整式及乘法公式

第一讲 整式及乘法公式

第一部分 知识梳理

一、基本概念

1．同底数幂乘法法则

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即n m n m a a a +=⋅（m 、n 都是正整数） 2．幂的乘方法则

幂的乘方，底数不变，指数相乘。即()

mn n

m a a =（m 、n 都是正整数）

3．积的乘方

积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即()n

n n

b a ab = （n

为整数）

二、平方差公式及完全平方公式

（1）平方差公式：（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2；

（2）完全平方公式：（a+b ）2=a 2+2ab+b 2;（a-b ）2=a 2-2ab+b 2，其中a 、b 可以是正数，也可以是负数，既可以是单项式，也可以是多项式。

三、整式的乘法

1．单项式相乘，把它们的________分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则

________．

2．单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘________，再把所得的积________． 3．多项式与多项式相乘，先用________乘以________，再把所得的积________．

第二部分 例题与解题思路方法归纳

【例题1】 阅读下列材料：

一般地，n 个相同的因数a 相乘

个

n a a a ⋯⋅记为a n ．如2×2×2=23

=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log 28（即log 28=3）．一般地，若a n

=b （a ＞0且a ≠1，b ＞0），则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b （即log a b=n ）．如34

=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log 381（即log 381=4）．

（1）计算以下各对数的值：

log24=，log216=，log264=．

（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；

（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？

log a M+log a N=；（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）

（4）根据幂的运算法则：a n•a m=a n+m以及对数的含义证明上述结论．

〖选题意图〗本题是开放性的题目，难度较大．借考查对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．

〖解题思路〗首先认真阅读题目，准确理解对数的定义，把握好对数与指数的关系．

（1）根据对数的定义求解；

（2）认真观察，不难找到规律：4×16=64，log24+log216=log264；

（3）有特殊到一般，得出结论：log a M+log a N=log a（MN）；

（4）首先可设log a M=b1，log a N=b2，再根据幂的运算法则：a n•a m=a n+m以及对数的含义证明结论．

〖参考答案〗解：（1）log24=2，log216=4，log264=6；

（2）4×16=64，log24+log216=log264；

（3）log a M+log a N=log a（MN）；

（4）证明：设log a M=b1，log a N=b2，

则=M，=N，

∴MN=，

∴b1+b2=log a（MN）即log a M+log a N=log a（MN）．

【课堂训练题】

1．已知2a•5b=2c•5d=10，求证：（a﹣1）（d﹣1）=（b﹣1）（c﹣1）．

〖参考答案〗证明：∵2a•5b=10=2×5，

∴2a﹣1•5b﹣1=1，

∴（2a﹣1•5b﹣1）d﹣1=1d﹣1，①

同理可证：（2c﹣1•5d﹣1）b﹣1=1b﹣1，②

由①②两式得2（a﹣1）（d﹣1）•5（b﹣1）（d﹣1）=2（c﹣1）（b﹣1）•5（d﹣1）（b﹣1），

即2（a﹣1）（d﹣1）=2（c﹣1）（b﹣1），

∴（a﹣1）（d﹣1）=（b﹣1）（c﹣1）．

2．若a m=a n（a＞0且a≠1，m，n是正整数），则m=n．

你能利用上面的结论解决下面的2个问题吗？试试看，相信你一定行！

①如果2×8x×16x=222，求x的值；

②如果（27﹣x）2=38，求x的值．

〖参考答案〗解：（1）∵2×8x×16x=21+3x+4x=222，∴1+3x+4x=22，解得，x=3

（2）∵（27﹣x）2=3﹣6x=38，∴﹣6x=8，解得x=﹣

【例题2】设m=2100，n=375，为了比较m与n的大小。小明想到了如下方法：()254

1002

m25

=

2=

=，即25个16相乘的积；n=375=（33）25=2725，即25个27相乘的

16

积，显然m＜n，现在设x=430，y=340，请你用小明的方法比较x与y的大小。

〖选题意图〗本题考查了幂的乘方的性质的运用，确定指数是关键，两个底数不同，指数相同的数比较大小，底数大的值比底数小的值要大．

〖解题思路〗根据题意先把x、y分别写成（43）10、（34）10，然后比较底数的大小即可．〖参考答案〗解：由阅读材料知：x=（43）10=6410，y=（34）10=8110，

又∵64＜81，∴x＜y．故答案为x＜y．

【课堂训练题】

1．若，求x3m+3n的值

〖参考答案〗解：x3m+3n=x3m•x3n=（x m）3•（x n）3=（）3×33=．

2．比较下列一组数的大小．8131，2741，961

〖参考答案〗解：∵8131=（34）31=3124；

2741=（33）41=3123；

961=（32）61=3122；

∴8131＞2741＞961．

【例题3】已知（x+a）（x2﹣x+c）的积中不含x2项和x项，求（x+a）（x2﹣x+c）的值是多少？