一端固定一端弹簧支承的梁的振动特性
物体在弹簧上的振动和弹簧振动的特点
物体在弹簧上的振动和弹簧振动的特点一、物体在弹簧上的振动1.弹簧振动的定义：物体在弹簧支撑下，由于外力作用或初始位移，进行周期性的往复运动。
2.弹簧振动的类型：根据弹簧的振动方式，可分为线性振动和非线性振动。
线性振动是指振动方程为线性方程的振动；非线性振动是指振动方程为非线性方程的振动。
3.弹簧振动的动力学方程：弹簧振动的动力学方程为胡克定律，即F = -kx，其中F为弹簧所受的合外力，k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的位移。
4.弹簧振动的周期性：物体在弹簧上的振动具有周期性，周期T与弹簧的劲度系数k和质量m有关，即T = 2π√(m/k)。
5.弹簧振动的频率：频率f是指单位时间内振动的次数，与周期T的关系为f = 1/T。
频率与弹簧的劲度系数k和质量m有关。
二、弹簧振动的特点1.自由振动：弹簧在无外力作用下，由于初始位移或初速度，进行的振动。
自由振动分为简谐振动和非简谐振动。
2.简谐振动：当弹簧的振动满足胡克定律F = -kx时，称为简谐振动。
简谐振动的特征是振动曲线为正弦或余弦曲线，振幅不变，周期恒定。
3.非简谐振动：当弹簧的振动不满足胡克定律F = -kx时，称为非简谐振动。
非简谐振动的特征是振动曲线不遵循正弦或余弦规律，振幅可能随时间变化。
4.阻尼振动：在实际过程中，弹簧振动过程中会受到阻力的作用，导致振动逐渐衰减。
阻尼振动的特点是振动幅度随时间逐渐减小，振动周期不变。
5.受迫振动：当弹簧振动受到外部驱动力的作用时，称为受迫振动。
受迫振动的特征是振动曲线随外部驱动力的变化而变化，振动周期与外部驱动力的周期相等。
6.共振：当外部驱动力的频率与弹簧振动的固有频率相等时，弹簧振动幅度达到最大，称为共振。
共振现象在实际工程应用中具有重要意义。
7.弹簧振动的应用：弹簧振动在物理学、工程学等领域具有广泛的应用，如音乐乐器、机械设备、建筑结构等。
知识点总结：物体在弹簧上的振动和弹簧振动的特点涉及到振动的基本概念、动力学方程、周期性、频率、自由振动、简谐振动、非简谐振动、阻尼振动、受迫振动、共振等方面。
一端自由一端固支曲线梁的自由振动
文章编号：CSTAM2012-E01-0150一端自由一端固支曲线梁的自由振动张 良，史 民， *曾晓辉(中国科学院力学研究所，北京 100190)摘 要：依据曲线梁弹性理论，对一端自由和一端固支的曲线梁进行了面内和面外自由振动分析。
依据曲线梁两端的边界条件，对振动方程进行了求解。
给出了不同开口条件下，曲线梁面外振动特征计算结果。
进而，分析了几种不同材料曲线梁的自由振动特性。
关键词：曲线梁，活塞环，振动特性，耦合振动FREE VIBRATION OF CLAMPED-FREE SUPPORTED CURVED BEAMZHANG Liang , SHI Min , *ZENG Xiao-hui(Institute of Mechanics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100080, China)Abstract: In this study, in-plane and out-of-plane free vibrations of curved beam are investigated by applying curved beam elasticity theory. Based on the boundary conditions of curved beam’s two ends, some work on analytical solution and numerical solution of the vibration equations is done. The paper gets some result about out-of-plane free vibrations of curved beam with different opening angles. The author does some calculation about piston rings manufactured by different materials.Key words: curved beam, piston rings, vibration characteristics, coupled vibration曲线梁在工程中应用很广，桥梁、大挠度系缆、发动机活塞环等结构均可视为不同种类的曲线梁。
《弹性力学》试题参考答案(参考题)
《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟）一、填空题（每小题4分）1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。
2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。
3．等截面直杆扭转问题中， M dxdy D=⎰⎰2ϕ的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩M 。
4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数ϕ在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩 。
5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：0,=+i j ij X σ ，)(21,,i j j i ij u u +=ε。
二、简述题（每小题6分）1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。
圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。
作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。
（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。
