2008年中国西部数学奥林匹克解答
08年全国高中数学联赛试题及答案

2008年全国高中数学联赛受中国数学会委托,2008年全国高中数学联赛由重庆市数学会承办。
中国数学会普及工作委员会和重庆市数学会负责命题工作。
2008年全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容,但在方法的要求上有所提高。
主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况,以及综合和灵活运用的能力。
全卷包括6道选择题、6道填空题和3道大题,满分150分。
答卷时间为100分钟。
全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨,在知识方面有所扩展,适当增加一些竞赛教学大纲的内容。
全卷包括3道大题,其中一道平面几何题,试卷满分150分。
答卷时问为120分钟。
一 试一、选择题(每小题6分,共36分)1.函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是 ( )。
(A )0 (B )1 (C )2 (D )32.设[2,4)A =-,2{40}B x x ax =--≤,若B A ⊆,则实数a 的取值范围为( )。
(A )[1,2)- (B )[1,2]- (C )[0,3] (D )[0,3)3.甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为23,乙在每局中获胜的概率为13,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 ( )。
(A )24181 (B )26681 (C )27481(D ) 6702434.若三个棱长均为整数(单位:cm )的正方体的表面积之和为564 cm 2,则这三个正方体的体积之和为 ( )。
(A )764 cm 3或586 cm 3 (B ) 764 cm 3(C )586 cm 3或564 cm 3 (D ) 586 cm 3 5.方程组0,0,0x y z xyz z xy yz xz y ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩的有理数解(,,)x y z 的个数为 ( )。
2008年全国数学奥赛

2008年全国初中数学竞赛试题及参考答案一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分,以下每道小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项,期中有且只有一个选项是正确的,请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)1、已知实数x ,y 满足42423x x-=,423y y +=,则444y x +的值为( )。
A 、7 B 、1132+ C 、7132+ D 、5 [答]A解:因为2x >0,2y ≥0,由已知条件得212444311344x ++⨯⨯+==,2114311322y -++⨯-+==, 所以 444y x +=2222223367y y x x++-=-+=2、把一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次,若两个正面朝上的编号分别为m ,n ,则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是( )。
A 、512B 、49C 、1736D 、12 [答]C解:基本事件总数有6×6=36,即可以得到36个二次函数,由题意知 △=24m n ->0,即24m n通过枚举知,满足条件的m ,n 有17对,故1736p =3、有两个同心圆,大圆周上有4个不同的点,小圆周上有2个不同的点,则这6个点可以确定的不同直线最少有( )。
A 、6条B 、8条C 、10条D 、12条[答]B解:如图,大圆周上有4个不同的点 A 、B 、C 、D ,两两连线可以确定6条不同的直线;小圆周上的两个点E 、F 中,至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与 BD 的交点,则它与A ,B ,C ,D 的连线中,至少有两条不同于A ,B ,C ,D 的两两连线,从而这6个点可以确定的直线不少于8条。
当这6个点如图所示放置时,恰好可以确定8条直线,所以,满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条。
4、已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦,且AB =a <1,以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ,点D 为圆O 上不同于点A 的一点,且DB =AB =a ,DC 的延长线交圆O 于点E ,则AE 的长为( )。
2008全国联赛答案

第一试1、【答】B .解 由题设条件可知2310a a -+=,2310b b -+=,且a b ≠,所以,a b 是一元二次方程2310x x -+=的两根,故3a b +=,1ab =,因此222222222211()23217()1a b a b a b a b a b a b ++--⨯+====. 故选B . 2、【答】D .解 因为AD ,BE ,CF 为三角形ABC 的三条高,易知,,,B C E F 四点共圆,于是△AEF ∽△ABC ,故35AF EF AC BC ==,即3cos 5BAC ∠=,所以4sin 5BAC ∠=. 在Rt △ABE 中,424sin 655BE AB BAC =∠=⨯=. 故选D . 3.【答】C .解 能够组成的两位数有12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54,共20个,其中是3的倍数的数为12,15,21,24,42,45,51,54,共8个.所以所组成的数是3的倍数的概率是82205=. 故选C . 4.【答】B .解 ∵12ABC ∠=︒,BM 为ABC ∠的外角平分线,∴1(18012)842MBC ∠=︒-︒=︒. 又180********BCM ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒,∴180844848BMC ∠=︒-︒-︒=︒,∴BM BC =. 又11(180)(180132)2422ACN ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒, ∴18018012()BNC ABC BCN ACB ACN ∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠+∠168(13224)=︒-︒+︒12ABC =︒=∠,∴CN CB =. 因此,BM BC CN ==.故选B .5.【答】 B .解 容易知道,4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况.设5种商品降价前的价格为a ,过了n 天. n 天后每种商品的价格一定可以表示为98(110%)(120%)()()1010k n k k n k a a --⋅-⋅-=⋅⋅,其中k 为自然数,且0k n ≤≤. 要使r 的值最小,五种商品的价格应该分别为:98()()1010i n i a -⋅⋅,1198()()1010i n i a +--⋅⋅, 2298()()1010i n i a +--⋅⋅,3398()()1010i n i a +--⋅⋅,4498()()1010i n i a +--⋅⋅,其中i 为不超过n 的自然数. 所以r 的最小值为44498()()91010()988()()1010i n i i n ia a +---⋅⋅=⋅⋅. 故选B.6. 【答】D .解 ∵(2008x y -=,∴x y ==y x ==由以上两式可得x y =. 所以2(2008x -=,解得22008x =,所以22222323320073233200720071x y x y x x x x x -+--=-+--=-=. 故选D .1.解 ∵221a a ===-,∴21a a +=, ∴543232323222()2()2a a a a a a a a a a a a a a a a+---++--++=-⋅- 33332221211(1)(11)2(1)1a a a a a a a a a a a--+--===-=-++=-+=-⋅----.2.解 设正方形A B C D 的中心为O ,连AO ,则A O B D ⊥,2A O OB ==,2MO ===,∴MB MO OB =-又135ABM NDA ∠=∠=︒, 13590NAD MAN DAB MAB MAB ∠=∠-∠-∠=︒-︒-∠45=︒-MAB AMB ∠=∠,所以△ADN ∽△MBA ,故AD DNMB BA =,从而1AD DN BA MB =⋅==根据对称性可知,四边形AMCN 的面积115222222MAN S S MN AO ==⨯⨯⨯=⨯⨯+=△. 3.解 根据题意,,m n 是一元二次方程20x a x b ++=的两根,所以m n a +=-,m n b =. ∵1m n +≤,∴1m n m n +≤+≤,1m n m n -≤+≤.∵方程20x ax b ++=的判别式240a b ∆=-≥,∴22()1444a m n b +≤=≤. 22244()()()11b mn m n m n m n ==+--≥+-≥-,故14b ≥-,等号当且仅当12m n =-=时取得; 22244()()1()1b mn m n m n m n ==+--≤--≤,故14b ≤,等号当且仅当12m n ==时取得. 所以14p =,14q =-,于是12p q +=. 4.解 21到23,结果都只各占1个数位,共占133⨯=个数位; 24到29,结果都只各占2个数位,共占2612⨯=个数位;210到231,结果都只各占3个数位,共占32266⨯=个数位;232到299,结果都只各占4个数位,共占468272⨯=个数位;2100到2316,结果都只各占5个数位,共占52171085⨯=个数位;此时还差2008(312662721085)570-++++=个数位.2317到2411,结果都只各占6个数位,共占695570⨯=个数位.所以,排在第2008个位置的数字恰好应该是2411的个位数字,即为1. 第二试 (A )一.(本题满分20分)解 整理不等式(1)并将221a b +=代入,得 2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥ (2)在不等式(2)中,令0x =,得0a ≥;令1x =,得0b ≥.易知10a b ++>,21012(1)a ab +<<++,故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象(抛物线)的开口向上,且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知,不等式(2)对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立,所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤,即14ab ≥.由方程组 221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ (3) 消去b ,得42161610a a -+=,所以224a =或224a =. 又因为0a ≥,所以a =a =, 于是方程组(3)的解为4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以ab 的最小值为14,此时,a b 的值有两组,分别为a b ==和a b == 二.(本题满分25分)解 (1)连,,,OA OB OC AC ,因为O 为圆心,AB BC =,所以△OBA ∽△OBC ,从而OBA OBC ∠=∠.因为,OD AB DB BC ⊥⊥,所以9090DOB OBA OBC DBO ∠=︒-∠=︒-∠=∠,所以DB DO =,因此点O 在圆D 的圆周上.(2)设圆O 的半径为a ,BO 的延长线交AC 于点E ,易知BE AC ⊥.设2AC y =(0)y a <≤,OE x =,AB l =,则222a x y =+,()S y a x =+,22222222()2222()aS l y a x y a ax x a ax a a x y=++=+++=+=+=. 因为22ABC OBA OAB BDO ∠=∠=∠=∠,AB BC =,DB DO =,所以△BDO ∽△ABC ,所以BD BO AB AC =,即2r a l y=,故2al r y =.所以22223222()4422a l a aS S a S r y y y y ==⋅=⋅≥,即2r ≥其中等号当a y =时成立,这时AC 是圆O 的直径.所以圆D 的的半径r 三.(本题满分25分)解 (1)式即2634511()509509a b a b ++=,设634511,509509a b a b m n ++==,则 509650943511m a n a b --== (2) 故351160n m a -+=,又2n m =,所以2351160m m a -+= (3)由(1)式可知,2(2)a b +能被509整除,而509是质数,于是2a b +能被509整除,故m 为整数,即关于m 的一元二次方程(3)有整数根,所以它的判别式251172a ∆=-为完全平方数.不妨设2251172a t ∆=-=(t 为自然数),则2272511(511)(511)a t t t =-=+-.由于511t +和511t -的奇偶性相同,且511511t +≥,所以只可能有以下几种情况: ①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得3621022a +=,没有整数解.②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得1841022a +=,没有整数解.③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得1261022a +=,没有整数解. ④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得6121022a +=,没有整数解.⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得4181022a +=,解得251a =. ⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得2361022a +=,解得493a =,而4931729=⨯不是质数,故舍去. 综合可知251a =. 此时方程(3)的解为3m =或5023m =(舍去).把251a =,3m =代入(2)式,得5093625173b ⨯-⨯==. 第二试 (B )一.(本题满分20分)解 由1,0x y x y +=≥可知01,01x y ≤≤≤≤. 在(1)式中,令0,1x y ==,得0a ≥;令1,0x y ==,得0b ≥.将1y x =-代入(1)式,得22(1)(1)0a x x x bx ---+≥,即2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥ (2)易知10a b ++>,21012(1)a ab +<<++,故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象(抛物线)的开口向上,且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知,不等式(2)对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立,所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤,即14ab ≥. 由方程组 221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ (3) 消去b ,得42161610a a -+=,所以224a =或224a +=,又因为0a ≥,所以4a =或a =. 于是方程组(3)的解为4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以满足条件的,a b 的值有两组,分别为a b ==a b == 第二试 (C )三.(本题满分25分)解 (1)式即266341022511()509509a b c a b c +-+-=,设66341022511,509509a b c a b c m n +-+-==,则 5096509423511m a n a b c ---== (3) 故351160n m a -+=,又2n m =,所以2351160m m a -+= (4)由(1)式可知,2(22)a b c +-能被509整除,而509是质数,于是22a b c +-能被509整除,故m 为整数,即关于m 的一元二次方程(4)有整数根,所以它的判别式251172a ∆=-为完全平方数.不妨设2251172a t ∆=-=(t 为自然数),则2272511(511)(511)a t t t =-=+-.由于511t +和511t -的奇偶性相同,且511511t +≥,所以只可能有以下几种情况:①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得3621022a +=,没有整数解.②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得1841022a +=,没有整数解. ③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得1261022a +=,没有整数解.④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得6121022a +=,没有整数解. ⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得4181022a +=,解得251a =.⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得2361022a +=,解得493a =,而4931729=⨯不是质数,故舍去.综合可知251a =,此时方程(4)的解为3m =或5023m =(舍去). 把251a =,3m =代入(3)式,得50936251273b c ⨯-⨯-==,即27c b =-. 代入(2)式得(27)2b b --=,所以5b =,3c =,因此()251(53)2008a b c +=⨯+=.。
2008年全国初中数学联赛决赛试题(江西卷)详细解题答案

