高等数学课件6-6
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大一高数课件第六章
洛必达法则
当一个函数的导数在某点的极限存在 时，该函数在该点的极限也存在，并 且等于导数在该点的极限。
等价无穷小代换法
在求复杂函数的极限时，可以使用等 价无穷小代换简化函数表达式，从而 更容易地计算极限。
03
知识点二：导数的概念与性质
导数的定义
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化 率的重要工具，是微积分中的基本概 念之一。
导数的计算方法
总结词
求函数的导数有多种方法，包括基本初 等函数的导数公式、链式法则、乘积法 则、商的导数公式等。
VS
详细描述
基本初等函数的导数公式是求导的基础， 包括指数函数、对数函数、幂函数、三角 函数和反三角函数的导数公式。链式法则 用于计算复合函数的导数，公式为 (uv)' = u'v + uv'。乘积法则用于计算两个函 数的乘积的导数，公式为 (uv)' = u'v + uv'。商的导数公式用于计算两个函数的 商的导数，公式为 (u/v)' = (u'v - uv') / v^2。此外，还有幂函数的导数公式、参 数方程表示的函数的导数、隐函数的导数 等计算方法。
02
有界性
如果数列或函数的极限存在，那 么这个数列或函数必定是有界的
。
04
局部有界性
如果函数在某点的极限存在，那 么在该点附近，函数必定有界。
极限的计算方法
直接代入法
对于简单的数列或函数，可以直接代 入自变量趋近的值来计算极限。
分解法
将复杂的数列或函数分解为若干个简 单的数列或函数，然后分别计算极限。
04
知识点三：微积分基本定理
微积分基本定理的表述
高等数学经济类6-6
构造Lagrange函数
L( x, y, ) U ( x, y) (M xPX yPY )
效用函数取得极大值的必要条件为
U x
Ux
PX
0
U x
Ux
PX
0
U
M
xPX
yPY
0
解得 Ux PX 即效用函数取得极大值的必要条件是
U y PY
例3 某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品 的广告.根据统计资料，销售收入R（万元）与电台广 告费用x（万元）及报纸广告费用y（万元）之间的关 系有如下的经验公式：
EPA Q
Q PA
PA Q
0
例如轿车和汽油 ,作为整体变贵了.
需求的(自)价格弹性与需求的交叉价格弹性统称需求 对价格的偏弹性.
需求量Q对收入Y的偏弹性
Q Y EY Q Y Q
称为需求的收入弹性,也称需求对收入的偏弹性. 它的 符号取决于商品的品质: 如果商品G是优等品,即需求 随着收入上升而上升（例如北京烤鸭等美味食品）,则
Q Y EY Q Y Q 0
如果商品G是劣等品,即需求将随着收入上升而下降 （例如麦当劳、肯德基等快餐食品）,则
Q Y EY Q Y Q 0
例1 给定消费者对于市场上某种商品G的需求函数
Q 500 3P 2PA 0.01Y
式子中，P 20, PA 30 , Y 5000. 求: （1）需求的价格弹性； （2）需求的交叉弹性;其他商品是替代性还是互补性？ （3）需求的收入弹性;这种商品G是优等品还是劣等品？
解： 由 S(x, y) 0.005x2 y及约束条件 x 2y 150
得 S 0.005x2 (75 0.5x)
dS 0.005x(150 1.5x) dx
L( x, y, ) U ( x, y) (M xPX yPY )
效用函数取得极大值的必要条件为
U x
Ux
PX
0
U x
Ux
PX
0
U
M
xPX
yPY
0
解得 Ux PX 即效用函数取得极大值的必要条件是
U y PY
例3 某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品 的广告.根据统计资料，销售收入R（万元）与电台广 告费用x（万元）及报纸广告费用y（万元）之间的关 系有如下的经验公式：
EPA Q
Q PA
PA Q
0
例如轿车和汽油 ,作为整体变贵了.
需求的(自)价格弹性与需求的交叉价格弹性统称需求 对价格的偏弹性.
