北师大版高中数学选修4-4坐标系与参数方程全套PPT课件
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高中数学(北师大版)选修4-4 课件：第一章 坐标系本章整合 (共23张PPT)
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1.1 平面直角坐标系与曲线方程 专题一 专题二 专题三
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专题归纳
高考体验
专题二 极坐标与直角坐标互化 互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴 作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位. 互化公式为x=ρcos θ,y=ρsin θ ρ2=x2+y2
������ tan θ= (x ≠0) ������
直角坐标方程化极坐标方程可直接将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入即 可,而极坐标方程化为直角坐标方程通常先将极坐标方程化为ρcos θ,ρsin θ的整体形式,然后用x,y代替较为方便,常常两端同乘ρ即可达 到角坐标系与曲线方程 专题一 专题二 专题三
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π 例2已知极坐标方程C1为ρ=10,C2为ρsin ������- 3 =6.
(1)化C1,C2的极坐标方程为直角坐标方程,并分别判断曲线形状; (2)求C1,C2交点间的距离. 解：(1)由ρ=10,得ρ2=100,即x2+y2=100, 故C1为圆心在(0,0),半径等于10的圆.
-11-
1.1 平面直角坐标系与曲线方程 专题一 专题二 专题三
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专题三 极坐标方程及其应用 借助点的极坐标或曲线的极坐标方程,将最值问题转化为三角函 数问题求解.
-12-
1.1 平面直角坐标系与曲线方程 专题一 专题二 专题三
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例3在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建 立极坐标系.已知曲线C1的极坐标方程为
12
2
( 3) +(-1)
2
专题七第1讲选修44坐标系与参数方程课件共39张PPT
ρsin
θ＝
3 3 ρcos
θ－4 3 3＋1，
ρsin θ＝－ 33ρcos θ＋433＋1。
2．(2021·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴
建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2 2cos θ。
(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点A的直角坐标为(1,0)，M为C上的动点，点P满足
解 (1)由题意知⊙C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，
则⊙C的参数方程为yx＝＝12＋＋scions
α， α
(α为参数)。
(2)由题意可知，切线的斜率存在，设切线方程为y－1＝k(x－4)， 即kx－y＋1－4k＝0， 所以|2k－1k＋2＋1－1 4k|＝1，解得k＝± 33，
则这两条切线方程分别为y＝ 33x－433＋1，y＝－ 33x＋433＋1， 故这两条切线的极坐标方程分别为
解 (1)解法一：曲线C1的普通方程为x2＋y2＝1，将直线l的参数方程代入，得t2＋ t＝0，解得t＝0或t＝－1，根据参数的几何意义可知|AB|＝1。
解法二：直线l的普通方程为y＝ 3(x－1)，曲线C1的普通方程为x2＋y2＝1， 由yx＝ 2＋y32＝x－1，1， 得l与C1的交点坐标为(1,0)，12，－ 23，则|AB|＝1。
(t为参数)。
(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程； (2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设C1，C2的交点为P， 求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程。
解 (1)由C1的参数方程得，C1的普通方程为x＋y＝4(0≤x≤4)。 由C2的参数方程得x2＝t2＋t12＋2，y2＝t2＋t12－2，所以x2－y2＝4。 故C2的普通方程为x2－y2＝4。
高中数学(北师大版)选修4-4 课件：第一章 坐标系本章整合
.
解析：直线 ρcos θ- 3ρsin θ-1=0 化为直角坐标方程为 x- 3y-1=0, 圆 ρ=2cos θ 化为直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,可知圆心(1,0)在直线
x- 3y-1=0 上,故|AB|=2.
答案：2
-18-
1.1 平面直角坐标系与曲线方程
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1234567
故C1为圆心在(0,0),半径等于10的圆.
由 ρsin
������-
π 3
=6,
得ρ
1 2
sin������-
3 2
cos������
=6.
得 y- 3x=12,即 3x-y+12=0.
故 C2 表示直线 3x-y+12=0.
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1.1 平面直角坐标系与曲线方程
专题一
专题二
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1,
3 3
,
则点 P 的极坐标为
23 3
,
π 6
.
所以直线 OP 的极坐标方程为 θ=π6,ρ∈R.