2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数ϕ的分离变量形式。
题二（2）图（a ）⎩⎨⎧=++= )(),(),(222θθϕϕf r r cy bxy ax y x （b ）⎩⎨⎧=+++=)(),(),(33223θθϕϕf r r dy cxy y bx ax y x3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 μ 已知。
试求薄板面积的改变量S ∆。
题二（3）图设当各边界受均布压力q 时，两力作用点的相对位移为l ∆。
由q E)1(1με-=得，)1(2222με-+=+=∆Eb a q b a l设板在力P 作用下的面积改变为S ∆，由功的互等定理有：l P S q ∆⋅=∆⋅将l ∆代入得：221b a P ES +-=∆μ显然，S ∆与板的形状无关，仅与E 、μ、l 有关。
弹簧系统的力学性质与振动频率分析
弹簧系统的力学性质与振动频率分析弹簧是一种常见的机械元件，具有很强的弹性特性。
它在众多工程以及日常生活中都扮演了重要角色，例如悬挂系统、减震系统、弹簧秤等。
了解弹簧系统的力学性质以及振动频率分析对于设计及优化弹簧系统的工程师来说是至关重要的。
一、弹簧系统的力学性质1. 弹簧的材料与形状弹簧可以由多种材料制成，如钢材、合金、塑料等。
不同的材料具有不同的力学性质，因此在选择材料时需要考虑其强度、刚度和耐腐蚀性等因素。
此外，弹簧的形状也会对其力学性质产生影响，例如圆柱形弹簧、扭转弹簧、锥形弹簧等。
2. 弹簧的刚度与弹性系数弹簧的刚度是衡量其弹性特性的一个重要参数。
刚度越高，弹簧在受力时产生的形变越小。
弹簧的刚度可以通过弹性系数来描述，弹性系数越大，弹簧的刚度就越高。
弹簧的弹性系数可以通过材料的弹性模量和几何形状来计算。
3. 弹簧的载荷与位移关系当外力作用在弹簧上时，弹簧会发生形变，产生位移。
弹簧的载荷与位移之间存在一定的关系，可以通过胡克定律来描述。
胡克定律表明，当弹簧受到一定的载荷时，其产生的变形与受力成正比。
这个比例关系可以用公式F = kx 来表示，其中F 是弹簧受力，k 是弹性系数，x 是弹簧的位移。
二、弹簧系统的振动频率分析1. 自由振动与强迫振动弹簧系统可以发生自由振动和强迫振动。
自由振动是指在没有外力作用下，弹簧系统由于初始扰动而产生的振动。
而强迫振动是指在外力的作用下，弹簧系统受迫振动而产生的振动。
要了解弹簧系统的振动频率，需要对其进行分析并求解其固有频率。
2. 振动频率的影响因素弹簧系统的振动频率受到多个因素的影响，包括弹簧的刚度、质量、几何形状以及受力方式等。
刚度越高，振动频率越高；质量越大，振动频率越低；几何形状的改变也会对振动频率造成影响。
此外，弹簧的振动频率还会受到外界激励频率的影响。
3. 振动频率的计算方法弹簧系统的振动频率可以通过分析其动力学方程来求解。
对于简谐振动的弹簧系统，可以使用以下公式计算其固有频率：f = 1/(2π) * √(k/m)其中，f 为振动频率，k 是弹簧的弹性系数，m 是弹簧的质量。
弹簧振子的基本性质与振动分析
弹簧振子的基本性质与振动分析弹簧振子是物理学中的一个经典问题，它具有广泛的应用和研究价值。
本文将介绍弹簧振子的基本性质和振动分析。
首先，我们来了解一下弹簧振子的基本结构。
弹簧振子由一个质点和一个弹簧组成，质点可以看作是挂在弹簧上的物体。
当质点受到外力作用时，弹簧会发生变形，产生恢复力。
弹簧的恢复力与变形的大小成正比，且方向与变形方向相反。
这种恢复力使得质点在弹簧的作用下产生振动。
弹簧振子的振动可以分为简谐振动和非简谐振动。
简谐振动是指质点在弹簧的作用下，沿着一个确定的轨迹以相同的周期进行振动。
简谐振动的周期与质点的质量和弹簧的劲度系数有关，质量越大，劲度系数越小，周期越长。
非简谐振动是指质点在弹簧的作用下，振动的周期和振幅都会发生变化。
这种振动的特点是周期不固定，振幅随时间变化。
非简谐振动的产生原因主要是弹簧的变形不再满足胡克定律，即弹簧的恢复力不再与变形成正比。
弹簧振子的振动分析可以通过求解弹簧振子的运动方程来实现。
运动方程可以通过牛顿第二定律得到，即质点的加速度等于受力除以质量。
在弹簧振子中，质点受到弹簧的恢复力和外力的作用，因此运动方程可以表示为：m * a = -k * x + F(t)其中，m是质点的质量，a是质点的加速度，k是弹簧的劲度系数，x是质点的位移，F(t)是外力。
通过解这个运动方程，我们可以得到弹簧振子的运动规律。
对于简谐振动，解的形式为：x(t) = A * sin(ωt + φ)其中，A是振幅，ω是角频率，φ是初相位。
对于非简谐振动，解的形式比较复杂，需要借助数值方法或近似方法进行求解。
非简谐振动的研究对于理解振动系统的行为和性质具有重要意义。
除了振动分析，弹簧振子还有其他一些重要的性质。
例如，弹簧振子的能量守恒性质。
在振动过程中，弹簧振子的总能量保持不变，只是在动能和势能之间进行转换。
这个性质在工程和科学研究中有广泛的应用。
此外，弹簧振子还有共振现象。
当外力的频率与弹簧振子的固有频率相等或接近时，弹簧振子的振幅会显著增大，这就是共振现象。
物体的弹簧振动问题
物体的弹簧振动问题一、弹簧振动的定义与分类1.定义：物体通过弹簧连接两个固定点，在受力作用下，物体围绕平衡位置做周期性的往复运动，称为弹簧振动。
（1）线性振动：弹簧的弹性力与位移成正比，如简谐振动。
（2）非线性振动：弹簧的弹性力与位移不成正比，如阻尼振动、指数振动等。
二、简谐振动1.定义：当物体受到的恢复力与位移成正比，且方向相反时，物体进行的振动称为简谐振动。
（1）周期性：简谐振动具有固定的周期，即振动一次所需的时间。
（2）对称性：物体在平衡位置两侧的振动图像关于平衡位置对称。
（3）加速度与位移成正比，方向相反。
三、弹簧振动的动力学方程1.单质点弹簧振动：设弹簧劲度系数为k，质量为m，物体在平衡位置两侧的位移为x，则动力学方程为：m * x’’ + k * x = 0其中，x’’表示位移的的二阶导数。
2.多质点弹簧振动：多个质量点通过弹簧连接，每个质量点都满足上述动力学方程。
四、弹簧振动的解1.单质点弹簧振动：对于动力学方程m * x’’ + k * x = 0，其通解为：x = A * cos(ω * t + φ)其中，A为振幅，ω为角频率，φ为初相位。
