多元函数积分学
高等数学与工程数学课件第八章多元函数积分学基础.ppt
第一节 二重积分的概念与性质
一、实例
1.曲顶柱体的体积 在空间直角坐标系Oxyz中,以在xOy平面上的有界闭区域D为 底,以D的边界曲线为准线,母线平行于z轴的柱面为侧面,以z f (x, y)]表示的曲面S为顶[这里f (x, y) 0且在D上连续]的几何体称 为以曲面S为顶,区域D为底的曲顶住体(见图8-1)
f (x, y)d | f (x, y) | d
D
D
性质6 设M 和m分别为f (x, y)在闭区域D上的最大值和最小值,
是D的面积,则有不等式
m f (x, y)d M D
性质7 (二重积分的中值定理)设函数f (x, y)在闭区域D上连续,
是D的面积,则在D内至少存在一点( ,)使得下列等式成立
1 4
y4
1
0
dx
y
1 0
计算从1(x)到2 (x)的定积分,然后把计算结果(关于x的函数)再
对x计算从a到b的定积分.从而得到把二重积分化为先对y, 再对x 的二次积分公式为
b
2 ( x)
f (x, y)dxdy dx f (x, y)dy
a
1 ( x )
D
类似地,若底面区域D为1( y) x 2 ( y), c y d, (见图8 6)
x
P(xi yi )
图8-2 曲顶柱体划分
n
(3)把n个小平顶柱体体积相加得 f (xi , yi )i ,它就是曲顶 i1
柱体体积V的近似值,即
n
V f (xi , yi )i i1
n
(4)对闭区域D的分割不断加细加密, f (xi , yi )i就越来越 i1
近曲顶柱体的体积V .当n个小闭区域的最大直径(指有界闭区域
第一轮复习之多元函数积分学
f ( x, y ) ≡ 0 ， ( x, y ) ∈ D 。
设 f ( x, y ) 在 D 上连续， 若在 D 内的任意子区域 D0 ， 有 ∫∫ f ( x, y )dxdy = 0 ，则 f ( x, y ) ≡ 0 ， ( x, y ) ∈ D 。
D0
三、
两类曲线积分之间的联系： 1) 设 L ∩ 是分段光滑的曲线，两类曲线积分的关系为：
切不可大意失荆州！ 具体计算方法： 取 x 轴上一点 x0 ， 做平行于 YOZ 的平面 x = x0 ， 这 个 截面是以区间
[ϕ1 ( x), ϕ2 ( x)] 为底，曲线 z = f ( x, y)
ϕ2 ( x )
为曲边的曲边梯形，这个截面的面积
f ( x0 , y ) dy
AB
L∩
Qdy ∫ ( P cos α + Q cos β ) ds ∫ Pdx +=
AB
L∩
AB
cos α cos β
为曲线弧 AB 从 A 到 B 方向的切线的方
AB
∩
向余弦，P Q 是在 L ∩ 上的连续函数。 可推广到空间的情形。 2) 两类曲面积分之间的关系： 设 ∑ 为光滑的曲面，则两类曲面积分之间的关系为：
S
∫∫ Rdxdy = 0 （若 S 在垂直于 OXY 平面）
S
四、
多元积分的运算：
6
细节决定成败！
切不可大意失荆州！ 1) 曲线积分化成定积分： 根据： 曲线由参数方程给出：
= ds
φ ′2 (t ) + ϕ ′2 (t )dt
r 2 (θ ) + r ′2 (θ )dθ
曲线由极坐标方程给出：
= ∫ f ( x, y, z )ds
高等数学第八章多元函数积分学
D
证:f (x, y)d
y
D
d
f1(x) f2(y)dxdy
c
D
bd
dx ac
f1(x)
f2(y)dy
0a
bx
b
d
d
b
a[f1(x) c f2(y)d]ydxc f2(y)dy af1(x)d.x
.
比如， 1dx3xyed y1xd x 3eyd.y
y
xydxdy
1
dx
1x2
xydy
D
00
11x(1x2)dx1(x2x4)11. 1
02
22 4 0 8
D
本 题 若 先 对 x 积 分 ， 解 法 类 似 . O x 1
x
.
例4
改变积分
01dx
1
0
x
f
( x,
y )dy 的次序.
解 积分区域为 y
0x1, D:
1
0y1x.
0x1y, D:
f (x, y)d
b
d
a dxc f(x,y)dy
D
d
b
c dya f(x,y)dx
（2）如果被积函数 f (x, y) = f1(x)·f2(y),且积分区域是矩
形区域，则
f(x,y)da bf1(x)dxcdf2(y)d.y
D
.
设D：a x b, c y d. f (x, y) = f1(x)·f2(y)可积，
y
4
2
yx
D2 D1
D D 1D 2.
D1 :
2 x4, 2 y x.