需求量Q对收入Y的偏弹性
Q Y EY Q Y Q
称为需求的收入弹性,也称需求对收入的偏弹性. 它的 符号取决于商品的品质: 如果商品G是优等品,即需求 随着收入上升而上升（例如北京烤鸭等美味食品）,则
Q Y EY Q Y Q 0
如果商品G是劣等品,即需求将随着收入上升而下降 （例如麦当劳、肯德基等快餐食品）,则
Q Y EY Q Y Q 0
例1 给定消费者对于市场上某种商品G的需求函数
Q 500 3P 2PA 0.01Y
式子中，P 20, PA 30 , Y 5000. 求: （1）需求的价格弹性； （2）需求的交叉弹性;其他商品是替代性还是互补性？ （3）需求的收入弹性;这种商品G是优等品还是劣等品？
解： 由 S(x, y) 0.005x2 y及约束条件 x 2y 150
得 S 0.005x2 (75 0.5x)
dS 0.005x(150 1.5x) dx
高等数学上册第六章课件.ppt
(2 , 2)
4
AdA ( y 4 12 y 2 ) d y
2
18
(8 , 4)
x
第二节 定积分在几何中的应用
例
求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解
2π
dAA
ydx 0 a (1 cos t ) a (1 cos t ) d t
a
2
4a
X -型绕x轴旋转所围成的立体的体积：
y 2 ( x)
b
b
Vx π ( x)dx π ( x)dx
a
b
2
2
a
2
1
2
2
y 1 ( x)
π [2 ( x) 1 ( x)]dx
a
a
bx
Y-型绕y轴旋转所围成的立体的体积：
d
Vy π [ g g ]dy
2
5 3 1 π
32π a sin u du 32π a 5π 2 a3
0
6 4 2 2
3
2
6
3
第二节 定积分在几何中的应用
y
x x2 ( y )
2a
绕 y 轴旋转而成的体积为
π
π a 2 (t sin t ) 2 a sin t d t
2π
o
πa
πa
4 2 2
2
所围图形的
(利用对称性)
d
o
2a x
第二节 定积分在几何中的应用
心形线(外摆线的一种)
2
2
2
x y ax a x y
2
即 r a(1 cos )
4
AdA ( y 4 12 y 2 ) d y
2
18
(8 , 4)
x
第二节 定积分在几何中的应用
例
求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解
2π
dAA
ydx 0 a (1 cos t ) a (1 cos t ) d t
a
2
4a
X -型绕x轴旋转所围成的立体的体积：
y 2 ( x)
b
b
Vx π ( x)dx π ( x)dx
a
b
2
2
a
2
1
2
2
y 1 ( x)
π [2 ( x) 1 ( x)]dx
a
a
bx
Y-型绕y轴旋转所围成的立体的体积：
d
Vy π [ g g ]dy
2
5 3 1 π
32π a sin u du 32π a 5π 2 a3
0
6 4 2 2
3
2
6
3
第二节 定积分在几何中的应用
y
x x2 ( y )
2a
绕 y 轴旋转而成的体积为
π
π a 2 (t sin t ) 2 a sin t d t
2π
o
πa
πa
4 2 2
2
所围图形的
(利用对称性)
d
o
2a x
第二节 定积分在几何中的应用
心形线(外摆线的一种)
2
2
2
x y ax a x y
2
即 r a(1 cos )
《高等数学》 课件 高等数学第六章
x 1
y
Ce P(x)d x
Ce
2d x 1
x
C(x
1)2．
设所给微分方程的通解为y C(x) (x 1)2，则y C (x) (x 1)2 2C(x) (x 1， )
把y和y代入原方程得C (x)(x 1)2 2C(x)(x 1) 2 C(x)(x 1)2 (x 1)3， x 1
y
e
P(x)d
x
Q(x)
e
P(x)d
x
d
x
Ce
P(x)d x
（6 17）
上式中右端第二项恰好是方程式（6 11）所对应的齐次方程式（6 12）的通解，
而第一项可看做是通解公式（6 17）中令C 0得到的一个特解．
2 一阶微分方程
高等数学 第六章. 第二节
第 22 页
因此可知，一阶线性非齐次微分方程（6 11）的通解等 于它的一个特解与对应的齐次微分方程（6 12）的通解之和， 即解y y Y，其中y是方程式（6 11）的一个特解，Y 是方 程式（6 12）的通解．
1 微分方程的基本概念
高等数学 第六章
第 11 页
第二节：一阶微分方程
• 可别离变量的微分方程 • 一阶线性微分方程
高等数学 第六章. 第二节
第 12 页
一、可分离变量的微分方程
定义1 形如
d y f (x) g( y)（? 或y f (x) g( y)） dx
的一阶微分方程，称为可分离变量的微分方程．
y C e P(x)d x C e 3x2 d x C e ， x3
即为所求方程的通解．
注：以后为了运算方便起见，可把 ln | y | 写成 ln y．
2 一阶微分方程
y
Ce P(x)d x
Ce
2d x 1
x
C(x
1)2．
设所给微分方程的通解为y C(x) (x 1)2，则y C (x) (x 1)2 2C(x) (x 1， )
