第五章 三大抽样分布,充分统计量5.4,5.5PPT课件

12 February 2020
第五章 统计量及其分布
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5.4.2 F 分布
定义5.4.2 设X1 2(m), X2 2(n), X1与X2独立，
则称 F =(X1/m)/(X2/n) 的分布是自由度为 m 与 n 的 F分布，记为F F(m, n)，其中m 称为分子自 由度，n 称为分母自由度。其概率密度为
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该密度函 数的图像 是一只取 非负值的 偏态分布
E 2 n,
Var( 2 ) 2n
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第五章 统计量及其分布
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例 设 X1 , X 2 ,是X取3 , X自4总体N(0,4)的简单随机样
本.
X a( X1 2 X 2 )2 b(3X 3 4 X 4 )2
则称 F1-(wenku.baidu.com, n)为
F(m, n)的下侧1- 分位数
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F — 分布性质:
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5.4.3 t 分布
定义 5.4.3 设随机变量X1 与X2 独立，
且X1 N(0,1), X2 2(n), 则称
分位数 t1(n) 可以从附表4中查到。
譬如 n=10,=0.05，那么从附表4上查得
t10.05(10) = t0.95(10)=1.812 .
由于 t 分布的密度函数关于0 对称, 故其分位数间 有如下关系
t(n1)= t1(n1)
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9 i1
Xi
~
N( 0,1 ),
Yi ~ N( 0,1 ) 3
故
Y~
9 (Yi )2 1
i1 3
9
9
Yi 2
i 1
~ 2 (9)，且
X
与Y~ 独立,
所以
U
X Y~ / 9
~
t(9)
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2—分布的密度函数曲线
这是一个特殊的Gamma分布Γ(n/2,1/2)
2 分布的性质：
分布可加性 若X～2(n1)，Y～2(n2 )， X 与 Y 独立，则 X + Y～2(n1+n2 ).
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当随机变量 2 2(n) 时，对给定 (01)，称满足 P(2 12(n)) 的 12(n) 是自由度为n1的卡方分布 的1 分位数. 分位数 12(n) 可以从附表3 中查到。
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5.4.1 2 分布(卡方分布)
定义5.4.1 设 X1, X2,…, Xn, 独立同分布于标准
正态分布N(0,1) ，则2= X12+… Xn2的分布称 为自由度为n 的2分布，记为 2 2(n) 。
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该密度 函数的 图象也 是一只 取非负 值的偏
态分布
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2. F — 分布的分位点
对于 0<<1，若存在
F1-(m, n)>0 满足
P{FF1-(m, n)} = 1-，
• 当自由度较大 (如n30) 时， t 分布可以用
正态分布 N(0,1)近似。
lim
n
tn
(
x
)

1 ex2 2,
2
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t(n) 的性质: (1) p(t) 关于 t=0 (纵轴) 对称。 (2) p(t) 的极限为 N(0，1) 的密度函数.
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• 自由度为1的 t 分布就是标准柯西分布，
它的均值不存在；
1
t1( x) (1 x2 ) ,
x .
• n1时, t 分布的数学期望存在且为0；
• n2时，t 分布的方差存在，且为n/(n2)；
注:
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例 设随机变量X 和Y 相互独立且都服从正态分
布 则
N (,而0,9)
和 X1 , ,分X9别是Y1来,自,Y总9 体X和Y的 s.r.s,
U X1 X9 ~ t(9) Y12 Y92
证明：
X

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§5.4 三大抽样分布
大家很快会看到，有很多统计推断是基于正 态分布的假设的，以标准正态变量为基石而 构造的三个著名统计量在实际中有广泛的应 用，这是因为这三个统计量不仅有明确背景， 而且其抽样分布的密度函数有明显表达式， 它们被称为统计中的“ 三大抽样分布 ” 。
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分位点
设T～t(n)，若对0<<1,
存在 t1-(n)>0， 满足
P{tt1-(n)} = 1-
则称 t1-(n)为
t(n) 的下侧1- 分位点.
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t1 (n)
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当随机变量t t(n) 时，称满足
P(t t1(n)) =1 的 t1(n) 是自由度为 n 的 t 分布的1分位数.
t=X1/ X2/n
的分布为自由度为n 的t 分布，记为t t(n) 。
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t(n) 的概率密度为:
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第五章 统计量及其分布
t 分布的密度函 数的图象是一个 关于纵轴对称的 分布，与标准正 态分布的密度函 数形状类似，只 是峰比标准正态 分布低一些尾部 的概率比标准正 态分布的大一些。
当a= , b= 时,则
X ~ 2 (2).
解：由题意得

a( X 1 2 X 2 ) ~ N( 0,1 )
b( 3 X 3 4 X 4 ) ~ N( 0,1 )
D[
a( X 1 2 X 2 )] 1
D[ b( 3 X 3 4 X 4 )] 1
a =1/20 b=1/100