矩阵可交换性的应用

2015届学士学位毕业论文矩阵可交换性的应用

学号：11404111

姓名：郭冬冬

班级：数学1101

指导教师：闫慧凰

专业：数学与应用数学

系别：数学系

完成时间：2014年4月

学生诚信承诺书

本人重声明：所呈交的论文《矩阵可交换性的应用》是我个人在导师闫慧凰指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了意。

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指导教师声明书

本人声明：该学位论文是本人指导学生完成的研究成果，已经审阅过论文的全部容，并能够保证题目、关键词、摘要部分中英文容的一致性和准确性。

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摘要

矩阵在高等数学中是一个极重要且应用广泛的概念，是线性代数的核心。而且在一些重要领域也用到了矩阵的计算，像应用数学、计算数学、经济学、数学物理、卫星通信等等，许多工作人员在大量计算这些矩阵时发现了一些对于特殊矩阵成立的公式和规律，本文将用这些规律来叙述一些特殊矩阵（可交换矩阵）的应用。

关键词：矩阵；可交换

目录

1.绪论 (1)

2.基础知识 (1)

2.1 矩阵相关概念 (1)

2.2 线性变换相关概念 (2)

3.矩阵可交换的应用 (3)

3.1线性变换与矩阵（可交换）之间的联系 (3)

3.2上三角矩阵可交换的应用 (4)

矩阵可交换性的应用

11404111 郭冬冬 数学与应用数学

指导教师 闫慧凰

1.绪论

随着社会经济的发展，数学显得格外重要，在生产、生活中都或多或少的涉及到了数学，所以数学是每个人必须学会的，而对于一些技术分子则不仅仅是掌握基本的数学知识，而且要对数学中的一些比较高深的容进行进一步的了解，之后对其进行应用，像从事计算科学、无线电技术和卫星通信领域工作的人都涉及到了矩阵的可交换方面的知识。

通常情况下，若A B 和都是m 阶矩阵，像

22=B ⨯-（A+B ）(A-B)A

是不成立的，但如果已知A B 和可交换，那么上述这个公式就是成立的。像这样

的公式还有很多在可交换矩阵的条件下是成立的，如

k k k AB A B =（）等等，当然，有时候在解决一些问题的时候会将线性变换与矩阵结合起来，这样两者之间就可以转化，将问题简单化。文献[9]就主要介绍了线性变换和矩阵之间的转化问题，文献[3]和文献[4]主要是对矩阵可交换的性质进行了探究。

本文第一部分主要介绍了矩阵可交换性的相关概念，第二部分讲了矩阵可交换在一些方面的应用，主要有线性变换与矩阵的转化、上三角矩阵可交换的计算等。

2.基础知识

2.1 矩阵相关概念

定义2.1.1 设矩阵A B 和，如果有=AB BA ，则称矩阵A B 与可交换。

定义2.1.2 在m 阶方阵B 中，倘若其中的元素=0,1,2,

,ij b i j j m ≠=，，

则称B 为m 阶对角矩阵，记为

1100mm b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

定义2.1.3 如果一个m m ⨯矩阵其主对角线上的元素全是1，其余的元素

全是0，即1001m m

⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则称其为m 级单位矩阵，记为m E 或简写为E 。显然有

sm m sm A E A =

s sm sm E A A =

定义2.1.4 矩阵1111m s sm ka ka ka ka ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

称为矩阵=ij sm A （a ）与数k 的数量乘积，记为kA ，换句话说，即用数k 乘矩阵就是把矩阵的每个元素都乘上k 。

定义2.1.5 设A =，所谓A 的转置就是指矩阵=A '，显然s m ⨯矩阵的转置是m s ⨯矩阵。

定义2.1.6 m 级方阵A 称为可逆的，若有m 级方阵B ，使得=AB BA E =，这里E 是m 级单位矩阵。

定义2.1.7 设ij X 是矩阵A =中元素ij x 的代数余子式，矩阵*X =称为X 的伴随矩阵。

2.2 线性变换相关概念

定义2.2.1 设V 是线性空间，σ和τ是V 上的线性变换，若=σττσ成立，则称线性变换σ和τ是可交换的。

定义2.2.2 设V 是数域P 上的m 维线性空间，()L V 是V 上的所有线性变换的集合，12m ααα，，是的一组基，即=V 12(,)m L ααα，记为

1212(,,)=(,,)m m B σαααααα，().m m L V B P σ⨯∈∈ ① 在①式所设下，令:()f L V P →，且()f σ= B , ().m m L V B P σ⨯∈∈,则

()m m f L V P ⨯是到的同构映射，因此

()m m L V P ⨯≅

3.矩阵可交换的应用

3.1线性变换与矩阵（可交换）之间的联系

设V 是数域P 上的m 维线性空间，由定义2.2.2我们得到了()m m L V P ⨯≅，如此便建立了数域上的m 维线性空间V 的线性变换与数域P 上的m m ⨯矩阵的关系，它们是相互唯一确定的。解决上述中线性变换的问题就可以借助矩阵σ，这样有限维空间上的线性变换问题就可以转化为m m P ⨯中矩阵的问题了，反过来，m m P ⨯中矩阵的问题就可以转化为有限维空间上的线性变换问题。

在同构的前提下，()L V 中的线性变换的很多性质转化为矩阵语言同样成立，反之，也成立。

定理3.1.1 设V 是复数域P 上的m 维线性空间，στ和 是V 的线性变换，且=σττσ，

（1） σ的每一个特征子空间都是τ的不变子空间；

（2） σ与τ至少有一个公共的特征向量。

证明：（1）设b V 是的σ特种子空间，其中b 是σ的特征值，则对于b V ς∀∈，有()b σςς=，从而(())=()=()=(())()()b b στςστττσττσςτςτς==，故()b V τς∈，即σ的每一特征子空间都是τ的不变子空间。

（2）b V 是τ的不变子空间，则在复数域上，τ必有特征值η，并存在非零向量,(),()()b V b ςτςηςτςηςσςς∈===使故又，所以，ς是σ与τ的公共特征向量。

接下来，我们利用这个定理来证明两个题。

例1：设X Y 、是m 阶复矩阵，且X 的m 个特征值12,,m μμμ两两互异，XY YX =。证明：Y 是个对角矩阵。

证明：设X 和Y 是m 维复空间V 的线性变换σ和τ在某组基下的矩阵，由已知可得12,,

m μμμ是m 个两两互异的特征值，从而存在i ζ使得