一道三角函数竞赛题的多种解法
三角函数竞赛试题与方法
三角函数竞赛试题与方法二、方法与例题 1．结合图象解题。
例1 求方程s inx =lg |x |的解的个数。
【解】在同一坐标系内画出函数y =s inx 与y =lg |x |的图象（见图），由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。
2．三角函数性质的应用。
例2 设x ∈(0, π), 试比较co s(s inx )与s in (co s x )的大小。
【解】 若⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈ππ,2x ，则co s x ≤1且co s x >-1，所以co s ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈0,2πx ，所以s in (co s x ) ≤0,又0<s inx ≤1, 所以co s(s inx )>0，所以co s(s inx )>s in (co s x ). 若⎥⎦⎤⎝⎛-∈2,0πx ，则因为s inx +co s x =2cos 22sin 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x (s inxco s 4π+s in 4πco s x )=2s in (x +4π)≤2<2π， 所以0<s inx <2π-co s x <2π， 所以co s(s inx )>co s(2π-co s x )=s in (co s x ).综上，当x ∈(0,π)时，总有co s(s inx )<s in (co s x ).例3 已知α，β为锐角，且x ·（α+β-2π）>0，求证：.2sin cos sin cos <⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛xxαββα【证明】 若α+β>2π，则x >0，由α>2π-β>0得co s α<co s(2π-β)=s in β,所以0<βαsin cos <1，又s in α>s in (2π-β)=co s β, 所以0<αβsin cos <1，所以.2sin cos sin cos sin cos sin cos 0=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛αββααββαxx若α+β<2π，则x <0，由0<α<2π-β<2π得co s α>co s(2π-β)=s in β>0, 所以βαsin cos >1。
三角函数解题方法
三角函数例1：求)35cos()65sin()613cos()37sin()425(325cos625sinπππππππ-----+-++tg 的值解：213cos6sin6cos3sin43cos6sin-=⋅+--+=πππππππtg例2：已知tan(α-β)=1/2,tan β=-1/7且α、β∈（0，π）求2α-β的值。
分析：要求2α-β的值，只需要先求出角2α-β的某一个三角函数值，再结合2α-β的范围来确定该角的大小，但是由于条件中所给角α、β的范围较大，但α、β实际上仅仅是一个确定的角，所以解这类习题常常需要先根据已知条件把角的范围进一步缩小，最好能使2α-β恰好在所求的三角函数的某一单调区间内，否则若2α-β的范围过大往往会出现多解，从而把不满足条件的角也包含进去了。
解：tan α=tan[(α-β)+β]=31171217121=⋅+-，∴α∈（0，4π） tan β=-71 ∴β∈（,2ππ），∴2α-β∈（-π，0） tan2(α-β)=341141=-∴tan(α-β)=tan[2(α-β)+β]=713471341⋅+-=1 所以2α-β=-43π例3：已知tan2θ=-22，θ∈（24,ππ），求：)sin()sin(31sin cos 23322θθθππθ-⋅+--的值。
解：原式=43232cos sin cos +-θθθ∵tan2θ=-22,2θ∈(2π,π),令2θ终边上一点为的坐标P(x,y),设y=22,x=1,则r=3∴cos2θ=31-,sin θ=33sin , 3622cos 1==-θθ所以原式=)21(443633633-=+--例4：化简：)tan(tan tan tan )tan(βααβαβα+⋅--+解：∵tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)ββααβαβαβααβαβαβαβααβαβαtan )tan(tan tan tan )tan()tan(tan )tan tan 1)(tan()tan()tan(tan tan tan )tan(=+⋅⋅⋅+=+-+-+=+⋅--+∴说明：这里实际上是运用的两角和（差）的正切公式tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+变形，把tan α+tan β用α+β的正切及tan α²tan β来表示，这类问题在三角求值问题中也常遇到，如求tan(15°-α)tan(75°-α)+tan(15°-α)²tan2α+tan(75°-α) ²tan2α的值等等。
初中数学竞赛：锐角三角函数(附练习题及答案)
初中数学竞赛：锐角三角函数古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等．正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的sin 、cos 、tg 、ctg 的通用形式．三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质： 1．单调性；2．互余三角函数间的关系； 3．同角三角函数间的关系． 平方关系：sin 2α+cos 2α=1； 商数关系：tg α=ααcos sin ，ctg α=ααsin cos ； 倒数关系：tg αctg α=1． 【例题求解】【例1】 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA ＝135，tanB=2，AB=29cm ， 则S △ABC = ．思路点拨 过C 作CD ⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA=135=AC CD ，tanB=2=BDCD，设CD=5m ，AC ＝13m ，CD ＝2n ，BD ＝n ，解题的关键是求出m 、n 的值．注：设△ABC 中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论：(1) S △ABC =C ab B ac A bc sin 21sin 21sin 21==；（2）R CcB b A a 2sin sin sin ===． 【例2】 如图，在△ABC 中．∠ACB ＝90°，∠ABC ＝15°，BC=1，则AC=( ) A ．32+ B ．32- C ．0.3D ．23-思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化．注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形．（2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换．【例3】 如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，过BC 的中点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CE ，求sin ∠ACE 的值．思路点拨 作垂线把∠ACE 变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比．【例4】 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB=cos ∠DAC ， (1)求证：AC ＝BD ； (2)若sinC=1312，BC=12，求AD 的长． 思路点拨 (1)把三角函数转化为线段的比，利用比例线段证明；(2) sinC=ACAD=1312，引入参数可设AD=12k ，AC ＝13k ．【例5】 已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA 、sinB 是方程02=++q px x 的两个根． (1)求实数p 、q 应满足的条件；(2)若p 、q 满足(1)的条件，方程02=++q px x 的两个根是否等于Rt △ABC 中两锐角A 、B 的正弦?思路点拨 由韦达定理、三角函数关系建立p 、q 等式，注意判别式、三角函数值的有界性，建立严密约束条件的不等式，才能准确求出实数p 、q 应满足的条件．专题训练1．已知α为锐角，下列结论①sin α+cos α=l ；②如果α>45°，那么sin α>cos α；③如果cos α>21，那么α<60°； ④αsin 11)-(sin 2-=α．正确的有 ．2．如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，BC=1，cosB135，则这个菱形的面积为 ． 3．如图，∠C=90°，∠DBC=30°，AB ＝BD ，利用此图可求得tan75°= ．4．化简(1)263tan 27tan 22-+ = ．(2)sin 2l °+sin 22°+…+sin 288°+sin 289°= ．5．身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛．三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝中( )A ．甲的最高B ．丙的最高C ．乙的最低D ．丙的最低6．已知 sin αcos α=81，且0°<α<45°则co α-sin α的值为( )A ．23 B ．23- C ．43 D ．43-7．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，D 是AC 的中点，则ctg ∠DBC 的值是( ) A ．3 B ．32 C ．23 D ．43 8．如图，在等腰Rt △ABC 中．∠C ＝90°，AC ＝6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA=51，则AD的长为( )A ．