整式及乘法公式
整式的乘法和乘法公式
1.同底数幂相乘，底数不变，指数相加.一般形式：m n a m a n a +=⋅2.幂的乘方，底数不变，指数相乘.一般形式：（n ，m 为正整数)mn n m aa =)((m ,n 为正整数)3.积的乘方等于各因数乘方的积.一般形式：(n 为正整数)n n aab =)(n b 知识回顾：整式的乘法二、练习计算:3122210)())((+-⋅n n a a 32239)())((x x -⋅-(1) a 3·a 4(2) -a · a 3(3)a · (-a )3· (-a )5(4) a 8 + (a 2)4 (5) a 3 . (a 5)2(6) (x 2 . x 3)3(7) (a 2 . a )3 . (a 2)3(8) (-a 3)2 . a -2a 7433211])[(]))[((y x y x +⋅+练习计算(12) (-3n )3(13) (5xy )332)(h 23)3(a -43)21(c a (14)(15)(17)(16)42)(y a 323)(y x -(18)让我们一起来回顾：2.单项式与单项式相乘单项式×单项式＝(系数×系数)(同底数幂相乘)(单独的幂)32223322232233232451)()()())(()())((yz x xy a a c b b a -⋅-⋅--⋅-)(c b a m ++mcmb ma ++=m (a +b+c )=ma mb mc ++2a 2(3a 2-5b )=2a 2.3a 22a 2.(-5b)+=6a 4-10a 2b (-2a 2)(3ab 2-5b )=(-2a 2).3ab 2(-2a 2).(-5b)+=-6a 3b 2+10a 2b类似的:3.单项式与多项式相乘乘法分配律⑴⑵2.()()32-2x y ×3xy -3xy +1()()322x -x 4x +1化简：()()22x x -1+2x x+11.计算：(a +b )(m +n )=a m +a n +b m +b n多项式的乘法法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.4.多项式与多项式相乘练习计算：(1)(x+2)(x −3),(2)(3x -1)(2x +1)。
整式的运算法则
2
5
17．（ x－2）（ x+2）－（ x+1）（x－ 3）
18．（ 1－3y）（ 1+3y）（ 1+9y2）
19．（ ab+1） 2－（ ab－ 1） 2
四、运用乘法公式简便计算（每题 20．（ 998） 2
2 分，共 4 分） 21．197× 203
五、先化简，再求值（每题 4 分，共 8 分） 22．（ x+4）（ x－ 2）（x－ 4），其中 x=－ 1．
（﹣ 1）3=﹣ 1；③
﹣2
3a =
； ④ （﹣ x） 5÷（﹣ x）3=﹣ x2 中，正
确的式子有（
）
A． ①② C． ①②③
B． ②③ D． ①②③④
9．若 a=（﹣ ） ﹣2， b=（﹣ 1） ﹣1， c=（﹣ ） 0，则 a， b， c 的大小关系是（
）
A． a＞b ＞c
B． a＞ c＞ b
2．(
)5=(8 × 8× 8× 8×·8a)·(aa·a·a)
3．如果 a≠ｂ，且 (ap)3·bp+q=a9b5 成立，则 p=______________， q=__________________。
4．若 am 1bn 2 a2n 1b2m a3b5 ，则 m+n 的值为（
）
A． 1
B． 2
）
（1）（
）
﹣1
=﹣
3；（
2）
﹣
2
3
=﹣
8
；（
3）（﹣
﹣2
）=
；（
4）（
π﹣
3.14
）
0
=1
A． 1 个 C． 3 个
B． 2 个 D． 4 个
整式乘法公式
整式乘法公式
1 什么是整式乘法
整式乘法是由欧拉在19世纪早期提出来的一种常见的数学运算方式，是数学分支学科中基本算法之一。
它是用来解决复合乘积问题，即把一个大问题分解为若干个小问题，并利用乘法运算把它们连接起来而解决整个问题，在数学加法、减法、乘法、除法四则运算中被称为第三则运算。
2 整式乘法公式
整式乘法把复杂的乘积运算简化为四个熟调的模式，其中的形式公式为： `(a+b)*(a-b)=a*a - b*b`，其中a，b分别表示算式中的平方数。
它简化了乘积运算，因此，当参与运算的数值变成更大时，整式乘法是十分有效的。
3 应用范围
整式乘法在众多数学问题中得到了很好的应用，例如：如果要求算术组合的乘积，整式乘法可以让我们简化乘积运算，降低难度。
它还可以应用于三角形的计算，例如：根据勾股定理，任意一个直角三角形的斜边的平方等于它的两个直角边的平方总和，这其中就涉及到整式乘法的应用，而且可以方便我们求出它们的相关参数。
4 总结
整式乘法是一种基本的数学运算，它把一个大问题分解为若干个
小问题，并利用乘法运算把它们连接起来，以便快速解决整个问题。
它可以极大的简化乘积的运算，在众多的数学问题中有着重要的应用。
整式的乘法和乘法公式最新版
择 (2) 如果4x2+12xy+k是一个关于x、y的完全
B 平方式，则k=( )
(A) 3y 2 (B) 9y 2 (C) y
(D) 36y 2
如果4x2+kxy +9y2是一个关于x、y的完全平 方式，则k=(+ 12)
A （3）如果a+
1
a
=3,则a2+
1
a2
=(
)
选 (A) 7 (B) 9 (C) 10 (D) 11
=(-1)2-(2xy)2 =1-4x2y2
口答练习一
(1) (x-2y)(x+2y) =x2-4y 2
(2)
(x-1y)(2源自x-1 2y
) =x2-xy +
1 4
y2
(3)
( 3x-
1 2
y
)
(
9x2+
23xy+
1
4
y
2
) =27x3-
y1 3
8
(4) (-x-2y)(-x+2y) =x2-4y2
整式的乘复法习和乘法公
式
a a a 同底数幂的乘法
m · n = m+n
幂的乘方
a a ( m )n = mn
整 式
积的乘方
( ab )n= an b n
的 乘
单项式的乘法
4a2x5 ·(-3a3bx2)
法
=[4 ( -3)](a2a3) (x5x2)b
=-12a5bx7
a a a 同底数幂的乘法
动手做
（1） 已知x=a+2b,y=a-2b，
求:x2+xy+y 2
整式的乘和乘法公式复习法
例1 利用完全平方公式计算： （1） 197 2
练习 利用整式乘法公式计算： （1）998 2
（2）( a b 3 )( a b 3 )
( x 2 )( x 2 ) ( x 1 )( x 3 ) （3 ）
ab 1 ) ( ab 1 ) （4）(
三乘法公式 四（一） 平方差公式 2 2 ( a b )( a b ) a b 五 （a、b可以 是数，也可以是整式） 六即：两数和与这两数差的积，等 于它们的平方差。
例2 利用平方差公式计算： 1 1 （1）( x y )( x y )
4
4
（2）
( m n )( m n ) 3 n
练习：计算 1 . (b5 ) 2
1 3 ( ) 2. 3
3 2
3 8
2
3 .(a
(p )
4
5 .(x ) 7 . 3
4 6
(x ) 6 .(2)
8. (2)
3 2
2 3
（三）积的乘方 n n n ( ab ) a b （n是正整数） 法则： 积的乘方等于各乘因数（或式）的 乘方的积。
例：计算： n 2 （1 ） (3 a ) （3 ） (2xy)
4
（2） (2 3)
2
（4 ） ( 2 b )
5
练习 ：计算 2 2 3 （1 ） (4a ) （2） (ab)
（3）( x
4
2
y )
2
3 3
（4） ( p q)
2
2
( 3 x ) ( 2 x ) （5 ） （6 ） 2 3 5
三） 多项式乘多项式 四法则 多项式与多项式相乘，先 用一个多项式的每一项乘另一多 项式的每一项，再把所得的积相 加。
整式的乘除知识点整理
