2012年山东省济南市中考数学试题及答案

2012年山东省济南市中考数学试卷一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）1．－12的绝对值是（Ａ）A．12B．－12C．112D．112【考点】绝对值．【专题】【分析】根据绝对值的定义进行计算．【解答】解：|－12|=12，故选A．【点评】本题考查了绝对值．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．如图，直线a∥b，直线c与a，b相交，∠1=65°，则∠2=（Ｂ）A．115°B．65°C．35°D．25°【考点】平行线的性质．【专题】【分析】由直线a∥b，∠1=65°，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3的度数，又由对顶角相等，即可求得答案．【解答】解：∵直线a∥b，∠1=65°，∴∠3=∠1=65°，∴∠2=∠3=65°．故选B．【点评】此题考查了平行线的性质．此题比较简单，注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应用，注意数形结合思想的应用．3．2012年伦敦奥运会火炬传递路线全长约为12800公里，数字12800用科学记数法表示为（Ｃ）A．1.28×103B．12.8×103C．1.28×104D．0.128×105【考点】科学记数法—表示较大的数．【专题】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于12800有5位，所以可以确定n=5－1=4．【解答】解：12 800=1.28×104．故选C．【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定n值是关键．4．下列事件中必然事件的是（Ｂ）A．任意买一张电影票，座位号是偶数B．正常情况下，将水加热到100℃时水会沸腾C．三角形的内角和是360°D．打开电视机，正在播动画片【考点】随机事件．【专题】【分析】根据必然事件的定义就是一定发生的事件，即可作出判断．【解答】解：A、是随机事件，可能发生也可能不发生，故选项错误；B、必然事件，故选项正确；C、是不可能发生的事件，故选项错误；D、是随机事件，可能发生也可能不发生，故选项错误．故选B．【点评】考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．5．下列各式计算正确的是（Ｄ）A．3x－2x=1B．a2+a2=a4C．a5÷a5=a D．a3•a2=a5【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法．【专题】【分析】根据合并同类项法则，同底数幂乘除法法则，逐一检验．【解答】解：A、3x－2x=x，本选项错误；B、a2+a2=2a2，本选项错误；C、a5÷a5=a5－5=a0=1，本选项错误；D、a3•a2=a3+2=a5，本选项正确；故选D．【点评】本题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项法则．关键是熟练掌握每一个法则．6．下面四个立体图形中，主视图是三角形的是（Ｃ）A．B．C．D．【考点】简单几何体的三视图．【专题】【分析】找到立体图形从正面看所得到的图形为三角形即可．【解答】解：A、主视图为长方形，不符合题意；B、主视图为中间有一条竖线的长方形，不符合题意；C、主视图为三角形，符合题意；D、主视图为长方形，不符合题意；故选C．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．7．化简5（2x－3）+4（3－2x）结果为（Ａ）A．2x－3 B．2x+9 C．8x－3 D．18x－3【考点】考整式的加减．【专题】【分析】首先利用分配律相乘，然后去掉括号，进行合并同类项即可求解【解答】解：原式=10x－15+12－8x=2x－3．故选A．【点评】本题考查了整式的加减，解决此类题目的关键是熟记去括号法则，熟练运用合并同类项的法则，这是各地中考的常考点．8．暑假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为（ Ｂ ）A ．12B ．13C ．16D ．19【考点】列表法与树状图法．【专题】【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明和小亮选到同一社区参加实践活动的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，小明和小亮选到同一社区参加实践活动的有3种情况， ∴小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为：3193=． 故选B ．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．9．如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB 的值为（ Ａ ）A ．13B ．12C ．2D ．3 【考点】锐角三角函数的定义．【专题】网格型．【分析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．【解答】解：由图形知：tan ∠ACB =2163=，故选A．