2008年中国西部数学奥林匹克解答

2008年中国西部数学奥林匹克

(2008年11月1日 8：00-12：00)

贵州省贵阳市

每题15分

1． 实数数列}{n a 满足：1,00≠a ，011a a -=，)(11n n 1n a a a --=+，n=1，2，…． 证明：对任意正整数n ，都有 )1

11(

n

1010a a a a a a n +++ =1． 证明：由条件可知1-a n+1=a n (1-a n )=a n a n-1(1-a n-1)=…=a n …a 1(1-a 1)=a n …a 1a 0,即a n+1= 1-a 0a 1…a n ,n=1,2,…. 下面对n 归纳来证明

当n=1时,命题显然成立.假设n ＝k 时,命题成立,对n=k+1的情形有 )1111(

1

k k 101k 10++++++a a a a a a a =k 2101k

10k 210)1

11(

a a a a a a a a a a a a k +++++ =k 2101a a a a a k ++=1. 故命题对n=k+1成立.

所以,对任意正整数n,

2． 在ABC ∆中，AC AB =，其 内切圆⊙I 切边AB CA BC ，， 于点F E D ，，，P 为弧EF (不含点D 的弧)上一点． 设线段

BP 交⊙I 于另一点Q ，直线

EQ EP ，分别交直线BC 于点N M ，．证明：

(1) M B F P ，，，四点共圆； (2)

BP

BD

EN EM =． 证明： (1) 连EF,由条件可知EF//BC,故

∠ABC=∠AFE=∠AFP+∠PFE=∠PEF+∠PFE=180︒-∠FPE. 所以，P,F,B,M 四点共圆.

(2) 利用正弦定理，EF//BC 及P,F,B,M 四点共圆可知

EMN ENM EN EM ∠∠=sin sin =)sin(sin PFB FEN

∠-∠π=PFB FPB ∠∠sin sin =BP

BF . 结合BF=BD 即可知命题成立.

3．设整数2≥m ，m 21,,a a a ，都是正整数．证明：存在无穷多个正整数n ，使得数n n n m a a a ⋅++⋅+⋅m 2121 都是合数．

证明：取数a 1+2a 2+…+ma m 的质因子p,由Fermart 小定理可知对任意1≤k ≤m,都有k p ≡k(mod p),所以，对任意正整数n,都有

a 1⋅n

p 1+a 2⋅n

p 2+…+a m ⋅n

p m ≡a 1+2a 2+…+ma m ≡0(mod p), 从而，数a 1⋅n

p 1+a 2⋅n

p 2+…+a m ⋅n

p m (n=1,2,…)都是合数.

4．设整数2≥m ，a 为正实数，b 为非零实数，数列｝

｛n x 定义如下：b x =1， ,2,1,1=+=+n b x a x m

n n ．证明：

(1) 当b <0且m 为偶数时，数列｝｛n x 有界的充要条件是1-m ab ≥-2； (2) 当b <0且m 为奇数，或b >0时，数列｝

｛n x 有界的充要条件是1

-m ab

≤m

m m m 1

)1(--．

证明：(1) 当b<0且m 为偶数时，如果ab m-1<-2，那么首先有ab m +b>-b>0，于是a(ab m +b)m +b>ab m +b>0,即x 3>x 2>0.利用ax m +b 在(0,+∞)上单调增可知数列｝

｛n x 的每一项都比前一项大,并且从第二项起每一项都大于-b. 考察数列｝

｛n x 中的连续三项x n ,x n+1,x n+2,n=2,3,…,我们有

x n+2-x n+1=a(x n+1m -x n m )=a(x n+1-x n )(x n+1m-1+x n+1m-2x n +…+x n m ) >amx n m-1(x n+1-x n )>am(-b)m-1(x n+1-x n )>2m(x n+1-x n )>x n+1-x n ， 这表明数列｝

｛n x 中相邻两项的差距越来越大,因此是无界的. 若ab m-1≥-2,我们用归纳法证明数列｝｛n x 的每一项都落在区间[b,-b]中. 第一项b 已经在区间[b,-b]中，如果某项x n 满足b ≤x n ≤-b ，那么0≤x n m ≤b m ，从而b=a ⋅0m +b ≤x n+1≤ab m +b ≤-b.

所以,此时数列｝

｛n x 有界的充要条件为ab m-1≥-2. (2) 当b>0时，数列｝｛n x 的每一项都是正数．我们先来证明，数列{x n }有界的充要条件是方程ax m +b=x 有正实根．

如果方程ax m +b=x 无正实根，那么函数p(x)= ax m +b-x 在(0,+∞)上的最小值大于0，不妨设其为t ．那么对于数列中的任意连续两项x n 与x n+1，有x n+1-x n =a m n x -x n +b ，故数列｝｛n x 中后一项至少比前一项大t ，因而此时无界． 如果ax m +b=x 有正实根，设其一正根为x 0，下面利用归纳法证明数列｝｛n x 中的每一项都小于x 0．首先第一项b 显然小于x 0,假设某项x n

在[0,+∞)上是增函数知x n+1=a m n x +b

而ax m +b=x 有正根的充要条件是ax m-1+x

b

在(0,+∞)上的最小值不大于1，

而ax m-1+x

b

的最小值可以由平均值不等式给出，即

ax

m-1

+x b =ax m-1

+x

m b x m b )1()1(-++- ≥m m m m ab m 1

1)1(---. 此时数列{x n }有界的充要条件是m m m m ab m 11)1(---≤1，即1

-m ab ≤m

m m m 1)1(--．

当b<0,m 为奇数时,令y n =-x n ,则y 1=-b>0,y n+1=ay n m +(-b),注意到{x n }有界的充要条件是{y n }有界,故可转化为上述情形.综上可知(2)成立.