2005运筹学试卷B及答案

1、根据下列线性规划的原问题写出其对偶模型。（每小题5分，共10分）

（1）Max Z = 2 X 1 + 3 X 2 -5 X 3 + X 4

4 X

1 + X

2 -

3 X 3 + 2 X

4 ≥

5 s.t. 3 X 1 - 2 X 2 + 7 X 4 ≤ 4 -2X 1 + 3 X 2 + 4 X 3 + X 4 = 6

X 1≤ 0 ，X 2， X 3≥ 0 ，X 4无符号限制

（2）Min Z = -2 X 1 - 3 X 2 -5 X 3 + X 4

4 X 1 + X 2 - 3 X 3 + 2 X 4 ≥ 7 s.t. 3 X 1 - 2 X 2 + 7 X 4 ≤ 6 -2 X 1 + 3 X 2 + 4 X 3 + X 4 = 9

X 1≤ 0 ，X 2≥ 0 ，X 3,X 4无符号限制

2、某疗养院营养师要为某类病人拟订本周菜单。可供选择的蔬菜及其费用和所含影响成分的数量，以及这类病人每周所需各种养分的最低数量如下表所示： 另外为了口味的需求,规定一周内所用卷心菜不多于2份,其它蔬菜不多于4份。若病人每周需14份蔬菜。问选用每种蔬菜各多少份？

试着建立该问题的线性规划模型。（不用求解，10分）

3、某厂生产甲、乙、丙三种产品，已知有关数据与下表所示，试分别回答下列问题：

产品

消耗定额甲乙丙原料拥有量

原料

A 6 3 5 45

B 3 4 5 30

单件利润 4 1 5

⑴建立线性规划模型，求使该厂获利最大的生产计划。(8分)

⑵若产品乙、丙的单件利润不变，则产品甲的利润在什么范围内变化时，上述最优解不变？(5分)

⑶若有一种新产品丁，其原料消耗定额：A为3单位，B为2单位，单件利润为2.5单位。问该种产品是否值得安排生产，并求新的最优计划。(7分)

4、有A1，A2，A3三座铁矿，每天要把生产的铁矿石运往B1，B2，B3，B4四个炼铁厂。各

:

（1

方案对应的总运费。（6分）

（2）用位势法判断（1）中用伏格尔法所求出的初始调运方案是否最优方案。（4分）

5、用图解法求解下列目标规划（10分）

minZ = P1d1—+ P2 d2＋+ P3（2d3－+ d4—）

x1 + x2 + d1——d1+= 40

x1 + x2 + d2——d2+= 50

x1 + d3——d3+ = 24

x2 + d4——d4+ = 30

x1 ，x2 ，d1—，d1+，d2—，d2+，d3—，d3+，d4—，d4+，≥0

6、某厂有100台机床，能够加工两种零件，要安排下面4个月的任务，根据以往经验，知道这些机床用来加工第一种零件，一个月以后损坏率为1／3。而在加工第二种零件时，一个月后损坏率为1／10，又知道，机床加工第一种零件时一个月的收益为10万美元，加工第二种零件时每个月的收益为7万美元。现在要安排四个月的任务，试问，怎样分配机器的任务，能使总收益为最大（10分）？

7、某地7个村镇之间现有交通距离如下图所示

求：1)从1到7的最短路径与距离？（5分）

2)如要沿路架设电话线，如何使总长度最小同时又使每个村都能安装上电话？（5分）

8、某市六个新建单位之间的交通线路的长度（公里）如下表所示。其中单位A 距市煤气供应站最近，为1.5公里。

通。应如何铺设煤气管道，使其总长最短？(10分) 1、解：（1） Min ω = 5 Y 1 +4 Y 2+ 6 Y 3

4 Y 1 + 3 Y 2 -2Y 3 ≤ 2

s.t. Y 1 - 2Y 2 + 3Y 3 ≥ 3 -3Y 1 + 4 Y 3 ≥ -5 2 Y 1 + 7 Y 2 + Y 3 = 1 Y 1 ≤0 ，Y 2≥0，Y 3无符号限制 （2）Max ω = 7 Y 1 +6 Y 2+ 9 Y 3

4 Y 1 + 3 Y 2 -2Y 3 ≥ -2

s.t. Y 1 - 2Y 2 + 3Y 3 ≤ -3 -3Y 1 + 4 Y 3 = -5 2 Y 1 + 7 Y 2 + Y 3 = 1 Y 1 ≥0 ，Y 2≤0，Y 3无符号限制

2、解：设每周选择的蔬菜份数中青豆、胡萝卜、花菜、卷心菜、甜菜和土豆分别为x 1，x 2 ，

x 3 ， x 4 ，x 5和x 6份。

7 7 4

1

2 5

3 6 11 10 2

4 12

26

10 12 17

15 25 15 16

Minz = 0.15 X 1 + 0.15 X 2 + 0.24 X 3 + 0.06 X 4 + 0.18 X 5+ 0.10 X 5 X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 + X 6 ＝ 14

s.t. 0.45 X 1 + 0.45 X 2 + 1.05 X 3 + 0.4 X 4 + 0.5 X 5 + 0.5 X 6 ≥ 6.0

10 X 1 + 28X 2 +50 X 3 + 25X 4 + 22 X 5 + 75 X 6 ≥325

415 X 1 + 9065 X 2 +2550 X 3 + 75 X 4 + 15 X 5 + 235 X 6 ≥ 17500 8 X 1 + 3 X 2 + 53X 3 + 27 X 4 + 5 X 5 + 8 X 6 ≥ 245

0.3 X 1 + 0.35 X 2 +0.6 X 3 + 0.15 X 4 + 0.25 X 5 + 0.8 X 6 ≥ 5.0 0≤ X 4 ≤ 2

0 ≤ X 1 ,X 2 ,X 3 ,X 5 ,X 6 ≤ 4

3、解：

（1）以x 1、x 2和x 3分别代表甲、乙、丙产品产量，有x ﹡＝（5，0，3），最大赢利Z ﹡

＝35。 （2）产品甲的利润变化范围为[3,6]。

（3）安排生产丁有利，新的最优计划为安排生产产品丁15件，而x 1、x 2和x 3均为0。

4、解：

（1）用伏格尔法给出的初始调运方案为x 12 =2， x 13=1， x 14 =2，x 24=2，x 31 =2，x 32 =1，其余的x ij =0。（其中i=1,2,3; j=1,2,3,4）对应的z=34。

用最小元素法给出的初始调运方案为x 11 =2， x 13=1， x 14 =2，x 24=2，x 31 =0，x 32 =3，其余的x ij =0。（其中i=1,2,3; j=1,2,3,4）对应的z=38。 （2）用位势法判断，（1）中用伏格尔法给出的初始调运方案是最优方案。

5、解：满意解为X *=（24，26）T

6、解：

阶段: 1,2,3,4k =。

状态变量：k s 表示第k 月开始时有k s 台机床可供使用。 决策变量：k u 表示第k 月分配给第一种零件的机床数。

状态转移方程：9

21310()k k k k s u s u +=+- 指标函数：107

100

100(,)()k k k k k k g s u u s u =+- 基本方程：1155max (){(,)(}0()0k k k k k k k k k f s g s u f s u s f s ++⎧⎫

=+⎪⎪≤≤⎨⎬⎪⎪=⎩⎭

）1,2,3,4k =