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，关键是掌握锐角三角函数的定义．10．下列命题是真命题的是（Ｄ）A．对角线相等的四边形是矩形B．一组邻边相等的四边形是菱形C．四个角是直角的四边形是正方形D．对角线相等的梯形是等腰梯形【考点】命题与定理．【专题】【分析】根据矩形、菱形的判定方法以及定义即可作出判断【解答】解：A、对角线相等的平形四边形是矩形，故选项错误；B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；C、四个角是直角的四边形是矩形，故选项错误；D、正确．故选D．【点评】本题考查了真命题的判断，正确掌握定义、定理是关键．11．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（Ｃ）A．x=2 B．y=2 C．x=－1 D．y=－1【考点】一次函数与一元一次方程．【专题】数形结合．【分析】直接根据函数图象与x轴的交点进行解答即可．【解答】解：∵一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点为（－1，0），∴当kx+b=0时，x=－1．故选C．【点评】本题考查的是一次函数与一元一次方程，能根据数形结合求出x的值是解答此题的关键．12．已知⊙O1和⊙O2的半径是一元二次方程x2－5x+6=0的两根，若圆心距O1O2=5，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（Ｂ）A．外离B．外切C．相交D．内切【考点】圆与圆的位置关系．【专题】【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系，可知圆心距=两圆半径之和，再根据圆与圆的位置关系即可判断．【解答】：解：∵⊙O1和⊙O2的半径是一元二次方程x2－5x+6=0的两根，∴两根之和=5=两圆半径之和，又∵圆心距O1O2=5，∴两圆外切．故选B．【点评】此题综合考查一元二次方程根与系数的关系及两圆的位置关系的判断．圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d=R+r；③两圆相交⇔R－r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d=R－r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R－r（R＞r）．13．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（Ａ）A1B C．55D．52【考点】直角三角形斜边上的中线；三角形三边关系；勾股定理；矩形的性质．【专题】代数综合题．【分析】取AB的中点E，连接OE、DE、OD，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据勾股定理列式求出DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得解．【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，∵OD ≤OE +DE ，∴当O 、D 、E 三点共线时，点D 到点O 的距离最大，此时，∵AB =2，BC =1，∴OE =AE =12AB =1，DE ====∴OD 1．故选A ．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到性质，三角形的三边关系，矩形的性质，勾股定理，根据三角形的三边关系判断出点O 、E 、D 三点共线时，点D 到点O 的距离最大是解题的关键．14．如图，矩形BCDE 的各边分别平行于x 轴或y 轴，物体甲和物体乙分别由点A （2，0）同时出发，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2012次相遇地点的坐标是（Ｄ）A ．（2，0）B ．（－1，1）C ．（－2，1）D ．（－1，－1）【考点点的坐标．【专题】规律型【分析】利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．【解答】解：矩形的边长为4和2，因为物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，物体甲与物体乙的路程比为1：2，由题意知：①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×1，物体甲行的路程为12×13=4，物体乙行的路程为12×23=8，在BC 边相遇；②第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×2，物体甲行的路程为12×2×13=8，物体乙行的路程为12×2×23=16，在DE 边相遇；③第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×3，物体甲行的路程为12×3×13=12，物体乙行的路程为12×3×23=24，在A 点相遇；…此时甲乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点，∵2012÷3=670…2，故两个物体运动后的第2012次相遇地点的是：第二次相遇地点，即物体甲行的路程为12×2×13=8，物体乙行的路程为12×2×23=16，在DE 边相遇；此时相遇点的坐标为：（－1，－1），故选：D ．