2B ．2C ． 1D ．229．已知关于x 的方程0)1(242=++-m x m x 的两根恰是某直角三角形两锐角的正弦，求m 的值．10．如图，D 是△ABC 的边AC 上的一点，CD=2AD ，AE ⊥BC 于E ，若BD ＝8，sin ∠CBD=43，求AE 的长． 11．若0°<α<45°，且sin αcon α=1673，则sin α= ．12．已知关于x 的方程0)cos 1(2sin 423=-+⋅-ααx x 有两个不相等的实数根，α为锐角，那么α的取值范围是 ．13．已知是△ABC 的三边，a 、b 、c 满足等式))((4)2(2a c a c b -+=，且有035=-c a ，则sinA+sinB+sinC 的值为 ．14．设α为锐角，且满足sin α=3cos α，则sin αcos α等于( ) A ．61 B ．51 C ．92 D ．10315．如图，若两条宽度为1的带子相交成30°的角，则重叠部分(图中阴影部分)的面积是( ) A ．2 B ．23C ．1D ．2116．如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，tanB=23，AC=32，则AB 的长是( ) A ．33+ B ．322+ C ．5 D ．29 17．己在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，且c=35，若关于x 的方程0)35(2)35(2=-+++b ax x b 有两个相等的实根，又方程0sin 5)sin 10(22=+-A x A x 的两实根的平方和为6，求△ABC 的面积．18．如图，已知AB=CD=1，∠ABC ＝90°，∠CBD °=30°，求AC 的长．19．设 a 、b 、c 是直角三角形的三边，c 为斜边，n 为正整数，试判断n n b a +与n c 的关系，并证明你的结论．20．如图，已知边长为2的正三角形ABC 沿直线l 滚动．(1)当△ABC 滚动一周到△A l B 1C 1的位置，此时A 点所运动的路程为 ，约为 (精确到0.1，π=3.14)(2)设△ABC 滚动240°，C 点的位置为C ˊ，△ABC 滚动480°时，A 点的位置在A ˊ，请你利用三角函数中正切的两角和公式tan(α+β)=(tan α+tan β)÷(1-tan α·tan β)，求出∠CAC ˊ+∠CAA ˊ的度数．参考答案。
三角函数求解方法
略谈三角函数问题解题方法三角函数问题的题型主要有：三角函数式的化简、求值、证明，方法诸多，如切化弦、升降幂、常数与三角函数互化、公式的顺用、逆用、变用等，解题中心是“变角”、“变名”、“变式”，基本思路是从“角”“名”“形”入手，根据问题的目标，对其变换或通过对“角”“名”“形”的变换，确立变形目标，使问题向有利解决的方向转化。
一、三角函数式的化简例1、化简 22222sin sin 2cos cos cos2cos2θϕθϕθϕ+-分析 本题中出现的角的形式多，故应先变角。
解：原式=2222222sin sin 2cos cos (2cos 1)(2cos 1)θϕθϕθϕ+---=2222222sin sin 2cos cos 2cos 2cos 1θθθθθθ-++-=222222sin sin 2cos (1cos )2cos 1θθθθθ+-+-=22222sin (sin cos )2cos 1θθθθ++-=222sin 2cos 1θθ+-=1.[点评] 化简三角函数的基本方法：统一角、统一名 通过观察“角”“名”“次幂”，找出突破口，利用切化弦、降幂、 逆用公式等手段将其化简。
二、 三角函数的求值。
1、给角求值。
利用和、差公式变形，使其出现特殊角，若非特殊角，则可能出现正负抵消或约分的情况，从而求出其值。
例2、 求 22sin 10cos 703sin10cos70++的值[分析] 式中两个角存在关系701060-= 可从“角度”入手。
解：原式=22sin 10cos (6010)3sin10(6010)cos ++++ =221313sin 10(cos10sin10)3sin10(cos10sin10)2222+-+- =22111sin 10cos 10444+= [点评] 本题三角函数均为弦函数，所以变换的角度只涉及角。
一般来说，三角式的化简，应首先考虑角，其次是函数名，再次是代数上的结构特点。
三角函数基本题型及解题方法
三角函数基本题型及解题方法三角函数基本题型及解题方法对于三角函数的问题，特别是一些创新型问题，对大多数同学来说可能会感到陌生。
这些问题主要考查学生对于重要数学思想和方法的掌握以及在考试时对自己心态的调整。
但是，我们可以使用特殊化方法来解决这些问题。
特殊化方法的解题依据是，题目所叙述的一般情形成立，则对特殊情形也应该成立。
若不成立，则必然选项是错误的。
特殊化方法一般有赋特殊值、特殊函数等。
一、单调性类问题例11）若A、B是锐角三角形ABC的两个内角，则点P(cosB-sinA。
sinB-cosA)在哪个象限？选项为A、B、C、D。
2）设α、β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是？选项为A、B、C、D。
分析：这是依托基本的几何图形三角形，创新型的考查三角函数的单调性等重要性质的题目。
常规解法运算繁杂，用特殊化方法则可出奇制胜。
对于（1），赋A=B=60°，可知选B；对于（2），赋α=β=30°，可知选D。
例2若A、B、C是△XXX的三个内角，且A<B<C(C≠π/2)，则下列结论中正确的是哪个？选项为A、B、C、D。
分析：赋A=30°，B=70°，C=80°，可知B、D错；赋A=30°，B=50°，C=100°，知C错。
故选A。
例3函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数？选项为A、B、C、D。
分析：所给函数的定义域显然是R，又令f(x)=xcosx-sinx，则f(π/2)=f(3π/2)=-1，f(π)=-π，f(π/6)=1，f(2π)=2π。
如对选项A，x从π/3到2π/3，y从-1，-π到1，不符合题意，同理可排除C、D。
例4函数y=2sin(π/6-2x)(x∈[0,π])为增函数的区间是哪个？选项为A、B、C、D。
分析：只需考虑区间端点处的函数值，有①x=0，y=1；②x=π/12，y=√3/2；③x=π/3，y=-2；④x=5π/6，y=1.可知选项B为正确答案。
三角函数及解直角三角形竞赛试题
《三角函数及解直角三角形》1．三角函数定义：如图R t △ABC 中，∠中，∠C C ＝9090°°正弦：斜边的对边A A Ð=sin ；c aA =sin余弦：斜边的邻边A A Ð=cos ；c b A =cos正切：的邻边的对边A tan ÐÐ=A A ；ba A =tan根据定义，写出∠根据定义，写出∠B B 的三个三角函数值的三个三角函数值=B sin ______________________；；=B cos ________________________；；=B tan ______________________________；；cabBCA2．三角函数之间关系．三角函数之间关系 （1）同角三角函数关系）同角三角函数关系AAA cos sintan =；1cos sin 22=+A A模仿写出：=B tan ________________________；；1cos sin 22=+B B （2）互余角三角函数关系（）互余角三角函数关系（A A ＋B ＝9090））B A cos sin =；B A sin cos =；tanA tanA··tanB tanB＝＝1一个角的正弦等于它余角的余弦；一个角的余弦等于它的余角的正弦3．特殊角的三角函数值3030°、°、°、454545°、°、°、606060°°三角函数三角函数 3030°° 4545°° 6060°° a sina cos a tan4．会设计并根据三角函数关系计算15°、°、757575°角的三角函数°角的三角函数°角的三角函数DC BA5．根据表格中数据总结正弦、余弦、正切的增减性．根据表格中数据总结正弦、余弦、正切的增减性 当0°≤a ≤9090°时，°时，°时，sin a 随a 的增大而的增大而_____________________；；cos a 随a 的增大而的增大而_____________________；；tan a 随a 的增大而的增大而_______ _______6．已知一个三角函数值，求其他三角函数值。
(完整word)三角函数最值问题的十种常见解法
1三角函数最值问题的十种常见解法福州高级中学 陈锦平三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高.解决三角函数最值这类问题的基本途径，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性(如有界性等)，另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题。
下面介绍几种常见的求三角函数最值的方法:一．转化一次函数在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征-—有界性,利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法.例1．求函数2cos 1y x =-的值域［分析] 此为cos y a x b =+型的三角函数求最值问题， 设cos t x =，由三角函数的有界性得[1,1]t ∈-,则21[3,1]y t =-∈-二。
转化sin()y A x b ωϕ=++（辅助角法)观察三角函数名和角，先化简，使三角函数的名和角统一.例2．（2017年全国II 卷）求函数()2cos sin f x x x =+的最大值为 。
[分析] 此为sin cos y a x b x =+型的三角函数求最值问题，通过引入辅助角公式把三角函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式，再借助三角函数图象研究性质,解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用|sin cos |a x b x +≤()f x ≤=.三. 转化二次函数（配方法）若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数,且它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理。
