第五章 三大抽样分布,充分统计量5.4,5.5PPT课件
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三大抽样分布课件
在方差分析中，t分布用于检验 各个组之间的均值是否存在显著
差异。
04
CATALOGUE
卡方分布
卡方分布的定义
定义
卡方分布是一种连续概率分布，描述 了随机变量的取值与自由度的平方之 间的比例关系。
公式
若随机变量X符合卡方分布，则X的概 率密度函数为f(x)=x^(n/2-1)e^(x/2)/2^(n/2)Γ(n/2)，其中n为自由度 ，Γ为伽玛函数。
正态分布
正态分布的定义
01
正态分布是一种连续概率分布， 其概率密度函数呈钟形，对称轴 为均值所在直线，形状由标准差 决定。
02
正态分布是自然界中最常见的分 布形态，许多随机变量都服从或 近似服从正态分布。
正态分布的性质
01
02
03
集中性
正态分布曲线以均值为中 心，两侧分布对称。
均匀性
正态分布曲线是关于标准 差对称的，形状由标准差 决定。
t分布
t分布的定义
定义
t分布（也称为学生t分布）是一种 连续概率分布，其形状由自由度 参数决定。
描述
当数据来自正态分布的总体，且样 本量较小（通常n<30）时，t分布 近似于正态分布。
公式
t分布的密度函数和分布函数可以用 一系列复杂的数学公式来描述。
t分布的性质
形状
峰度
随着自由度的增加，t分布的形状逐渐 接近正态分布。
t分布的峰度大于正态分布的峰度，且 随着自由度的增加而减小。
偏度
t分布通常是偏态的，其偏度随着自由 度的增加而减小。
t分布在统计学中的应用
假设检验
在样本量较小时，t分布在假设 检验中常用作正态分布的替代，
用于检验统计假设。
差异。
04
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卡方分布
卡方分布的定义
定义
卡方分布是一种连续概率分布，描述 了随机变量的取值与自由度的平方之 间的比例关系。
公式
若随机变量X符合卡方分布，则X的概 率密度函数为f(x)=x^(n/2-1)e^(x/2)/2^(n/2)Γ(n/2)，其中n为自由度 ，Γ为伽玛函数。
正态分布
正态分布的定义
01
正态分布是一种连续概率分布， 其概率密度函数呈钟形，对称轴 为均值所在直线，形状由标准差 决定。
02
正态分布是自然界中最常见的分 布形态，许多随机变量都服从或 近似服从正态分布。
正态分布的性质
01
02
03
集中性
正态分布曲线以均值为中 心，两侧分布对称。
均匀性
正态分布曲线是关于标准 差对称的，形状由标准差 决定。
t分布
t分布的定义
定义
t分布（也称为学生t分布）是一种 连续概率分布，其形状由自由度 参数决定。
描述
当数据来自正态分布的总体，且样 本量较小（通常n<30）时，t分布 近似于正态分布。
公式
t分布的密度函数和分布函数可以用 一系列复杂的数学公式来描述。
t分布的性质
形状
峰度
随着自由度的增加，t分布的形状逐渐 接近正态分布。
t分布的峰度大于正态分布的峰度，且 随着自由度的增加而减小。
偏度
t分布通常是偏态的，其偏度随着自由 度的增加而减小。
t分布在统计学中的应用
假设检验
在样本量较小时，t分布在假设 检验中常用作正态分布的替代，
用于检验统计假设。
第5章 概率分布与统计量抽样分布优秀课件
b
P(a X b) a f (x)dx F(b) F(a)
分布函数与密度函数的图示
1. 密度函数曲线下的面积等于1 2. 分布函数是曲线下小于 x0 的面积
f(x)
F ( x0 )
x0
x
连续型随机变量的期望和方差
1. 连续型随机变量的数学期望为
E(X ) xf (x)dx
2. 方差为
第5章 概率分布与 统计量抽样分布
随机变量的概念
随机变量
(random variables)
1. 一次试验的结果的数值性描述 2. 一般用 X、Y、Z 来表示 3. 例如: 投掷两枚硬币出现正面的数量 4. 根据取值情况的不同分为离散型随机变
量和连续型随机变量
离散型随机变量
(discrete random variables)
n
E( X ) xi pi i 1
( X取有限个值）