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1.1 平面直角坐标系与曲线方程
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专题一
专题二
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专题二 极坐标与直角坐标互化 互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴 作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位. 互化公式为x=ρcos θ,y=ρsin θ ρ2=x2+y2 tan θ=������������(x≠0) 直角坐标方程化极坐标方程可直接将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入即 可,而极坐标方程化为直角坐标方程通常先将极坐标方程化为ρcos θ,ρsin θ的整体形式,然后用x,y代替较为方便,常常两端同乘ρ即可达 到目的,但要注意变形的等价性.
北师大版高中数学选修4-4坐标系与参数方程极坐标系_课件7
6 即A( 3 ,-1).
2.直角坐标为 ( 3 , ) 的点的极坐标为( )
22
A.( , 5 )
6
C.( ,11 )
6
B.( , 7 )
6
D.( , )
2
答案:C
解析 : 设( 3 , )的极坐标为 , ,则有
22
x2 y2 3 2 2 ,
44
cos x
3
2
3,
2
2k k Z
6
令k 1, 2 ,可得 11 .
6
6
3.极坐标为(3,3)的点在直角坐标系的( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案:B
解析:设点(3,3)的直角坐标为(x,y),则有
x2 y2 (1)2 ( 3)2 2,
cos x 1 ,
x2 y2 2 于是θ=2kπ+ 2 π,k∈Z.
3
5.把点P的直角坐标(3,3)化成极坐标(ρ>0,0≤θ<2π).
解析: 32 32 3 2,tan 3 1.
因为点M在第一象限,ρ>0,所以
点的极坐标与直角坐标的互化 随堂验收
1.点A的极坐标是(2, 7 ),则点A的直角坐标为
6
A.(1, 3)
B.( 3,1)
C.( 3, 1)
D.( 3, 1)
答案:C
解析:设点A的直角坐标为(x,y),则有 7
x=ρcosθ=2cos 6 π= 3 ,
y=ρsinθ=2sinπ 7 =-1,
x cos 3cos3 0, y sin 3sin3 0,
2.直角坐标为 ( 3 , ) 的点的极坐标为( )
22
A.( , 5 )
6
C.( ,11 )
6
B.( , 7 )
6
D.( , )
2
答案:C
解析 : 设( 3 , )的极坐标为 , ,则有
22
x2 y2 3 2 2 ,
44
cos x
3
2
3,
2
2k k Z
6
令k 1, 2 ,可得 11 .
6
6
3.极坐标为(3,3)的点在直角坐标系的( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案:B
解析:设点(3,3)的直角坐标为(x,y),则有
x2 y2 (1)2 ( 3)2 2,
cos x 1 ,
x2 y2 2 于是θ=2kπ+ 2 π,k∈Z.
3
5.把点P的直角坐标(3,3)化成极坐标(ρ>0,0≤θ<2π).
解析: 32 32 3 2,tan 3 1.
因为点M在第一象限,ρ>0,所以
点的极坐标与直角坐标的互化 随堂验收
1.点A的极坐标是(2, 7 ),则点A的直角坐标为
6
A.(1, 3)
B.( 3,1)
C.( 3, 1)
D.( 3, 1)
答案:C
解析:设点A的直角坐标为(x,y),则有 7
x=ρcosθ=2cos 6 π= 3 ,
y=ρsinθ=2sinπ 7 =-1,
x cos 3cos3 0, y sin 3sin3 0,
高中数学(北师大版)选修4-4 课件：第二章 参数方程本章整合 (共34张PPT)
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������2 分析： (1)利用椭圆 2 ������
+
������2 ������
2=1(a>0,b>0)的参数方程为
������ .转化为求关于 sin30°
θ 的三角函数的最值问题,利用辅助角公
1.1 平面直角坐标系与曲线方程 专题一 专题二 专题三
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������ = 2cos������, (θ 为参数 ). ������ = 3sin������ 直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0. (2)曲线 C 上任意一点 P(2cos θ,3sin θ)到 l 的距离为 解： (1)曲线 C 的参数方程为 d= |4cos θ+ 3sin θ- 6|,
25 y= (x-1)2-1,即为所求普通方程. 9
5 t= (x-1),代入 3
y=t2-1,
-6-
1.1 平面直角坐标系与曲线方程 专题一 专题二 专题三
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高考体验
专题二 用参数方程研究最值问题 在圆锥曲线中常涉及曲线上某点到另外一点的距离问题,利用参 数方程可以转化到三角函数、二次函数等问题来求解,利用三角函 数的有界性及参数的范围得最大值或最小值.
