xf ′（x ）＜0； 当x ＝﹣2时，xf ′（x ）＝0； 当x ＜﹣2时，xf ′（x ）＜0． 故选：D ．4．随着广州的城市生态环境越来越好，越来越多的家庭选择市区景点轻松度周末．现有两个家庭，他们分别从“南沙海滨公园”、“白云山”、“海珠湿地公园”、“大夫山森林公园”、“火炉山森林公园”这5个户外景点中随机选择1个景点度周末．记事件A 为“两个家庭中至少有一个家庭选择白云山”，事件B 为“两个家庭选择的景点不同”，则P （B |A ）＝（ ） A ．23B ．78C ．89D ．910解：根据题意，现有两个家庭，他们分别从这5个户外景点中随机选择1个景点度周末，有5×5＝25种选择方法，若两个家庭中至少有一个家庭选择白云山，则有25﹣16＝9种选法，则P （A ）=925， 若两个家庭选择的景点不同且至少有一个家庭选择白云山，有C 21C 41=8种选法，则P （AB ）=825，故P （B |A ）=P(AB)P(A)=825925=89．故选：C ．5．某区进行高二数学期末调研测试，数学测试成绩X ～N （78，9），如果按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩由高到低分为A ，B ，C ，D 四个等级，则A 等级的分数线应该是（ ） 参考数据：若X ～N （μ，σ2），则P （|X ﹣μ|≤σ）≈0.68，P （|X ﹣μ|≤2σ）≈0.96． A ．69B ．81C ．87D ．96解：数学测试成绩X ～N （78，9）， 则μ＝78，σ=√9=3， 故P （X ＞μ+σ）=1−P(|X−μ|≤σ)2≈0.16， 故A 等级的分数线应该是μ+σ＝78+3＝81． 故选：B ．6．某外贸工厂今年的月份x 与订单y （单位：万元）的几组对应数据如下：变量x ，y 具有线性相关关系，其经验回归方程为：y =b x +a ，则估计10月份该厂的订单数为（ ）参考数据：∑ 5i=1y i =175，∑x i y i 5i=1=608，∑ 5i=1x i 2=55参考公式：b =∑(x i −x)(y i −y)ni=1∑ n i=1(x i −x)2=∑x i y i−nxyni=1∑x i 2−nx2ni=1A ．93.1B ．89.9C ．83.1D ．59.9解：x =1+2+3+4+55=3，y =15∑ 5i=1y i=175＝35，∑x i y i 5i=1=608，∑ 5i=1x i 2=55，∴b =∑ 5i=1x i y i −5xy ∑ 5i=1x i2−5x2=608−5×3×3555−5×32=8310=8.3， a =y −b x =35−8.3×3=10.1．∴y 关于x 的线性回归方程为y =8.3x +10.1， 取x ＝10，可得y =8.3×10+10.1=93.1． 故选：A ．7．下列说法正确的是（ ）A ．在进行回归分析时，残差平方和越大，决定系数R 2越大B ．随机变量X 的方差为2，则D （2X +1）＝5C ．随机变量ξ～B （n ，p ），若E （ξ）＝30，D （ξ）＝20，则n ＝45D ．安排4名飞行员同时到3所不同的学校作报告，每所学校至少安排一名飞行员，则不同的安排方法有36种解：对于选项A ：因为残差平方和越大，决定系数R 2越小，故A 错误； 对于选项B ：因为D （2X +1）＝4D （X ）＝8，故B 错误；对于选项C ：因为{E(ξ)=np =30D(ξ)=np(1−p)=20，解得{n =90p =13，故C 错误； 对于选项D ：可知必有一个学校安排了两名飞行员，先分组有C 42=6种不同安排方法，再分配到3个学校有A 33=6种不同安排方法， 共有6×6＝36种不同安排方法，故D 正确．故选：D．8．已知f（x）＝2lnx﹣x，g(x)=−12tx2+2tx，t∈R，则下列说法正确的是（）A．当t＜ln2﹣1时，函数f（x）的图象和函数g（x）的图象有两个公共点B．当ln2﹣1＜t＜0时，函数f（x）的图象和函数g（x）的图象只有一个公共点C．当t≤−12或t≥0时，函数f（x）的图象和函数g（x）的图象没有公共点D．当−12＜t＜ln2−1时，函数f（x）的图象和函数g（x）的图象只有一个公共点解：已知f（x）＝2lnx﹣x，g(x)=−12tx2+2tx，t∈R，不妨设h（x）＝f（x）﹣g（x）＝2lnx﹣x+12tx2+2tx，函数定义域为（0，+∞），要求函数f（x）的图象和函数g（x）的图象的公共点的个数，即求函数h（x）的零点个数，可得ℎ′(x)=2x−1+tx−2t=(x−2)(t−1x)，若t＜0，当0＜x＜2时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；当x＞2时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，所以当x＝2时，函数h（x）取得极大值也是最大值，最大值h（2）＝2（ln2﹣1）﹣2t，易知f′(x)=2x−1，当0＜x＜2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以当x＝2时，函数f（x）取得极大值也是最大值，最大值f（2）＝2ln2﹣2＜0，则当x＞2时，h（x）＜12tx2−2tx，不妨设k（x）=12tx2−2tx，可得k′（x）＝tx﹣2t＝t（x﹣2），当t＜0，x＞2时，函数k（x）=12tx2−2tx单调递减，此时k（x）＜k（2）＝﹣2t，所以当t＜0，x＞2时，函数h（x）的值域为（﹣∞，2（ln2﹣1）﹣2t），当t＜0，0＜x＜2时，易知函数m（x）=12tx2+2tx﹣x是开口向下的二次函数，所以当0＜x＜2时，m（x）＞min{m（0）m（2）}，则函数y＝2lnx在0＜x＜2上的值域为（﹣∞，2ln2），此时当t＜0，0＜x＜2时，函数h（x）的值域为（﹣∞，2（ln2﹣1）﹣2t），综上，当t＜0时，函数h（x）的值域为（﹣∞，2（ln2﹣1）﹣2t]，当2（ln2﹣1）﹣2t＞0，即t＜ln2﹣1时，函数h（x）有两个零点，故选项A正确；因为ln2＞ln√e=1 2，所以ln2﹣1＞−1 2，易知当t≤−12或−12＜t＜ln2﹣1时，函数h（x）有两个零点，故选项C、D错误；当ln2﹣1＜t＜0时，2（ln2﹣1）﹣2t＜0此时函数h（x）无零点，故选项B错误．故选：A．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列关于(1−√x)10的说法，正确的是（）A．展开式的各二项式系数之和是1024B．展开式各项系数之和是1024C．展开式的第5项的二项式系数最大D．展开式的第3项为45x解：对于(1−√x)10，它的展开式的各二项式系数之和是210＝1024，故A正确．令x＝1，可得展开式各项系数之和是（1﹣1）10＝0，故B错误．根据二项式系数C10r的性质，可得当r＝5时，二项式系数C10r最大，即第六项的二项式系数最大，故C正确．展开式的第三项为T3=C102•(−√x)2=45x，故D正确．故选：AD．10．设数列{a n}满足a1＝﹣1，a n+1=a n2+5a n（n∈N*），则（）A．{1a n +5}为等比数列B．{a n}的通项公式为a n=12n+1−5C ．{a n }为递减数列D ．{1a n}的前n 项和T n =2n+2−5n −4解：对于A ，由题意可得1a n+1=2a n+5，即1a n+1+5=2(1a n+5)，所以{1a n+5}是以1a 1+5为首项，以2为公比的等比数列，A 正确； 对于B ，由于1a 1+5=−1+5＝4，所以1a n+5=4×2n ﹣1＝2n +1，所以a n =12n+1−5，B 正确；对于C ，由于a 1＝﹣1＜0，a 2=123−5=13＞0＞a 1，所以{a n }不是递减数列，C 错误； 对于D ，由上可知1a n=2n+1−5，所以T n =4(1−2n)1−2−5n =2n +2﹣5n ﹣4，D 正确．故选：ABD ．11．费马原理是几何光学中的一条重要原理，可以推导出双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知F 1、F 2分别是以y =±34x 为渐近线且过点A(4√2，3)的双曲线C 的左、右焦点，在双曲线C 右支上一点P （x 0，y 0）（x 0＞4，y 0＞0）处的切线l 交x 轴于点Q ，则（ ） A ．双曲线C 的离心率为√74B ．双曲线C 的方程为x 216−y 29=1C ．过点F 1作F 1K ⊥PQ ，垂足为K ，则|OK |＝8D ．点Q 的坐标为(16x 0，0)解：对于A ，设双曲线方程为x 2a 2−y 2b 2=1，由题意知a ＝4，b ＝3，所以双曲线方程为x 216−y 29=1，由于c =√16+9=5，所以e =ca =54，A 错误； 对于B ，由上可知B 正确；对于C ，当P 点横坐标趋于无穷大时，其切线近似为渐近线，不妨设其切线为y =34x ，则直线F 1K 为y =−43（x +5），联立二式解得x =−165，y =−125，此时|OK |=√(165)2+(125)2=4，C 错误； 对于D ，将x 216−y 29=1变形为9x 2﹣16y 2＝144，左右同时对x 求导得18x ﹣32yy ′＝0，当x 0＞4，y 0＞0，y ′=9x16y =9x16√9(x 216−1)=34x√x 2−16，所以P 点切线方程为y −34√x 02−16=340√x 0−16（x ﹣x 0），令y ＝0，解得x =16x 0，D 正确． 故选：BD ．12．已知函数f （x ）＝x （1﹣lnx ），下列选项正确的是（ ） A ．f （x ）有最大值 B ．f(3e )＜f(1e )C ．若x ≥e 时，f （x ）﹣a （e ﹣x ）≤0恒成立，则a ≤1D ．设x 1，x 2为两个不相等的正数，且lnx 1x 1−lnx 2x 2=1x 2−1x 1，则1x 1+1x 2＞2解：对于选项A ：已知f （x ）＝x （1﹣lnx ），函数定义域为（0，+∞）， 可得f ′（x ）＝1﹣lnx ﹣1＝﹣lnx ，当0＜x ＜1时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增； 当x ＞1时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，所以当x ＝1时，函数f （x ）取得极大值也是最大值，最大值f （1）＝1，故选项A 正确； 对于选项B ：因为f(3e)=3e(1−ln 3e)=3(2−ln3)e ，f(1e )=1e (1−ln 1e )=2e， 所以f(3e )−f(1e )=3(2−ln3)e −2e =4−3ln3e=1e ln e 427＞0， 则f(3e )＞f(1e )，故选项B 错误；对于选项C ：不妨设g （x ）＝f （x ）﹣a （e ﹣x ），函数定义域为[e ，+∞）， 可得g ′（x ）＝﹣lnx +a ， 因为g （e ）＝0，若x ≥e 时，f （x ）﹣a （e ﹣x ）≤0恒成立， 可得当x ≥e 时，g （x ）≤0恒成立， 此时F ′（e ）＝﹣1+a ≤0， 解得a ≤1， 若a ≤1，此时g '（x ）＝﹣lnx +a ≤0恒成立， 所以g （x ）在[e ，+∞）上单调递减， 则g （x ）≤g （e ）＝0，符合题意，综上，满足条件的a 的取值范围为（﹣∞，1]，故选项C 正确；对于选项D ：因为x 1，x 2为两个不相等的正数，且lnx 1x 1−lnx 2x 2=1x 2−1x 1，所以1x 1(1−ln1x 1)=1x 2(1−ln1x 2)，即f(1x 1)=f(1x 2)，因为函数f （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， 当x →0时，f （x ）→0， 当0＜x ＜e 时，f （x ）＞0， 不妨设0＜1x 1＜1＜1x 2＜e ，不妨设h （x ）＝f （1+x ）﹣f （1﹣x ），函数定义域为（0，1），可得h ′（x ）＝f ′（1+x ）+f ′（1﹣x ）＝﹣ln （1+x ）﹣ln （1﹣x ）＝﹣ln （1﹣x 2）＞0恒成立， 所以函数h （x ）在（0，1）上单调递增， 此时g （x ）＞g （0）＝0，所以当0＜x ＜1时，f （1+x ）＞f （1﹣x ）， 即当0＜x ＜1时，f （2﹣x ）＞f （x ）， 整理得f(1x 2)=f(1x 1)＜f （2−1x 1），因为函数f （x ）在（1，+∞）上单调递增，且1＜2−1x 1＜2，1＜1x 2＜e ，所以1x 2＞2−1x 1，即1x 1+1x 2＞2，故选项D 正确．故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（x +y ）（x ﹣y ）5的展开式中x 2y 4的系数是 ﹣5 （用数字作答）．解：（x ﹣y ）5展开式的通项为T k+1=C 5k x 5−k (−y)k =(−1)k C 5k x 5−k y k ，令5﹣k ＝2，则k ＝3，令5﹣k ＝1，则k ＝4，所以（x +y ）（x ﹣y ）5的展开式中x 2y 4的系数是(−1)3C 53+(−1)4C 54=−10+5=−5．故答案为：﹣5．14．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误的接收为1或0．已知发送信号0时，接收到0和1的概率分别为0.9和0.1；发送给信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05．假设发送信号0和1是等可能的，则接收的信号为1的概率是0.525 ；若已知接收的信号为1，则发送的信号是1的概率是 1921．解：设事件A 表示“接收的信号为1”， 则P （A ）=12×0.1+12×0.95=0.525， 设事件B 表示“发送的信号是1”， 则P （AB ）=12×0.95=0.475， 所以P （B |A ）=P(AB)P(A)=0.4750.525=1921，即已知接收的信号为1，则发送的信号是1的概率为1921．故答案为：0.525；1921．15．已知函数f （x ）在R 上满足2f(x)=f(2−x)+x 2+4x −4−sinπxπ，则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程是 7x ﹣3y ﹣4＝0 ． 解：由2f(x)=f(2−x)+x 2+4x −4−sinπxπ，① 以2﹣x 替换x ，可得2f （2﹣x ）＝f （x ）+(2−x)2+4(2−x)−4−sin(2π−πx)π， 即2f （2﹣x ）＝f （x ）+x 2−8x +8+sinπxπ，② 联立①②解得：f （x ）=x 2−sinπx3π．∴f ′（x ）＝2x −13cosπx ，则f （1）＝1，f ′（1）=73，则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程是y =73(x −1)+1， 即7x ﹣3y ﹣4＝0． 故答案为：7x ﹣3y ﹣4＝0．16．已知数列{a n }满足2n a 1+2n−1a 2+⋯+22a n−1+2a n =2n −n 2−1，若c n =1√a +a ，则数列{c n }的前n 项和T n ＝ 2（√n +1−1） ．解：由题意得2n a 1+2n ﹣1a 2+…+23a n ﹣1+22a n +2a n +1＝2n +1−n+12−1，与原式作差可得2a n +1+2n −n 2−1=（2n +1−n+12−1）﹣（2n −n2−1）， 化简得a n +1=n+14，所以a n =n4， 所以c n ＝2×1√n+1+√n=2×（√n +1−√n ），T n ＝2×（√2−√1+√3−√2+⋯+√n +1−√n ）＝2（√n +1−1）． 故答案为：2（√n +1−1）．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2﹣b 2+c 2＝4，sinB =√24． （1）求△ABC 的面积； （2）若sinAsinC =√147，求b ．