2.多质点弹簧振动：根据耦合方程，求解每个质量点的位移，然后根据弹簧连接关系，得到整个系统的振动解。
五、弹簧振动的能量1.动能：物体在振动过程中，由于速度的变化，具有动能。
2.势能：弹簧在振动过程中，由于形变，具有势能。
3.总能量：动能与势能之和，保持不变。
六、弹簧振动的稳定性和共振1.稳定性：当物体受到外界扰动后，能够回到原振动状态的能力。
2.共振：当外界驱动力频率与系统的固有频率相等时，振幅达到最大的现象。
七、弹簧振动的实际应用1.机械振动：如发动机、机床等设备的振动控制。
2.音乐乐器：如吉他、钢琴等乐器的弦振动。
3.工程结构：如桥梁、建筑物的振动分析。
4.传感器：如压力传感器、加速度传感器等。
5.通信技术：如手机、雷达等设备的振动传输。
弹性体的震动
弹性体的振动5.1 引言任何机器的零部件都是由质量和刚度连续分布的物体所组成的，也就是说这些零部件都是弹性体（连续系统）。
但是在很多情况下，为了使问题简化，计算简便，常常将它们简化成多自由度的离散系统来分析。
然而，在有些工程实践中，却要求对弹性体振动作严密的分析，这时就不能对它进行离散化处理。
因此，对工程上常用的连续弹性体（如杆、轴、梁、板、壳，以及它们的组合系统）进行振动分析，求出它们的固有频率和主振型，计算它们的动力响应，这在实用上和理论研究上都有非常重要的意义。
(a)(b)5.1多自由度系统和弹性体的动力学模型多自由度系统（离散系统）和弹性体（连续系统）是对同一个客观事物（机器零部件）的不同的分析方法，因此它们之间必然存在一定的联系和明显的区别。
从动力学模型上看，多自由度系统是将零部件看成由质量、刚度集中在若干点上的离散元件所组成。
如图5.l(a)所示，它是把一个零件分成若干段，每段的质量分成两半，分别加在两端的集中质量上。
两个质量之间则用不计质量、只计刚度的弹性元件相联结。
这样就形成了具有n个集中质量(m1，m2，…，m n。
)和n-1个弹簧(k1，k2，…，k n-1)所组成的n个自由度的集中参数模型，其广义坐标用振动位移表示。
弹性体则将零部件看成由质量、刚度连续分布的物体所组成，如图5.1(b)所示。
当一个零件的分段数n→∞时，离散系统就变成连续系统，其横坐标x也从一个离散值(x1，x2，…，x n)变为连续函数。
因此系统的广义坐标要用一个由截面位置x和时间t所表达的二元函数(,)y x t来表示。
这就是说，弹性体有无穷多个广义坐标，而且它们之间有一定的相互关系。
从运动方程来看，多自由度系统用一个方程数与自由度相等的常系数线性微分方程组来描述；而弹性体则要用偏微分方程式来描述，其阶数决定于所研究的对象和振动形态。
从振动特性来看，多自由度系统振动特性的推广即为弹性体的振动特性；而弹性体振动特性的近似即为多自由度系统的振动特性。
弹簧振动初中物理中弹簧振动的特性与应用
弹簧振动初中物理中弹簧振动的特性与应用弹簧振动弹簧振动是物理学中非常重要的一个概念，它不仅可以让我们理解弹簧系统的特性，还可以应用于各种实际问题中。
本文将介绍弹簧振动的基本理论和应用。
一、弹簧振动的基本理论1. 弹簧的基本特性弹簧是一种具有弹性的材料，它的特点是在受到作用力后能够发生形变，并在去除作用力后恢复原状。
弹簧的形变与作用力之间存在线性关系，通常用胡克定律描述：F = kx，其中F是作用力，k是弹簧的弹性系数，x是弹簧的形变量。
2. 弹簧振动的定义当一个弹簧系统处于平衡位置附近时，如果外力突然作用于该系统，弹簧会发生振动。
弹簧振动是弹簧形变的周期性运动，通常包括正弦振动和谐振动两种形式。
3. 弹簧振动的特性弹簧振动具有以下几个基本特性：（1）频率：振动的频率是指每秒钟发生振动的次数，单位是赫兹（Hz）。
对于谐振动来说，频率只与弹簧系统的质量和弹性系数有关，与振幅无关。
（2）周期：振动的周期是指振动一次所需的时间。
对于谐振动来说，周期与频率是倒数关系。
周期的单位是秒（s）。
（3）振幅：振动的振幅是指弹簧在振动过程中形变的最大值。
振幅越大，弹簧的振动幅度越大。
（4）相位：振动的相位是指弹簧振动在某一时刻的状态相对于某一参考点的位置关系。
相位可以用角度或时间表示。
二、弹簧振动的应用1. 谐振器弹簧振动可以应用于谐振器的制作。
谐振器是指能够以特定频率振动的装置，常见的谐振器包括音叉、弹簧钟摆等。
利用弹簧振动的特性，谐振器可以产生稳定的频率信号，用于计时、测量等领域。
2. 减震器弹簧振动还可以应用于减震器的制作。
减震器是指能够吸收和减小振动幅度的装置，常见的减震器包括汽车避震器、建筑物的减震设备等。
通过调节弹簧的弹性系数和振动频率，减震器可以有效地减小振动对物体的影响。
3. 弹簧秤弹簧振动还可以应用于弹簧秤的制作。
弹簧秤是一种通过测量弹簧振动的变化来确定物体质量的装置，常见的弹簧秤包括浴室秤、厨房秤等。
垂直振动实验报告
一、实验目的1. 了解垂直振动的基本原理和特性。
2. 掌握测量垂直振动幅值、频率和阻尼比的方法。
3. 分析垂直振动对结构稳定性的影响。
4. 培养实验操作能力和数据处理能力。
二、实验原理垂直振动是指物体在垂直方向上的周期性振动。
在本实验中，我们采用简支梁模型，通过施加垂直力使梁产生振动，然后测量其振动特性。
根据牛顿第二定律，物体所受的合外力等于其质量乘以加速度。
对于垂直振动，合外力主要由弹簧力和重力组成。
设弹簧刚度为k，质量为m，重力加速度为g，则物体在垂直振动过程中的运动方程可表示为：m d²x/dt² + k x = 0其中，x为物体在垂直方向上的位移，t为时间。
根据运动方程，可以得到垂直振动的解为：x(t) = A cos(ωt + φ)其中，A为振幅，ω为角频率，φ为初相位。
振幅A与施加的垂直力F有关，可通过以下公式计算：A = F / (m ω²)频率f与角频率ω的关系为：f = ω / (2π)阻尼比ξ表示阻尼力与惯性力之比，可通过以下公式计算：ξ = c / (2 m ω)其中，c为阻尼系数。
三、实验仪器1. 简支梁：长度为L，两端固定。
2. 弹簧：刚度为k。
3. 力传感器：用于测量施加的垂直力F。
4. 位移传感器：用于测量梁的垂直位移x。
5. 数据采集器：用于采集力传感器和位移传感器的数据。
6. 计算机软件：用于数据处理和分析。