本章整合
-1-
1.1 平面直角坐标系与曲线方程
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专题归纳
高考体验
答案：①直线的参数方程 ②椭圆的参数方程 ③参数方程与 普通方程的互化 ④参数方程化成普通方程 ⑤平摆线 ⑥渐开 线的参数方程
-2-
1.1 平面直角坐标系与曲线方程 专题一 专题二 专题三
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专题归纳
高考体验
专题一 参数方程和普通方程的互化 通过消去参数将曲线的参数方程化为普通方程,有利于识别曲线 的类型.在参数方程与普通方程的互化中,必须使两种方程中x,y的 取值范围保持一致.由于参数方程中的参数多数都用角表示,消参 的过程就要用到三角函数的有关变形公式,故参数方程与三角函数 关系紧密,必须熟练掌握三角变形公式.
������2 分析： (1)利用椭圆 2 ������
+
������2 ������
2=1(a>0,b>0)的参数方程为
������ .转化为求关于 sin30°
θ 的三角函数的最值问题,利用辅助角公
1.1 平面直角坐标系与曲线方程 专题一 专题二 专题三
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������ = 2cos������, (θ 为参数 ). ������ = 3sin������ 直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0. (2)曲线 C 上任意一点 P(2cos θ,3sin θ)到 l 的距离为 解： (1)曲线 C 的参数方程为 d= |4cos θ+ 3sin θ- 6|,
25 y= (x-1)2-1,即为所求普通方程. 9
5 t= (x-1),代入 3
y=t2-1,
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1.1 平面直角坐标系与曲线方程 专题一 专题二 专题三
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专题二 用参数方程研究最值问题 在圆锥曲线中常涉及曲线上某点到另外一点的距离问题,利用参 数方程可以转化到三角函数、二次函数等问题来求解,利用三角函 数的有界性及参数的范围得最大值或最小值.
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1.1 平面直角坐标系与曲线方程
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答案：①直线的参数方程 ②椭圆的参数方程 ③参数方程与 普通方程的互化 ④参数方程化成普通方程 ⑤平摆线 ⑥渐开 线的参数方程
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1.1 平面直角坐标系与曲线方程 专题一 专题二 专题三
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专题一 参数方程和普通方程的互化 通过消去参数将曲线的参数方程化为普通方程,有利于识别曲线 的类型.在参数方程与普通方程的互化中,必须使两种方程中x,y的 取值范围保持一致.由于参数方程中的参数多数都用角表示,消参 的过程就要用到三角函数的有关变形公式,故参数方程与三角函数 关系紧密,必须熟练掌握三角变形公式.
高考数学北师大版(理)大一轮复习课件：选修4-4坐标系与参数方程4
25
由 2
解得
或
24
2
=0
+
=
1,
= 25 .
9
从而 C 与 l 的交点坐标为(3,0),
21 24
- 25 , 25
.
(2)直线 l 的普通方程为 x+4y-a-4=0,故 C 上的点(3cos θ,sin θ)到
|3cos+4sin--4|
.
√17
l 的距离为 d=
+9
+9
.由题设得
(2)极轴与 x 轴非负半轴重合;
(3)取相同的长度单位
互化公式
x = ρθ,
①
y = ρθ,
ρ2 = x 2 + y 2 ,
②
y
θ = ( ≠ 0)
x
(2)把直角坐标转化为极坐标时,通常有不同的表示法(极角相差
2π的整数倍).一般取ρ≥0,θ∈[0,2π).
-4-
随堂巩固
知识梳理
1
坐标保持不变,纵坐标缩短为本来的
2 ,得到曲线C2,以坐标原点O为
极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,C1的极坐标方程为ρ=4cos
α.
(1)求曲线C2的参数方程;
(2)已知点M在第一象限,四边形MNPQ是曲线C2的内接矩形,求内
接矩形MNPQ周长的最大值,并求周长最大时点M的坐标.