一、知识点归纳： （一）幂的四种运算：1、同底数幂的乘法：⑴语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； ⑵字母表示：a m ·a n = a m+n ；(m ，n 都是整数) ；⑶逆运用：a m+n = a m ·a n2、幂的乘方：⑴语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘； ⑵字母表示：(a m ) n = a mn ；(m ，n 都是整数)； ⑶逆运用：a mn =(a m )n =(a n )m ；3、积的乘方：⑴语言叙述：积的乘方，等于每个因式乘方的积； ⑵字母表示：(ab)n = a n b n ；(n 是整数)； ⑶逆运用：a n b n = (a b)n ；4、同底数幂的除法：⑴语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减；⑵字母表示：a m ÷a n = a m-n ；(a≠0，m 、n 都是整数)； ⑶逆运用：a m-n = a m ÷a n .（二）整式的乘法：1、单项式乘以单项式：⑴语言叙述：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
⑵实质：分三类乘：⑴系数乘系数；⑵同底数幂相乘；⑶单独一类字母，则连同它的指数照抄； 2、单项式乘以多项式：⑴语言叙述：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。
⑵字母表示：c)＝ma ＋mb ＋mc ；（注意各项之间的符号！） 3、多项式乘以多项式：(1)语言叙述：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加；(2)字母表示：＝mn ＋mb ＋an ＋ab ；（注意各项之间的符号！） 注意点：⑴在未合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积。
⑵多项式的每一项都包含它前面的符号，确定乘积中每一项的符号时应用“同号得正，异号得负”。
⑶运算结果中如果有同类项，则要 合并同类项（三）乘法公式： 1、平方差公式：(1)语言叙述：两数和与这两数差的积，等于这两个数的平方差。
整式乘法运算法则公式
整式乘法运算法则公式在代数中，整式乘法是一种常见的运算，它可以帮助我们简化复杂的代数表达式。
整式乘法运算法则公式是指在乘法运算中使用的规则和公式，通过这些规则和公式，我们可以将复杂的代数表达式化简为简单的形式。
本文将介绍整式乘法运算法则公式的基本概念和具体应用。
一、整式乘法的基本概念在代数中，整式是由数字、变量和运算符（如加法、减法、乘法、除法）组成的表达式。
整式乘法是指两个或多个整式相乘的运算。
例如，给定两个整式x+2和3x-4，它们的乘积可以通过整式乘法运算法则公式进行计算。
二、整式乘法运算法则公式整式乘法运算法则公式包括以下几个基本规则：1. 分配律：对于任意的整式a、b和c，有a*(b+c) = a*b + a*c。
2. 乘法交换律：对于任意的整式a和b，有a*b = b*a。
3. 乘法结合律：对于任意的整式a、b和c，有(a*b)*c =a*(b*c)。
这些基本规则可以帮助我们在整式乘法中进行化简和计算，从而得到最终的乘积结果。
三、整式乘法的具体应用整式乘法运算法则公式在代数中有着广泛的应用，特别是在多项式的乘法中。
多项式是由多个整式相加或相减而成的代数表达式，它们在代数中有着重要的地位。
通过整式乘法运算法则公式，我们可以将复杂的多项式乘法化简为简单的形式，从而更方便地进行计算和分析。
例如，考虑两个多项式(x+2)(3x-4)，我们可以利用整式乘法运算法则公式来计算它们的乘积。
首先，我们可以使用分配律将乘法展开：(x+2)(3x-4) = x*(3x-4) + 2*(3x-4)。
然后，我们再利用分配律将每一项再次展开：x*(3x-4) = 3x^2 - 4x，2*(3x-4) = 6x - 8。
最后，将这些展开后的结果相加，得到最终的乘积：(x+2)(3x-4)= 3x^2 - 4x + 6x - 8 = 3x^2 + 2x - 8。
通过以上的计算过程，我们可以看到整式乘法运算法则公式的应用非常简单直观，它可以帮助我们快速地计算多项式的乘积，从而简化代数表达式的计算。
整式的乘法乘法公式
先算乘方，再算乘除，最后算 加减；
运用分配律
将括号内的代数式展开，并运用 分配律进行计算；
合并同类项
将同类项进行合并，得到最简结果 。
整式乘法公式的计算技巧
熟记公式
熟练掌握整式乘法公式，如平 方差公式、完全平方公式等；
化简代数式
在计算过程中，尽量化简代数 式，减少计算量；
灵活运用运算法则
整式乘法公式是一种简化的运算方法，适用于任何两个整式 的乘法运算。
整式乘法公式的特点
1
整式乘法公式具有普遍适用性，适用于任何两 个整式的乘法运算。
2
整式乘法公式可以简化复杂的计算过程，提高 运算效率。
3
整式乘法公式有助于培养学生的数学思维能力 和符号意识。
整式乘法公式的历史与发展
01
整式乘法公式是数学运算中的基本工具，有着悠久的历史和广 泛的应用。
2023
《整式的乘法乘法公式》
contents
目录
• 整式乘法公式概述 • 整式乘法公式的形式与证明 • 整式乘法公式的计算方法与技巧 • 整式乘法公式的应用实例
01
整式乘法公式概述
整式乘法公式的定义
整式乘法公式定义：整式乘法公式是单项式与单项式相乘， 把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的 指数不变，作为积的因式的运算。
交换律公式
$(a+b)(c+d)=(a+b)(c+d)$
整式乘法公式的证明方法
分配律公式的证明
根据乘法分配律，可以得出$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$。
结合律公式的证明
根据乘法结合律，可以得出$(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2$。
第07讲 整式的乘法与乘法公式
第7讲 整式的乘法与乘法公式学习数学的惟一方法是做数学。
——哈尔莫斯 知识方法扫描整式的乘法包括单项式乘单项式，单项式乘多项式和多项式乘多项式。
乘法公式是多项式相乘得出的，它们是既有特殊性，又有规律性和实用性的具体结论．常用的公式有：;))()(1(22b a b a b a -=-+;2))(2(222b ab a b a +±=±;))()(3(3322b a b ab a b a ±=+±;222))(4(2222ca bc ab c b a c b a +++++=++;33))(5(32233b ab b a a b a +++=+;3))()(6(333222abc c b a ca bc ab c b a c b a -++=---++++))()(7(122321-----+++++-n n n n n b ab b a b a a b a n n b a -=))()(8(122321-----++-+-+n n n n n b ab b a b a a b a n n b a +=（n 为奇数）经典例题解析例1．（第16届“希望杯”初二第2试题）计算：1998)37(×20002000357153++。
解 原式02000020200020001998)57(7)53(3)37(⨯+⨯+⨯=2000200020000002002000201998577533)37(⨯+⨯+⨯= )51(7)51(3)37(20000002000220001998+⨯+⨯⨯=00028919)73()37(⨯= 219988919)73()73()37(⨯⨯=⋅=⨯⨯=499499)7337(1998 例2．(2005年四川省初中数学联赛决赛八年级试题) 计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(232＋1)＋1＝＿＿＿解 原式=(2-1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(232＋1)＋1=(22-1)(22＋1)(24＋1)…(232＋1)＋1=(24-1)(24＋1)…(232＋1)＋1=……=(232-1)(232＋1)＋1=(264-1)＋1=264例3．(1999年武汉市初中数学竞赛试题) 设x,y 为实数，且满足⎩⎨⎧-=-+-=-+-1)1(1998)1(1)1(1998)1(33y y x x ， 则x+y=( )(A) 1 (B) -1 (C) 2 (D) -2解 设 x-1=a,y-1=b,则有 ⎩⎨⎧-=+=+119981199833b b a a ， 将两式相加，得 a 3+b 3+1998a+1998b=0，即 (a+b)[(a 2-ab+b 2)+1998(a+b)=0, 从而(a+b)( a 2-ab+b 2+1998)=0注意到 a 2-ab+b 2+1998=,01998])([21222>++++b a b a 所以a+b=0, 也就是 (x-1)+(y-1)=0, x+y=2, 故选C 。