四、实验步骤1. 将简支梁固定在实验台上，确保梁的两端固定牢固。
2. 将弹簧一端固定在梁的一端，另一端连接力传感器。
3. 将位移传感器固定在梁的另一端。
4. 启动数据采集器，记录力传感器和位移传感器的数据。
5. 施加垂直力F，使梁产生振动。
6. 重复步骤4和5，记录多组数据。
五、实验数据及处理1. 根据力传感器和位移传感器的数据，绘制F-x曲线，确定振幅A。
2. 根据位移传感器的数据，绘制x-t曲线，确定频率f。
3. 根据F-x曲线和x-t曲线，计算阻尼比ξ。
一端固定,一端自由梁的刚度矩阵
一端固定,一端自由梁的刚度矩阵一端固定、一端自由的梁是一种常见的结构形式，也是实际工程中常遇到的情况。
梁的刚度矩阵是用来描述梁在受到荷载作用时的刚度性能的工具。
本文将从以下几个方面详细介绍一端固定、一端自由梁的刚度矩阵。
一、梁的基本理论梁是一种在结构力学中广泛应用的结构元素，一端固定一端自由的梁是由于支座的限制而导致了一端的约束。
根据梁的基本力学原理，梁在受到荷载作用时会出现挠度和剪力等变形。
而一端固定的梁由于受到固定约束，因此在该固定端处没有位移和旋转。
二、梁的刚度矩阵梁的刚度矩阵是用来描述梁在各个自由度上的刚度的工具。
一个典型的一端固定、一端自由梁有四个自由度，分别是垂直位移、旋转、剪力和弯矩。
因此，刚度矩阵是一个4×4的矩阵，其中每个元素代表了梁在相应自由度上的刚度。
三、计算梁的刚度矩阵计算梁的刚度矩阵需要先确定梁的材料属性和几何参数。
材料属性包括梁的弹性模量和截面惯性矩，几何参数包括梁的长度和截面高度、宽度等。
计算刚度矩阵的方法可以通过梁的弯曲方程和悬臂梁的基本解得出。
首先，针对一端固定的梁，在固定端上的位移和旋转为零，因此可以通过应变能势能原理来推导出其刚度矩阵。
考虑到梁的弯曲和剪切变形，可以得到以下刚度矩阵的表达式：```[K] = [Kb] + [Ks]```其中，[K]是整个梁的刚度矩阵，[Kb]是弯曲刚度矩阵，[Ks]是剪切刚度矩阵。
弯曲刚度矩阵可以通过梁的截面性质和弹性模量计算得到，剪切刚度矩阵由梁的剪切模量和几何参数决定。
```[Kb] = E×I/L^3 × [6 0 0 0;0 12 L^2 -12L;0 L^2 -6L 6L;0 -12 6L^2 -12L^2]``````[Ks] = G×A/L × [1 0 0 0;0 A 0 -A;0 0 0 0;0 -A 0 A]```其中，E是梁的弹性模量，I是梁的截面惯性矩，L是梁的长度，G 是梁的剪切模量，A是梁的截面面积。
弹簧振动原理
弹簧振动原理在物理学中，弹簧振动是一种重要的振动形式。
它涉及到弹簧在固定一端的情况下，受到外力作用而引起的振动现象。
弹簧振动广泛应用于各个领域，例如钟表的摆线弹簧、车辆悬挂系统的弹簧等。
本文将从弹簧振动的原理、特点以及应用等方面进行探讨。
一、弹簧振动的原理弹簧振动的原理可以用弹簧的弹性势能和动能的转化来解释。
当弹簧受到外力作用而发生形变时，由于弹簧的弹性，形变会产生弹力。
这个弹力使得弹簧恢复到其原始形态，并且超过原始形态。
这种周期性的形变和恢复过程就是弹簧振动。
在弹性形变的过程中，弹簧所存储的弹性势能随着形变的增加而增加，而当弹簧恢复形态时，弹性势能转化为动能。
这个过程一直重复，导致弹簧不断振动。
二、弹簧振动的特点弹簧振动具有以下特点：1.周期性：弹簧振动是一种周期性的运动，即弹簧会以相同的频率和振幅进行振动。
2.简谐性：当弹簧振动的振幅较小、恢复力与位移成正比时，可以将弹簧振动近似为简谐振动，其振动规律可用正弦函数来描述。
3.固有频率：弹簧振动具有固有频率，即弹簧自身特有的振动频率，与弹簧的刚度及质量有关。
4.能量守恒：在弹簧振动中，弹簧的弹性势能和动能不断转化，但总能量保持不变。
三、弹簧振动的应用弹簧振动在各个领域都有广泛的应用，下面列举几个常见的应用示例：1.钟表摆线弹簧：钟表中的摆线弹簧利用弹簧的弹性来完成摆动，使得钟表具有准确的时间测量功能。
2.车辆悬挂系统：汽车、火车等交通工具中的悬挂系统通常采用弹簧来减震和支撑载荷，使得乘坐更加舒适。
3.弹簧秤：弹簧秤是一种常见的称重工具，通过测量弹簧振动的频率和振幅来判断物体的质量。
4.弹簧门闩：弹簧门闩常用于门窗等设备的锁定，通过弹簧的振动来实现开关门的便利性。
总结：弹簧振动是一种重要的物理现象，它基于弹簧的弹性特性，受到外力作用时产生周期性的形变和恢复过程。
弹簧振动具有周期性、简谐性、固有频率和能量守恒等特点，并且在各个领域都有广泛的应用。
弹簧振动的研究不仅有助于我们深入理解物理学的基本原理，也为我们的生活带来了诸多便利。
一端弹性支座另一端非弹性支座简支钢梁的振动简化计算方法
Ｕ一 ｃ ¨ 娄 『 。 Ｔ １ ａ
最 大 位 能 Ｗ …为 ：
一
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根 据 Ｕ 一 ｗ … 得 自振 频 率 叫 … 为 ：
质量 简化为均 布质 量 ， 梁 在均 布静 荷 载作 用 下 的 把 变形 曲线视 为振 型 曲线 ， 导 出 了前 ３个 振 型 的 自 推 振频率计算 公式 ， 进而 采 用大 家 熟知 的振 型 分解 法
计算 振动线 位移和振 动速度 ， 通过 工程实例 ， 明 并 说 该 方 法 的简 便 性 和 实 用 性 。 １ 把 梁 上 集 中 质 量 简 化 为 等 效 均 布 质 量 的 方 法
一
：
坦 釜
ｄ ＋ ２
㈩
式 中 ： 为集 中质量 ， 的振 型 曲线值 ； 分 别 ， 处 Ｅ、
Ａ Ｉ ＰＬＩ ＥＤ ＢＲＡＴＩ ＳＭ ＦＩ ＶＩ ｏＮ ＣＡＬＣＵＬＡＴＩ Ｎ ＥＴＨｏＤ Ｒ ＴＥＥＬ ＢＥＡＭ Ｉ ｏ Ｍ Ｆｏ Ｓ Ｗ ＴＨ ＦＬＥＸＩ ＢＬＥ
ＡＢＵＴＭ ＥＮＴ ＡＴ ＮＥ ＥＮＤ ＮＤ ｏ Ａ ＮｏＮ— ＦＬＥＸＩ ＢＬＥ ＡＢＵＴＭ ＥＮＴ ＡＴ ＡＮｏＴＨＥＲ ＥＮＤ
ａｎ ｎ ｆｅ ｉ ｅ ｂｕ ｍ ｅ ｔ ｔ ｎｏ ｈｅ ｅ ｄ． ｓｎｇ ｎｅ ｇ ｓｍ ｕ ａ ｉｎ ｄ ｎｏ － ｘｂｌ ａ ｔ ｎ ａ ａ ｔ ｒ ｎ Ｕ ｉ ｅ ｒ ｙ ｉ ｌ ｔｏ ｍ ｅ ｈ ｌ ｔ ｏｄ，ｔ ｅ ｈ ｄｅ ｏ ｍ ａ ｉ ｃ ｖｅ ｂ ａ ｆ ｒ ｔｏｎ ｕｒ ｏｆ ｅ ｍ ｉ ｓ ｔ ａ ｓ ｅ ｅ ｏ ｖｉｒ ｔｏ ｃ ｒ ｅ ｎｄ ｒ ｔ ｕ ｆ ｍ １ ｄ， ｂｒ ｔｏｎ ｆ ｅ ｅ ｙ ｏ ｍ ｕａｓ ｏｒ ｔ ｅ ｖ ｂ ａ ｉｎ ｈ ｐｅ ｅ ｒ ｎ ｆ ｒ ｄ ｔ ｂ ａ ｉｎ ｕ ｖ ｕ ｅ ｈｅ ｎｉｏｒ ｏａ ｖｉ ａ ｉ ｒ ｑｕ ｎｃ ｆ ｒ ｌ ｆ ｈｒ ｅ ｉ ｒ ｔｏ ｓ ａ ｓ ａｒ