年全国初中数学联赛决赛试题(江西卷)参考答案(2008年4月19日上午9:00—11:30)-、选择题(每小题7分,共42分)1、解:由1114123+=,而1111,236++=故删去11810与后,可使剩下的数之和为1.故选C2、解:=====12.故选A .3、解:555=5×545=5×18125,因125被8除余l,所以18125被8除余l,故知555被8除余5,而在125、375、625、875四数中,只有125被8除余5,故选A4、解:由(1)、(3)得2x y x =−,63x z x =−,故x≠0,代人(2)解得2710x =,所以277y =,z =−54.检验知此组解满足原方程组.于是10X+7y+Z=0.故选D 5、解:图中只有边长为1或2的两种菱形,每个菱形恰有一条与其边长相等的对角线,原正三角形内部每条长为1的线段,恰是一个边长为1的菱形的对角线;这种线段有18条,对应着18个边长为1的菱形;原正三角形的每条中位线恰是一个边长为2的菱形的对角线,三条中位线对应着3个边长为2的菱形;共得21个菱形.故选C6、解:设28abcd =3()xy ,则据末位数字特征得y=2,进而确定xy :因360=216000,370=343000,所以60<xy <70,故只有,xy =62,而262=238328,则ab =38,cd =32,ab +cd =70.故选D二.填空题(每小题7分,共28分)7、解:据条件式9........1xy ++=()令z xy ++=9,即有9-z=xy ,平方得,81-18z+2z =2222(1)(4)2x y x y xy ++++……(2),又由2z =2(=2222(4)(1)2x y y x xy ++++,代入(2)得,81-18z=4,所以7718z =.8、解:l+2+…+61=1891,2008—1891=117,由于形如ab 的页码被当成ba 后,加得的和数将相差9a b −,因为,a b 只能在1,2,…,9中取值,a b −≤8,得9a b −≤72,由于117=72+45=63+54,设弄错的两位数是ab 和cd ,若9a b −=72,9c d −=45,只有ab =19,而cd 可以取l6,27,38,49;这时ab +cd 的最大值是68;若9a b −=63,9c d −=54,则ab 可以取18,29,而cd 可以取17,28,39,ab +cd 的最大值也是68.9、解:如右图,连OA,OB,OC ,线段OA 将阴影的上方部分剖分成两个弓形,将这两个弓形分别按顺时针及反时针绕点O 旋转0120后,阴影部分便合并成△OBC ,它的面积等于△A BC 面积的三分之—,即等于.10、解:6+=3(8+,令8+8−=b,得a+b=16,ab=4,a,b 是方程21640x x −+=的两个根,故得2a =16a -4,2b =16b -4;3a =162a -4a ,32164b b b =−;所以3a +3b =16(2a +2b )-4(a+b)=16(16(a+b)一8)-4(a+b)=252(a+b)-128=3904.∵0<b<1,∴0<3b <1,∴3a 的最大整数值不超过3903.三.解答题(共70分)11、解:当a=0时,方程的有理根为75x =;……5分以下考虑a ≠0的情况,此时原方程为一元二次方程,由判别式2(5)4(7)0,a a a +−+≥即32a +18a-25≤0,得a ≤≤整数a 只能在其中的非零整数1,-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7中取值,……10分由方程得x = (1)当a=1,由(1)得x=2和4;当a=-1时,方程无有理根;当a=-2,由(1)得x=1和-52;当a=-3时,方程无有理根;……15分当a=-4,由(1)得x=-1和34;当a=-5时,方程无有理根;当a=-6,由(1)得x=12和-13;当a=-7时,由(1)得x=37和17−;……20分A P12、证明:EF 截△PMN ,则.. 1..........(1)NK MF PEKM FP EN=……5分BC 截△PAE ,则.. 1...........(2)EB AC PN BA CP NE =,即有2,PN CPNE AC=所以2..............(3)PE CP AC EN AC+=,……10分AD 截△PCF ,则..1,FD CA PMDC AP MF=即22,............(4)PM AP PF AP AC MF AC MF AC−=∴=……15分因AP =AC +CP ,得2CP +AC=2AP -AC ,由(3),(4)得,,........20PE FPEN MF=分—即.1,MF PEFP EN=所以由(1)得NK =KM ,即K 是线段AM 的中点……25分13、解:将这120人分别编号为12120,,....,P P P ,并视为数轴上的120个点,用k A 表示这120人之中未答对第k 题的人所成的组,k A 为该组人数,k=l,2,3,4,5,则1A =24,234537,46,54,85,A A A A ====……5分将以上五个组分别赋予五种颜色,如果某人未做对第k 题,则将表示该人点染第k 色,k=l,2,3,4,5,问题转化为,求出至少染有三色的点最多有几个?由于1A +2345A A A A +++=246,故至少染有三色的点不多于2463=82个,……10分右上图是满足条件的一个最佳染法,即点1285,,....,P P P 这85个点染第五色;点1237,,....,P P P 这37个点染第二色;点383983,,....,P P P 这46个点染第四色;点1224,,....,P P P 这24个点染第一色;点252678,,....,P P P 这54个点染第三色;于是染有三色的点最多有78个.…20分因此染色数不多于两种的点至少有42个,即获奖人数至少有42个人(他们每人至多答错两题,而至少答对三题,例如7980120,,...,P P P 这42个人)……25分陈永华录入cryzcyh@8546543724。
2008IMO

2008年国际数学奥林匹克(第49届IMO )第一天1.已知H 是锐角三角形ABC 的垂心,以边BC 的中点为圆心,过点H 的圆与直线BC 交于12,A A 两点;以边CA 的中点为圆心,过点H 的圆与直线CA 交于12,B B 两点;以边AB 的中点为圆心,过点H 的圆与直线AB 交于12,C C 两点. 证明:六点121212,,,,,A A B B C C 共圆.(俄罗斯提供) 证明:00,B C 分别是边CA ,AB 的中点.设以边0B 为圆心,过点H 的圆与以0C 为圆心,过点H 的圆的另一个交点为'A ,则00'A H C B ⊥.由于00,B C 分别是边CA ,AB 的中点,所以00C B BC ,从而'A H BC ⊥,于是点'A 在AH 上. 由切割线定理:1212'AC AC AA AH AB AB ⋅=⋅=⋅,所以,1212,,,B B C C 四点共圆.分别作1212,B B C C 的垂直平分线,设它们相交于点O ,则O 是四边形1212B B C C 的外心,且1212OB OB OC OC ===.同理可得,1212OA OA OB OB ===,所以,121212,,,,,A A B B C C 六点都是在以O 为圆心,1OA 为半径的圆上,故六点121212,,,,,A A B B C C 共圆.2.(1)设实数,,x y z 都不等于1,满足1xyz =,求证:()()()2222221111x y z x y z ++≥---.(2)证明:存在无穷多组三元有理数组(),,x y z ,,,x y z 都不等于1,且1xyz =,使得上述不等式等号成立.(奥地利提供)证明:(1)令1x a x =-,1yb y =-,1zc z =-,则1a x a =-,1b y b =-,1c z c =-. 由题设条件1xyz =得()()()111abc a b c =---,即 1ab bc ca a b c ++=++-,()()()()()22222222111 1.a b c a b c ab bc ca a b c a b c a b c ++=++-++=++-++-=++-+≥所以 从而()()()2222221111x y z x y z ++≥---.(2)令()()2221,,,,1k k x y z k k k k ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭,k 是正整数,则(),,x y z 是三元有理数组,,,x y z 都不等于1,且对于不同的正整数k ,三元有理数组(),,x y z 是互不影响的.此时()()()222222111x y z x y z ++---()()()()()()2222222222432221111232111k k k kk k k k k k k k k k kk --=++-+-+-+-+-+==-+从而命题得证.3.证明:存在无穷多个正整数n ,使得21n +有一个大于2n 的素因子.(立陶宛提供) 证明:设(20)m ≥是一个整数,p 是()!1m +的一个素因子,则20p m >≥.令整数n 满足02pn <<,且()!mod n m p ≡±. 于是0n p n p <<-<,且()21m od n p ≡-,(1) 故()()2222444mod p n p pn n p -=-+≡-,所以()224p n p -≥-,222p n n n≥≥>+.(2)由(1),(2)便知,命题成立.第二天4.求所有的函数()():0,0,f+∞→+∞,满足对所有的正实数,,,w x y z,wx yz=,都有()()()()()()22222222f w f x w zy zf y f z++=++.(韩国提供)解:令1w x y z====,得()()()211f f=,所以()11f=.对任意0t>,令,1,w t x y z====,得()()()221122f t tf t t++=,去分母整理得()()()()10tf t f t t--=,所以,对每个0t>,()f t t=,或者()1f tt=.(*)若存在(),0,b c∈+∞,使得()f b b≠,()1f cc≠,则由(*)知,,b c都不为1,且()1f bb=,()f c c=.令,,w b x c y z===()2222122c b cbf bc bc++=,所以()()2222c b cf bcb b c+=+.因为()f bc bc=,或者()1f bcbc=.若()f bc bc=,则()2222c b cbcb b c+=+,得4,1b c c b==,矛盾!若()1f bcbc=,则()22221c b cbc b b c+=+,得242,1b c b c==,矛盾!所以,或者()(),0,f x x x=∈+∞,或者()()1,0,f x xx=∈+∞.经检验,()(),0,f x x x=∈+∞,和()()1,0,f x xx=∈+∞都满足要求.5.设n 和k 是正整数,k n ≥,且k n -是一个偶数.2n 盏灯依次编号为1,2,...,2n ,每一盏灯可以“开”和“关”.开始时,所有的灯都是“关”的.对这些灯可进行操作只改变其中的一盏灯的开关状态(即“开”变成“关”,“关”变成“开”),我们考虑长度为k 的操作序列,序列中的第i 项就是第i 次操作是被改变开关状态的那盏灯的编号.设N 是k 次操作后使灯1,,n ⋅⋅⋅是“开”的,灯1,,2n n +⋅⋅⋅是“关”的状态的所有不同的操作序列的个数.设M 是k 次操作后使灯1,,n ⋅⋅⋅是“开”的,灯1,,2n n +⋅⋅⋅是“关”的,但是灯1,,2n n +⋅⋅⋅始终没有被开过的所有不同的操作序列的个数.求比值NM.(法国提供) 解:所求的比值为2k n-.引理:设t 是正整数,如果一个t 元0,1数组()12,,,t a a a ⋅⋅⋅{}()12,,,0,1t a a a ⋅⋅⋅∈其中共有奇数个0,那么称其为“好的”.则好数组共有12t -个.事实上,对于相同的12,,,t a a a ⋅⋅⋅,在t a 取0,1时得到的两个数组中的奇偶性不同,则恰好有一个为“好的”,于是我们可将总共2t个不同的可能数组两两配对,每对数组中仅有t a 不同,则每对恰好有一个好数组,故好数组占总体的一半,即有12t -.引理得证.称k 次操作后灯1,,n ⋅⋅⋅是“开”的,灯1,,2n n +⋅⋅⋅是“关”的状态的操作序列的全体记为A 类型;k 次操作后使灯1,,n ⋅⋅⋅是“开”的,灯1,,2n n +⋅⋅⋅是“关”的,但是灯1,,2n n+⋅⋅⋅始终没有被开过的操作序列的全体记为B 类型.对于任意一个B 类列b ,将有如下性质的A 类列a 全部与它对应:“a 的各元素在模n 的意义下对应相同”(例如,2,4n k ==时,()2,2,2,1b =可对应如()4,4,2,1a =, ()2,2,2,1a =,()2,4,4,1a =等),那么由于b 是B 类列,其中1,,n ⋅⋅⋅的个数必定为全为奇数,而a 是 A 类列,又要求a 中1,,n ⋅⋅⋅的个数全为奇数,且1,,2n n +⋅⋅⋅的个数全为偶数.于是对于任意的{}1,2,,i n ∈⋅⋅⋅,设b 中有i b 个i ,则a 必须且只需满足:对任意{}1,2,,i n ∈⋅⋅⋅,b 中是i 的i b 个元所在的位上在a 中都是i 或者n i +,且i 有奇数个(自然n i +就有偶数个),那么由引理及乘法原理,b 中恰可对应1122i nb k ni --==∏个不同的a ,而每个A 中的元a 均有B 中的一元(唯一的一个元)b (它是把a 的各位变成它除以n 的最小正余数)可以对应它,从而必有2k nA B -=,即2k n N M -=.又易知0M ≠(因为操作列()1,2,,,,,n n n B ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈),所以2k n NM-=.6.在凸四边形ABCD 中,BA BC ≠.1ω和2ω分别是ABC 和ADC 的内切圆.假设存在一个圆ω与射线BA 相切(切点不在线段BA 上),与射线BC 相切(切点不在线段BC 上),且与直线AD 和直线CD 都相切. 明:圆1ω和2ω的两条公切线的交点在圆ω上.(俄罗斯提供) 证明:先证两个引理:引理1:设ABCD 是凸四边形,圆ω与射线BA (不包括线段BA )相切,与射线BC (不包括线段BC )相切,且与直线AD 和直线CD 都相切.则AB AD CB CD +=+.引理1的证明:设直线AB,BC,CD,DA 分别与圆ω相切于P,Q,R,S ,如图1,则AB AD CB CD +=+()()AB AD DS CB CD DR AB AS CB CR AB AP CB CQ BP BQ⇔++=++⇔+=+⇔+=+⇔=从而引理1得证.引理2:设三个圆:123,,O O O 的半径两两不等,则它们的外位似中心共线.引理2的证明:设3X 是1O 与2O 的外位似中心,2X 是3O 与1O 的外位似中心,1X 是2O 与3O 的外位似中心,i r 是i O (1,2,3i =)的半径,由位似的性质知131232O X rr X O =-,这里13O X 表示有向线段13O X ,如图2所示.同理212313O X rr X O =-,323121O X r r X O =-,所以1332321122313213211O X O X r O X r r r r r X O X O X O ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ , 由梅内劳斯定理知,123,,X X X 三点共线.图 1图 23如图3,设U,V 分别是圆1ω,2ω与AC 的切点. 则222AD AC CD AC AD CDAV +--==+22()2AC CB AB AC CB AB CU -=++-==由引理1所以,ABC 的关于顶点B 的旁切圆3ω与边AC 的切点亦为V . 因此,2ω与3ω内切于点V ,即V 为2ω与3ω的外位似中心.设K 是1ω与2ω的外位似中心(即两条外公切线的交点),由引理2知,K,V ,B 三点共线. 完全类似可得K,D,U 三点共线.因为BA BC ≠,所以,U V ≠(否则,由AV CU =知,U V =是边AC 的中点,与BA BC≠矛盾).因此,直线BV 与DU 不重合. 故K BV DU =⋂.于是,只需证明直线BV 与DU 的交点K 在圆ω上. 作圆ω的一条平行于AC 的切线l (靠近边AC 的那条),设l 与圆ω切于点T .下证:B,V,T 三点共线.如图4,设l 与射线BA,BC 分别交于点11,A C .则圆ω是11BAC 的关于顶点B 的旁切圆,T 是其与11AC 的切点.而圆3ω是BAC 关于点B 的旁切圆,圆3ω与AC 切于点V .由11AC AC 知,BAC 与11BAC 以B 为中心位似,而V ,T 分别是对应旁切圆与对应边的切点,因此,V ,T 是这一对位似形中的对应点.而B 是位似中心,故B,V ,T 三点共线. 同理可证D,U,T 三点共线. 从而,命题得证.B图 4。
历届西部数学奥林匹克试题