把y和y代入原方程得C (x)(x 1)2 2C(x)(x 1) 2 C(x)(x 1)2 (x 1)3， x 1
y
e
P(x)d
x
Q(x)
e
P(x)d
x
d
x
Ce
P(x)d x
（6 17）
上式中右端第二项恰好是方程式（6 11）所对应的齐次方程式（6 12）的通解，
而第一项可看做是通解公式（6 17）中令C 0得到的一个特解．
2 一阶微分方程
高等数学 第六章. 第二节
第 22 页
因此可知，一阶线性非齐次微分方程（6 11）的通解等 于它的一个特解与对应的齐次微分方程（6 12）的通解之和， 即解y y Y，其中y是方程式（6 11）的一个特解，Y 是方 程式（6 12）的通解．
1 微分方程的基本概念
高等数学 第六章
第 11 页
第二节：一阶微分方程
• 可别离变量的微分方程 • 一阶线性微分方程
高等数学 第六章. 第二节
第 12 页
一、可分离变量的微分方程
定义1 形如
d y f (x) g( y)（? 或y f (x) g( y)） dx
的一阶微分方程，称为可分离变量的微分方程．
y C e P(x)d x C e 3x2 d x C e ， x3
即为所求方程的通解．
注：以后为了运算方便起见，可把 ln | y | 写成 ln y．
2 一阶微分方程
高等数学课件详细
分学
多元微积分的应用实例
物理学：描述物理现象，如流体力学、电磁学等 工程学：解决工程问题，如结构分析、控制系统设计等 经济学：分析经济模型，如市场均衡、最优化问题等 计算机科学：用于图像处理、机器学习等领域
无穷级数与常微分
07
方程
无穷级数的概念和性质
性质：收敛性、发散 性、绝对收敛性、条
件收敛性等
数
常微分方程的概念和分类
常微分方程：描述函数在某点或某区 间上的变化规律的方程
一阶常微分方程：只含有一个未知函 数和一个自变量的方程
二阶常微分方程：含有两个未知函数 和两个自变量的方程
高阶常微分方程：含有多个未知函数 和多个自变量的方程
线性常微分方程：未知函数和自变量 之间的关系是线性的方程
非线性常微分方程：未知函数和自变 量之间的关系是非线性的方程
常微分方程的基本解法与实例
基本解法：分离变量法、积分因子法、常数变易法等 实例：求解一阶线性常微分方程、求解二阶线性常微分方程等 应用：在物理、化学、生物等领域有广泛应用 难点：求解高阶常微分方程、求解非线性常微分方程等
微分方程的应用实例
生物：描述生物种群增长、 生态平衡等现象
化学：描述化学反应速率、 物质扩散等现象
06
多元函数微积分
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限：定义、性质、计算方法 多元函数的连续性：定义、性质、判断方法 多元函数的可微性：定义、性质、判断方法 多元函数的可导性：定义、性质、判断方法 多元函数的可积性：定义、性质、判断方法 多元函数的积分：定义、性质、计算方法
偏导数与全微分
性质。
函数连续性的 性质：连续函 数具有局部有 界性、局部保 号性、局部保 序性等性质。
多元微积分的应用实例
物理学：描述物理现象，如流体力学、电磁学等 工程学：解决工程问题，如结构分析、控制系统设计等 经济学：分析经济模型，如市场均衡、最优化问题等 计算机科学：用于图像处理、机器学习等领域
无穷级数与常微分
07
方程
无穷级数的概念和性质
性质：收敛性、发散 性、绝对收敛性、条
件收敛性等
数
常微分方程的概念和分类
常微分方程：描述函数在某点或某区 间上的变化规律的方程
一阶常微分方程：只含有一个未知函 数和一个自变量的方程
二阶常微分方程：含有两个未知函数 和两个自变量的方程
高阶常微分方程：含有多个未知函数 和多个自变量的方程
线性常微分方程：未知函数和自变量 之间的关系是线性的方程
非线性常微分方程：未知函数和自变 量之间的关系是非线性的方程
常微分方程的基本解法与实例
基本解法：分离变量法、积分因子法、常数变易法等 实例：求解一阶线性常微分方程、求解二阶线性常微分方程等 应用：在物理、化学、生物等领域有广泛应用 难点：求解高阶常微分方程、求解非线性常微分方程等
微分方程的应用实例
生物：描述生物种群增长、 生态平衡等现象
化学：描述化学反应速率、 物质扩散等现象
06
多元函数微积分
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限：定义、性质、计算方法 多元函数的连续性：定义、性质、判断方法 多元函数的可微性：定义、性质、判断方法 多元函数的可导性：定义、性质、判断方法 多元函数的可积性：定义、性质、判断方法 多元函数的积分：定义、性质、计算方法
偏导数与全微分
性质。
函数连续性的 性质：连续函 数具有局部有 界性、局部保 号性、局部保 序性等性质。
大学课程《高等数学》PPT课件：6-6 多元函数的极值及其求法
则称函数 z f x, y 在点 x0, y0 处有极大值；
若总有 f x, y f x0, y0 ，则称函数 z f x, y
在点 x0, y0 处有最小值
函数的极大值、极小值统称为极值，使函数取得 极值的点称为极值点.
例1 函数 z xy 在点 0,0处不取得极值， 因为在点 0, 0 处的函数值为零，而在点 0, 0
定理1可描述为有偏导的极值点必为驻点，类似 于一元函数的情形.
