高等数学课件6-6

3. y 4 y 5 , y x0 1 , yx0 0；
4. y 2 y y xex ex, y x1 1 , yx1 1；
5. y 4 y 1 ( x cos 2x), 2
y x0 0 , yx0 0.
三、 求 作 一 个 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 , 使
(2) 若是特征方程的单根，
可设 Q( x) xQm ( x),
(3) 若是特征方程的重根，
可设 Q( x) x2Qm ( x),
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综上讨论
0 不是根 k 1 是单根,
2 是重根
例6
解 所给方程对应的其次方程为 它的特征方程为
由于 0 不是特征方程的根，所以特解为
y b0 x b1 把它代入所给方程，得
其中 Rm(1)( x), Rm(2)( x)是m次多项式，m maxl, n
0 i 不是特征根 k 1 i 是特征根.
例8
解 对应齐方通解 Y C1 cos x C2 sin x, 2i 不是特征方程的根,
设 y* (ax b)cos2x (cx d)sin 2x,
代入方程，得
3
9
原方程通解为
y
C1
cos
x
C2
sin
x
1 3
x
cos
2
x
4 9
sin
2
x.
四、小结
二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤: （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.
(见下表)
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
(3ax 3b 4c)cos 2x (3cx 3d 4a)sin 2x
x cos 2x
比较两端同类项的系数，得
3a 1,
3b 4c 0,
3c 0,
3d 4a 0,
解得 a 1 ，b 0, c 0, d 4 .
3
9
所求非齐方程特解为
y 1 x cos 2x 4 sin 2x,
设另一特解为 y2 u( x)er1x ,
将 y2 ，y2 ，y2 代入原方程并化简，
u
(2r1
p)u
(
r2 1
pr1
q)u
0,
知 u 0,
则 y2 xer1x ,
得齐次方程的通解为
有一对共轭复根
特征根为 r1 i , r2 i ,
y1 e( i ) x , y2 e( i ) x ,
3b0 x 2b0 3b1 3 x 1
比较两端 x 的同次幂的系数，得
3b0 2b0
3 3b1
1
由此求得
b0
1, b1
1. 3
于是求得一个特解为 y x 1 3
例7
解 特征方程 r 2 3r 2 0,
特征根 r1 1，r2 2，
对应齐次方程通解 Y c1ex c2e2x ,
erx 0,
故有
特征方程
特征根
p r1,2
p2 4q ,
2
有两个不相等的实根
特征根为r1 p
p2 4q ,
2
p r2
p2 4q ,
2
两个线性无关的特解
y1 er1x ,
y2 er2x ,
得齐次方程的通解为
有两个相等的实根
特征根为
r1
r2
p 2
,
一特解为 y1 er1x ,
思考题
写出微分方程 y 4 y 4 y 6x2 8e2x 的待定特解的形式.
思考题解答
设 y 4 y 4 y 6x2 的特解为 y1* 设 y 4 y 4 y 8e2x 的特解为 y2* 则所求特解为 y* y1* y2* r 2 4r 4 0 特征根 r1,2 2 y1* Ax2 Bx C y2* Dx2e2x （重根） y* y1* y2* Ax2 Bx C Dx2e2x .
六、 设函数 ( x)连续,且满足
( x) ex
x
t(t)dt x
x (t )dt ,
0
0
求 (x).
练习题答案
一、1. y C1 C2e4x；
2.
x
(C1
5t
C2t )e2
；
3. y e3x (C1 cos 2x C2 sin 2x)；
4.
y
C1
cos
ax
C2
sin
ax
1
e
x
重新组合
y1
1( 2
y1
y2 )
ex
cos x,
y2
1 2i
( y1
y2 )
ex
sin x,
得齐次方程的通解为
由常系数齐次线性方程的特征方程的根 确定其通解的方法称为特征方程法.
例1
解 特征方程为 解得 故所求通解为 y (C1 C2 x)e2x .
例2 解 特征方程为
解得 故所求通解为
y ex (C1 cos2x C2 sin 2x).
第六节 二阶常系数线性 微分方程
一、定义 二、二阶常系数齐次线性微分方程解法 三、二阶常系数非齐次线性微分方程解法 四、小结
一、定义
二阶常系数齐次线性方程的标准形式
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
二、二阶常系数齐次线性方程解法
-----特征方程法
设 y erx , 将其代入上方程, 得
(r 2 pr q)erx 0
1,ex ,2ex ,ex 3都是它的解 .
