材料力学总复习刘鸿文 第五版

M
x
x
征 递增
递减
M2
M2 M1 m
盆状
伞状
五、应力应变分析
规定：：使单元体受拉为正，压为负；
t ：绕单元体顺时针转为正，逆为负；
y
：由x轴向截外面法线转，逆正顺负。
1、任意斜截面上的应力：
x
y
2
x
y
2
cos 2
t xy sin 2
t
x
y
2
sin 2
t xy cos 2
2、主应力及极值剪应力：
利用对称及反对称性质降低静不定次数
MM Fs
FN FN Fs
在对称结构上,作用对称载荷时, 对称轴横截面上的剪力(反对 称内力)为零,只有轴力,弯矩（对称内力） 在对称结构上,作用反对称载荷时, 对称轴横截面上的轴力,弯矩 (对称内力) 为零,只有剪力（反对称内力）
2-26、已知EA,F1，F2，求：总伸长，总应变能。
PC x
a
1C
M (x) Px M (x) x
x
a M (x)M (x)
a Px2
Pa3
a st 0
EI
dx 0
dx EI 3EI
A
A
P
v
a
B C
l
A
st max
Pa W
st
Pa 3 3EI
动荷系数：Kd
l EA
l GIp
十一、超静定问题
l EIz
l P EI y
X1——多正余则约方束反程力：；11X1 1F 0
A l 2
C l 2
B
11——在基本静定系上， X1取单位值时引起的
在X1作用点沿 X1方向的位移； 1F——在基本静定系上， 由原载荷引起的在X1 A
P
C
B
X1
作用点沿X1方向的位移；
A
C
D
0.5 0.3 1
T:
621Nm
1433Nm 2、刚度校核
B
t1max
TAC WtAC
668 0.043
53.2MPa [t ]
16
CD段T与AC段相同，但直径比AC段大，
所以CD一定满足强度。
t 3max
TDB WtDB
1432
0.073
16
21.3MPa [t ]
强度满足。
zc 20
20 140
I yC
I1 yC
I2 yC
12.12106m4
yC
1 z1
y
100 2
8-12、已知：d 30mm,[ ] 80MPa,
求：按第三强度理论，确定铰车的最大起吊重量F。 分析：作出内力图，由此判 定危险截面及确定危险点； 按第三强度理论强度条件为：
M 2 T 2 [ ]
bI z
A
AB
B AB
T (x)
TL GI p
dx
L GIP
q
w
x
f
w''(x) M (x) q w´
EI
拉 （压）
强 max[ ]
度 条
A FN max
[ ]
件
FN max A[ ]
刚 度 条 件
扭转
t max[t ]
Wt
Tmax
[t ]
Tmax Wt [t ]
平面弯曲
max[ ] t max[t ]
y Ox
x
txy
max min
tan20
x
2
y x
2t xy
x y
2
y
2
t
2 xy
tmax t min
x
2
y
2
tan 21
x 2t xy
y
画危险点的应力状态图
t
2 xy
六、组合变形的研究方法 —— 叠加原理
①外力分析：外力向形心简化并沿主惯性轴分解,转化为相当 载荷
②内力分析：求每种相当载荷对应的内力方程和内力图，确
(1)v 0 : Kd 1
1 2h f st
(2)突然荷载:Kd 2
Kd 2
九、交变载荷 一、循环特征（应力比）：r min
max
二、平均应力：
m
m
ax
2
m
in
三、应力幅：
a
m
ax
2
m in
max m
a
min
t
T
十、普遍形式的卡式定理
i
FN (x) FN (x) dx EA Fi
四、剪力、弯矩与外力间的关系
无外力段 外 力
q=0
集中力
P C
集中力偶
m
C
均布载荷
q>0
q<0
水平直线 沿P向突变 无变化
斜直线
Fs 图
Fs
Fs
Fs Fs1
特 征
x
C
x Fs2
x
Fs >0 Fs <0 突变值=P
Fs
Fs
Fs
x
x
x
增函数
减函数
M
斜直线
图
特
折角 顺上逆下突变
M
M M1
x
x
二次抛物线
M
八、动载荷
动荷系数Kd
动响应 静响应
A、直线运动构件的动荷系数：Kd
1
a g
B、轴向自由落体冲击问题：Kd 1
1 v2 / g 2h st
(1)v 0 :
Kd 1
1 2h st
(2)突然荷载h 0 :,
C、不计重力的轴向冲击：Kd
v2 g st
D、梁的冲击问题:
Kd 1
1 (v2
g) 2h f st
352
1.65104 m3
S
Zb
0m3
F
1
1000 1 1200
1000
3.64kN
Q:
40 a
150
b
75 10
4.36kN
a点应力:
M:
3.64kNm
4.36kNm
a
M z ya IZ
3.64103 35103 21.1106
6.04MPa
t
FS SZ IZb
3.64103 1.65104 21.2106 75103
+
0.75T
2
≤[ ]
W
七、压杆稳定
l
(1)
p1
即：
，为大柔度压杆； i
cr
2E 2
(欧拉公式)
1
2
a
2E P
s
b
(2) 2s p1 ，为中柔度压杆；
cr a b （直线公式）
(3) s2，为小柔度压杆。
cr s （强度计算）
Fcr A cr
n
Fcr F
nst
qa2 A
2a
Ca
B
再画剪力图； 再画弯矩图；
2qa
FS:
M: qa2
qa2
确定极值。
FS max 2qa, M qa2
max
5-17、已知：F=8KN，求1-1截面上a点和b点的正应力与切应力。
F
1
1000 1 1200
1000
3.64kN
Q:
40 a
分析：
Mz IZ
y
;
150
b
解：先75求支1反0 力：RA
定危险面。 ③应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强
度条件:
拉(压)与弯曲的组合 扭转与弯曲的组合
圆形：
max
FN A
M
2 z
M
2 y
w
矩形： max
FN A
My wy
Mz wz
r3 =
M
2 z
+
M
2
y
+T2
≤[ ]
W
r4 =
Mz,My,T,FN分别为危险截面的内力
M
2 z
+
M
2
y
A 32.8cm2, I 144cm4,i 2.1cm
1 99.4, 2 57.1,
分析：先判断压杆 柔度的类型，
l
i
大柔度杆用欧拉公式计算临界压力，
a 304MPa,b 1.12MPa
1.5m
0.5m
cr
2E 2
A
30 B
中柔度杆用经验公式计算临界压力，
C 由安全系数进行 c稳r 定a性 b校核。
拉 （压）
A
内
FN
力
FN > 0
x—杆轴
扭转 AT
T>0 x—杆轴
平面弯曲
A Fs
x—杆轴
M M>0 FS > 0
x
应 力
FN (x)
A
L
变
L FN L
形
EA
l
FN
(
x) dx
L EA
T
O
t (r) Tr
Ip
tr t max T
Wt
Mzy
Iz
max
Mz Wz
tx
y
ty
FS
S
z
t
FS
S
Z
IZb
3.64kN
4.36kN
RB 4.36kN
3.64kNm 4.36kNm
画剪力图与弯矩图，得1-1截面上：
FS 3.64KN, M 3.64KN m
M:
IZ
bh3 12
75 1503 12
1012
21.1106 m4
矩形：S
＝
Z
b 2
h2 4
y2
S
Za
75 2
1502 4
Wz
M max
[ ]
M maxWz[ ]
m ax
Tmax GI p
(rad/m)
m ax
Tmax GI p
180
(/m)
w w max
q q max
应
变 能
V
FN 2 (x)dx L 2EA
T 2(x)
V
dx L 2GIP
V
M 2 (x)dx L 2EI
一、剪切与挤压的实用计算
T (x) T (x) dx GIp Fi
M z (x) M z (x) dx EIz Fi
M y (x) M y (x) dx EI y Fi
普遍形式的莫尔积分
Δ FN(x)FN(x) dx T(x)T (x) dx Mz(x)M z(x) dx M (x)yM y(x) dx
cr
2E 2
304 1.1282.9106 中柔度杆用经验公式计算临界压力，
211MPa
临界压力为：
Fcr A cr
由安全系数进行 c稳r 定a性 b校核。
n
Fcr F
nst
32.8104 211106 693kN
压杆的工作安全系数：
n
Fcr FBD
693 107
6.5
nst
5
1.5m
0.5m
A
C
30 B
W
所以BD杆工作安全。
D
10-13、已知：l，P，v，E，I，W。求：AB杆的最大应力。
B P
vC
l a
A B
分析：水平冲击的动载荷系数：Kd
v2 g st
动应力为： d max Kd st max
解：静载时的最大应力为： st max
Pa W
B 静载荷时冲击点C的挠度为：(莫尔积分)
9549
14 200
668N
m
M3
9549
P3 n
9549
30 200
1432N
m
M 2 M3 M1 764N m
画扭矩图，得： TAC TCD 668N m
TDB 1432N m
P1 d1
P2
P3
d2
1、强度校核
TAC TCD 668N m TDB 1432N m
t FS t
A
bs
F Ab s
bs
1、校核强度：t [t ] ； bs [ bs ]
2 、设计尺寸：A
FS
[t ]
；Abs
F
[ bs ]
3、设计外载：Fs A[t ] ；F Abs[ bs ]
Fs n
剪切面 n
F
挤压面积 Abs dt
二、各种基本变形相关几何量总结表：
三、IZ（惯性矩）的值：IZ
W D
n
Fcr F
nst
解：由平衡条件得： mA 0 2W FBD sin 301.5 0 FBD 107 kN
FAY
FBD
FAX
A
C B
W
l
i
11.5 / cos30 0.021
82.9
分析：先判断压杆
柔度的类型，
l
2
1
为中柔度杆；
i
大柔度杆用欧拉公式计算临界压力，
临界应力为：
cr a b
y2dA ； A
Iy
z2dA A
1)
规则形状的IZ值：
圆形： I y
Iz
IP 2
d 4
64
矩形：
IZ
bh3 12
b
h 2
y
z
正负面积法
2) 不规则形状的IZ值： 平行移轴定理
h 2
I z1 I zC a2 A I y1 I yC b2 A
A－－几何图形面积； a、b－－坐标轴间距离； (注意: C点必须为形心)
W
T
A
B
0.18F
T：
Fl / 2
M：
解：危险截面为A处左侧（右侧没有）：
C T 0.18F(Nm) M F 0.4 0.2F(Nm) 2
r3
M2 T2 W
32
(0.2F)2 (0.18F)2
d 3
[ ]
F 80 106 0.033 788 N
0.269 32
9-15、已知：W=40KN，nst=5。求：校核BD杆的稳定性。
A1 = 20×140mm2 z1 = 80mm A2 = 100×20mm2 z 2 0
所以截面的形心坐标为
zC
A1 z1 A1
A2 z 2 A2
46.7mm
20 140
zC
20
yC 1 z1
y
2
100
I1 yC
1 201403 20140 (80 46.7)2 12
I2 yC
1 100 203 100 20 (46.7)2 12
A C
TAC 180
GIP 1
80 109
668
0.044
180
1.90 /
m
[]
32
D B
TDB GI P
180
1432
80109 0.074
32
180
0.435 / m [] 刚度满足。
4-2C、画出图示梁的剪力图及弯矩图，并确定
FS
,
max