多元函数微积分学总结
多元函数微积分学总结多元函数微积分学是微积分学的一个重要分支，研究多个变量之间的关系以及对这些变量的变化进行分析和计算。
本文将对多元函数微积分学的主要内容进行总结，并介绍常见的方法和技巧。
一、空间坐标系和极坐标系在多元函数微积分学中，我们通常使用空间坐标系和极坐标系来描述多维空间中的点和曲线。
空间坐标系是由三个相互垂直的坐标轴x、y、z组成，用来表示三维空间中的点。
我们可以通过向量运算、平面的方程等方式来研究空间中的曲线、曲面以及相关的计算方法。
极坐标系是在平面上建立的坐标系，由极径r和极角θ组成。
极坐标系可以用来描述平面上的点和曲线，通过坐标变换的方法可以与空间坐标系进行转换。
二、多元函数的极限和连续性多元函数的极限和连续性是多元函数微积分学的基础概念。
类似于一元函数的极限和连续性，多元函数的极限和连续性也可以通过定义、性质等方式进行研究和计算。
对于多元函数的极限，我们需要考虑函数在不同方向上的极限以及函数在某点处的极限。
通过使用极限的定义和极限运算法则，我们可以判断多元函数在某点处的极限是否存在，并进行具体的计算。
多元函数的连续性与一元函数的连续性类似，即函数在某点附近的函数值和极限值之间存在一个足够小的常数δ，使得当自变量的取值在这个常数范围内时，函数值的变化足够小。
通过使用连续函数的定义和连续性的性质，我们可以判断多元函数在某点处是否连续，并进行具体的计算。
三、多元函数的偏导数和全微分多元函数的偏导数和全微分是研究多元函数变化的重要工具，在微积分学中有着广泛的应用。
对于多元函数的偏导数，我们可以通过定义和偏导数的性质来进行计算。
偏导数可以表示函数在某个方向上的变化率，它在多个方向上的值决定了函数的变化趋势和比例。
通过计算偏导数和一阶偏导数的矩阵，我们可以得到多元函数的梯度，进而进行更复杂的分析和计算。
多元函数的全微分则广义地描述了函数在某一点附近的变化情况。
全微分可以通过偏导数和偏导数向量的运算来进行计算，并可以表示函数值的一个线性近似。
考研数学高数9多元函数积分学
第九讲：多元函数积分学1. 定义设()f x y ，是定义在有界闭区域D 上的有界函数，如果对任意分割D 为n 个小区域12n σσσ∆∆∆，，，，对小区域()12k k n σ∆=，，上任意取一点()k k ξη，都有()01lim nk k k d k f ξησ→=∆∑，存在，（其中k σ∆又表示为小区域k σ∆的面积，k d 为小区域k σ∆的直径，而1max k k nd d ≤≤=），则称这个极限值为()f x y ，在区域D 上的二重积分，记以()Df x y d σ⎰⎰，这时就称()f x y ，在D 上可积，如果()f x y ，在D 上是有限片上的连续函数，则()f x y ，在D 上是可积的。
2. 几何意义当()f x y ，为闭区域D 上的连续函数，且()0f x y ≥，，则二重积分()Df x y d σ⎰⎰，表示以曲面()z f x y =，为顶，侧面以D 的边界曲线为准线，母线平行于z 轴的曲顶柱体的体积。
当封闭曲面S 它在xy 平面上的投影区域为D ，上半曲面方程为()2z f x y =，，下半曲面方程为()1z f x y =，，则封闭曲面S 围成空间区域的体积为()()21Df x y f x y d σ-⎡⎤⎣⎦⎰⎰，， 3. 基本性质 （1）()()() DDkf x y d k f x y d k σσ=⎰⎰⎰⎰，，为常数（2）()()()()DDDf x yg x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰，，，， （3）()()()12DD D f x y d f x y d f x y d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰，，，其中12D D D =。
除公共边界外，1D 与2D 不重叠。
（4）若()()()f x y g x y x y D ≤∈，，，，，则()()DDf x y dg x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰，，（5）若()()m f x y M x y D ≤≤∈，，，，则 ()DmS f x y d MS σ≤≤⎰⎰，其中S 为区域D 的面积 （6）()()DDf x y d f x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰，，（7）积分中值定理，设(),f x y 在有界闭区域D 上连续，S 为D 的面积，则存在(),D ξη∈，使得()()Df x y d f S σξη=⎰⎰，，我们也把()1Df x y d S σ⎰⎰，称为()f x y ，在D 上的积分平均值。
04高数——多元函数积分学知识点速记
多元函数积分学1、不定积分1）原函数定义定义在某区间I 上的函数()f x ，若对I 的一切x ，均有()()F x f x '=，则称()F x 为()f x 在区间I 上的原函数。
若函数()f x 存在原函数，则()f x 就有无穷多个原函数，可表示为()F x C +。
2）不定积分定义函数()f x 的全体原函数称为()f x 的不定积分，记作()d f x x ⎰。