一端铰支、一端弹簧支座的梁,抗弯刚度为ei,长为l,试用最小势能原理
一端铰支、一端弹簧支座的梁,抗弯刚度为ei,长为l,试用最小势能原理
最小势能原理是力学分析中的重要方法，可以用来确定在多元力作用下，物体最终位置的最优状态。
它可以用来求解给定物体受到控制和扩张力时的抗弯刚度。
下面通过一个具体的例子，来说明最小势能原理的原理及其应用。
该例中，一端铰支一端弹簧支座的梁固定在两端，其抗弯刚度ei，长度l。
当梁在重力作用下受到拉力和弹力的共同影响时，梁的变形会发生弯曲。
首先，本质上，我们假设梁的位移为0，则弧线的半径为R，根据弹性力学中的弯矩公式Τ=EI*R/X，可以推导出曲率：K=EI/X。
根据最小势能原理，梁在受到拉力和弹力作用下，最终位置总是达到最小势能水平，即位移最小，刚度最大的状态。
因此，我们可以推导出曲率的最大值Kmax，即抗弯刚度的最大值EImax，Kmax=EImax/L。
这个值就是我们想要求的，即抗弯刚度ei。
总之，运用最小势能原理可以求解给定物体受到控制和扩张力时的抗弯刚度ei。
它不仅可以帮助我们正确地理解物体在一定力作用下的运动，而且可以帮助我们在实际工程中更加有效地应用力学理论。
弹簧振子与谐振原理
弹簧振子与谐振原理弹簧振子是一种常见的物理实验装置，它由一个固定在一端的弹簧和一个悬挂在另一端的质点组成。
当质点受到外力作用而偏离平衡位置时，弹簧会产生恢复力，使质点向平衡位置回复，并且由于惯性的作用，质点会超过平衡位置继续运动，形成振动。
弹簧振子的振动过程符合谐振原理，下面将详细介绍弹簧振子的谐振原理。
一、弹簧振子的基本结构弹簧振子由弹簧和质点组成。
弹簧是一种具有弹性的物体，当受到外力拉伸或压缩时，会产生恢复力。
质点是挂在弹簧下端的物体，可以是一个小球或者其他形状的物体。
弹簧的上端固定在一个支架上，下端悬挂着质点。
当质点受到外力偏离平衡位置时，弹簧会产生恢复力，使质点向平衡位置回复，并且由于惯性的作用，质点会超过平衡位置继续运动，形成振动。
二、弹簧振子的谐振原理弹簧振子的振动过程符合谐振原理。
谐振是指在一定条件下，振动系统受到周期性外力作用时，振幅达到最大的状态。
弹簧振子的谐振原理可以通过以下几个方面来解释。
1. 弹簧的恢复力与位移成正比弹簧振子的振动是由弹簧的恢复力驱动的。
根据胡克定律，弹簧的恢复力与弹簧的伸长或压缩量成正比。
当质点偏离平衡位置时，弹簧会产生恢复力，使质点向平衡位置回复。
当质点偏离平衡位置越大，弹簧的伸长或压缩量越大，恢复力也越大。
因此，弹簧振子的恢复力与质点的位移成正比。
2. 质点的惯性使其超过平衡位置继续运动当质点受到外力偏离平衡位置时，弹簧会产生恢复力，使质点向平衡位置回复。
然而，由于质点具有惯性，它会超过平衡位置继续运动。
当质点超过平衡位置时，弹簧的恢复力方向与质点的运动方向相反，使质点减速并逐渐回到平衡位置。
当质点回到平衡位置时，弹簧的恢复力为零，质点的速度最大。
然后，质点又因惯性而继续向相反方向运动，形成来回振动。
3. 弹簧振子的振动频率与弹簧的劲度系数有关弹簧振子的振动频率与弹簧的劲度系数有关。
劲度系数是衡量弹簧的硬度的物理量，它与弹簧的材料和形状有关。
根据振动理论，弹簧振子的振动频率与弹簧的劲度系数成正比。
一端固定一端弹簧支承的梁的振动特性
沈阳航空航天大学振动力学课程设计任务书课程设计的内容及要求：（一）基本要求１、学会查阅资料和使用相关设计手册；２、学习运用Matlab等数学软件；３、熟练掌握梁结构弯曲自由振动的分析过程；４、按照课程设计相关规定编写设计说明书。
（二）课设内容(1)设定均匀梁的具体参数（长度；单位体积的质量；抗弯刚度，弹簧刚度）；(2)根据给定的参数运用数学物理方法建立一端固定一端弹簧支承均匀梁的弯曲振动运动微分方程；(3)然后根据振动运动微分方程，通过边界条件求解梁的固有频率和振型；(4)分析弹簧刚度对梁的固有频率和振型的影响；(5)最后写出本次课程设计的总结。
（三）主要参考书（1）、金基铎，王克明，机械振动基础 [M]，沈阳：沈阳航空工业学院，2001年2月；（2）、方同，薛璞，振动理论及应用 [M]，西安：西北工业大学出版社，1998年5月；（3）、蒲俊，Matlab工程数学解题指导 [M]，上海：浦东电子出版社，2001年7月；（4）、罗建军，杨琦，MATLAB教程 [M]，北京：电子工业出版社，2005年7月（四）评语（五）成绩负责教师学生签名振动力学课程设计说明书一端固定一端弹簧支承的均匀梁的弯曲振动特性沈阳航空航天大学2011年1月沈阳航空航天大学课程设计说明书摘要摘要目前，振动分析已成为工程设计与研究中必不可少的环节。
本文采用了理论分析的方法，对一端固定一端弹簧支承均匀梁的振动特性进行研究，求出它的固有频率和主振型，并计算受迫响应，在理论和实用上都具有重要意义。
在本文中，只讨论梁的弯曲振动，讨论了一些参数对梁固有频率和主振型的影响。
关键词一端固定一端弹簧支承均匀梁弯曲自由振动主振型固有频率沈阳航空航天大学课程设计说明书目录目录第1章引言……………………………………………………………………………l第2章固有特性的理论分析 (2)2.1 均匀梁参数设定 (2)2.2 均匀梁的弯曲自由振动的微分方程及解 (2)2.3 赋值求解 (6)2.4 振型函数的正交性 (11)2.5 梁对初始干扰的响应 (13)第3章分析参数对系统的影响 (15)第4章结论 (18)参考文献 (19)沈阳航空航天大学课程设计说明书第1章引言第1章引言机械振动是工程中普遍存在的一种机械运动现象，它不仅影响结构的性能，缩短结构的寿命，甚至会造成重大的事故。
分析物体在弹簧上的振动
分析物体在弹簧上的振动物体在弹簧上的振动是物理学中的一个重要研究课题，也是我们日常生活中经常观察到的现象之一。
本文将从理论和实践两个方面，对物体在弹簧上的振动进行深入分析。
一、理论分析物体在弹簧上的振动可以通过弹簧的恢复力和物体的质量来描述。
根据胡克定律，弹簧的伸缩量与作用在弹簧上的力成正比，即F=kx，其中F为弹簧的恢复力，k为弹簧的劲度系数，x为伸缩量。