解：（1）因为a 2﹣b 2+c 2＝4＞0，可得B 为锐角，因为sin B =√24，所以cos B =√144，则b 2＝a 2+c 2﹣4，由余弦定理可得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ＝a 2+c 2﹣2ac •√144， 所以√142ac ＝4，解得ac =4√147，所以S △ABC =12ac sin B =12×4√147×√24=√77；（2）由正弦定理可得；a sinA=c sinC=b sinB，所以sin A =ab sin B ，sin C =c b sin B ， 所以sin A sin C =ac b2•sin 2B ，而ac =4√147，sin B =√24，sin A sin C =√147， 所以b 2=acsin 2B sinAsinC=4√147⋅(√24)2√147=12，解得b =√22．18．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n+1={2a n ，n 为奇数，3a n ，n 为偶数.．（1）记b n ＝a 2n ，证明数列{b n }为等比数列，并求数列{b n }的通项公式； （2）求{a n }的前2n 项和T 2n ．解：（1）证明：2n 为偶数，2n +1为奇数， 所以a 2n +1＝3a 2n ，a 2n +2＝2a 2n +1＝6a 2n ， 即b n +1＝a 2n +2＝6a 2n ＝6b n ， 又b 1＝a 2＝2a 1＝2，所以数列{b n }是以2为首项，以6为公比的等比数列，所以b n＝2•6n﹣1；（2）由题意T2n＝1+2+6+12+36+72+…+6n+2•6n＝（1+6+…+6n）+（2+12+…+2•6n）＝3×（1+6+…+6n）＝3×1−6n1−6=35⋅6n−35．19．（12分）为了有针对性提高学生体育锻炼的积极性，某校需了解性别因素对本校学生体育锻炼的经常性是否有影响，调查团队对学校内的学生进行简单随机抽样调查，得到如下列联表：（1）根据以上调查结果，采用样本量比例分配的分层随机抽样，在经常进行体育锻炼的学生中抽取8人，再从这8人中随机选取4人访谈，记参与访谈的女生人数为X，求X的分布列和数学期望；（2）依据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析体育锻炼的经常性是否与性别有关．参考公式和数据如下：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d解：（1）根据题意可知：抽取8人中有3030+10×8=6名女生，1030+10×8=2名男生，则X的可能取值为2，3，4，P(X=4)=C20C64C84=314，P(X=3)=C21C63C84=47，P(X=2)=C22C62C84=314，所以X的分布列为：期望E(X)=2×314+3×47+4×314=3；（2）零假设为H0：学生的性别与喜欢体育锻炼之间无关联，因为χ2=50(5×10−30×5)235×15×10×40=5021≈2.381＜3.841=x0.05，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H 0成立，即学生的性别与喜欢体育锻炼之间无关联． 20．（12分）如图，矩形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，AB ＝2，M 是CD ̂上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMC ⊥平面AMD ； （2）当三棱锥M ﹣ABC 的最大体积为√33时，求直线DM 与平面MAB 所成角的余弦值．（1）证明：因为AD ⊥CD ，平面ABCD ⊥平面CDM ，平面ABCD ∩平面CDM ＝CD ， AD ⊂平面ABCD 所以AD ⊥平面CDM ，且CM ⊂平面CDM ，则AD ⊥CM ， 又因为DM ⊥CM ，AD ∩DM ＝D ，AD ，DM ⊂平面ADM ，所以CM ⊥平面ADM ， 且CM ⊂平面AMC ，所以平面AMC ⊥平面AMD ．（2）解：因为平面ABCD ⊥平面CDM ，平面ABCD ∩平面CDM ＝CD ， 则点M 在平面ABCD 上的投影均在直线CD 上，且△ABC 的面积为定值， 可知三棱锥M ﹣ABC 的最大体积，即三棱锥M ﹣ABC 的高最大， 此时点M 为CD̂的中点，三棱锥M ﹣ABC 的高为12CD =1，则13×1×12×2×BC =√33， 解得BC =√3，矩形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直， 则AD 、BC ⊥半圆弧CD 所在平面，则AD ⊥DM ，BC ⊥CM ，可得MC =MD =√2，MA =MB =√5，在△MAB 中，边AB 上的高ℎ=√5−1=2， 设点D 到平面MAB 的距离为d ，直线DM 与平面MAB 所成角为θ∈[0，π2]， 因为V M ﹣ABD ＝V D ﹣ABM ，即13×1×12×2×√3=13×d ×12×2×2，解得d =√32， 则直线DM 与平面MAB 所成角的正弦值sinθ=dDM =√322=√64，所以直线DM 与平面MAB 所成角的余弦值cosθ=√1−sin 2θ=√104．21．（12分）随着社会快速发展，学生的成长环境也不断发生变化，学生的心理健康越来越受到全社会的关注．某高校为了了解学生的心理健康情况，在全校大学生中开展了心理健康测试，随机抽取了50名学生的测试成绩，按照[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分组，得到如下所示的样本频率分布直方图：（1）用样本的频率估计概率，从该高校所有学生中随机抽取2名学生的成绩，记成绩在[80，100]的人数为X，求X的分布列和数学期望；（2）为了促进在校大学生的心理健康，该校开设了心理健康教育课程，课程中有一项传彩球的活动，甲乙丙三人传彩球，第一次由甲将彩球传出，每次传出时传球者都等可能地将彩球传给另外两个人中的任何一人．①求第二次传球后彩球在乙手上的概率；②记第i次传球后彩球在乙手上的概率为p i，求p i．解：（1）由题意可知：该高校所有学生中随机抽取1名学生的成绩，成绩在[80，100]的概率为10×0.04+10×0.02＝0.6，可知X～B（2，0.6），且X的可能取值为0，1，2，则有：P(X=0)=(1−0.6)2=0.16，P(X=1)=C21×0.6×(1−0.6)=0.48，P(X=2)=0.62=0.36，所以X的分布列为：期望E（X）＝2×0.6＝1.2；（2）①若第二次传球后彩球在乙手上，则第一次传球后彩球在丙手上，第二次由丙传球给乙，所以第二次传球后彩球在乙手上概率为P=12×12=14；②第i次传球后彩球在乙手上的概率为p i，即第i次传球后彩球在甲、丙手上的概率为1﹣p i，再由甲、丙传球给乙，所以第i+1次传球后彩球在乙手上的概率为p i+1=12(1−p i)，可得p i+1−13=−12(p i−13)，且p1=12，p1−13=16≠0，所以数列{p i }是以首项p 1−13=16，公比q =−12的等比数列， 则p i −13=16×(−12)i−1=−13×(−12)i ，可得p i =13[1−(−12)i ]． 22．（12分）已知函数f(x)=x +e xa ，g （x ）＝sin x ，其中a 为实数，e 是自然对数的底数． （1）若a ＝﹣1时，证明：∀x 1，x 2∈R ，f （x 1）≤g （x 2）；（2）若h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）在（0，π）上有唯一的极值点，求实数a 的取值范围． （1）证明 a ＝﹣1时，f （x ）＝x ﹣e x ， 要证明∀x 1，x 2∈R ，f （x 1）≤g （x 2）； 即证明f （x ）max ≤g （x ）min ， 而f ′（x ）＝1﹣e x ，令f ′（x ）＞0，解得x ＜0，令f ′（x ）＜0，解得x ＞0， 故f （x ）在（﹣∞，0）递增，在（0，∞）递减， 故f （x ）max ＝f （0）＝﹣1；而g （x ）＝sin x ，故g （x ）min ＝﹣1， 故f （x ）max ≤g （x ）min ， 原结论成立． （2）解：h （x ）＝x +e xa−sin x 在（0，π）上有唯一的极值点， 等价于h ′（x ）=e xa +1﹣cos x ＝0在（0，π）上有唯一的变号零点，h ′（x ）＝0等价于1a=cosx−1e x，设t （x ）=cosx−1e x，x ∈（0，π）， t ′（x ）=−sinx−cosx+1e x =1−√2sin(x+π4)e x，∵x ∈（0，π），∴x +π4∈（π4，5π4），当0＜x ＜π2时，x +π4∈（π4，3π4），sin （x +π4）＞√22， t ′（x ）＜0，t （x ）在（0，π2）上为减函数， 当π2＜x ＜π时，x +π4∈（3π4，5π4），sin （x +π4）＜√22， t ′（x ）＞0，t （x ）在（π2，π）上为增函数，∴函数t （x ）的极小值也是最小值为t （π2）=−1e π2， 又t （0）＝0，t （π）=−2e π， 所以当−2e π≤a ＜0时，方程1a =cosx−1e x在（0，π）上有唯一的变号零点， 所以1a的取值范围是[−2e π，0），∴a 的取值范围是（﹣∞，−e π2]．。
山西省2023-2024学年高二上学期普通高中学业水平合格性考试适应性测试数学试题
一、单选题二、多选题1. 已知是定义域为的奇函数，满足.若，则（ ）A．B．C ．50D．2. 点到直线的距离的最大值为（ ）A ．1B．C．D．3. 已知向量，，则在方向上的投影为（ ）A．B．C．D．4. 拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区间上的整体平均变化率与区间某点的局部变化率的关系，其具体内容如下：若在上满足以下条件：①在上图象连续，②在内导数存在，则在内至少存在一点，使得（为的导函数）．则函数在上这样的点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45. 函数的部分图象大致是（ ）A．B．C．D．6. 某单位为了解办公楼用电量y （度）与气温x （℃）之间的关系，随机统计了四个工作日用电量与当天平均气温，如下表：气温x （℃）181310－1用电量y （度）24343864由表中数据得到线性回归方程为，当气温为－4℃时，预测用电量为（ ）A ．69度B ．68度C ．66度D ．52度7.（ ）A ．9B ．3C ．2D．8. 已知集合，则（ ）A．B．C．D．9. 若函数，则下列说法正确的是（ ）A ．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到B．函数的图象关于直线对称C ．函数的图象关于点对称D ．函数在上为增函数山西省2023-2024学年高二上学期普通高中学业水平合格性考试适应性测试数学试题三、填空题四、解答题10.已知正方体的棱长为为空间中任一点，则下列结论中正确的是（ ）A．若为线段上任一点，则与所成角的余弦值范围为B．若为正方形的中心，则三棱锥外接球的体积为C．若在正方形内部，且，则点轨迹的长度为D．若三棱锥的体积为恒成立，点轨迹的为圆的一部分11.已知，则下列不等式正确的是（ ）A．B．C．D．12.已知函数的部分图象如图所示，则（）A．函数的最小正周期为πB ．点是曲线的对称中心C ．函数在区间内单调递增D ．函数在区间内有两个最值点13.若，则___________.14. 已知双曲线的焦距为4，焦点到C 的一条渐近线的距离为1，则C 的渐近线方程为______15. 已知，其中e 是自然对数的底数，若，则实数a 的取值范围是_________．16.公比为的等比数列的前项和.(1)求与的值；(2)若，记数列的前项和为，求.17. 若抛物线的焦点为，是坐标原点，为抛物线上的一点，向量与轴正方向的夹角为60°，且的面积为.（1）求抛物线的方程；（2）若抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，求当取得最大值时，直线的方程.18. 已知函数.(1)若，求曲线在处的切线方程；(2)当，时，证明：.19. 如图，在四棱锥中，，且.（1）证明：平面平面；（2）若，，且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积．20.如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，，，，是棱的中点．(1)证明：平面；(2)若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值的最大值．21. 为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按，，，，分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.（1）填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.单位：只抗体指标值合计小于60不小于60有抗体没有抗体合计（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；（ii）以（i）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.试验后统计数据显示，当时，取最大值，求参加人体接种试验的人数及.参考公式：(其中为样本容量)参考数据：0.500.400.250.150.1000.0500.025 0.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024。
广州市越秀区2024-2025学年三年级数学第一学期期末学业水平测试试题含解析
广州市越秀区2024-2025学年三年级数学第一学期期末学业水平测试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、用心思考，我会选。
1．下面（）组4根小棒能围成一个长方形。
A．B．C．2．下面各算式的乘积，中间没有0的是( )。
A．301×2 B．304×2 C．304×53．算式“5×4×2”不能解决图（）的问题。
A．B．C．4．如果□是〇的16倍，下面（）算式是错的．A．〇÷□＝16 B．□÷16＝〇C．□÷〇＝16 D．〇×16＝□5．比较16、15、25这三个分数的大小，正确的是（）。
A．16>25>15B．25>16>15C．25>15>16二、认真辨析，我会判。
6．一个正方形，边长是2厘米，它的周长和面积相等。
（______）7．一袋水果糖1000克，10袋水果糖重10千克．（________）8．一年中有7个大月，那么还有5个月就是小月．_____9．求9的3倍是多少？列式是9÷3. （_____）10．一个长方形牛圈，长是7 米，宽是 5 米，要在牛圈的四周围上围栏，若要使得牛圈的一边靠墙，围栏至少长24米． （___）三、仔细观察，我会填。
11．图中的涂色部分表示250，整个图形表示（________）。
12．小东从家到学校要走800米。
他走一半后又回家取一本书，这样他比平时上学要多走（________）米。
13．350的6倍是（________），72是8的（________）倍。
北京市第一次普通高中2023-2024学年高二上学期学业水平合格性考试数学试题