目录2001年西部数学奥林匹克 (2)2002年西部数学奥林匹克 (4)2003年西部数学奥林匹克 (6)2004年西部数学奥林匹克 (7)2005年西部数学奥林匹克 (8)2006年西部数学奥林匹克 (10)2007年西部数学奥林匹克 (12)2008年西部数学奥林匹克 (14)2009年西部数学奥林匹克 (16)2010年西部数学奥林匹克 (18)2011年西部数学奥林匹克 (21)2012年西部数学奥林匹克 (23)2001年西部数学奥林匹克1.设数列{x n}满足x1=12,x n+1=x n+x n2n2.证明:x2001<1001.(李伟固供题)2.设ABCD是面积为2的长方形,P为边CD上的一点,Q为△P AB的内切圆与边AB的切点.乘积PP⋅PP的值随着长方形ABCD及点P 的变化而变化,当PP⋅PP取最小值时,(1)证明:PP≥2PB;(2)求PQ⋅PQ的值.(罗增儒供题)3.设n、m是具有不同奇偶性的正整数,且n>m.求所有的整数x,使得x2n−1x m−1是一个完全平方数.(潘曾彪供题)4.设x、y、z为正实数,且x+y+z≥xyz.求x2+y2+z2xyz的最小值.(冯志刚供题)5.求所有的实数x,使得[x3]=4x+3.这里[y]表示不超过实数y的最大整数.(杨文鹏供题)6.P为⊙O外一点,过P作⊙O的两条切线,切点分别为A、B.设Q为PO与AB的交点,过Q作⊙O的任意一条弦CD.证明:△PAB与△PCD有相同的内心. (刘康宁供题)7.求所有的实数x∈�0,π2�,使得(2−sss2x)sss�x+π4�=1,并证明你的结论.(李胜宏供题)8.我们称P1,P2,⋯,P n为集合A的一个n分划,如果(1)P1∪P2∪⋯∪P n=P;(2)P i∩P j≠Φ,1≤s<j≤s.求最小正整数m,使得对P={1,2,⋯,m}的任意一个14分划P1,P2,⋯,P14,一定存在某个集合P i(1≤s≤14),在P i中有两个元素a、b满足b<a≤43b. (冷岗松供题)2002年西部数学奥林匹克1.求所有的正整数n,使得s4−4s3+22s2−36s+18是一个完全平方数.2.设O为锐角△ABC的外心,P为△AOB内部一点,P在△ABC的三边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F.求证:以FE、FD为邻边的平行四边形位于△ABC内.3.考虑复平面上的正方形,它的4个顶点所对应的复数恰好是某个整系数一元四次方程x4+px3+qx2+rx+s=0的4个根.求这种正方形面积的最小值.4.设n为正整数,集合P1,P2,⋯,P n+1是集合{1,2,⋯,s}的n+1个非空子集.证明:存在{1,2,⋯,s+1}的两个不交的非空子集{s1,s2,⋯,s k}和{j1,j2,⋯,j m},使得P i1∪P i2∪⋯∪P i k=P j1∪P j2∪⋯∪P j m.5.在给定的梯形ABCD中,AD∥BC,E是边AB上的动点,O1、O2分别是△AED、△BEC的外心.求证:O1O2的长为一定值.6.设s(s≥2)是给定的正整数,求所有整数组(a1,a2,⋯,a n)满足条件:(1)a1+a2+⋯+a n≥s2;(2)a12+a22++a n2≤s3+1.7.设α、β为方程x2−x−1=0的两个根,令a n=αn−βnα−β,s=1,2,⋯.(1)证明:对任意正整数n,有a n+2=a n+1+a n;(2)求所有正整数a、b,a<b,满足对任意正整数n,有b整除a n−2sa n.8.设S=(a1,a2,⋯,a n)是一个由0,1组成的满足下述条件的最长的数列:数列S中任意两个连续5项不同,即对任意1≤s<j≤s−4,a i,a i+1,a i+2,a i+3,a i+4与a j,a j+1,a j+2,a j+3,a j+4不相同.证明:数列S 最前面的4项与最后面的4项相同.1. 将1,2,3,4,5,6,7,8分别放在正方体的八个顶点上,使得每一个面上的任意三个数之和均不小于10.求每一个面上四个数之和的最小值.2. 设2n 个实数a 1,a 2,⋯,a 2n 满足条件∑(a i+1−a i )2=12n−1i=1.求(a n+1+a n+2+⋯+a 2n )−(a 1+a 2+⋯+a n )的最大值.3. 设n 为给定的正整数.求最小的正整数u n ,满足:对每一个正整数d ,任意u n 个连续的正奇数中能被d 整除的数的个数不少于奇数1,3,5,⋯,2s −1中能被d 整除的数的个数.4. 证明:若凸四边形ABCD 内任意一点P 到边AB 、BC 、CD 、DA 的距离之和为定值,则ABCD 是平行四边形.5. 已知数列{a n }满足:a 0=0,a n+1=ka n +�(k 2−1)a n 2+1,s =0,1,2,⋯,其中k 为给定的正整数.证明:数列{a n }的每一项都是整数,且2k |a 2n ,s =0,1,2,⋯. 6. 凸四边形ABCD 有内切圆,该内切圆切边AB 、BC 、CD 、DA 的切点分别为A 1、B 1、C 1、D 1,连结A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1,点E 、F 、G 、H 分别为A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1的中点.证明:四边形EFGH 为矩形的充分必要条件是A 、B 、C 、D 四点共圆.7. 设非负实数x 1、x 2、x 3、x 4、x 5满足∑11+x i =15i=1.求证:∑x i4+x i 25i=1≤1. 8. 1650个学生排成22行、75列.已知其中任意两列处于同一行的两个人中,性别相同的学生都不超过11对.证明:男生的人数不超过928.1.求所有的整数n,使得s4+6s3+11s2+3s+31是完全平方数.2.四边形ABCD为一凸四边形,I1、I2分别为△ABC、△DBC的内心,过点I1、I2的直线分别交AB、DC于点E、F,分别延长AB、DC,它们相交于点P,且PE=PF.求证:A、B、C、D四点共圆.3.求所有的实数k,使得不等式a3+b3+c3+d3+1≥k(a+b+c+d)对任意a、b、c、d∈[−1,+∞)都成立.4.设s∈N+,用d(s)表示n的所有正约数的个数,ϕ(s)表示1,2,⋯,s 中与n互质的数的个数.求所有的非负整数c,使得存在正整数n,满足d(s)+ϕ(s)=s+c,且对这样的每一个c,求出所有满足上式的正整数n.5.设数列{a n}满足a1=a2=1,且a n+2=1a n+1+a n,s=1,2,⋯.求a2004.6.将m×s棋盘(由m行n列方格构成,m≥3,s≥3)的所有小方格都染上红蓝两色之一.如果2个相邻(有公共变)的小方格异色,则称这2个小方格为1个“标准对”.设期盼中“标准对”的个数为S.试问:S是奇数还是偶数有哪些方格的颜色确定?什么情况下S为奇数?什么情况下S为偶数?说明理由.7.已知锐角△ABC的三边长不全相等,周长为l,P是其内部一动点,点P在边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F.求证:2(PB+PD+ BB)=l的充分必要条件是:点P在△ABC的内心与外心的连线上.8.求证:对任意正实数a、b、c,都有1<a√a2+b2+b√b2+c2+c√c2+a2≤3√22.1. 已知α2005+β2005可表示成以α+β、αβ为变元的二元多项式.求这个多项式的系数之和.2. 如图1,过圆外一点P 作圆的两条切线P A 、PB ,A 、B 为切点,再过点P 作圆的一条割线分别与圆交于C 、D 两点,过切点B 作P A 的平行线分别交直线AC 、AD 于E 、F .求证:PB =PB .图13. 设S ={1,2,⋯,2005}.若S 中任意n 个两两互质的数组成的集合中都至少有一个质数,试求n 的最小值.4. 已知实数x 1,x 2,⋯,x n (s >2)满足|∑x i n i=1|>1,|x i |≤1(s =1,2,⋯,s ).求证:存在正整数k ,使得�∑x i k i=1−∑x i n i=k+1�≤1 5. 如图2,⊙O 1、⊙O 2交于A 、B 两点.过点O 1的直线DC 交⊙O 1于点D 且切⊙O 2于点C ,CA 且⊙O 1于点A ,⊙O 1的弦AE 与直线DC 垂直.过点A 作AF 垂直于DE ,F 为垂足.求证:BD 平分线段AF .图2P6.在等腰Rt△ABC中,BP=BP=1,P是△ABC边界上任意一点.求PP⋅PP⋅PB的最大值.7.设正实数a、b、c满足a+b+c=1.证明:10(a3+b3+c3)−9(a5+b5+c5)≥1.8.设n个新生汇总,任意3个人中有2个人互相认识,任意4个人中有2个人互不任何.试求n的最大值.2006年西部数学奥林匹克1. 设s (s ≥2)是给定的正整数,a 1,a 2,⋯,a n ∈(0,1).求∑�a i (1−a i+1)6n i=1的最大值,这里a n+1=a 1. 2. 求满足下述条件的最小正实数k :对任意不小于k 的4个互不相同的实数a 、b 、c 、d ,都存在a 、b 、c 、d 的一个排列p 、q 、r 、s ,使得方程(x 2+px +q )(x 2+rx +s )=0有4个互不相同的实数根. 3. 如图1,在△ABC 中,∠PPB =60°,过点P 作△PBC 的外接圆⊙O 的切线,与CA 的延长线交于点A .点D 、E 分别在线段PA 和⊙O 上,使得∠DPB =90°,PD =PE .连结BE 与PC 相交于点F .已知AF 、BP 、CD 三线共点.(1) 求证:BF 是∠PPB 的角平分线;(2) 求tas ∠PBP 的值.图14. 设正整数a 不是完全平方数.求证:对每一个正整数n ,S n =�√a�+�√a�2+⋯+�√a�n的值都是无理数.这里{x }=x −[x ],其中,[x ]表示不超过x 的最大整数.5. 设S =�s�s −1,s ,s +1都可以表示为两个正整数的平方和�.证明:若s ∈S ,则s 2∈S .C6. 如图2,AB 是⊙O 的直径,C 为AB 延长线上的一点,过点C 作⊙O 的割线,与⊙O 交于点D 、E ,OF 是△BOD 的外接圆⊙O 1的直径,连结CF 并延长交⊙O 1于点G .求证:O 、A 、E 、G 四点共圆.图27. 设k 是一个不小于3的正整数,θ是一个实数.证明:如果cms (k −1)θ和cms kθ都是有理数,那么,存在正整数s (s >k ),使得cms (s −1)θ和cms sθ都是有理数. 8. 给定正整数s (s ≥2),求|X |的最小值,使得对集合X 的任意n 个二元子集P 1,P 2,⋯,P n ,都存在集合X 的一个子集Y ,满足:(1)|Y |=s ;(2) 对s =1,2,⋯,s ,都有|Y ∩P i |≤1.这里,|P |表示有限集合A 的元素个数.A2007年西部数学奥林匹克1. 已知T ={1,2,⋯,8}.对于P ⊆T ,P ≠Φ,定义S (P )为A 中所有元素之和.问:T 有多少个非空子集A ,使得S (P )是3的倍数,但不是5的倍数?2. 如图1,⊙O 1、⊙O 2交于点C 、D ,过D 的一条直线分别与⊙O 1、⊙O 2交于点A 、B ,点P 在⊙O 1的AD 弧上,PD 与线段AC 的延长线交于点M ,点Q 在⊙O 2的BD 弧上,QD 与线段BC 的延长线交于点N ,O 是△ABC 的外心.求证:OD ⊥MN 的充要条件为P 、Q 、M 、N 四点共圆.图13. 设实数a 、b 、c 满足a +b +c =3.求证:15a −4a+11+15b −4b+11+15c −4c+11≤14. 4. 设O 是△ABC 内部一点.证明:存在正整数p 、q 、r ,使得|pOP +qOP +rOB |<12007.5. 是否存在三边长都为整数的三角形,满足以下条件:最短边长为2007,且最大的角等于最小角的两倍?O6.求所有的正整数n,使得存在非零整数x1,x2,⋯,x n,y,满足�x1+x2+⋯+x n=0,x12+x22+⋯+x n2=sy2.7.设P是锐角△ABC内一点,AP、BP、CP分别与边BC、CA、AB 交于点D、E、F,已知△DBB∼△PPB.求证:P是△ABC的重心. 8.将n枚白子与n枚黑子任意地放在一个圆周上.从某枚白子起,按顺时针方向依次将白子标以1,2,⋯,s.在从某枚黑子起,按逆时针方向依次将黑子标以1,2,⋯,s.证明:存在连续n枚棋子(不计黑白),它们的标号组成的集合为{1,2,⋯,s}.2008年西部数学奥林匹克1.实数数列{a n}满足a0≠0,1,a1=1−a0,a n+1=1−a n(1−a n)(s=1,2,⋯).证明:对任意的正整数n,都有a0a1⋯a n�1a0+1a1+⋯+1a n�=1.2.如图1,在△ABC中,AB=AC,其内切圆⊙I分别切边BC、CA、AB于点D、E、F,P为弧EF(不含点D的弧)上一点.设线段BP交⊙I于另一点Q,直线EP、EQ分别交BC于点M、N.证明:(1)P、F、B、M四点共圆;(2)EE EE=BB BB.图13.设整数m(m≥2),a1,a2,⋯,a m都是正整数.证明:存在无穷多个正整数n,使得数a1×1n+a2×2n+⋯+a m×m n都是合数.4.设整数m(m≥2),a为正实数,b为非零实数,数列{x n}定义如下:x1=b,x n+1=ax n m+b(s=1,2,⋯).证明:(1)当b<0且m为偶数时,数列{x n}有界的充要条件是ab m−1≥−2;(2)当b<0且m为奇数,或b>0时,数列{x n}有界的充要条件是ab m−1≤(m−1)m−1m m.5.在一直线上相邻的距离都等于1的四个点上各有一只青蛙,允许任意一只青蛙以其余三只青蛙中的某一只为中心跳到其对称点上.证明:无论跳动多少次后,四只青蛙所在的点中相邻两点之间的距离不能都等于2008.6.设x、y、z∈(0,1),满足�1−x yz+�1−y zx+�1−z xy=2.求xyz的最大值.7.设n为给定的正整数.求最大的正整数k,使得存在三个由非负整数组成的k元集P={x1,x2,⋯,x k},P={y1,y2,⋯,y k},B= {z1,z2,⋯,z k}满足对任意的j(1≤j≤k),都有x j+y j+z j=s.8.设P为正n边形P1P2⋯P n内的任意一点,直线P i P(s=1,2,⋯s)交正n边形P1P2⋯P n的边界于另一点P i.证明:∑PP i n i=1≥∑PP i n i=1.2009年西部数学奥林匹克1.设M是一个由实数集R去掉有限个元素后得到的集合.证明:对任意正整数n,都存在n次多项式f(x),使得f(x)的所有系数及n个实根都属于M.2.给定整数s≥3.求最小的正整数k,使得存在一个k元集合A和n 个两两不同的实数x1,x2,⋯,x n,满足x1+x2,x2+x3,⋯,x n−1+x n,x n+x1均属于A.3.设H为锐角△ABC的垂心,D为边BC的中点.过点H的直线分别交边AB、AC于点F、E,使得AE=AF,射线DH与△ABC的外接圆交于点P.求证:P、A、E、F四点共圆.4.求证:对任意给定的正整数k,总存在无穷多个正整数n,使得2n+3n−1,2n+3n−2,⋯,2n+3n−k均为合数.5.设数列{x n}满足x1∈{5,7}及当k≥1时,有x k+1∈{5x k,7x k}.试确定x2009的末两位数字的所有可能值.6.如图1,设D是锐角△ABC的边BC上一点,以线段BD为直径的圆分别交直线AB、AD于点X、P(异于点B、D),以线段CD为直径的元分别交直线AC、AD于点Y、Q(异于点C、D).过点A作直线PX、QY的垂线,垂足分别为M、N.求证△PMN∼△PPB的充分必要条件是直线AD过△ABC的外心.图17. 有s (s >12)个人参加某次数学邀请赛,试卷由十五道填空题组成,每答对一题得1分,不答或答错得0分.分析每一种可能的得分情况发现:只要其中任意12个人得分之和不少于36分,则这n 个人中至少有3个人答对了至少三道同样的题.求n 的最小可能值.8. 实数a 1,a 2,⋯,a n (s ≥3)满足a 1+a 2+⋯+a n =0,且2a k ≤a k−1+a k+1(k =2,3,⋯,s −1).求最小的λ(s ),使得对所有的k ∈{1,2,⋯s },都有|a k |≤λ(s )⋅max {|a 1|,|a n |}.B2010年西部数学奥林匹克1. 设m 、k 为给定的非负整数,p =22m +1为质数.求证: (1) 22m+1p k ≡1(mmd p k+1);(2) 满足同余方程2n ≡1(mmdp k+1) 的最小正整数n 为2m+1p k . (靳 平 供题)2. 如图1,已知AB 是⊙O 的直径,C 、D 是圆周上异于点A 、B 且在AB 同侧的两点,分别过点C 、D 作圆的切线,它们交于点E ,线段AD 与BC 的交点为F ,直线EF 与AB 交于点M .求证:E 、C 、M 、D 四点共圆.图1(刘诗雄 供题)3. 求所有的正整数n ,使得集合{1,2,⋯,s }有n 个两两不同的三元子集P 1,P 2,⋯,P n ,满足对任意的k (1≤s <j ≤s ),都有�P i ∩P j �≠1.(冯志刚 供题)4. 设非负实数a 1,a 2,⋯,a n 与b 1,b 2,⋯,b n 满足以下条件: (1) ∑a i +b i n i=1=1; (2) ∑s (a i −b i )n i=1=0; (3) ∑s 2(a i +b i )n i=1=10.求证:对任意的k(1≤k≤s),都有max{a k,b k}≤1010+k2. (李胜宏供题)5.设k为大于1的整数,数列{a n}定义如下:a0=0,a1=1,a n+1=ka n+a n−1(s=1,2,⋯).求所以满足如下条件的k:存在非负整数l、m(l≠m),及正整数p、q,使得a l+ka p=a m+ka q. (熊斌供题)6.如图2,在△ABC中,∠PBP=90°,以B为圆心、BC为半径作圆,点D在边AC上,直线DE切⊙B于点E,过点C垂直于AB的直线于直线BE交于点F,AF与DE交于点G,作AH∥BG于DE交于点H.求证GE=GH.图2(边红平供题)7.有s(s≥3)名选手参加乒乓球比赛,每两名选手之间恰比赛一场且没有平局.若选手A的手下败将不都是B的手下败将,则称A不亚于B.试求所有可能的n,使得存在一种比赛结果,其中每一名选手都不亚于其他任何一名选手.(李秋生供题)8.求所有的整数k,使得存在正整数a和b,满足b+1a+a+1b=k.(陈永高供题)2011年西部数学奥林匹克1. 已知0<x 、y <1.求xy (1−x−y )(x+y )(1−x )(1−y )的最大值.2. 设集合满足:M ⊆{1,2,⋯,2011}在M 的任意三个元素中都可以找到两个元素a 、b ,使得a |b 或b |a .求|M |的最大值(|M |表示集合M 的元素个数).3. 给定整数s ≥2.(1) 证明:可以将集合{1,2,⋯,s }的左右子集适当地排列为P 1,P 2,⋯,P 2n ,使得P i 与P i+1(s =1,2,,2n ,且P 2n +1=P 1)的元素个数恰相差1.(2) 对于满足(1)中条件的子集P 1,P 2,⋯,P 2n ,求∑(−1)i S (P i )2n i=1的所以可能值,其中,S (P i )=∑x x∈A i ,S (∅)=0. 4. 如图1,AB 、CD 是⊙O 中长度不相等的两条弦,AB 与CD 交于点E ,⊙I 内切⊙O 于点F ,且分别与弦AB 、CD 切于点G 、H .过点O 的直线l 分别于AB 、CD 交于点P 、Q ,使得EP =EQ ,直线EF 于直线l 交于点M .证明:过点M 且与AB 平行的直线是⊙O 的切线.图15. 是否存在奇数s (s ≥3)及n 个互不相同的质数p 1,p 2,⋯,p n ,使得p i +p i+1(s =1,2,⋯,s ,p n+1=p 1)都是完全平方数?请证明你的结论.6.设a、b、c>0.证明:(a−b)2(c+a)(c+b)+(b−c)2(a+b)(a+c)+(c−a)2(b+c)(b+a)≥(a−b)2a+b+c.7.在△ABC中,PP>PB内切圆⊙I与边BC、CA、AB分别切于点D、E、F,M是边BC的中点,PH⊥PB于点H,∠PPB的平分线AI分别与直线DE、DF交于点K、L.证明:M、L、H、K四点共圆. 8.求所有的整数对(a,b),使得对任意的正整数n都有s|(a n+b n+1).2012年西部数学奥林匹克1.求最小的正整数m,使得对任意大于3的质数p,都有:105|9p2−29p+m.2.证明:在正2s−1边形(s≥3)的顶点中,任意取出s个点,其中必有3个点,以它们为顶点的三角形为等腰三角形。
2008CMO试题及解答