-17考点1
随堂巩固
知识梳理
-3-
考点自诊
2.极坐标系与极坐标
(1)极坐标系:如图所示,在平面内取一个 定点 O,叫做极点,自
极点O引一条 射线 Ox,叫做极轴;再选定一个 长度 单位,一
个 角度 单位(通常取 弧度 )及其正方向(通常取 逆时针 方
由 2
解得
或
24
2
=0
+
=
1,
= 25 .
9
从而 C 与 l 的交点坐标为(3,0),
21 24
- 25 , 25
.
(2)直线 l 的普通方程为 x+4y-a-4=0,故 C 上的点(3cos θ,sin θ)到
|3cos+4sin--4|
.
√17
l 的距离为 d=
+9
+9
.由题设得
(2)极轴与 x 轴非负半轴重合;
(3)取相同的长度单位
互化公式
x = ρθ,
①
y = ρθ,
ρ2 = x 2 + y 2 ,
②
y
θ = ( ≠ 0)
x
(2)把直角坐标转化为极坐标时,通常有不同的表示法(极角相差
2π的整数倍).一般取ρ≥0,θ∈[0,2π).
-4-
随堂巩固
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1
坐标保持不变,纵坐标缩短为本来的
2 ,得到曲线C2,以坐标原点O为
极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,C1的极坐标方程为ρ=4cos
α.
(1)求曲线C2的参数方程;
(2)已知点M在第一象限,四边形MNPQ是曲线C2的内接矩形,求内
接矩形MNPQ周长的最大值,并求周长最大时点M的坐标.
-17考点1
随堂巩固
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-3-
考点自诊
2.极坐标系与极坐标
(1)极坐标系:如图所示,在平面内取一个 定点 O,叫做极点,自
极点O引一条 射线 Ox,叫做极轴;再选定一个 长度 单位,一
个 角度 单位(通常取 弧度 )及其正方向(通常取 逆时针 方
高三数学,一轮复习北师大版,(文)选修4-4 ,坐标系与参数方程 , 课件
则 tan θ=
-5√3 -5
π
B. 10, 3 2π D. 10, 3
4π
关闭
设点 (-5,-5√3)的极坐标为 (ρ,θ), = √3.
4π 3
因为 x<0,所以最小正角 θ= , ρ= (-5) + (-5√3 ) =10. 所以极坐标为 10, B
4π 3 2 2
.
解析
关闭
答案
-11知识梳理 双基自测 自测点评
-4知识梳理 双基自测 自测点评
1 2 3 4 5 6
(2)极坐标与直角坐标的关系:把直角坐标系的原点作为极点,x轴 的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,设M是平 面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标为(ρ,θ),则它们之间的 ������ 关系为x=ρcos θ,y=ρsin θ .另一种关系为ρ2=x2+y2 ,tan θ= ������ (x≠0).
1 2 3 4 5
3.已知直线 l 的参数方程为
������ = 2������, (t 为参数),圆 C 的极坐标 ������ = 1 + 4������ )
方程为 ρ=2√2sin θ,则直线 l 与圆 C 的位置关系为( A.相离 B.相切 C.相交 D.由参数确定
关闭
������ = 2������, (t 为参数)化为普通方程,得 2x-y+1=0. ������ = 1 + 4������ 将圆 C 的极坐标方程 ρ=2√2sin θ 化为直角坐标方程,得 x2+y2-2√2y=0,即 x2+(y-√2)2=2, 将直线的参数方程 圆心到直线的距离为 d= C
-8知识梳理 双基自测 自测点评
-5√3 -5
π
B. 10, 3 2π D. 10, 3
4π
关闭
设点 (-5,-5√3)的极坐标为 (ρ,θ), = √3.
4π 3
因为 x<0,所以最小正角 θ= , ρ= (-5) + (-5√3 ) =10. 所以极坐标为 10, B
4π 3 2 2
.
解析
关闭
答案
-11知识梳理 双基自测 自测点评
-4知识梳理 双基自测 自测点评
1 2 3 4 5 6
(2)极坐标与直角坐标的关系:把直角坐标系的原点作为极点,x轴 的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,设M是平 面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标为(ρ,θ),则它们之间的 ������ 关系为x=ρcos θ,y=ρsin θ .另一种关系为ρ2=x2+y2 ,tan θ= ������ (x≠0).