E( X ) xi pi i 1
( X取无穷个值）
离散型随机变量的方差
(variance)
1. 随机变量X的每一个取值与期望值的离差平 方和的数学期望，记为D(X)
2. 描述离散型随机变量取值的分散程度 3. 计算公式为
D( X ) E[ X E( X )]2 若X是离散型随机变量，则
概率是曲线下的面积
b
P(a X b) a f (x)dx
f(x)
ab
x
分布函数
(distribution function)
1. 连续型随机变量的概率可以用分布函数F(x) 来表示
2. 分布函数定义为
x
F(x) P(X x) f (t)dt ( x )
3. 根据分布函数，P(a<X<b)可以写为
P(a X b) a f (x)dx F(b) F(a)
分布函数与密度函数的图示
1. 密度函数曲线下的面积等于1 2. 分布函数是曲线下小于 x0 的面积
f(x)
F ( x0 )
x0
x
连续型随机变量的期望和方差
1. 连续型随机变量的数学期望为
E(X ) xf (x)dx
2. 方差为
第5章 概率分布与 统计量抽样分布
随机变量的概念
随机变量
(random variables)
1. 一次试验的结果的数值性描述 2. 一般用 X、Y、Z 来表示 3. 例如: 投掷两枚硬币出现正面的数量 4. 根据取值情况的不同分为离散型随机变
量和连续型随机变量
离散型随机变量
(discrete random variables)
n
E( X ) xi pi i 1
( X取有限个值）
E( X ) xi pi i 1
( X取无穷个值）
离散型随机变量的方差
(variance)
1. 随机变量X的每一个取值与期望值的离差平 方和的数学期望，记为D(X)
2. 描述离散型随机变量取值的分散程度 3. 计算公式为
D( X ) E[ X E( X )]2 若X是离散型随机变量，则
概率是曲线下的面积
b
P(a X b) a f (x)dx
f(x)
ab
x
分布函数
(distribution function)
1. 连续型随机变量的概率可以用分布函数F(x) 来表示
2. 分布函数定义为
x
F(x) P(X x) f (t)dt ( x )
3. 根据分布函数，P(a<X<b)可以写为
充分统计量 ppt课件
h(x1,, xn )g(t, )
充分性 P(T t , )
P( X , , X ; {( x1,,xn ):T ( x1,,xn )t }
1
n
)
g(t,
{( x1,,xn ):T ( x1,,xpnpt)课件t }
)h( x1,, xn )
15
P( X1 x1,, Xn xn | T t)
n 2
x
n 2
2 2
},因而，T
(
x1
,
x2
,
n
, xn ) ( x, xi2 )是充分统计向量。
i 1
ppt课件
26
进一步，我们指出这个统计量与 (x, s2 )
是一个样本，T ( X1, X2 是：样本的联合分布
密度可以分解为
ppt课件
12
n
L( ) f ( xi , ) h( x1, x2 , , xn )g(T ( x1, x2 , , xn ), ) i 1
其中h是x1, x2 , , xn的非负函数且与无关，g仅通
T X1 Xn
则在给定 T 的取值后，对任意的一组
n
x1,, xn ( xi t) i 1
P( X1 x1,, X n xn | T t)
n1
P( X 1 x1 ,, X n1 xn1, X n t xi )
i 1 n
P( X i t)
(
1
{ 1
e 2
n i 1
(
xi
)2
}
2π )n
(
1 2π )n
exp{
充分性 P(T t , )
P( X , , X ; {( x1,,xn ):T ( x1,,xn )t }
1
n
)
g(t,
{( x1,,xn ):T ( x1,,xpnpt)课件t }
)h( x1,, xn )
15
P( X1 x1,, Xn xn | T t)
n 2
x
n 2
2 2
},因而，T
(
x1
,
x2
,
n
, xn ) ( x, xi2 )是充分统计向量。
i 1
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26
