矩阵可交换性的应用

2015届学士学位毕业论文矩阵可交换性的应用学号：11404111姓名：郭冬冬班级：数学1101指导教师：闫慧凰专业：数学与应用数学系别：数学系完成时间：2014年4月学生诚信承诺书本人重声明：所呈交的论文《矩阵可交换性的应用》是我个人在导师闫慧凰指导下进行的研究工作及取得的研究成果。

尽我所知，除了文中特别加以标注和致的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。

所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了意。

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签名：日期：指导教师声明书本人声明：该学位论文是本人指导学生完成的研究成果，已经审阅过论文的全部容，并能够保证题目、关键词、摘要部分中英文容的一致性和准确性。

指导教师签名：时间摘要矩阵在高等数学中是一个极重要且应用广泛的概念，是线性代数的核心。

而且在一些重要领域也用到了矩阵的计算，像应用数学、计算数学、经济学、数学物理、卫星通信等等，许多工作人员在大量计算这些矩阵时发现了一些对于特殊矩阵成立的公式和规律，本文将用这些规律来叙述一些特殊矩阵（可交换矩阵）的应用。

关键词：矩阵；可交换目录1.绪论 (1)2.基础知识 (1)2.1 矩阵相关概念 (1)2.2 线性变换相关概念 (2)3.矩阵可交换的应用 (3)3.1线性变换与矩阵（可交换）之间的联系 (3)3.2上三角矩阵可交换的应用 (4)矩阵可交换性的应用11404111 郭冬冬 数学与应用数学指导教师 闫慧凰1.绪论随着社会经济的发展，数学显得格外重要，在生产、生活中都或多或少的涉及到了数学，所以数学是每个人必须学会的，而对于一些技术分子则不仅仅是掌握基本的数学知识，而且要对数学中的一些比较高深的容进行进一步的了解，之后对其进行应用，像从事计算科学、无线电技术和卫星通信领域工作的人都涉及到了矩阵的可交换方面的知识。

通常情况下，若A B 和都是m 阶矩阵，像22=B ⨯-（A+B ）(A-B)A是不成立的，但如果已知A B 和可交换，那么上述这个公式就是成立的。

像这样的公式还有很多在可交换矩阵的条件下是成立的，如k k k AB A B =（）等等，当然，有时候在解决一些问题的时候会将线性变换与矩阵结合起来，这样两者之间就可以转化，将问题简单化。

文献[9]就主要介绍了线性变换和矩阵之间的转化问题，文献[3]和文献[4]主要是对矩阵可交换的性质进行了探究。

本文第一部分主要介绍了矩阵可交换性的相关概念，第二部分讲了矩阵可交换在一些方面的应用，主要有线性变换与矩阵的转化、上三角矩阵可交换的计算等。

2.基础知识2.1 矩阵相关概念定义2.1.1 设矩阵A B 和，如果有=AB BA ，则称矩阵A B 与可交换。

定义2.1.2 在m 阶方阵B 中，倘若其中的元素=0,1,2,,ij b i j j m ≠=，，则称B 为m 阶对角矩阵，记为1100mm b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭定义2.1.3 如果一个m m ⨯矩阵其主对角线上的元素全是1，其余的元素全是0，即1001m m⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则称其为m 级单位矩阵，记为m E 或简写为E 。

显然有sm m sm A E A =s sm sm E A A =定义2.1.4 矩阵1111m s sm ka ka ka ka ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭称为矩阵=ij sm A （a ）与数k 的数量乘积，记为kA ，换句话说，即用数k 乘矩阵就是把矩阵的每个元素都乘上k 。

定义2.1.5 设A =，所谓A 的转置就是指矩阵=A '，显然s m ⨯矩阵的转置是m s ⨯矩阵。

定义2.1.6 m 级方阵A 称为可逆的，若有m 级方阵B ，使得=AB BA E =，这里E 是m 级单位矩阵。

定义2.1.7 设ij X 是矩阵A =中元素ij x 的代数余子式，矩阵*X =称为X 的伴随矩阵。

2.2 线性变换相关概念定义2.2.1 设V 是线性空间，σ和τ是V 上的线性变换，若=σττσ成立，则称线性变换σ和τ是可交换的。

定义2.2.2 设V 是数域P 上的m 维线性空间，()L V 是V 上的所有线性变换的集合，12m ααα，，是的一组基，即=V 12(,)m L ααα，记为1212(,,)=(,,)m m B σαααααα，().m m L V B P σ⨯∈∈ ① 在①式所设下，令:()f L V P →，且()f σ= B , ().m m L V B P σ⨯∈∈,则()m m f L V P ⨯是到的同构映射，因此()m m L V P ⨯≅3.矩阵可交换的应用3.1线性变换与矩阵（可交换）之间的联系设V 是数域P 上的m 维线性空间，由定义2.2.2我们得到了()m m L V P ⨯≅，如此便建立了数域上的m 维线性空间V 的线性变换与数域P 上的m m ⨯矩阵的关系，它们是相互唯一确定的。