由定理1可知，虽然没有完全解决求极值的问题，
但它给出一条找极值点的途径，
即在偏导数存在的前提下只要解方程组
f f
x y
x, x,
y y
0 0
求得解 x1, y1 ， x2, y2 ， ， xn, yn ，
那么极值点必包含在其中.
例4 求函数 f x, y x3 y3 3xy 的极值.
解 为求驻点,解联立方程组
f f
x y
x, x,
y y
3x2 3y2
3y 3x
0 0
得到两个驻点为 0,0，1,1
再求出二阶偏导函数 fxx 6x，fxy 3，f yy 6 y
在 0, 0 点处有：A 0，B 3，C 0
若有，加以判别是否为极值点.
例3 考察 z x2 y2 是否有极值. 解 因为 z x , z y 在 x 0, y 0
x x2 y2 y x2 y2
处偏导数不存在，但是对任意点 x, y 0,0， 均有 f x, y f 0,0 0，所以函数在 0,0 点取得极大值.
从上例可知，在考虑函数的极值问题时，除了考 虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那 么对这些点也应当考虑.
因为 AC B2 9 0，
若总有 f x, y f x0, y0 ，则称函数 z f x, y
在点 x0, y0 处有最小值
函数的极大值、极小值统称为极值，使函数取得 极值的点称为极值点.
例1 函数 z xy 在点 0,0处不取得极值， 因为在点 0, 0 处的函数值为零，而在点 0, 0
定理1可描述为有偏导的极值点必为驻点，类似 于一元函数的情形.
由定理1可知，虽然没有完全解决求极值的问题，
但它给出一条找极值点的途径，
即在偏导数存在的前提下只要解方程组
f f
x y
x, x,
y y
0 0
求得解 x1, y1 ， x2, y2 ， ， xn, yn ，
那么极值点必包含在其中.
例4 求函数 f x, y x3 y3 3xy 的极值.
解 为求驻点,解联立方程组
f f
x y
x, x,
y y
3x2 3y2
3y 3x
0 0
得到两个驻点为 0,0，1,1
再求出二阶偏导函数 fxx 6x，fxy 3，f yy 6 y
在 0, 0 点处有：A 0，B 3，C 0
若有，加以判别是否为极值点.
例3 考察 z x2 y2 是否有极值. 解 因为 z x , z y 在 x 0, y 0
x x2 y2 y x2 y2
处偏导数不存在，但是对任意点 x, y 0,0， 均有 f x, y f 0,0 0，所以函数在 0,0 点取得极大值.
从上例可知，在考虑函数的极值问题时，除了考 虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那 么对这些点也应当考虑.
因为 AC B2 9 0，
中国矿业大学(北京)《高等数学》课件-第6章函数平面及其方程
一、直线方程的定义
方向向量的定义：
如果一非零向量平行
于一条已知直线，这个
向量称为这条直线的方
向向量．
x
z
s
L
M
M0
o
y
二、直线方程的类型
1.空间直线的对称式方程与参数方程
M0( x0 , y0 , z0 ), M( x, y, z),
M L, M0M// s
s {m, n, p},
x
M0M {x x0 , y y0 , z z0 }
的图形
情形5
Ax By 0
特征 平面过 z 轴
左图为
x y 0 5
的图形
情形6
Ax Cz 0
特征 平面过 y 轴
左图为
x z 0 5
的图形
情形7 By Cz 0
特征 平面过 x 轴
左图为
y z 0 5
的图形
情形8 Ax By Cz 0
特征 平面过原点
左图为
2x y z 0 5
z y
1 0 3z 4
. 0
解 在直线上任取一点 ( x0 , y0 , z0 )
取
x0
1
y0 y0
z0 2 0 , 3z0 6 0
解得 y0 0, z0 2
点坐标(1,0,2),
因所求直线与两平面的法向量都垂直
取
s n1 n2 {4,1,3},
对称式方程 x 1 y 0 z 2 , 4 1 3
化简得 14x 9 y z 15 0.
例 2 求过点(1,1,1)，且垂直于平面x y z 7 和
3 x 2 y 12z 5 0的平面方程.
解
n1 {1,1,1},
高等数学6(6)曲面及其方程
用平面 z z1 ( z1 0)去截这曲面, 截痕为圆.
x y 2 pz1 z z1
2 2
当 z1 变动时，这种圆 的中心都在 z 轴上.
