《结构力学》压杆稳定
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解：一端固定，一端自由的μ＝2
(1) I min
2
y
hb3 Iy 3 104 mm4 12
P
EI min 3.7kN P1cr 2 2 ( l ) ( 2 2000) 4 4 a 30 ' ( 2) Imin 6.75 104 mm4 12 12 ' 2 (2 105 ) 6.75 104 2 EI min ＝ 8.33kN P2cr 2 2 (2 2000 ) ( l )
P
(a)
P Pcr
(b)
(c)
当 P增大到一定的临界值Pcr，撤去横向力后，杆的轴线将保持 弯曲的平衡形态，而不再恢复其原来的直线平衡形态（图 c）， 压杆在原来直线形态下的平衡是 不稳定平衡。
临界力（Pcr）的概念
中心受压直杆由稳定平衡转化为不稳定平衡时 所受轴向压力的临界值。
压杆的稳定性：压杆保持初始直线平衡状态的能力。
欧拉公式的另外一种表达形式
E
2 cr 2
越大，相应的 cr 越小，压杆越容易失稳。 若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应 分别计算在各平面内失稳时的柔度，并按较大者计算 压杆的临界应力cr 。
2. 欧拉公式的应用范围 只有在 cr P 的范围内，才可以用欧拉公 式计算压杆的临界力 Pcr（临界应力 cr ）。
E
2 cr 2
P
或
E E
2 P P
P
P
P 的大小取决于压杆的力学性能。例如，对于Q235钢， 可取 E=206MPa，P=200MPa，得
P
E
P
100
σ cr
右图称为欧拉临界应力 曲线。实线部分是欧拉 公式适用范围的曲线， σP 虚线部分无意义。
s P
大柔度杆的分界：
P
（ 1 ）满足 P 的杆称为大柔度杆（或 长细杆）， 临界力用欧拉公式求。
2E S P
s a
b
(2)s P 的杆为 中柔度杆，其临 界应力 用经验 公式求。 cr
a b
（ 3 ） S 的杆为小柔度杆，其临 界力 cr s
几种理想的杆端约束情况下 压杆长度系数见表11-1或下图
课堂练习： 图示各杆材料和截面均相同，问哪 根压杆能忍受的 压力最大，哪根最小？
l 10, 4 .9 ， 9 ， 4
提 示
EI P (l )
2 cr
2
答：图(d）最大，图（a)最小
例11-1：已知一中心受压柱受力如图，l=2m，材料的截面 为矩形:①bh=20×45mm2, ②a=30mm。 E 200GPa 试求：两者的临界力。
解：两端铰支的μ＝1
(1) l 1.2m
2
i
l
i
2
d 10m m 4
120 P 100 是大柔度杆
2
EI E d Pcr cr A 2 2 ( l ) 4 2 1202 l ( 2) l 0.8m 80 P i
压杆的失稳：压杆丧失直线形状的平衡状态。
§12–2 临界力和临界应力
一.欧拉公式 1. 两端绞支压杆的临界力
– 假定压力已达到临界值P=Pcr，杆已 经处于微弯状态如图。从挠曲线入手， 求临界力。
y
x
P cr
A
P cr
m
M ( x ) P cr y
m
δ
v
B
EIy" M ( x ) Pcr y
假定一折减系数值(0与1之间)，由稳定条件计算 所需要的截面面积A，然后计算出压杆的长细比λ， 根据压杆的长细比查表得到折减系数，再验算是否 满足稳定条件。如果不满足，则应重新假定折减系 数．重复上述过程，直到满足稳定条件为止。
或 P A
P A
例11-3如图所示，构架由两根直径相同的圆杆构成，杆 的材料为Q235钢，直径d=20mm，材料的许用应力 [σ]=170MPa，已知h=0.4m。试校核二杆的稳定性。
AC 160
N AB 13.44kN N AC 11kN
(1)计算柔度： L
i
惯性半径 i
I 。 A
( 2 )确定临界应力的求解方 法：
比较， p , s的大小（ p , s的值根据 力学性质确定 )
(3)代入相应的公式，求解 压杆稳定的临界荷载；
§12-3 压杆的稳定计算－ 系数法 一．稳定条件
为了防止压杆失稳，则必须使压杆的工作应力 小于或等于许用应力 cr ，即：
P cr A