整式的乘法与因式分解
整式的乘法与因式分解整式是由字母或字母与常数的乘积所组成的代数式。
在代数中，整式的乘法和因式分解是非常重要的运算。
本文将详细介绍整式的乘法与因式分解。
一、整式的乘法整式的乘法是指利用分配律将两个或多个整式相乘的过程。
整式的乘法规则如下：1. 当两个整式相乘时，先将系数相乘，再将字母相乘，最后将结果相加。
例如，计算 (2x + 3)(4x + 5) 的结果：(2x + 3)(4x + 5) = 2x * 4x + 2x * 5 + 3 * 4x + 3 * 5= 8x^2 + 10x + 12x + 15= 8x^2 + 22x + 152. 当整式中含有多个字母时，需要将对应字母的项相乘，并按照指数的规则进行运算。
例如，计算 (2xy + 3xz)(4xy - 5xz) 的结果：(2xy + 3xz)(4xy - 5xz) = 2xy * 4xy + 2xy * (-5xz) + 3xz * 4xy + 3xz * (-5xz)= 8x^2y^2 - 10x^2z^2 + 12x^2yz - 15xz^2整式的乘法在代数中非常常见，掌握好整式的乘法规则可以方便进行复杂的代数运算。
二、因式分解因式分解是指将一个整式表示为几个整式乘积的形式。
因式分解在解方程、求极限、计算函数值等方面都有广泛的应用。
下面介绍两种常见的因式分解方法。
1. 公因式提取法公因式提取法是指将整式中的公因式提取出来，并将整式分解为公因式与其他部分的乘积。
例如，对于整式 4x^2 + 8x，可以提取公因式 4x，得到 4x(x + 2)。
2. 完全平方公式完全平方公式是指将一个二次多项式表示为两个一次多项式的平方差形式。
例如，对于整式 x^2 + 12x + 36，可以通过完全平方公式将其分解为 (x + 6)^2。
通过因式分解，可以简化复杂的整式，方便进行进一步的计算和问题求解。
综上所述，整式的乘法和因式分解是代数中重要的运算。
初中七年级数学整式的乘除及乘法公式期末复习
整式的乘法运算：整式的乘法运算是指两个或多个整式相乘的运算。
整式的乘法运算中，我们要注意变量的指数和系数的相乘运算以及同类项的合并运算。
1.变量的指数相乘：当同一个字母的指数相乘时，我们可以将指数相加，然后保留同一个字母，并写上新的指数。
例如：3x²*4x³=12x^(2+3)=12x⁵2.系数的相乘：当整式中的系数相乘时，我们可以直接将系数相乘，然后保留原来的字母和指数。
例如：2x * 3y = 6xy3.同类项的相乘：同类项是指具有相同字母和指数的项。
当整式中的同类项相乘时，我们可以直接将系数相乘，然后保留原来的字母和指数。
例如：3x²*5x²=15x^(2+2)=15x⁴整式的除法运算：整式的除法运算是指一个整式除以另一个整式的运算。
整式的除法运算中，我们要注意变量的指数和系数的相除运算以及整除时的余数。
1.变量的指数相除：当同一个字母的指数相除时，我们可以将指数相减，然后保留同一个字母，并写上新的指数。
例如：10x⁵÷2x²=5x^(5-2)=5x³2.系数的相除：当整式中的系数相除时，我们可以直接将系数相除，然后保留原来的字母和指数。
例如：12xy ÷ 4x = 3y3.整除和余数：当两个整式相除时，如果能整除，则商为一个整式，余数为零。
如果不能整除，余数不为零，我们可以保留余数，但不能继续进行整除运算。
乘法公式的运用：乘法公式是指将一个较为复杂的乘法运算通过一定的方法化简，使运算变得简便的运算法则。
1.二次方差式公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²(a-b)² = a² - 2ab + b²例如：(x+2)²=x²+2x*2+2²=x²+4x+42.一次方差式公式：(a+b)(a-b)=a²-b²例如：(x+3)(x-3)=x²-3²=x²-93.三次方差式公式：(a+b)(a²-ab+b²) = a³ + b³例如：(x+2)(x²-2x+4)=x³+2³=x³+8综上所述，整式的乘法运算和除法运算是我们初中七年级数学中的重要内容。
整式的乘除—乘法公式
整式的乘除—乘法公式【复习】(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3 (a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m )=x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2)=x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2=(x -y )(x -y )-z 2=x 2-xy -xy +y 2-z 2=x 2-2xy +y 2-z 2⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2)=x 4-y 4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )]=2x (-2y +2z )=-4xy +4xz【典例分析】例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
例3：计算19992-2000×1998例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。
例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。
求x 2-z 2的值。
整式的乘法与乘法公式考点归纳
人教版八年级上第十四章14.1整式的乘法、14.2乘法公式必背重点公式考点归纳黎平县地坪附中80（2）班、80（4）班 姓名14.1整式的乘法1、同底数幂的乘法：p n m p n ma a a a ++=∙∙ 例如：621323x x x x x ==∙∙++2、幂的乘方：()mnnm aa = 例如：()()[]24342342126262;x xxm mm ====⨯⨯⨯3、积的乘方：()m m mb a ab =例如：()()()242222223333422;y x y x y xc b a abc ===4、单项式⨯单项式（单单）：①有乘方先算乘方；②系数乘系数；③同底数幂相乘；④单独的字母连同它的指数作为积的一个因式。
例如：()()()255322432222232212343232z y x xy z y x xy zy x xy yz x =⨯=⨯-=⨯-5、单项式⨯多项式（单多）：()cx bx ax c b a x ++=++（类似乘法分配律）例如：6、多项式⨯多项式（多多）：bn bm an am n m b a +++=++))((例如：4)3(5)3(4252)45)(32(∙-+∙-+∙+∙=+-y x y x y x1215810)12()15(810--+=-+-++=y x xy y x xy7、同底数幂的除法：),(n m n m aa anm nm＞都是正整数，-=÷)0(10≠=a a 重点公式： 例如：()12020114.3;1)2019(;052727-=-=-=-==÷-；πx xx x8、单项式÷单项式：①有乘方先算乘方；②系数除系数；③同底数幂相除；④对于被除式里单独的字母连同它的指数作为商的一个因式。
（也可以变成分数的约分来理解）5)3(4)3(23)542)(3(2222⨯--⨯-+⨯-=-+-ab ab ab a ab ab a ab abb a b a ab b a b a 15126)15()12(6323323+--=---+-=例如：333364332343234686)()2(6)2(b a a b a a b a a b a -=÷-=÷-=÷-9多项式÷单项式：m c m b m a m c b a ÷+÷+÷=÷++)(（类似乘法分配律）例如：124333)6(3123)3612(22323+-=÷+÷-+÷=÷+-a a a a a a a a a a a a 14.2乘法公式10、平方差公式：22))((b a b a b a -=-+11、完全平方公式：①完全平方和公式：2222)(bab a b a ++=+②完全平方差公式：2222)(bab a b a +-=-12、整式的加减乘除混合运算：①有乘方先算乘方；②再算乘除；③最后算加减说明：整式的加减乘除混合运算必须要以以上11个公式为运算工具，所以必须掌握上面11个公式。