例3． 求函数3cos 3sin 2+--=x x y 的最小值。
[分析]利用22sin cos 1x x +=将原函数转化为2cos 3cos 2+-=x x y ，令cos t x =,则,23,112+-=≤≤-t t y t 配方，得41232-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t y ， ∴≤≤-,11t 当t=1时,即cosx=1时，0min =y2四。
解决三角函数各类问题的十种方法
解决三角函数各类问题的十种方法１ 凑角法一些求值问题通过观察角之间的关系，并充分利用角之间的关系，往往是凑出特殊角，可以实现顺利解答． 例１ 求tan 204sin 20︒+︒的值．解析 原式sin 202sin 40sin 202sin(6020)cos 20cos 20︒+︒︒+︒-︒==︒︒sin 202(sin 60cos 20cos 60sin 20)cos 20︒+︒︒-︒︒==︒评注 三角求值主要借助消除三个方面的差异解答，即消除函数名称差异，或者式子结构的差异，或者角度之间的差异，凑角法体现的就是消除非特殊角与特殊角之间的差异．本题注意若将第一步中的分子化为sin(6040)2sin 40︒-︒+︒，或者化为sin(3010)2sin(3010)︒-︒+︒+︒，都没有上面的方法简捷，请同学们进行操作比较，分析原因，并注意凑角也需谨慎选择！２ 降幂法一些涉及高次三角式的求值问题，往往借助已知及22sin cos 1αα+=，或降幂公式221cos 21cos 2sin ,cos 22αααα-+==等借助降幂策略解答． 例２ 若2cos cos 1αα+=，求26sin sin αα+的值．解析 由2cos cos 1αα+=，得cos α=cos α=．由2cos cos 1αα+=，又可得22cos 1cos sin ααα=-=，则263sin sin cos cos αααα+=+，又由2c o s c o s 1αα+=，得2c o s 1c o s αα=-，故322c o s c o s c o s (1c o s )c o s (2c o s )2c o s c o s 3c o ααααααααα+=+=-=-=-，代值可得26sin sin αα+= 评注 若求出cos α的值后直接简单代入，则运算量将大得多，而主动降幂后就截然不同了．涉及非单角形式的三角函数问题，有时也需要考虑降幂进而化为一个角的三角函数形式解答，遇到“高次”问题就特别注意联想“降幂法”解答．３ 配对法 根据一些三角式的特征，适当进行配对，有时可以实现问题的顺利解答． 例３ 已知(0,)2x π∈，且222cos cos 2cos 31x x x ++=，求x 的值．解析 设222cos cos 2cos 3m x x x =++，令222s i n s i n 2s i n 3n x x x =++，则3m n +=，几何精练cos 2cos 4cos 6m n x x x -=++，其中，2cos62cos 31x x =-，cos2cos4cos(3)cos(3)2cos cos3x x x x x x x x +=-++=，2cos3(cos cos3)1m n x x x -=+-，又c o s c o s 3c o s (2)c o s (2)2c o s x x x x x x x x +=-++=，故4cos cos2cos31m n x x x -=-，故可解得1cos cos 2cos3(22)0(1)4x x x m m =-== ．则c o s 0x =，或c o s 20x =，或c o s 30x =，又(0,)2x π∈，则6x π=或4x π=． 评注 三角函数中的正弦函数与余弦函数是一对互余函数，有很多对称的结论，如22sin cos 1θθ+=等，因此在解决一些三角求值，求证等问题时，可以构造对偶式，实施配对策略，尝试进行巧妙解答． ４ 换元法很多给值求值问题都是给的单角的某一三角函数值，但有时会出现给出复合角的三角函数值求值的问题，此时，利用换元法可以将问题转化为熟悉的已知单角的三角函数值求值问题．例４ 求sin 75cos 4515ααα+︒++︒+︒（）（）（）的值．解析 令15αβ+︒=，则原式sin(60)cos(30)βββ=+︒++︒(sin cos60cos sin60)(cos cos30sin sin30)0βββββ=︒+︒+︒-︒=．评注 教材求值问题往往是已知单角三角函数值求值，而近几年的高考和期末考试试题，则青睐于已知复合角的三角函数值求值，因此备考时要特别注意此点，解答此类问题的换元法或整体思想也都十分重要．对本题，若直接将三部分借助两角和的正弦公式与余弦公式展开，则要繁杂得多．５ 方程法 有时可以根据已知构造所求量的方程解答．例５ 若33cos sin 1x x =+，试求sin x 的值．解析 令cos sin x x t =+，则21cos sin (1)2x x t =-，[t ∈．由已知，有 2221(cos sin )(cos sin cos sin )(1)12t x x x x x x t --++=+=，即3232(1)(2)0t t t t --=+-=，得1t =-，或2t =（舍去）．即cos sin 1x x =+，又22sin cos 1x x +=，整理可得2sin sin 0x x +=，解得sin 0x =或sin 1x =-．评注 将已知转化为关于sin x 的方程是解题的关键．方程的思想方法是解答诸多三角函数问题的基本大法，如求三角函数的解析式等问题．一般地，若题目中有n 个需要确定的未知数，则只要构造n 个方程解答即可．６ 讨论法涉及含有参数或正负情形的三角问题，往往需要借助讨论法进行解答．例６ 已知ABC !中，54sin ,cos 135A B ==，求cos C ． 解析 由5sin 13A =，得12cos 13A =±．当12cos 13A =-时，因为,A B 是ABC !的内角，需要满足0A B π<+<，有0A B ππ<<-<，而余弦函数在区间(0,)π是减函数，得cos cos()cos A B B π>-=-，但124cos cos 135A B =-<-=，故此情形不合题意． 可以验证12cos 13A =符合题意，故33cos cos()sin sin cos cos 65C A B A B A B =-+=-=-． 评注 分类讨论是将问题化整为零，进而化难为易的重要思想方法，一般含有绝对值的三角函数问题，涉及未确定象限的角的问题等，都要首先考虑“讨论”！７ 平方法分析已知和所求，有时借助“取平方”的方法可以实现顺利解题．例７ 已知sin sin sin 0αβγ++=，cos cos cos 0αβγ++=，求cos()αβ-的值．解析 有sin sin sin αβγ+=-，cos cos cos αβγ+=-，两式两边平方后对应相加，可得2222(sin sin 2sin sin )(cos cos 2cos cos )αβαβαβαβ+++++22(sin )(cos )1γγ=-+-=，即1cos()2αβ-=-． 评注 学习数学要掌握一些基本的操作技能，而“取”就是其中的重要一种，除了“取平方”外，常见的还有“取对数”，“取倒数”等操作，需要注意体会．本题就是借助平方关系实现整体消元后解答的． ８ 猜想法有时根据已知数据的特征进行必要的猜想，能更好的解决求值问题．例８ 已知1sin cos 2αα+=，且α为第二象限角，则sin α= ．解析 由sin 0,cos 0αα><及22221sin cos 1,()(12αα+=+=，可得1sin 2α=．评注 实际上，将sin cos αα+=与22sin cos 1αα+=联立所得二元二次方程组只有两组解，即1sin ,cos 2αα==1cos ,sin 2αα==，依题意只可取前者．学习数学，要培养对数据的敏感性，能根据数据特征进行积极联想，进而适当猜想，能有效提高解题速度，而且猜想是一种重要的推理形式，并不是“胡猜乱想”，要紧扣已知和所求进行．９ 图象法有时候，借助图象才能更好的解决对应的三角函数问题．例９ 已知函数()sin 1(1)f x A x A =+>的图象与直线y A =在x 轴右侧的与x 轴距离最近的相邻三个交点的横坐标成等比数列，求实数A 的值．解析 如右图，设三个交点的坐标为(,)B b A ，(,)C c A ，(,)D d A ，由三角函数图象的对称性，则有22b c ππ+=⨯=，3232c d ππ+=⨯=，有b c π=-，3d c π=-，又222()(3)34c b d c c c c ππππ==--=-+，解得34c π=．故函数图象经过3(,)4A π，代入可得2A =．评注 数和形是数学的两大支柱，三角函数的很多问题都有图形背景，在解决问题时，要充分借助图形进行直观分析，往往能更快捷的实现问题的解答，注意培养做草图的能力．１０ 比例法借助比例的性质，有时可以实现快速解答三角函数问题．例１０ 求证 2(cos sin )cos sin 1sin cos 1sin 1cos αααααααα-=-++++． 解析 若cos 0α=（或sin 0α=），因为sin 1(cos 1),αα≠-≠-或，故sin 1α=，或cos 1α=，验证可知等式成立．若cos 0α≠，则由2cos (1sin )(1sin )ααα=+-，2sin (1cos )(1cos )ααα=+-及比例性质a c a c b d b d +==+，可得cos 1sin 1sin cos 1sin cos 1sin cos αααααααα--+==+++． sin 1cos 1sin cos 1cos sin 1sin cos αααααααα-+-==+++，代入等式左边可知所证成立． 评注 本题有多种证法，而借助比例的性质的方法显得尤为简捷．涉及分式的三角函数问题，可以考虑借助比例法解答．如关于半角的正切公式sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+，按照比例性质，立得1cos sin tan 21cos sin ααααα-+=++．。
三角函数解题技巧和公式（已整理）
