一道三角函数竞赛题的多种解法

一道三角函数竞赛题的多种解法

《华罗庚数学奥林匹克竞赛集训教材》第169页有这样一道竞赛题：

求满足下式的锐角x ：4sin 347cos 1215=-+-x x

由于此题较难，所以笔者将它作为我校高二竞赛培训中的一道压轴考试题，但考试结果较好。笔者收集了几种颇具代表性的解答，供竞赛教练和同学参考。

解法1：考虑构造余弦定理（此法与教程相同）。 因4)90cos(3432cos 31223123222=-︒-++⨯-+x x

在ABC Rt ∆中，设3 =CE ，x ACD =∠，则x BCD -︒=∠90。 如图，||4|||AB BE AE ≥=+，又4412||=+=AB

所以点E 、D 重合。设y AD =||，于是 )]90sin(2sin 32[32

132x x S S S BCD ACD ABC -︒+⨯=

+==∆∆∆ ︒=⇒︒+=⇒60)30sin(1x x

解法2：运用柯西不等式。 因≥⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-+-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2222sin 347cos 4513x x 2sin 3471cos 453⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯+-⨯≥x x 16sin 347cos 12152=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=x x 当且仅当x

x sin 3471cos 453-=-，即4cos sin 33=-x x ， 因x x x f cos sin 33)(-=在⎪⎭⎫ ⎝⎛

2

,0π上递增，又4)3(==πf ，则3π

=x 。 解法3：分子有理化巧妙化简。 因4sin 347cos 1215=-+-x x ①

则⇒=------4sin 347cos 1215)

sin 347()1215(x x x cocx

x x x x sin 3cos 32sin 347cos 1215+-=--- ②

由(①+②2)整理得：04)sin 3(cos 4)sin 3(cos 2=++-+x x x x

则2sin 3cos =+x x ，从而︒=60x .

12

3

2 C A B D E

解法4：朴素的化简运算。 原式化为x x sin 347cos 12154-=-- 两边平方得：x x x cos 45232cos 3sin -=+-， 即x x cos 453)30cos(-=+︒+-。 两边平方得：02cos 4)30cos(32)30(cos 2=-+︒+-︒+x x x

即01)30sin(2)30(sin 2

=+︒+-︒+x x 1)30sin(=︒+⇒x ，则︒=60x . 解法5：先换元再构造方程组 令b x a x =-=-sin 347 ,cos 1215， 则4=+b a ，1215cos 2

a x -=，3

498347sin 22+--=-=a a b x 由1sin cos 22=+x x 得：0)3(0811*******

234=-⇒=+-+-a a a a a 则3=a ，即︒=⇒=-603cos 1215x x .

解法6：先转化为解析几何问题，再用三点共线。

原式化为 4)2sin 3()cos 3()sin 3()32cos 3(2222=-+++-x x x x 设点)sin 3 ,cos 3(x x P ，)0 ,32(A ，)2 ,0(B ，则4||||=+PB PA 又因4||=AB ，则点P 在AB 上，因AB 的方程为12

32=+y x

， 则12

sin 332cos 3=+x x

，从而︒=60x 。 解法7：先数形结合，再构造方程组。 原式化为4)3sin 2()cos 2()sin 2()1cos 2(32

222=-+++-⨯x x x x 设点)sin 2 ,cos 2(x x P ，)0 ,1(A ，)3 ,0(B ， 则4||||3=+PB PA ① 由余弦定理知：4||5cos cos 2

PA POA x -=∠=， x

y

34||7cos sin 2

PB POB x -=∠= ，则()+-16||522PA ()148||722=-PB ② 由①②知：48)||5(3)9||38||3(2222=-++-PA PA PA

令t AP =||，则30)3(0931218344234=⇒=-⇒=+-+-t t t t t t 从而2

1cos =

x ，即︒=60x .