1 2 3 4 5
3.已知直线 l 的参数方程为
������ = 2������, (t 为参数),圆 C 的极坐标 ������ = 1 + 4������ )
方程为 ρ=2√2sin θ,则直线 l 与圆 C 的位置关系为( A.相离 B.相切 C.相交 D.由参数确定
关闭
������ = 2������, (t 为参数)化为普通方程,得 2x-y+1=0. ������ = 1 + 4������ 将圆 C 的极坐标方程 ρ=2√2sin θ 化为直角坐标方程,得 x2+y2-2√2y=0,即 x2+(y-√2)2=2, 将直线的参数方程 圆心到直线的距离为 d= C
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坐标系与参数方程复习 课件(北师大版选修4-4)
y=sinθ
3
则x+y= 3 cosθ+sinθ=2sin(θ+ ) 3 当 . ，x+y取得最大值2。
6
练习：
x t 3 1.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 y 3 t (参数t∈R)，圆C的参数方程为 x 2cos (参数θ ∈ y 2sin 2 ［0,2π )),则圆C的圆心到直线l的距离为_____. 2 2 2.已知圆C的参数方程为 x cos (α 为参数)，以原点 y 1 sin
则θ =_____. 【解析】直线为y=xtanθ，圆为(x-4)2+y2=4,作出图形, 相切时，易知倾斜角为 或 5 .
6 6
2 0
A(4,0)
x2 【例3】.已知点P为椭圆 y 2 1 在第一象限部分上的点， 3
则x+y的最大值等于_____.
x= 3 cosθ
2 解析:设椭圆 x y 2 1在第一象限部分上的点P
为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方 程为ρ sinθ =1,则直线l与圆C的交点的直角坐标为
(-1，1)，(1，1) ______________________.
• • • • •
1.极坐标的定义及ρ、θ的含义。 2.能写出、认出简单图像的极坐标方程。 3.极坐标与直角坐标的互化（重点是极化直）。 4.参数方程的定义。 5.能写出、认出简单图像的参数方程，及参数 的几何意义。 • 6.参数方程化普通方程。
坐标方程是_____. 【审题指导】先求圆的直角坐标方程，再化为极坐标方程. 【自主解答】直线l：ρcosθ-2=0的普通方程为x=2, M(2,0),以OM为直径的圆的普通方程是(x-1)2+y2=1,即 x2+y2=2x，化为极坐标方程为ρ=2cosθ.
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|PN|，即|PM|2＝2|PN|2，结合图形由勾股定理转化为|PO1|2 －12＝2(|PO2|2－12)．设 P(x，y)，由距离公式写出代数 关系式，化简整理可得．
解 以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，建 立如图所示的平面直角坐标系，则O1(－2，0)，O2(2， 0)．
由已知|PM|＝ 2|PN|，得|PM|2＝2|PN|2. 因为两圆的半径均为1，所以|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)． 设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]， 即(x－6)2＋y2＝33， 所以所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33(或x2＋y2－12x＋3＝ 0)． 【反思感悟】 本题求点的轨迹，考查建坐标系和数形结合 思想，利用勾股定理、两点间距离公式等知识，巧妙探求 动点P满足的条件．
【知能要点】 1．回顾坐标系有关概念，体会坐标系的作用． 2．了解建立坐标系的方法和原则． 3 ． 坐 标 伸 缩 变 换 φ ： x′＝λx，λ>0，
y′＝μy，μ>0.
题型一 平面直角坐标系
坐标系是现代数学中的重要内容，它在数学发展的历史上 起过划时代的作用．坐标系的创建，在代数和几何之间架 起了一座桥梁．利用坐标系，我们可以方便地用代数的方 法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间内一 个点的位置．它使几何概念得以用代数的方法来描述，几 何图形可以通过代数形式来表达，这样便可将抽象的代数 方程用形象的几何图形表示出来，又可将先进的代数方法 应用于几何学的研究． 建立直角坐标系，数形结合，我们可以解决许多数学问题， 如函数问题就常常需要借助直角坐标系来解决．
【例1】如图所示，圆 O1 与圆 O2 的半径都是 1，|O1O2|＝4，过动点 P 分别作圆 O1、圆 O2 的切线 PM、PN(M、N 分别为切点)，
使得|PM|＝ 2|PN|，试建立适当的坐标
系，求动点 P 的轨迹方程．
分析 本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立
坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式：|PM|＝ 2
∴|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|， 即|MC2|－|MC1|＝2.