一、单选题1.已知函数，函数，若两函数的图象恰有两个不同的交点，则实数k 的取值范围（ ）A．B．C．D．2.展开式中的常数项为（ ）A．B．C ．15D ．303. 如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边.已知以直角边为直径的半圆的面积之比为，记，则（）A．B．C．D．4. 已知正方体，的中点为M ，过，D 、M 的平面把正方体分成两部分，则较小部分与较大部分的体积之比为（）A．B．C．D．5. 已知函数的导函数为偶函数，则的图象在点处的切线方程为（ ）A．B．C．D．6. 随机变量的分布列如表所示，若，则（）1A．B．C ．5D ．77. 同时具有性质①最小正周期是；②图像关于直线对称；③在上是增函数的一个函数是A．B．C．D．8. 等腰三角形内接于半径为2的圆O 中，，且M 为圆O 上一点，则的最大值为（ ）A ．2B ．5C ．14D ．169. 记数列的前n项和为，若，则（ ）A．B ．是等差数列C ．是等比数列D．北京市第一次普通高中2023-2024学年高二上学期学业水平合格性考试数学试题二、多选题三、填空题10. 已知，，则的值等于A．B．C．D．11. 如图，长方体中，，若直线与平面所成的角为，则直线与直线所成的角为（）A．B．C．D．12. 设点，则且是点在直线上的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13. 已知正实数、满足，则（ ）A．的最大值为B ．的最小值为C．的最小值为D ．的最大值为14. 下列结论正确的有（ ）A．若随机变量，满足，则B．若随机变量，且，则C ．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强D ．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27，30，37，m ，40，50；乙组：24，n ，33，44．48，52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则15. 高中学生要从必选科目（物理和历史）中选一门，再在化学、生物、政治、地理这4个科目中，依照个人兴趣、未来职业规划等要素，任选2个科目构成“1＋2选考科目组合”参加高考.已知某班48名学生关于选考科目的结果统计如下：选考科目名称物理化学生物历史地理政治选考该科人数36392412a b下面给出关于该班学生选考科目的四个结论中，正确的是（ ）A．B ．选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生可能超过9人C ．在选考化学的所有学生中，最多出现6种不同的选考科目组合D ．选考科目组合为“历史＋生物＋地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少的16. 已知函数，是函数的极值点，以下几个结论中正确的是（ ）A．B．C．D．17. 过定点的直线与曲线交于不同的两点，则直线的斜率的取值范围是__________．18.有一个上、下底面半径分别为，的圆台，高为，则它的体积为______．四、填空题五、解答题六、解答题七、解答题19.已知的图象在处的切线与与函数的图象也相切，则该切线的斜率__________.20.已知，为常数，若，则___________，___________.21. 过抛物线焦点F 的直线l 交C 于点A ，B ，线段AB 中点M 的纵坐标为1，则直线AB 的斜率k 的值为__________；线段AB 的长度为__________．22. 已知函数，，.若，，且的最小值为，，求解下列问题.(1)化简的表达式并求的单调递增区间；(2)请完善表格并利用五点作图法绘制该函数在一个周期内的图象，并求在区间上的最值.23.已知函数.从下面的两个条件中任选其中一个：①；②若，且的最小值为，，求解下列问题：(1)化简的表达式并求的单调递增区间；(2)已知，求的值.24. 把函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，函数的图象关于直线对称，记函数.（1）求函数的最小正周期和单调增区间；（2）画出函数在区间上的大致图象.25.如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，是边长为2的等边三角形，，.(1)求证：平面平面；(2)求平面和平面所成锐二面角的大小.八、解答题九、解答题26. 已知椭圆，右焦点为，动直线与圆相切于点，与椭圆交于、两点，其中点在轴右侧.（1）若直线过点，求椭圆方程；（2）求证：为定值.27. 海水养殖场使用网箱养殖的方法，收获时随机抽取了 100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位:)，其频率分布直方图如图：定义箱产量在(单位:)的网箱为“稳产网箱”， 箱产量在区间之外的网箱为“非稳产网箱”.（1）从该养殖场（该养殖场中的网箱数量是巨大的）中随机抽取3个网箱.将频率视为概率，设其中稳产网箱的个数为，求的分布列与期望；（2）从样本中随机抽取3个网箱，设其中稳产网箱的个数为，试比较的期望与的大小.28. 某县对高一年级学生进行体质测试（简称体测），现随机抽取了800名学生的体测结果等级（“良好以下”或“良好及以上”）进行分析，并制成下图所示的列联表.良好以下良好及以上合计男400550女50合计600800(1)将列联表补充完整；计算并判断是否有的把握认为本次体测结果等级与性别有关系；(2)将频率视为概率，用样本估计总体.若从全县高一所有学生中，采取随机抽样的方法次抽取1名学生成绩进行具体指标分析，连续抽取4次，且每次抽取的结果相互独立，记被抽取的4名学生的体测等级为“良好及以上”的人数为，求的分布列和数学期望.附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828其中，.。
2013-2014学年广东省广州市高二数学学业水平测试模拟试卷
2011-2012学年广东省广州市高二数学学业水平测试模拟试卷一、选择题：1．（5分）（2011秋•广州期末）设全集U={a，b，c，d，e}，集合A={a，b，c，d}，B={d，3．（5分）（2011秋•广州期末）实物图如图，下列各选项中为实物图的俯视图的是（）．C4．（5分）（2011秋•广州期末）同时转动如图所示的两个转盘，记转盘（甲）得到的数为x，转盘（乙）得到的数为y，则事件x+y=6的概率为（）B5．（5分）（2005•安徽）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面B6．（5分）（2010•广东模拟）在△ABC中，若A=120°，AB=5，BC=7，则△ABC的面积S为B7．（5分）（2011•黄州区校级模拟）已知圆C：x2+y2=1，点A（﹣2，0）及点B（2，a），从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围是（）（8．（5分）（2012•雁峰区校级学业考试）给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）9．（5分）（2007春•常州期末）将棱长相等的正方体按图所示的形状摆放，从上往下依次为第1层，第2层，…，则第20层正方体的个数是（）10．（5分）（2011秋•广州期末）已知函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）在区间[﹣2，2]上的值．．C．．二、填空题：11．（5分）（2011秋•广州期末）已知{a n}是首项a1=1，公差d=3的等差数列，如果a n=2005，则序号n等于．12．（5分）（2011•惠州模拟）一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下表：（其*上的频率．13．（5分）（2010•青浦区二模）[文科]非负实数x、y满足，则x+3y的最大值为．14．（5分）（2011•黄冈模拟）已知点P（x，y）在曲线上运动，作PM垂直x轴于M，则△POM（O为坐标原点）的周长的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15．（12分）（2011秋•广州期末）已知函数，其中x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的递增区间．16．（12分）（2012•增城市校级模拟）柜子里有2双不同的鞋，随机地取出2只，求下列事件的概率．（1）取出的鞋不成对；（2）取出的鞋都是同一只脚的．17．（14分）（2011•沧浪区校级模拟）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为一直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点．（14分）（1）证明：EB∥平面PAD；（2）若PA=AD，证明：BE⊥平面PDC．18．（14分）（2010•广东模拟）设O为坐标原点，曲线x2+y2+2x﹣6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足•=0．（1）求m的值；（2）求直线PQ的方程．19．（14分）（2011秋•广州期末）已知等比数列{a n}共有m项（m≥3 ），且各项均为正数，a1=1，a1+a2+a3=7．（1）求数列{a n}的通项a n；（2）若数列{b n}是等差数列，且b1=a1，b m=a m，判断数列{a n}前m项的和S m与数列的前m项和T m的大小并加以证明．20．（14分）（2004•官渡区校级模拟）设f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c），f（1）=0，g（x）=ax+b．（1）求证：函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个交点；（2）设f（x）与g（x）的图象交点A、B在x轴上的射影为A1、B1，求|A1B1|的取值范围；（3）求证：当x≤﹣时，恒有f（x）＞g（x）．2011-2012学年广东省广州市高二数学学业水平测试模拟试卷参考答案一、选择题：1．A 2．D 3．D 4．D 5．B 6．D 7．C 8．A 9．C 10．A二、填空题：11．669 12．0.7 13．9 14．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15．16．17．18．19．20．。
2023-2024学年广东省广州市六区高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省广州市六区高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若抛物线的焦点坐标为（0，2），则抛物线的标准方程是（ ） A ．y 2＝4xB ．x 2＝4yC ．y 2＝8xD ．x 2＝8y2．已知空间向量m →=(−2，1，−3)，n →=(4，−1，x)，且m →⊥n →，则x 的值为（ ） A ．3B ．2C ．﹣3D ．﹣43．已知倾斜角为π4的直线的方向向量为（1，k ），则k 的值为（ ）A ．﹣1B ．−√22C ．√22D ．14．椭圆x 225+y 216=1与椭圆x 225−k +y 216−k=1(k ＜16)的（ ）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等5．若两条平行直线3x ﹣4y +m ＝0（m ＜0）与3x +ny +6＝0之间的距离是3，则m +n ＝（ ） A ．﹣13B ．﹣9C ．17D ．216．过直线l ：√3x +y −4=0上一点P 作圆O ：x 2+y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ．若∠APB =π3，则点P 的坐标为（ ） A ．(4√33，0) B ．(2√3，−2)或（0，4）C ．(√3，1)D ．(√3+√15，1−3√5)或(√3−√15，1+3√5)7．已知双曲线方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，F 1，F 2为其左、右焦点，过F 2的直线l 与双曲线右支相交于A ，B 两点，且∠F 1AB =π2，tan ∠ABF 1=512，则双曲线的离心率为（ ）A ．√213B ．√21C ．√293D ．√298．数列{a n }满足a n+2+(−1)n a n =2n −1，前12项和为158，则a 1的值为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知数列{a n }的前n 项和公式为S n =n 2−n ，则（ ） A ．S 3，S 6，S 9成等差数列B ．a 3，a 6，a 9成等差数列C ．数列{a n }是递增数列D ．数列{S n }是递增数列10．已知圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝4，直线l ：（1+3λ）x +（1+λ）y ﹣2﹣4λ＝0（λ∈R ），则（ ） A ．直线l 恒过定点（1，2） B ．直线l 与圆C 相交C ．直线l 被圆C 截得的弦最短时，直线l 的方程为x +y ﹣2＝0D ．圆C 上不存在三个点到直线l 的距离等于2−√2 11．设A ，B 为双曲线x 2−y 24=1上的两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（ ） A ．（2，0）B ．（﹣2，4）C ．（1，4）D ．（﹣1，1）12．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1与BAA 1B 1是边长为2的正方形，平面BCC 1B 1⊥平面BAA 1B 1，M ，N 分别在BC 1和AB 1上，且BM =AN =a(0＜a ＜2√2)，则（ ）A ．直线MN ∥平面ABCB ．当a ＝1时，线段MN 的长最小C ．当a =√22时，直线MN 与平面BAA 1B 1所成角的正切值为13D ．当a =√2时，平面MNB 与平面MNB 1夹角的余弦值为13三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知△ABC 的三个顶点是A （5，﹣1），B （1，1），C （2，3），则边AB 上的高所在直线的方程为 ． 14．正四面体A ﹣BCD 的棱长为2，设AB →=a →，AC →=b →，AD →=c →，则a →⋅(a →+b →+c →)= ． 15．已知数列{a n }满足a 1＝1，na n +1＝2（n +1）a n ，则{a n }的通项公式a n ＝ ．16．抛物线有如下光学性质：由抛物线焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．如图，O 为坐标原点，抛物线C ：y 2=−12x ，一条平行于x 轴的光线m 射向抛物线C 上的点A （不同于点O ），反射后经过抛物线C 上另一点B ，再从点B 处沿直线n 射出．若直线OA 的倾斜角为3π4，则入射光线m 所在直线的方程为 ；反射光线n 所在直线的方程为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }为等比数列，a 1＝b 1＝1，a 2+b 2＝4，S 3＝6． （1）求{a n }，{b n }的通项公式； （2）求数列{1S n}的前n 项和T n ．18．（12分）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝4，E ，F 分别为线段AB ，AA 1的中点．（1）求直线A 1C 与EF 所成角的余弦值； （2）求点B 1到平面CEF 的距离．19．（12分）已知圆C 的方程为x 2+y 2﹣4x +2my +2m 2﹣2m +1＝0． （1）求m 的取值范围；（2）当m ＝1时，求圆O ：x 2+y 2﹣4＝0与圆C 的公共弦的长．20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，△P AD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC ∥AD ，CD ⊥AD ，AD ＝2DC ＝2CB ＝2，E 为PD 的中点． （1）证明：CE ∥平面P AB ；（2）若∠P AB ＝60°，求平面P AB 与平面PBC 的夹角的余弦值．21．（12分）已知数列{a n}满足a1＝2，a n+1a n﹣2a n+1＝0，n∈N*．（1）求证：数列{1a n−1}为等差数列；（2）设c n=1a n−1，记集合{n|k≤c n≤2k，k∈N∗}中元素的个数为b k，求使b1+b2+⋯+b k＞2024成立的最小正整数k的值．22．