进一步，我们指出这个统计量与 (x, s2 )
是一个样本，T ( X1, X2 是：样本的联合分布
密度可以分解为
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12
n
L( ) f ( xi , ) h( x1, x2 , , xn )g(T ( x1, x2 , , xn ), ) i 1
其中h是x1, x2 , , xn的非负函数且与无关，g仅通
T X1 Xn
则在给定 T 的取值后，对任意的一组
n
x1,, xn ( xi t) i 1
P( X1 x1,, X n xn | T t)
n1
P( X 1 x1 ,, X n1 xn1, X n t xi )
i 1 n
P( X i t)
(
1
{ 1
e 2
n i 1
(
xi
)2
}
2π )n
(
1 2π )n
exp{
5.4 三大抽样分布
特别，若12 =22 ，则 F=sx2/sy2 F(m1,n1)
18 July 2014
第五章 统计量及其分布
第27页
推论5.4.4
在推论5.4.3的记号下，设 12 =22 = 2 ，
2 x 2 y 2 i 1 i 1 m n
18 July 2014
第五章 统计量及其分布
第15页
其密度函数为（推导过程见P273）：
1 [(n 1) 2] y 2 n2 p( y ) (1 ) , y n (n 2) n
t 分布的密度函数的图象是一个关于纵轴对称 的分布，与标准正态分布的密度函数形状类似， 只是峰比标准正态分布低一些尾部的概率比标 准正态分布的大一些。
• 当自由度较大 (如n30) 时， t 分布可以用 正态分布 N(0,1)近似。
18 July 2014
第五章 统计量及其分布
第18页
当随机变量t t(n) 时，称满足 P(t t1(n)) =1 的 t1(n) 是自由度为 n 的 t 分布的1分位数. 分位数 t1(n) 可以从附表4中查到。 譬如 n=10,=0.05，那么从附表4上查得 t10.05(10) = t0.95(10)=1.812 . 由于 t 分布的密度函数关于0 对称, 故其分位数 间有如下关系 t(n1)= t1(n1)
A (aij ) 定义如下：
1 a1 j , j 1, 2, n , n,
18 July 2014
1 k ( k 1) , j k k 1 akj , jk, k ( k 1) 0, jk
k 2
第五章 统计量及其分布
n
(3) (n1) s2/2 2(n1)。
统计学第五章 抽样调查和抽样分布共53页PPT资料
11
抽样调查的组织形式
简单随机抽样 类型抽样 等距抽样 整群抽样 多阶段抽样
12
简单随机抽样
• 也叫纯随机抽样，是按随机原则直接从总 体中抽取样本单位单位
13
简单随机抽样的方法
直接抽选法
抽签法
随机数表法
14
随机数字表抽样步骤
1、为总体各个单位编号。 2、以最大编号位数确定抽样位数。 3、抽签确定开始行、列、和抽样方向。 4、由开始行、列依次找出在号码范围内的号 码。 5、直到找出号码数达到样本容量n为止。
10
案例分析
中国知识分子真的短命吗？ “中国知识分子短命”是个长盛不衰的话题，《北京晨报》2019 年11月17日报道：卫生部副部长殷大奎在北京论坛上透露，中国知识 分子中存在着严重的“过劳死”现象，知识分子的平均寿命仅为58岁， 比普通人平均寿命短10岁。由于这番言论将此前各种有关“知识分子 短命”的说法从民间上升到官方，从而在社会上引起了一场轩然大波。 支持这种观点的人不乏理由。2019年年底，国家体委研究所发表 了一篇关于中关村知识分子健康状况的调查报告，该报告收集了中国 科学院下属7个研究所，以及北京大学共8个单位，从20世纪80年代末 到90年代初5年的时间内共134名死亡人口的资料，统计后得出结论： “中关村知识分子的平均死亡年龄为53.34岁，低于北京1990年人均 期望寿命73岁，比10年前调查的58.52岁也低了5.18岁”。2019年1月 各地媒体接二连三地出现了一些三四十岁知识分子英年早逝的报道。 凑巧的是，据媒体报道，他们的死亡原因都是过度劳累以及工作、生 活和心理压力过大，这种解释更加支持了上述结论。