若()F x 是()f x 的一个原函数，则()()d f x x F x C =+⎰（C 为任意常数）3）不定积分计算：①第一类换元积分法：设()f u 具有原函数()F u ，而()u x ϕ=可导，则有()()()()d d f x x x f u u F x C ϕϕϕ'==+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰②第二类换元积分法：设()x t ϕ=在区间[],αβ上单调可导，且()0t ϕ'≠，又设()()f t t ϕϕ'⎡⎤⎣⎦具有原函数()F t ，则有()()()()()1d d f x x f t t t F t c F x Cϕϕϕ-'⎡⎤==+=+⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰式中，()1x ϕ-为()x t ϕ=的反函数。
高 数多元函数积分学知识点速记③分部积分法：设()u x ，()v x 可微，且()() d v x u x ⎰存在，由公式()d d d uv u v v u =+得到分部积分公式d d u v uv v u=-⎰⎰2、定积分1）两点规定：①当a b =时，()d 0b a f x x =⎰；②当a b >时，()()d d b a a b f x x f x x =-⎰⎰2）积分上限函数及其导数①()d xa f x x ⎰为积分上限函数，记作()()d x ax f x x Φ=⎰，经常写成如下形式()()()d xa f t t a x xb Φ=≤≤⎰②积分上限函数的导数()()()d x a x f t t f x '⎡⎤'Φ==⎢⎥⎣⎦⎰()a xb ≤≤③()()()()()()()d g x h x f t t f g x g x f h x h x '⎡⎤''==⋅-⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰3、定积分的应用旋转体的体积：设由曲线()y f x =，直线x a =，x b =以及x 轴围成的平面图形，绕x 轴旋转一周而生成的旋转体的体积，则()2πd b x aV f x x =⎡⎤⎣⎦⎰平行截面面积为已知的立体的体积：设立体由曲面S ，以及平面x a =、x b =所围成，且对于[],a b 上任一点x 作垂直截面，截得的面积()A A x =为x 的连续函数，则()d bc V A x x =⎰4、二重积分1）二元函数(),f x y 在闭区域D 上的二重积分，记作(),d D f x y σ⎰⎰2）(),d f x y σ⎰⎰表示以曲面(),z f x y =为顶，以区域D 为底，以D 的边D界为准线，母线平行于 Oz 轴的柱面围成的曲顶柱体的体积。
多元函数积分学总结
多元函数积分学总结引言多元函数积分学是微积分的一个重要分支，研究的是多个变量的函数在特定区域上的积分计算和性质。
在实际问题中，我们经常需要求解多元函数的积分，以求得面积、体积、质量等物理量。
本文将对多元函数积分学的基本概念、计算方法和应用进行总结和介绍。
一、多元函数积分的基本概念1. 二重积分二重积分是多元函数积分学中最基本的概念之一。
它表示在二维平面上的一个有界区域上对函数进行积分。
二重积分的计算可以通过投影到坐标轴上的两个一元积分来实现。
根据积分区域的形状和函数性质的不同，二重积分可以分为类型I和类型II两种。
•类型I：积分区域为矩形、正方形或一般的可由直线分割成有限个矩形的区域。
•类型II：积分区域不属于类型I的情况，一般需要进行变量替换或极坐标转化来简化计算。
2. 三重积分三重积分是对三维空间内的函数进行积分。
它可以用于计算体积、质量、重心等与物体形状和密度有关的物理量。
三重积分的计算方法较为复杂，一般需要采用适当的坐标变换或者使用球坐标、柱坐标等不同坐标系下的积分公式来进行计算。
二、多元函数积分的计算方法1. Fubini定理Fubini定理是多元函数积分计算的基础定理之一。
它建立了二重积分和三重积分之间的关系，使得计算复杂多元函数积分时可以拆分为若干个简单的积分。
Fubini定理主要有两种形式：对于矩形区域上的二重积分，可以通过交换积分次序将其转化为两次一元积分。
对于空间区域上的三重积分，也可以利用类似的方法进行计算。
2. 极坐标和球坐标对于具有相关几何特性的问题，使用极坐标和球坐标可以简化多元函数积分的计算过程。
极坐标常用于计算平面上的二重积分，而球坐标常用于计算空间中的三重积分。
通过引入极坐标或球坐标的坐标变换，我们可以将原积分区域变换为一个更简单的形式，从而简化积分计算。
在实际应用中，灵活运用极坐标和球坐标可以大大提高计算效率。
三、多元函数积分的应用多元函数积分在物理学、工程学、经济学等领域有广泛的应用。
多元函数积分学
多元函数积分学是数学的一个分支，它是对多元函数进行积分的理论。
与一元函数积分学相比，它更加复杂，但它为我们研究物理学、工程学和其他自然科学问题提供了更强大的工具。
在本文中，我将介绍的一些基本理论，包括重积分、极坐标变换、格林公式等。
一、重积分重积分是的基本概念，它是对多元函数在某一区域上的积分。
重积分可以表示为Riemann积分或Lebesgue积分两种形式，具体形式与多元函数的性质有关。
在Riemann积分中，我们将区域分成有限个小区域，对每个小区域内的多元函数进行积分，最后将积分结果相加。
而在Lebesgue积分中，我们采用测度的概念，将多元函数的定义域分成不可数个小区域，在每个小区域上定义一个测度，对多元函数在每个小区域内的值进行加权积分，最后求出所有小区域上的积分和即为整个区域上的积分。
重积分在物理学和工程学中有着广泛的应用，例如计算物体的体积、求解场的强度等。