四、 设圆柱形浮筒,直径为0.5m,铅直放在水中,当稍向
下压后突然放开,浮筒在水中上下振动的周期为2s ,求浮 筒的质量 .
五、 在 R, L,C 含源串联电路中,电动势为E 的电源对 电容器 C 充电.已知 E 20 伏,C 0.2 微法, L 0.1 亨, R 1000 欧,试求合上开关 K 后的电 流 i(t) 及电压 uc (t) .
a
2
；
5.
y
C1e x
C2e2 x
e x ( 3 2
x2
3 x )；
6.
y
C1
cos
2
x
C2
sin
2
x
1 3
x
cos
x
2 9
sin
x
；
7.
y
C1e x
C 2e x
1 10
cos
2x
1. 2
二、1.
y
x
e2
(2
x)；
2. y e2x sin 3x.
3. y 1 (11 5e4x ) 5 x ；
通解的表达式
y C1er1x C2er2x y (C1 C2 x)er2x
y ex (C1 cos x C2 sin x)
f ( x) e x Pm ( x)或
f ( x) e x[Pl ( x)cos x Pn( x)sin x 的二阶常系数非齐次线性微分方程 求特解的方法：待定系数法
代入初始条件 y x0 4 得 C2 2
y 1 2xe2x .
例5 解 特征方程为
解得 故所求通解为 y ex (C1 cos 5x C2 sin 5x).
三、二阶常系数非齐次线性方程解法
二阶常系数非齐次线性方程
对应齐次方程
通解结构 y Y y,
的常见类型 Pm ( x), Pm ( x)ex ,
2 2i
2 2i
P( x)e( i ) x P( x)e( i ) x , y1 x kQme( i ) x ,
y2 xkQm (x)e(i )x xk Qm (x)e(i )x .
y xke x[Qmei x Qmei x ] xkex[Rm(1)( x)cosx Rm(2)( x)sinx],
2 是单根，
代入方程, 得 2Ax B 2A x
A
1 2
,
B 1
原方程通解为
f ( x) ex[Pl cos x Pn sin x] 利用欧拉公式
e x[Pl
ei x
ei x 2
Pn
ei x
ei x ]
2i
( Pl Pn )e( i )x ( Pl Pn )e( i )x
六、( x) 1 (cos x sin x ex ).
2
例3 解 特征方程为
解得 故所求通解为
y C1ex C2e3x .
例4 y x0 1, y x0 4的特解
解 特征方程为 解得
故所求通解为 y C1 C2 xe2x .
代入初始条件 y x0 1 得 C1 1
y 1 C2 xe2x .
对上式求导，得
y C2e2x 1 C2 x 2e2x C2 2 2C2 xe2x
16
4
4. y [2 1 (1 1)x]ex x3 ex x2 ex；
e6 2e
62
5. y 1 sin 2x 1 x(1 sin 2x).
16
8
三、 y y 0. (提示: 1,ex 为两个之比不是常数的解)
四、 M 195kg.
五、 i(t ) 4 102e5103 t sin( 5 103 t()安), uc (t ) 20 20e5103 t[cos(5 103 t ) sin( 5 103 t](伏).
练习题
一、 求下列微分方程的通解:
1. y 4 y 0；
2.
4
d2 x dt 2
20
dx dt
25
x
0；
3. y 6 y 13y 0.
4. y a2 y ex；
5. y 3 y 2 y 3xex；
6. y 4 y x cos x；
7. y y sin2 x .
二、 下列微分方程满足所给初始条件的特解: 1.4 y 4 y y 0 , y x0 2 , yx0 0； 2. y 4 y 13 y 0 , y x0 0 , yx0 3.
Pm ( x)ex cos x,
Pm ( x)ex sin x,
难点：如何求特解？ 方法：待定系数法.
1. f ( x) ex Pm ( x) 型
设非齐方程特解为
代入原方程
Q( x) (2 p)Q( x) (2 p q)Q( x) Pm ( x)
(1) 若不是特征方程的根，
可设 Q( x) Qm ( x), 其中Qm ( x)是m次多项式函数