三角函数解题技巧和公式（已整理）浅论关于三角函数的几种解题技巧一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用：1、由于ααααααααc o s s i n 21c o s s i n 2c o s s i n )co s (s i n 222±=±+=±故知道)c o s(s i n αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如：例1 已知θθθθ33cos sin ,33cos sin -=-求。
分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=-]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--=其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。
解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=- 故：31cos sin 31)33(cos sin 212=?==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 3943133]313)33[(332=?=?+=2、关于tan θ+cotg θ与sin θ±cos θ，sin θcos θ的关系应用：由于tan θ+cot θ=θθθθθθθθθθcos sin 1cos sin cos sin sin cos cos sin 22=+=+ 故：tan θ+cot θ，θθcos sin ±，sin θcos θ三者中知其一可推出其余式子的值。
例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tan θ+cot θ=n ，则m 2 n 的关系为（）。
A ．m 2=nB ．m 2=12+n C ．n m 22= D ．22mn = 分析：观察sin θ+cos θ与sin θcos θ的关系：sin θcos θ=2121)cos (sin 22-=-+m θθ而：n ==+θθθθcos sin 1cot tan故：1212122+=?=-nm n m ，选B 。
三角函数精题最值问题及练习题
1三角函数最值问题的几种常见解法一 配方法 例1 函数3sin 3cos 2+--=x x y 的最小值为及y=4cos 5sin 2-+x 的最小值和最大值例2 求函数y=5sinx+cos2x 的最值 二 引入辅助角法 例3已知函数()R x x x x y ∈+⋅+=1cos sin 23cos212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合。
三 利用三角函数的有界性 例4求函数1cos 21cos 2-+=x x y 的值域 函数 y=3cos 4cos 2++x x例5 （2003年高考题）已知函数())cos (sin sin 2x x x x f +=，求函数f(x)的最小正周期和最大值。
四 引入参数法（换元法）例6 求函数y=sinx+cosx+sinxcosx 的最大值。
练习 求函数的最值。
五 利用基本不等式法 和利用均值不等式求解的最值 例7（1）函数的最值；（2） 求函数的最值。
（3）求函数xxy 22cos4sin1+=的最值。
六 利用函数在区间内的单调性 例8 已知()π,0∈x ，求函数xx y sin 2sin +=的最小值。
七 数形结合 例9 求函数()π<<--=x xx y 0cos 2sin 的最小值。
八 判别式法 例10 求函数xx x x y tan sectan sec 22+-=的最值。
2九 分类讨论法 例 11 设()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤--+-=20214sin cos 2πx a x a x x f ，用a 表示f(x)的最大值M(a).三角函数 最值1设M 和m 分别表示函数1cos 31-=x y 的最大值和最小值，则M+m等于（ ）（A ）32（B ）32-（C ） 34-（D ）-2（2003北京春季）2、函数f(x)=2sin 1sin 3+-x x 的最大值是，最小值是3 求函数f(θ)=2cos 1--θθSin 的最大值与最小值是什么？（两种方法解答）4求函数278cos 2[,]63sin y x x x ππ=--∈-，的值域5、(2000年高考)已知：212cos 12siny x x x x R =+⋅+∈，，求y 的最大值及此时x 的集合． ．6、（90年高考）求函数sin cos sin cos y x x x x =++的最小值．37：已知[]πθ,0∈,f （θ）=sin(cos θ)的最大值为a,最小值为b ，g(θ)=cos(sin θ)的最大值为c,最小值为d,则a,b,c,d 的大小顺序为 。
三角函数一题多解举例
三角函数一题多解举例例1:求函数cos 2sin y θθ=+（R θ∈）的值域。
解法一：利用合一公式cos 2sin cos )2sin y y y θθθθφθ=⇒=-+=++， 所以sin()θφ+=|sin()|1θφ+≤，1≤，解得y ≤≤，所以函数cos 2sin y θθ=+（R θ∈）的值域为[,33-。
解法二：斜率法 cos 0sin (2)y θθ-=--，可看成点(sin ,cos )A θθ与(2,0)B -连线的斜率，而(sin ,cos )θθ在圆221x y +=上，当AB 与圆相切时分别取到最值，结合图形易得函数cos 2sin y θθ=+（R θ∈）的值域为[33-． 解法三：导数法212sin (2sin )y θθ--'=+，令0y '=得1sin ,cos 2θθ=-=，从而[y ∈． 例2：对任意,cos cos 21x R a x b x ∈+≥-恒成立，求a b +的最大值． 解法一：特值法，特别快在cos cos21a x b x +≥-中取23x π=得11()()122a b -+-≥-，∴2a b +≤， 当42,33a b ==时，24242cos cos 2cos cos 2cos (2cos 1)3333a xb x x x x x +=+=+- 241(cos )1132x =+-≥-，所以a b +的最大值为2. 解法二：构造二次函数原不等式即2cos (2cos 1)1a x b x +-≥-即22cos cos 10b x a x b +-+≥，令2()21,cos [1,1]f t bt at b t x =+-+=∈-，（1）当0b ≤时，()f t 的图象是开口向下的抛物线或者直线， 所以只要(1)2102112(1)210f b a b a b b f b a b -=--+≥⇒+≤+≤<⎧⎨=+-+≥⎩（2）由0[1,1]41010b a b b a b a >⎧⎪⎪-∉-⎪⎨⎪-+≥⎪++≥⎪⎩得44a b a b <->或若4,a b <-则302a b b +<-<<；若4,a b >则由10b a ++≥得1413b a b b <≤+⇒<，故51223a b b +≤+<<． （3）由20[1,1]442(1)0b a b a b b >⎧⎪⎪-∈-⎨⎪∆=-⨯-+≤⎪⎩得2218()22a b +-≤， 由柯西不等式，222229112[8()]1()822a b a b ⎛⎫ ⎪⨯≥+-+≥+- ⎪⎝⎭，故13222a b a b +-≤⇒+≤， 当且仅当2218()2218()2a b a b ⎧+-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即4323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号，此时满足1[1,1]42a b -=-∈-． 综上，a b +的最大值为2. 例3：设[0,]2πθ∈，且2cos 2sin 220m m θθ+--<恒成立，求m 的取值范围. 解法1（分离参数，构造函数，利用导数）：不等式等价于21sin 2sin 220m m θθ-+--<，2sin 2sin 210m m θθ-+--<，2(2sin 2)sin 1m θθ-<+. ∵[0,]2πθ∈，sin [0,1]θ∈. （1）当sin 1θ=时，不等式显然成立.（2）当sin [0,1)θ∈时，不等式等价于21sin 12sin 1m θθ+>⋅-， 令sin ,x θ=211()([0,1))21x f x x x +=⋅∈-，则221(1)2()02(1)x f x x --'=⋅<-， ()f x 是减函数， max 1()(0).2f x f ==-∴1.2m >- 综上，m 的取值范围是1(,)2-+∞.解法2（利用二次函数的性质）：不等式等价于21sin 2sin 220m m θθ-+--<，即2sin 2sin 210m m θθ-+--<，即2sin 2sin 210m m θθ-++>.令sin x θ=，则22210x mx m -++>.令222()221()21,[0,1].f x x mx m x m m m x =-++=--++∈（1）当1m >时，min ()(1)20f x f ==>，符合题意.（2）当01m ≤≤时，22min ()()21(1)20,f x f m m m m ==-++=--+>符合题意.（3）当0m <时，min ()(0)210,f x f m ==+>∴10.2m -<< 综上，m 的取值范围是1(,)2-+∞.解法3（分离参数，再分离常数，一般可以利用基本不等式，但是本题中利用基本不等式时等号不成立，于是仍然利用函数的单调性）：不等式等价于21sin 2sin 220m m θθ-+--<， 即2sin 2sin 210m m θθ-+--<，即2(2sin 2)sin 1m θθ-<+. ∵[0,]2πθ∈，sin [0,1]θ∈. （1）当sin 1θ=时，不等式显然成立.（2）当sin [0,1)θ∈时，不等式等价于21sin 12sin 1m θθ+>⋅-， 设sin 1x θ-=，则[1,0)x ∈-， 且221sin 11(1)112(2)2sin 122x x x xθθ+++⋅=⋅=⋅++-， 令12()(2)2f x x x =⋅++，则212()(1)02f x x'=⋅-<， ∴()f x 是减函数， ∴max 121()(12).212f x =⋅-++=--∴1.2m >- 综上，m 的取值范围是1(,)2-+∞.解法4( 利用函数的图象):不等式等价于21sin 2sin 220m m θθ-+--<，即2sin 2sin 210m m θθ-+--<，即2sin 2sin 21m m θθ>--，令 sin x θ=，则22(1)1x m x >--，[1,0]x ∈-.在同一个坐标系中作出函数2()f x x =和()2(1)1g x m x =--的图象， 注意到()2(1)1g x m x =--的图象是以(1,1)-为端点的线段，由图象可知只要(0)(0),f g >即021m >--，∴1.2m >- 即m 的取值范围是1(,)2-+∞. 解法5(直接求导法，注意分类讨论，实际上与解法2类似，只是没有换元) ： 令2()cos 2sin 22f m m θθθ=+--，()2cos sin 2cos 2cos (sin )f m m θθθθθθ'=-+=--. ∵[0,]2πθ∈，∴sin [0,1]θ∈，cos [0,1]θ∈， （1）当1m >时，()0f θ'>，(),f θ[0,]2πθ∈是增函数， max ()()20,2f f πθ==-<符合题意. （2）当01m ≤≤时，sin m θ<时，()0f θ'>，sin m θ>时，()0f θ'<， 2222max ()122221(1)20f m m m m m m θ=-+--=--=--< ，符合题意.（3）当0m <时，min ()(0)210,f x f m ==+>∴10.2m -<<综上，m 的取值范围是1(,)2-+∞.。