22
x y z（ p 与 q 同号） 双曲抛物面 2 p 2q (马鞍面)
特点是: 有两个异号的平方项,另一变量
是一次项, 无常数项. 用截痕法讨论： 设 p 0, q 0 图形如下：
绕y轴旋转一周的 旋转曲面方程为
f ( y,
x z )0
2 2
4
例3 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周 所得旋转曲面称为圆锥面. 两直线的交点称为
圆锥面的顶点, 两直线的夹角 (0
2 圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点O, 旋
) 称为
转轴为z轴, 半顶角为 的圆锥面的方程. 解 yOz面上直线方程为
2
2
y2 x2 z2 绕 y 轴旋转 2 1 2 a c x2 y2 z2 绕 z 轴旋转 2 1 2 a c
x 2 y 2 2 pz
旋 转 椭 球 面
(3) yOz坐标面上的抛物线 y 2 2 pz 绕z轴.
旋转抛物面
9
四、二次曲面
1. 二次曲面的定义
三元二次方程所表示的曲面称为 二次曲面.
2 2 y1 x 2 p z 2q y y 1
它的轴平行于 z 轴
2 y1 顶点 0, y1 , 2q
20
(3) 用坐标面 yOz ( x 0)及平面 x x1 去截这曲面, 截痕为抛物线. 同理当 p 0, q 0 时可类似讨论.
x
7
例4 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求生成 的旋转曲面的方程.
高等数学电子教案：6-6
y lim y0 y1 y2 yn1 ,
n
n
y
lim
n
y0
y1
b
y2 yn1 a
b
a n
x
1
n
lim
b a x0 i1
yi1x
1
n
lim
b a x0 i1
f ( xi1 )x,
y
b
1
a
b
a
f
(
x)dx
几何平均值公式
区间长度
(b a) y (b a) f ( )
例 1 计算纯电阻电路中正弦交流电i Im sint 在
100t
0
)
(安)；
(3)、 1 (秒), 0.0073(秒). 300
三、 I m . 2
2 0
Im2
4
t
sin 2
2
t
2
0
Im . 2
结论：正弦交流电的有效值等于电流的峰值的1
2
函数 f ( x)在[a, b]上的均方根
b
1
a
b
a
f
2(
x )dx .
三、小结
函数的平均值
y 1
b
f ( x)dx;
ba a
函数的有效值 1 b f 2( x)dx. ba a （理解平均功率、电流的有效值等概念）
它在[0,T
]上的平均功率为
1 T
T
0
i
2
(t
)Rdt
,
按定义有 I 2R 1 T i 2(t )Rdt,
T0
I
2
1 T
T
0
i 2(t )dt
高等数学课件详细
导数的应用
第五章
函数的单调性和极值
导数与函数的单调性：导数大于0，函数单调递增；导数小于0，函数单调递减
极值的定义：函数在某点处的导数为0，且该点两侧的导数符号相反，则该点为函数的极 值点
极值的分类：极大值和极小值
极值的求解：通过求导数等于0的点，并判断该点两侧的导数符号，确定极值点
曲线的凹凸性和拐点
质。
定积分的应用： 定积分在物理、 工程、经济等 领域有着广泛 的应用，如计 算物体的质量、 体积、重心等。
定积分的计算 方法：常用的 定积分计算方 法有牛顿-莱布 尼茨公式、积 分表法、数值
积分法等。
定积分的运算和求法
定积分的定义： 对函数在某一区 间上的积分
定积分的性质： 线性性、可加性、 单调性等
导数：函数在某一点的切 线斜率
凹凸性：函数在某点附近 的增减性
拐点：函数在某点附近的 凹凸性发生变化的点
应用：判断函数的单调性、 极值、最值等
洛必达法则和不定积分
洛必达法则：用于求解极限， 包括0/0型和∞/∞型
不定积分：用于求解函数的原 函数，包括基本积分公式和换 元积分法
洛必达法则的应用：求解极限、 求导、求积分等
不定积分的应用：求解函数的 原函数、求导、求积分等
泰勒公式和等价无穷小量代换
等价无穷小量代换：将复杂 函数替换为简单函数，便于 计算和近似
泰勒公式的应用：求极限、 求导数、求积分等
泰勒公式：将函数展开为多 项式形式，便于计算和近似
等价无穷小量代换的应用： 求极限、求导数、求积分等
不定积分与定积分
极限的应用：极限在微积分、函数分析、概率论等领域有着广泛的应用。
极限的运算和求法
极限的定义：函数 在某点或某区间上 的极限值
《高等数学》 简介 ppt课件
通常用字母a, b, c等表示常量, 用字母x, y, z, s, t , u ,v, w等表示变量. 常量可看作变量的一个特殊情况，认为在某一过 程中该变量始终取一个数值。
ppt课件 10
运算性质(character):
5.绝对值(absolute value): a , a 0, a ( a 0) a , a 0.
U
E
( , E) 2
( ,0 )
o
2
t
2E t, 2E U (t ) ( t ), 0,
ppt课件
t [0, ], 2 t ( , ], 2 t ( ,).
23
例 Example 2
1, 0 x 1, 设f ( x ) 2, 1 x 2, 求函数 f ( x 3)的定义域.
