第1章二次根式 1.1 二次根式

知2－讲
知识点
2 二次根式有意义的条件
(1)式子 a 只有在条件a≥0时才叫二次根式．即a≥0是 a 为二次根式的前提条件.式子 2 就不是二次根式， 但式子 2 却又是二次根式．
2
(2) a（a≥0）实际上就是非负数a的算术平方根，既可 表示开方运算,也可表示运算的结果.同时
a （a≥0）
x2 2 x 2 是二次根式．
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总 结
二次根式的识别方法：判断一个式子是否为二次根 式，一定要紧扣二次根式的定义，看所给的式子是否同
时具备二次根式的两个特征：(1)含根号且根指数为2(通
常省略不写)；(2)被开方数(式)为非负数．
知1－练
1
下列各式中，一定是二次根式的是（
2 B . 3a 1
正方形的边长是_____________________；
（来自教材）
知1－导
等腰直角三角形的腰长是_____________________.
你认为所得的各代数式的共同特点是什么?
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归 纳
像
a2 4 , b 3 , 2S , 5 这样表示算术平方根的
代数式叫做二次根式.
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第1章
二次根式
1.1
二次根式
1
课堂讲解 二次根式的定义
二次根式有意义的条件 二次根式的“双重”非负性( a ≥0，a≥0)
2
课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
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知识点
1
二次根式的定义
我们知道，正数的正平方根和零的平方根统称算术 平方根，用
a (a≥0)表示.
根据下图所示的直角三角形、正方形和等腰直角三 角形的条件，完 成以下填空： 直角三角形的斜边长是_____________________；
式的分母不等于0．
(3)如果一个式子含有零指数幂或负整数指数幂，那么它有 意义的条件是：底数不为0．
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例2 求下列二次根式中字母a的取值范围.
1 (1) a 1.(2) .(3) (a 3)2 . 1 2a
解： (1)由 a+1≥0，得 a≥ -1，所以字母a的取值范围是大 于或等于- 1的实数. 1 1 (2)由 > 0，得 1 - 2a > 0，即 a< . 1 2a 2 1 所以字母a的取值范围是小于 的实数. 2 (3)因为无论a取何值，都有(a-3) 2 ≥ 0,所以a的取值范
知2－练
1
求下列二次根式中字母x的取值范围.
1 (1) x 1.(2) 4 x .(3) .(4) 5 x . 1 3x
2
（来自教材）
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济宁)要使二次根式 2 (中考·
足( A．x≤2 C．x＜2 )
x 2 有意义，x必须满
B．x≥2 D．x＞2
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m 1 巴中)要使式子 有意义，则m的取值范 3 (中考· m 1 围是( )
例4 若 x y 1 y 3 0 ，则 x-y 的值为 （ C ）
2
A．1
B．－1
C．7
D．－7
导引： 根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数
式进行计算即可得解．因为 x y 1 y 3 0
2
都
是非负数，它们的和为0，所以（y+3)2=0，
围是全体实数.
（来自教材）
知2－讲
总 结
求式子有意义时字母的取值范围的方法：第一步，明确 式子有意义的条件，对于单个的二次根式，则必须满足被开 方数为非负数；对于含有多个二次根式的，则必须满足多个 被开方数同时为非负数；对于零指数幂或负整数指数幂，则 必须满足底数不能为零；对于含有分式的，则必须满足分母 不能为零．第二步，利用式子中所有有意义的条件，建立不 等式或不等式组．第三步，求出不等式或不等式组的解集， 即为字母的取值范围．
知1－讲
(1)∵无论x为何值，都有x2＋1＞0， 解： ∴ x2 1 是二次根式．
(2)当0≤0时，－5a≥0，∴ 5a 是二次根式；
当a＞0时，－5a＜0，∴
5a
不是二次根式．
∴ 5a 不一定是二次根式． 1 (3)当x＝－3时， 无意义， 2 x 3 1 ∴ 2 也无意义； x 3 1 当x≠－3时， ＞0， 2 x 3
1
知1－讲
2
x 3 是二次根式． 1 ∴ 不一定是二次根式． 2 x 3 (4)当a＝4时，－(a－4)2＝0，
∴ ∴ a 4 2 是二次根式； 当a≠4时，－(a－4)2＜0，∴
a 4 不是二次根式．
2
∴ a 4 2 不一定是二次根式． (5)∵x2＋2x＋2＝x2＋2x＋1＋1＝(x＋1)2＋1＞0， ∴
2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题
ห้องสมุดไป่ตู้
x y 1 0 ，所以y+3=0，x+y-1=0，解得y=-3，x=4，
所以x-y=7，故选C．
知3－讲
总 结
两个非负数的和为0时，这两个非负数都为0．
知3－练
1
若 a 1 b 1 0 ，求a2012+b2012的值．
知3－练
2 若
x 1 ＋(y＋2)2＝0，则(x＋y)2 016等于(
知2－练
1
当x分别取下列值时，求 3 x 1 的值． 1 (1)x＝ ； (2)x＝－1； (3)x＝1. 3
知2－练
2
(中考· 滨州)如果式子
2 x 6 有意义，那么x的取值范
)
围在数轴上表示出来，正确的是(
知3－讲
知识点
3 二次根式的“双重”非负性( a ≥0，a≥0)
a（a≥0） 是一个非负数.