简述三角函数题的7种解法
所以
评析
ｔｘ＝ ａ ÷． ｎ
等差 数列 的 出现 给 三 角 函数 吹人 了一
股清新 的空气 ， 转化为公差 的等式可以说是水到渠 成． 本题告诉我们 ： 知识和方法是相互联系的， 可充
分发挥 各 自的优点 ， 为解题 服务．
４ 巧 用对 偶 。 对称 和谐 解 法 ４ 设 ４ ｏｘ一 ｓ ｘ＝ 则 ｃｓ ３ｉ Ａ， ｎ
中学教研 （ 数学）
解得 ｄ ／ 于是 ＿．
３ ．
ｃｏｓ ＝ ，ｓ ｎ ＝
质 的Ｉ ， 几何 图形直 观 地 刻 圆数 量关 系 ， 而 司题 用 从
使抽象思维和形象思维结合起来 ， 使抽象问题具体
４
，
化 ， 终得到解 决． 最
６ 相等 问题 ， 不等 解决 解 法 ６ 令 ｓ ＝ ，ｏ ＝ ４ 则 ｉ ｃ ｎ
第ｌ ２期
邵 贤虎 ： 简述 三 角 函数题 的 ７种 解 法
・１ ・ ５
注 本 中 设 ， （詈为 面 算 ， 的 带 便 ・然也 以 纯 数 法 以 例 假 ∈ ，）后 计 ， 值 来 利当 ，可 用 代 方 加 证 ０ Ｙ 。
明， 具体 如下 ：
专＋ ｘ 兰
＋ ｚ ：＋ ） ＋ ｃｔ４２ ＝， （＋｝等 ｚ （＋）４ ＋＋ ３ ４考等＋ ＋）警÷ ＋ 一６６ ＼ Ｙ ｝ ｚ。 ｘ （ ｝ ＼ ＼ ≥
即 （ ５ ｏ 一 ０ ｏｘ＋ ）＋ ２ ｃｓ ３ ｃｓ ９ （ ５ｉ 一 ０ｉｘ＋１ ）＝ ， ２ｓ ｎ ４ｓ ｎ ６ ０ 配方 得
三角 函数是 高考 和竞 赛 中的重 要 内容 ， 于试 属 题 中的基 础题． 角 函数 可 以与其他 知识 综合 在一 三 起 ， 绎精 彩 的方 法． 者 总 结 了 三 角 函数 题 的 ７ 演 笔 种解法 ， 供参 考． 原 题重 现
三角函数的几种解题技巧
关于三角函数的几种解题技巧一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用：1、由于ααααααααcos sin 21cos sin 2cos sin )cos (sin 222±=±+=±故知道)cos (sin αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如：例1 已知θθθθ33cos sin ,33cos sin -=-求。
分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=-]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--=其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。
解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=- 故：31cos sin 31)33(cos sin 212=⇒==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 3943133]313)33[(332=⨯=⨯+=2、关于tg θ+ctg θ与sin θ±cos θ，sin θcos θ的关系应用：由于tg θ+ctg θ=θθθθθθθθθθcos sin 1cos sin cos sin sin cos cos sin 22=+=+ 故：tg θ+ctg θ，θθcos sin ±，sin θcos θ三者中知其一可推出其余式子的值。
例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（ ）。
A ．m 2=n B ．m 2=12+n C ．n m 22= D ．22mn = 分析：观察sin θ+cos θ与sin θcos θ的关系：sin θcos θ=2121)cos (sin 22-=-+m θθ而：n ctg tg ==+θθθθcos sin 1故：1212122+=⇒=-nm n m ，选B 。
三角函数一题多解举例.doc
所以函数尸鵲仏I 的值域为占，分厂cos —°,可看成点 sin& —(一2)A(sin&,cos0)与B(-2,0)连线的斜率，而一l-2sin&(2 + sin^)2 三角函数一题多解举例例1：求函数)U (&G /?)的值域。
2 + sin&解法一：利用合一公式 y = 2'°" => 2y = -y sin 0 + cos & =y? sin(& + 0),所以sin(0 + 0)= I 2丁，又|sin(0 + 0)|Wl, Jl + F叫少'解得兴解法二：斜率法(sin&,cos&)在圆 F + y 2 =1 上,当AB 与圆相切时分别取到最值，结合图形易得函数尸鼎伍R )的值域为［芈孚解法三：导数法y'= 0 得 sin& =-*,cos& = ± 专，从而 - ¥，¥, 令 2：对任意xe /?,<7cosx + /?cos2x>-ltii 成立，求a + b 的最大值. 例解法一：特值法，特别快2^^] | ® 6zcosx + /?cos 2x > -1 中取兀=—— 得 d(——) + /?(——)> -1, a + h <2, 3 2 24 2 4 2 4 2 2当 a =—,b =—时，a cos x + b cos 2x = — cos x + — cos 2x = — cos x + — (2 cos x-1) 3 3 3 3 3 34 1 . 一=—(cos x H —)~ —in —1 ,所以 d + b 的最大值为 2. 3 2解法二：构造二次函数原不等式即^cosx + /?(2cos 2x-1)>-1 即2/?cos 2x + acosx-b + 1 >0 ,⑵由一扩I 】 b-a+l>0得 a < 一4b 或 a > 4b ( /I + V8 丿当且仅当< /+8@_丄)2=2 2 6Z = 8(/?-—) 2 即< 4 a =—彳时取等号，此时满足 b = - 3性二斗[―1,1]・4h 2(3)由？令 f(t) = 2br +血一b + l,/ = cos 兀w [-1,1],(1) 当b<o 时，/(”的图象是开口向下的抛物线或者直线,所以只要+ +比"+丄1<2I /(l) = 2b + a —b + 120b>0若 a < —4b ：则 a + b v —3b < 0 < 2 ；若 a>4b,则由 Z? + tz + l>0W4/?<6/<H-/?=>ft<-,故 Q + bG + 2bv2v2.b>0得小(十2,A = «2 2-4X 2/?(-/? + 1)<09 1由 柯西不 等式，2X ->[6/2+8(Z?一一)2] 8 2 综上，a + b 的最大值为2. 例 3：设0e [0,—] , cos 2 0 + 2msin 3-2m-2<0 fa 成立，求加的取值范围.2 解法1 (分离参数，构造函数，利用导数)：不等式等价于 1 -sin 2 6 + 2msin 0-2m — 2<0 ,一sin? & + 2加sin&-2加一 1 <0 , zn(2sin &一 2) v sin 2 0 + 1.V 0e [0,-] , sin % [0,1]. 2(1) 当sin& = l 吋，不等式显然成立.2 3 a + b ——< —^> a + b<2 ,n (d + b-丄尸，故2(X-1)2-2 U-l)2<0,⑵当讪3)时，不等式等价于Q宁需11X + 1令sin 0 =兀,/(x) = ---------- (xe [0,1))，2x-1/(尢)是减函数，/(x)m;tx = /(0) = 一]••:航> 综上5的取值范围是(-+)・解法2 (利用二次函数的性质)：不等式等价于]-sii?0 + 2/nsin0-2加一2<0 ,即一sin? & + 2加sin&-2"?-l <0 ,即sin2 0 - 2wsin 6 + 2m +1 >0.令sin & =兀，则x2 - 2nvc + 2m + 1 >0.令fM = 一2加:+ 2加 + 1 = (x-m)2 -m2 +2加 + 1,兀w [0,1].(1)当加>1时,/(Q斷二/(D = 2>0,符合题意.(2)当0 < m < 1 W , /(X)min =f (加)=一+ 2加 + 1 = -(/?? 一1)2 + 2 > 0,符合题意.(3)当加v0时,f(x)min = f(0) = 2m +1 >0, <m<0.综上，加的取值范围是(--,+oo).2解法3(分离参数，再分离常数，一般可以利用基本不等式，但是本题中利用基本不等式时等号不成立，于是仍然利用函数的单调性)：不等式等价于1 - sin2 ^4-2msin0-2m-2<0 ,即- sin2 0 + 2/77sin 0一2m一1 v 0 ,即m(2sin 0 - 2) < sin20 + 1.V [0,-] , sin&w[0,l].2(1)当sin& = l吋，不等式显然成立.(2)当sin[0,1)时，不等式等价于加〉丄•也 "*' ,2 sin & -1设sin&-l =兀，则xe [-1,0),且丄.泄空丄(兀+ 1)2+1显心+ 2十2),2 sin^-1 2 x 2 x1 2 1 2^/U) = -.(x + - + 2),贝'J/Z(x) = -.