的分布
25
离散型随机变量的概率分布（函数）
P(Xxi)p(xi) i=1,2,3…
抽样调查的组织形式
简单随机抽样 类型抽样 等距抽样 整群抽样 多阶段抽样
12
简单随机抽样
• 也叫纯随机抽样，是按随机原则直接从总 体中抽取样本单位单位
13
简单随机抽样的方法
直接抽选法
抽签法
随机数表法
14
随机数字表抽样步骤
1、为总体各个单位编号。 2、以最大编号位数确定抽样位数。 3、抽签确定开始行、列、和抽样方向。 4、由开始行、列依次找出在号码范围内的号 码。 5、直到找出号码数达到样本容量n为止。
10
案例分析
中国知识分子真的短命吗？ “中国知识分子短命”是个长盛不衰的话题，《北京晨报》2019 年11月17日报道：卫生部副部长殷大奎在北京论坛上透露，中国知识 分子中存在着严重的“过劳死”现象，知识分子的平均寿命仅为58岁， 比普通人平均寿命短10岁。由于这番言论将此前各种有关“知识分子 短命”的说法从民间上升到官方，从而在社会上引起了一场轩然大波。 支持这种观点的人不乏理由。2019年年底，国家体委研究所发表 了一篇关于中关村知识分子健康状况的调查报告，该报告收集了中国 科学院下属7个研究所，以及北京大学共8个单位，从20世纪80年代末 到90年代初5年的时间内共134名死亡人口的资料，统计后得出结论： “中关村知识分子的平均死亡年龄为53.34岁，低于北京1990年人均 期望寿命73岁，比10年前调查的58.52岁也低了5.18岁”。2019年1月 各地媒体接二连三地出现了一些三四十岁知识分子英年早逝的报道。 凑巧的是，据媒体报道，他们的死亡原因都是过度劳累以及工作、生 活和心理压力过大，这种解释更加支持了上述结论。
的分布
25
离散型随机变量的概率分布（函数）
P(Xxi)p(xi) i=1,2,3…
应用高等数学第5章5.3.1 样本统计量和抽样分布.ppt
(2) 2 (n)分布( n为自由度 )
定义 设 X1,X2,,Xn相互独立,
且都服从标准正态分布N (0,1),则
n
Xi2 ~ 2(n)
i1
n = 1 时,其密度函数为 1.2 1
f (x)
1 x e , 12 2x
2
0.8
x0 0.6
0.4
0.2
0,
x0
2
4
6
8 10
20
n = 2 时,其密度函数为
英国经济学克莱夫 格兰杰 (Clive Granger 1934 ~)
共同获得
2019年诺贝尔经济学奖
20 世纪 80 年代两位获奖者 发明了新的统计方法来处理许多 经济时间数列中两个关键属性：
随时间变化的
易变性 非稳定性
恩格尔 研究方向主要是
利率、汇率和期权的金融计量分析 提出谱分析回归等创新性统计方法
0.8239
例3 设总体X 的概率密度函数为
x
x 1
f (x) 0
x 1
(X1,X2, ,X50) 为总体的样本,求
(1) X 的数学期望与方差 (2) E(S 2 )
(3) P( X 0.02)
解(1)
1
E(X)E(X) xxdx0
1
D(X) 1 D(X) 1 E(X2)
50
50
1 2 1x2 xdx 1
18
标准正态分布的 分位数图形
PXz
-2
P X z 2
0. 4 0. 3 0. 2 0. 1
-1
z0.05 1.645 常用
z0.025 1.96
z0.005 2.575
1 z• 2
充分统计量
2019年1月15日星期二
第五章 统计量及其分布
第15页
什么样的充分统计量才是最有价值的呢？ 显然，充分统计量的维数越小就越有价值，因为我们 用尽可能少的量概括了样本中提供的信息。
在大多数情形下，我们都能看到： 维数与未知参数 维数相等的充分统计量是存在的，即我们经常都能 对T = (x1, x2, …, xn) 作降维处理。但在某些场合，降 维的充分统计量并不存在。如著名的威布尔分布
其中 h(x)=1， 由因子分解定理，T=(xi , xi2) 是充分统计量。
2019年1月15日星期二
第五章 统计量及其分布
第12页
进一步，我们指出这个统计量与 (x, s2 ) 是一一对应的，这说明在正态总体场合 常用的 ( x , s2 ) 是充分统计量。
2019年1月15日星期二
第五章 统计量及其分布
2019年1月15日星期二