当物体偏离平衡位置并被弹簧拉伸或压缩时，弹簧的恢复力会使物体产生反向的加速度，从而使物体发生振动。
物体在弹簧上的振动可分为简谐振动和非简谐振动两种情况。
简谐振动的表达式可以写为x=Acos(ωt+φ)，其中A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相位。
简谐振动的特点是周期性、等幅和有固定的相位差。
非简谐振动则没有固定的振幅和相位差，且振动周期可能发生变化。
非简谐振动通常由于系统的阻力、耗散等因素引起。
二、实践分析在实际的物理实验中，我们可以利用弹簧振子的实验装置来观察物体在弹簧上的振动。
1. 实验装置一个典型的弹簧振子实验装置包括一个固定在支架上的弹簧和一个悬挂在弹簧下端的小球。
我们可以通过对小球施加额外的力或者改变弹簧的劲度系数来改变振子的振动特性。
2. 实验现象当我们释放小球并使其偏离平衡位置时，振子将开始振动。
我们可以观察到以下几个现象：（1）振动幅度与释放位置有关：当小球偏离平衡位置较远时，振动幅度较大，反之亦然。
（2）振动频率与弹簧的劲度系数有关：劲度系数越大，振动频率越高。
（3）振动频率与物体的质量无关：根据公式可以得知物体的质量并不影响振动的频率，而只是影响振动的振幅。
3. 实验结论通过以上实验观察和分析，我们可以得出以下结论：（1）物体在弹簧上的振动可以分为简谐振动和非简谐振动两种情况。
（2）振动幅度与释放位置有关，劲度系数越大，振动频率越高。
（3）物体的质量并不影响振动的频率，而只是影响振动的振幅。
三、应用分析物体在弹簧上的振动在实际生活和工程领域中有着广泛的应用。
弹簧振子的特性分析
弹簧振子的特性分析弹簧振子是一种重要的振动系统，广泛应用于物理实验和工程技术中。
本文将对弹簧振子的特性进行分析，包括其基本原理、振动频率、振动幅度和影响振动特性的因素等。
1. 弹簧振子的基本原理弹簧振子是由一个固定一端的弹簧和一个可以在弹簧拉力作用下自由振动的质点组成。
当质点受到外力作用，拉伸或压缩弹簧，就会产生弹力恢复力，使质点围绕平衡位置做简谐振动。
2. 振动频率振动频率是弹簧振子的重要特性之一，它表示单位时间内振动的次数。
弹簧振子的振动频率与质点的质量和弹簧的劲度系数有关。
根据简谐振动的公式，弹簧振子的振动频率可以表示为：f = 1 / (2π) * sqrt(k / m)其中，f为振动频率，k为弹簧的劲度系数，m为质点的质量。
可以看出，振动频率与劲度系数和质量的平方根成反比。
3. 振动幅度振动幅度是弹簧振子振动过程中质点离开平衡位置的最大距离。
振动幅度与振动能量大小有关，通常用质点离开平衡位置的最大位移来表示。
振动幅度可以通过外力的大小和频率来调节。
4. 影响振动特性的因素弹簧振子的振动特性受到多种因素的影响。
首先是质量的影响，质量越大，振动频率越小。
其次是弹簧的劲度系数，劲度系数越大，振动频率越大。
此外，外界的阻尼力也会对振动特性产生影响，阻尼力越大，振动幅度越小。
5. 应用举例弹簧振子的特性分析在实际应用中具有重要意义。
例如，在钟表中，弹簧振子常用于调节钟表的走时准确度。
在建筑结构中，通过对振动特性的分析，可以预测和抵御地震等自然灾害的影响。
总结：弹簧振子是一种重要的振动系统，具有广泛的应用价值。
通过分析其特性，我们可以更好地理解和应用弹簧振子。
振动频率和振动幅度是弹簧振子的重要特征，而质量、劲度系数和阻尼力是影响振动特性的关键因素。
弹簧振子的研究对于物理学和工程学领域的发展都具有重要的推动作用。
振动力学(梁的横向振动)
取微段梁dx，截面上的弯矩与剪力为M和Q，其正负号的规定和材料力学一样。 则微段梁dx沿z方向的运动方程为：
即
利用材料力学中的关系 得到梁的弯曲振动方程
边界条件
和一维波动方程一样，要使弯曲振动微分方程成为定解问题，必需给出边界条件和初始条件。 梁的每一端必须给出两个边界条件(以左端为例)。 固定端：挠度和转角为0，即
振动力学
------弹性体的振动
汇报人姓名
汇报日期
梁的横向振动
仅讨论梁在主平面内的平面弯曲振动。这种振动只有当梁存在主平面的情形才能发生，并符合材料力学中梁弯曲的小变形假设和平面假设。
1、运动微分方程
在梁的主平面上取坐标xoz，原点位于梁的左端截面的形心，x轴与梁平衡时的轴线重合。假设梁在振动过程中，轴线上任一点的位移u(x,t)均沿z轴方向。
考虑边界条件为简支、自由、固定的情况，梁端点的位移、弯矩或剪力为0，则
01
单击此处添加小标题
对第j阶振型进行上面类似的运算得：
02
用Fj左乘上式两端，并积分
上两式相减得
则
i＝j时
梁在激励力作用下的响应
1.标准坐标（正则坐标）
对振型函数按下式条件正则化 和一维波动方程一样，用振型叠加法求响应
2.对初始激励的响应
以及
解：边界条件为挠度和弯矩为0。 【例1】 求简支梁弯曲振动的固有频率与固有振型。 代入特征方程的解
得到
以及
则
则
以及频率方程
由此解得
所以固有频率
振型为 第i阶振型有i－1个节点。节点坐标 即
【例2】求两端固定梁弯曲振动的固有频率与固有振型。
01
以及
02
解：边界条件为挠度和转角为0，即 代入特征方程的解得到
郑州大学远程教育结构力学在线测试1-9章答案分析
《结构力学》第01章在线测试第一题、单项选择题（每题1分，5道题共5分）1、对结构进行强度计算的目的，是为了保证结构A、既经济又安全B、不致发生过大的变形C、美观实用D、不发生刚体运动2、结构的刚度是指A、结构保持原有平衡形式的能力B、结构抵抗失稳的能力C、结构抵抗变形的能力D、结构抵抗破坏的能力3、杆系结构中的构件的长度A、等于截面的高和宽B、与截面的高和宽是同一量级C、远远小于截面的高和宽D、远远大于截面的高和宽4、对结构进行强度计算目的是为了保证结构A、既经济又安全B、不致发生过大的变形C、美观实用D、不发生刚体运动5、固定铰支座有几个约束反力分量？A、一个B、两个C、三个D、四个第二题、多项选择题（每题2分，5道题共10分）1、下列哪种情况不是平面结构A、所有杆件的轴线都位于同一平面内，荷载也作用在该平面内B、所有杆件的轴线都位于同一平面内，荷载与该平面垂直C、所有杆件的轴线都位于同一平面内，荷载与该平面平行D、所有杆件的轴线都不位于同一平面内E、荷载不作用在结构的平面内2、铰结点的约束特点是A、约束的各杆端不能相对移动B、约束的各杆端可相对转动C、约束的各杆端不能相对转动D、约束的各杆端可沿一个方向相对移动E、约束的各杆端可相对移动3、刚结点的约束特点是A、约束各杆端不能相对移动B、约束各杆端不能相对转动C、约束的各杆端可沿一个方向相对移动D、约束各杆端可相对转动E、约束各杆端可相对移动4、可动铰支座的特点是A、约束杆端不能移动B、允许杆端转动C、只有一个约束力偶D、允许杆端沿一个方向移动E、只有一个反力5、固定端支座的特点是A、不允许杆端移动B、只有一个反力C、允许杆端转动D、不允许杆端转动E、有两个反力和一个反力偶第三题、判断题（每题1分，5道题共5分）1、结构是建筑物和构筑物中承受荷载起骨架作用的部分。
