概率论概述

此时 B={奇}，P(B)=1/2。
注：样本空间 Ω={奇,偶}不能解决问题（1）。 基本事件应由研究目的决定，也与人们的看法有关！
古典概型 ：
问题：从1,2,3,4,5,6中随机选取两数，求 没有偶数的概率。 2
[解] （法1）不考虑顺序： （法2）考虑顺序：
C3 3 1 2 C 6 15 5
n
P ( A) P ( Bi ) P ( A | Bi )
i 1
n
B
j 1
j
, B j Bk , j k
全概率公式 (敏感性调查问题)：
为确定什么样的性行为最容易导致爱滋病， 需要了解人群中进行过某种性行为的人所占的 比例。试问：如何设计调查方案？ 方案1: 随机调查 n 人,回答“是”的有 k 人， 则比率 p 的估计为 p=k/n 注: 这样得到的估计往往偏低,因为有人会说谎!
P ( B1 | A) P ( B1 ) P ( A | B1 )
P( B ) P( A | B )
i 1 i i
2
40% 0.04 47% 40% 0.04 60% 0.03
Bayes公式：
P ( B j | A) P( B j ) P( A | B j )

全概率公式 (敏感性调查问题)：
为确定什么样的性行为最容易导致爱滋病， 需要了解人群中进行过某种性行为的人所占的 比例。试问：如何设计调查方案？ 方案 3: 随机调查 n 人,先抛硬币再答题. 若正面朝上，则须如实作答;否则回答另一 问题:生日是否在上半年? 回答“是”的共有 k 人，则由全概率公式 P(是)=P(上)P(是|上) +P(下)P(是|下) 假设硬币正面朝上的概率为,于是 k/n= p+(1 解之得pk/n(1 问题又该如何选择比较好
其中，如果 是一维、二维或三维的区域，则 的几 何度量分别是长度、面积和体积．
几何概型（约会问题） 两人约定在下午6点到7点之间在某处会 面，并约定先到者应等候另一人20分钟， 过时即可离去，求两人能会面的概率． 解：以x和y分别表示两人到达 约会地点的时间（以分钟为单位）， 在平面上建立xOy直角坐标系， 这是一个几何概型问题: 样本空间 = {(x，y)：0 x，y 60} 事件A =“甲乙将会面” = {(x，y) ：| x – y | 20} 因此
法国数学家、哲学家Pascal首先解决了这个问题：
考虑比分是5:3的条件下，甲乙两人能赢的 可能性分别有多大。

事实上，最多再扔三次硬币赌博就可以分出输赢。
在所有可能的8种结果中只有1种情况乙赢，
在硬币是均匀的条件下概率是1/8；

乙只能得到赌金的1/8，甲应得7/8。
古典概型 (赌博问题) ：
2．某人有三张牌: 一张两面黑，一张两面红，一张一面黑一面红。
古典概型 ：
问题：掷一枚均匀骰子，观察面上的点数。 （1）求出现1点的概率； （2）求出现奇数点的概率。
[解] 样本空间为 Ω={1,2,3,4,5,6}, 已知 A={1}, B={1,3,5}，所以
P(A)= 1/6， P(B)= 3/6=1/2. 另解：对于问题（2），样本空间为 Ω={奇,偶},
5. P( A B) P( A) P( B) P( AB)
6. 若A1 A2 Ak , 则 lim P( Ak ) P( Ak )
k k 1
若A1 A2 Ak , 则 lim P( Ak ) P( Ak )
k k 1
2. 如果每期投一注, 试问需要连续 投注多少期, 才能保证至少中一次一 等奖的概率不小于95%?
§1.3
概率的公理化定义 概率的性质
概率的公理化定义： 1.设 Ω 为样本空间,称 F为事件域,如果 (1) Ω∈F; (2) 若A∈F ,则AC∈F ; (3) 若Ak∈F ,k=1,2,…,则∪Ak∈F . 2.称 F 上的实值函数 P 为概率,如果 (1) P(Ω)=1; (2) 若A∈F ,则P(A)≥0 ; (3) 若A1, A2,…, An,…互不相容,则
2
注意：射线CP在∠ACB内部等可能地选取,而此时 对应的交点P并不会在AB边上等可能地分布. 正确的做法应是采用角度作为测度：
因为ACD