【点评】此题主要考查了行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，通过计算发现规律就可以解决问题．15．如图，二次函数的图象经过（－2，－1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是（ D ）A ．y 的最大值小于0B ．当x =0时，y 的值大于1C ．当x =－1时，y 的值大于1D ．当x =－3时，y 的值小于【考点】二次函数的图象；二次函数的性质．【专题】【分析】根据图象的对称轴的位置、增减性及开口方向直接 回答．【解答】解：A 、由图象知，点（1，1）在图象的对称轴的左边，所以y 的最大值大于1，不小于0；故本选项错误；B 、由图象知，当x =0时，y 的值就是函数图象与y 轴的交点，而图象与y 轴的交点在（1，1）点的左边，故y ＜1；故本选项错误；C 、对称轴在（1，1）的右边，在对称轴的左边y 随x 的增大而增大，∵－1＜1，∴x =－1时，y 的值小于x =－1时，y 的值1，即当x =－1时，y 的值小于1；故本选项错误；D、当x=－3时，函数图象上的点在点（－2，－1）的左边，所以y的值小于0；故本选项正确．故选D．【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征．解答此题时，需熟悉二次函数图象的开口方向、对称轴、与x轴的交点等知识．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）16．分解因式：a2－1=（a+1）（a－1）．【考点】因式分解－运用公式法．【专题】【分析】符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：a2－b2=（a+b）（a－b）．【解答】解：a2－1=（a+1）（a－1）．【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键．17．计算：2sin30°－=－3 ．【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．【专题】【分析】由特殊角的三角函数值与二次根式的化简的知识，即可将原式化简，继而求得答案．【解答】解：2sin=2×1 2 －4=1－4=－3．故答案为：－3．【点评】此题考查了实数的混合运算．此题难度不大，注意掌握特殊角的三角函数值与二次根式的化简，注意运算要细心．18．不等式组2x－4＜0 x+1≥0 的解集为－1≤x＜2 ．【考点】解一元一次不等式组．【专题】【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【解答】解：-⎧⎨+≥⎩2x 40x 10＜①② ，由①得，x ＜2；由②得，x ≥－1，故此不等式组的解集为：－1≤x ＜2．故答案为：－1≤x ＜2．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，将△ABC 沿CB向右平移得到△DEF ，若平移距离为2，则四边形ABED 的面积等于 8 ．【考点】平移的性质；平行四边形的判定与性质．【专题】【分析】根据平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，可得四边形ABED是平行四边形，再根据平行四边形的面积公式即可求解．【解答】解：∵将△ABC 沿CB 向右平移得到△DEF ，平移距离为2，∴AD ∥BE ，AD =BE =2，∴四边形ABED 是平行四边形，∴四边形ABED 的面积=BE ×AC =2×4=8．故答案为8．【点评】本题主要考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．20．如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，AB =6，BC =8，以其三边为直径向三角形外作三个半圆，矩形EFGH 的各边分别与半圆相切且平行于AB 或BC ，则矩形EFGH 的周长是 48 ．【考点】切线的性质；勾股定理；矩形的性质．【专题】【分析】首先取AC 的中点O ，过点O 作MN ∥EF ，PQ ∥EH ，由题意可得PQ ⊥EF ，PQ ⊥GH ，MN ⊥EH ，MN ⊥FG ，PL ，KN ，OM ，OQ 分别是各半圆的半径，OL ，OK 是△ABC 的中位线，又由在Rt △ABC 中，∠B =90°，AB =6，BC =8，即可求得个线段长，继而求得答案．【解答】解：取AC 的中点O ，过点O 作MN ∥EF ，PQ ∥EH ，∵四边形EFGH 是矩形，∴EH ∥PQ ∥FG ，EF ∥MN ∥GH ，∠E =∠H =90°，∴PQ ⊥EF ，PQ ⊥GH ，MN ⊥EH ，MN ⊥FG ，∵AB ∥EF ，BC ∥FG ，∴AB ∥MN ∥GH ，BC ∥PQ ∥FG ，∴AL =BL ，BK =CK ，∴OL =12BC =12×8=4，OK =12AB =12×6=3， ∵矩形EFGH 的各边分别与半圆相切， ∴PL =12AB =12×6=3，KN =12BC =12×8=4，在Rt △ABC 中，10AC ==， ∴OM =OQ =12AC =5， ∴EH =FG =PQ =PL +OL +OQ =3+4+5=12，EF =GH =MN =OM +OK +NK =5+3+4=12， ∴矩形EFGH 的周长是：EF +FG +GH +EH =12+12+12+12=48．