空间几何体的表面积和体积课件ppt
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
空间几何体的表面积 与体积
柱体、锥体、台体 的表面积与体积
什么是面积？
面积:平面图形所占平面的大小
b
S=ab
a A
ch
S 1 ah 1 acsin B 22
Ba C
b Aa
Sahabhb absinA
a
S 1(ab)h
bh
2
r Sr2
lwk.baidu.com
S 1lr 2
r
n r21r2
360 2
圆心角为n0
S′=S
S′=0
V Sh
V 1 Sh 3
例3.有一堆规格相同的铁制六角螺帽共重 5.8kg（铁的密度是7.8g/cm3），已知螺帽的底 面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm， 高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个？
解答： V≈2956（mm3）=2.956
（cm3）
5.8×1000÷7.8×2.956
V球
4
3
R3
S球面 4 R2
球的体积和表面积
例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直 径，求证：（1）球的体积等于圆柱体积的 2 ；
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积. 3
解:设球的半径为R，则圆柱的底面 半径为R，高为2R.
V 球 4 3R 3 ,V 柱 R 22 R 2R 3
2
V球 3V柱
S r2 rl r(r l)
l
rO
2r
圆锥的侧面展开图是扇形
旋转体的表面积
圆台
底面是圆形
侧面展开图是 一个扇状环形
S上底 r2
S下底 r 2
S侧 (r r)l
S 表 (r2 r 2 rl rl )
旋转体的表面积
圆台
底面是圆形
侧面展开图是 一个扇状环形
S上底 r2
A
B
h
D
S
1 [Sh (S S' )x]
3
S'
x2
S (h x)2
S' x x
S h x
B S'h
S S'
V1h[Sh(SS') 3
S' ]
S S'
1[S 3
SS ' S ' ]h
C C
思考6:在台体的体积公式中，若S′=S， S′=0，则公式分别变形为什么？
V 1 (S S S S )h 3
l rO
旋转体的表面积
例2.一个圆台形花盆盆口直径为20cm，盆底直 径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长 15cm，为了美化花盆的外观，需要涂油漆. 已知每 平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多 少油漆（精确到1毫升）？
解：由圆台的表面积公式得一个花
盆外壁的表面积
20
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的 几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算 它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面 面积之和．
多面体的表面积
一般地，由于多面体是由多个平面围成的空间 几何体，其表面积就是各个平面多边形的面积之和.
棱柱的表面积=2 底面积+侧面积 侧面积是各个侧面面积之和
棱锥的表面积=底面积+侧面积
棱台的表面积=上底面积+下底面积+侧面积
例1．已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体 S-ABC，求它的表面积 ．
分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成．
解：过点S作 S，D BC 交BC于点D．
∵ BC a, SD SB2 BD2 a2 ( a )2 3 a
S [(15)2 15 15 20 15] (1.5)2
22 2
2
1000(cm 2 ) 0.1(m 2 )
15
所以涂100个花盆需油漆：
0.1100100=1000(毫升）.
空间几何体的体积
体积:几何体所占空间的大小
正方体的体积=棱长3 长方体的体积=长×宽×高
棱柱和圆柱的体积
S 球 4 R 2 ,S 圆柱侧 = 2 R 2 R 4 R 2
S球 S圆柱侧
球面距离
球面距离 即球面上两点间的最短距离， 是指经过这两点和球心的大圆的劣 弧的长度.
球心O
O
B
A
B
大圆劣弧的圆心角为α弧
度，半径为R，则弧长为
A
大圆圆弧 L=αR
球面距离
例4. 已知地球的半径为R,在地球的赤道上经 度差为1200的两点间距离.