（12分）如图，在圆O：x2+y2＝1上任取一点p，过点p作y轴的垂线段PD，D为垂足，点M在DP 的延长线上，且|DM|＝2|DP|，当点p在圆O上运动时，记点M的轨迹为曲线C（当点P经过圆与y轴的交点时，规定点M与点p重合）．（1）求曲线C的方程；（2）过点T（t，0）作圆O：x2+y2＝1的切线l交曲线C于A，B两点，将|AB|表示成t的函数，并求|AB|的最大值．2023-2024学年广东省广州市六区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若抛物线的焦点坐标为（0，2），则抛物线的标准方程是（ ） A ．y 2＝4xB ．x 2＝4yC ．y 2＝8xD ．x 2＝8y解：抛物线的焦点坐标为（0，2），可得p ＝4，则抛物线的标准方程是：x 2＝8y ． 故选：D ．2．已知空间向量m →=(−2，1，−3)，n →=(4，−1，x)，且m →⊥n →，则x 的值为（ ） A ．3B ．2C ．﹣3D ．﹣4解：因为m →=(−2，1，−3)，n →=(4，−1，x)，且m →⊥n →， 所以m →⋅n →=（﹣2）×4+1×（﹣1）+（﹣3）×x ＝0，解得x ＝﹣3． 故选：C ．3．已知倾斜角为π4的直线的方向向量为（1，k ），则k 的值为（ ）A ．﹣1B ．−√22C ．√22D ．1解：由题意直线的斜率k ＝tan π4=1．故选：D ．4．椭圆x 225+y 216=1与椭圆x 225−k +y 216−k=1(k ＜16)的（ ）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等解：第一个椭圆的a 1＝5，b 1＝4，则焦距为2√25−16=6， 且长轴长为10，短轴长为4，离心率为35，第二个椭圆的a2=√25−k ，b 2=√16−k ，则焦距为2√(25−k)−(16−k)=6，且长轴长为2√25−k ，短轴长为2√16−k ，离心率为√25−k，所以A ，B ，C 错误，D 正确，故选：D ．5．若两条平行直线3x ﹣4y +m ＝0（m ＜0）与3x +ny +6＝0之间的距离是3，则m +n ＝（ ） A ．﹣13B ．﹣9C ．17D ．21解：因为直线l1：3x﹣4y+m＝0（m＜0）与l2：3x+ny+6＝0平行，所以3n＝﹣4×3，解得n＝﹣4，所以l2：3x﹣4y+6＝0，又两平行线之间的距离d=|m−6|√3+(−4)=|m−6|5=3，所以|m﹣6|＝15，即m﹣6＝15或m﹣6＝﹣15，解得m＝21或m＝﹣9，因为m＜0，所以m＝﹣9，所以m+n＝﹣13．故选：A．6．过直线l：√3x+y−4=0上一点P作圆O：x2+y2＝4的两条切线，切点分别为A，B．若∠APB=π3，则点P的坐标为（）A．(4√33，0)B．(2√3，−2)或（0，4）C．(√3，1)D．(√3+√15，1−3√5)或(√3−√15，1+3√5)解：因为点P在直线l：√3x+y−4=0上，可设P(√3a，4−3a)，又P A，PB是圆的两条切线，且∠APB=π3，所以OA⊥PA，∠OPA=π6，|OA|=2，所以|OP|＝4，即√3a2+(4−3a)2=4，化为a2﹣2a＝0，解得a＝0或a＝2，所以点P坐标为(0，4)，(2√3，−2)．故选：B．7．已知双曲线方程为x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)，F1，F2为其左、右焦点，过F2的直线l与双曲线右支相交于A，B两点，且∠F1AB=π2，tan∠ABF1=512，则双曲线的离心率为（）A．√213B．√21C．√293D．√29解：如图，由题意，设|AF1|＝5x，则|AB|＝12x，|BF1|＝13x，设|AF2|＝y，则|BF2|＝12x﹣y，因为A，B都在双曲线上，所以|AF1|﹣|AF2|＝|BF1|﹣|BF2|＝2a，即5x﹣y＝13x﹣（12x﹣y）＝2a，解得x=2a3，y=4a3，又|F1F2|=2c=√|AF1|2+|AF2|2=√(10a3)2+(4a3)2=2√293a，所以c=√293a，则离心率e=ca=√293．故选：C．8．数列{a n}满足a n+2+(−1)n a n=2n−1，前12项和为158，则a1的值为（）A．4B．5C．6D．7解：当n为奇数时，a n+2﹣a n＝2n﹣1，可得a2n﹣1＝a1+（n﹣1）+12（n﹣1）（n﹣2）×4＝a1+（n﹣1）（2n﹣3），则a1+a3+a5+a7+a9+a11＝6a1+1+6+15+28+45＝6a1+95，而a2+a4＝3，a6+a8＝11，a10+a12＝19，则前12项和为6a1+95+33＝158，解得a1＝5．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知数列{a n}的前n项和公式为S n=n2−n，则（）A．S3，S6，S9成等差数列B．a3，a6，a9成等差数列C．数列{a n}是递增数列D．数列{S n}是递增数列解：数列{a n}的前n项和公式为S n=n2−n，对于A，S3＝32﹣3＝6，S6＝62﹣6＝30，S9=92−9=72，∵2S6≠S3+S9，∴S3，S6，S9不成等差数列，故A错误；对于B，a3＝S3﹣S2＝（32﹣3）﹣（22﹣2）＝4，a6＝S6﹣S5＝（62﹣6）﹣（52﹣5）＝10，a9＝S9﹣S8＝（92﹣9）﹣（82﹣8）＝16，∵2a6＝a3+a9，∴a3，a6，a9成等差数列，故B正确；对于C，数列{a n}的前n项和公式为S n=n2−n，∴a n＝S n﹣S n﹣1＝（n2﹣n）﹣[（n﹣1）2﹣（n﹣1）]＝2n﹣2，∴数列{a n }是递增数列，故C 正确；对于D ，∵数列{a n }的前n 项和公式为S n =n 2−n =n （n ﹣1）， ∴数列{S n }是递增数列，故D 正确． 故选：BCD ．10．已知圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝4，直线l ：（1+3λ）x +（1+λ）y ﹣2﹣4λ＝0（λ∈R ），则（ ） A ．直线l 恒过定点（1，2） B ．直线l 与圆C 相交C ．直线l 被圆C 截得的弦最短时，直线l 的方程为x +y ﹣2＝0D ．圆C 上不存在三个点到直线l 的距离等于2−√2解：对于A ，直线l 的方程可化为：x +y ﹣2+λ （3x +y ﹣4）＝0，由{x +y −2=03x +y −4=0，解得{x =1y =1，∴直线l 恒过定点（1，1），故A 错误； 对于 B ，∵（1﹣2）2+（1﹣2）2＝2＜4，∴点 （1，1）在圆C 的内部，∴直线l 与圆C 相交，故B 正确；对于C ，由圆的性质可知，当直线l 被圆C 截得的弦最短时，圆心C （2，2）到直线l 的距离d 最大， 而当直线l 与直线y ＝x 垂直时，圆心C 到直线l 的距离d =2√2最大， 此时直线l 的方程为x +y ﹣2＝0，故C 正确；对于D ，圆C 的半径r ＝2，且直线l 恒过定点（1，1），且点（1，1）在圆C 的内部． 圆C 上存在三个点到直线l 的距离等于2−√2，故D 错误． 故选：BC ．11．设A ，B 为双曲线x 2−y 24=1上的两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（ ） A ．（2，0）B ．（﹣2，4）C ．（1，4）D ．（﹣1，1）解：根据题意可得双曲线的渐近线为y ＝±2x ， 点（2，0）在抛物线右支开口内，∴A 选项满足； 点（﹣2，4）在渐近线y ＝2x 上，∴B 选项不满足； 点（1，4）在两渐近线所夹上方区域，∴C 选项满足； 点（﹣1，1）在两渐近线所夹左方区域，∴D 选项不满足． 故选：AC ．12．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1与BAA 1B 1是边长为2的正方形，平面BCC 1B 1⊥平面BAA 1B 1，M ，N 分别在BC 1和AB 1上，且BM =AN =a(0＜a ＜2√2)，则（ ）A ．直线MN ∥平面ABCB ．当a ＝1时，线段MN 的长最小C ．当a =√22时，直线MN 与平面BAA 1B 1所成角的正切值为13D ．当a =√2时，平面MNB 与平面MNB 1夹角的余弦值为13解：由题意BB 1⊥BC ，BB 1⊥BA ，BC ∩BA ＝B ，则BB 1⊥平面ABC ， 平面BCC 1B 1⊥平面BAA 1B 1，平面BCC 1B 1∩平面BAA 1B 1＝BB 1， AB ⊂平面ABB 1A 1，AB ⊥BB 1，所以AB ⊥平面BCC 1B 1，又BC ⊂平面BCC 1B 1，故AB ⊥BC ， 以B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，则B （0，0，0），A （0，2，0），C （2，0，0）， B 1（0，0，2），C 1（2，0，2），所以BC →1=(2，0，2)，AB →1=(0，−2，2)， 因为BM =AN =a(0＜a ＜2√2)，设AN →=λAB →1，BM →=λBC →1，(0＜λ＜1，且λ=a22)， 所以M （2λ，0，2λ），N （0，2﹣2λ，2λ）， 所以MN →=(−2λ，2−2λ，0)，易知平面ABC 的一个法向量为BB 1→=(0，0，2)，因为MN →⋅BB 1→=0，且MN ⊄平面ABC ， 所以直线MN ∥平面ABC ，故A 正确；由|MN →|=√(−2λ)2+(2−2λ)2=√8λ2−8λ+4=√8(λ−12)2+2，当λ=12，即a =√2时，线段MN 有最小值为√2，故B 不正确；当a =√22时，λ=14，此时MN →=(−12，32，0)，不妨取平面BAA 1B 1的一个法向量为BC →=(2，0，0)， 则|cos ＜MN →，BC →＞|=|MN →⋅BC →|MN →||BC →||=2×√14+94=√1010，所以直线MN 与平面BAA 1B 1所成角的正弦值为√1010， 故直线MN 与平面BAA 1B 1所成角的余弦值为√1−(√1010)2=3√1010， 所以直线MN 与平面BAA 1B 1所成角的正切值为13，故C 正确；取MN 的中点O ，连接BO ，B 1O ，BN ，B 1M ， 因为三角形MNB 与三角形MNB 1都是等边三角形， 所以∠BOB 1为二面角的平面角， 又BB 1=2，BO =B 1O =√62，根据余弦定理可得cos ∠BOB 1=−13， 所以平面MNB 与平面MNB 1夹角的余弦值为13，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知△ABC 的三个顶点是A （5，﹣1），B （1，1），C （2，3），则边AB 上的高所在直线的方程为 2x ﹣y ﹣1＝0 ．解：A （5，﹣1），B （1，1），则k AB =−1−15−1=−12，故边AB 上的高所在直线的斜率为2， 所求直线过点C （2，3），故边AB 上的高所在直线的方程为y ﹣3＝2（x ﹣2），即2x ﹣y ﹣1＝0． 故答案为：2x ﹣y ﹣1＝0．14．正四面体A ﹣BCD 的棱长为2，设AB →=a →，AC →=b →，AD →=c →，则a →⋅(a →+b →+c →)= 8 ． 解：∵正四面体A ﹣BCD 的棱长为2，AB →=a →，AC →=b →，AD →=c →，∴|a →|=|b →|=|c →|=2，a →⋅b →=a →⋅c →=2×2×cos60°＝2，∴a →⋅(a →+b →+c →)=a →⋅a →+a →⋅b →+a →⋅c →=4+2+2＝8．故答案为：8．15．已知数列{a n }满足a 1＝1，na n +1＝2（n +1）a n ，则{a n }的通项公式a n ＝ n •2n ﹣1 ． 解：∵数列{a n }满足a 1＝1，na n +1＝2（n +1）a n ，∴a n +1=2(n+1)n ×a n =2(n+1)n ×2n n−1×.....×2×21×a 1＝2n •（n +1）， 故a n ＝n •2n ﹣1，（当n ＝1时，a 1＝1也满足）．故答案为：n •2n ﹣1． 16．抛物线有如下光学性质：由抛物线焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．如图，O 为坐标原点，抛物线C ：y 2=−12x ，一条平行于x 轴的光线m 射向抛物线C 上的点A （不同于点O ），反射后经过抛物线C 上另一点B ，再从点B 处沿直线n 射出．若直线OA 的倾斜角为3π4，则入射光线m 所在直线的方程为 y =12 ；反射光线n 所在直线的方程为 y =−18 ．解：抛物线C ：y 2=−12x 的焦点为F(−18，0)， 因为直线OA 的倾斜角为3π4，所以直线OA 的方程为y ＝﹣x ， 由{y =−x y 2=−12x ，解得{x =0y =0或{x =−12y =12，所以A(−12，12)， 则入射光线m 所在直线的方程为y =12； 则k AF =12−12−(−18)=−43，所以直线AF 的方程为y =−43(x +18)， 由{y =−43(x +18)y 2=−12x ，解得{x =−132y =−18或{x =−12y =12，所以B(−132，−18)， 则反射光线n 所在直线的方程为y =−18．故答案为：y=12；y=−18．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}为等比数列，a1＝b1＝1，a2+b2＝4，S3＝6．（1）求{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{1S n}的前n项和T n．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由a1＝b1＝1，a2+b2＝4，S3＝6，可得1+d+q＝4，3+3d＝6，即d+q＝3，d＝1，q＝2，则a n＝1+n﹣1＝n，b n＝2n﹣1；（2）S n=12n（n+1），可得1S n=2n(n+1)=2（1n−1n+1），则T n＝2（1−12+12−13+...+1n−1n+1）＝2（1−1n+1）=2nn+1．18．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝4，E，F分别为线段AB，AA1的中点．（1）求直线A1C与EF所成角的余弦值；（2）求点B1到平面CEF的距离．解：（1）以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1（2，0，4），C （0，2，0），E （2，1，0），F （2，0，2），所以A 1C →=（﹣2，2，﹣4），EF →=（0，﹣1，2），所以cos ＜A 1C →，EF →＞=A 1C →⋅EF →|A 1C →|⋅|EF →|=−2−8√4+4+16×√1+4=−√306， 因为异面直线夹角的取值范围为（0，π2]， 所以直线A 1C 与EF 所成角的余弦值为√306． （2）由（1）知，B 1（2，2，4），C （0，2，0），E （2，1，0），F （2，0，2），所以CE →=（2，﹣1，0），CF →=（2，﹣2，2），CB 1→=（2，0，4），设平面CEF 的的法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅CE →=0n →⋅CF →=0，即{2x −y =02x −2y +2z =0， 取x ＝1，则y ＝2，z ＝1，所以n →=（1，2，1），所以点B 1到平面CEF 的距离为|CB 1→⋅n →||n →|=√6=√6．19．（12分）已知圆C 的方程为x 2+y 2﹣4x +2my +2m 2﹣2m +1＝0．（1）求m 的取值范围；（2）当m ＝1时，求圆O ：x 2+y 2﹣4＝0与圆C 的公共弦的长．解：（1）由x 2+y 2﹣4x +2my +2m 2﹣2m +1＝0，可得（x ﹣2）2+（y +m ）2＝2m ﹣m 2+3，则2m ﹣m 2+3＞0，解得﹣1＜m ＜3，即m 的取值范围是（﹣1，3）：（2）当m ＝1时，圆C 为x 2+y 2﹣4x +2y +1＝0，联立{x 2+y 2=4x 2+y 2−4x +2y +1=0，可得两圆的公共弦所在的直线方程为4x ﹣2y ﹣5＝0， 由圆O 的圆心（0，0）到直线4x ﹣2y ﹣5＝0的距离为d =|0−0−5|√16+4=√52， 则公共弦的长为2√4−54=√11． 