第五章 统计量及其分布
第5页
定义5.5.1 设 x1, x2, …, xn 是来自某个总体 的样本，总体分布函数为F ( x ; )，统计 量 T = T(x1, x2, …, xn) 称为 的充分统计 量，如果在给定T 的取值后，x1, x2,…, xn 的条件分布与 无关. 说明：参数θ和充分统计量 T = T(x1, x2, …, xn)并不 一定是一维的。
第7页
5.5.2 因子分解定理
充分性原则： 在统计学中有一个 基本原则-在充分统计量存在的场合，任何统计推断都 可以基于充分统计量进行，这可以简化统计 推断的程序。
充分性原则和另外一个完备性原则在我们寻求对 总体中的未知参数作统计推断时扮演者重要角色。
2019年1月15日星期二
第五章 统计量及其分布
第五章 统计量及其分布
第15页
什么样的充分统计量才是最有价值的呢？ 显然，充分统计量的维数越小就越有价值，因为我们 用尽可能少的量概括了样本中提供的信息。
在大多数情形下，我们都能看到： 维数与未知参数 维数相等的充分统计量是存在的，即我们经常都能 对T = (x1, x2, …, xn) 作降维处理。但在某些场合，降 维的充分统计量并不存在。如著名的威布尔分布
其中 h(x)=1， 由因子分解定理，T=(xi , xi2) 是充分统计量。
2019年1月15日星期二
第五章 统计量及其分布
第12页
进一步，我们指出这个统计量与 (x, s2 ) 是一一对应的，这说明在正态总体场合 常用的 ( x , s2 ) 是充分统计量。
2019年1月15日星期二
第五章 统计量及其分布
2019年1月15日星期二
第五章 统计量及其分布
第5页
定义5.5.1 设 x1, x2, …, xn 是来自某个总体 的样本，总体分布函数为F ( x ; )，统计 量 T = T(x1, x2, …, xn) 称为 的充分统计 量，如果在给定T 的取值后，x1, x2,…, xn 的条件分布与 无关. 说明：参数θ和充分统计量 T = T(x1, x2, …, xn)并不 一定是一维的。
第7页
5.5.2 因子分解定理
充分性原则： 在统计学中有一个 基本原则-在充分统计量存在的场合，任何统计推断都 可以基于充分统计量进行，这可以简化统计 推断的程序。
充分性原则和另外一个完备性原则在我们寻求对 总体中的未知参数作统计推断时扮演者重要角色。
2019年1月15日星期二
第五章 统计量及其分布
统计量及其分布ppt课件
图5.1.1 SONY彩电彩色浓度分布图q
表5.1.1 各等级彩电的比例(%)
等级
I
|X-m|<5/3
II
III
5/3<|X-m|<10/3 10/3 <|X-m|<5
IV
|X-m|>5
美产 33.3 33.3 33.3
0
日产 68.3 27.1 4.3
0.3
抽样 ：
5.1.2 样本
要了解总体的分布规律，在统计分析工作中，往往 是从总体中抽取一部分个体进行观测，这个过程称为抽 样。样本
x 344 344 x 347 347 x 351 351 x 355
x 355
由伯努里大数定律：
第25页
两点分布，只要 n 相当大，Fn(x)依概率收敛于F(x) 。
更深刻的结论：格里纹科定理
定理5.2.1 设 x1,x2,L,xn 是取自总体分布函数为F(x) 的样本F，n ( x ) 为其经验分布函数，当n 时，有
若以 p 表示这堆数中1的比例（不合格品率）， 则该总体可由一个二点分布表示：
X01 P 1p p
比如：两个生产同类产品的工厂的产品 的总体分布：
例5.1.2 在二十世纪七十年代后期，美国消费者购买
日产SONY彩电的热情高于购买美产 SONY彩电，原因何在？
原因在于总体的差异上！
➢ 1979年4月17日日本《朝日新闻》刊登调查报 告指出N(m, (5/3)2)，日产SONY彩电的彩色浓 度服从正态分布，而美产SONY彩电的彩色浓 度服从(m5 , m+5)上的均匀分布。
元件数 4 8 6 5 3 4 5 4
寿命范围 (192 216] (216 240] (240 264] (264 288] (288 312] (312 336] (336 360] (360 184]
统计量及其分布..