S下底 r 2
S侧 (r r)l
S 表 (r2 r 2 rl rl )
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？
S r 2 rl r(r l)
S (r'2 r 2 r'l rl )
r O
l
r 'O’ l
rO
O
S 2 r 2 2 rl 2 r(r l)
高h
底面积S
柱体的体积 V=Sh
棱锥和圆锥的体积
S 高h
D
E
O
底面积S
C
A
B 体积V 1Sh
3
棱台和圆台的体积
高h
V1(S SSS)h 3
P
根据台体的特征，如何求台体的体积？ 圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的
A
D
S
V1(S' S'SS)h 3
V
V大
V小
1 3
S(h
x)
1 3
S'x
o A
答案：1200 2
≈252（个）
1.3.2
球的体积和表面积
球
球的表面积
球的体积
球面距离
球的体积和表面积
设球的半径为R，则有体积公式和表面积公式
V 4 R3
A
3
R
O
S4R2
B
H h
2.球的表面积
S1
R
4 3R 3 V 球 1 3 R S 1 1 3 R S 2 1 3 R S 3 1 3 R S 球 面
22
S
SSBC
1 2
BC
SD
1a 2
3a 2
3 a2 4
A
因此，四面体S-ABC的表面积为
B
D
C
S 4 3 a 3a2 2
3.圆柱、圆锥、圆台的展开图及表面积求法
r O
l
2 r
O
圆柱的侧面展开图是矩形
S表面 积 S侧 2S底S 圆柱 S 侧 长方 ＝ 2 形 rl
S 2 r 2 2 rl 2 r(r l )
特殊平面图形的面积
正三角形的面积
a
s 1 3 aa 22
正方形的面积
s a2
a
正六边形的面积
a
S61 3aa33a2
22
2
多面体的表面积
正方体和长方体的表面积
h b a
长方体的表面展开图是六个矩形组成的 平面图形，其表面是这六个矩形面积的和.
设长方体的长宽高分别为a、b、h，则 其表面积为 S=2（ab+ah+bh)
特别地，正方体的表面积为S=6a2
棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
正棱柱的侧面展开图
h
S表面 积 S侧2S底
侧面展开
h'
正棱锥的侧面展开图
h'
S表面积 S侧S底
棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
侧面展开
h'
正棱台的侧面展开图
h'
S表面 S积 侧 S上 底 S下底
h'
h'
柱体、锥体、台体 的表面积与体积
什么是面积？
面积:平面图形所占平面的大小
b
S=ab
a A
ch
S 1 ah 1 acsin B 22
Ba C
b Aa
Sahabhb absinA
a
S 1(ab)h
bh
2
r Sr2
lwk.baidu.com
S 1lr 2
r
n r21r2
360 2
圆心角为n0
S′=S
S′=0
V Sh
V 1 Sh 3
例3.有一堆规格相同的铁制六角螺帽共重 5.8kg（铁的密度是7.8g/cm3），已知螺帽的底 面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm， 高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个？
解答： V≈2956（mm3）=2.956
（cm3）
5.8×1000÷7.8×2.956
V球
4
3
R3
S球面 4 R2
球的体积和表面积
例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直 径，求证：（1）球的体积等于圆柱体积的 2 ；
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积. 3
解:设球的半径为R，则圆柱的底面 半径为R，高为2R.
V 球 4 3R 3 ,V 柱 R 22 R 2R 3
2
V球 3V柱
S r2 rl r(r l)
l
rO
2r
圆锥的侧面展开图是扇形
旋转体的表面积
圆台
底面是圆形
侧面展开图是 一个扇状环形
S上底 r2
S下底 r 2
S侧 (r r)l
S 表 (r2 r 2 rl rl )
旋转体的表面积
圆台
底面是圆形
侧面展开图是 一个扇状环形
S上底 r2
A
B
h
D
S
1 [Sh (S S' )x]
3
S'
x2
S (h x)2
S' x x
S h x
B S'h
S S'
V1h[Sh(SS') 3
S' ]
S S'
1[S 3
SS ' S ' ]h
C C
思考6:在台体的体积公式中，若S′=S， S′=0，则公式分别变形为什么？
V 1 (S S S S )h 3
l rO
旋转体的表面积
例2.一个圆台形花盆盆口直径为20cm，盆底直 径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长 15cm，为了美化花盆的外观，需要涂油漆. 已知每 平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多 少油漆（精确到1毫升）？
解：由圆台的表面积公式得一个花
盆外壁的表面积
20
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的 几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算 它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面 面积之和．
多面体的表面积
一般地，由于多面体是由多个平面围成的空间 几何体，其表面积就是各个平面多边形的面积之和.