P 或 A
cr
cr
nst
[ ]
cr [ ]nst
:稳定系数,主要与柔度λ有关，见表11-3
二． 稳定计算
1.稳定校核： P A 2.确定许可荷载： 3.截面设计：（试算法）
P2cr 2.25倍 P1cr
l
2 2 105 3 104
比较（）
b 20 22.5 25 28 30 直径D＝ 33.85 h 45 40 36 32.143 30 Iy 30000 37969 46875 58800 67500 64458 Pcr 3.70 4.68 5.78 7.25 8.33 7.95
O
E
2 cr 2
P
P
μl λ ( ) i
三.中长杆的临界应力、临界应力总图
1.经验公式
P
.直线型经验公式
也有适用范围
cr a b
设 s为屈服应力，并令 cr s时的柔度为 s，则：
cr a b s s a ( cr a bs s ) s b
令i
P
cr
A
EI E (l ) A (l / i )
2 2 2
2
I A
再 令
l
i
EI E Pcr 2 2 cr A (l ) A (l / i )
2 2
E
2 cr 2
i
I A
为压杆横截面对中性轴的惯性半径
矩形截面的惯性半径i:
因为临界力 Pcr 是微弯下的最小压力，故只能 取n=1 ；且杆将绕惯性矩I最小的轴Imin弯曲。
2 EI P cr l2
2.不同杆端约束下细长压杆的临界应力、 压杆的长度系数 推论：在其它约束情况下，临界力为：
EI P (l )
2 cr
2
为压杆的长度系数;
l 为相当长度。
iz
Iz A
1 ＝
12 bh
＝
bh3
h ＝ 12
12 bh hb 3
iy
Iy A
1
b ＝ 12
圆形截面的惯性 半径i:
i z＝i y I ＝ A
1
1 d 2 4
d4 64
d ＝ 4
l 称为压杆的柔度（长细比）。集中地反映了压杆的长度， 杆端约束，截面尺寸和形状对临界应力的影响。 i
EIy" M ( x ) Pcr y
y
其中 I 为横截面的最小形心主惯性矩。
令
P cr k2 EI
P cr
M ( x ) Pcr y
m
m
则有二阶常系数线性微分方程
其通解为
y" k y 0
2
B
y A sinkx B coskx
A，B，k 三个待定常数由该挠曲线的三个边界条件确定。
查表2得：
3 2 105 402
54.83kN
s 62 s P ,为中柔度杆，其临界应 力用经验公式求。
查表2得：a=304, b=1.12
cr a b
Pcr cr A (a b )
d 2
4
269.4kN
例11-2：一两端铰支的圆截面受压柱d=40mm， E 200GPa ① l=1.2m, ② l=0.8m, ③l=0.5m; 试求：三者的临界力。
稳定条件
P cr A
安全系数法确定容许应力:
取稳定安全系数为nst,以
cr 表示稳定Βιβλιοθήκη Baidu用应力，则：
cr
cr
nst
P cr A
压杆的强度条件
cr
cr
nst
(强度许用应力)
cr 令 则
李可勤 制作
1
§1 压杆稳定的概念
§2 临界力和临界应力
§3 压杆的稳定计算
§4 提高压杆稳定性的措施
§11-1
•
压杆稳定的概念
1. 工程中的稳定问题
轴向受压杆的承载能力是依据强度条件确定 的。但在实际工程中发现，许多细长的受压 杆件的破坏是在满足了强度条件情况下发生 的。 做一个简单的实验；取两根矩形截面的松木 条，A=30×5mm，一杆长为20mm，另一杆 长为1000mm。若松木的强度极限σb=40MPa， 按强度考虑，两杆的极限承载能力均应为 P=40×30×5=6000N。但是，我们给两杆缓缓 施加压力时会发现，长杆在加到约30N时，杆 发生了弯曲，当力再增加时，弯曲迅速增大， 杆随即折断。而短杆可受力到接近6000N,且在 破坏前一直保持着直线形状。显然，长杆的 破坏不是由于强度不足而引起的。
小 柔 度 杆 的 问 题 属 于度 强问 题 ， 由强度条件可确定。
cr
S
P
2.临界应力总图
cr s
E
cr ab
D
C
2E cr 2
大柔度杆
小柔度杆
中柔度杆
B
L
i
s s a
b
P
2E P