同时，重积分也是进一步研究多元函数性质的基础。
二、极坐标变换极坐标变换是一种将平面直角坐标系上的点表示为极径和极角的变换。
它可以将一些复杂的函数转化为简单的极坐标函数，使得对多元函数进行积分更加方便。
在极坐标系中，被积函数可以表示为一个积分项和一个积分域，积分项为正态函数，积分域为从 $0$ 到 $2\pi$ 的一个闭区间和一个在某个圆内部的有界区域，在这个有界区域上的积分相当于在平面直角坐标系上的二重积分。
因此，我们可以使用积分转化公式将多元函数在极坐标系中的积分转化为在平面直角坐标系中的二重积分。
极坐标变换在数学中有着广泛的应用。
例如，对于一个椭球体积的计算，使用极坐标变换可以将三维积分转化为二维积分，更加方便计算。
三、格林公式格林公式是中的一个重要定理，它是关于多元函数的一个等式，用于计算曲面积分和线积分之间的关系。
在平面上，格林公式是一个计算平面上曲线积分和面积的公式，它表明二元函数在解析条件下，其在一个闭合路径内的曲线积分等于该函数在这个区域内的面积积分。
多元函数积分学
（ 4）
。
（5）如果 是分段光滑的：
，则
。
（6）如果 是封闭曲线，特记为 。
所围成的区域。
解二：画出积分区域的草图。 因为 D虽然是 X----型区域，但由于在定限时，第一次积分的上、下限发生了一次
改变，故不得已对 D进行分块。（作图：用直线
将 D分成
其中，
，
于是，有
。
注意；由例 2可见，对此题，虽然两种积分次序都可行，但第二种显然更麻烦。我们说有些 时候，就不仅仅是麻烦的问题了，如果积分次序选得不合适，可能做不出来。请看下面的
解：（1）这里
。画出草图如右。
（2）更换积分次序，即要将积分区域视为 X----型区域。为定限方便，需将积分区域分 为三块：
，则
其中，
，
，
于是，有：
例 9。对 （1）画出积分区域的草图；（2）更换积分次序。
解：（1）这里 记
，
。分别画
出草图如右。则
（2）更换积分次序，即要将积分区域视为 X----型区域。为定限方便，需将积分区域分 为四块：
，所以，
3．由积分中值定理，知：
注意：（6）关于重积分的对称性 （i）如果积分区域 D关于 X轴（或 Y）轴 对称，且被积函数
为奇，则
=0；
关于 y（或 X）
（ii）如果积分区域 D关于 X轴（或 Y）轴 对称，且被积函数
关于 y（或 X）
为偶，则
（其中， 为 D的上（右）一半区域）。
三.二重积分的计算 （一）利用直角坐标计算二重积分
的上、下限； （三）。计算累次积分。 注意：选择积分次序的原则 （一）。选择的积分次序使积分区域 D尽可能的少分块，以简化计算过程。 （二）。第一次积分的上、下限表达式要简单，并且容易根据第一次计算的结果作第二 次积分。 （三）。确定上、下限是重积分的关键。
多元函数的积分
多元函数的积分在数学中，多元函数的积分是一个重要的概念和计算方法。
与一元函数的积分不同，多元函数的积分需要考虑多个自变量和相应的积分变量。
一、多元函数的积分定义对于二元函数f(x, y)，其在有界闭区域D上的积分可以定义为：∬f(x, y)dA = limΔx,Δy→0 Σf(xi, yj)ΔA其中，Δx和Δy分别表示x和y方向的分割长度，Σ表示对所有的(i, j)求和，xi和yj表示分割后的小区域的任意点，ΔA表示小区域的面积。
对于n元函数f(x1, x2, ..., xn)，其在有界闭区域D上的积分可以定义为：∭f(x1, x2, ..., xn)dV = limΔx1,Δx2,...,Δxn→0 Σf(x1i, x2j, ..., xnk)ΔV其中，Δx1, Δx2, ..., Δxn分别表示各个方向的分割长度，Σ表示对所有的(i1, i2, ..., in)求和，x1i, x2j, ..., xnk表示分割后小区域的任意点，ΔV表示小区域的体积。
二、多元函数的积分计算与一元函数的积分类似，对于多元函数的积分计算也需要借助于定积分的性质、微积分的基本定理和换元积分法等方法。
1. 球坐标和柱坐标对于具有某种对称性的多元函数，可以选择适当的坐标系来简化积分计算。
常用的坐标系有球坐标和柱坐标。
球坐标系适用于具有球对称性的问题，对于三元函数可以表示为：x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosθ其中，r代表点到坐标原点的距离，θ表示点与正z轴的夹角，φ表示点在xy平面上与正x轴的夹角。
柱坐标系适用于具有柱对称性的问题，对于三元函数可以表示为：x = rcosθ, y = rsinθ, z = z其中，r代表点到z轴的距离，θ表示点在xy平面上与正x轴的夹角，z表示点在z轴上的坐标。
2. 积分的性质多元函数的积分具有类似于一元函数积分的一些性质，如线性性质、可加性质、保号性质等。
多元数量值函数积分学
1 0
y2
1 2
x
2
x x
y
y
dy
12 2 0
(2) 将D作为Y-型区域，D可表示为： 1 x=y
解 (1)首先画出积分区域D，作先对x 后对y 的二次积分.
例3.计算y2d,其中D是由yx与抛物线xy22围成.
D
y2 2 x y, D
1 y 2.
D
2y
dy
y2dx
1 y22
例5 求曲线
和 x2y2 a2
解 在极坐面标积系.下
x2y2a2 ra,
(x 2 y 2 )2 2 a 2 (x 2 y 2 )
ra 2cos2,
根据对称性有 D4D1
所围成的图形的
ra 2cos2
D1
ra
得交点
所求面积
4 dxdy
D1
4
6d
a
2cos2
rdr
0a
a2(
3 ).