整式乘法与乘法公式的复习
知识点一.整式的乘法一．单项式乘单项式、单项式乘多项式（1）单项式乘单项式 ①系数相乘；②同底数幂相乘；③单独出现的字母连同其指数作为积的因式。
（2）单项式乘多项式()mc mb ma c b a m ++=++例1：（-2a ²）·（3ab ²-5ab 3）针对练习：1、计算（1）2(a+b-c) （2）(-2a)(2a+1) (3) 2m(3m ²n-8n)+2（mn+1)2、要使（2x ²+ax+1）（-3x ²）展开式中不含x ³项，求a 的值是多少？3、化简求值：3xy(xy-xy ²+x ²y)- xy ²(2x ²-3xy+2x),其中x=2 , y=3.4、解方程：-2(1-2x)-10=1+10(-2x+5)二．多项式乘多项式：()()bn bm an am n m b a +++=++1. 例题：(3x －1)(4x ＋5)＝__________．(－4x －y )(－5x ＋2y )＝__________．针对练习1. 若(x ＋a )(x ＋b )＝x 2－kx ＋ab ，则k 的值为( )A．a＋b B．－a－b C．a－b D．b－a2.计算(2x－3y)(4x2＋6xy＋9y2)的正确结果是()A．(2x－3y)2B．(2x＋3y)2C．8x3－27y3D．8x3＋27y3 3.(x2－px＋3)(x－q)的乘积中不含x2项，则()A．p＝q B．p＝±q C．p＝－q D．无法确定4.方程(x＋4)(x－5)＝x2－20的解是()A．x＝0 B．x＝－4 C．x＝5 D．x＝405.若6x2－19x＋15＝(ax＋b)(cx＋d)，则ac＋bd等于()A．36 B．15 C．19 D．216.(x＋3)(x＋4)－(x－1)(x－2)＝__________．7.若(x＋a)(x＋2)＝x2－5x＋b，则a＝__________，b＝__________．8.当k＝__________时，多项式x－1与2－kx的乘积不含一次项．9、计算下列各式(1)(2x＋3y)(3x－2y) (2)(x＋2)(x＋3)－(x＋6)(x－1)10、2(2x－1)(2x＋1)－5x(－x＋3y)＋4x(－4x2－52y)，其中x＝－1，y＝2．知识点二.乘法公式一．平方差公式（m+n）（m-n）= ；（x+y）（x-y）= ; （a+b）（a-b）= 例题：计算：1、(2x2+5)( 2x2－5) 2、(－2x2+5)(－2x2－5)针对练习：1.下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是( )A.(x+y)(－x －y)B.(2x+3y)(2x －3z)C.(－a －b)(a －b)D.(m －n)(n －m)2.下列计算正确的是( )A.(2x+3)(2x －3)=2x 2－9B.(x+4)(x －4)=x 2－4C.(5+x)(x －6)=x 2－30D.(－1+4b)(－1－4b)=1－16b 23.下列各式运算结果是x 2－25y 2的是( )A.(x+5y)(－x+5y)B.(－x －5y)(－x+5y)C.(x －y)(x+25y)D.(x －5y)(5y －x)4. 计算：（1）a(a －5)－(a+6)(a －6) （2） ( x+y)( x －y)( x 2+y 2)（3）9982－4 （4）))(())(())((a c a c c b c b b a b a +-++-++-.二．完全平方公式()2n m += ； ()2y x += ；()2b a + = ；例题：(1)(3y+2x)2 (2) 232x 21--⎪⎭⎫ ⎝⎛+y针对练习1.填空题(1)a 2-4ab+( )＝(a-2b)2 (2)(a+b)2-( )＝(a-b)2(3)(3x+2y)2-(3x-2y)2＝ (4)(3a 2-2a+1)(3a 2+2a+1)＝(5)( )-24a 2c 2+( )＝( -4c 2)2 2.下列等式能成立的是( ).A.(a-b)2＝a 2-ab+b 2B.(a+3b)2＝a 2+9b2C.(a+b)2＝a 2+2ab+b 2D.(x+9)(x-9)＝x 2-93.(a+3b)2-(3a+b)2计算的结果是( ).A.8(a-b)2B.8(a+b)2C.8b 2-8a 2D.8a 2-8b 24.在2222222)())(3(,)()2(),5)(5()5()1(b a b a y x y x x x x +=--+=+-+=-+（4）ab ab ab a b b a =-=--23)2)(3(中错误的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个5.计算 (1) (5x+2y)(5x-2y) (2) ()232-x6.先化简再求值：b)-2b)(a (a -2b)-b)(a (a ++，其中1,2-==b a知识点三.因式分解(提公因式法)一．因式分解的概念1.定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。
整式的乘法与因式分解知识点
整式的乘法与因式分解知识点整式的乘法和因式分解是初中数学中的重要知识点，也是后续学习代数、方程和不等式的基础。
本文将详细介绍整式的乘法和因式分解的定义、性质和方法。
一、整式的乘法整式是由常数和单项式相加（减）得到的代数式，其中单项式是指只包含一个变量的项。
整式的乘法是指将两个或多个整式相乘的运算。
1.单项式的乘法：单项式的乘法遵循以下运算法则：-同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
例如，a^m*a^n=a^(m+n)。
-不同底数幂相乘，指数相乘。
例如，a^m*b^n=a^m*b^n。
- 系数相乘。
例如，k * t = kt。
2.多项式的乘法：多项式的乘法通过将每一项都与另一个多项式的每一项相乘，并将结果相加得到。
例如，(a+b+c)(x+y+z) = ax+ay+az+bx+by+bz+cx+cy+cz。
这个过程通常称为“分配律”。
二、整式的因式分解整式的因式分解是指将一个整式表示成几个单项式的乘积的运算。
因式分解的基本思路是找到整式的公因式，然后使用“提公因式法”将整式表示为公因式与其余部分的乘积。
1.提公因式法：假设整式ax+bx有一个公因式x，则可以将其改写为x(a+b)。
这个过程是因式分解中最基本的方法。
根据此原理，我们可以使用提公因式法因式分解更复杂的整式。
2.完全平方公式的因式分解：完全平方公式是指一个二次三项式（即一元二次多项式）的平方可以被因式分解成两个平方的和或差。
例如，a^2+2ab+b^2可以因式分解为(a+b)^2，而a^2-2ab+b^2可以因式分解为(a-b)^23.完全立方公式的因式分解：完全立方公式是指一个三次三项式（即一元三次多项式）的立方可以被因式分解成两个立方的和或差。
例如，a^3+3a^2b+3ab^2+b^3可以因式分解为(a+b)^3，而a^3-3a^2b+3ab^2-b^3可以因式分解为(a-b)^34.分组分解法：分组分解法是指根据整式中各项之间的关系将整式进行分组，以便使用提公因式法进行因式分解。
整式乘法与乘法公式
练习：先化简，再求值 ，其中 .
解：原式=
当 时，原式=
例6.先化简，再求值： ，其中
练习6-1.（1）当 =2017时，代数式 的值为.
（2）先化简，再求值： ，其中
（3）先化简，再求值： ，其中
练习6-2.当 =-1时，代数式 的值为（ ）.
练习8-2.已知 ，则 的值是.
附加题：
1.（1）已知 ，求 的值. （2）已知 ，求 的值.
2.已知 ，求 的值.
练习：（1）
思考：还记得小相家的菜地吗？这块菜地现在又被分成了4块小区域.
如何计算菜地的面积？
①菜地的面积可由长与宽的积求得，即.
②菜地的面积可由4块区域的面积之和求得，即.