例11-2：一两端铰支的圆截面受压柱d=40mm， E 200GPa ① l=1.2m, ② l=0.8m, ③l=0.5m; 试求：三者的临界力。
y(0) y( l ) 0
A 0 B 0 即: A sin kl B cos kl 0
B 0 A sin kl 0
令
P cr k2 EI
因为A 0不可能 sin kl 0
n k l P cr ( n 0, 1,2...) EI
解：两端铰支的μ＝1
i d 10m m 4
( 3) l 0.5m
l
i
是大柔度杆
50 62 S
S 的杆为小柔度杆， 临界应力 cr s
Pcr s
d
4
2
295.3kN
求解压杆临界应力或临 界力的解题步骤如下：
•
•
在工程史上，曾发生过不少类似长 杆的突然弯曲破坏导致整个结构毁坏的 事故。其中最有名的是1907年北美魁北 克圣劳伦斯河上的大铁桥，因桁架中一 根受压弦杆突然弯曲，引起大桥的坍塌。 • 这种细长受压杆突然破坏，就其性 质而言，与强度问题完全不同，经研究 后知，它是由于杆件丧失了保持直线形 状的稳定性而造成的。这类破坏称丧失 稳定。杆件招致丧失稳定破坏的压力比 发生强度不足破坏的压力要小得多。因 此，对细长压杆必须进行稳定性的计算。
2.其它的稳定问题
• • • • 狭长矩形截面梁的侧向整体失稳 薄板的失稳 薄壁圆柱筒的失稳 拱的失稳
3.压杆的稳定平衡和不稳定平衡
1. 稳定平衡与不稳定平衡的概念
– 当 P小于某一临界值Pcr，撤去横向力后， 杆的轴线将恢复其原来的直线平衡形态， 压杆在直线形态下的平衡是稳定平衡。
P Q
P Pcr
解： （1）求二杆的轴力：
N AB 13.44kN N AC 11kN (2)求二杆之
4 2 h AB＝ 113 d i d 4 2h l AC 8h AC＝ 160 d i d 4
l AB
2h
查表11 3得
AB＝ 113
/
2.25 1.78 1.44 1.15 1.00 1.05
作 业1
预习本章下几节!
P176 1. 习题1 2. 习题2
二、欧拉公式的应用范围
1.压杆的临界应力公式 （临界应力欧拉公式）
压杆受临界力Pcr作用而仍在直线平衡形态下维持稳 定的平衡时，横截面上的压应力可按 = P/A 计算。
cr
(1) I min
2
y
hb3 Iy 3 104 mm4 12
P
EI min 3.7kN P1cr 2 2 ( l ) ( 2 2000) 4 4 a 30 ' ( 2) Imin 6.75 104 mm4 12 12 ' 2 (2 105 ) 6.75 104 2 EI min ＝ 8.33kN P2cr 2 2 (2 2000 ) ( l )
P
(a)
P Pcr
(b)
(c)
当 P增大到一定的临界值Pcr，撤去横向力后，杆的轴线将保持 弯曲的平衡形态，而不再恢复其原来的直线平衡形态（图 c）， 压杆在原来直线形态下的平衡是 不稳定平衡。
临界力（Pcr）的概念
中心受压直杆由稳定平衡转化为不稳定平衡时 所受轴向压力的临界值。
压杆的稳定性：压杆保持初始直线平衡状态的能力。
欧拉公式的另外一种表达形式
E
2 cr 2
越大，相应的 cr 越小，压杆越容易失稳。 若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应 分别计算在各平面内失稳时的柔度，并按较大者计算 压杆的临界应力cr 。
2. 欧拉公式的应用范围 只有在 cr P 的范围内，才可以用欧拉公 式计算压杆的临界力 Pcr（临界应力 cr ）。
E
2 cr 2
P
或
E E
2 P P
P
P
P 的大小取决于压杆的力学性能。例如，对于Q235钢， 可取 E=206MPa，P=200MPa，得
P
E
P
100
σ cr
右图称为欧拉临界应力 曲线。实线部分是欧拉 公式适用范围的曲线， σP 虚线部分无意义。
s P
大柔度杆的分界：
P
（ 1 ）满足 P 的杆称为大柔度杆（或 长细杆）， 临界力用欧拉公式求。
2E S P
s a
b
(2)s P 的杆为 中柔度杆，其临 界应力 用经验 公式求。 cr
a b
（ 3 ） S 的杆为小柔度杆，其临 界力 cr s
几种理想的杆端约束情况下 压杆长度系数见表11-1或下图