称为半开区间 (half-open interval) , 有限区间(finite interval)
[a ,) { x a x } ( , b) { x x b} ( , ) x x R 无限区间(infinite interval)
o
a o
b
x x
区间长度(length of the interval)的定义: 两端点间的距离(distance)(即线段的长度)称
y
y f ( x)
f ( x )
-x o
偶函数
f ( x)
x x
ppt课件
29
设D关于原点对称, 若对于x D, 有
f ( x ) f ( x ), 则称 f ( x ) 为奇函数. (even function)
ppt课件 10
运算性质(character):
5.绝对值(absolute value): a , a 0, a ( a 0) a , a 0.
U
E
( , E) 2
( ,0 )
o
2
t
2E t, 2E U (t ) ( t ), 0,
ppt课件
t [0, ], 2 t ( , ], 2 t ( ,).
23
例 Example 2
1, 0 x 1, 设f ( x ) 2, 1 x 2, 求函数 f ( x 3)的定义域.
称为半开区间 (half-open interval) , 有限区间(finite interval)
[a ,) { x a x } ( , b) { x x b} ( , ) x x R 无限区间(infinite interval)
o
a o
b
x x
区间长度(length of the interval)的定义: 两端点间的距离(distance)(即线段的长度)称
y
y f ( x)
f ( x )
-x o
偶函数
f ( x)
x x
ppt课件
29
设D关于原点对称, 若对于x D, 有
f ( x ) f ( x ), 则称 f ( x ) 为奇函数. (even function)
大一高数课件第六章
1. 利用导数研究函数的单调性；2. 利用定积 分求平面图形的面积。
证明题
1. 证明罗尔定理；2. 证明拉格朗日中值定理 。
答案及解析
答案：$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$
极限题答案及解析
计算题答案及解析
01
03 02
答案及解析
• 解析：根据极限的性质，当$x \to 0$时， $\sin x \approx x$，所以$\lim{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim{x \to 0} \frac{x}{x} = 1$。
参与讨论
积极参与课堂讨论，与同学分享学 习心得和解题经验。
04
02
第六章基本概念
极限的定义与性质
极限的定义
极限是描述函数在某一点的变化趋势的数学工具。对于函数$f(x)$，若在$x to a$的过程中，$f(x)$的值无限接近 于一个确定的常数$L$，则称$L$为函数$f(x)$在$x to a$时的极限。
THANKS
感谢观看
导数的性质
导数具有线性性质、可加性、可乘性、链式法则等性质。这些性质帮助我们更好地理解导数的概念， 并能够进行相关的计算和证明。
积分的定义与性质
积分的定义
积分是计算函数与坐标轴所夹图形的面积的数学工具。对于函数$f(x)$，若函数与坐标 轴所夹图形的面积为$A$，则称$A$为函数$f(x)$在区间[a,b]上的定积分。
积分的性质
积分具有线性性质、可加性、可乘性、积分中值定理等性质。这些性质帮助我们更好地 理解积分的概念，并能够进行相关的计算和证明。
03
第六章定理与公式
极限定理
极限定理
极限定理是微积分学中的基本定理之 一，它描述了函数在某点的极限行为 。根据极限定理，如果一个函数在某 点的极限存在，则该函数在该点附近 的行为可以用其极限值来描述。
证明题
1. 证明罗尔定理；2. 证明拉格朗日中值定理 。
答案及解析
答案：$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$
极限题答案及解析
计算题答案及解析
01
03 02
答案及解析
• 解析：根据极限的性质，当$x \to 0$时， $\sin x \approx x$，所以$\lim{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim{x \to 0} \frac{x}{x} = 1$。
参与讨论
积极参与课堂讨论，与同学分享学 习心得和解题经验。
04
02
第六章基本概念
极限的定义与性质
极限的定义
极限是描述函数在某一点的变化趋势的数学工具。对于函数$f(x)$，若在$x to a$的过程中，$f(x)$的值无限接近 于一个确定的常数$L$，则称$L$为函数$f(x)$在$x to a$时的极限。
THANKS
感谢观看
导数的性质
导数具有线性性质、可加性、可乘性、链式法则等性质。这些性质帮助我们更好地理解导数的概念， 并能够进行相关的计算和证明。
积分的定义与性质
积分的定义