可得整式： =
一般地，多项式与多项式相乘：
先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
练习：① ②
例2.（1）计算：① ②
A.10 B. 10 C.20 D. 20
练习5-1.若 多项式-是一பைடு நூலகம்完全平方式，那么 =.
练5-2.若 是完全平方式，则 的值是.
【知识点三】整式乘法化简求值-简单化简
思考：当 =3时，求如下代数式的值：
，你会这么做？
笔记：代数式的化简求值一般先去括号，合并同类项后，再代入求值.即先化简，再求值.
整式乘法与乘法公式
【知识点一】整式乘法
幂运算
① ( 都是正整数),即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
② ( 都是正整数),即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
③ ( 是正整数），即积的乘方，等于把积的每一个因式分別乘方，再把所得的幂相乘.
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第一讲 整式及乘法公式第一部分 知识梳理一、基本概念1．同底数幂乘法法则同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即n m n m a a a +=⋅（m 、n 都是正整数） 2．幂的乘方法则幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即()mn nm a a =（m 、n 都是正整数）3．积的乘方积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即()nn nb a ab = （n为整数）二、平方差公式及完全平方公式（1）平方差公式：（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2；（2）完全平方公式：（a+b ）2=a 2+2ab+b 2;（a-b ）2=a 2-2ab+b 2，其中a 、b 可以是正数，也可以是负数，既可以是单项式，也可以是多项式。
三、整式的乘法1．单项式相乘，把它们的________分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则________．2．单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘________，再把所得的积________． 3．多项式与多项式相乘，先用________乘以________，再把所得的积________．第二部分 例题与解题思路方法归纳【例题1】 阅读下列材料：一般地，n 个相同的因数a 相乘个n a a a ⋯⋅记为a n ．如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log 28（即log 28=3）．一般地，若a n=b （a ＞0且a ≠1，b ＞0），则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b （即log a b=n ）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log 381（即log 381=4）．（1）计算以下各对数的值：log24=，log216=，log264=．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？log a M+log a N=；（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（4）根据幂的运算法则：a n•a m=a n+m以及对数的含义证明上述结论．〖选题意图〗本题是开放性的题目，难度较大．借考查对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．〖解题思路〗首先认真阅读题目，准确理解对数的定义，把握好对数与指数的关系．（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察，不难找到规律：4×16=64，log24+log216=log264；（3）有特殊到一般，得出结论：log a M+log a N=log a（MN）；（4）首先可设log a M=b1，log a N=b2，再根据幂的运算法则：a n•a m=a n+m以及对数的含义证明结论．〖参考答案〗解：（1）log24=2，log216=4，log264=6；（2）4×16=64，log24+log216=log264；（3）log a M+log a N=log a（MN）；（4）证明：设log a M=b1，log a N=b2，则=M，=N，∴MN=，∴b1+b2=log a（MN）即log a M+log a N=log a（MN）．【课堂训练题】1．已知2a•5b=2c•5d=10，求证：（a﹣1）（d﹣1）=（b﹣1）（c﹣1）．〖参考答案〗证明：∵2a•5b=10=2×5，∴2a﹣1•5b﹣1=1，∴（2a﹣1•5b﹣1）d﹣1=1d﹣1，①同理可证：（2c﹣1•5d﹣1）b﹣1=1b﹣1，②由①②两式得2（a﹣1）（d﹣1）•5（b﹣1）（d﹣1）=2（c﹣1）（b﹣1）•5（d﹣1）（b﹣1），即2（a﹣1）（d﹣1）=2（c﹣1）（b﹣1），∴（a﹣1）（d﹣1）=（b﹣1）（c﹣1）．2．若a m=a n（a＞0且a≠1，m，n是正整数），则m=n．你能利用上面的结论解决下面的2个问题吗？试试看，相信你一定行！①如果2×8x×16x=222，求x的值；②如果（27﹣x）2=38，求x的值．〖参考答案〗解：（1）∵2×8x×16x=21+3x+4x=222，∴1+3x+4x=22，解得，x=3（2）∵（27﹣x）2=3﹣6x=38，∴﹣6x=8，解得x=﹣【例题2】设m=2100，n=375，为了比较m与n的大小。
小明想到了如下方法：()2541002m25=2==，即25个16相乘的积；n=375=（33）25=2725，即25个27相乘的16积，显然m＜n，现在设x=430，y=340，请你用小明的方法比较x与y的大小。
〖选题意图〗本题考查了幂的乘方的性质的运用，确定指数是关键，两个底数不同，指数相同的数比较大小，底数大的值比底数小的值要大．〖解题思路〗根据题意先把x、y分别写成（43）10、（34）10，然后比较底数的大小即可．〖参考答案〗解：由阅读材料知：x=（43）10=6410，y=（34）10=8110，又∵64＜81，∴x＜y．故答案为x＜y．【课堂训练题】1．若，求x3m+3n的值〖参考答案〗解：x3m+3n=x3m•x3n=（x m）3•（x n）3=（）3×33=．2．比较下列一组数的大小．8131，2741，961〖参考答案〗解：∵8131=（34）31=3124；2741=（33）41=3123；961=（32）61=3122；∴8131＞2741＞961．【例题3】已知（x+a）（x2﹣x+c）的积中不含x2项和x项，求（x+a）（x2﹣x+c）的值是多少？〖选题意图〗本题考查了多项式乘以多项式，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．要灵活掌握立方和公式．〖解题思路〗先根据多项式乘多项式的法则计算，再让x2项和x项的系数为0，求得a，c 的值，代入求解．〖参考答案〗解：∵（x+a）（x2﹣x+c），=x3﹣x2+cx+ax2﹣ax+ac，=x3+（a﹣1）x2+（c﹣a）x+ac，又∵积中不含x2项和x项，∴a﹣1=0，c﹣a=0，解得a=1，c=1．又∵a=c=1．∴（x+a）（x2﹣x+c）=x3+1．【课堂训练题】1．若x3﹣6x2+11x﹣6=（x﹣1）（x2+mx+n），求：（1）m、n的值；（2）m+n的平方根；（3）2m+3n的立方根．〖参考答案〗解：（1）∵（x﹣1）（x2+mx+n）=x3+（m﹣1）x2+（n﹣m）x﹣n=x3﹣6x2+11x﹣6∴m﹣1=﹣6，﹣n=﹣6，解得m=﹣5，n=6；（2）当m=﹣5，n=6时，m+n=﹣5+6=1，1的平方根为±1；即m+n的平方根为±1（3）当m=﹣5，n=6时，2m+3n=﹣10+18=8，8的立方根为2．2．已知a，b，k均为整数，则满足等式（x+a）（x+b）=x2+kx+30的所有的k值有个．