但实际中，情况往往并非如此，一个随机现象所
服从的分布可能是完全不知道的，或者知道其分布概
型，但是其中的某些参数是未知的。
例 5.0.1
某公司要采购一批产品，每件产品不
是合格品就是不合格品，但该批产品总有一 个不合格品率 p 。由此，若从该批产品中随 机抽取一件，用 X 表示这一件产品的不合格 数，不难看出 X 服从一个二点分布 b ( 1 , p ) ， 但分布中的参数 p 是不知道的。一些问题：
表5.2.1 例5.2.2 的频数频率分布表 组序 分组区间 组中值 频数 频率 (%) 1 (147，157] 152 4 0.20 2 (157，167] 162 8 0.40 3 (167，177] 172 5 0.25 4 (177，187] 182 2 0.10 5 (187，197] 192 1 0.05 合计 20 1 累计频率 20 60 85 95 100
样；其中样本中所包含的个体数量称为样本容量。样本
中的个体称为样品。
5.1.2 样本
样本具有两重性：
• 一方面，由于样本是从总体中随机抽取的，抽 取前无法预知它们的数值，因此，样本是随机 变量，用大写字母 X1, X2, …, Xn 表示；
• 另一方面，样本在抽取以后经观测就有确定的 观测值，因此，样本又是一组数值。此时用小 写字母 x1, x2, …, xn 表示是恰当的。 在本书中，无论是样本还是其观测值，样本一般均用 x1, x2,… xn 表示，大家要注意从上下文中加以识别。
§5.1
总体与个体
在数理统计中，把研究对象的全体称为总体 （population)或母体，而把组成总体的每个单元
称为个体。
总体的三层含义：
• 研究对象的全体； • 数据； • 分布
服从的分布可能是完全不知道的，或者知道其分布概
型，但是其中的某些参数是未知的。
例 5.0.1
某公司要采购一批产品，每件产品不
是合格品就是不合格品，但该批产品总有一 个不合格品率 p 。由此，若从该批产品中随 机抽取一件，用 X 表示这一件产品的不合格 数，不难看出 X 服从一个二点分布 b ( 1 , p ) ， 但分布中的参数 p 是不知道的。一些问题：
表5.2.1 例5.2.2 的频数频率分布表 组序 分组区间 组中值 频数 频率 (%) 1 (147，157] 152 4 0.20 2 (157，167] 162 8 0.40 3 (167，177] 172 5 0.25 4 (177，187] 182 2 0.10 5 (187，197] 192 1 0.05 合计 20 1 累计频率 20 60 85 95 100
样；其中样本中所包含的个体数量称为样本容量。样本
中的个体称为样品。
5.1.2 样本
样本具有两重性：
• 一方面，由于样本是从总体中随机抽取的，抽 取前无法预知它们的数值，因此，样本是随机 变量，用大写字母 X1, X2, …, Xn 表示；
• 另一方面，样本在抽取以后经观测就有确定的 观测值，因此，样本又是一组数值。此时用小 写字母 x1, x2, …, xn 表示是恰当的。 在本书中，无论是样本还是其观测值，样本一般均用 x1, x2,… xn 表示，大家要注意从上下文中加以识别。
§5.1
总体与个体
在数理统计中，把研究对象的全体称为总体 （population)或母体，而把组成总体的每个单元
称为个体。
总体的三层含义：
• 研究对象的全体； • 数据； • 分布
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2—分布的密度函数曲线
这是一个特殊的Gamma分布Γ(n/2,1/2)
2 分布的性质：
分布可加性 若X～2(n1)，Y～2(n2 )， X 与 Y 独立，则 X + Y～2(n1+n2 ).
12 February 2020
第五章 统计量及其分布
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当随机变量 2 2(n) 时，对给定 (01)，称满足 P(2 12(n)) 的 12(n) 是自由度为n1的卡方分布 的1 分位数. 分位数 12(n) 可以从附表3 中查到。
第五章 统计量及其分布
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§5.4 三大抽样分布
大家很快会看到，有很多统计推断是基于正 态分布的假设的，以标准正态变量为基石而 构造的三个著名统计量在实际中有广泛的应 用，这是因为这三个统计量不仅有明确背景， 而且其抽样分布的密度函数有明显表达式， 它们被称为统计中的“ 三大抽样分布 ” 。
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第五章 统计量及其分布
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该密度函 数的图像 是一只取 非负值的 偏态分布
E 2 n,
Var( 2 ) 2n
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第五章 统计量及其分布
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例 设 X1 , X 2 ,是X取3 , X自4总体N(0,4)的简单随机样
本.