故答案为：48．【点评】此题考查了切线的性质、矩形的性质，三角形中位线的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．21．如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y =ax 2+bx ．小强骑自行车从拱梁一端O 沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC ，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC 共需 36 秒．【考点】二次函数的应用【专题】【分析】10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则A ，B 一定是关于对称轴对称的点，据此即可确定对称轴，则O 到对称轴的时间可以求得，进而即可求得OC 之间的时间．【解答】解：设在10秒时到达A 点，在26秒时到达B ，∵10秒时和26秒时拱梁的高度相同，∴A ，B 关于对称轴对称．则从A 到B 需要16秒，则从A 到D 需要8秒．∴从O 到D 需要10+8=18秒．∴从O 到C 需要2×18=36秒．故答案是：36．【点评】本题考查了二次函数的应用，注意到A 、B 关于对称轴对称是解题的关键．三、解答题（共7小题，共57分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）22．（1）解不等式3x －2≥4，并将解集在数轴上表示出来．（2）化简：2121224a a a a a --+÷--． 【考点】分式的乘除法；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．【专题】计算题．【分析】（1）先根据不等式的性质求出不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可；（2）先将22124a a a -+-的分子和分母因式分解，再将除法转化为乘法进行解答． 【解答】解：（1）移项得，3x ＞6，系数化为1得，x ＞2，在数轴上表示为．（2）原式212(2)22(1)1a a a a a --=⨯=---． 【点评】本题考查了解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集、分式的乘除法，不仅要熟悉不等式的性质，还要熟悉分式的除法法则．23．（1）如图1，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，AE=CF．求证：DE=BF．（2）如图2，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD是∠ABC的平分线，求∠BDC的度数．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质得到一对边和一对角的对应相等，在加上已知的一对边的相等，利用“SAS”，证得△ADE≌△CBF，最后根据全等三角形的对应边相等即可得证；（2）首先根据AB=AC，利用等角对等边和已知的∠A的度数求出∠ABC和∠C的度数，再根据已知的BD是∠ABC的平分线，利用角平分线的定义求出∠DBC的度数，最后根据三角形的内角和定理即可求出∠BDC的度数．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C，在△ADE和△CBF中，AD=CB，∠A=∠C，AE=CF，∴△ADE≌△CBF（SAS），∴DE=BF；（2）解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C=12（180°－40°）=70°，又BD是∠ABC的平分线，∴∠DBC=12∠ABC=35°，∴∠BDC=180°－∠DBC－∠C=75°．【点评】此题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义以及全等三角形的性质与判定，熟练掌握定理与性质是解本题的关键．24．冬冬全家周末一起去济南山区参加采摘节，他们采摘了油桃和樱桃两种水果，其中油桃比樱桃多摘了5斤，若采摘油桃和樱桃分别用了80元，且樱桃每斤价格是油桃每斤价格的2倍，问油桃和樱桃每斤各是多少元？【考点】分式方程的应用．【专题】【分析】根据樱桃每斤价格是油桃每斤价格的2倍，得出设油桃每斤为x元，则樱桃每斤是2x元，再利用油桃比樱桃多摘了5斤，采摘油桃和樱桃分别用了80元，得出等式方程求出即可．【解答】解：设油桃每斤为x元，则樱桃每斤是2x元，根据题意得出：8080=+，52x x解得：x=8，经检验得出：x=8是原方程的根，则2x=16，答：油桃每斤为8元，则樱桃每斤是16元．【点评】此题主要考查了分式方程的应用，根据已知利用购买两种水果的质量得出等式方程求出是解题关键．25．