解决上述中线性变换的问题就可以借助矩阵σ，这样有限维空间上的线性变换问题就可以转化为m m P ⨯中矩阵的问题了，反过来，m m P ⨯中矩阵的问题就可以转化为有限维空间上的线性变换问题。

在同构的前提下，()L V 中的线性变换的很多性质转化为矩阵语言同样成立，反之，也成立。

定理3.1.1 设V 是复数域P 上的m 维线性空间，στ和 是V 的线性变换，且=σττσ，（1） σ的每一个特征子空间都是τ的不变子空间；（2） σ与τ至少有一个公共的特征向量。

证明：（1）设b V 是的σ特种子空间，其中b 是σ的特征值，则对于b V ς∀∈，有()b σςς=，从而(())=()=()=(())()()b b στςστττσττσςτςτς==，故()b V τς∈，即σ的每一特征子空间都是τ的不变子空间。

（2）b V 是τ的不变子空间，则在复数域上，τ必有特征值η，并存在非零向量,(),()()b V b ςτςηςτςηςσςς∈===使故又，所以，ς是σ与τ的公共特征向量。

接下来，我们利用这个定理来证明两个题。

例1：设X Y 、是m 阶复矩阵，且X 的m 个特征值12,,m μμμ两两互异，XY YX =。

证明：Y 是个对角矩阵。

证明：设X 和Y 是m 维复空间V 的线性变换σ和τ在某组基下的矩阵，由已知可得12,,m μμμ是m 个两两互异的特征值，从而存在i ζ使得(),1,2,,i i i i m σζμζ==，其中12,,,m ζζζ线性无关，所以12,,,m ζζζ是V 的一组基，则=()i V L ζ是τ的一维不变子空间的直和.又因为XY YX =，所以=σττσ，根据定理得()i L ζ是τ的不变子空间，其中1,2,i m =，则有()(),1,2,,i i L i m τζζ∈=，即τ有m 个线性无关的特征向量12,,,m ζζζ，则τ可以对角化，所以Y 可以对角化，因此Y 是个对角矩阵。

例2：σ和τ是m 维:线性空间V 的线性变换，证明：若σ的m 个特征值两两互异，则=σττσ的充要条件是σ的特征向量也是τ的特征向量。

证明：设12,,m μμμ是σ的全部特征值，且,()j i i j μμ≠≠，属于i μ的特征向量为(1,2,,)i i m α=。

因为属于不同特征值的特征向量是线性无关的，所以12,,m ααα是V 的一个基。

必要性：设=σττσ，且σ和τ在基i α下的矩阵分别为X Y 、，则12112212(,,)(,,,)(,,)m m m m X σαααμαμαμαααα==，其中12X=(,,,)m diag μμμ。

因为=σττσ，所以XY YX =，由于与对角元素彼此不同的对角矩阵可交换的矩阵只能是对角矩阵，所以12=(,,,)m diag τηηη，这时从1212(,,)(,,)m m Y ταααααα=得到(1,2,,)i i i i m ταηα==。

充分性：若σ的特征向量也是τ的特征向量，则12121(,,)(,,)(,,)m m m diag σααααααμμ=12121(,,)(,,)(,,)m m m diag τααααααηη=，。

于是，σ与τ在基12,,m ααα下的矩阵X 与Y 可交换，12121212(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)m m m m diag diag diag diag μμμηηηηηημμμ=即XY YX =，因此=σττσ。

3.2上三角矩阵可交换的应用首先，给出几个简单的定理，然后由这几个简单定理来推出一个比较复杂的性质，最后利用结论来解决矩阵方面的习题。

定理3.2.1 型如1112110x x X x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的二阶上三角矩阵的可交换矩阵仍然是二阶上三角阵1112110y y Y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中,(1,1,2)ij ij x y i ==为任意实数。

定理3.2.2 型如111213112311000x x x X x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的三阶上三角矩阵的可交换矩阵仍然是三阶上三角矩阵111213112311000y y y Y y y y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（且12122323x y x y =）其中,(1,1,2)ij ij x y i j ==为任意实数。

定理3.2.3 型如0000x a X x a x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的三阶方阵的可交换矩阵仍然是三阶方阵0000000y Y y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中,,a x y 为任意实数。

下面给出矩阵X =的上三角矩阵，再给出一个引理： 引理：与m 阶方阵Q =的可交换矩阵型如上述矩阵X = 根据以上引理，来证明一下如下定理。

定理3.2.4 m 阶方阵P 能与m 阶方阵X =可交换⇔P 是型如方阵X 的m 阶方阵。

证明：必要性：设方阵P 能与m 阶方阵X 可交换，那么与Q =也可交换，由引理可知P 是型如方阵X 的m 阶方阵。

充分性：设=P ，R =中,(1,2,,)i i k r i m =是任意实数，通过矩阵的乘法比较PR RP 和，得出=PR RP 。

接下来，应用以上定理来证明以下的题目。