韦达定理在圆锥曲线中的应用

韦达定理在圆锥曲线中的应用

1.（本小题满分12分）已知长方形ABCD ，22=AB ，BC=1。以AB 的中点O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系xoy.

（Ⅰ）求以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过点P （0，2）的直线l 交（Ⅰ）中椭圆于M ，N 两点，是否存在直线l ，使得弦MN 为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由。

2.(本小题满分12分)已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>过点()0,1,其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点Q 、P ，与椭圆分别交于点M 、N ,各点均不重合且满足12,PM MQ PN NQ λλ==

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若123λλ+=-，试证明：直线l 过定点并求此定点.

3. (本小题满分12分)设椭圆22221(0)x y a b a b

+=>>的左焦点为F, 离心率为33, 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433

. (Ⅰ) 求椭圆的方程;

(Ⅱ) 设A, B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C, D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.

4.（2013年高考江西卷）如图,椭圆2222+=1(>>0)x y C a b a b ：经过点3(1,),2P 离心率1=2

e ,直线l 的方程为=4x .

(1) 求椭圆C 的方程;

(2) AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P ),设直线AB 与直线l 相交于点M ,记,,PA PB PM 的斜率分别为123,,.k k k 问:是否存在常数λ,使得123+=.k k k λ?若存在求λ的值;若不存在,说明理由.

5.（2009汕头）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M （2，1），平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m （m ≠0），l 交椭圆于A 、B 两个不同点。

（1）求椭圆的方程；

（2）求m 的取值范围；

（3）求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.

6.【2015江苏高考，18】（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>2F 到直线c

a x 2-=的距离为3. （1）求椭圆的标准方程；

（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于

点P ，C ，若PC=2AB ，求直线AB 的方程.

B

A

O

x y

l P C

7.已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1.

(1)求动点P 的轨迹C 的方程；

(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交

于点D ，E ，求AD →·EB →的最小值．

8.(本题满分14分)已知M 是以点C 为圆心的圆22

(1)8x y ++=上的动点，定点(1,0)D .点P 在DM 上，

点N 在CM 上，且满足2,0DM DP NP DM =⋅=．动点N 的轨迹为曲线E .

（Ⅰ）求曲线E 的方程；

(Ⅱ)线段AB 是曲线E 的长为2的动弦，O 为坐标原点，求AOB ∆面积S 的取值范围.

9．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题）如图,点)1,0(-P 是椭圆

)0(1:22

221>>=+b a b

y a x C 的一个顶点,1C 的长轴是圆4:222=+y x C 的直径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线,其中1l 交圆2C 于两点,2l 交椭圆1C 于另一点D

(1)求椭圆1C 的方程; (2)求ABD ∆面积取最大值时直线1l 的方程.

10.(山东省青岛一中2013届高三1月调研理)（本大题满分13分）

已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12

，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线0x y -+=相切，过点P （4，0）且不垂直于x 轴直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点。

（1）求椭圆C 的方程；

（2）求OB OA ⋅的取值范围；

（3）若B 点在于x 轴的对称点是E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点。

（第21题图）