也是一个非负数，我们把这个性质叫做二次根式的
双重非负性.
知2－讲
总 结
1.二次根式有意义的条件是被开方数(式)为非负数，反 之也成立，即
a 有意义⇔ a≥0.
2.二次根式无意义的条件是被开方数(式)为负数，反之 也成立，即
a 无意义⇔ a＜0.
知2－讲
要点精析：
(1)如果一个式子含有多个二次根式，那么它有意义的条件 是：各个二次根式中的被开方数(式)都必须是非负数． (2)如果一个式子既含有二次根式又含有分式，那么它有意 义的条件是：二次根式中的被开方数(式)是非负数，分
）
A . 5
C.2 3a
D. a 2 3
知1－练
2
下列式子不一定是二次根式的是(
A. a B . b 1
2
)
D. a b
2
C. 0
知1－练
3
下列式子： 7 , 2 x , 1 m , a 2 b 2 , 100 , 5 , a 1
中，是二次根式的有( A．2个 C．4个 ) B．3个 D．5个
A．m>－1 B．m≥－1 C．m>－1且m≠1
D．m≥－1且m≠1
知2－讲
例3
当x= -4时，求二次根式
1 2 x 的值.
解： 将x= - 4代入二次根式，得
1 2 x 1 2 (4) 9 3.
（来自教材）
知2－讲
总 结
本题运用类比思想．求二次根式的值与求有理式的值的 方法一样，代入数值计算即可．但要注意被开方数必须 是非负数．
子，但前提是a必须大于或等于0.
知1－讲
例1 判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．
1
x 1; 2 5a； 3
2
1
x 3
2 ； 4 a 4 ； 5 x 2x 2 . 2 2
导引： 判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备 二次 根式定义的条件，紧扣定义进行识别．一看根指数 是否为2，二看被开方数(式)是否为非负数．
)
A．－1 C．32 016
B．1 D．－32 016
1.二次根式的条件： (1)带二次根号“ ”；
(2)被开方数是非负数． 2.常见具有“非负性”的三类数： a ，|a|，a2n(n为正
整数)；二次根式的双重非负性为：
(1) a ≥0；(2)a≥0.)
1.必做: 完成教材P5课内练习T2，
教材P5-P6作业题T1-T6
定义：像 a2 4 , b 3 , 2S , 5 这样表示算术平方根的代 数式叫做二次根式，其中二次根式
a
中的“
”称为二
次根号，a称为被开方数(式)．
要点精析： (1)二次根式的定义是从式子的结构形式上界定的，必须含 有二次根号“ 一般省略不写． ”； “ ”的根指数为2，即
2
，“2”
(2)被开方数a可以是一个数，也可以是一个含有字母的式
1.理解二次根式的非负性应从算术平方根入手，当a≥0时，
a 表示a的算术平方根，因此 a ≥0 .所以“二次根式”
包含有两个“非负”即：①被开方数非负：a≥0；②二 次根式的值非负： a ≥0. 2.若 a b =0,则 a=0,b=0.由于二次根式
a 和 b 都是
非负数，所以它们的值都为0.
知3－讲