〖参考答案〗解：∵（x+a）（x+b）=x2+kx+30，∴x2+（a+b）x+ab=x2+kx+30，∴a+b=k，ab=30，∵a，b，k均为整数，∴a=±1，b=±30，k=±31；a=±2，b=±15，k=±17；a=±3，b=±10，k=±13；a=±5，b=±6，k=±11；故k的值共有8个，故答案为8．【例题4】老师在黑板上写出三个算式：52﹣32=8×2，92﹣72=8×4，152﹣32=8×27，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：112﹣52=8×12，152﹣72=8×22，…（1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；（2）用文字写出反映上述算式的规律；（3）证明这个规律的正确性．〖选题意图〗本题为规律探究题，考查学生探求规律解决问题的思维能力．〖解题思路〗通过观察可知，等式左边一直是两个奇数的平方差，右边总是8乘以一个数．根据平方差公式，把等式左边进行计算，即可得出结论：任意两个奇数的平方差等于8的倍数．〖参考答案〗解：（1）112﹣92=8×5，132﹣112=8×6．（2）规律：任意两个奇数的平方差等于8的倍数．（3）证明：设m，n为整数，两个奇数可表示2m+1和2n+1，则（2m+1）2﹣（2n+1）2=4（m﹣n）（m+n+1）．当m，n同是奇数或偶数时，m﹣n一定为偶数，所以4（m﹣n）一定是8的倍数．当m，n﹣奇﹣偶时，则m+n+1一定为偶数，所以4（m+n+1）一定是8的倍数所以，任意两奇数的平方差是8的倍数．【课堂训练题】1．计算：〖参考答案〗解：由题意可设字母n=12346，那么12345=n﹣1，12347=n+1，于是分母变为n2﹣（n﹣1）（n+1）．应用平方差公式化简得n2﹣（n2﹣12）=n2﹣n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24690．2．若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么这个正整数为“神秘数”．如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20这三个数都是神秘数（1）28和76是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k （k 为非负整数），由这两个连续偶数构成的神秘数是4的倍数吗？为什么？〖参考答案〗解：（1）是，∵28=82﹣62，76=202﹣182． （2）是，∵（2k+2）2﹣（2k ）2=4k+4=4（k+1）， ∴由这两个连续偶数构成的神秘数是4的倍数．【例题5】已知a=2002，b=2003，c=2004，求a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣ac ﹣bc 的值． 〖选题意图〗本题考查了完全平方式，对原式扩大2倍或 提取21求解是解答本题的关键，也渗透了分组和配方法的思想．〖解题思路〗题中出现两个数的平方和及两个数积时，考虑把它们组合整理为完全平方的形式，以简便运算．〖参考答案〗解：∵2（a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣ac ﹣bc ），=a 2+b 2﹣2ab+a 2+c 2﹣2ac+b 2+c 2﹣2bc=（a ﹣b ）2+（a ﹣c ）2+（b ﹣c ）2， =（2002﹣2003）2+（2002﹣2004）2+（2003﹣2004）2=1+4+1=6， ∴a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣ac ﹣bc=3． 【课堂训练题】1．一个单项式加上多项式9（x ﹣1）2﹣2x ﹣5后等于一个整式的平方，试求所有这样的单项式．〖参考答案〗 解：∵9（x ﹣1）2﹣2x ﹣5=9x 2﹣20x+4，又∵一个单项式加上9（x ﹣1）2﹣2x ﹣5后等于一个整式的平方， ∴此单项式可能是常数项，可能是一次项，可能是二次项， ①∵9x 2﹣20x+4+=（3x ﹣）2，故此单项式是；②∵9x 2﹣20x+4+8x=（3x ﹣2）2，故此单项式是8x ； ∵9x 2﹣20x+4+32x=（3x+2）2，故此单项式是32x ； ③∵9x 2﹣20x+4+16x 2=（5x ﹣2）2，故此单项式是16x 2； 故答案是、8x 、32x 、16x 2．2．试说明：（a 2+3a ）（a 2+3a+2）+1是一个完全平方式．〖参考答案〗证明：（a2+3a）（a2+3a+2）+1，=（a2+3a）2+2（a2+3a）+1=（a2+3a+1）2，∴（a2+3a）（a2+3a+2）+1是一个完全平方式．【例题6】已知多项式6a2+mab﹣ab﹣10b2除以3a﹣2b，得商为2a+5b，求m的值．〖选题意图〗本题主要考查了整式的乘法和除法互为逆运算，根据对应项的系数相同列出等式是解题的关键．〖解题思路〗根据整式的乘法和除法是互逆运算，把（3a﹣2b）（2a+5b）展开再利用对应项系数相等即可求解．〖参考答案〗解：∵（3a﹣2b）（2a+5b）=6a2+11ab﹣10b2，∴mab﹣ab=11ab，∴m﹣1=11，解得m=12．故m的值为12．【课堂训练题】1．是否存在常数p、q使得x4+px2+q能被x2+2x+5整除？如果存在，求出p、q的值，否则请说明理由．〖参考答案〗解：假设存在，则说明x4+px2+q能被x2+2x+5整除，可设另一个因式是x2+mx+n，∴（x2+2x+5）（x2+mx+n）=x4+px2+q，即有x4+（m+2）x3+（n+2m+5）x2+（2n+5m）x+5n=x4+px2+q，∴且解上面的方程组，得，∴存在常数p、q使得x4+px2+q能被x2+2x+5整除．故所求p=6，q=25．2．阅读下面一段话，解决后面的问题．观察下面一列数：1，2，4，8，…，我们发现，这一列数从第二项起，每一项与它前一项的比都等于2．一般地，如果一列数从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这一列数就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的比．（1）等比数列5，﹣15，45，…的第四项是．（2）如果一列数a1，a2，a3，a4，…是等比数列，且公比为q，那么根据上述的规定，有=，…所以a2=a1q，a3=a2q=（a1q）q=a1q2，a4=a3q=（a1q2）q=a1q3，…，a n=（用含a1与q的代数式表示）．（3）一个等比数列的第二项是10，第三项是20，则它的第一项是，第四项是．〖参考答案〗解：（1）∵﹣15÷5=﹣3，45÷（﹣15）=﹣3，∴第四项为45×（﹣3）=﹣135．（2）通过观察发现，第n项是首项a1乘以公比q的（n﹣1）次方，即：a n=a1q n﹣1．（3）∵公比等于20÷10=2，∴第一项等于：10÷2=5，第四项等于20×2=40．a n=a1q n﹣1．第三部分课后自我检测试卷A类试题：1．5x3y2与一个多项式的积为20x5y2﹣15x3y4+70（x2y3）2，则这个多项式为（）A．4x2﹣3y2B．4x2y﹣3xy2C．4x2﹣3y2+14xy4D．4x2﹣3y2+7xy32．如果一个多项式与（2x﹣3）的积是4x2﹣12x+9，那么这个多项式是（）A．4x2+9 B．8x2﹣27 C．2x﹣3 D．2x+33．小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以（x﹣2y）错抄成除以（x﹣2y），结果得到（3x﹣y），则第一个多项式是多少？4．已知272=a6=9b，求2a2+2ab的值．5．（1）计算（x+1）（x+2）=，（x﹣1）（x﹣2）=，（x﹣1）（x+2）=，（x+1）（x﹣2）=．（2）你发现（1）小题有何特征，会用公式表示出来吗？（3）已知a、b、m均为整数，且（x+a）（x+b）=x2+mx+12，则m的可能取值有多少个？6．计算：（1）898×902；（2）303×297；（3）9.9×10.1；（4）30.8×29.2．7．计算（1）；（2）（x m﹣y n）（x m+y n）；（3）；（4）（x+y+z）2．8．计算：（1）（2）（﹣4x﹣3y2）（3y2﹣4x）9．利用乘法公式计算：（1）（2x﹣3y）2﹣（y+3x）（3x﹣y）；（2）（x+y）（x2+y2）（x﹣y）（x4+y4）；（3）（a﹣2b+3）（a+2b﹣3）；（4）[（x﹣y）2+（x+y）2]（x2﹣y2）；（5）（m﹣n﹣3）2．