20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，△P AD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC ∥AD ，CD ⊥AD ，AD ＝2DC ＝2CB ＝2，E 为PD 的中点．（1）证明：CE ∥平面P AB ；（2）若∠P AB ＝60°，求平面P AB 与平面PBC 的夹角的余弦值．（1）证明：如图，设P A 中点为F ，连接EF ，FB ，因为E ，F 分别为PD ，P A 中点，所以EF ∥AD 且EF =12AD ， 又因为BC ∥AD ，BC =12AD ， 所以EF ∥BC 且EF ＝BC ，即四边形BCEF 为平行四边形，所以CE ∥BF ，又BF ⊂平面P AB ，CE ⊄平面P AB ，所以CE ∥平面P AB ；（2）解：如图，设AD 的中点为O ，连接PO ，BO ，因为△P AD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，则PO ⊥AD ，又AD ＝2DC ＝2CB ＝2，CD ⊥AD ，BC ∥AD ，所以PO ＝OB ＝1，AB =√2，P A =√2，又∠P AB ＝60°，所以△P AB 是正三角形，则PB =√2，所以PO 2+OB 2＝PB 2，即PO ⊥BO ，又PO ⊥AD ，OB ⊥OD ，则以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则P （0，0，1），A （0，﹣1，0），B （1，0，0），C （1，1，0），所以PA →=(0，−1，−1)，PB →=(1，0，−1)，PC →=(1，1，−1)，设平面P AB 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅PA →=0n →⋅PB →=0，即{−y −z =0x −z =0，令x ＝1，则y ＝﹣1，z ＝1，即n →=(1，−1，1)， 设平面P AB 的法向量为m →=(a ，b ，c)，则{m →⋅PC →=0m →⋅PB →=0，即{a +b −c =0a −c =0，令a ＝1，则b ＝0，c ＝1，即m →=(1，0，1)， 设平面P AB 与平面PBC 的夹角为θ，则cos θ＝|cos ＜n →，m →＞|=|n →⋅m →||n →|⋅|m →|=23×2=√63． 即平面P AB 与平面PBC 的夹角的余弦值为√63． 21．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝2，a n +1a n ﹣2a n +1＝0，n ∈N *．（1）求证：数列{1a n −1}为等差数列； （2）设c n =1a n −1，记集合{n|k ≤c n ≤2k ，k ∈N ∗}中元素的个数为b k ，求使b 1+b 2+⋯+b k ＞2024成立的最小正整数k 的值．解：（1）证明：由题意可知a n +1a n ＝2a n ﹣1，所以1a n+1−1−1a n −1=(a n −1)−(a n+1−1)(a n+1−1)(a n −1) =a n −a n+1a n+1a n −(a n+1+a n )+1 =a n+1−a n 2a n −1−(a n+1+a n )+1=1， 所以数列{1a n −1}是首项为1a 1−1=1，公差为1的等差数列； （2）由（1）可知c n =1a n −1=1+(n −1)×1=n ， 所以集合{n |k ≤n ≤2k ，k ∈N *}中元素的个数为2k ﹣k +1，即b k =2k −k +1，所以b 1+b 2+b 3+…+b k ＝（21+22+23+…+2k ）﹣（1+2+3+…+k ）+k=2(1−2k)1−2−k(1+k)2+k =2k +1﹣2−12k 2+12k ， 由指数函数的图象和性质可得b k =2k −k +1＞0 恒成立，所以b 1+b 2+⋯+b k 单调递增，因为b 1+b 2+⋯+b 10=210+1−2−12×102+12×10=2001， b 1+b 2+⋯+b 11=211+1−2−12×112+12×11=4039， 所以使b 1+b 2+⋯+b k ＞2024成立的最小正整数k 为11．22．（12分）如图，在圆O ：x 2+y 2＝1上任取一点p ，过点p 作y 轴的垂线段PD ，D 为垂足，点M 在DP 的延长线上，且|DM |＝2|DP |，当点p 在圆O 上运动时，记点M 的轨迹为曲线C （当点P 经过圆与y 轴的交点时，规定点M 与点p 重合）．（1）求曲线C 的方程；（2）过点T （t ，0）作圆O ：x 2+y 2＝1的切线l 交曲线C 于A ，B 两点，将|AB |表示成t 的函数，并求|AB |的最大值．解：（1）设M （x ，y ），P （x 0，y 0），则D （0，y 0），因为|DM |＝2|DP |，所以点P 是线段PM 的中点，所以x 0=x 2，y 0＝y ， 因为点P 在圆x 2+y 2＝1上，所以x 02+y 02=1，所以x 24+y 2=1，所以动点M 的轨迹C 的方程为x 24+y 2=1；（2）当﹣1＜t ＜1时点T （t ，0）在圆内，此时过点T （t ，0）不能得到圆O 的切线，故弦AB 不存在，当t ＝1（t ＝﹣1）时切线方程为x ＝1（x ＝﹣1），对于x 24+y 2=1，令x ＝1，解得y =±√32，所以|AB|=√3，当|t |＞1时切线l 的斜率存在，设斜率为k ，则切线l 的方程为y ＝k （x ﹣t ）（|t |＞1），所以22=1，所以k 2=1t 2−1， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由{y =k(x −t)x 24+y 2=1，消去y 整理得（1+4k 2）x 2﹣8tk 2x +4k 2t 2﹣4＝0， 将k 2=1t 2−1 代入得（t 2+3）x 2﹣8tx +4＝0， 所以Δ＝48t 2﹣48＞0，所以x 1+x 2=8t t 2+3，x 1x 2=4t 2+3， 所以|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√48t 2(t 2+3)2=4√3|t|t 2+3， 综上所述，|AB |={√3，t =±14√3|t|t 2+3，|t|＞1， 又当|t |＞1时，|AB |=4√3|t|t 2+3=4√3|t|+3|t|≤√32√|t|⋅3|t|=2，当且仅当|t|=√3时取等号， 所以|AB |max ＝2．。
2024-2025学年高二年级阶段性测试数学试卷含答案
考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有2024-2025学年高二年级阶段性测试（一）数学一项是符合题目要求的．1.图中4条直线中斜率最小的是（ ）A.1lB. 2lC. 3lD. 4l 2.已知向量()1,3,2a =-r 与()3,,b x y =r 平行，则x y -=（ ）A.15-B.3-C.3D.153.已知直线l 的一个方向向量为(1,2,4)m =-u r ，平面a 的一个法向量为(2,3,)n t =r ，若l ∥a ，则t =（ ）A.1B.2C.3D.44.将直线21y x =+绕点()1,3逆时针旋转πrad 2后所得直线的方程为（ ）A 250x y -+= B.210x y -+=C.270x y +-= D.210x y ++=5.已知平面,a b 均以(2,1,2)n =-r为法向量，平面a 经过坐标原点O ，平面b 经过点(3,2,1)P -，则平面a 与b 的距离为（）.A. 2B. C. 3D. 6. 已知直线l与()00m y c c -+=<平行，且l 、m 之间距离与点()0,2A 到l 的距离均为1，则l 在y 轴上的截距为（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 47. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1,12AD AA AB ===，M 为棱1DD 的中点，P 是线段BM 上的动点，则下列式子的值为定值的是（ ）A. 11A P A B×uuur uuur B. 1A P PB ×uuur uuu r C. 1A P PM ×uuur uuuu r D. 11A P A M×uuur uuuur 8. 如图，在正四面体O ABC -中，M 为棱OC 的中点，N 为棱AB 上靠近点A 的三等分点，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为（ ）A.B. C. 45 D. 23二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 若直线:(21)(3)10l a x a y -+-+=不经过第四象限，则实数a 的可能取值为（ ）A. 13 B. 43 C. 3 D. 410. 在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点(3,2,1),(,1,),(2,,)A B m n C p q -，其中,,,m n p q ÎR ，若四边的形OABC 为菱形，则（ ）A. 5m = B. 1p =-C. 2n =± D. 3q =±11. 已知点(3,3)A 和(4,2)B -，P 是直线:20l x y ++=上的动点，则（ ）A. 存在(1,3)P -，使PA PB +最小B. 存在(1,1)P --，使PA PB -最小C. 存在(5,7)P -，使PA PB -最大D. 存在15,22P æö-ç÷èø，使22PA PB +最小三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量(2,3,AB =uuu r，(,0,BC x =uuu r ，若4cos 5ABC Ð=-，则x =________．13. 已知0a >，平面内三点23(0,),(1,),(3,2)A a B a C a -共线，则a =________．14. 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -体积为4，侧面积为8，动点,P Q 分别在线段1,C D AC 上，则线段PQ 长度的最小值是________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知空间中三点()()()2,3,3,1,0,2,2,1,5A B C ---，设向量a AB =r uuu r ，b BC =r uuu r ．（1）若()a kb a +^r r r ，求实数k 的值；（2）若向量c r 与a b -r r 共线，且4c =r ，求c r 的坐标．16. 已知直线1l 方程为(3)20a x ay +-+=，直线2l 经过点(2,0)A 和1(0,B a ．（1）若12l l ^，求a 的值；（2）若当a 变化时，1l 总过定点C ，求AC ．17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PAD △为等边三角形，且PB AC =，E 为棱PD 的中点．（1）证明：平面PAD ^平面ABCD ；的的（2）求直线CE 与平面PAB 所成角的正弦值．18. 如图，将一块三角形玉石ABO置于平面直角坐标系中，已知AO AB ==，2OB =，点()1,1P ，图中阴影三角形部分为玉石上的瑕疵，为了将这块玉石雕刻成工艺品，要先将瑕疵部分切割掉，可沿经过点P 的直线MN 进行切割．（1）求直线MN 的倾斜角a 的取值范围．（2）是否存在直线MN ，使得点A 关于直线MN 的对称点在线段AB 上？（3）设玉石经切割后剩余部分的面积为S ，求S 的取值范围．19. 在空间直角坐标系Oxyz 中，过点()000,,P x y z 且以(),,u a b c =r 为方向向量的直线方程可表示为()0000x x y y z z abc a b c---==¹，过点()000,,P x y z 且以(),,u a b c =r 为法向量的平面方程可表示为000ax by cz ax by cz ++=++．（1）若直线()11:12x l y z -==--与()21:142y z l x ---==都在平面a 内，求平面a 的方程；（2）在三棱柱111ABC A B C -中，点C 与坐标原点O 重合，点A 在平面Oxz 内，平面ABC 以()1,1,3m =--u r 为法向量，平面11ABB A 的方程为38x y z +-=，求点A 的坐标；（3）若集合(){},,2M x y z x y z =++=中所有的点构成了多面体W 的各个面，求W 的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值．的2024-2025学年高二年级阶段性测试（一）数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】A二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】ABD【11题答案】【答案】ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】2【13题答案】【答案】2【14题答案】四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）193 k=（2）488,,333cæö=-ç÷èør或488,,333cæö=--ç÷èør.【16题答案】【答案】（1）32或1-；（2.【17题答案】【答案】（1）证明见解析；（2【18题答案】【答案】（1）ππ, 42éùêúëû（2）不存在，理由见解析（3）41,3éùêúëû【19题答案】【答案】（1）235x y z -+=（2）()3,0,1A（3）体积为323，相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为13。
第一次月考卷(测试范围：第1-2章)(学生版)24-25学年高二数学期中(人教选修一,浙江专用)