A
(a
的曲边梯形，此截面面积为
x且平行yoz面的平
面截曲顶柱体所得
Ax y2xf x,ydy. y1x
截面面积为 任取x [a,b]，过点
b b y2x
Axdx fx,ydydx, a a y1x
abyy12xxf x,ydydx.
f x, yd
D
f x, yd
D
应用定积分中计算“已知平行截面面积的立体 体积”的方法，得到 这个体积的值，就是二重积分 的值。 因此，二重积分
,
)
3
6
由r a 2cos2 dxdy
r a
D
D
就是柱体的体积, 但此时二重积分
f x, yd 的值
多元函数积分学
多元函数积分学多元函数积分学是一门研究多元函数及其应用的数学分支。
这门学科涉及多变量函数的积分、定积分、无穷积分以及分析在多变量函数上的积分问题。
在多元函数积分学中，多元函数的定义以及它们的性质是基本的。
它们可以在任何给定的多元函数空间中定义，是多元函数积分学的基本概念和研究的重要内容。
多元函数积分学的主要任务是研究多变量函数的积分问题。
在多元函数积分学中，多变量函数积分可以分为定积分和无穷积分两类。
定积分是指在给定积分问题的多变量函数中求解积分，它一般包括一元函数积分、二元函数积分、多变量函数的积分和曲线的积分等。
它可以使用多种方法求解，比如高斯积分、梯形积分、拉斯维加斯积分以及蒙特卡罗积分等。
而无穷积分则是指在多变量函数中对积分域上的数学函数进行积分，它可以使用泰勒级数展开、拉普拉斯变换、拉格朗日变换等进行求解。
多变量函数积分与一元函数积分也有不同之处。
一元函数积分是指积分域上的一元函数，这是一种非常直观的概念，我们可以使用经典的定积分方法来解决一元函数的积分问题。
而多变量函数积分则不同，因为它需要考虑多变量函数的复杂性，在求解多变量函数积分时，我们需要考虑几何图形及其各种变换，这为求解多变量函数积分提出了新的问题。
另外，多变量函数积分学还涉及空间几何的概念，它的主要任务是研究多变量函数的空间性质，比如曲面的概念、曲面的法线、曲线的曲率等。
这些涉及空间几何的概念，可以帮助我们更深入地理解多元函数的积分过程，从而更加深入地研究多元函数积分的性质和特性。
多元函数积分学的研究主要是为了理解多变量函数的性质和特征，从而使用多元函数更好地描述现实中的现象和事物。
它也为研究多变量函数的更复杂的应用如无限维空间函数提供基础，比如用多元函数积分来研究抽象代数结构，研究计算机图形学相关的概念等。
因此，多元函数积分学是一门重要的学科，它是理解多元函数的性质和特征的基础。
它不仅为许多应用提供了理论依据，而且还可以帮助我们更深入地理解多元函数的性质和特征，从而更加深入地研究多元函数的积分和抽象代数结构。
多元函数微积分学总结
多元函数微积分学总结1. 引言多元函数微积分学是微积分学的一个重要分支，研究的是多元函数的极限、连续性、可导性以及相关的定理和方法。
在实际问题中，经常会遇到多个变量同时变化的情况，因此掌握多元函数微积分学对于解决实际问题具有重要意义。
2. 多元函数的极限多元函数的极限是多元函数微积分学的基础概念之一。
与一元函数不同的是，多元函数的极限需要考虑所有自变量的变化情况。
通过利用数列的极限概念以及极限运算法则，可以定义多元函数的极限。
3. 多元函数的连续性对于多元函数而言，连续性是一个重要的性质。
一个多元函数在某点连续意味着在该点的邻域内函数值变化不大，保持相对稳定。
通过定义和判定多元函数在某点连续的方法，可以分析多元函数在不同区域的连续性和不连续点的性质。
4. 多元函数的偏导数和全微分与一元函数一样，多元函数也存在导数的概念。
对于多元函数而言，导数被称为偏导数。
多元函数的偏导数可以用来刻画函数在某一方向上的变化速率。
全微分是多元函数的一个重要概念，它可以表示多元函数的微小增量与自变量的变化之间的关系。
5. 多元函数的极值与最值多元函数的极值和最值也是多元函数微积分学的重要研究内容。
通过求解多元函数的偏导数，并进行一定的约束条件，可以确定函数的极值和最值。
求解多元函数的极值和最值可以帮助我们找到函数的最优解，解决实际问题。
6. 多元函数的二重积分多元函数的二重积分是多元函数微积分学的另一个重要内容。
与一元函数的定积分类似，二重积分可以用来计算曲面下体积、质量等物理量。
通过将二重积分问题转化为累次积分问题，可以简化计算过程。
7. 多元函数的多重积分多元函数的多重积分扩展了二重积分的概念，可以用来计算多维空间中的体积、质量等物理量。
多重积分可以通过反复积分的方式进行计算，也可以使用适应性分割等方法简化计算过程。
8. 多元函数的曲线积分和曲面积分与一元函数的曲线积分和曲面积分类似，多元函数也存在曲线积分和曲面积分的概念。
多元函数积分的计算方法与技巧
多元函数积分的计算方法与技巧1.多元函数的积分表示：多元函数的积分可以表示为定积分或不定积分。
定积分表示函数在一些区域内的积分值，而不定积分表示函数的原函数。
定积分可以通过区域划分进行求解，而不定积分则可以通过变量替换或部分积分等方法进行求解。
2.变量替换法：变量替换法是求解多元函数积分的常用方法之一、通过适当地选取新的变量，可以将原积分转化为一个更容易求解的形式。