(1-—)<0,2 x 21? I 1・•・ /(尢)是减函数，/(^)inax =-*(-l + —+ 2) = --. A m>-~.2—1 2 2综上，加的取值范围是(-丄,+<-)・2解法4(利用函数的图象)：不等式等价于1 -sin26 + 2m sin0-2m-2<0 ,即一sin，& + 2加sin&-2加一1 <0 ,即sin20 > 2/?? sin 0 - 2m,令sin0 =兀，则x2 > 2/n(x-1)-1, xe [-1,0].在同一个坐标系中作出函数/(x) = 和g(x) = 2m(x-\)-\的图象，注意到g(兀)=2加(兀-1)-1的图象是以(1,-1)为端点的线段，由图象可知只要/(0)>g(0),即0 >-2加一1 , m>-—.即加的取值范围是(-丄,2).2解法5(直接求导法，注意分类讨论，实际上与解法2类似，只是没有换元)：令/(〃) = cos20 + 2m sin O-2m-2 ,/'(&) = 一2cos 0sin & + 2mcos0 = -2cos &(sin & —加).•・・&G [0,-],・・・sin&w[0,l], cos6>G [0,1],2(1)当加>1 时，> 0 , /(&), &w[0,彳]是增函数， /(叽=/(彳)=-2<0,符合题意.(2)当0<m<l时，sin&5 时，f\0) >0 , sin0> 加时,f(0) <0 ,= 1 - fn2 + 2/n2 - 2m- 2 = m2 - 2m -1 = (m-1)2 - 2 < 0 ,符合题意.(3)当/nvO时,/(x)min = /(0) = 2m +1 >0, A --<m<0.2综上，加的取值范围是2。
高中数学解决三角函数问题的五种方法(带答案)
高中数学解决三角函数问题的五种方法（带答案）方法一：角度法1. 计算给定角度的三角函数值。
2. 利用已知三角函数值的关系进行运算或计算未知三角函数值。
3. 根据问题给出的条件，确定需要解决的三角函数问题类型，如求角度、边长等。
4. 根据已知和未知的三角函数值，利用三角函数的简单性质和公式解决问题。
5. 最后，确保结果符合问题的要求，有必要的话进行合理的近似处理。
方法二：等式法1. 将问题中的三角函数转换成等式形式。
2. 根据已知的等式，利用等式的性质和公式进行推导和运算。
3. 通过求解等式，得到未知三角函数值或角度。
4. 判断结果是否符合问题的要求，并进行必要的近似处理。
方法三：图像法1. 根据给定的角度，画出三角函数图像。
2. 根据图像性质分析问题中的条件，确定需要求解的问题类型。
3. 利用图像，在合适的位置找到所需的三角函数值或角度。
4. 确认结果是否符合问题的要求，如有需要，进行近似处理。
方法四：三角恒等式法1. 根据问题中的条件，利用已知的三角恒等式进行变形和推导。
2. 将问题转化为包含已知三角函数的等式。
3. 通过求解等式，得到所需的三角函数值或角度。
4. 验证结果是否符合问题的要求，如有需要，进行近似处理。
方法五：三角函数特性法1. 根据问题中的条件，利用三角函数的特性进行分析。
2. 根据已知的特性，推导出所需的三角函数值或角度。
3. 判断结果是否满足问题要求，如有必要，进行近似处理。
这些方法是解决高中数学中三角函数问题常用的方法。
通过选择合适的解决方法，结合问题中给出的条件，可以有效地解决各种三角函数问题。
请注意，以上所提供的答案仅供参考，具体问题的解决方法可能因具体条件而有所不同。
解决数学问题时，请始终独立做出决策，并确保所引用的内容能够得到确认。
三角函数创新题型的解题技巧
向量与三角函数创新题型的解题技巧常用解题思想方法1．三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。
（2）项的分拆与角的配凑。
如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=2βα+－2βα-等。
（3）降次与升次。
即倍角公式降次与半角公式升次。
（4）化弦（切）法。
将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。
（5）引入辅助角。
asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=a b 确定。
（6）万能代换法。
巧用万能公式可将三角函数化成tan 2θ的有理式。
2．证明三角等式的思路和方法。
（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。
（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
3．证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。
4．解答三角题的策略。
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。
（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。
（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。
【例题解析】考点1．三角函数的求值与化简此类题目主要有以下几种题型：⑴考查运用诱导公式和逆用两角和的正弦、余弦公式化简三角函数式能力，以及求三角函数的值的基本方法. ⑵考查运用诱导公式、倍角公式，两角和的正弦公式，以及利用三角函数的有界性来求的值的问题. ⑶考查已知三角恒等式的值求角的三角函数值的基本转化方法，考查三角恒等变形及求角的基本知识. 例1.已知函数f (x )=)2sin(42cos 2ππ+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x . （Ⅰ）求f (x )的定义域； （Ⅱ）若角a 在第一象限且3cos ,5a f a =求（）. 例2.310.43a a a ππ<< =-已知，tan +cos （Ⅰ）求tan a 的值；（Ⅱ）求225sin 8sin cos 11cos 82222)a a a a a π++-的值－4.例3已知0,1413)cos(,71cos 且=β-α=α<β<α<2π,例4.已知),,0(,1cos )cos()22sin(sin 3πθθθπθπθ∈=⋅+--求θ的值.考点2．解三角形此类题目以考查正弦定理，余弦定理，两角差的正弦公式，同角三角函数间的关系式和诱导公式等基本知识，以及考查基本的运算为主要特征.解此类题目要注意综合应用上述知识.典型例题例5．已知ABC △1，且sin sin A B C +=．（I ）求边AB 的长；（II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．例6. 如图，在ABC ∆中，2AC =，1BC =，43cos =C ．（1）求AB 的值；（2）求()C A +2sin 的值.例7．在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若AB BC 边的长．考点3．求三角函数的定义域、值域或最值此类题目主要有以下几种题型：⑴考查运用两角和的正弦公式化简三角函数式，以及利用三角函数的有界性来求值域的能力.⑵考查利用三角函数的性质, 诱导公式、同角三角函数的关系式、两角差的公式，倍角公式等基本知识，考查运算和推理能力.⑶考查利用三角函数的有界性来求最大值与最小值的能力.典型例题例8.已知函数11()(sin cos )sin cos 22f x x x x x =+--,则()f x 的值域是（ ） A.[]1,1- B.⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. ⎡-⎢⎣⎦ D. 1,⎡-⎢⎣⎦例9．设函数b a x f 、=)(.其中向量2)2π(R,),1,sin 1(),cos ,(=∈+==f x x b x m a 且.（Ⅰ）求实数m 的值; （Ⅱ）求函数)(x f 的最小值.例10.已知函数1)4()cos x f x x π-=， （Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）设α是第四象限的角，且4tan 3α=-，求()f α的值.例11设)0(cos sin )(>+=ωωωx b x a x f 的周期π=T ，最大值4)12(=πf ， （1）求ω、a 、b 的值； （2）的值终边不共线，求、、的两根，为方程、、若)tan(0)(βαβαβα+=x f .例12.设函数2()sin cos f x x x x a ωωω++（其中0,a R ω>∈），且()f x 的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6π. （I ）求ω的值；（II ）如果()f x 在区间5,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦a 的值.例13.已知函数R x x x x f ∈++=),2sin(sin )(π （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）求)(x f 的最大值和最小值；（Ⅲ）若43)(=αf ，求α2sin 的值.考点4．三角函数的图象和性质考查三角函数的图象和性质的题目，是高考的重点题型.此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用.会用数形结合的思想来解题.典型例题例14.已知函数22()sin 2sin cos 3cos ,f x x x x x x R =++∈.求：（Ⅰ）求函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； （Ⅱ）函数()f x 的单调增区间.例15．已知函数2π()cos 12f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x =+． （I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值．（II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．例16.已知函数22()sin cos 2cos ,.f x x x x x x R =+∈（I ）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；（II ）函数()f x 的图象可以由函数sin 2()y x x R =∈的图象经过怎样的变换得到？