积分是计算函数与坐标轴所夹图形的面积的数学工具。对于函数$f(x)$，若函数与坐标 轴所夹图形的面积为$A$，则称$A$为函数$f(x)$在区间[a,b]上的定积分。
积分的性质
积分具有线性性质、可加性、可乘性、积分中值定理等性质。这些性质帮助我们更好地 理解积分的概念，并能够进行相关的计算和证明。
03
第六章定理与公式
极限定理
极限定理
极限定理是微积分学中的基本定理之 一，它描述了函数在某点的极限行为 。根据极限定理，如果一个函数在某 点的极限存在，则该函数在该点附近 的行为可以用其极限值来描述。
高等数学数学PPT课件精选全文完整版
归转化思想。
做
学生进行练习训练，个人独立思考与分组讨论相结合。
训
学生上黑板演示解题过程，其他学生点评，教师分析总结。
01
课程尚处于建设阶段，教学资源有待于进 一步完善，现有教学资源还没有得到充分 利用。
进一步开拓更多的学习资源，团队教师增 进针对教学方法和教学资源建设与利用方 面的交流。
பைடு நூலகம்
02
教学内容和教学设计在不断变化的社会需 求、学生思想，以及不断产生的新技术面 前有些滞后。
教学问题
转变传统的教学理念和改变旧的教学模式 探索、建立了新的教学模式和教学方法。
教学对象
教学对象为一年级学生，对大学学习环境、学习 方式需要有一定的适应期 。 教师向学生介绍大学学习的特点与方法，帮助学 生尽快度过适应期。
教学特色
通过不同形式的自主学习 、探究活动，让 学生体验
数学发现和创造的历程，发展他们的创 新意识 。
课程内容及授课学时数（1学期，共64课时）
序号 1 2 3 4 5 6
课程内容 第一章 函数的极限与连续 第二章 导数与微分 第三章 导数应用 第四章 不定积分 第五章 定积分 第六章 空间解析几何
授课学时 12 12 6 16 16 2
导向
依据
度
专业
满足 专业培养目
标
必需 够用
理论知识以“必需、够用”为原则,教学内 容体现“专业性”
教学内容的针对性
专业理论知识需求
后续课程学习要求
教学内容的适用性
高等数学基本要求 教学内容的针对性
淡化严格论证 强化数学应用 注重数学软件
符合课程目标
教学内容选择 辅助多媒体教学 自主学习能力
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3
9
原方程通解为
y
C1
cos
x
C2
sin
x
1 3
x
cos
2
x
4 9
sin
2
x.
四、小结
二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤: （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.
(见下表)
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
y C1er1x C2er2x y (C1 C2 x)er2x
y ex (C1 cos x C2 sin x)
f ( x) e x Pm ( x)或
f ( x) e x[Pl ( x)cos x Pn( x)sin x 的二阶常系数非齐次线性微分方程 求特解的方法：待定系数法
3b0 x 2b0 3b1 3 x 1
比较两端 x 的同次幂的系数，得
3b0 2b0
3 3b1
1
由此求得
b0
1, b1
1. 3
于是求得一个特解为 y x 1 3
例7
解 特征方程 r 2 3r 2 0,
特征根 r1 1，r2 2，
对应齐次方程通解 Y c1ex c2e2x ,
1,ex ,2ex ,ex 3都是它的解 .
四、 设圆柱形浮筒,直径为0.5m,铅直放在水中,当稍向
下压后突然放开,浮筒在水中上下振动的周期为2s ,求浮 筒的质量 .
五、 在 R, L,C 含源串联电路中,电动势为E 的电源对 电容器 C 充电.已知 E 20 伏,C 0.2 微法, L 0.1 亨, R 1000 欧,试求合上开关 K 后的电 流 i(t) 及电压 uc (t) .
练习题
一、 求下列微分方程的通解:
1. y 4 y 0；
2.
4
d2 x dt 2
20
dx dt
25
x
0；
3. y 6 y 13y 0.
4. y a2 y ex；
5. y 3 y 2 y 3xex；
6. y 4 y x cos x；
7. y y sin2 x .
二、 下列微分方程满足所给初始条件的特解: 1.4 y 4 y y 0 , y x0 2 , yx0 0； 2. y 4 y 13 y 0 , y x0 0 , yx0 3.
16
4
4. y [2 1 (1 1)x]ex x3 ex x2 ex；
e6 2e
62
5. y 1 sin 2x 1 x(1 sin 2x).
16
8
三、 y y 0. (提示: 1,ex 为两个之比不是常数的解)
四、 M 195kg.
五、 i(t ) 4 102e5103 t sin( 5 103 t()安), uc (t ) 20 20e5103 t[cos(5 103 t ) sin( 5 103 t](伏).
六、( x) 1 (cos x sin x ex ).
2
其中 Rm(1)( x), Rm(2)( x)是m次多项式，m maxl, n
0 i 不是特征根 k 1 i 是特征根.