常用的变量替换方法包括极坐标变换、柱面坐标变换、球面坐标变换等。
3.分部积分法：分部积分法是求解多元函数积分的常用方法之一、对于乘积形式的积分，可以将其转化为求解导函数的积分。
通过选择合适的函数进行分解，并利用分部积分公式，可以逐步简化积分的形式。
4.对称性与奇偶性：对称性与奇偶性是求解多元函数积分时常用的技巧。
如果被积函数具有其中一种对称性，可以利用对称性简化积分的计算。
另外，如果被积函数是奇函数或偶函数，则可以利用奇偶性质来简化积分计算。
5.积分次序的变换：对于多元函数的积分，积分次序可以任意交换。
通过变换积分次序，可以选择更合适的积分顺序，从而简化积分的计算。
6.积分区域的选择：对于定积分，选择合适的积分区域也可以简化积分计算。
可以通过变换坐标、利用对称性等方法选择一个更简单的区域进行积分。
除了上述方法与技巧之外，求解多元函数积分还需要熟练运用基本的积分公式和求导公式，灵活运用数学分析的知识。
另外，需要注意积分上下限的选择，确保积分区域与被积函数的定义域一致。
对于难题，可以尝试利用数值积分方法进行近似计算。
综合运用上述方法与技巧，可以更高效地求解多元函数积分，并应用于实际问题的求解。
多元函数积分学总结
多元函数积分学总结引言多元函数积分学是微积分的重要分支，研究具有多个变量的函数的积分。
它在物理、工程、经济学等领域都有广泛的应用。
本文旨在总结多元函数积分学的基本概念、技巧和应用。
一、多重积分1.二重积分二重积分即对二元函数在一个有界区域上的积分。
它可以通过将区域分割成小的矩形，并在每个矩形中求函数值乘以该矩形的面积，再将所有矩形的面积相加而得到。
二重积分的计算可以使用极坐标、换元法等方法来简化计算过程。
2.三重积分三重积分即对三元函数在一个有界区域上的积分。
类似于二重积分，三重积分可以通过对区域进行分割，并在每个小的立体元中求函数值乘以立体元的体积，再将所有立体元的体积相加而得到。
三重积分的计算可以使用柱坐标、球坐标等方法来简化计算过程。
3.多重积分的性质–可加性：多重积分具有可加性，即对于函数的积分，可以将区域分割成多个子区域，分别在每个子区域上计算积分，再将这些积分相加。
–定积分的值与路径无关：对于连续函数，在一个闭合曲线上的积分与路径无关，只与路径所围成的区域有关。
二、重要定理1.Fubini定理Fubini定理是二重积分和三重积分的重要定理，它可以将多重积分转换为一重积分的形式，简化积分计算的过程。
2.Green公式和Stokes定理Green公式和Stokes定理是两个重要的向量积分定理。
它们描述了曲线积分和曲面积分与散度、旋度之间的关系。
3.Gauss公式Gauss公式是一个重要的体积积分定理，它表明了三维空间中的散度与体积分之间的关系。
这个定理在电磁学和流体力学中有广泛的应用。
三、应用实例1.质量和质心多重积分在质量和质心的计算中有广泛的应用。
通过将物体划分为无穷小的微元，可以通过多重积分计算物体的总质量和质心的位置。
2.引力和电场的计算在物理学中，多重积分可以用于计算引力和电场的作用。
通过计算物体上的质量或电荷在空间中的分布，可以使用多重积分来求解引力或电场的强度。
3.概率密度函数和统计分析在概率论和统计学中，概率密度函数描述了随机变量的概率分布。
高等数学中的多元函数的积分
高等数学中的多元函数的积分高等数学中的多元函数积分高等数学是一门抽象的学科，它以符号理论和逻辑推理为基础，利用数学结构和算法解决复杂的问题。
在高等数学中，多元函数积分是一个非常重要的概念。
多元函数积分是现代数学的基石之一，它与实际问题密切相关，具有广泛的应用范围。
1. 多元函数积分的概念多元函数积分是一种数学工具，它用于计算多元函数在闭合区域上的积分值。
多元函数是指有多个自变量的函数，积分是对多元函数在一个闭合区域上的求和操作。
多元函数积分的概念最早是由黎曼在19世纪中期提出的，现在已经成为现代数学的一部分。
2. 多元函数积分的性质多元函数积分具有以下性质：（1）线性性：若f和g是定义在闭合区域U上的两个多元函数，a和b是常数，则有∫[af(x,y)+bg(x,y)]dxdy＝a∫f(x,y)dxdy+b∫g(x,y)dxdy。
（2）可加性：若f是定义在闭合区域U上的多元函数，在它的范围内用一个曲面D把闭合区域分成两个部分U1和U2，则有∫f(x,y)dxdy＝∫f(x,y)dxdy＋∫f(x,y)dxdy。
3. 多元函数积分的计算方法多元函数积分的计算方法有以下几种：（1）直接计算：即按照定义式进行积分。
这种方法适合于计算简单的多元函数积分。
（2）使用改变变量法：改变变量法是通过变量代换的方式，将多元函数转化为标准形式，并重新计算积分。
这种方法适合于计算复杂的多元函数积分。
（3）使用重积分法：重积分法是把多元函数积分表示为两个一元函数积分的积分形式，再进行计算。
这种方法适合于计算连续多元函数积分。
4. 多元函数积分的应用多元函数积分是解决实际问题的有力工具，它在物理、工程、金融等领域都有广泛的应用。
（1）物理领域：例如，通过多元函数积分可以计算物体的体积、质心、转动惯量等参数。
