电路(向量法)

i2 (t ) 10 cos(100π t 300 ) j 300 (1050 ) 1350 w1 w2 (3) u1 (t ) 10 cos(100π t 300 ) 不能比较相位差 u2 (t ) 10 cos( 200π t 450 )
(4) i1 (t ) 3 cos(100π t 300 ) i2 (t ) 5 cos(100π t 300 )
i(t ) I m cos(w t i ) 2I cos(w t i )
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同理，可得正弦电压有 U 1 U m 效值与最大值的关系： 2
或 U m 2U
若交流电压有效值为 U=220V ， U=380V 其最大值为 Um311V ， Um537V
等于初相位之差

j >0，u 超前 i j 角或 i 滞后 u
j 角 (u比i先到
wt
|i | |j |

达最大)；
j <0， u 滞后 i |j |角或 i 超前 u |j |角(i比u先到达最大值）。
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特殊相位关系
j ＝ 0， 同相
u i o
j = (180 ) ，反相
注意
① 工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如 设备铭牌额定值、电网电压等级等。但绝缘水平、 耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐 压水平时应按最大值考虑。 ② 交流测量仪表指示的电压、 m 电流读数一般为有效值。 ③ 区分电压、电流的瞬时值、 m 最大值、有效值的符号。
i, I , I
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研究正弦电路的意义
1.正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十 分重要的地位。
优点
①正弦信号容易产生、传送和使用； ②正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分 运算后仍是同频率的正弦函数。 2.正弦信号是一种基本信号，任何非正弦周期信号 可以分解为按正弦规律变化的分量。
f (t ) Ak cos( kwt k )
u o
o
wt
i wt
j= /2：u 领先 i /2
u
i o 同样可比较 两个电压或 两个电流的 相位差。
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wt
例 计算下列两正弦量的相位差。 解
(1) i1 (t ) 10 cos(100π t 3π 4) 3π 4 ( π 2) 5π 4 π i2 (t ) 10 cos(100π t π 2) j 5π 4 2π 3π 4 (2) i1 (t ) 10 sin( 100π t 150 ) 10 cos(100πt 1050 )
u2 2 U 2 cos(w t 2 )
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3.正弦量的相量表示
造一个复函数
无物理意义 F (t ) 2 Ie j(wt i ) 2Icos(wt i ) j 2Isin( wt i )
对 F(t) 取实部
是一个正弦量有物理意义
Re[ F (t )] 2Icos(w t i ) i(t )
j
Im b |F| F

o a Re
| F | a 2 b 2 b 或 θ arctan a
a | F | cos b | F | sin
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2.复数运算 ①加减运算 —— 采用代数式 若 F1=a1+jb1，F2=a2+jb2 则
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j( w t i )
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F(t) 还可以写成 复常数
正弦量对应的相量
e jwt 2 Ie e jwt 2 I 复常数包含了两个要素：I 、 i。 F (t )
ji
i(t ) 2 I cos(w t i ) I Ii
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
1.正弦量
瞬时值表达式
正弦量
i
0 T
波形
正弦量为周期函数
i(t)=Imcos(w t+i)
f(t)=f ( t+kT )
周期T 和频率f
周期T ：重复变化一次所需的时间。单位：秒s 频率f ：每秒重复变化的次数。 单位：赫(兹)Hz
正弦电流电路
1 f T
t
激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路(正弦 稳态电路)称为正弦电路或交流电路。返 回 上 页 下

u (t ) 2U cos(w t u ) U Uu

注意
相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位
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例1 已知 i 141.4 cos(314t 30o )A
u 311.1cos(314t 60o )V
试用相量表示i, u . 解
u2 2 U 2 cos(w t 2 )
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u1 u2
角频率
w
w
u1+u2 u3
u
w
u1 u3 o
u2
有效值 U1 U2 初相位 1 2
U3
wt
3
结论 同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，
所以，只需确定初相位和有效值。
因此采用 变换的思想 正弦量 复数
u1 2 U1 cos(w t 1 )
I 10030 A,
o


U 220 60o V
周期电流、电压有效值定义
物理 意义
直流I
R
2
交流 i
T
R
2
W RI T
1 T
定义电流有效值：
定义电压有效值：
W 0 Ri (t )dt
1 T
I
def

T
0
i (t )dt
2
U
def

T
0
u (t ) d t
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2
均方根值
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正弦电流、电压的有效值
设 i(t)=Imcos(w t+i )
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w 2π f 2π T
单位：rad/s，弧度/秒
注意
i(t)=Imcos(w t+i)
i
i =0
同一个正弦量， 计时起点不同， 初相位不同。
i =－/2 wt
一般规定：| i | 。
o
i
i =－/2
i =/2
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例 已知正弦电流波形如图，w＝103rad/s，
π 2,
π,
e j π cos( π) j sin( π) 1
jF
F
Re
jF
e jπ 2 cos( π 2) j sin( π 2) j
0
F
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注意 +j, –j, -1都可以看成旋转因子。
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8.2
1.写出 i(t) 表达式；2.求最大值发生的时间t1
解 100 i
i(t ) 100 cos(10 t i )
3
50 t 0 50 100 cos i π i o 3 由于最大值发生在计时起点右侧
t t1
π i (t ) 100 cos(10 t ) 3 当 103 t1 π 3 有最大值

原式 (3.41 j3.657) (9.063 j4.226) 12.47 j0.569 12.48 2.61
(17 j9) (4 j6) 220 35 ? 20 j5

例2
解
19.2427.9 7.21156.3 原式 180.2 j126.2 20.6214.04 180.2 j126.2 6.72870.16
I

1 T
2

T
0
I cos ( w t i ) dt
2 m 2
T 0
0 cos
T
( w t i ) dt
1 cos 2(w t i ) 1 1 dt t T 2 2 0 2
T
1 2 T Im I Im 0.707 I m T 2 2
I m 2I
n
结论
k 1
对正弦电路的分析研究具有重要的 理论价值和实际意义。
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2.正弦量的三要素
i(t)=Imcos(w t+i)
(1) 幅值(振幅、最大值)Im
i
O
T Im t 2 wt
i
反映正弦量变化幅度的大小。
(2) 角频率ω 相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。
(3) 初相位i 反映正弦量的计时起点，常用角度表示。
u,U , U
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8.3 相量法的基础
1.问题的提出
RLC串联电路 电路方程是微分方程： + – R
u
iL
L
uC
+ – C
d 2 uC duC LC RC uC u (t ) dt dt
两个正弦量的相加，如KCL、KVL方程运算：
u1 2 U1 cos(w t 1 )
第8章
相量法
本章重点
8.1 8.2 8.3 8.4 复数 正弦量 相量法的基础
电路定律的相量形式
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重点：
1. 正弦量的表示、相位差 2. 正弦量的相量表示 3. 电路定理的相量形式
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8.1
1.复数的表示形式
复数
Im b 代数式 |F| F
F a jb