棱柱的表面积=2 底面积+侧面积 侧面积是各个侧面面积之和
棱锥的表面积=底面积+侧面积
棱台的表面积=上底面积+下底面积+侧面积
例1．已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体 S-ABC，求它的表面积 ．
分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成．
解：过点S作 S，D BC 交BC于点D．
∵ BC a, SD SB2 BD2 a2 ( a )2 3 a
S [(15)2 15 15 20 15] (1.5)2
22 2
2
1000(cm 2 ) 0.1(m 2 )
15
所以涂100个花盆需油漆：
0.1100100=1000(毫升）.
空间几何体的体积
体积:几何体所占空间的大小
正方体的体积=棱长3 长方体的体积=长×宽×高
棱柱和圆柱的体积
S 球 4 R 2 ,S 圆柱侧 = 2 R 2 R 4 R 2
S球 S圆柱侧
球面距离
球面距离 即球面上两点间的最短距离， 是指经过这两点和球心的大圆的劣 弧的长度.
球心O
O
B
A
B
大圆劣弧的圆心角为α弧
度，半径为R，则弧长为
A
大圆圆弧 L=αR
球面距离
例4. 已知地球的半径为R,在地球的赤道上经 度差为1200的两点间距离.
S下底 r 2
S侧 (r r)l
S 表 (r2 r 2 rl rl )
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？
S r 2 rl r(r l)
S (r'2 r 2 r'l rl )
r O
l
r 'O’ l
rO
O
S 2 r 2 2 rl 2 r(r l)
高h
底面积S
柱体的体积 V=Sh
棱锥和圆锥的体积
S 高h
D
E
O
底面积S
C
A
B 体积V 1Sh
3
棱台和圆台的体积
高h
V1(S SSS)h 3
P
根据台体的特征，如何求台体的体积？ 圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的
A
D
S
V1(S' S'SS)h 3
V
V大
V小
1 3
S(h
x)
1 3
S'x
o A
答案：1200 2
≈252（个）
1.3.2
球的体积和表面积
球
球的表面积
球的体积
球面距离
球的体积和表面积
设球的半径为R，则有体积公式和表面积公式
V 4 R3
A
3
R
O
S4R2
B
H h
2.球的表面积
S1
R
4 3R 3 V 球 1 3 R S 1 1 3 R S 2 1 3 R S 3 1 3 R S 球 面
22
S
SSBC
1 2
BC
SD
1a 2
3a 2
3 a2 4
A
因此，四面体S-ABC的表面积为
B
D
C
S 4 3 a 3a2 2
3.圆柱、圆锥、圆台的展开图及表面积求法
r O
l
2 r
O
圆柱的侧面展开图是矩形
S表面 积 S侧 2S底S 圆柱 S 侧 长方 ＝ 2 形 rl
S 2 r 2 2 rl 2 r(r l )
特殊平面图形的面积
正三角形的面积
a
s 1 3 aa 22
正方形的面积
s a2
a
正六边形的面积
a
S61 3aa33a2
22
2
多面体的表面积
正方体和长方体的表面积
h b a
长方体的表面展开图是六个矩形组成的 平面图形，其表面是这六个矩形面积的和.
设长方体的长宽高分别为a、b、h，则 其表面积为 S=2（ab+ah+bh)
特别地，正方体的表面积为S=6a2
棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
正棱柱的侧面展开图
h
S表面 积 S侧2S底
侧面展开
h'
正棱锥的侧面展开图
h'
S表面积 S侧S底
棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
侧面展开
h'
正棱台的侧面展开图
h'
S表面 S积 侧 S上 底 S下底
h'
h'