2024-2025年高二数学上学期第一次月考卷（测试范围：第1-2章）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若直线经过两点(2,)A m -，(,21)B m m --且倾斜角为135°，则m 的值为（ ）A ．2B ．32C ．1D ．32-2．以()12-，）A ．()()22122x y -+=+B ．()()22122x y ++-=C ．()()2212x y -++=D ．()()2212x y ++-=3．“1m =-”是“直线1:210l mx y ++=与直线211:022l x my ++=平行”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要4．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 的中点，若PA a =uuu r r ,PB b =uuu r r ,PC c =uuu r r，则用基底{},,a b c r r r 表示向量BE uuu r为（ ）A ．111222a b c®®®-+B ．111222a b c®®®--C ．131222a b c®®®-+D ．113222a b c®®®-+5．设x ，R y Î，向量(),1,1a x =r ，()1,,1b y =r ，()3,6,3c =-r ，且a c ^r r ，//b c r r，a b +=r r （ ）A B ．3C ．4D ．6．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是上底棱的中点，AB 1与平面B 1D 1EF 所成的角的大小是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7．已知直线()00x y k k +-=>与圆224x y +=交于不同的两点,A B ，O是坐标原点，且有OA OB +³uuu r uuu r k 的取值范围是（ ）A．B．C．D．8．已知向量(),,x y z a a a a =r，(),,x y z b b b b =r ，{},,i j k r r r 是空间中的一个单位正交基底．规定向量积的行列式计算：()()()y z y z x x z x y z y x a b a b a b i a b a b j a b a b k ´=-+-+-rr r r r ,,y z x y x z x y z y z x y x z xyz ij ka a a a a a a a ab b b b b b b b b æö==-ç÷ç÷èør rr ，其中行列式计算表示为a b ad bc c d=-，若向量()2,1,4AB =uuu r ，()3,1,2AC =uuu r ，则AB AC ´=uuu r uuu r（ ）A ．()4,8,1---B ．()1,4,8--C ．()2,8,1--D ．()1,4,8---二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．给出下列命题，其中正确的命题是（ ）A ．若直线l 的方向向量为()1,0,3e =r ，平面a 的法向量为22,0,3n æö=-ç÷èør ，则直线//l aB ．若对空间中任意一点O ，有111442OP OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r uuu r，则P 、A 、B 、C 四点共面C ．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线D ．已知向量()9,4,4a =-r ，()1,2,2b =r ，则a r 在b r上的投影向量为()1,2,210．圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（ ）A ．公共弦AB 所在直线方程为0xy -=B ．线段AB 中垂线方程为10x y +-=C ．公共弦ABD ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 111．直线()()231380m x m y m --+++=与两坐标轴围成的三角形OAB 的面积记为()S f m =，则（ ）A ．S 的最小值是12B ．对于所有的012S >，方程()0f m S =有4个不等实数解C ．存在唯一实数m ，使32S =D ．()S f m =的值域是()0,¥+三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．经过点A(1,1)且在两条坐标轴上的截距相等的直线方程是．13．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1 2.AB AA ==E 、F 分别是BC 、11A C 的中点.设D 是线段11B C 上的（包括两个端点）动点，当直线BD 与EF BD 的长为 .14．已知正三角形ABC 的边长为1，P 是平面ABC 上一点，若2225PA PB PC ++=，则PA 的最大值为 ．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．已知直线1:260l ax y -+=和直线2:10l x y +-=.(1)若12l l ^时，求a 的值；(2)当12//l l ，求两直线12,l l 的距离.16．已知圆()()221:231C x y ++-=与圆()222:2140R C x y x y m m +--+=Î(1)若20m =，两圆相交于M ，N 两点，求直线MN 的方程；(2)当m 取何时，两圆外切17．已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，2,AD AB PAB =△是等边三角形，平面PAB ^平面ABCD ，,M E 是线段,PA BC 的中点.(1)求证：直线ME ∥平面PCD ；(2)求PC 与平面PDE 所成角的正弦值.18．已知圆O ：()2220x y r r +=>与圆E ：22220x y x y +--=内切．(1)直线l ：1y kx =+与圆O 交于M ，N 两点，若7OM ON ×=-uuuu r uuu r，求k 的值；(2)过点E 作倾斜角互补的两条直线分别与圆O 相交，所得的弦为AB 和CD ，若AB CD l =，求实数l 的最大值．19．平面直角坐标系中，圆M 经过点)A ，()0,4B ，()2,2C -.(1)求圆M 的标准方程；(2)设D (0,1)，过点D 作直线1l ，交圆M 于PQ 两点，PQ 不在y 轴上.①过点D 作与直线1l 垂直的直线2l ，交圆M 于EF 两点，记四边形EPFQ 的面积为S ，求S 的最大值；②设直线OP ，BQ 相交于点N ，试证明点N 在定直线上，求出该直线方程.。
2023-2024学年广东省广州市高二上学期期末数学试题(含解析)
2023-2024学年广东省广州市高二上册期末数学试题一、单选题1．已知()A 3,5，()1,7B ，则直线AB 的倾斜角大小是（）A ．45︒B ．60︒C ．120︒D ．135︒【正确答案】D【分析】设出直线的倾斜角，利用倾斜角与斜率的关系求出tan 1α=-，进而求出倾斜角.【详解】设直线AB 的倾斜角为α，则75tan 113α-==--，因为[)0,πα∈，所以135α=︒.故选：D2．抛物线24y x =上一点P 到焦点的距离为3，则点P 的横坐标为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】B【分析】根据抛物线的定义解题即可.【详解】设()00,P x y ，因为24y x =，所以2p =，所以0232x +=，解得02x =故选：B ．3．过点()1,2P 引直线，使()2,3A ，()4,5B -两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（）A ．3270x y +-=B ．250x y +-=C ．3270x y +-=或460x y +-=D ．3270x y +-=或250x y +-=【正确答案】C【分析】设所求的直线为l ，则直线l 平行于AB 或直线l 过线段AB 的中点，分情况讨论即可求解.【详解】设所求的直线为l ，则直线l 平行于AB 或直线l 过线段AB 的中点，因为()2,3A ，()4,5B -，所以53442AB k --==--，所以过点()1,2P 且与AB 平行的直线为：()241y x -=--即460x y +-=，因为()2,3A ，()4,5B -，所以线段AB 的中点为()3,1-，所以过点()1,2P 与线段AB 的中点为()3,1-的直线的方程为：()122131y x ---=⨯--，即3270x y +-=，所以这条直线的方程是：3270x y +-=或460x y +-=，故选.C4．设{}n a 是等差数列，若723,13a a ==，则数列{}n a 前8项的和为A ．128B ．80C ．64D ．56【正确答案】C【分析】由等差数列的求和公式以及角标之和的性质求解即可.【详解】()()87128886422a a a a S ⨯+⨯+===故选：C本题主要考查了等差数列的求和公式以及角标之和的性质，属于基础题.5．在直三棱柱111ABC A B C -中，1190,,BCA D F ∠=︒分别是1111,A B AC 的中点，1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的正弦值是（）A．10B ．12C．10D．15【正确答案】C【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得11BD AF 与所成角的余弦值，从而求得所求.【详解】根据题意易知1,,AC BC CC 两两相互垂直，由此建立如图所示空间直角坐标系，不妨设12BC AC CC ===，则()()()()112,0,0,1,0,2,0,2,0,1,1,2,A F B D 故()11,1,2BD =- ，()11,0,2AF =-，设11BD AF 与所成角为α，090α︒≤≤︒，则11cos AF BD AF BD α⋅==⋅所以sin 10α=，即1BD 与1AF所成角的正弦值是10故选：C.6．已知直线l ：310mx y m --+=恒过点P ，过点P 作直线与圆C ：22(1)(2)25x y -+-=相交于A ，B 两点，则AB 的最小值为（）A ．45B ．2C ．4D ．25【正确答案】A【分析】写出直线的定点坐标并判断与圆的位置关系，进而确定AB 最小时直线与直线CP 的位置关系，即可得结果.【详解】由(3)10m x y --+=恒过(3,1)P ，又22(31)(12)525-+-=<，即P 在圆C 内，要使AB 最小，只需圆心(1,2)C 与P 的连线与该直线垂直，所得弦长最短，由||5CP =5，所以22555AB =-故选：A7．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是（）A ．3B ．12C ．2D ．4【正确答案】A【分析】根据等差数列的通项得出第1、5、17项，根据等比中项得出12a d =，即可根据等比数列公比求法得出答案.【详解】数列{}n a 是公差为0d ≠的等差数列，则()11n a a n d +-=，则514a a d =+，17116a a d =+，第1、5、17项顺次成等比数列，则()()2111416a d a a d +=+，解得12a d =，则这个等比数列的公比511111433a a d a q a a a +====，故选：A.8．已知()4,0A ，()0,4B ，从点()2,0P 射出的光线经直线AB 反射后，再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是（）A．B ．6C．D．【正确答案】C【分析】求出P 关于直线AB 的对称点Q 和它关于y 轴的对称点T ，则QT 的长就是所求路程．【详解】由题意直线AB 方程为4x y +=，设P 关于直线AB 的对称点(,)Q a b ，则122422ba ab ⎧=⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩，解得42a b =⎧⎨=⎩，即(4,2)Q ，又P 关于y 轴的对称点为(2,0)T -，QT ==故选：C二、多选题9．已知直线1l 的方程为()258x m y ++=，直线2l 的方程为()345m x y ++=，若12//l l ，则m =（）A ．1-B ．7-C ．1D ．3-【正确答案】AB【分析】根据两直线平行可得12211221A B A B AC A C =⎧⎨≠⎩，解之即可【详解】因为()1258l x m y ++=：即()2580x m y ++-=，()2345m x l y ++=：即()3450m x y ++-=，且12//l l ，所以()()()()53242583m m m ⎧++=⨯⎪⎨⨯-≠-+⎪⎩，解得1m =-或7-．故选：AB10．已知双曲线C过点(且渐近线方程为3y x =±,则下列结论正确的是（）A．直线10x -=与C 有两个公共点B ．CC ．C 的方程为2213x y -=D ．曲线2e 1x y -=-经过C 的一个焦点【正确答案】CD【分析】根据渐近线方程设出双曲线方程,将点(代入即可得双曲线方程,因为直线10x -=与渐近线平行,所以与双曲线只有一个交点,所以A 错误;根据双曲线方程可求出,,a b c ,进而判断选项B,C 的正误;写出焦点坐标,代入2e 1x y -=-中,即可判断选项D 正误.【详解】解:因为双曲线C渐近线方程为y =,不妨设双曲线方程为:223x y λ-=,将点(代入,可得3λ=,所以双曲线方程为:2213x y -=,故选项C 正确;因为直线10x -=与渐近线平行,所以与双曲线只有一个交点,故选项A 错误;因为双曲线方程为:2213x y -=,所以1,2a b c ===,所以离心率为c a =故选项B 错误;因为双曲线的焦点坐标为()()2,0,2,0-,将()2,0代入2e 1x y -=-知，该焦点在曲线上,将()2,0-代入2e 1x y -=-知，该焦点不在曲线上,所以选项D 正确.故选:CD11．已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点1F 、2F 在x 轴上，短轴长等于2，焦距为过焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P 、Q 两点，则下列说法正确的是（）A ．椭圆C 的方程为2214x y +=B ．椭圆C C ．12PQ =D ．272PF =【正确答案】AD【分析】求出a 、b 、c 的值，可判断AB 选项的正误；设点1F 为椭圆C 的左焦点，将x =入椭圆方程，可求得PQ 的长，可判断C 选项的正误；利用椭圆的定义可判断D 选项的正误.【详解】对于椭圆C ，由已知可得222bc =⎧⎪⎨=⎪⎩1b =，c =2a ==.对于A 选项，因为椭圆C 的焦点在x 轴上，故椭圆C 的方程为2214xy +=，A 对；对于B 选项，椭圆C 的离心率为2c e a ==，B 错；对于C 选项，设点1F 为椭圆C 的左焦点，易知点()1F ，将x =12y =±，故1PQ =，C 错；对于D 选项，11122PF PQ ==，故21722PF a PF =-=，D 对.故选：AD.12．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 上一点，且二面角C AB E --的正切值为2，则（）A ．异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为5B ．在棱AB 上不存在一点F ，使得1//C F 平面BDE C ．1B 到平面ABE 的距离是C 到平面ABE 倍D ．直线BE 与平面11BDD B 所成角的大小等于二面角C AB E --的大小【正确答案】CD【分析】建立空间直角坐标系，根据二面角C AB E --的正切值求出点E 的位置，利用空间向量与线面之间的关系可列式得出A 、B 、D 选项；利用等体积法即可求出1B 到平面ABE 的距离和C 到平面ABE 的距离，即可判断出选项 C.【详解】如图建立直角坐标系，设正方体边长为2因为二面角C AB E --2，所以二面角C AB E --设平面ABC 的法向量为()10,0,1n = ，设平面ABE 的法向量为()2,,n x y z =u u r()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,E λ，()0,2,0AB =，()2,0,BE λ=- 222020AB n y BE n x z λ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，设1x =，解得221,0,n λ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ()1212122cos ,3n n n n n n ⋅==⋅，解得λ=AE =，2AD =，DE222cos 25AD AE DE DAE AD AE +-∠==⋅⋅，A 错误；()2,2,0B，(0,E ，()0,0,0D ，()2,2,0DB =，(0,DE = 设平面BDE 法向量为()3,,n x y z =3322020DB n x y DE n y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，设1x =，解得(31,n =- ()10,2,2C ，()2,,0F y ，()12,2,2C F y =--若1//C F 平面BDE，则31220n C F y ⋅=-+-=，解得42y =-<故在棱AB上存在一点F，使得1//C F平面BDE，B错误；设1B到平面ABE的距离为1h，C到平面ABE的距离为2h，其中ABES=111112233B ABE E ABBV V h--==⨯=⨯⨯，解得13h=211233C ABE E ABCV V h--==⨯=⨯，解得23h=，12h=，C正确；(BE=-，平面11BDD B的法向量为()2,2,0AC=-()cos,3BE ACBE ACBE AC⋅==⋅，直线BE与平面11BDD B，D正确.