例17.（2006年西卷）已知函数2())2sin ()().612f x x x x R ππ-+-∈ （I ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）求使函数()f x 取得最大值的x 集合.考点5．平面向量、三角函数的图象和性质考查平面向量和三角函数的图象和性质相结合的题目，是高考的热点题型.此类题目要求考生在熟练掌握平面向量和三角函数图象的基础上要对平面向量和三角函数的性质灵活运用.会用数形结合的思想来解题.典型例题例18.将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）A ．sin()6y x π=+B ．sin()6y x π=- C ．sin(2)3y x π=+ D ．sin(2)3y x π=- 例19.已知向量(sin ,1),(1,cos ),.22a b ππθθθ==-<<（Ⅰ）若a b ⊥ ，求θ；（Ⅱ）求a b + 的最大值.例20.已知,,A B C 是三角形ABC ∆三内角，向量((),cos ,sin m n A A =-= ，且1m n ⋅= （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若221sin 23cos sin B B B+=--，求tan B .【课后专练】一.选择题1．函数)(x f y =的图象如图所示，则)(x f 的解析式可能是 ( )（A ）x x x f cos )(--= （B ）x x x f sin )(--=（C ）x x x f sin )(= （D ）x x x f cos )(=2．已知4sin 5θ=，且sin cos 1θθ->，则sin 2θ= （ ） (A) 2425- (B) 1225- (C) 45- (D) 2425 3．如图，要测量河对岸A 、B 两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C 、D 两点，测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，则AB 的距离是（ ）.（A ）202 （B ）203 （C ）402 （D ）2064．设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t .下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：)(t f y =)sin(ϕω++=t A k y 最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 （ ）（A ）]24,0[,6sin 312∈+=t t y π （B ）]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππ （C ）]24,0[,12sin 312∈+=t t y π （D ）]24,0[),212sin(312t t y ππ++= 5．已知22ππθ-<<，且sin cos ,a θθ+=其中()0,1a ∈，则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是 （ ）（A ）3- （B ）3 或13 （C ） 13- （D ）3-或13- 二填空题.6．如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P 到水面的距离为d 米（P 在水面下则d 为负数），则d （米）与时间t （秒）之间满足关系式：sin()(0, 0, )22d A t k A ππ=ω+ϕ+>ω>-<ϕ<，且当P 点从水面上浮现时开始计算时间．有以下四个结论：①A =10； ②215πω=； ③6πϕ=； ④k =5． 则其中所有正确结论的序号是 ．7．已知:sin 3α+cos 3α=1，则sin α+cos α; sin 4α+cos 4α;sin 6α+cos 6α的值是 ．三.解答题8．求函数44sin cos cos y x x x x =+-的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0,]π上的单调递增区间．9． 求函数xx x x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周期、最大值和最小值． 10． 已知α为锐角,且,21tan =α求ααααα2cos 2sin sin cos 2sin -的值． 11．已知0<α<2π，tan 2α+cot 2α=25，求sin(3πα-)的值． 12． 21tan()2,42sin cos cos παααα+=+已知求的值． 13．已知)32sin(],,2[,0cos 2cos sin sin 622παππααααα+∈=-+求的值． 14．如图，A 、B 是一矩 OEFG 边界上不同的两点，且∠AOB=45°,OE=1,EF=3，设∠AOE=α.（1）写出△AOB 的面积关于α的函数关系式f(α);（2）写出函数f(x)的取值范围．15．已知函数y=21cos 2x+23sinx ·cosx+1 （x ∈R ）, （1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图像可由y=sinx(x ∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？。
三角函数最值问题的十种常见解法
三角函数最值问题的十种常见解法t=sinx+cosx，则y=t+sinx*cosx，利用关系式sinx*cosx≤1可得y≤t+1，而t的取值范围为[-√2,√2]，当t=√2时，y取得最大值√2+1.五.利用导数法求极值对于一些复杂的三角函数最值问题，可以利用导数法求解.例如对于y=2sinx+3cosx+4sin2x，求其最大值.分析]解：y'=2cosx-3sinx+8cos2x，令y'=0，得cosx=3/10或cosx=-1/2，代入原式可得y的最大值为(7+8√6)/5.六.利用三角函数的周期性对于周期函数，可以利用其周期性来求解最值问题.例如对于y=3sin(2x+π/6)+4cos(2x-π/3)，求其最大值.分析]解：由于sin和cos函数都是周期为2π的函数，因此可以将y化简为y=3sin2x+4cos2x+3√3，利用三角函数的性质可得y的最大值为7+3√3.七.利用三角函数的单调性对于单调函数，可以利用其单调性来求解最值问题.例如对于y=2sinx+3cosx，求其最小值.分析]解：y的导数y'=2cosx-3sinx，y'的符号与sinx和cosx的符号相同，因此y在[π/2,π]上单调递减，在[0,π/2]上单调递增，因此y的最小值为y(π/2)=2.八.利用三角函数的对称性对于一些具有对称性的三角函数，可以利用其对称性来求解最值问题.例如对于y=sin2x+cos2x，求其最大值和最小值.分析]解：y=sin2x+cos2x=1，因此y的最大值为1，最小值也为1.九.利用三角函数的积分性质对于一些三角函数的积分性质，可以利用其求解最值问题.例如对于y=sin2x/x，求其最大值.分析]解：y'=2cos2x/x-sin2x/x²，令y'=0，得x=tanx，代入原式可得y的最大值为2.十.利用三角函数的平均值不等式对于一些三角函数，可以利用其平均值不等式来求解最值问题.例如对于y=sin2x+cos2x，求其最大值和最小值.分析]解：由平均值不等式可得(sin2x+cos2x)/2≥sinx*cosx，因此y的最大值为1，最小值也为1.sin x+\cos x=1+2\sin x\cos x$，设$t=\sin x+\cos x$，则$2\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$，$\therefore y=\frac{t+\frac{t^2-1}{2}}{2}=\frac{t^2+t-1}{4}$，其中$t\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$。
一道三角函数题的九种解法(1)
11问题的捷径之一．例题 4 已知点 A (-2，4) ， B (4，2) ，直线 l 过点P (0，- 2) 且与线段 A B 相交，求直线l 的斜率 k 的取值范围．解 数形结合知： k P A = -3 ， k P B = 1 ，由图 3 可知，当直线l 旋转时其斜率必须满足 k ≤ -3 或 k ≥ 1 ．评析 斜率的变化与倾斜角的变化有着密切的联系，我们知道直线的倾斜角α∈ (0 ，90 ) 时，随着α 的增大而斜率增大，α∈ (90 ，180 ) 时，随着α的增 大而斜率也增大，运用数形结合并借助直线 l 的旋转，能明晰思路，从而加快解题速度．这比常规方 法，即：求出直线l 与直线 A B 交点的横坐标 x 0（用 k 表示），然后由 -2 ≤ x 0 ≤ 4 解出 k 范围，更加直观，更为简洁．yy A B F 交点，然后由 45 逐渐增大至90 时，此时 k > k = 1， 满足条件；（2） x 轴绕焦点 F 顺时针方向旋转时，当旋转直线l 的倾斜角由0 逐渐减小至-90 的过程中，旋转直线l 均满足条件，所以旋转直线的斜率 k < 0 ．综上所述：直线 P F 斜率的范围为(-∞，0) ⋃ (1，+ ∞) ． 评析 这也是一道用数形结合利用单调性求参数范围的圆锥曲线试题，采取了旋转变换的动态视 角解题．当直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角 变到钝角时，需要根据正切函数k = t an α的单调性来求斜率的取值范围，所以我们选取了任意角的始边 x 轴作为旋转的初始状态，在旋转的过程中要兼顾两 条渐近线及其斜率与倾斜角的值，即通过 x 轴绕左焦点 F 进行顺、逆时针两个方向的旋转，从中发现规律，并求得了直线 P F 斜率的范围．新课程改革的核心是变革学生的学习方式，变 O P x 图 3 P O x图 4革学生学习方式首先要从教学设计入手．旋转变换 是从动态视角、以变化的观点、探索数学规律的一 例题 5 已知双曲线 x 2 - y 2 = 1的左焦点为 F ，点 P 为双曲线上位于第三象限的任一点，求直线 P F 斜率的范围．