2008中国数学奥林匹克解答第一天1. 设锐角 △ 的三边长互不相等. 为其外心, 点ABC O A ′在线段的延长线上, 使得 . 过点AO BA A CA A ′∠=∠′A ′分别作1A A AC ′⊥, 2A A AB ′⊥, 垂足分别为1A , . 作, 垂足为. 记△的外接圆半径为2A A AH BC ⊥A H 12A H A A A R , 类似地可得B R , C R . 求证:1112A B C R R R R++=, 其中R 为△的外接圆半径.(熊斌提供)ABC 证明 首先, 易知,,,A B O C ′四点共圆.事实上,作△BOC 的外接圆,设它与AO 相交于点P 不同于A ′,则,于是,△BPA BCO CBO CPA ∠=∠=∠=∠PA C ′≅△PA B ′,可得,故,矛盾。
A B A C ′′=AB AC =所以01802BCA BOA C ′′∠=∠=−∠, 1A CA C ′∠=∠.22cos sin A H A AA A AA C AC AA ′==∠=∠′, 22A A AH A ACB π′∠=∠=−∠. 所以△∽△. 同理, △∽△2A A AH A AC ′1A A H A A BA ′. 所以, 则21,A A A H A ACA A H A ABA ′′∠=∠∠=∠12212A A A H A A H A A H A A π∠=−∠−∠2ACA ABA π′′=−∠−∠22A A A ππ⎛⎞=∠+−∠=−∠⎜⎟⎝⎠.所以,1212122sin 2sin AA RR R A A A A R A A H A ∠==∠2sin 2sin R A RAA A AA ∠==′′∠. 作AA ′′⊥,垂足为A C ′A ′′,因为1ACA A CA C ′′′∠=∠=∠,所以,于是A AA AH ′′=()02sin cos cos sin 90ABC A AS AH AH AA AA AA C A a AA ′′′====′∠∠∠−∠ ,故()1cos cos 11cot cot sin sin A ABC a A A B C R S R B C R∠∠===−∠∠∠ ∠, 同理,()111cot cot B C A R R =−∠∠, ()111cot cot C A B R R=−∠∠, 注意到 cot cot cot cot cot cot 2A B B C C A ∠∠+∠∠+∠∠=,所以1112A B C R R R R++=. 2. 给定整数. 证明: 集合3n ≥{}21,2,3,,X n n =−L 能写成两个不相交的非空子集的并, 使得每一个子集均不包含个元素n 1212,,,,n n a a a a a a <<<L L , 满足112k k k a a a −+≤+−, .(冷岗松提供) 2,,1k n =L 证明 定义{}{}2221,,,1,,k k S k k k T k k k 2=−+=++L L , 1,2,,1k n =−L . 令, . 下面证明即为满足题目要求的两个子集.11n k k S S −==U 11n k k T −==U T ,S T 首先, S T =∅I , 且S T X =U .其次, 如果中存在个元素S n 1212,,,,,n n a a a a a a <<<L L 满足112k k k a a a −++≤, 2,,1k n =−L . 则11,2,,1k k k k a a a a k n −+−≤−=−L . (*)不妨设. 由于1i a S ∈1n S −n <, 故1i n <−. 这个数中至少有12,,,n a a a L n i n S n i −=−个在中. 根据抽屉原理, 必有某个中含有其中至少两个数, 设最小的一个为, 则1i S +ULU 1n S −)(j S i j n <<k a 1,k k j a a S +∈, 而11k j a S S 1−−∈ULU . 于是111k k j a a S j +−≤−=−, 111k k j a a T −−−≥+=j .所以11k k k k a a a a +−−<−, 与(*)矛盾.故中不存在个元素满足题中假设.S n 同理, 中亦不存在这样的个元素. 这表明即为满足题中要求的两个子集.T n ,S T3. 给定正整数n , 及实数1212,,n n x x x y y y ≤≤≤≥≥≥L L 满足11n ni ii i ix iy===∑∑.证明: 对任意实数α, 有[][]11n niii i x i y i αα==≥∑∑.这里, []β表示不超过实数β的最大整数.(朱华伟提供)证明1 我们先证明一个引理, 对任意实数x 和正整数n , 有[][]111.2n i n i n αα−=−≤∑ 引理证明 只需要将[][][]()i n i n ααα+−≤对1,2,,1i n =−L 求和即得. 回到原题, 我们采用归纳法对n 进行归纳, 当1n =时显然正确.假设时原命题成立, 考虑n k =1n k =+. 令1122,i i k i i k a x x b y y k k ++=+=+, 其中 显然我们有 , 并且通过计算得知, 由归纳假设知1,2,,.i =L k i12,k a a a ≤≤≤L 12k b b b ≥≥≥L 11k kii i ia ib===∑∑[][]11k kiii i a i b i αα==≥∑∑.又1k k 1x y ++≥, 否则若11k k x y +<+1, 则12112k k x x x y y y ++≤≤<≤≤≤L L 1111k k iii i ix iy++===,∑∑, 矛盾.≤从而[][]111k ki i i i x i a i αα+==−∑∑()[]1121k k i x k i kαα+=⎧⎫=+−⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭∑ ()[][][]1111121,k k i k ki i i i y k i ky i b i αααα+=+==⎧⎫≥+−⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭=−∑∑∑ 由此可得[][]1111k k i i i i x i y i αα++==≥∑∑. 由归纳法知原命题对任意正整数均成立.n证明2 记i i z x y i =−, 则120n z z z ≤≤≤≤L 且10ni i iz ==∑, 只需要证明[]10ni i z i α=≥∑. (1)令11221,,,n n n z z z z z 1−Δ=Δ=−Δ=−L , 则(11ii j j z i =)n =Δ≤≤∑, 所以11110n n i n i j i i j j i iz i i ======Δ=Δ∑∑∑∑∑nj j=,从而 121nnnj j i ji i===Δ=Δ∑∑∑i j. (2)于是[][][]1111nninn iji i j j i jz i i i ααα======Δ=Δ∑∑∑∑∑[]22nnn nn j j j i j j i ji i iα=====⎛⎞=Δ−Δ⎜⎟⎝⎠∑∑∑∑∑1i [][]21nnnnnnj j i j i ji ji i i i i i αα======⎛⎞=Δ⋅−⎜⎟⎝⎠∑∑∑∑∑∑1i , 故(1)转化为证明对任意的,2j n ≤≤[][]11n n n i ji j i i i i i αα===≥ni =∑∑∑∑. (3)而[][][][]11111111(3)j j j nn nn i ji ji i i i i i i i i i i i i αααα−−−−=======⇔≥⇔≥∑∑∑∑∑∑∑∑11j i =. 故只需要证明对任意的, 有 1k ≥ [][]11111k k k i i i i i i αα++===≥∑∑∑∑1ki i =,而上述不等式等价于[][]()[]()()11(1)211kki i k ki k i k i ααααα==+⋅≥⇔+−−+−≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑∑0.注意到[][][]x y x y +≥+对任意实数,x y 成立, 上述不等式显然成立. 从而(3)得证.第二天4. 设A 是正整数集的无限子集, 是给定的整数. 已知: 对任意一个不整除n 的素数, 集合1n >p A 中均有无穷多个元素不被整除. (余红兵提供)p 证明: 对任意整数, 1m >(),m n 1=, 集合A 中均存在有限个不同元素, 其和满足(mod ), 且 (mod ).S 1S ≡m 0S ≡n 证明1 设p m α, 则集合A 中有一个无穷子集, 其中的元素都不被整除. 由抽屉原理知, 集合有一个无穷子集, 其中的元素都1A p 1A 2A a ≡(mod ), 是一个不被整除的数.mn a p 因(, 故),m n =1,mn p p αα⎛⎞1=⎜⎟⎝⎠. 由中国剩余定理, 同余方程组1(mod )0(mod x a p mn x p αα−⎧≡⎪⎨≡⎪⎩(1)有无穷多个整数解. 任取其中一个正整数解x , 并记p B 是中前2A x 项的集合, 则p B 中的元素之和, 再由(1)可知(mod )p S ax mn ≡1(mod )p S ax p α≡≡, 0(mod)p mnS p α≡. 设11k k m p p αα=L , 并设对每个(11)i p i k ≤≤−已选出了A 的有限子集i B , 其中11\i i B A B B −⊂∪∪L i , 使得B 中的元素和满足i p S , 1(mod )i i p i S p α≡0(modi ip imnS p α≡. (2) 考虑集合1ki i B B ==U , 则B 的元素和1ki i S ==S ∑. 根据(2), 我们有1(mod )i i S p α≡,(1i k ≤≤), 且0(mod )S n ≡.所以B 即满足题目要求.证明2 考虑A 中的数除以的余数, 设出现无穷多次的余数依次为mn 12,,,k αααL .首先证明(12,,,,1k m ααα)=L . (1) 反证法. 反设有某个素数()12,,,,k p m αααL , 则由(),1m n =知不整除; 又根据p n 12,,,k ααL α的定义, A 中只有有限个数不是p 的倍数, 这与题设矛盾.于是(1)获证. 从而存在正整数12,,,,k x x x L y , 使得11221k k x x x ym ααα+++−=L . 再取合适的正整数使得r 1(mod )rn m ≡. 则()()()1122k k rnx rnx rnx rn rmny ααα+++=+L .于是从A 中依次取出个模的余数为i rnx mn i α的数()1,2,,i =L k 即满足题目要求.5. 求具有如下性质的最小正整数: 将正边形的每一个顶点任意染上红, 黄, 蓝三种颜色之一, 那么这个顶点中一定存在四个同色点, 它们是一个等腰梯形的顶点.(冷岗松提供)n n n 解 所求的最小值为17.n 首先证明时, 结论成立.17n = 反证法. 反设存在一种将正17边形的顶点三染色的方法, 使得不存在4个同色顶点是某个等腰梯形的顶点.由于171163−⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦, 故必存在某6个顶点染同一种颜色, 不妨设为黄色. 将这6个点两两连线, 可以得到2615C =条线段. 由于这些线段的长度只有1782⎡⎤=⎢⎥⎣⎦种可能, 于是必出现如下的两种情况之一:(1) 有某3条线段长度相同.注意到3 17, 不可能出现这3条线段两两有公共顶点的情况. 所以存在两条线段, 顶点互不相同. 这两条线段的4个顶点即满足题目要求, 矛盾.(2) 有7对长度相等的线段.由假设, 每对长度相等的线段必有公共的黄色顶点, 否则能找到满足题目要求的4个黄色顶点. 再根据抽屉原理, 必有两对线段的公共顶点是同一个黄色点. 这4条线段的另4个顶点必然是某个等腰梯形的顶点, 矛盾.所以, 时, 结论成立.17n =再对构造出不满足题目要求的染色方法. 用表示正边形的顶点(按顺时针方向), 16n ≤12,,,n A A A L n 12,,3M M M 分别表示三种颜色的顶点集.当时, 令16n ={}15813141,,,,6M A A A A A =,{}23671115,,,,M A A A A A =,{}312491012,,,,,M A A A A A A =. 对于1M , 到另4个顶点的距离互不相同, 而另4个点刚好是一个矩形的顶点. 类似于14A 1M , 可验证2M 中不存在4个顶点是某个等腰梯形的顶点. 对于3M , 其中6个顶点刚好是3条直径的顶点, 所以任意4个顶点要么是某个矩形的4个顶点, 要么是某个不等边4边形的4个顶点.当时,令15n ={}112358,,,,M A A A A A =,{}269131415,,,,M A A A A A =, {}347101112,,,,M A A A A A =, 每个i M 中均无4点是等腰梯形的顶点.当时, 令14n ={}11381014,,,,M A A A A A =,{}24571112,,,,M A A A A A =,{}326913,,,M A A A A =, 每个i M 中均无4点是等腰梯形的顶点.当时, 令13n ={}15671,,,0M A A A A =,{}2181112,,,M A A A A =,{}3234913,,,,M A A A A A =, 每个i M 中均无4点是等腰梯形的顶点.在上述情形中去掉顶点, 染色方式不变, 即得到13A 12n =的染色方法; 然后再去掉顶点, 即得到的染色方法; 继续去掉顶点, 得到的染色方法.12A 11n =11A 10n =当时, 可以使每种颜色的顶点个数小于4, 从而无4个同色顶点是某个等腰梯形的顶点.9n ≤上面构造的例子表明不具备题目要求的性质. 16n ≤总上所述, 所求的n 的最小值为17.6. 试确定所有同时满足223mod n n q p ++≡()n n , 223(mod )n n p q ++≡的三元数组(, 其中为奇素数, 为大于1的整数.(陈永高提供),,)p q n ,p q n 解 易见()均为满足要求的数组. 假设3,3,(2,3,)n n =L (),,p q n 为其它满足要求的一数组, 则. 不妨设.,3,p q p q ≠≠≠35q p >≥如果, 则2n =2443q p −, 即22222(3)(3q p p −+)2. 由于q 不同时整除和, 故223p −23p +2223q p −或2223q p +. 但22032p q <−<, 2221(3)2p p +<<2q , 矛盾.因此. 由3n ≥22223,3n n n n n n p q q p ++++−−知222223,3n n n n n n n n p p q q p q ++++++−+−2+.又, 为素数, 故p q <,p q 223n n n n n p q p q 2+++−+2. (1)因此得22232n n n n n n p q p q q +++≤+−<+, 从而22n p q <.由223n n n q p ++−及知3p >223n n n n q p p 2++≤−<+, 从而21nq p+<, 结合22n p q <有44232nnnp pp++<<. 因此43n n<+, 故3n =. 这样 3553553,3p q q p −−.且由易知. 由55532111−=××35p >3553p q −知53p q 5−. 由费马小定理知13p p p q −−1−, 因此(5,1)(5,1)3p p p q −−−.如果(, 则)5,11p −=3p q −, 由5543223443333353(mod 3q q q q q p q −=+⋅+⋅+⋅+≡×−) 以及知5p ≥p 5533q q −−. 因此33p q −. 由3553q p −知()5535553333q p p pq ≤−<=<,矛盾.所以()5,11p −≠, 即51p −, 类似可得5q 1−. 由 q 3p −(因)及7q p >≥3553q p −知55333p qp −−, 从而5534322333333p q p p p p p −≤=+⋅+⋅+⋅−43+.由51p −及51q −知, . 因此11p ≥31q ≥2343433331q p p p p p ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟≤++++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠44111381p p p<⋅≤−. 从而1344811p q ⎛⎞>⎜⎟⎝⎠. 因此3555224133334311118p q p q p q q p q +−⎛⎞<+<+<⎜⎟⎝⎠1,这与(1), 即335553p q p q +−矛盾.综上, 即为所有满足要求条件的三元数组.()3,3,(2,3,)n n =L。
2008年第七届中国女子数学奥林匹克试题及解答