故选：CD三、填空题13．过点()1,0，且斜率为2的直线方程是______．【正确答案】220x y--=【分析】由题意写出直线的点斜式方程，再化为一般式方程．【详解】过点()1,0，且斜率为2的直线方程是()021y x-=-，化为一般式方程为220x y--=．故答案为220x y--=．本题考查了直线方程的应用问题，是基础题．14．椭圆221259x y+=的左焦点为1F，M为椭圆上的一点，N是1MF的中点，O为原点，若3ON=，则1MF=______．【正确答案】4【分析】根据三角形的中位线定理，结合椭圆的定义即可求得答案.【详解】椭圆221259x y+=的左焦点为1F,如图，设右焦点为2F,则5a=，由N是1MF的中点，O为12F F得中点，3ON=,故2||2||6MF ON==,又12||||210MF MF a+==，所以1||4MF =，故415．设椭圆22*221(N 211)x y n n n +=∈++的焦距为n a ，则数列{}n a 的前n 项和为__________.【正确答案】2n n+【分析】根据椭圆的标准方程求出焦距为n a ，再利用等差数列的前n 项和公式即可求解.【详解】因为2n a n ==，所以数列{}n a 为等差数列，首项12a =，所以数列{}n a 的前n 项和为2(22)2n nn n +=+.故2n n+本题考查了椭圆的简单几何性质、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题.16．已知等比数列{}n a 的首项为1，且()64312a a a a +=+，则1237a a a a = __________.【正确答案】128【分析】先由等比数列的通项公式得到364312a a q a a +==+，进而得到3412a a q =⋅=，再根据等比数列的性质得到结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为()64312a a a a +=+，根据等比数列的通项公式的计算得到：364312a a q a a +==+，所以3412a a q =⋅=.由等比数列的性质得到.77123742128a a a a a === 故答案为128.这个题目考查了等比数列的通项公式的写法，以及等比数列的性质的应用，题目比较基础.对于等比等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.四、解答题17．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知14a =，公差0d >，4a 是2a 与8a 的等比中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T .【正确答案】(1)()*4n a n n N =∈；(2)2(1)n n T n =+【分析】（1）由等比数列的性质结合已知条件列出等式即可求得d ，代入等差数列的通项公式即可得解；（2）求出等差数列{}n a 的前n 项和，再由裂项相消法求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T .【详解】（1）因为4a 是2a 与8a 的等比中项，所以2428a a a =，即()()()221113740a d a d a d d d +=++⇒-=，解得4d =或0d =，又0d >，所以4d =，数列{}n a 的通项公式为()*1(1)4n a a n d n n N =+-=∈；（2）()1n 2n n a a S 2n 2n 2+==+ ，2n 111112n 2n 2n n 1S ⎛⎫∴== ⎪++⎝⎭则n 12n111T S S S =++⋯+111111111122231212(1)n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.本题考查等差数列通项公式及前n 项和公式，裂项相消法求和，属于基础题.18．已知圆C 过点()4,0A ，()8,6B ，且圆心C 在直线l ：30x y --=上.(1)求圆C 的方程；(2)若从点()4,1M -发出的光线经过x 轴反射，反射光线1l 刚好经过圆心C ，求反射光线1l 的方程.【正确答案】(1)()()226313x y -+-=；(2)2530x y -+=【分析】(1)根据题意设圆心(,3)C a a -，利用两点坐标公式求距离公式表示出CA CB =，解出a ，确定圆心坐标和半径，进而得出圆的标准方程；(2)根据点关于坐标轴对称的点的特征可得()14,1M --，利用直线的两点式方程即可得出结果.【详解】（1）圆C 过点()4,0A ，()8,6B ，因为圆心C 在直线：l ：30x y --=上，设圆心(,3)C a a -，又圆C 过点()4,0A ，()8,6B ，所以CA CB =解得6a =，所以()6,3C ，所以r CA ==故圆C 的方程为C ：()()226313x y -+-=；（2）点()4,1M -关于x 轴的对称点()14,1M --，则反射光线1l 必经过点1M 和点C ，由直线的两点式方程可得113446y x +--=+--，即1l .2530x y -+=19．四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上．(1)求证：平面AEC ⊥平面PDB ；(2)当PD =且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成角的大小．【正确答案】(1)证明见解析(2)45︒【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合向量法证得平面AEC ⊥平面PDB .（2）结合向量法求得直线AE 与平面PDB 所成角的余弦值，进而求得所成角的大小.【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系，设,AB a PD h ==，()()()(),0,0,,,0,0,,0,0,0,A a B a a C a P h ，(),,0AC a a =- ，所以220,0AC DP AC DB a a ⋅=⋅=-+= ，所以,AC DP AC DB ⊥⊥，由于DP DB D ⋂=，所以AC ⊥平面PDB ，由于AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面PDB .（2）当PD =且E 为PB中点时，()11,,,222P E a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设AC BD O = ，则11,,022O a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，连接EO ，则//EO DP ，EO ⊥平面ABCD ，EO AO ⊥.由（1）知AC ⊥平面PDB ，所以AEO ∠是AE 与平面PDB所成角，11,,,0,0,2222EA a a a EO a ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos EO AEO EA ∠= 由于[]0,90AEO ∠∈︒︒，所以45AEO ∠=︒.20．已知等差数列n {a }的前n 项和为n S ，公差为0d >，且231440,13a a a a =+=，公比为(01)q q <<等比数列n {b }中，12311111,,,,,,60322082b b b ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭(1)求数列n {a }，n {b }的通项公式,n n a b ；(2)若数列n {c }满足n n n c a b =+，求数列n {c }的前n 项和n T .【正确答案】(1)3 1.n a n =-2112n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭；(2)()31211234n n n +⎛⎫+- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据等差数列与等比数列的通项公式即可求解.（2）利用等差数列前n 项和公式与等比数列的前n 项和公式以及分组求和法即可求解.【详解】(1)由题意可得：等差数列n {a }，1111()(2)40,2,2313.3a d a d a a d d ++==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩3 1.n a n =-因为等比数列n {b }中，12311111,,,,,,60322082b b b ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，(01)q q <<，所以123111,,.2832b b b ===12111,1112•1242.4n n n b b q --⎧=⎪⎪⎛⎫⎛⎫⇒==⎨ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎪=⎪⎩.(2)n n n c a b =+=31n -2112n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭.()111242311214nn n n T ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+-⎢⎥⎣⎦∴=+-()31211234n n n +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭本题主要考查等差等比数列的通项公式、求和公式以及分组求和，需熟记公式，考查学生的计算能力，属于基础题.21．如图，直四棱柱ABCD–A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D的中点．（1）证明：MN ∥平面C 1DE ；（2）求二面角A-MA 1-N 的正弦值．【正确答案】（1）见解析；（2【分析】（1）利用三角形中位线和11//AD 可证得//ME ND ，证得四边形MNDE 为平行四边形，进而证得//MN DE ，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）以菱形ABCD 对角线交点为原点可建立空间直角坐标系，通过取AB 中点F ，可证得DF ⊥平面1AMA ，得到平面1AMA 的法向量DF ；再通过向量法求得平面1MA N 的法向量n ，利用向量夹角公式求得两个法向量夹角的余弦值，进而可求得所求二面角的正弦值.【详解】（1）连接ME ，1B CM ，E 分别为1BB ，BC 中点M E ∴为1B BC ∆的中位线1//M E BC ∴且112ME B C =又N 为1A D 中点，且11//AD BC 1//ND BC ∴且112ND B C =//M E ∴∴四边形MNDE 为平行四边形//MN DE ∴，又MN ⊄平面1C DE ，DE ⊂平面1C DE//MN ∴平面1C DE（2）设AC BD O = ，11111A CB D O ⋂=由直四棱柱性质可知：1OO ⊥平面ABCD四边形ABCD 为菱形AC BD∴⊥则以O 为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：则：)3,0,0A ，()0,1,2M ，)13,0,4A ，D （0，-1,0）31,,222N ⎫-⎪⎪⎝⎭取AB 中点F ，连接DF ，则31,022F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭四边形ABCD 为菱形且60BAD ∠= BAD ∴∆为等边三角形DF AB∴⊥又1AA ⊥平面ABCD ，DF ⊂平面ABCD1D F A A ∴⊥DF ⊥∴平面11ABB A ，即DF ⊥平面1AMA DF ∴ 为平面1AMA 的一个法向量，且33,,022DF ⎫=⎪⎪⎝⎭设平面1MA N 的法向量(),,n x y z =r ，又)13,1,2MA =- ，33,,022MN ⎫=-⎪⎪⎝⎭132033022n MA y z n MN x y ⎧⋅-+=⎪∴⎨⋅=-=⎪⎩ ，令3x =1y =，1z =-)3,1,1n ∴=- 15cos ,515DF n DF n DF n ⋅∴<>===⋅ 10sin ,5DF n ∴<>= ∴二面角1A M A N --的正弦值为：105本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型.22．设抛物线2:4C y x =，直线:20l x my --=与C 交于A ，B 两点．()1若||AB =l 的方程；()2点M 为AB 的中点，过点M 作直线MN 与y 轴垂直，垂足为N ．求证：以MN 为直径的圆必经过一定点，并求出该定点坐标．【正确答案】(1)20x y --=或20x y +-=，(2)见证明【分析】(1)联立直线与抛物线消去x 得到关于y 的一元二次方程，利用弦长公式AB ==.(2)设M 的坐标为(),OH OH x y ，由于MN 为直径的圆经过点()00,P x y ，可利用·0PM PN = 找出一关系式，从而求出定点.【详解】()1由224x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 并整理可得2480y my --=，显然216320m =+> ，设()()1122,,,A x y B x y ，124y y m ∴+=，128y y =-AB ∴===21m ∴=，即1m =±，直线方程为20x y --=或20x y +-=，()2证明：设AB 的中点M 的坐标为(),OH OH x y ，则()12122OH y y y m =+=，2=222OH OH x my m ∴+=+，()222,2M m m ∴+，由题意可得()0,2N m ，设MN 为直径的圆经过点()00,P x y ，()20022,2PM m x m y ∴=+-- ，()00,2PN x m y =-- ，由题意可得·0PM PN = ，即()2220000042420x m y m x y x --++-=，由题意可得002200042040,20x y x y x -=⎧⎪=⎨⎪+-=⎩解得002,0x y ==，定点()2,0即为所求本题主要考查直线与抛物线的位置关系，圆的相关性质，定点问题，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度较大.。
2023-2024学年广东省广州市天河区高二下学期期末考试数学试卷