10．已知多项式2x3﹣4x2﹣1除以一个多项式A，得商式为2x，余式为x﹣1，求这个多项式．B类试题：11．阅读下列解答过程，并回答问题．在（x2+ax+b）（2x2﹣3x﹣1）的积中，x3项的系数为﹣5，x2项的系数为﹣6，求a，b的值．解：（x2+ax+b）•（2x2﹣3x﹣1）=2x4﹣3x3+2ax3+3ax2﹣3bx=①2x4﹣（3﹣2a）x3﹣（3a﹣2b）x2﹣3bx ②根据对应项系数相等，有，解得回答：（1）上述解答过程是否正确？．（2）若不正确，从第 步开始出现错误，其他步骤是否还有错误？ ． （3）写出正确的解答过程．12．已知多项式x 2﹣mx ﹣n 与x ﹣2的乘积中不含x 2项和x 项，求这两个多项式的乘积．13．已知6x 2﹣7xy ﹣3y 2+14x+y+a=（2x ﹣3y+b ）（3x+y+c ），试确定a 、b 、c 的值．14．填空（x ﹣y ）（x 2+xy+y 2）= ；（x ﹣y ）（x 3+x 2y+xy 2+y 3）= 根据以上等式进行猜想，当n 是偶数时，可得：（x ﹣y ）（x n+x n ﹣1y+yn ﹣2y 2+…+x 2yn ﹣2+xyn ﹣1+y n）= ．15．（1）若（2x ﹣1）5=a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x+a 0，求a 4+a 2+a 0的值． （2）已知a ，b ，c 为实数，且4122411-++-=--++b a c b a ，求：a+2b ﹣3c的值．16．已知x+=3，求的值；17.求值：（2+1）•（22+1）•（24+1）•（28+1）•（216+1）﹣232．18．两个连续偶数的平方差能被4整除吗？为什么？19.用乘法公式计算：①20022﹣2001×2003；②（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）20．阅读下列材料：一个自然数a恰好等于另一个自然数b的平方，则称自然数a为完全平方数．已知a=20042+20042×20052+20052，试说明a是一个完全平方数．C类试题：21．小明是一位刻苦学习，勤于思考的同学，一天，他在解方程时突然产生了这样的想法，x2=﹣1，这个方程在实数范围内无解，如果存在一个数i2=﹣1，那么方程x2=﹣1可以变成x2=i2，则x=±i，从而x=±i是方程x2=﹣1的两个解，小明还发现i具有以下性质：i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=﹣i；i4=（i2）2=（﹣1）2=1，i5=i4•i=i，i6=（i2）3=（﹣1）3=﹣1，i7=i6•i=﹣i，i8=（i4）2=1，…请你观察上述等式，根据你发现的规律填空：i4n+1=，i4n+2=，i4n+3=（n 为自然数）．22．如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形，通过计算这两个图形阴影部分的面积，可验证公式为？23．已知：a2﹣b2=（a﹣b）（a+b）；a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）；a4﹣b4=（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）；按此规律，则：（1）a5﹣b5=（a﹣b）（）；（2）若a﹣=2，你能根据上述规律求出代数式a3﹣的值吗？24．观察下列各式：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）=x5﹣1①你能否由此归纳出一般性规律：（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+x n﹣3+…+x2+x+1）=；②根据①求出：1+2+22+…+262+263的结果．25．（2011湖南益阳，16）观察下列算式：① 1 × 3 - 22 = 3 - 4 = -1② 2 × 4 - 32 = 8 - 9 = -1③ 3 × 5 - 42 = 15 - 16 = -1④……（1）请你按以上规律写出第4个算式；（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．26．图①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为；（2）观察图②，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是；（3）若x+y=﹣6，xy=2.75，则x﹣y=；（4）观察图③，你能得到怎样的代数恒等式呢？（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．27．（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示．用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；②我们知道：同一个长方形的面积是确定的数值．由此，你可以得出的一个等式为：．（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示．请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图并说明推出的过程．28．如图，四边形ABCD是校园内一块边长为a+b的正方形土地（其中a＞b）示意图，现准备在这块正方形土地的正中修建一个边长为a﹣b的小正方形花坛，其余的部分为空地留作道路．（1）画出花坛的示意图，并写出图中各部分面积的表达式；（2）用等式表示大，小正方形及空地的面积关系，（a﹣b）2=．29．计算多项式ax3+bx2+cx+d的值时有以下3种算法，分别统计3种算法中的乘法次数．①直接计算：ax3+bx2+cx+d时共有3+2+l=6（次）乘法；②利用已有幂运算结果：x3=x2•x，计算ax3+bx2+cx+d时共有2+2+1=5（次）乘法；③逐项迭代：ax3+bx2+cx+d=[（ax+b）x+c]x+d，其中等式右端运算中含有3次乘法．请问：（1）分别使用以上3种算法，统计算式a0x10+a1x9+a2x8+…+a9x+a10中乘法的次数，并比较3种算法的优劣．（2）对n次多项式a0x n+a1x n﹣1+a2x n﹣2+…+a n﹣1x+a n（其中a0，a1，a2，…，a n为系数，n＞1），分别使用以上3种算法统计其中乘法的次数，并比较3种算法的优劣．30．（神奇的数学游戏）根据下面的游戏向导来试着玩这个游戏．写出一个你喜欢的数，把这个数加上2，把结果乘以5，再减去10，再除以5，结果你会重新得到原来的数．（1）假设一开始写出的数为n，根据这个游戏的每一步，列出最后的表达式；（2）将（1）中得到的表达式进行化简．用你的结果来证实：为什么游戏对任意数都成立；（3）自己编写一个数学游戏，并写出指导步骤（试着使你编出的游戏让人感到惊奇，且并不是显而易见的）．课后自我检测试卷参考答案A类试题：1．解：依题意得[20x5y2﹣15x3y4+70（x2y3）2]÷5x3y2=4x2﹣3y2+14xy4．故选C．2．解：（4x2﹣12x+9）÷（2x﹣3）=（2x﹣3）2÷（2x﹣3）=2x﹣3，故选C．3．解：（3x﹣y）（x﹣2y）=3x2﹣6xy﹣xy+2y2=3x2﹣7xy+2y2．4．解：由272=a6，得36=a6，∴a=±3；由272=9b，得36=32b，∴2b=6，解得b=3；（1）当a=3，b=3时，2a2+2ab=2×32+2×3×3=36．（2）当a=﹣3，b=3时，2a2+2ab=2×（﹣3）2+2×（﹣3）×3=18﹣18=0．所以2a2+2ab的值为36或0．5．解：（1）（x+1）（x+2）=x2+3x+2，（x﹣1）（x﹣2）=x2﹣3x+2，（x﹣1）（x+2）=x2+x﹣2，（x+1）（x﹣2）=x2﹣x﹣2；（2）可以发现题（1）中，左右两边式子符合（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq结构．（3）因为12可以分解以下6组数，a×b=1×12，2×6，3×4，（﹣1）×（﹣12），（﹣2）×（﹣6），（﹣3）×（﹣4），所以m=a+b应有6个值．6．