2008年第七届中国女子数学奥林匹克1.(a ) 问能否将集合{}1,2,,96 表示为它的32个三元子集的并集,且三元子集的元素之和都相等;(b ) 问能否将集合{}1,2,,99 表示为它的33个三元子集的并集,且三元子集的元素之和都相等.(刘诗雄供题)解:(a )不能.因为96(961)32|129648972⨯++++==⨯ .(b )能.每个三元集的元素和为129999(991)15033332+++⨯+==⨯ .将1,2,3,,66每两个一组,分成33个组,,每组两数之和可以排成一个公差为1的等差数列:150,349,,3334,+++ 266,465,,3251+++ .故如下33组数,每组三个数之和均相等:{}{}{}1,50,99,3,49,98,,33,34,83, {}{}{}2,66,82,4,65,81,,32,51,67. .注:此题的一般情况是设集合{}1,2,3,,3M n = 的三元子集族{},,i i i i A x y z =,1,2,i n = 满足12n A A A M ⋃⋃⋃= .记i i i s x y z =++,求所有的整数n ,使对任意,(1)i j i j n ≤≠≤,i j s s =.解:首先,|1233n n ++++ ,即3(31)2|312n n n n +⇒+.所以,n 为奇数.又当n 为奇数时,可将1,2,3,,2n 每两个一组,分成n 个组,每组两数之和可以排成一个公差为1的等差数列:111(),3(),,(1)22n n n n n n +-++++++ ;322,4(21),,(1)()2n n n n n +++--++.其通项公式为1121(1)1,2213[12(1)][2(1)].22k n n k n k k a n n n k n k k n ++⎧-+++-≤≤⎪⎪=⎨++⎪-+-++--≤≤⎪⎩ 易知93312k n a n k +++-=为一常数,故如下n 组数每组三个数之和均相等:1111,,3,3,,31,,,1,31222n n n n n n n n n n +-+⎧⎫⎧⎫⎧⎫++-++-⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭;332,2,31,,1,,2122n n n n n n n ++⎧⎫⎧⎫+--++⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭.当n 为奇数时,依次取上述数组为12,,,n A A A ,则其为满足题设的三元子集族.故n 为所有的奇数.2.已知实系数多项式32()x ax bx cx d ϕ=+++有三个正根,且(0)0ϕ<.求证:322970b a d abc +-≤. ①证明:设实系数多项式32()x ax bx cx d ϕ=+++的三个正根分别为1x ,2x ,3x ,由韦达定理有123b x x x a++=-,122331c x x x x x x a++=,123d x x x a=-.由(0)0ϕ<,可得0d <,故0a >. 不等式①两边同除以3a ,不等式①等价于3729b c b d a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≤-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 31231223311231237()()2()9x x x x x x x x x x x x x x x ⇔++++≤+++, 2222223331213212331321232()x x x x x x x x x x x x x x x ⇔+++++≤++ ②因为1x ,2x ,3x 大于0,所以221212()()0.x x x x --≥也就是2233122112.x x x x x x +≤+同理22332233233223311331,.x x x x x x x x x x x x +≤++≤+三个不等式相加可得不等式②,当且仅当123x x x ==时不等式等号成立.3.求最小常数1a >,使得对正方形A B C D 内部任一点P ,都存在,,,P A B P B C P C D P D A ∆∆∆∆中的某两个三角形,使得它们的面积之比属于区间1[,]aa -.解:m i n 152a +=.首先证明m i n 152a +≤,记152ϕ+=.不妨设正方形边长为2.对正方形A B C D 内部一点P ,令1S ,2S ,3S ,4S 分别表示P A B ∆,P B C ∆,P C D ∆,P D A ∆的面积,不妨设1243S S S S ≥≥≥.令1224,S S S S λμ==,如果,λμϕ>,由13241S S S S +=+=,得221S S μ=-,得21S μμ=+.故2121111111S S λμλϕϕλμϕμϕ===>==++++,矛盾.故{}m in ,λμϕ≤,这表明m in a ϕ≤.反过来对于任意(1,)a ϕ∈,取定15(,)2t a +∈,使得2819tb t=>+.我们在正方形A B C D 内取点P ,使得12342,,,1b b S b S S S b tt====-,则我们有122315(,)2S S t a S S +==∈,3242,(1)4(1)S b b a S t b b =>>>--由此我们得到对任意{},1,2,3,4i j ∈,有1[,]i jS aa S-∉.这表明m in a ϕ=.4. 在凸四边形ABCD 的外部分别作正三角形ABQ ,正三角形BCR ,正三角形CDS ,正三角形DAP ,记四边形ABCD 的对角线之和为x ,四边形PQRS 的对边中点连线之和为y ,求y x的最大值.(熊斌供题)解:若四边形ABCD 是正方形时,可得y x132+=.下面证明:y x132+≤.设1111,,,P Q R S 分别是边DA ,AB ,BC ,CD 的中点,SP ,PQ ,QR ,RS 的中点分别为E ,F ,G ,H .则1111P Q R S 是平行四边形.连接11,P E S E ,设点M ,N 分别是DP ,DS 的中点,则11D S S N D N E M ===, 11D P P M M D E N ===,又113606060P D S P D S ∠=︒-︒-︒-∠240(180)60E N D E N D=︒-︒-∠=︒+∠11E N S E M P =∠=∠,所以 1111D P S M P E N E S ∆≅∆≅∆, 从而,△11E P S 是正三角形.同理可得,△11G Q R 也是正三角形.设U ,V 分别是11P S ,11Q R 的中点,于是有1111113322E G E U U V V G P S P Q Q R ≤++=++111113322P Q P S B D A C =+=+,同理可得 1322F H A C B D ≤+,把上面两式相加,得132y x +≤,即y x132+≤.5. 已知凸四边形ABCD 满足AB =BC ,AD =DC .E 是线段AB 上一点,F 是线段AD 上一点,满足B ,E ,F ,D 四点共圆.作△DPE 顺向相似于△ADC ;作△BQF 顺向相似于△ABC .求证:A ,P ,Q 三点共线.(叶中豪供题)(注:两个三角形顺向相似是指它们的对应顶点同按顺时针方向或同按逆时针方向排列.) 证明将B 、E 、F 、D 四点所共圆的圆心记作O .联结OB 、OF 、BD .QPCABDEF在△BDF 中,O 是外心,故∠BOF =2∠BDA ; 又△ABD ∽△CBD ,故∠CDA =2∠BDA . 于是∠BOF =∠CDA =∠EPD ,由此可知等腰△BOF ∽△EPD . ①另一方面,由B 、E 、F 、D 四点共圆知△ABF ∽△ADE . ② 综合①,②可知,四边形ABOF ∽四边形ADPE , 由此得∠BAO =∠DAP . ③同理,可得∠BAO =∠DAQ . ④ ③,④表明A 、P 、Q 三点共线. 【附注】事实上,当四边形ABCD 不是菱形时,A 、P 、Q 三点共线 与B 、E 、F 、D 四点共圆互为充要条件.可利用同一法给予说明:取定E 点,考虑让F 点沿着直线 AD 运动.根据相似变换可知,这时Q 点的轨迹必是一条直线,它经 过P 点(由充分性保证).以下只要说明这条轨迹与直线AP 不重合即可,即只要论 证A 点不在轨迹上.为此,作△BAA ′∽△BQF ∽△ABC .于是由∠BAA ′=∠ABC , 可得A ′A ∥BC .又因四边形ABCD 不是菱形,故AD 不平于BC .这就表明A ′、A 、D 三点不共线,也就保证了A 点不在轨迹上. 因此,只有当B 、E 、F 、D 四点共圆时,Q 点才落在直线AP 上. 而当四边形ABCD 是菱形时,不管E 、F 位置如何,所得到的 P 、Q 两点总位于对角线AC 上.6.设正数列12,,,,n x x x 满足721187)8x x x -=(及 88211171,2()k k k k k k k x x x x x k x x -+----=≥.求正实数a ,使得当1x a >时,有单调性12n x x x >>>> ; 当10x a <<时,不具有单调性. 解:由88211171()k k k k k k k x x x x x x x -+----=,有1881111k k kk k k x x x x x x +---=-即1288811111117==8k kkkk k x x x x x x x xx+---=-=-A'QPCABDEFP QCBDAFE。
奥数-2008学年第二学期八年级数学全科竞赛答案