正确错误2、板壳结构的厚度远远小于其它两个尺度。
正确错误3、为了保证结构不致发生过大的变形影响了正常使用，要求结构要有足够的强度。
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沈阳航空航天大学振动力学课程设计任务书课程设计的内容及要求：（一）基本要求１、学会查阅资料和使用相关设计手册；２、学习运用Matlab等数学软件；３、熟练掌握梁结构弯曲自由振动的分析过程；４、按照课程设计相关规定编写设计说明书。
（二）课设内容(1)设定均匀梁的具体参数（长度；单位体积的质量；抗弯刚度，弹簧刚度）；(2)根据给定的参数运用数学物理方法建立一端固定一端弹簧支承均匀梁的弯曲振动运动微分方程；(3)然后根据振动运动微分方程，通过边界条件求解梁的固有频率和振型；(4)分析弹簧刚度对梁的固有频率和振型的影响；(5)最后写出本次课程设计的总结。
（三）主要参考书（1）、金基铎，王克明，机械振动基础 [M]，沈阳：沈阳航空工业学院，2001年2月；（2）、方同，薛璞，振动理论及应用 [M]，西安：西北工业大学出版社，1998年5月；（3）、蒲俊，Matlab工程数学解题指导 [M]，上海：浦东电子出版社，2001年7月；（4）、罗建军，杨琦，MATLAB教程 [M]，北京：电子工业出版社，2005年7月（四）评语（五）成绩负责教师学生签名振动力学课程设计说明书一端固定一端弹簧支承的均匀梁的弯曲振动特性沈阳航空航天大学2011年1月沈阳航空航天大学课程设计说明书摘要摘要目前，振动分析已成为工程设计与研究中必不可少的环节。
本文采用了理论分析的方法，对一端固定一端弹簧支承均匀梁的振动特性进行研究，求出它的固有频率和主振型，并计算受迫响应，在理论和实用上都具有重要意义。
在本文中，只讨论梁的弯曲振动，讨论了一些参数对梁固有频率和主振型的影响。
关键词一端固定一端弹簧支承均匀梁弯曲自由振动主振型固有频率沈阳航空航天大学课程设计说明书目录目录第1章引言……………………………………………………………………………l第2章固有特性的理论分析 (2)2.1 均匀梁参数设定 (2)2.2 均匀梁的弯曲自由振动的微分方程及解 (2)2.3 赋值求解 (6)2.4 振型函数的正交性 (11)2.5 梁对初始干扰的响应 (13)第3章分析参数对系统的影响 (15)第4章结论 (18)参考文献 (19)沈阳航空航天大学课程设计说明书第1章引言第1章引言机械振动是工程中普遍存在的一种机械运动现象，它不仅影响结构的性能，缩短结构的寿命，甚至会造成重大的事故。
随着现代工程朝着高速、重载、精密、超大型（超小型）方向发展，对机械结构动态性能的要求也越来越高，所提出的振动问题也越来越复杂和多样化，振动分析已成为工程设计与研究中必不可少的环节。
工程中的许多振动问题背景非常复杂，对其进行理论分析是必不可少的，但是随着结构的自由度的增加，计算量也会迅速增大，而且工程上又不总是需要求出振动系统所有各阶的固有特性，再加上在有的情况下，我们并不能求得振动系统的固有特性的精确解答，而只能采用近似的方法去求解。
所以在实际工程中采用近似计算的解法是很重要的，其意义也是很重大的。
本文主要对悬臂梁的弯曲自由振动进行了研究。
梁是工程中普遍存在的结构。
严格地说，它是由质量和刚度连续分布的弹性体组成，其运动需要用无限多个坐标来描述，因而，它实际上是个无限多个自由度系统，其运动方程将是偏微分方程。
为了使问题简单化，我们常常将其离散为有限个自由度的系统来计算，但是在某些情况下，工程设计上要求将结构按弹性体作振动分析，不允许进行离散化处理。
所以，按弹性体理论对梁进行分析在工程设计中也是有很大意义的。
第2章固有频率的理论分析2.1 均匀梁参数设定抗弯刚度设有一端固定，一端以弹簧支承的均匀梁，长度为L，单位体积的质量为为EJ，弹簧刚度为K，如图所示：EJk图2.1 均匀梁系统示意图2.2．均匀梁的弯曲自由振动的微分方程及解均匀梁弯曲自由振动的运动微分方程(a)(b)图2.2对微单元受力分析在梁上距左端为x 处取微段dx ，其受力情况如图2.2(b)所示。
根据达朗伯原理有： 0Q -Q -Q 22=∂∂-∂∂tyAdx dx x ρ 02Q M -M M 22=⋅∂∂-∂∂--∂∂+dx ty Adx dxdx x Q dx dx x ρ （2.1） 略去dx 的二次项，简化后得：022=∂∂+∂∂x Qty A ρ xM∂∂=Q （2.2） 将（2.2）式代入（2.1）式中，得：0M2222=∂∂+∂∂x t y A ρ （2.3）由材料力学知：22yEJ M x∂∂=将上式代入（2.3）式，得：0yEJ 4422=∂∂+∂∂xt y A ρ或0y 44222=∂∂+∂∂xa t y （2.4） 其中，A EJ a ρ/2=。
（2.4）式就是梁做弯曲振动的运动微分方程。
下面用分离变量法来求解。