济南以“泉水”而闻名，为保护泉水，造福子孙后代，济南市积极开展“节水保泉”活动，宁宁利用课余时间对某小区300户居民的用水情况进行了统计，发现5月份各户居民的用水量比4月份有所下降，宁宁将5月份各户居民的节水量统计整理如下统计图表：（1）300户居民5月份节水量的众数，中位数分别是多少米3？（2）扇形统计图中2.5米3对应扇形的圆心角为120 度；（3）该小区300户居民5月份平均每户节约用水多少米3？【考点】考点：扇形统计图；统计表；加权平均数；中位数；众数．【专题】【分析】（1）众数是一组数据中出现次数最多的数据；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，根据定义可求解；（2）首先计算出节水量2.5米3对应的居名民数所占百分比，再用360°×百分比即可；（3）根据加权平均数公式：若n 个数x 1，x 2，x 3，…，x n 的权分别是w 1，w 2，w 3，…，w n ，则112212n n nx w x w x w x w w w ++⋅⋅⋅+=++，进行计算即可； 【解答】解：（1）数据2.5出现了100次，次数最多，所以节水量的众数是2.5（米3）；位置处于中间的数是第150个和第151个，都是2.5，故中位数是2.5米3．（2）100300×100%×360°=120°； （3）（50×1+80×1.5+2.5×100+3×70）÷300=2.1（米3）．【点评】此题主要考查了统计表，扇形统计图，平均数，中位数与众数，关键是看懂统计表，从统计表中获取必要的信息，熟练掌握平均数，中位数与众数的计算方法．26．如图1，在菱形ABCD 中，AC =2，BD =2 3 ，AC ，BD 相交于点O ．（1）求边AB 的长；（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD 的顶点A 处，绕点A 左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC ，CD 相交于点E ，F ，连接EF 与AC 相交于点G ．①判断△AEF 是哪一种特殊三角形，并说明理由；②旋转过程中，当点E 为边BC 的四等分点时（BE ＞CE ），求CG 的长．【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质．【专题】几何综合题．【分析】（1）根据菱形的性质，确定△AOB 为直角三角形，然后利用勾股定理求出边AB的长度；（2）①本小问为探究型问题．要点是确定一对全等三角形△ABE≌△ACF，得到AE=AF，再根据已知条件∠EAF=60°，可以判定△AEF是等边三角形；②本小问为计算型问题．要点是确定一对相似三角形△CAE∽△CFG，由对应边的比例关系求出CG的长度．解答：【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴△AOB为直角三角形，且OA=12AC=1，OB=12BD= 3 ．在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB2==．（2）①△AEF是等边三角形．理由如下：∵由（1）知，菱形边长为2，AC=2，∴△ABC与△ACD均为等边三角形，∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°，又∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°，∴∠BAE=∠CAF．在△ABE与△ACF中，∵∠BAE=∠CAF，AB=AC=2 ，∠EBA=∠FCA=60°，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形，又∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形．②BC=2，E为四等分点，且BE＞CE，∴CE=12，BE=32．由①知△ABE≌△ACF，∴CF=BE=32．∵∠EAC+∠AEG+∠EGA=∠GFC+∠FCG+∠CGF=180°（三角形内角和定理），∠AEG=∠FCG=60°（等边三角形内角），∠EGA=∠CGF（对顶角）∴∠EAC =∠GFC ．在△CAE 与△CFG 中，∵ ∠EAC =∠GFC ，∠ACE =∠FCG =60°，∴△CAE ∽△CFG ， ∴ =CG CF CE AC ，即32 122=CG ， 解得：CG =38． 【点评】本题是几何综合题，综合考查了相似三角形、全等三角形、四边形（菱形）、三角形（等边三角形和等腰三角形）、勾股定理等重要知识点．虽然涉及考点众多，但本题着重考查基础知识，难度不大，需要同学们深刻理解教材上的基础知识，并能够熟练应用．27．如图，已知双曲线k y x=，经过点D （6，1），点C 是双曲线第三象限上的动点，过C 作CA ⊥x 轴，过D作DB ⊥y 轴，垂足分别为A ，B ，连接AB ，BC ．（1）求k 的值；（2）若△BCD 的面积为12，求直线CD 的解析式；（3）判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由．【考点】反比例函数综合题．【专题】综合题．【分析】（1）把点D 的坐标代入双曲线解析式，进行计算即可得解；（2）先根据点D 的坐标求出BD 的长度，再根据三角形的面积公式求出点C 到BD 的距离，然后求出点C 的纵坐标，再代入反比例函数解析式求出点C 的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；（3）根据题意求出点A 、B 的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB 的解析式，可知与直线CD 的解析式k 值相等，所以AB 、CD 平行．