（2）工程领域：例如，通过多元函数积分可以计算电场、磁场、热量传递等参数。
（3）金融领域：例如，通过多元函数积分可以计算期权和利率等金融指标。
多元函数积分学
多元函数积分学总结多元函数积分学是一元函数积分学的拓展与延伸，包括二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分。
❖ 几何意义：曲顶柱体的体积❖ 性质：线性性质、可加性、单调性、估值性质、中值定理 ❖ 计算方式：x 型、y 型、极坐标（22y x +）❖ 常见计算类型：① 选择积分顺序：能积分、少分块② 交换积分顺序：确定积分区域→交换积分顺序→开始积分③ 利用对称性简化计算：要兼备被积函数和积分区域两个方面，不可误用。
④ 极坐标系下的二重积分的定限：极点在积分区域内（特殊：与x 轴相切、与y 轴相切）、极点不在积分区域内⑤ 其他：利用几何意义、含绝对值时先去绝对值、分段函数、概率积分 ❖ 了解“积不出来函数”：dx x ⎰)cos(2、dx e x ⎰-2、dx x ⎰ln 1、dx xx⎰sin ❖ 概率积分例题展示 证明22π=⎰∞+-dx ex证：令=)(x f 2x e-① 易证)()(x f x f -=⇒)(x f 为偶函数⇒212=⎰+∞-dx exdx ex2⎰+∞∞--（奇偶对称性、轮换对称性、周期性→简化计算） ② 已知dx e x ⎰-2为“积不出来函数”，所以改变我们所求目标函数dx e x2⎰+∞∞--的形式令=w dx ex2⎰+∞-412=w •dx e x 2⎰+∞∞--41=dxdx e x x⎰⎰+∞∞-+-+∞∞-)(22（了解“积不出来函数”，增强目标意识，适当转化目标函数形式）③ 令其中一个x 变成y ，构造22y x + 2w 41=dxdy e y x⎰⎰+∞∞-+-+∞∞-)(22④ 将θcos r x =，θsin r y =带入上一步的2w 易得),0(+∞∈r ，)2,0(π∈θ 2w =θdrd e r r ⎰⎰-+∞•π20241=⎰⎰+∞-•π2002θd dr er r2021212dr e r •=⎰+∞-π2021212lim dr e br b •=⎰-+∞→π)1(21212lim --=-+∞→b b e ππ41==⇒w 2π 即220π=⎰∞+-dx e x成立（极坐标系⇔直角坐标系，选择合适的积分次序将二重积分⇔二次积分，了解广义定积分）（此类积分为概率积分 bdt e bdx et bxπ211022⎰⎰∞+-∞+-==）。
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性质1 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即
kf (x, y)d k f (x, y)d
D
D
性质2 有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代
数和的积分等于各函数积分的代数和，即
[ f (x, y) g(x, y)]d f (x, y)d g( x, y)d .
把区域 D 任意分割成n个小区域:
1, 2 ,L
,
，
n
其
中 i表示第i个小区域(i=1,2,...,n),也表示其面积.在每个小
n
区域 i 上任取一点 (i ,i ) ,作和
f (i ,i ) i
i 1
若 为i 的 i 直径，记 max{,1若,2极,L限,n}
b
dx
2(x) f ( x, y)d y
c
1( y)
a
1 ( x )
即二重积分可以化成先对变元x 积分，后对变元y 积分的
二次积分.也可化为先对变量y 积分，后对变量x 积分的
二次积分
先对一个变量积分时，另一个变量应视为常量，
按定积分的计算方法解之.
在上述讨论中，我们假定f (x,y)≥0，但是实际上，上
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2.二重积分的存在定理
若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上必可积.
3.二重积分的几何意义：
(1) 若在D上f(x,y)≥0，则 f ( x, y)d表 示以区域D为底， D 以f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积.
(2) 若在D上 f(x,y)≤0，则上述曲顶柱体在Oxy面的下方
顶柱体体积的近似值为
n
f (i ,i ) i .
i 1
(4) 取极限 记 max{1, 2 ,L , n } ,若极限
n
lim
0 i1
f (i ,i ) i
存在,则它即为所求曲顶柱体的体积.
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1．二重积分的定义
定义 设f (x,y)是定义在闭区域D上的有界函数.
第8章 多元函数积分学 8.1 二重积分的概念与性质 8.2 二重积分的计算
结束
8.1 二重积分的概念与性质
8.1.1 二重积分的概念
引例1 曲顶柱体的体积.