这表明动点 M 与两定点 C2、C1 的距离的差是常数 2.根据 双曲线的定义，动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2 的距离大，与 C1 的距离小)，这里 a＝1，c＝3，则 b2 ＝8，设点 M 的坐标为(x，y)，其轨迹方程为 x2－y82＝1
(x<0)．
【例2】 如图所示，四边形ABCD的四个顶点坐标分别为A(－1， 3)，B(－3，－2)，C(4，－2)，D(3，4)，求四边形ABCD 的面积．
(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点 P(x，y)是平
面直角坐标系中任意一点，在变换_φ_：___xy_′′_＝＝__μλ_xy_，，__λμ_>>_0_0__的
作用下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，y′)，称 φ 为平面直角 坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
【思维导图】
1．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆 M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程． 解 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和 B，根据两圆外切的条件，得
|MC1|－|AC1|＝|MA|， |MC2|－|BC2|＝|MB|. ∵|MA|＝|MB|，
极坐标系
极坐标的概念
1课时
点的极坐标与直角坐标的互化 1课时
直线和圆的极坐标方程
1课时
曲线的极坐标方程与直角坐标 方程的互化
柱坐标系和 球坐标系
圆锥曲线统一的极坐标方程 两种坐标系的概念
1课时 1课时 2课时
平面直角坐标系
1.坐标系 (1)坐标法：根据几何对象的_特__征__，选择适当的坐标系， 建立它的_方__程__，通过_方__程__研究它的_性__质__及_与__其__他__几__何__ _图__形__的__关__系__． (2)坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步，建立适当坐 标系，用坐标和方程表示问题中涉及的_几__何__元素，将几何 问题转化成_代__数__问题；第二步，通过代数运算，解决代数 问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成_几__何__结论．
2．平面直角坐标系的作用 平面直角坐标系的作用：使平面上的点与_坐__标__(_有__序__实__数__ _对__)，曲线与_方__程__建立联系，从而实现_数__与__形__的结合．
3．平面直角坐标系中的伸缩变换 (1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩 变换就可归结为_坐__标__伸缩变换，这就是用_代__数__方__法__研究 _几__何__变换．
【学习目标】 1．回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标
系的作用． 2．通过具体例子，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平
面图形的变化情况． 3．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系
和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标 和直角坐标的互化． 4．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点 或圆心在极点的圆)的方程．通过比较这些图形在极坐
北师大版高中数学选 修4-4坐标系与参数方
程全套PPT课件
平面直角坐标系
【综合评价】 通过直角坐标系，平面和空间中的点与坐标(有序数
组)、曲线与方程建立了联系，实现了数形结合，这些数 所表示的几何含义是不同的，同一曲线在不同坐标系下的 方程也有不同形式．因此我们研究几何图形时以根据需 要选择不同的坐标系．本讲介绍了极坐标系、柱坐标系和 球坐标系，其中极坐标系是重点内容，同学们要认真领会 极坐标系下直线和圆的方程，理解它们的特点、意义.
标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面 图形时选择适当坐标系的意义． 5．了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法， 并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会 它们的区别． 【学习计划】
内容
学习重点
建议学习时间
平面直角坐 坐标系的选择；直角坐
标系
标系下的伸缩变换
2课时
解 以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，建 立如图所示的平面直角坐标系，则O1(－2，0)，O2(2， 0)．
由已知|PM|＝ 2|PN|，得|PM|2＝2|PN|2. 因为两圆的半径均为1，所以|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)． 设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]， 即(x－6)2＋y2＝33， 所以所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33(或x2＋y2－12x＋3＝ 0)． 【反思感悟】 本题求点的轨迹，考查建坐标系和数形结合 思想，利用勾股定理、两点间距离公式等知识，巧妙探求 动点P满足的条件．
【知能要点】 1．回顾坐标系有关概念，体会坐标系的作用． 2．了解建立坐标系的方法和原则． 3 ． 坐 标 伸 缩 变 换 φ ： x′＝λx，λ>0，
y′＝μy，μ>0.