2023-2024学年广东省广州市天河区高二下学期期末考试数学试卷1.以下八个数据：的第80百分位数是（）A ．68B ．70C ．71D ．70.52.甲乙两人独立破译密码，甲能破译出密码的概率为，乙能破译出密码的概率为，则密码被成功破译的概率为（）A ．B ．C ．D ．3.已知随机变量的分布列如下：236则的值为（）A ．20B ．18C ．8D ．64.某市共10000人参加一次物理测试，满分100分，学生的抽测成绩服从正态分布，则抽测成绩在的学生人数大约为（）（若，则）A ．1359B ．2718C ．3414D ．47735.的展开式中，各项的二项式系数只有第4项最大，则常数项为（）A ．160B ．20C ．D ．6.曲线在点处的切线方程为（）A ．B ．C ．D ．7.某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如01001），其中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时，下列说法正确的是（）A ．B ．C ．D ．五位二进制数与出现的概率相同8.若，且，则（）A ．B ．C．D．9.函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则（）A．函数在上只有一个极小值点B．函数在上有两个极大值点C．函数在上可能没有零点D．函数在上一定不存在最小值10.变量的一组样本数据如下表所示：681012632通过散点图发现样本点分布在一条直线附近，并通过最小二乘法求得经验回归方程为，则（）A．变量之间呈负相关关系B．变量之间的相关系数C．D．样本点的残差为11.校运会组委会将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往铅球、跳远、跳高三个比赛区域，每个区域至少派1名志愿者，每名志愿者只能去一个区域．A表示事件“志愿者甲派往铅球区域”，表示事件“志愿者乙派往铅球区域”，表示事件“志愿者乙派往跳远区域”，则（）A．A与相互独立B．与互斥C．D．12.某药厂用甲、乙两地收购而来的药材加工生产出一种中成药，这两个地区的供货量分别占，，且用这两地的药材能生产出优等品的概率分别为，，现从该厂产品中任意取出一件产品，则此产品是优等品的概率为______．13.一个课外活动小组的7名同学被邀请参加一个社团活动．如果必须有人去，去几个人自行决定，有______种不同的去法．（用数字作答）14.近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模稳定增长，有关部门整理了2017—2022年中国夜间经济的数据，把市场发展规模记为（单位：万亿元），并把2017—2022年对应的年份代码依次记为，经分析，判断可用函数模型拟合与的关系（为参数）．令，计算得，，由最小二乘法得经验回归方程为，则的值为______．为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数______．（参考公式：决定系数，参考数据：）；15.已知函数（）(1)求的单调区间；(2)当有3个零点时，求的取值范围．16.某食品加工厂为了检查一条新投入使用的全自动包装线的效能，随机抽取该包装线上的100件产品，检测出产品的重量（单位：克），重量的分组区间为，，由此得到样本的频率分布直方图（如图）．(1)求直方图中的值；(2)估计这100件产品的重量的中位数（结果保留小数点后一位）；(3)若产品重量在区间上，则判定该产品包装合格．在这100件产品中任取2件，记包装不合格的产品件数为，求的分布列和数学期望．17.某单位拟实行新的员工考勤管理方案．方案起草后，为了解员工对新方案是否满意，随机选取150名男员工和150名女员工进行问卷调查，结果如下：300名员工中有15名员工对新考勤管理方案不满意，其中男3人，女12人．(1)完成如下列联表：单位：人性别满意合计是否男女合计根据的独立性检验，能否认为性别与对新考勤管理方案满意有关联？(2)为了得到被调查者对所提问题的诚实回答，消除被调查者对于敏感问题的顾虑，决定调整调查方案．新的调查方案中使用两个问题：①你公历生日是奇数吗？②你对新考勤管理方案是否满意？先让被调查者从装有4个红球，6个黑球（除颜色外，完全相同）的袋子中随机摸取两个球（摸出的球再放回袋中）．摸到两球同色的员工如实回答第一个问题，摸到两球异色的员工如实回答第二个问题．问卷上没有问题，答题者只需选择“是”或者“否”．由于回答的是哪个问题是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑的诚实回答．（i）根据以上调查方案，求某个被调查者回答第一个问题的概率；（ii）如果300人中共有206人回答“是”，请估计对新考勤管理方案满意的员工所占的百分比．（每个员工公历生日是奇数的概率取为）附：．0.050.0250.0053.841 5.0247.879 18.已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若在定义域内有两个极值点，求证：．19.现有枚游戏币，游戏币是有偏向的，向上抛出后，它落下时正面朝上的概率为．甲、乙利用这枚游戏币玩游戏．(1)将这3枚游戏币向上抛出，记落下时正面朝上的个数为，求的分布列；(2)将这枚游戏币向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2013学年广州市高二年级学生学业水平数学测试本试卷分选择题和非选择题两部分, 共4页. 满分150分. 考试用时120分钟. 参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高， 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1.函数()f x =()A ．[)1,-+∞B ．(],1-∞-C ．[)1,+∞D ．(],1-∞2.集合{a,b,c}的子集个数是( )A. 5B. 6C. 7D. 83.已知数列{}n a 满足111,n n a a a n +==+，则3a 的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 54.经过点（3,0）且与直线250x y +-=平行的直线方程为（ ） A. 230x y --= B. 230x y +-= C. 260x y --= D. 260x y +-=5. 函数sin 2y x =的一个单调区间是（ ）A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6.做一个体积为32m 3，高为2m 的无盖长方体的纸盒，则用纸面积最小为（ ）A. 64m 2B. 48m 2C. 32m 2D. 16m 27. 已知变量x y ,满足约束条件201010x y x y y ⎧--≥⎪+-≤⎨⎪+≥⎩,,.则目标函数2z y x =-的最小值为（ ）A ．5-B ．4-C ．3-D ．2-8.如图1所示，程序框图（算法流程图）输出的结果是 （ ）A ．2B ．4C ．8D ．16 9.关于x 的不等式2220x ax a +-> 的解集中的一个元素为1，则实数a 的取值范围是（ B ） A. ()(),12,-∞-+∞ B.（-1,2）C. ()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭D. （-1,12） 10.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是（0,0,0），（1,1,0），（1,0,1），（0,0,a ） (a <0)，画该四面体三视图中的正视图时，以xOz 平面为投影面，得到正视图的面积为2，则该四面体的体积是（ ） A.13 B. 12 C. 1 D. 32图1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11.在△ABC 中，∠ABC=450，AC=2，BC=1，则sin ∠BAC 的值为 . 12.某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录用茎叶图表示（图2），则该赛季发挥更稳定的运动员是 .（填“甲”或“乙”） 13.已知向量(1,2),(3,4),AB AC ==则BC = . 14.已知[x]表示不超过实数x 的最大整数，g(x)=[x]，0x 是函数()21log f x x x=-的零点，则g(0x )的值等于 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15.（本小题满分12分）某中学高一年级新生有1000名，从这些新生中随机抽取100名学生作为样本测量其身高（单位：cm ），（1）试估计高一年级新生中身高在[)175,180上的学生人数；（2）从样本中身高在区间[)170,180上的女生中任选2名，求恰好有一名身高在区间[)175,180上的概率.16. （本小题满分12分） 已知函数()sin cos ,6f x x x x R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭. （1）求(0)f 的值；（2）若α是第四象限角，且133f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan α的值. 8 0 4 6 3 1 2 5 3 6 8 2 5 43 8 9 3 1 6 1 6 7 94 4 9 15 0乙甲图2如图3，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E,F 分别是A 1D 1,A 1A 的中点。
（1）求证：1//BC 平面CEF ；（2）在棱11A B 上是否存在点G ，使得EG CE ⊥？若存在，求1A G 的长度；若不存在，说明理由。
18. （本小题满分14分）,已知直线:l y kx =与圆()221:11C x y -+=相交于A,B 两点，圆2C 与圆1C 相外切，且与直线l 相切于点(M 。
（1）求k 的值； （2）求AB 的长； （3）求圆2C 的方程。
19. （本小题满分14分）设数列{}n a 是等比数列，对任意*n N ∈，()12335...21n n T a a a n a =++++-，已知11T =，27T =。
（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求使得()1260n n T T +<+成立的最大正整数n 的值。
（2）()()2112335...2113252 (212)n n n T a a a n a n -=++++-=+⨯+⨯++-⨯。
①图3CAA 1C 1F已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2.f x x x =- （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在区间[],1a a +上的最大值。
2013学年广州市高二年级学生学业水平数学测试答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1. A DCDA BA CB B10.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz-中的坐标分别是（0,0,0），（1,1,0），（1,0,1），（0,0,a）(a<0)，画该四面体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，得到正视图的面积为2，则该四面体的体积是（）A.13B.12C. 1D.323解：∵111,n na a a n+==+，∴令n=1，111a a+=+n=2，2122224a a+=+=+=.解：关于x的不等式2220x ax a+->以()2120f a a=+->，220a a--<，10.解：这个四面体是图中的O-MNP，又以xOz视图是如图阴影的四边形ONQP，它的面积为2()111112,22a⨯⨯+⨯⨯-=解得3a=-。
四面体的体积是（M-OPN）(△OPN是底面，MQ是高=1111111332ODAS OD⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=1131132⨯⨯⨯⨯二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分11.4.12. 乙.13.（2,2）.14 1 .14解：函数()21logf x xx=-的零点x是方程2211log0,logx xx x-==即的解，即函数2logy x=交点的横坐标。
画出函数21log,y x yx==与大整数，g(x)=[x]=1.三、解答题：本大题共6小题，满分8015.解（1）∵样本中身高在[)175,180∴估计高一年级新生中身高在[)175,180（2）样本中身高在区间[)170,180上的女生有100（[)175,180上的女生有100×0.01=1人，记为5.从这5人中选2人有10种不同选法。
其中恰好有一名身高在区间[)175,180上有4中，所以恰好有一名身高在区间[)175,180上的概率是42105P==。
16. 解（1）11(0)sin cos 01622f π⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭， （2）∵1sin cos 3633f πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即111cos cos cos 223ααααα++==， 又α是第四象限角，所以sin sin ,tan 3cos αααα==-==- 17. 证明：（1）连接AD 1，∵AB //C 1D 1,∴ABC 1D 1是平行四边形，所以11//BC AD ，又E,F 分别是A 1D 1,A 1A的中点，所以1//EF AD ，所以1//BC EF ，又BC 1在平面CEF 外，EF 在平面CEF 内，所以1//BC 平面CEF 。
（2）设在棱11A B 上是否存在点G ，使得EG CE ⊥，记1A G =x ， 以A 1为坐标原点，A 1B 1为x 轴，A 1D 1为y 轴建立坐标系，则C 1（1,1），E(0，12),G(x,0),若1EG C E ⊥，则11EG C Ek k ⨯=-，1111221,104x x -⨯=-=--，当1A G =14时，有1EG C E ⊥。
又CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，EG 在平面A 1B 1C 1D 1内，所以CC 1⊥EG ，又CC 1与1C E相交于点C 1，CC 1与1C E 都在平面1CC E 内， 所以EG ⊥平面1CC E ，又CE 在平面1CC E 内，所以EG CE ⊥。
所以当1A G =14时，有EG CE ⊥。
18. 解：（1）直线:l y kx =经过点(M，所以3,k k ==。
（2）圆()221:11C x y -+=的圆心为C 1（1,0），半径为1，直线:,0l y x x =-=， 点C 1（1,0）到直线l 的距离等于12d =，所以AB ==（3）方法1：过点M 作与直线l 垂直的直线/l ，它的方程是)3y x =-，即y =+设圆2C 的圆心2C (,a +，又C 1（1,0），圆2C 与圆1C 相外切，且与直线l相切于点(M 。
所以1221C C MC =+,1=4a =或0a =，D 1A 1B 1EG图3ABA 1C 1D对应的圆心（4,0），半径为2；圆心（0,，半径为6； 所以圆2C 的方程为()2244x y -+=或(2236x y +-=。
方法2：设圆2C 的方程为()()()2220x a y b rr -+-=>则12221C C r MC r l MC ⎧=+⎪=⎨⎪⊥⎩，即1 (1)........(2)1......................(3)33r r b a =+==--⎩， 由（3）解得b =+代入（2）得到r =再把b和r 代入（11=+解得14a =或20a =，对应的圆心（4,0），半径为2；圆心（0,，半径为6；所以圆2C 的方程为()2244x y -+=或(2236x y +-=。
方法3：当圆2C 在直线l 的下方时，过点M 作与直线l 垂直的直线/l ，过 1C 作直线l 的平行线与直线/l 相交于点P，设圆2C 的半径为r 。
∵C 1（1,0），圆2C与圆1C 相外切，且与直线l 相切于点(M，∴OM =1222AB C P MN OM ==-==,222112C P C M PM C M C N r =-=-=-， 121C C r =+，在直角三角形1C 2C P 中，()222112r r ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭⎝⎭，解得r=2. 在直角三角形OM 2C 中，24OC ==，∴cos ∠MO 2C 2=∴∠MO 2C =300，又直线l 的倾斜角为300，所以2C 在x 轴正半轴上，得2C （4,0）， 所以圆2C 的方程为()2244x y -+=。