若有一个柱体，它的底是Oxy平面上的闭区域D，
它的侧面是以D 的边界曲线为准
z f (x, y)
线，且母线平行于z轴的柱面，
它的顶是曲面z=f(x,y)，
所以
bd
b
d
f (x, y)d xd y ( f (x, y)d y)d x d x f (x, y)d y
ac
a
c
D
这是先对y后对x的累次积
分计算二重积分的方法
同法可得到先对x后对y
的积分方法.
cy d
b
f ( x, y)d x d y
a
D
db
d
b
[ f ( x, y)d x]d y d y f ( x, y)d x
在区间[a,b]上任取一点x，过该点作垂直于x轴的平面
截立体，截得一曲边梯形,其面积为S(x)，则
S( x) 2( x) f ( x, y)dy. 1 ( x )
于是所求的体积
b
V a S( x)dx.
b 2( x) f ( x, y)d y d x a 1 ( x )
ca
c
a
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例2
计算积分
D
y x2
dxdy
，其中D是正方形区域：
1≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤1.
解
D
y x2
dxdy
2
1y
dx
1
0
x2 dy
21 1 2x2
1
y2 dx
0
1 2
2 dx 1 x2
1. 4
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2.当区域D为 1( x) y 2( x) a x b.
述结论并不受此限制.
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为了便于确定积分区域D的不等式表达式，通常
可以采用下述步骤：
(1) 画出积分区域D的图形.
(2) 若先对y积分，且平行于y轴的直线与区域D的边界
线的交点不多于两点，那么确定关于y积分限的方
法是：
作平行于y轴的有向直线与区域D相交
2(x)
先与直线相交的区域D的边界曲线 作为1 (积x )分下限 后与直线相交的区域D的边界曲线 2( x)
D
D
性质5 若在积分区域D上有f(x,y)=1，则
d ( 表示D的面积)
D
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性质6(估值定理) 若在D上处处有m≤f(x,y)≤M，则
m f ( x, y)d M （ 表示D的面积) D
性质7(二重积分中值定理) 设f(x,y)在有界闭区域D 上连续，则在D上存在点 ( ,，) 使
二重积分的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积. (3)若f(x,y)在D的某些子区域上为正的，在D的另一些子区
域上为负的，则二重积分表示在这些子区域上曲顶柱 体体积的代数和(即在Oxy平面之上的曲顶 柱体体积减
去Oxy平面之下的曲顶柱体的体积).
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8.1.2 二重积分的性质
二重积分有与定积分类似的性质.假设下面各性质中 所涉及的函数f(x,y)，g(x,y)在区域 D上都是可积的.
D
D
D
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性质3 若D 可以分为两个区域D1，D2，则
f ( x, y)d f ( x, y)d f ( x, y)d .
D
D1
D2
D2 D1
性质4 若在D上处处有f(x,y)≤g(x,y)，则有
f (x, y)d g(x, y)d .
b
dx
2(x) f ( x, y)d y
a
1 ( x )
a x
b
1( x)
z f (x, y)
S(x)
2(x)
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同样，设区域D由 1( y) 和2( y) 围成,用不等式表示为
1( y) x 2( y) c y d.
在[c,d]上取定一点y，过该点作垂直于y轴的平面截
(即 表i 示 中任i 意两点间距
离的最大值)，在 中 i 任取一
点 (i ,,以i ) f为(i高,而i ) 底
为 的i 平顶柱体体积为
f (i ,i ) i .
此为小曲顶柱体体积的近似值
(i ,i )
z f (x, y)
Δσi
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(3) 求和 把所有小平顶柱体的体积加起来,得到曲
3πe ex2 y2d 3πe4 .
D
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8.2 二重积分的计算
二重积分的计算主要是化为两次定积分计算，称 为二次积分或累次积分.下面从二重积分的几何意义来 引出这种计算方法.
8.2.1 二重积分在直角坐标系下的计算
在直角坐标系中，如果用平行于两个坐标轴的两
组直线段，将区域D分割成n个小块 1, 2 ,L , n ,
n
称为面积元素, x 和y 称为积分变量, f (i ,i ) i 称为积 i 1
分和.
由以上定义知,曲顶柱体的体积 V f ( x, y)d
D
注:(1)和式极限存在是指当所有小区域的最大直径 0时 积分和有惟一确定的极限,极限值与D的分法和 (的i ,取i ) 法无关. (2)二重积分的值是个常数,其大小仅与被积函数和积分 区域有关而和积分变量无关.
c ≤ y ≤ d ,a,b,c,d 为常数),
任取 x (a,b),用过点 x且垂直
于x 轴的平面截曲顶柱体,则
可得到一曲边梯形,其面积为 a
s( x) d f ( x, y)dy c
x
b
s( x)
c
d
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于是由平行截面面积已知的立体体积公式可得:
b
bd
V a s( x)d x a (c f ( x, y)d y)d x
D
3 0
(6
2x) y
3 2
y
2
2(1 0
x 3
)
dx
3 0
12 1
x 3
2
6 1
x 3
2
dx
6
3 0
1
x 3
2
dx
6.
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解法2 先对x积分
作平行于x轴的有向直线与区域D相交，得积分下限
n
lim
0 i1
f (i ,i ) i
存在,则称为函数 f (x在, y区) 域D上的定积分,记
n
即
D
f (x,
y)d
lim 0
i 1
f (i ,i ) i
f (x, y)d
D
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其中f (x,y) 称为被积函数, f ( x, y)d 称为被积表达式, d
x2( y) f ( x, y)dx
c
x1 ( y )
S( y)
c yd
x 1( y) x 1( y)
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因此
D
f ( x, y)dxdy
d c
2( y) 1( y)
f