2008学年第二学期八年级数学全科竞赛答案一、仔细选一选(每题3分,共30分)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 CBDCDCCCAD二、仔细填一填(每题4分,共32分)11. 43≤x ; 12. 14 ; 13. 27 ; 14. 240 ;15.81; 16. 16 , 36 , 3n (n+1) ; 三、解答题(共58分)17. (6分)计算: (1)18232;- (2) (4827)362 3.-÷+⨯原式=-52 ...3 原式=-1+26 (3)18. (6分)解方程(1) ()9142=-x (2) 03422=-+x x解;21,2521-==x x …3 解;2101,210121--=+-=x x …3 19.(8分)(1)频数分布表中的a= 0.18 ,b= 78 ,c= 56 ,d= 0.28 . … 4 (2)…6(3) 76辆 (8)20.( 8分)⑴证明:∵A C ⊥AB ∴∠BAC=90° ∵△AB C ≌ΔAB 1C.∴∠BAC=∠B 1AC=90° … 1 AB=B 1A又∵□ABCD∴A B ∥CD, A B=CD∴A B 1∥CD, A B 1=CD ... 3 ∴四边形ACDB 1为矩形 (4)⑵ ∵S □ABCD =24 ∴ S △ACD =12 … 5 ∵四边形ACDB 1为矩形 ∴ AE=ED∴S △AEC = S △ECD … 7 S △AEC =21S △ACD =6 … 8 21.(8分)⑴真命题:已知四边形ABCD 中,AC,BD 交于点O,AC ⊥BD,AC 平分BD,AD//BC, 则四边形ABCD 为菱形. (2)证明: ∵AD//BC ∴∠ADB=∠DBC, ∠DAC=∠BCA, 又∵AC 平分BD ∴BO=DO, ∴△BOC ≌ΔDOA,. ... 3 ∴OA=OC ∴四边形ABCD 是平行四边形... 4 又∵AC ⊥BD ∴四边形ABCD 是菱形 ... 5 ⑵假命题: 已知四边形ABCD 中, AC,BD 交于点O, AC ⊥BD, AC 平分BD, ∠DAO=∠ODA, 则四边形ABCD 为菱形. ... 6 如图所示即反例. (8)22.(8分)(1)2008年的客流量预计 30 万人次,比2007年增加 4 万人次,在2006年、2007年、2008年这三年中,客流量增加最多的是 2007 年; (3)(2)解:设年增长率为x,得30(1+x )2=43.2 … 5 解得 x 1=20% , x 2=2.2 (舍去)… 7 答:增长率为20%. … 8 23.(10分)(1)证明:连结AC, ∵菱形ABCD, ∠BAD=120° ∴∠B=∠ACD=∠BAC=60°∴ AB=AC ... 1 又∵△AEF 为正三角形 ∴AE=AF, ∠EAF=60° ∴∠BAE=∠CAF=60°-∠EAC (3)∴△BAE ≌ΔCAF (4)∴BE=CF, ∴不论E,F 在BC,CD 上如何移动,总有BE=CF; … 5 (2)不存在,无数个,一个,无数个,三个 … 10 (每个一分) 24.(12分)(1)1)证明:在正方形ABCD 中,无论点P 运动到AB 上何处时,都有AD =AB ∠DAQ =∠BAQ AQ =AQ ……2分∴△ADQ ≌△ABQ ……………………………3分(2),解:过点Q 作QE ⊥y 轴于点E ,QF ⊥x 轴于点F .21QE AD ⨯=ABCD 正方形S 61=38 ∴QE =34 ∵点Q 在正方形对角线AC 上 ∴Q 点的坐标为44()33,∴ 过点D (0,4),Q ()34,34两点的函数关系式为:42+-=x y ……………5分 当0=y 时,2=x ∴P 点的坐标为(2,0)……………6分 ∴2=AP 时,△ADQ 的面积是正方形ABCD 面积的61.…7 分 (3)若△ADQ 是等腰三角形,则有 QD =QA 或DA =DQ 或AQ =AD①当点P 运动到与点B 重合时,由四边形ABCD 是正方形知QD =QA此时△ADQ 是等腰三角形……………………8分 ②当点P 与点C 重合时,点Q 与点C 也重合,此时DA =DQ , △ADQ 是等腰三角形 ………9分③解法一:如图,设点P 在BC 边上运动到x CP =时,有AD =AQ ∵ AD ∥BC ∴∠ADQ =∠CPQ又∵∠AQD =∠CQP , ∠ADQ =∠AQD ∴∠CQP =∠CPQ ……………………10分 ∴ CQ =CP =x∵AC =24 , AQ = AD =4∴424-=-==AQ AC CQ x ……………………11分 即当424-=CP 时,△ADQ 是等腰三角形∴P 点的坐标为(4,8-42)……………………12分 解法二:设点P 在BC 上运动到y BP =时,有AD =AQ . 过点Q 作QE ⊥y 轴于点E ,QF ⊥x 轴于点F ,则QF QE = 在Rt △AQF 中,4=AQ ,∠QAF =45° ∴QF ==22 ∴Q 点的坐标为(22,22) ∴过D 、Q 两点的函数关系式:x y )21(-=+4当x =4时,248-=y∴P 点的坐标为(4,8-42).……………………12分。
2008年全国高中数学联赛试题及答案

2008年全国高中数学联赛受中国数学会委托,2008年全国高中数学联赛由重庆市数学会承办。
中国数学会普及工作委员会和重庆市数学会负责命题工作。
2008年全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容,但在方法的要求上有所提高。
主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况,以及综合和灵活运用的能力。
全卷包括6道选择题、6道填空题和3道大题,满分150分。
答卷时间为100分钟。
全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨,在知识方面有所扩展,适当增加一些竞赛教学大纲的内容。
全卷包括3道大题,其中一道平面几何题,试卷满分150分。
答卷时问为120分钟。
一 试一、选择题(每小题6分,共36分)1.函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是 ( )。
(A )0 (B )1 (C )2 (D )3 2.设[2,4)A =-,2{40}B x x ax =--≤,若B A ⊆,则实数a 的取值范围为( )。
(A )[1,2)- (B )[1,2]- (C )[0,3] (D )[0,3) 3.甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为23,乙在每局中获胜的概率为13,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 ( )。
(A )24181 (B )26681 (C )27481(D ) 6702434.若三个棱长均为整数(单位:cm )的正方体的表面积之和为564 cm 2,则这三个正方体的体积之和为 ( )。
(A )764 cm 3或586 cm 3 (B ) 764 cm 3 (C )586 cm 3或564 cm 3 (D ) 586 cm 35.方程组0,0,0x y z xyz z xy yz xz y ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩的有理数解(,,)x y z 的个数为 ( )。
2008年全国高中数学联赛及加试新疆赛区成绩

2008年乌鲁木齐地区高中数学竞赛情况通报一、全国第七届女子数学奥林匹克2008女子数学奥林匹克(第七届)于2008年8月13日至18日在广东省中山纪念中学举行。
国内各省会城市和部分计划单列市组队参加;同时还邀请美国、俄罗斯、菲律宾以及我国香港、澳门组队参加。
乌鲁木齐市代表队:领队:曾世威(乌市教研中心)王红(乌市一中)曹湘江(新疆实验中学)队员:李奕菲(乌市一中)黄自睿(乌市一中)王毅彬(新疆实验中学)杨炜(新疆实验中学)新疆生产建设兵团队:领队:孔彩霞(兵团教研室)徐波(兵团二中)队员:郭晔嘉孟夏李灵林晓(以上四位队员均为兵团二中学生)二、第八届中国西部数学奥林匹克第八届中国西部数学奥林匹克于2008年10月31日至11月4日在贵州省贵阳市贵州师大附中举行。
新疆队:领队:赵一军(乌市第八中学)李瑞瑜(新疆实验中学)队员:张皓晨(铜牌乌市八中)王飞翔(铜牌新疆实验中学)朱生龙(铜牌乌市高级中学)王明明(新疆实验中学)新疆生产建设兵团队:领队:封江勇(兵团二中)队员:宋少鹏(银牌)贠帆(铜牌)宋少栋艾平(以上四位队员均为兵团二中学生)三、2008年全国高中数学联赛及加试2008年全国高中数学联赛及加试于10月12日在兵团二中举行,乌鲁木齐赛区由兵团二中成功举办,在此致谢。
我市1786名高三、高二学生参赛,其中385位同学分获全疆一、二、三等及鼓励奖(见下表)。
获一等奖学生的指导教师获中国数学会颁发的优秀教练员证书;获二、三等奖学生的指导教师获新疆数学会颁发的优秀教练员证书(不累计计算,按最高荣誉证书颁发)。
获奖证书在2008年12月18日全市高三教师教研会上颁发。
一等奖(18名)二等奖(61名)三等奖(134名)鼓励奖(172名)乌鲁木齐市教研中心乌鲁木齐市数学学会2008年12月8日。
解答一道新题征解题