4 3 2 8
3 故所求概率为 4
古典概型 (彩票问题)：
1. 从1,2,…,35中选7个号码, 则 中一等奖(7个号码全中)的概率是
1 1 7 p 7 1.49 10 C35 6724520
事件A中所包含样本点的个数 k P ( A) 中所有样本点的个数 n
应通过实例理解古典概型的特征： 实验结果的有限性和等可能性。
学会把实际问题化为古典概型， 不要把重点放在“如何计数”上。 这对吗？
基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件，
其它事件可以用它们来表示。
古典概型的样本空间唯一吗？
全概率公式 (敏感性调查问题)：
为确定什么样的性行为最容易导致爱滋病， 需要了解人群中进行过某种性行为的人所占的 比例。试问：如何设计调查方案？ 方案 2: 随机调查 n 人,先抛硬币再答题.若 正面朝上，则须如实作答;否则说谎. 回答“是”的共有 k 人，则由全概率公式 P(是)=P(上)P(是|上) +P(下)P(是|下) 假设硬币正面朝上的概率为,于是 k/n= p+(1p 解之得pk/n(1 问题≠该如何选择比较好
A的面积 60 2 40 2 5 P ( A) 2 的面积 60 9
几何概型（蒲丰投针问题） 平面上画有间隔为d (d > 0)的等距平行 线，向平面任意投掷一枚长为l (l<d)的 针，求针与任一平行线相交的概率． 解：以x表示针的中点与最近一条 平行线的距离，以 表示针与直 线间的交角． 易知样本空间 ={(x,): 0<x<d/2, 0< < 事件A =“针与平行线相交” ={(x,) ∈x<l/2sin l 因此 0 2 sin d 2 l A的面积 P ( A) d d 的面积
他将这三张牌放到帽子里，让你抽一张，但你 只能看这张牌的一面。 假定这面是红色，则这张牌肯定不是两面黑， 只能是两面红或一面红一面黑。他提议和你来 场赌博，他赌这张牌是两面红，赔率是1赔1。 你认为公平吗？
这张牌是两面红的概率为 2/3, 因此不公平.
条件概率 乘法公式 全概率公式： 1. 定义B发生下A的条件概率为 P ( AB ) P( A | B) P( B) 2. 乘法公式: P(AB)=P(B)P(A|B) 3.全概率公式: 如果
P( B ) P( A | B )
i 1 i i
n
如果
B
j 1
n
j
, B j Bk , j k
Bayes公式 (医学诊断问题)：
用甲胎蛋白法检测肝癌，已知灵敏度（即癌症 患 者检测结果呈阳性的概率）是 95%、特异度 （即正常人检测结果呈阴性的概率）是 90%。 如果某人的检验结果是阳性， 试问：他应该沮丧到什么程度？
(1)普查时不必沮丧: 设肝癌发病率为0.02%，则他患病的条件概率为 0.19% 。 (2)门诊检查则要小心: 设肝癌发病率为50%，则他患病的条件概率为 90.48% !

课程 小论文
Bayes公式 (理赔问题)：
某厂两条流水线生产彩电，产量分别占 总量的40%和60%，次品率分别为0.04和 0.03。现在出厂彩电中任取一件，结果为次 品。试问两条流水线应如何分担责任？
解：令 A=“任取一件，恰为次品”, Bi=“任取一件，恰为第i条流水线生产”，i=1,2 则由Bayes公式得
全概率公式 (考试成绩) ：
1．2005级《数理统计》7班的不及格率为16.1%, 9班的不及格率为7.5%; 试求两个班的不及格率. 需要补充条件: 7班56人, 9班40人.
令A=“任取一人, 他不及格”, B=“任取一人, 他来自7班”,
P( A) P( B) P( A | B) P( B ) P( A | B )
如图4, △ACB是一个等腰直角三角形.过顶 点C,在直角∠ACB的内部任意引射线CP交斜 边AB于点P,求AP<AC的概率. 错解: ∠ACB内部的任一射线与射线 在AB边的交点是一一对应的.如图中,当 交点P点处于D位置时AP=AC,故问题可 转化为点P在AB边上随机选取时, AP<AC的概率.于是所求概率为 2