设其解为：)()(),(y t T x Y t x = （2.5） 将（2.5）式对t 取二次偏导数，对x 区四次偏导数，然后代入（2.4）式中，得：44222)()()(T(t)1dx x Y d x Y a dt t T d ⋅-=⋅ （2.6）（2.6）式两边应等于同一个负常数，设其为-2ω，则得：0)(T )(222=+x dt t T d ω （2.7） 0)()(2244=-x Y adx x Y d ω （2.8） 由（2.7）式得梁弯曲自由振动的规律为：t B t A t ωωcos sin )(T += （2.9） 令224a ωβ-=则（2.8）式可改写为：0)()(444=-x Y dxx Y d β （2.10） 按n 阶常系数齐次微分方程的解法，设其解为：rx e x Y =)( 代入（2.10）式中，得特征方程为:0r 44=-β （2.11） 特征方程的四个根为：β±=2,1r βi r ±=4,3 于是（2.10）式的解为：x i x i x x e D e D e D e D x Y ββββ--+++=4321)( （2.12）因为：x sh x ch e x βββ±=±x i x e x i βββsin cos ±=±所以（2.12）可写成如下的常用形式：x ch C x sh C x C x C x Y ββββ4321cos sin )(+++= （2.13） 其中4321C C C C 、、、是待定常数将（2.9）式和（2.13）式代回（2.5）式，得偏微分方程（2.4）的解为：)cos sin )(cos sin (),(4321t B t A x ch C x sh C x C x C t x y ωωββββ++++= （2.14）其中ω、、、、、、B A C C C C 4321都是待定常数，由边界条件和初始条件决定。
一端固定的边界条件.梁的挠度和转角等于零()00==x x Y ， ()00=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x dx x dY ()022=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=l x dx x Y d ，()()l x l x x KY dx x Y d EJ ===⎥⎦⎤⎢⎣⎡33将上述边界条件代入（2.13）式及其对x 的一、二、三阶导数中得：()()()xsh C x ch C x C x C x Y x ch C x sh C x C x C x Y xsh C x ch C x C x C x Y ββββββββββββββββββββββββ34333231242322214321sin cos cos sin sin cos +++-='''++--=''++-='()得由00=Y ： 042=+C C 即 24C C -=()得00='Y ： 031=+C C 即 13C C -= ()得0=''l Y ：()()0cos sin 0cos sin 4324232221=+++=++--C l ch l C l sh l l ch C l sh C l C l C ββββββββββββ即：()()l ch C l sh C l C l C EJ Kl sh C l ch C l C l C l Y ββββββββββββ434334333433cos sin sin cos ++--=++-='''令EJKh =，则有：0)](cos )sin [()](sin )cos [(334333=-+-+-++l ch l h l l sh C l sh l h l ch l C ββββββββββββ要使43C C 、具有非零解，必须有：0cos sin sin cos cos sin 3333=-+--++++lhch l h l l sh l hsh l h l ch l lch l lsh l ββββββββββββββββ将此行列式展开并整理，得： ()l lch l lsh EJ Kl lch βββββββsin cos 1cos 3--=+ （2.15） 这就是梁的频率方程2.3 赋值求解令K=4000Nm,E=210Gpa,l=1m,J=64/3×10^-84m ,梁的横截面边长a=4cm ，337.910/kg m ρ=⨯。
则频率方程就可以转化为：()l lch l lsh l lch βββββββsin cos 5651cos 3--=+ （2.16）图2.3.方程（2.16）的求解示意图 再以l β为横坐标，作]156)sin (cos 5[3l ch lch l lch l lsh βββββββ+--和l βcos 曲线，如图所示。
两曲线的各交点的横坐标就是频率方程的特征根。
从图可以清楚的看出各特征根的分布规律和粗略值。
再用数值法求出满足一定要求的各特征值，前几个l i β值：l 1β l 2β l 3β 1.89504.88508.1400l β由224/a ωβ=，可以求得各固有频率为： AEJi i ρβω2=（i=1、2、3…）； （2.17）其振型图如下：)]cos()[cosh()sin()sinh()(111111x x a x x x Y ββββ---=图2.4.第一阶振型图)]cos()[cosh()sin()sinh()(222222x x a x x x Y ββββ---=图2.5.第二阶振型图图2.6.第三阶振型图 求解固有频率： AEJi i ρβω2=（i=1、2、3…） 根据已知条件可得：46.394453.5926.6626.6658.142053.5986.2386.2371.21353.5959.359.3232221=⨯===⨯===⨯==A EJlA EJl A EJl ρωρωρω 画出前三阶振型的程序： x=0.01:pi/100:1;y=-cos(1.895*x)+cosh(1.895*x)+0.7342*(sin(1.895*x)-sinh(1.895*x));*x)-sinh(2.2091*x)); plot(x,y) grid on ylim([0 5])x=0.01:pi/100:1;y=(-cos(4.8850*x)+cosh(4.885*x))+1.02*(sin(4.89*x)-sinh(4.89*x)); plot(x,y) grid on ylim([-5 5]) x=0.01:pi/100:1;y=(-cos(8.14*x)+cosh(8.14*x))+(sin(8.14*x)-sinh(8.14*x)); plot(x,y) grid on ylim([-5 5]) x=0.01:pi/100:1;y=(-cos(8.14*x)+cosh(8.14*x))+(sin(8.14*x)-sinh(8.14*x)); plot(x,y) grid on ylim([-5 5])2.4 振型函数的正交性讨论多自由度系统的振动时，我们曾证明过系统的主振型是正交的。