山东省普通高等教育专升本统一考试 近三年《高等数学》真题(部分)(1)

山东省普通高等教育专升本统一考试

近三年《高等数学》真题（部分）

一、 选择题

1、函数2271

2arcsin x x x y -+-=的定义域为（ ）【2011年真题】

A 、]4,3[-

B 、 )4,3(-

C 、 ]2,0[

D 、 ）2,0(

【答案】选C.

2、如果级数)0(1

≠∑∞

=n n n u u 收敛，则必有（ ）【2011年真题】

A 、级数∑∞

=11n n u 发散 B 、级数)1

(1n u n n +

∑∞

=收敛

C 、级数∑∞=1n n u 收敛

D 、级数n n n u ∑∞

=-1

)1(收敛

【答案】选A.

二、填空题：

1、由方程0422=--xy y x 确定的隐函数的导数dx dy = 【2011年真题】

【答案】填 x y y

x 22+-.

2、向量)4,1,1(=与向量)2,2,1(-=b 的夹角余弦值是 . 【2011年真题】 【答案】填182

7.

3、级数∑∞

=

n n

n x !的收敛区间为_______.【2010年真题】

【答案】),(+∞-∞. 【解析】收敛半径：∞=+=+==∞→∞→+∞→)1(lim !)!

1(lim ||lim 1n n n a a R n n n n

n ，

所以，收敛区间为：),(+∞-∞.

4、当26ππ

≤

x f sin )(=是_______函数（填“单调递增”、“单调递减”）

【

2009年真题】

【答案】单调递减 【解析】,sin cos )(2

x x x x x f -='令,sin cos )(x x x x g -= ,sin cos sin cos )(x x x x x x x g -=--='当26π

π

≤

从而，,0)(<'x f 故函数)(x f 单调递减.

二、计算下列各题：

1、求函数)0(1>⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=x x x y x 的导数. 【2011年真题】 【解析】两边取对数，)]1ln([ln ln x x x y +-=

两边对x 求导数，

x x x x x x x x y y ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+='111ln 1111ln 1 所以，⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x x x dx dy x 111ln 1. 2、级数∑∞

=

n n

n x !的收敛区间为___________.【2010年真题】 【解析】收敛半径：∞=+=+==∞→∞→+∞→)1(lim !)!1(lim ||lim 1n n n a a R n n n n n ， 所以，收敛区间为：),(+∞-∞.

3、求幂级数 +-+-+--n

x x x x n n 13

2)1(32的收敛半径和收敛域. 【2009年真题】 【解析】 收敛半径: 11lim lim

1=+==∞→+∞→n n a a R n n n n , 当1-=x 时,级数∑∑∞=∞=--=--111

1)1()1(n n n n n n 发散; 当1=x 时,级数∑∞=--11

1)1(n n n

收敛. 所以,级数的收敛域为:]1,1(-.

三、证明题：

1、某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只能够砌成20m 长的墙壁.

.0663********sin 6cos 6)6()(<-⋅=-⋅=-⋅=<ππ

ππππg x g

问:应围成怎样的长方形才能使这间小屋面积最大. 【2011年真题】

【解析】设小屋宽为x 米,则长为(20-2x )米,

小屋面积为：)220(x x y -=

,0420=-='x y 得,5=x

由实际问题的实际意义知，当围成宽5米，长10米的长方形时小屋面积最大.

2、求抛物线22

1x y =将圆822=+y x 分割后形成的两部分的面积. 【2011年真题】 【解析】联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=8

21222y x x y ，得2±=x 面积2

0324

02022131)cos 22(22182x dt t dx x x A -=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎰⎰π 3423

82sin 21838)2cos 1(8404

0+=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=-+=⎰ππ

πt t dt t . 另一部分面积3

46812-=-=ππA A .

3、设函数)(x f 在[0，1]上连续，且1)(0≤≤x f ，证明：存在ξξξ=∈)(],1,0[f 使.【2010年真题】

【解析】本题考查闭区间上连续函数的性质——零点定理.

证明. 令x x f x g -=)()(，则)(x g 在[0，1]上连续，且

,0)0(0)0()0(≥=-=f f g ,01)1()1(≤-=f g

若等号成立，即1)1(,0)0(==f f 或，则端点0或1即可作为要找的ξ；

若等号不成立，即,0)1()0(<⋅g g 由零点定理知，存在0)(),1,0(=∈ξξg 使，即ξξ=)(f . 综上可证，存在ξξξ=∈)(],1,0[f 使.

4、某工厂需要围建一个面积为2512m 的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁.问堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所用的材料最省？【2009年真题】

【解析】求最值问题.首先根据题意建立数学函数,然后求导数,并求出使一阶导数等于零的点,若只求得一个驻点,则可直接断定结论.

解 设宽为x 米,则长为x

512米. 新砌墙的总长度为: x x y 5122+=