解 由双曲线的方程可知其渐近线为 l 1 : y = x ，l 2 : y = -x ，结合图形 4 可知：（1） x 轴绕焦点 F 逆时针方向旋转，当旋转直线l 的倾斜角由 0 逐渐增大至 45 的过程中，旋转直线l 的斜率 k 小于l 1 的斜率 k 1 = 1，此时l 与双曲线无种变换．以上几例都是说明旋转变换法是解决几类解析几何问题的有力武器．其巧妙性、简捷行、直观性证明了“教学有法、教无定法、贵在得法”的真理， 达到了“教”与“学”的和谐统一．对突出学生学习的 “自主性、主动性、创造性”将会起到重要的促进作用， 从而点燃学生头脑中“智慧的火把”，开启学生“创造性思维的大门”，让高中数学课堂教学焕发出生命活力．一道三角函数题的九种解法廖金龙江西省赣州市信丰中学（341600）数学学习强调经历学习过程，注重学习的探究与合作，注重学习思想与方法的渗透．一题多解能 够很好地体现学习过程中的自主探究能力、灵活驾 驭教材的能力、对所学知识融汇贯通的能力，而且 有利于培养思维广阔性、灵活性、敏捷性，使数学 素养进一步得到提升．下面给出笔者对一道习题的 多种解法．题目 若5cos x +12 s in x = 13 ，则 tan x = ． 解法 1 构造方程组法⎧ sin 2 x + cos 2 x = 1， ⎨⎩5 cos x +12 sin x = 13，消去cos x ，整理得(13sin x -12 )2= 0 ．∴ sin x = 12 ， cos x = 5 ，于是 tan x = 12．13 13 5解法 2 构造辅助角法 由5 cos x +12 sin x = 13(12sin x + 5cos x ) 13 13 = 13sin (x + ϕ) = 13 ，由2π + - ， ，其中 c os ϕ=12， s in ϕ= 5，13 13以点 A 为直线与单位圆的切点，由于直线的斜率为- 5 ，所以O A 的斜率为12 ，即 t an x = 12 ．∴ t an ϕ= 5．∴ x +ϕ= 2k π + π(k ∈ Z ) ． 1255122 解法 7 构造单位圆法于是 t an x = tan(2k π ϕ) = cot ϕ= 12．2 55cos x +12 s in x = 13 ，即5cos x + 12sin x = 1 ． 13 13 解法 3 “1”的代换法将5cos x +12 sin x = 13 两边平方，得25 cos 2 x +120 sin x cos x +144 sin 2 x = 169 ，将上面等式左边的分母 1 转换成sin 2x + cos 2 x ， 25 cos 2x +120 sin x cos x +144 sin 2 x 设 A (cos x ，sin x ) ， B ( 5 12) ，13 13则点 A ， B 均在单位圆x 2 + y 2 = 1 上．∴过 B 点的切线方程为 5 x + 12y = 1 ，13 13即 cos 2 x + sin 2x= 169 ， 可知点 A (cos x ，sin x ) 也在切线 5 x + 12y = 1 上．分子分母两边同时除c os 2x ， 得144 tan 2x +120 tan x + 25 ，从而点 A 也是切点，13 131+ tan 2x= 169 由切点的唯一性可知 A ， B 两点重合，即 25 tan 2 x -120 tan x +144 =0 ． 化简得 (5 tan x -12)2= 0 ，∴ c os x = 5 ， s in x 13= 12 ，即 t an x 13= 12 ．5于是 t an x = 12．5解法 4 代数换元法令 t an x = t ，即t c os x = sin x ， 代入5cos x +12 sin x = 13 ， ∴ 5cos x +12t cos x = 13 ，解法 8 柯西不等式法借肋柯西不等式 (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ (ac + bd )2 等号成立的的条件，在不等式中找相等．由5cos x +12 sin x = 13 ，可根据 (52 +122 )(cos 2 x + sin 2 x ) ≥ (5cos x +12sin x )2 ， 当且仅当点(5，12) 与点 (cos x ，sin x ) 共线时取等 c os x =13 12t + 5 ， s in x = 13t ．12t + 5号，则有 5cos x =12 sin x ，即 t an x = 12 ．5 代入sin 2 x + cos 2 x = 1，解法 9 构造向量法则 有 ( 13 )2 + ( 13t )2 = 1 ⇒ t = 2，5 cos x + 12sin x = 1 ，12t + 5 12t + 5 5即 t an x =12 ．51313不妨令m = (cos x ，sin x ) ， n = (5 12) ， 13 13解法 5 三角公式法由5cos x +12 s in x = 13 ，得12 t an x + 5 = 两边平方得144 tan 2 x +120 tan x + 25= 169 = 169(1 + tan 2 x ) ，13 ， cos x可 知 m = 1， n = 1．∴ m ， n 均为单位向量，且m ⋅n = 1．由 m n ≥ m ⋅ n ，等号成立的条件为： m / / n ． 则有12cos x = 5 sin x ，即 t an x = 5． cos 2 x13 13 12即(5 tan x -12)2 = 0 ⇒ tan x =12 ．5解法 6 斜率定义法由 5cos x +12 sin x = 13 可知点 A (cos x ，sin x ) 在直线5x +12 y = 13 上，同时也在单位圆 x 2 + y 2 = 1上，所对多解的习题讲解应让学生充分思考，主动探 究，在对学生进行发散性思维和创造性思维训练的 同时，更要注重解题方法的总结与提炼，通过总结 达到梳理知识脉络，整理知识结构，寻求解决一类 问题通法的目的．。
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一道三角函数竞赛题的多种解法
《华罗庚数学奥林匹克竞赛集训教材》第169页有这样一道竞赛题：
求满足下式的锐角x ：4sin 347cos 1215=-+-x x
由于此题较难，所以笔者将它作为我校高二竞赛培训中的一道压轴考试题，但考试结果较好。
笔者收集了几种颇具代表性的解答，供竞赛教练和同学参考。
解法1：考虑构造余弦定理（此法与教程相同）。
因4)90cos(3432cos 31223123222=-︒-++⨯-+x x
在ABC Rt ∆中，设3 =CE ，x ACD =∠，则x BCD -︒=∠90。
如图，||4|||AB BE AE ≥=+，又4412||=+=AB
所以点E 、D 重合。
设y AD =||，于是 )]90sin(2sin 32[32
132x x S S S BCD ACD ABC -︒+⨯=
+==∆∆∆ ︒=⇒︒+=⇒60)30sin(1x x
解法2：运用柯西不等式。
因≥⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2222sin 347cos 4513x x 2sin 3471cos 453⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯+-⨯≥x x 16sin 347cos 12152=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=x x 当且仅当x
x sin 3471cos 453-=-，即4cos sin 33=-x x ， 因x x x f cos sin 33)(-=在⎪⎭⎫ ⎝⎛
2
,0π上递增，又4)3(==πf ，则3π
=x 。
解法3：分子有理化巧妙化简。
因4sin 347cos 1215=-+-x x ①
则⇒=------4sin 347cos 1215)
sin 347()1215(x x x cocx
x x x x sin 3cos 32sin 347cos 1215+-=--- ②
由(①+②2)整理得：04)sin 3(cos 4)sin 3(cos 2=++-+x x x x
则2sin 3cos =+x x ，从而︒=60x .
12
3
2 C A B D E
解法4：朴素的化简运算。
原式化为x x sin 347cos 12154-=-- 两边平方得：x x x cos 45232cos 3sin -=+-， 即x x cos 453)30cos(-=+︒+-。
两边平方得：02cos 4)30cos(32)30(cos 2=-+︒+-︒+x x x
即01)30sin(2)30(sin 2
=+︒+-︒+x x 1)30sin(=︒+⇒x ，则︒=60x . 解法5：先换元再构造方程组 令b x a x =-=-sin 347 ,cos 1215， 则4=+b a ，1215cos 2
a x -=，3
498347sin 22+--=-=a a b x 由1sin cos 22=+x x 得：0)3(0811*******
234=-⇒=+-+-a a a a a 则3=a ，即︒=⇒=-603cos 1215x x .
解法6：先转化为解析几何问题，再用三点共线。
原式化为 4)2sin 3()cos 3()sin 3()32cos 3(2222=-+++-x x x x 设点)sin 3 ,cos 3(x x P ，)0 ,32(A ，)2 ,0(B ，则4||||=+PB PA 又因4||=AB ，则点P 在AB 上，因AB 的方程为12
32=+y x
， 则12
sin 332cos 3=+x x
，从而︒=60x 。
解法7：先数形结合，再构造方程组。
原式化为4)3sin 2()cos 2()sin 2()1cos 2(32
222=-+++-⨯x x x x 设点)sin 2 ,cos 2(x x P ，)0 ,1(A ，)3 ,0(B ， 则4||||3=+PB PA ① 由余弦定理知：4||5cos cos 2
PA POA x -=∠=， x
y
34||7cos sin 2
PB POB x -=∠= ，则()+-16||522PA ()148||722=-PB ② 由①②知：48)||5(3)9||38||3(2222=-++-PA PA PA
令t AP =||，则30)3(0931218344234=⇒=-⇒=+-+-t t t t t t 从而2
1cos =
x ，即︒=60x .。