生日问题：
假设一年有365天,则任意 n 人中 至少有两人同一天生日的概率是
n A365 pn 1 (n 366) n 365
n pn
23 30 41 47 0.507 0.706 0.百度文库03 0.955
问题：如何知道是古典概型？ 需要做假设检验！ （第七章分解）
§1.4
条件概率 概率计算公式
概率论研究随机事件的概率
问题: 如何求抛一均匀硬币时正面朝上的概率? 法2 (古典方法): 古典概型
抛一均匀硬币时正面朝上的概率 p=1/2.
具有以下两个特点的试验称为古典概型：
(1) 有限性：试验的样本空间只含有限个样本点； (2) 等可能性：试验中每个基本事件发生的可能性相同． 对于古典概型，若样本空间中共有n个样本点， 事件A包含k个样本点，则事件A的概率为
第一章 随机事件 与概率
三个为什么? 1.吸烟是有害的? 2.伤心是难免的? 3.专家是骗人的？
§1.2
随机事件的概率 古典概型
概率论研究随机事件的概率
问题: 如何求抛一均匀硬币时正面朝上的概率? 法1 (统计方法): 做试验
重复抛一均匀硬币n次，则当n充分大时, 正面朝上的频率m/n可作为概率p的估计. 问题：为什么可以这样呢？（第四章分解） 优点：硬币不均匀也适用！ 缺点：只能得到概率的近似值!
2
Monte Carlo随机模拟方法
蒲丰投针试验的应用及意义：
重复投针试验n次，测出针与平行线相交的次数m ．
根据频率的稳定性 (大数定律）， 当n很大时，频率可作为概率的近似值，于是
m 2l n dπ
利用上式可以计算圆周率 的近似值：
2nl dm
贝特朗（Bertrand）悖论
在圆内任作一弦,求其长超过圆内接正三角形边长的概率. 解答一:
贝特朗（Bertrand）悖论
在圆内任作一弦,求其长超过圆内接正三角形边长的概率. 解答二:
贝特朗（Bertrand）悖论
在圆内任作一弦,求其长超过圆内接正三角形边长的概率. 解答三:
贝特朗（Bertrand）悖论
在圆内任作一弦,求其长超过圆内接正三角形边长的概率. 正确解答只有一个: 任作一弦意味着弦的端点在圆周上均匀分布， 并非弦的中点在圆内均匀分布！
P ( Ak ) P ( Ak )
k 1 k 1
概率的性质： 1. P() 0
2. P ( Ak ) P ( Ak ), 如果事件互不相容
n n
3. P( A ) 1 P( A) 4. 若A B, 则 P( A) P( B)
C
k 1
k 1
56 40 16.1% 7.5% 12.5% 96 96
2．7班平均67.6分, 9班平均69.5分. 试求两个班的平均分.
56 40 67.6 69.5 68.4 96 96
问题: 如何比较这两个班的不及格率和平均分?
古典概型 (赌博问题) ：
1．甲乙两人打赌，各押硬币的一面， 先出现6次者赢10000元。当赌博进行到 5:3时因故终止，试问应如何分配赌金？
A32 6 1 2 A6 30 5
具有以下两个特点的试验称为几何概型： (1) 随机试验的样本空间为某可度量的区域 ； (2) 中任一区域出现的可能性的大小与该区域的 几何度量成正比而与该区域的位置和形状无关．
对于几何概型，若事件A是 中的某一可度量区域，则 事件A的概率为
A的几何度量 P( A) 的几何度量