课堂练习： 图示各杆材料和截面均相同，问哪 根压杆能忍受的 压力最大，哪根最小？
l 10, 4 .9 ， 9 ， 4
提 示
EI P (l )
2 cr
2
答：图(d）最大，图（a)最小
例11-1：已知一中心受压柱受力如图，l=2m，材料的截面 为矩形:①bh=20×45mm2, ②a=30mm。 E 200GPa 试求：两者的临界力。
解：两端铰支的μ＝1
(1) l 1.2m
2
i
l
i
2
d 10m m 4
120 P 100 是大柔度杆
2
EI E d Pcr cr A 2 2 ( l ) 4 2 1202 l ( 2) l 0.8m 80 P i
压杆的失稳：压杆丧失直线形状的平衡状态。
§12–2 临界力和临界应力
一.欧拉公式 1. 两端绞支压杆的临界力
– 假定压力已达到临界值P=Pcr，杆已 经处于微弯状态如图。从挠曲线入手， 求临界力。
y
x
P cr
A
P cr
m
M ( x ) P cr y
m
δ
v
B
EIy" M ( x ) Pcr y
假定一折减系数值(0与1之间)，由稳定条件计算 所需要的截面面积A，然后计算出压杆的长细比λ， 根据压杆的长细比查表得到折减系数，再验算是否 满足稳定条件。如果不满足，则应重新假定折减系 数．重复上述过程，直到满足稳定条件为止。
或 P A
P A
例11-3如图所示，构架由两根直径相同的圆杆构成，杆 的材料为Q235钢，直径d=20mm，材料的许用应力 [σ]=170MPa，已知h=0.4m。试校核二杆的稳定性。
AC 160
N AB 13.44kN N AC 11kN
(1)计算柔度： L
i
惯性半径 i
I 。 A
( 2 )确定临界应力的求解方 法：
比较， p , s的大小（ p , s的值根据 力学性质确定 )
(3)代入相应的公式，求解 压杆稳定的临界荷载；
§12-3 压杆的稳定计算－ 系数法 一．稳定条件
为了防止压杆失稳，则必须使压杆的工作应力 小于或等于许用应力 cr ，即：
P cr A
P 或 A
cr
cr
nst
[ ]
cr [ ]nst
:稳定系数,主要与柔度λ有关，见表11-3
二． 稳定计算
1.稳定校核： P A 2.确定许可荷载： 3.截面设计：（试算法）
P2cr 2.25倍 P1cr
l
2 2 105 3 104
比较（）
b 20 22.5 25 28 30 直径D＝ 33.85 h 45 40 36 32.143 30 Iy 30000 37969 46875 58800 67500 64458 Pcr 3.70 4.68 5.78 7.25 8.33 7.95
O
E
2 cr 2
P
P
μl λ ( ) i
三.中长杆的临界应力、临界应力总图
1.经验公式
P
.直线型经验公式
也有适用范围
cr a b
设 s为屈服应力，并令 cr s时的柔度为 s，则：
cr a b s s a ( cr a bs s ) s b
令i
P
cr
A
EI E (l ) A (l / i )
2 2 2
2
I A
再 令
l
i
EI E Pcr 2 2 cr A (l ) A (l / i )
2 2
E
2 cr 2
i
I A
为压杆横截面对中性轴的惯性半径
矩形截面的惯性半径i:
因为临界力 Pcr 是微弯下的最小压力，故只能 取n=1 ；且杆将绕惯性矩I最小的轴Imin弯曲。
2 EI P cr l2
2.不同杆端约束下细长压杆的临界应力、 压杆的长度系数 推论：在其它约束情况下，临界力为：
EI P (l )
2 cr
2
为压杆的长度系数;
l 为相当长度。
iz
Iz A
1 ＝
12 bh
＝
bh3
h ＝ 12
12 bh hb 3
iy
Iy A
1
b ＝ 12
圆形截面的惯性 半径i:
i z＝i y I ＝ A
1
1 d 2 4
d4 64
d ＝ 4
l 称为压杆的柔度（长细比）。集中地反映了压杆的长度， 杆端约束，截面尺寸和形状对临界应力的影响。 i
EIy" M ( x ) Pcr y
y
其中 I 为横截面的最小形心主惯性矩。
令
P cr k2 EI
P cr
M ( x ) Pcr y
m
m
则有二阶常系数线性微分方程
其通解为
y" k y 0
2
B