题型一 平面直角坐标系
坐标系是现代数学中的重要内容，它在数学发展的历史上 起过划时代的作用．坐标系的创建，在代数和几何之间架 起了一座桥梁．利用坐标系，我们可以方便地用代数的方 法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间内一 个点的位置．它使几何概念得以用代数的方法来描述，几 何图形可以通过代数形式来表达，这样便可将抽象的代数 方程用形象的几何图形表示出来，又可将先进的代数方法 应用于几何学的研究． 建立直角坐标系，数形结合，我们可以解决许多数学问题， 如函数问题就常常需要借助直角坐标系来解决．
【例1】如图所示，圆 O1 与圆 O2 的半径都是 1，|O1O2|＝4，过动点 P 分别作圆 O1、圆 O2 的切线 PM、PN(M、N 分别为切点)，
使得|PM|＝ 2|PN|，试建立适当的坐标
系，求动点 P 的轨迹方程．
分析 本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立
坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式：|PM|＝ 2
∴|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|， 即|MC2|－|MC1|＝2.
这表明动点 M 与两定点 C2、C1 的距离的差是常数 2.根据 双曲线的定义，动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2 的距离大，与 C1 的距离小)，这里 a＝1，c＝3，则 b2 ＝8，设点 M 的坐标为(x，y)，其轨迹方程为 x2－y82＝1
(x<0)．
【例2】 如图所示，四边形ABCD的四个顶点坐标分别为A(－1， 3)，B(－3，－2)，C(4，－2)，D(3，4)，求四边形ABCD 的面积．
(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点 P(x，y)是平
面直角坐标系中任意一点，在变换_φ_：___xy_′′_＝＝__μλ_xy_，，__λμ_>>_0_0__的
作用下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，y′)，称 φ 为平面直角 坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
【思维导图】
1．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆 M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程． 解 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和 B，根据两圆外切的条件，得
|MC1|－|AC1|＝|MA|， |MC2|－|BC2|＝|MB|. ∵|MA|＝|MB|，
极坐标系
极坐标的概念
1课时
点的极坐标与直角坐标的互化 1课时
直线和圆的极坐标方程
1课时
曲线的极坐标方程与直角坐标 方程的互化
柱坐标系和 球坐标系
圆锥曲线统一的极坐标方程 两种坐标系的概念
1课时 1课时 2课时
平面直角坐标系
1.坐标系 (1)坐标法：根据几何对象的_特__征__，选择适当的坐标系， 建立它的_方__程__，通过_方__程__研究它的_性__质__及_与__其__他__几__何__ _图__形__的__关__系__． (2)坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步，建立适当坐 标系，用坐标和方程表示问题中涉及的_几__何__元素，将几何 问题转化成_代__数__问题；第二步，通过代数运算，解决代数 问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成_几__何__结论．
2．平面直角坐标系的作用 平面直角坐标系的作用：使平面上的点与_坐__标__(_有__序__实__数__ _对__)，曲线与_方__程__建立联系，从而实现_数__与__形__的结合．
3．平面直角坐标系中的伸缩变换 (1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩 变换就可归结为_坐__标__伸缩变换，这就是用_代__数__方__法__研究 _几__何__变换．
【学习目标】 1．回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标
系的作用． 2．通过具体例子，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平
面图形的变化情况． 3．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系
和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标 和直角坐标的互化． 4．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点 或圆心在极点的圆)的方程．通过比较这些图形在极坐
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平面直角坐标系
【综合评价】 通过直角坐标系，平面和空间中的点与坐标(有序数
组)、曲线与方程建立了联系，实现了数形结合，这些数 所表示的几何含义是不同的，同一曲线在不同坐标系下的 方程也有不同形式．因此我们研究几何图形时以根据需 要选择不同的坐标系．本讲介绍了极坐标系、柱坐标系和 球坐标系，其中极坐标系是重点内容，同学们要认真领会 极坐标系下直线和圆的方程，理解它们的特点、意义.
标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面 图形时选择适当坐标系的意义． 5．了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法， 并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会 它们的区别． 【学习计划】
内容
学习重点
建议学习时间
平面直角坐 坐标系的选择；直角坐
标系
标系下的伸缩变换
2课时