志
中国西部数学奥林 匹克竞赛 中的一道 题及 20 0 8年高考 江西理科卷压轴题在《 新题征展 (0 ) 提 出了如下一 17 中》
道 征解 题 :
(当 <<时1g, )2 2 丢 n8 , () <; ) < , ,
() 口 3 当 ≥8时 , —
 ̄ /l+a
≤g 戈 Yz 2 ( ,,)< .
仍令 ,= ,=。 得⑥即 = , 粤, P) q r
趴 一
由 < }得 0n , ≤ 【
“ 尝巫 , + ⑤
5
丽P + + ・ 。 。 ≥ 丽q r 志 、 、 嗝
由柯西不等式 , 得
Yp p p + q) Z 、 Y ( ar ≥( p ) ,
求数 , + (, 函 y , = ) 南+ y ∈
R+xz , , =a a是已知的正常数) y 的值 域. 本文将得到该题的完整答案是 : 0<口 1 , 当 ≤ '时 所 ,
证明
( 先证 g ,, ) ( y=
‘
, 证 下
舞 高
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令 X=似 , =a , , l y Z= R= ,
9 pZ Z p ≥9( p ) ∑ =( p ) 3Z ≥( p Z ),
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2008年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)

2008年全国高中数学联合竞赛(B 卷)一试一、选择题:本大题共6个小题,每小题6分,共36分。
2008B1、函数xx x x f -+-=245)(2在)2,(-∞上的最小值为()A.3B.2C.1D.0◆答案:B★解析:当2x <时,20x ->,因此21(44)1()(2)x x f x x +-+==+---2≥2=,当且仅当122x x=--时上式取等号.而此方程有解1(,2)x =∈-∞,因此()f x 在(,2)-∞上的最小值为2.2008B 2、设)4,2[-=A ,{}04|2≤--=ax x x B ,若A B ⊆,则实数a 的取值范围为()A.)3,0[B.]3,0[C.)2,1[-D.]2,1[-◆答案:B★解析:因240x ax --=有两个实根12a x =-,22a x =+故B A ⊆等价于12x ≥-且24x <,即22a ≥-且42a <,解之得03a ≤<.2008B 3、甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为32,乙在每局中获胜的概率为31,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数ξ的数学期望是()A.243670B.81274 C.81266 D.81241◆答案:C★解析:[解法一]依题意知,ξ的所有可能值为2,4,6.设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为22215()()339+=.若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有5(2)9P ξ==,4520(4)()()9981P ξ===,2416(6)()981P ξ===,故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=.[解法二]依题意知,ξ的所有可能值为2,4,6.令k A 表示甲在第k 局比赛中获胜,则k A 表示乙在第k 局比赛中获胜.由独立性与互不相容性得12125(2)()()9P P A A P A A ξ==+=,1234123412341234(4)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++332112202[()()()(333381=+=,1234123412341234(6)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++2221164()(3381==,故52016266246E ξ=⨯+⨯+⨯=.2008B 4、若三个棱长均为整数(单位:cm )的正方体的表面积之和为5642cm ,则这三个正方体的体积之和为()A.5863cmB.5643cm 或5863cmC.7643cmD.7643cm 或5863cm◆答案:D★解析:设这三个正方体的棱长分别为,,a b c ,则有()2226564a b c ++=,22294a b c ++=,不妨设110a b c ≤≤≤<,从而2222394c a b c ≥++=,231c >.故610c ≤<.c 只能取9,8,7,6.若9c =,则22294913a b +=-=,易知2a =,3b =,得一组解(,,)(2,3,9)a b c =.若8c =,则22946430a b +=-=,5b ≤.但2230b ≥,4b ≥,从而4b =或5.若5b =,则25a =无解,若4b =,则214a =无解.此时无解.若7c =,则22944945a b +=-=,有唯一解3a =,6b =.若6c =,则22943658a b +=-=,此时222258b a b ≥+=,229b ≥.故6b ≥,但6b c ≤=,故6b =,此时2583622a =-=无解.综上,共有两组解2,3,9a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或3,6,7.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩体积为3331239764V =++=cm 3或3332367586V =++=cm 3.2008B 5、方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+=++000y xz yz xy z xyz z y x 的有理数解),,(z y x 的个数为()A.4B.3C.2D.1◆答案:C★解析:若0z =,则00.x y xy y +=⎧⎨+=⎩,解得00x y =⎧⎨=⎩,或11.x y =-⎧⎨=⎩,若0z ≠,则由0xyz z +=得1xy =-.①由0x y z ++=得z x y =--.②将②代入0xy yz xz y +++=得220x y xy y ++-=.③由①得1x y=-,代入③化简得3(1)(1)0y y y ---=.易知310y y --=无有理数根,故1y =,由①得1x =-,由②得0z =,与0z ≠矛盾,故该方程组共有两组有理数解0,0,0x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或1,1,0.x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩2008B 6、设ABC ∆D 的内角C B A ,,所对的边c b a ,,成等比数列,则BC B AC A cos cot sin cos cot sin ++的取值范围为()A.),215(+∞- B.)215,215(+- C.)215,0(+ D.),0(+∞◆答案:B★解析:设,,a b c 的公比为q ,则2,b aq c aq ==,而sin cot cos sin cos cos sin sin cot cos sin cos cos sin A C A A C A C B C B B C B C ++=++sin()sin()sin sin()sin()sin A C B B bq B C A A aππ+-=====+-.因此,只需求q 的取值范围.因,,a b c 成等比数列,最大边只能是a 或c ,因此,,a b c 要构成三角形的三边,必需且只需a b c +>且b c a +>.即有不等式组22,a aq aq aq aq a ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩即2210,10.q q q q ⎧--<⎪⎨+->⎪⎩,解得1551,225151.q q q ⎧-<<⎪⎪⎨⎪><-⎪⎩或从而1122q -<<,因此所求的取值范围是11(22.二、填空题:本大题共6小题,每小题9分,共54分。
2008年全国初中数学联赛决赛试题(江西卷)详细解题答案

2008年全国初中数学联赛决赛试题(江西卷)参考答案(2008年4月19日 上午9:00—11:30)-、选择题(每小题7分,共42分)1 、解:由1114123+=,而1111,236++=故删去11810与后,可使剩下的数之和为1.故选C2====12.故选A . 3、解:555=5×545=5×18125,因125被8除余l ,所以18125被8除余l ,故知555被8除余5,而在125、375、625、875四数中,只有125被8除余5,故选A4 、解:由(1)、(3)得2x y x =-,63x z x =-,故x ≠0,代人(2)解得2710x =,所以277y =, z =-54.检验知此组解满足原方程组.于是10X +7y +Z =0.故选D5、解:图中只有边长为1或2的两种菱形,每个菱形恰有一条与其边长相等的对角线,原正三角形内部每条长为1的线段,恰是一个边长为1的菱形的对角线;这种线段有18条,对应着18个边长为1的菱形;原正三角形的每条中位线恰是一个边长为2的菱形的对角线,三条中位线对应着3个边长为2的菱形;共得21个菱形. 选C6、解:设28abcd =3()xy ,则据末位数字特征得y =2,进而确定xy :因360=216000,370=343000,所以60<xy <70,故只有,xy =62,而262=238328,则ab =38,cd =32,ab +cd =70. 故选D二.填空题(每小题7分,共28分)7、解:据条件式9........1xy +=()令z ,则(1)式化为:z xy ++9,即有9-z =xy81-18z +2z =2222(1)(4)2x y x y xy ++++……(2),又由2z =2(=2222(4)(1)2x y y x xy ++++代入(2)得,81-18z=4,所以7718z =. 8、解:l +2+…+61=1891,2008—1891=117,由于形如ab 的页码被当成ba 后,加得的和数将相差9a b -,因为,a b 只能在1,2,…,9中取值,a b -≤8,得9a b -≤72,由于117=72+45=63+54,设弄错的两位数是ab和cd,若9a b-=72,9c d-=45,只有ab =19,而cd可以取l6,27,38,49;这时ab+cd的最大值是68;若9a b-=63,9c d-=54,则ab可以取18,29,而cd可以取17,28,39,ab+cd的最大值也是68.9、解:如右图,连OA,OB,OC,线段OA将阴影的上方部分剖分成两个弓形,将这两个弓形分别按顺时针及反时针绕点O旋转0120后,阴影部分便合并成△OBC,它的面积等于△A BC10、解:6=3(8+,令8+a,8-b,得 a+b=16,ab=4,a,b 是方程21640x x-+=的两个根,故得2a=16a-4,2b=16b-4;3a=162a-4a,32164b b b=-;所以3a+3b=16(2a+2b)-4(a+b)=16(16(a+b)一8)-4(a+b)=252(a+b)-128=3904.∵0<b<1,∴0<3b<1,∴3a的最大整数值不超过3903.三.解答题(共70分)11、解:当a=0时,方程的有理根为75x=;……5分以下考虑a≠0的情况,此时原方程为一元二次方程,由判别式2(5)4(7)0,a a a+-+≥即32a+18a-25≤0a≤≤整数a只能在其中的非零整数1,-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7中取值,…… 10 分由方程得x= (1)当a=1,由(1)得x=2和4;当a=-1时,方程无有理根;当a=-2,由(1)得x=1和-52;当a=-3时,方程无有理根;……15分当a=-4,由(1)得x=-1和34;当a=-5时,方程无有理根;当a=-6,由(1)得x=12和-13;当a=-7时,由(1)得x=37和17-;…… 20分A P 12、证明:EF 截△PMN ,则.. 1..........(1)NK MF PE KM FP EN=……5分 BC 截 △PAE ,则.. 1...........(2)EB AC PN BA CP NE =,即有2,PN CP NE AC = 所以2..............(3)PE CP AC EN AC+=, ……10分AD 截△PCF ,则..1,FD CA PM DC AP MF=即22,............(4)PM AP PF AP AC MF AC MF AC-=∴=……15分 因AP =AC +CP ,得2CP + AC =2AP -AC ,由(3),(4)得,,........20PE FP EN MF=分 —即.1,MF PE FP EN =所以由(1)得 NK =KM ,即K 是线段 AM 的中点 ……25分 13、解:将这120人分别编号为12120,,....,P P P ,并视为数轴上的120个点,用k A 表示这120人之中未答对第k 题的人所成的组,k A 为该组人数, k=l ,2,3,4,5,则1A =24,234537,46,54,85,A A A A ==== ……5分将以上五个组分别赋予五种颜色,如果某人未做对第k 题,则将表示该人点染第k 色,k=l ,2,3,4,5,问题转化为,求出至少染有三色的点最多有几个?由于1A +2345A A A A +++=246,故至少染有三色的点不多于2463=82个,……10分 右上图是满足条件的一个最佳染法,即点1285,,....,P P P 这85 个点染第五色;点1237,,....,P P P这37个点染第二色;点383983,,....,P P P 这46个点染第四色;点1224,,....,P P P 这24 个点染第一色;点252678,,....,P P P 这54个点染第三色;于是染有三色的点最多有78个. …20分因此染色数不多于两种的点至少有42个,即获奖人数至少有42个人(他们每人至多答错两题,而至少答对三题,例如7980120,,...,P P P 这 42 个人) …… 25分陈永华录入 cryzcyh@85 46 5437 24。
第六届中国西部数学奥林匹克试题及解答

⎧β 2 + dβ + a = 0, b−a 其次,若(1)与(2)有公共实根 β ,则 ⎨ 2 两式相减,得 β = >0, d −c ⎩ β + cβ + b = 0,
这时, β 2 + dβ + a > 0 ,矛盾.所以, (1)与(2)没有公共实根,从而 k = 4 符合要求. 综上,问题的答案为 k = 4 . 三. (熊斌供题) 如图,在△PBC 中, ∠PBC = 60° ,过点 P 作△PBC 的外接圆ω的 切线,与 CB 的延长线交于点 A. 点 D 和 E 分别在线段 PA 和圆ω上,使得 ∠DBE = 90° , PD=PE. 连接 BE,与 PC 相交于点 F. 已知 AF,BP,CD 三线共点. (1) 求证:BF 是 ∠PBC 的角平分线; (2) 求 tan ∠PCB 的值. 解(1)当 BF 平分 ∠PBC 时,由于 ∠DBE = 90° ,所以,BD 平分 ∠PBA ,于是
另一方面,设 a, b, c, d 是不小于 4 的 4 个不同实数,不妨设 4 ≤ a < b < c < d ,考察方程
x 2 + dx + a = 0,
(1) (2)
和
x 2 + cx + b = 0 .
首先, d 2 − 4a > 4(d − a) > 0, c 2 − 4b > 4(c − b) > 0 ,故(1) 、 (2)都有两个不同实根.
= 2
4 6 6 2
≤ 23 ⋅
2
= 23
所以
1 ( a i + 1 − a i +1 + 2 ) 6 1 ⋅ ( a i − a i + 1 + 3 ), 6
2008年第七届中国女子数学奥林匹克试题及解答(中山)