y A sinkx B coskx
A，B，k 三个待定常数由该挠曲线的三个边界条件确定。
查表2得：
3 2 105 402
54.83kN
s 62 s P ,为中柔度杆，其临界应 力用经验公式求。
查表2得：a=304, b=1.12
cr a b
Pcr cr A (a b )
d 2
4
269.4kN
例11-2：一两端铰支的圆截面受压柱d=40mm， E 200GPa ① l=1.2m, ② l=0.8m, ③l=0.5m; 试求：三者的临界力。
稳定条件
P cr A
安全系数法确定容许应力:
取稳定安全系数为nst,以
cr 表示稳定Βιβλιοθήκη Baidu用应力，则：
cr
cr
nst
P cr A
压杆的强度条件
cr
cr
nst
(强度许用应力)
cr 令 则
李可勤 制作
1
§1 压杆稳定的概念
§2 临界力和临界应力
§3 压杆的稳定计算
§4 提高压杆稳定性的措施
§11-1
•
压杆稳定的概念
1. 工程中的稳定问题
轴向受压杆的承载能力是依据强度条件确定 的。但在实际工程中发现，许多细长的受压 杆件的破坏是在满足了强度条件情况下发生 的。 做一个简单的实验；取两根矩形截面的松木 条，A=30×5mm，一杆长为20mm，另一杆 长为1000mm。若松木的强度极限σb=40MPa， 按强度考虑，两杆的极限承载能力均应为 P=40×30×5=6000N。但是，我们给两杆缓缓 施加压力时会发现，长杆在加到约30N时，杆 发生了弯曲，当力再增加时，弯曲迅速增大， 杆随即折断。而短杆可受力到接近6000N,且在 破坏前一直保持着直线形状。显然，长杆的 破坏不是由于强度不足而引起的。
小 柔 度 杆 的 问 题 属 于度 强问 题 ， 由强度条件可确定。
cr
S
P
2.临界应力总图
cr s
E
cr ab
D
C
2E cr 2
大柔度杆
小柔度杆
中柔度杆
B
L
i
s s a
b
P
2E P
例11-2：一两端铰支的圆截面受压柱d=40mm， E 200GPa ① l=1.2m, ② l=0.8m, ③l=0.5m; 试求：三者的临界力。
y(0) y( l ) 0
A 0 B 0 即: A sin kl B cos kl 0
B 0 A sin kl 0
令
P cr k2 EI
因为A 0不可能 sin kl 0
n k l P cr ( n 0, 1,2...) EI
解：两端铰支的μ＝1
i d 10m m 4
( 3) l 0.5m
l
i
是大柔度杆
50 62 S
S 的杆为小柔度杆， 临界应力 cr s
Pcr s
d
4
2
295.3kN
求解压杆临界应力或临 界力的解题步骤如下：
•
•
在工程史上，曾发生过不少类似长 杆的突然弯曲破坏导致整个结构毁坏的 事故。其中最有名的是1907年北美魁北 克圣劳伦斯河上的大铁桥，因桁架中一 根受压弦杆突然弯曲，引起大桥的坍塌。 • 这种细长受压杆突然破坏，就其性 质而言，与强度问题完全不同，经研究 后知，它是由于杆件丧失了保持直线形 状的稳定性而造成的。这类破坏称丧失 稳定。杆件招致丧失稳定破坏的压力比 发生强度不足破坏的压力要小得多。因 此，对细长压杆必须进行稳定性的计算。
2.其它的稳定问题
• • • • 狭长矩形截面梁的侧向整体失稳 薄板的失稳 薄壁圆柱筒的失稳 拱的失稳
3.压杆的稳定平衡和不稳定平衡
1. 稳定平衡与不稳定平衡的概念
– 当 P小于某一临界值Pcr，撤去横向力后， 杆的轴线将恢复其原来的直线平衡形态， 压杆在直线形态下的平衡是稳定平衡。
P Q
P Pcr
解： （1）求二杆的轴力：
N AB 13.44kN N AC 11kN (2)求二杆之
4 2 h AB＝ 113 d i d 4 2h l AC 8h AC＝ 160 d i d 4
l AB
2h
查表11 3得
AB＝ 113
/
2.25 1.78 1.44 1.15 1.00 1.05
作 业1
预习本章下几节!
P176 1. 习题1 2. 习题2
二、欧拉公式的应用范围
1.压杆的临界应力公式 （临界应力欧拉公式）
压杆受临界力Pcr作用而仍在直线平衡形态下维持稳 定的平衡时，横截面上的压应力可按 = P/A 计算。
cr