求数列通项公式的十种方法

1． 观察法（求出a1、a2、a3，然后找规律）

即归纳推理，就是观察数列特征，找出各项共同的构成规律，然后利用数学归纳法加以证明即可。

例1.设11=a ，)(222

1*+∈++-=N n b a a a n n n ，若1=b ，求32,a a 及数列}{n a 的通项

公式．

解：由题意可知：11111+-==a ，

112212212

12+-==++-=a a a ， 1131212222

23+-=+=++-=a a a .

因此猜想11+-=n a n . 下面用数学归纳法证明上式． （1）当n ＝1时，结论显然成立．

（2）假设当n ＝k 时结论成立，即11+-=k a k . (3)则11)1(11)1(11)1(12222

1+-+=++-=++-=++-=

+k k a a a a k k k k ，

即当n ＝k ＋1时结论也成立．

由（1）、（2）可知，对于一切正整数n ，都有)(11*

∈+-=N n n a n ．（最后一句总结

很重要）

2． 定义法（已知数列为等差或者等比）

直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目。

例2.已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=，求{}n a 的通项公式。 解：设等差数列{}n a 的公差为d . 因为432a a -=，所以2d =.

又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =.

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所以42(1)22n a n n =+-=+ (1,2,

)n =.

3．公式法

若已知数列的前n 项和

n s 与n

a 的关系，求数列

{}n a 的通项n

a 可用公式

求解。 （一定要讨论n=1，n≥2）

例3.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知23 3.n n S =+

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式。 解：（Ⅰ）由 233n n S =+

可得：当1=n 时， 111

(33)32a S ==+=， 当2≥n 时，11111

(33)(33)3(2)22

n n n n n n a S S n ---=-=+-+=≥

而 11133a -=≠， 所以 1

3,1,

3, 1.

n n n a n -=⎧=⎨

>⎩

4．累加法

当递推公式为)(1n f a a n n +=+时，通常解法是把原递推公式转化为1()n n a a f n +-=。

例4.数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*

N n ∈），则数列{}的前10项和为

解：由题意得：

112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---

12)1(+++-+= n n

2

)1(+=

n n

5．累乘法

当递推公式为)(1n f a a n n =+时，通常解法是把原递推公式转化为

)(1

n f a a n

n =+，利用累乘法

(逐商相乘法)求解。 例5.已知数列{}n a 满足112,31

n n n a a a n +==+，求n a 的通项公式。 解：由条件知

11

n n a n

a n +=

+， 在上式中分别令)1(,,3,2,1-=n n ，得1-n 个等式累乘之，

即

n n a a a a a a a a n n 14332211342312-⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅- ， 即 n

a a n 1

1= 又 321=

a n

a n 32

=∴

6.构造法（拼凑法）-共5种题型，第2、3种方法不必掌握

1、当递推公式为q pa a n n +=+1（其中q p ,均为常数，且0)1(≠-p pq ）时，通常解法是

把原递推公式转化为)(1t a p t a n n -=-+，其中p

q

t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。

例题：已知数列}{n a 满足13,111+==+n n a a a ，求}{n a 的通项公式。 解：由 131+=+n n a a 得 )2

1(3211+=++n n a a 又 23211=+

a 所以}2

1{+n a 是首项为

2

3

，公比为3的等比数列 所以 2

3323211n

n n a =⨯=+-

因此数列}{n a 的通项公式为2

1

3-=n n a .

2、当递推公式为)0,,(1≠++=+pk b k p b kn pa a n n 均为常数，且其中时，通常解法是把原递推公式转化为)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，其中y x ,的值由方程

⎩⎨

⎧=--=-b

y x py k

x px 给出。（了解即可，不必掌握） 例题：在数列}{n a 中，1a =2，1n a +=431n a n -+，

求数列}{n a 的通项n a 。

解：由 1341+-=+n a a n n 得 )(4)1(1n a n a n n -=+-+ 又 111=-a

所以数列}{n a n -是首项为1，公比为4的等比数列

所以 14-=-n n n a ，即 n a n n +=-1

4.

3、当递推公式为n n n c pa a +=+1（其中c p ,均为常数，且0≠pc ）时，通常解法是把原递

推公式转化为

c c a c p c a n n n n 111+⋅=++。①若c

p =，则c

c a c a n n n n 111=-++，此时数列}{n n c a 是以c a 1

为首项，以c 1为公差的等差数列，则c

n c a c a n n 1)1(1⋅-+=，

即1

1)1(--+=n n c a n a 。②若c p ≠，则可化为)1

)((11p

c t t c a c p t c a n n n n -=-=-++其中形式求解。（了解即可，不必掌握） 例题：已知数列{n a }中，1a =1，1n a +=23n

n a +，求数列的通项公式。

解：由 n

n n a a 321+=+

得 )3(23

1

1n n n n a a -=-++

所以数列{3}n n a -是首项为1

13a -=2-，2=q 的等比数列

所以 3n n a -=1

22n --⨯ ， 即 n a =32n n -

4、当递推公式为1n

n n pa a qa s

+=

+（s q p ,,为常数，且0≠pqs ）时，通常两边同时取倒数，

把原递推公式转化为

p q

pa s a n n +=+11。①若s p =，则}1{n a 是以11a 为首项，以p

q 为公差