解：（1）原式=（900﹣2）（900+2）=9002﹣22=810000﹣4=809996；（2）原式=（3003）（300﹣3）=3002﹣32=90000﹣9=89991；（3）原式=（10﹣0.1）（10+0.1）=102﹣0.12=100﹣0.01=99.99；（4）原式=（30+0.8）（30﹣0.8）=302﹣0.82=900﹣0.64=899.36．7．解：（1）原式=（﹣2x2）2﹣（）2=4x4﹣；（2）原式=（x m）2﹣（y n）2=x2m﹣y2n；（3）原式=[（a+b）（a﹣b）]2=（a2﹣b2）2=；（4）（x+y+z）2=（x+y）2+2（x+y）z+z2=x2+2xy+y2+2yz+2xz+z2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz．8．解：（1）原式=（2x2﹣4xy+7y2）=；（2）原式=（﹣4x﹣3y2）（﹣4x+3y2）=（﹣4x）2﹣（3y2）2=16x2﹣9y4．9．解：（1）原式=（2x﹣3y）2﹣（9x2﹣y2）=（4x2+9y2﹣12xy）﹣9x2+y2=8y2﹣12xy﹣5x2；（2）原式=（x+y）（x2+y2）（x﹣y）（x4+y4），=（x2﹣y2）（x2+y2）（x4+y4）=（x4﹣y4）（x4+y4）=x8﹣y8；（3）原式=[a﹣（2b﹣3）][a+（2b﹣3）]=a2﹣（2b﹣3）2=a2﹣4b2﹣9+12b；（4）原式=[（x﹣y）2+（x+y）2]（x2﹣y2），=（x2﹣2xy+y2+x2+y2+2xy）（x2﹣y2）=2（x2+y2）（x2﹣y2）=2（x4﹣y4）=2x4﹣2y4；（5）原式=（m﹣n﹣3）（m﹣n﹣3），=m2﹣mn﹣3m﹣mn+n2+3n﹣3m+3n+9，=n2+m2﹣2mn﹣6m+6n+9．10．解：A=[（2x3﹣4x2﹣1）﹣（x﹣1）]÷（2x），=（2x3﹣4x2﹣x）÷（2x）=x2﹣2x﹣．B类试题：11．解：（1）不正确，（2）第①步出现错误，第②③步还有错误；（3）（x2+ax+b）（2x2﹣3x﹣1）的展开式中含x3的项有：﹣3x3+2ax3=（2a﹣3）x3，含x2的项有：x2+2bx2﹣3ax2=（﹣3a+2b﹣1）x2．又∵x3项的系数为﹣5，x2项的系数为﹣6，∴有，解得．故应填：（1）不正确；（2）①，第②③步还有错误．12．解：（x﹣2）（x2﹣mx﹣n），=x3﹣mx2﹣nx﹣2x2+2mx+2n，=x3﹣（m+2）x2+（2m﹣n）x+2n，∵不含x2项和x项，∴﹣（m+2）=0，2m﹣n=0，解得m=﹣2，n=﹣4，∴乘积为x3﹣8．13．解：∵（2x﹣3y+b）（3x+y+c）=6x2﹣7xy﹣3y2+（2c+3b）x+（b﹣3c）y+bc∴6x2﹣7xy﹣3y2+（2c+3b）x+（b﹣3c）y+bc=6x2﹣7xy﹣3y2+14x+y+a∴2c+3b=14，b﹣3c=1，a=bc联立以上三式可得：a=4，b=4，c=1故a=4，b=4，c=1．14．解：原式=x3+x2y+xy2﹣x2y﹣xy2﹣y3=x3﹣y3；故答案为：x3﹣y3；原式=x4+x3y+x2y2+xy3﹣x3y﹣x2y2﹣xy3﹣y4=x4﹣y4；故答案为：x4﹣y4；当n是偶数时，原式=x n+1+x n y+xy n﹣2+x2y n﹣1+xy n﹣x n y﹣x n﹣1y2﹣y n﹣1y2﹣…﹣x2y n﹣1﹣xy n﹣y n+1=x n﹣y n，故答案为：x n﹣y n．15．解：（1）∵（2x﹣1）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，令x=1，则1=a5+a4+a3+a2+a1+a0①，令x=﹣1，则﹣243=﹣a5+a4﹣a3+a2﹣a1+a0②，①+②得﹣242=2（a4+a2+a0），∴a4+a2+a0=﹣121；（2）∵a+b+|﹣1|=4+2﹣4，∴a﹣2+b+1+|﹣1|+1=4+2﹣4，∴（a﹣2）﹣4+4+（b+1）﹣2+1+|﹣1=0，∴++|﹣1|=0，∵、、|﹣1|都是非负数，∴=0，=0，|﹣1|=0，∴a=6，b=0，c=2，∴a+2b﹣3c=6+2×0-3×2=016．解：（1）∵x+=3，∴=x2+3+=（x+）2+1，=32+1=10，∴=；17．解：（2+1）•（22+1）•（24+1）•（28+1）•（216+1）﹣232，=（2﹣1）•（2+1）•（22+1）•（24+1）•（28+1）•（216+1）﹣232，=（232﹣1）﹣232，=﹣1．18．解：设两个连续偶数为2n，2n+2，则有（2n+2）2﹣（2n）2，=（2n+2+2n）（2n+2﹣2n），=（4n+2）×2，=4（2n+1），因为n为整数，所以4（2n+1）中的2n+1也是正整数，所以4（2n+1）是4的倍数．19．解：①20022﹣2001×2003，=20022﹣（2002﹣1）（2002+1），=20022﹣20022+1，=1；②（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1），=（2﹣1）（2+1）（22+1）…（2n+1），=（22﹣1）（22+1）…（22n+1），…=24n﹣1．20．解：设x=2004，则2005=2004+1=x+1，故有：a=x2+x2（x+1）2+（x+1）2，=x2﹣2x（x+1）+（x+1）2+2x（x+1）+x2（x+1）2，=[x﹣（x+1）]2+2x（x+1）+x2（x+1）2，=1+2x（x+1）+x2（x+1）2，=[1+x（x+1）]2，=[1+x+x2]2，=（1+2004+20042）2，=40180212．∴a是一个完全平方数．C类试题：21．解：∵i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=﹣i；i4=（i2）2=（﹣1）2=1，从n=1开始，4个一次循环．∴i4n+1=i，i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i（n为自然数），故答案为：i，﹣1，﹣i．22．解：在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，剩余面积为a•a﹣b•b=a2﹣b2图中梯形的上底为2b，下底为2a，高为a﹣b，∴梯形的面积为=（a+b）（a﹣b），∴可验证的公式为a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．23．解：（1）a4+a3b+a2b2+ab3+b4；（2）a3﹣=（a﹣）（a2+1+），=（a ﹣）（a 2﹣2++3），=（a ﹣）[（a ﹣）2+3]，=2×（4+3），=2×7，=14．24．解：①（x ﹣1）（xn ﹣1+x n ﹣2+x n ﹣3+…+x 2+x+1）=x n ﹣1； ②原式=（2﹣1）（263+262++22+2+1）=264﹣1．25．解：⑴246524251⨯-=-=-；⑵答案不唯一.如()()2211n n n +-+=-；⑶()()221n n n +-+ ()22221n n n n =+-++22221n n n n =+--- 1=-.26．解：（1）（m ﹣n ）2（2）（m ﹣n ）2+4mn=（m+n ）2（3）±5（4）（m+n ）（2m+n ）=2m 2+3mn+n 2（5）答案不唯一：例如：27．解：（1）①长方形的面积=（a+1）×（a+1）=（a+1）2或a 2+2a+1，②（a+1）2=a 2+2a+1；（2）如下图，把该长方形视为一个边长为a+b的正方形时，其面积为（a+b）2；该长方形可视为四个长方形的拼图．四个长方形指两个边长分别为a和b的正方形，以及两个相同的小长方形（长和宽分别为a和b）．此时，其面积为a2+2ab+b2，由此，可推导出（a+b）2=a2+2ab+b2．28．解：（1）如图：正中小正方形的面积是（a﹣b）2，留作道路的空地的面积是4ab，原正方形土地的面积是（a+b）2；（2）（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab．29．解：（1）根据已知中3种运算方法直接算出即可：3种运算法的次数分别为：①10+9+8+…+2+1=55次；②2×9+1=19次；③10次．（2）乘法次数分别是：①n+（n﹣1）+…+3+2+1=（次）；②2（n﹣1）+1=2n﹣1（次）；③n次．∴①直接计算法可以得出所有项的总次数；②利用已有幂运算结果法只是最高幂的运算；③逐项迭代法只能得出最高次数．30．解：（1）；（2）==n，因为化简结果为n，所以游戏对任意数都成立；（3）答案不唯一，比如：按下图计算：，结果为1．原因：（x2+x）÷x﹣x=x+1﹣x=1．。