下面证明:
设P 1 , Q1 , R1 , S1 分别是边 DA,AB,BC,CD 的中点,SP,PQ,QR,RS 的中点分别 为 E,F,G,H.则 P 1 Q1 R1 S1 是平行四边形. 连接 P 1 E , S1 E ,设点 M,N 分别是 DP,DS 的中点,则 DS = S= DN = EM , 1 1N DP = PM = MD = EN , 1 1 又 ∠P = 360° − 60° − 60° − ∠PDS 1 DS 1 = 240° − (180° − ∠END) = 60° + ∠END = ∠ENS1 = ∠EMP 1, 所以 ∆DPS 1 1 ≅ ∆MP 1 E ≅ ∆NES1 ,
n + 3 n+3 , 2n + 1 . 2, 2n,3n + 1 − , , n − 1, n + 2 2 当 n 为奇数时,依次取上述数组为 A1 , A2 , , An ,则其为满足题设的三元子集族.故 n 为 所有的奇数.
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2 因为 x1 , x2 , x3 大于 0,所以 ( x1 − x2 )( x12 − x2 ) ≥ 0.
3
②
2 3 也就是 x12 x2 + x2 x1 ≤ x13 + x2 .
2 2 3 3 2 3 同理 x2 x3 + x3 x2 ≤ x2 + x3 , x3 x1 + x12 x3 ≤ x3 + x13 .
λµ
λ
ϕ
ϕ2
b b , S3 = 2 , S 4 = 1 − b ,则我们有 t t
S3 S1 S 2 b b 1+ 5 = = t ∈ ( a, ), = > > 2 > a, 2 S 2 S3 2 S 4 t (1 − b) 4(1 − b) 由此我们得到对任意 i, j ∈ {1, 2,3, 4} ,有 Si ∉ [a −1 , a ] .这表明 amin = ϕ . Sj
08年女子数学奥林匹克最后一题的解答

8.对于正整数n ,令22n f +⎡⎡=⎣⎣.求证:数列12,,f f ⋯中有无
穷多个奇数和无穷多个偶数.([x ]表示不超过x 的最大整数)
(冯祖鸣供题)
12(2)101100.a a =⋯和12(2)
101100.b b =⋯首先,我们证明数列中有无穷多个偶数.反证法,假设数列中只有有限个偶数,从而存在一个正整数N ,对每个正整数n N >,n f 都是奇数.我们考虑
121,2,n N n N =+=+⋯注意到,在二进制中,
1212(2)(2)101100101100i i i n n n f b b b a a a =+⋯⋯,
这个数模2同余于i i n n b a +.因为i n f 是奇数,所以{,}{0,1}i i n n b a =.从而
121(2)1011001.111m c c c −=⋯⋯.
由此得到
在二进制中是有理数,这是不可能的,因为
+偶数.
我们同样可以证明数列中有无穷多个奇数.令n g −⎢⎢=⎣⎣,显然n g 和n f 有相同的奇偶性.这样,对n N >,n g 都是偶数.注意到,在二进制中,
1212(2)(2)101100101100i i i n n n g b b b a a a =−⋯⋯,
这个数模2同余于i i n n b a −.因为i n g 是奇数,所以i i n n b a =.从而
121(2)0.000m d d d −=⋯⋯.
由此得到−在二进制中是有理数,这是不可能的,因为
−奇数.。
中国西部数学奥林匹克(2001-2009)

2 当 n = 1 时 ,由条件知 ① 成立 .
①
第二天
1. 求所有的实数 x , 使得 [ x ] = 4 x + 3. 这里 [ y ] ( 杨文鹏) 表示不超过实数 y 的最大整数 . 2. P 为 ⊙O 外一点 ,过 P 作 ⊙O 的两条切线 , 切 B . 设 Q 为 PO 与 AB 的交点 ,过 Q 作 ⊙O 点分别为 A 、 的任意一条弦 CD . 证明 : △PAB 与 △PCD 有相同的 ( 刘康宁) 内心 . π ,使得 3. 求所有的实数 x ∈ 0 , 2 π (2 - sin 2 x ) sin x + =1, 4
2. 如 图 1 , 以 FE 、
FD 为 邻 边 作 EFDG.
+ qx + rx + s = 0 的 4 个根 . 求这种正方形面积的最
事实上 ,有
x + y +z ≥
2 2 2
于是 ,2 t2 + 2 t - 1 ≥ 2×
1 ( x + y + z) 2 3
1 ( xyz ) 2 ≥ 3 xyz ,如果 xyz ≥ 3 3, ≥ 3 3 ( xyz ) 2 ≥ 3 xyz ,如果 xyz < 3 3 . 3
故
x + y +z 的最小值为 3. xyz
m . 求所有的整数 x ,使得 x x
2
n
( 李胜宏) 并证明你的结论 . 4. 我们称 A 1 , A 2 , …, A n 为集合 A 的一个 n 分划 , 如果 (1) A 1 ∪A 2 ∪…∪A n = A ; (2) A i ∩A j ≠ ,1 ≤i < j ≤n .
求最小正整数 m ,使得对 A = {1 ,2 , …, m } 的任意一个 14 分划 A 1 , A 2 , …, A 14 ,一定存在某个集合 A i (1 ≤i ≤
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2008年中国西部数学奥林匹克(2008年11月1日 8:00-12:00)贵州省贵阳市每题15分1. 实数数列}{n a 满足:1,00≠a ,011a a -=,)(11n n 1n a a a --=+,n=1,2,…. 证明:对任意正整数n ,都有 )111(n1010a a a a a a n +++ =1. 证明:由条件可知1-a n+1=a n (1-a n )=a n a n-1(1-a n-1)=…=a n …a 1(1-a 1)=a n …a 1a 0,即a n+1= 1-a 0a 1…a n ,n=1,2,…. 下面对n 归纳来证明当n=1时,命题显然成立.假设n =k 时,命题成立,对n=k+1的情形有 )1111(1k k 101k 10++++++a a a a a a a =k 2101k10k 210)111(a a a a a a a a a a a a k +++++ =k 2101a a a a a k ++=1. 故命题对n=k+1成立.所以,对任意正整数n,2. 在ABC ∆中,AC AB =,其 内切圆⊙I 切边AB CA BC ,, 于点F E D ,,,P 为弧EF (不含点D 的弧)上一点. 设线段BP 交⊙I 于另一点Q ,直线EQ EP ,分别交直线BC 于点N M ,.证明:(1) M B F P ,,,四点共圆; (2)BPBDEN EM =. 证明: (1) 连EF,由条件可知EF//BC,故∠ABC=∠AFE=∠AFP+∠PFE=∠PEF+∠PFE=180︒-∠FPE. 所以,P,F,B,M 四点共圆.(2) 利用正弦定理,EF//BC 及P,F,B,M 四点共圆可知EMN ENM EN EM ∠∠=sin sin =)sin(sin PFB FEN∠-∠π=PFB FPB ∠∠sin sin =BPBF . 结合BF=BD 即可知命题成立.3.设整数2≥m ,m 21,,a a a ,都是正整数.证明:存在无穷多个正整数n ,使得数n n n m a a a ⋅++⋅+⋅m 2121 都是合数.证明:取数a 1+2a 2+…+ma m 的质因子p,由Fermart 小定理可知对任意1≤k ≤m,都有k p ≡k(mod p),所以,对任意正整数n,都有a 1⋅np 1+a 2⋅np 2+…+a m ⋅np m ≡a 1+2a 2+…+ma m ≡0(mod p), 从而,数a 1⋅np 1+a 2⋅np 2+…+a m ⋅np m (n=1,2,…)都是合数.4.设整数2≥m ,a 为正实数,b 为非零实数,数列}{n x 定义如下:b x =1, ,2,1,1=+=+n b x a x mn n .证明:(1) 当b <0且m 为偶数时,数列}{n x 有界的充要条件是1-m ab ≥-2; (2) 当b <0且m 为奇数,或b >0时,数列}{n x 有界的充要条件是1-m ab≤mm m m 1)1(--.证明:(1) 当b<0且m 为偶数时,如果ab m-1<-2,那么首先有ab m +b>-b>0,于是a(ab m +b)m +b>ab m +b>0,即x 3>x 2>0.利用ax m +b 在(0,+∞)上单调增可知数列}{n x 的每一项都比前一项大,并且从第二项起每一项都大于-b. 考察数列}{n x 中的连续三项x n ,x n+1,x n+2,n=2,3,…,我们有x n+2-x n+1=a(x n+1m -x n m )=a(x n+1-x n )(x n+1m-1+x n+1m-2x n +…+x n m ) >amx n m-1(x n+1-x n )>am(-b)m-1(x n+1-x n )>2m(x n+1-x n )>x n+1-x n , 这表明数列}{n x 中相邻两项的差距越来越大,因此是无界的. 若ab m-1≥-2,我们用归纳法证明数列}{n x 的每一项都落在区间[b,-b]中. 第一项b 已经在区间[b,-b]中,如果某项x n 满足b ≤x n ≤-b ,那么0≤x n m ≤b m ,从而b=a ⋅0m +b ≤x n+1≤ab m +b ≤-b.所以,此时数列}{n x 有界的充要条件为ab m-1≥-2. (2) 当b>0时,数列}{n x 的每一项都是正数.我们先来证明,数列{x n }有界的充要条件是方程ax m +b=x 有正实根.如果方程ax m +b=x 无正实根,那么函数p(x)= ax m +b-x 在(0,+∞)上的最小值大于0,不妨设其为t .那么对于数列中的任意连续两项x n 与x n+1,有x n+1-x n =a m n x -x n +b ,故数列}{n x 中后一项至少比前一项大t ,因而此时无界. 如果ax m +b=x 有正实根,设其一正根为x 0,下面利用归纳法证明数列}{n x 中的每一项都小于x 0.首先第一项b 显然小于x 0,假设某项x n <x 0,由ax m +b在[0,+∞)上是增函数知x n+1=a m n x +b<a m 0x +b=x 0,因此数列有界.而ax m +b=x 有正根的充要条件是ax m-1+xb在(0,+∞)上的最小值不大于1,而ax m-1+xb的最小值可以由平均值不等式给出,即axm-1+x b =ax m-1+xm b x m b )1()1(-++- ≥m m m m ab m 11)1(---. 此时数列{x n }有界的充要条件是m m m m ab m 11)1(---≤1,即1-m ab ≤mm m m 1)1(--.当b<0,m 为奇数时,令y n =-x n ,则y 1=-b>0,y n+1=ay n m +(-b),注意到{x n }有界的充要条件是{y n }有界,故可转化为上述情形.综上可知(2)成立.2008年中国西部数学奥林匹克第二天(2008年11月2日 8:00-12:00)贵州省贵阳市每题15分5. 在一直线上相邻两点的距离都等于1的四个点上各有一只青蛙,允许任意一只青蛙以其余三只青蛙中的某一只为中心跳到其对称点上.证明:无论跳动多少次后,四只青蛙所在的点中相邻两点之间的距离不能都等于2008. 证明:将青蛙放在数轴上讨论,不妨设最初四只青蛙所在的位置为1,2,3,4.注意到,处于奇数位置上的青蛙每次跳动后仍处在奇数位置上,处于偶数位置上的青蛙每次跳动后仍处在偶数位置上.因此,任意多次跳动后,四只青蛙中总是两只处于奇数位置上,另两只处在偶数位置上.如果若干次跳动后,青蛙所在位置中每相邻两只之间的距离都是2008,则要求它们处在具有相同奇偶性的位置上,不可能.6. 设)1,0(∈z y x ,,,满足:2111=-+-+-xyzzx y yz x , 求xyz 的最大值.解: 记u=6xyz ,则由条件及均值不等式可知 2u 3=2xyz =∑-)33(31x x ≤∑-+2)33(31x x =233-31(x+y+z) ≤233-33xyz ⋅=233-3u 2.故4u 3+23u 2-33≤0,即(2u-3)(2u 2+23u+3)≤0,所以,u ≤23.依此可知,xyz ≤6427,等号在x=y=z=43时可以取到.因此,所求最大值为6427.7. 设n 为给定的正整数,求最大的正整数k ,使得存在三个由非负整数组成的k 元集}{21k x x x A ,,, =,}{21k y y y B ,,, =和}{21k z z z C ,,, =满足:对任意1≤j ≤k ,都有n z y x j j j =++. 解:由条件可知kn ≥∑=++ki i i i z y x 1)(≥3∑-=1k i i =2)1(3-k k ,因此,k ≤[32n]+1. 下面给出k=[32n]+1的例子 若n=3m,对1≤j ≤m+1,令x j =j-1,y j =m+j-1,z j =2m-2j+2;对m+2≤j ≤2m+1,令x j =j-1,y j =j-m-2,z j =4m-2j+3即可;若n=3m+1, 对1≤j ≤m,令x j =j-1,y j =m+j,z j =2m-2j+2;对m+1≤j ≤2m,令x j =j+1,y j =j-m-1,z j =4m+1-2j;而x 2m+1=m,y 2m+1=2m+1,z 2m+1=0即可;若n=3m+2, 对1≤j ≤m+1,令x j =j-1,y j =m+j,z j =2m-2j+3;对m+2≤j ≤2m+1,令x j =j,y j =j-m-2,z j =4m-2j+4;而x 2m+2=2m+2,y 2m+2=m,z 2m+2=0即可. 综上可知,k 的最大值为[32n]+1.8. 设P 为正n 边形n A A A 21内的任意一点,直线P A i 交正n 边形n A A A 21的边界于另一点i B ,i =1,2,…,n .证明:∑∑==≥ni i ni i PB PA 11.证明: 记t=[2n]+1,并设A n+j =A j ,j=1,2…,n. 注意到,正n 边形的任意一个顶点与边界上任意一点之间的距离不大于其最长的对角线的长度d,因此,对任意1≤i ≤n,都有 A i P+PB i =A i B i ≤d ①另一方面,由三角形两边之和大于第三边可知,对任意1≤i ≤n,都有 A i P+PA i+t ≥A i A i+t =d ②对①,②分别对i=1,2,…,n 求和可得∑∑==++≥≥+ni i i ni t i i PB P A nd PA P A 11)()(,即2∑∑∑===+≥ni i n i i n i i PB P A PA 111,依此可知命题成立.。