【解答】解：（1）∵双曲线k y x=经过点D （6，1），∴16k =，解得k =6；（2）设点C 到BD 的距离为h ，∵点D 的坐标为（6，1），DB ⊥y 轴，∴BD =6，∴S △BCD =12×6•h =12，解得h =4， ∵点C 是双曲线第三象限上的动点，点D 的纵坐标为1，∴点C 的纵坐标为1－4= －3， ∴63x =，解得x = －2，∴点C 的坐标为（－2，－3），设直线CD 的解析式为y =kx +b ，则2361k b k b -+=-⎧⎨+=⎩， 解得122k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以，直线CD 的解析式为122y x =-； （3）AB ∥CD ．理由如下：∵CA ⊥x 轴，DB ⊥y 轴，点C 的坐标为（－2，－3），点D 的坐标为（6，1），∴点A 、B 的坐标分别为A （－2，0），B （0，1），设直线AB 的解析式为y =mx +n ， 则201m n n -+=⎧⎨=⎩，解得121m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以，直线AB 的解析式为112y x =+， ∵AB 、CD 的解析式k 都等于12相等， ∴AB 与CD 的位置关系是AB ∥CD ．【点评】本题是对反比例函数的综合考查，主要利用了待定系数法求函数解析式，三角形的面积的求解，待定系数法是求函数解析式最常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用．28．如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（－3，0），B（－1，0），与y轴相交于点C，⊙O1为△ABC的外接圆，交抛物线于另一点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求cos∠CAB的值和⊙O1的半径；（3）如图2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，若点N在坐标平面内，满足△BMN∽△BPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）如答图1所示，由△AOC为等腰直角三角形，确定∠CAB=45°，从而求出其三角函数值；由圆周角定理，确定△BO1C为等腰直角三角形，从而求出半径的长度；（3）如答图2所示，首先利用圆及抛物线的对称性求出点D坐标，进而求出点M的坐标和线段BM的长度；点B、P、C的坐标已知，求出线段BP、BC、PC的长度；然后利用△BMN∽△BPC相似三角形比例线段关系，求出线段BN和MN的长度；最后利用两点间的距离公式，列出方程组，求出点N的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +3与x 轴相交于点A （－3，0），B （－1，0），∴933030a b a b -+=⎧⎨-+=⎩，解得a =1，b =4，∴抛物线的解析式为：y =x 2+4x +3．（2）由（1）知，抛物线解析式为：y =x 2+4x +3，∵令x =0，得y =3，∴C （0，3），∴OC =OA =3，则△AOC 为等腰直角三角形，∴∠CAB =45°，∴cos ∠CAB =2．在Rt △BOC 中，由勾股定理得：BC = 如答图1所示，连接O 1B 、O 1B ，由圆周角定理得：∠BO 1C =2∠BAC =90°，∴△BO 1C 为等腰直角三角形，∴⊙O 1的半径O 1B =2BC （3）抛物线y =x 2+4x +3=（x +2）2－1，∴顶点P 坐标为（－2，－1），对称轴为x = －2． 又∵A （－3，0），B （－1，0），可知点A 、B 关于对称轴x =2对称．如答图2所示，由圆及抛物线的对称性可知：点D 、点C （0，3）关于对称轴对称，∴D （－4，3）．又∵点M 为BD 中点，B （－1，0），∴M （52-，32），- 21 - ∴BM= 在△BPC 中，B （－1，0），P （－2，－1），C （0，3），由两点间的距离公式得：BPBCPC=∵△BMN ∽△BPC ， ∴ ==BM BN MN BP BC PC==，解得：=BNMN = 设N （x ，y ），由两点间的距离公式可得：222222(1)53()()22x y x y ⎧++=⎪⎪⎨⎪++-=⎪⎩， 解之得，117232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，221292x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴点N 的坐标为（72，32-）或（12，92-）． 【点评】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、圆的性质、相似三角形、勾股定理、两点间的距离公式等重要知识点，涉及的考点较多，试题难度较大．难点在于第（3）问，需要认真分析题意，确定符合条件的点N 有两个，并画出草图；然后寻找线段之间的数量关系，最终正确求得点N 的坐标．。