X a( X1 2 X 2 )2 b(3X 3 4 X 4 )2
注:
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第五章 统计量及其分布
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例 设随机变量X 和Y 相互独立且都服从正态分
布 则
N (,而0,9)
和 X1 , ,分X9别是Y1来,自,Y总9 体X和Y的 s.r.s,
U X1 X9 ~ t(9) Y12 Y92
证明：
X
1 9
分位点
设T～t(n)，若对0<<1,
存在 t1-(n)>0， 满足
P{tt1-(n)} = 1-
则称 t1-(n)为
t(n) 的下侧1- 分位点.
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t1 (n)
第五章 统计量及其分布
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当随机变量t t(n) 时，称满足
P(t t1(n)) =1 的 t1(n) 是自由度为 n 的 t 分布的1分位数.
分位数 t1(n) 可以从附表4中查到。
譬如 n=10,=0.05，那么从附表4上查得
t10.05(10) = t0.95(10)=1.812 .
由于 t 分布的密度函数关于0 对称, 故其分位数间 有如下关系
t(n1)= t1(n1)
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第五章 统计量及其分布
第五章 统计量及其分布
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5.4.1 2 分布(卡方分布)
定义5.4.1 设 X1, X2,…, Xn, 独立同分布于标准
正态分布N(0,1) ，则2= X12+… Xn2的分布称 为自由度为n 的2分布，记为 2 2(n) 。
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第五章 统计量及其分布
t=X1/ X2/n
的分布为自由度为n 的t 分布，记为t t(n) 。
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第五章 统计量及其分布
t(n) 的概率密度为:
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第五章 统计量及其分布
t 分布的密度函 数的图象是一个 关于纵轴对称的 分布，与标准正 态分布的密度函 数形状类似，只 是峰比标准正态 分布低一些尾部 的概率比标准正 态分布的大一些。
• 当自由度较大 (如n30) 时， t 分布可以用
正态分布 N(0,1)近似。
lim
n
tn
(
x
)
1 ex2 2,
2
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第五章 统计量及其分布
t(n) 的性质: (1) p(t) 关于 t=0 (纵轴) 对称。 (2) p(t) 的极限为 N(0，1) 的密度函数.
当a= , b= 时,则
X ~ 2 (2).
解：由题意得
a( X 1 2 X 2 ) ~ N( 0,1 )
b( 3 X 3 4 X 4 ) ~ N( 0,1 )
D[
a( X 1 2 X 2 )] 1
D[ b( 3 X 3 4 X 4 )] 1
a =1/20 b=1/100
则称 F1-(m, n)为
F(m, n)的下侧1- 分位数
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第五章 统计量及其分布
F — 分布性质:
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第五章 统计量及其分布
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5.4.3 t 分布
定义 5.4.3 设随机变量X1 与X2 独立，
且X1 N(0,1), X2 Fra bibliotek(n), 则称
9 i1
Xi
~
N( 0,1 ),
Yi ~ N( 0,1 ) 3
故
Y~
9 (Yi )2 1
i1 3
9
9
Yi 2
i 1
~ 2 (9)，且
X
与Y~ 独立,
所以
U
X Y~ / 9
~
t(9)
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第五章 统计量及其分布
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5.4.2 F 分布
定义5.4.2 设X1 2(m), X2 2(n), X1与X2独立，
则称 F =(X1/m)/(X2/n) 的分布是自由度为 m 与 n 的 F分布，记为F F(m, n)，其中m 称为分子自 由度，n 称为分母自由度。其概率密度为
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第五章 统计量及其分布
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• 自由度为1的 t 分布就是标准柯西分布，
它的均值不存在；
1
t1( x) (1 x2 ) ,
x .
• n1时, t 分布的数学期望存在且为0；
• n2时，t 分布的方差存在，且为n/(n2)；
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第五章 统计量及其分布
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该密度 函数的 图象也 是一只 取非负 值的偏
态分布
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第五章 统计量及其分布
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2. F — 分布的分位点
对于 0<<1，若存在
F1-(m, n)>0 满足
P{FF1-(m, n)} = 1-，