例8
解 对应齐方通解 Y C1 cos x C2 sin x, 2i 不是特征方程的根,
设 y* (ax b)cos2x (cx d)sin 2x,
代入方程，得
2 2i
2 2i
P( x)e( i ) x P( x)e( i ) x , y1 x kQme( i ) x ,
y2 xkQm (x)e(i )x xk Qm (x)e(i )x .
y xke x[Qmei x Qmei x ] xkex[Rm(1)( x)cosx Rm(2)( x)sinx],
(2) 若是特征方程的单根，
可设 Q( x) xQm ( x),
(3) 若是特征方程的重根，
可设 Q( x) x2Qm ( x),
综上讨论
0 不是根 k 1 是单根,
2 是重根
例6
解 所给方程对应的其次方程为 它的特征方程为
由于 0 不是特征方程的根，所以特解为
y b0 x b1 把它代入所给方程，得
erx 0,
故有
特征方程
特征根
p r1,2
p2 4q ,
2
有两个不相等的实根
特征根为r1 p
p2 4q ,
2
p r2
p2 4q ,
2
两个线性无关的特解
y1 er1x ,
y2 er2x ,
得齐次方程的通解为
有两个相等的实根
特征根为
r1
r2
p 2
,
一特解为 y1 er1x ,
a
2
；
5.
y
C1e x
C2e2 x
e x ( 3 2
x2
3 x )；
6.
y
C1
cos
2
x
C2
sin
2
x
1 3
x
cos
x
2 9
sin
x
；
7.
y
C1e x
C 2e x
1 10
cos
2x
1. 2
二、1.
y
x
e2
(2
x)；
2. y e2x sin 3x.
3. y 1 (11 5e4x ) 5 x ；
代入初始条件 y x0 4 得 C2 2
y 1 2xe2x .
例5 解 特征方程为
解得 故所求通解为 y ex (C1 cos 5x C2 sin 5x).
三、二阶常系数非齐次线性方程解法
二阶常系数非齐次线性方程
对应齐次方程
通解结构 y Y y,
的常见类型 Pm ( x), Pm ( x)ex ,
3. y 4 y 5 , y x0 1 , yx0 0；
4. y 2 y y xex ex, y x1 1 , yx1 1；
5. y 4 y 1 ( x cos 2x), 2
y x0 0 , yx0 0.
三、 求 作 一 个 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 , 使
(3ax 3b 4c)cos 2x (3cx 3d 4a)sin 2x
x cos 2x
比较两端同类项的系数，得
3a 1,
3b 4c 0,
3c 0,
3d 4a 0,
解得 a 1 ，b 0, c 0, d 4 .
3
9
所求非齐方程特解为
y 1 x cos 2x 4 sin 2x,
设另一特解为 y2 u( x)er1x ,
将 y2 ，y2 ，y2 代入原方程并化简，
u
(2r1
p)u
(
r2 1
pr1
q)u
0,
知 u 0,
则 y2 xer1x ,
得齐次方程的通解为
有一对共轭复根
特征根为 r1 i , r2 i ,
y1 e( i ) x , y2 e( i ) x ,
思考题
写出微分方程 y 4 y 4 y 6x2 8e2x 的待定特解的形式.
思考题解答
设 y 4 y 4 y 6x2 的特解为 y1* 设 y 4 y 4 y 8e2x 的特解为 y2* 则所求特解为 y* y1* y2* r 2 4r 4 0 特征根 r1,2 2 y1* Ax2 Bx C y2* Dx2e2x （重根） y* y1* y2* Ax2 Bx C Dx2e2x .
例3 解 特征方程为
解得 故所求通解为
y C1ex C2e3x .
例4 y x0 1, y x0 4的特解
解 特征方程为 解得
故所求通解为 y C1 C2 xe2x .
代入初始条件 y x0 1 得 C1 1
y 1 C2 xe2x .
对上式求导，得
y C2e2x 1 C2 x 2e2x C2 2 2C2 xe2x
六、 设函数 ( x)连续,且满足
( x) ex
x
t(t)dt x
x (t )dt ,
0
0
求 (x).
练习题答案
一、1. y C1 C2e4x；
2.
x
(C1
5t
C2t )e2
；
3. y e3x (C1 cos 2x C2 sin 2x)；
4.
y
C1
cos
ax
C2
sin
ax
1
e
x
第六节 二阶常系数线性 微分方程
一、定义 二、二阶常系数齐次线性微分方程解法 三、二阶常系数非齐次线性微分方程解法 四、小结
一、定义
二阶常系数齐次线性方程的标准形式
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
二、二阶常系数齐次线性方程解法
-----特征方程法
设 y erx , 将其代入上方程, 得
(r 2 pr q)erx 0
2 是单根，
代入方程, 得 2Ax B 2A x
A
1 2
,
B 1
原方程通解为
f ( x) ex[Pl cos x Pn sin x] 利用欧拉公式
e x[Pl
ei x
ei x 2
Pn
ei x
ei x ]
2i
( Pl Pn )e( i )x ( Pl Pn )e( i )x
Pm ( x)ex cos x,
Pm ( x)ex sin x,
难点：如何求特解？ 方法：待定系数法.
1. f ( x) ex Pm ( x) 型
设非齐方程特解为
代入原方程