空间向量解决立体几何的向量方法五在立体几何中综合应用

P
N
应考虑用坐标法 ,解题思路
D
C
水到渠成 .
A
MB
. 已 知 PA 垂 直 于 正 方 形 ABCD 所 在 的 平 面 , M 、N 分 别 是 AB 、PC 的 中 点 , 并 且
PA ? AD ,求证: MN ? 平面 PDC
证明: PA ? AD ? AB , 且PA ? 平面AC , AD ? AzB
面面垂直 ? ⊥ ? ? u ⊥ v ? u ?v ? 0.
二、 用空间向量处理“垂直”问 题
?
m?
↑n
??
n ?? m
? m
? n
?? n?m? 0
例例45:在正方体ABCD? A'B'C'D'中.E,F分别是CC',BD的中点.
求证：A' F ? 平面BDE.
Z
证明:如图取DA, DC, DD'分别为x轴,y轴,z轴
X
? A' F ? DB, A' F ? DE,又DB DE ? D.? A' F ? 平面BDE
练习1
已 知 PA 垂 直 于 正 方 形 ABCD 所 在 的 平 面 , M 、N 分 别 是 AB 、PC 的 中 点 , 并 且 PA ? AD ,求证: MN ? 平面 PDC
分析:坐标系容易建立 ,
二、立体几何问题的解决 ──向量是很好的工具
(一)平行与垂直的判断
(二)夹角与距离的计算
一、 用空间向量处理“平行”问 题设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面? , ?
的法向量分别为 u , v ，则 线线平行 l ∥ m ? a ∥ b ? a ? kb ；
线面平行 l ∥? ? a ? u ? a ?u ? 0 ；
面面平行 ? ∥ ? ? u ∥ v ? u ? kv .
注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行 包括线在面内，面面平行包括面面重合 .
例1.在正方体
D1
ABCD-A1B1C1D1中，A1 P、Q分别是A1B1和
P
BC上的动点，且
A1P=BQ ，M是AB1
M
的中点，N是PQ 的
D
中点. 求证：
求得平?面BDGH 的法向
oD
量为 m ? ?(2,2?,1)
A x
显然有 m ? n
故 平面AEH ∥平面BDGF
H C1 B1
y C B
二、 用空间向量处理“垂直”问 题设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面? , ?
的法向量分别为 u , v ，则
线线垂直 l ⊥ m ? a ⊥ b ? a ?b ? 0 ； 线面垂直 l ⊥ ? ? a ∥ u ? a ? ku ；
又M不在平面AC 内，所以MN∥平面AC
例2.在正方体ABCD-
D1
A1B1C1D1中，求证： 平面A1BD∥平面CB1D1
A1
(1)平行四边形A1BCD1
D
A1B∥D1C
A
平行四边形DBB1D1 B1D1∥BD
于是平面A1BD∥平面CB1D1
C1 B1
C B
(2)证明：建立如图所示
z D1
的空间直角坐标系o-xyz
中点. 求证：
D
平面AEH ∥平面BDGF
A
F C1 B1
C B
AD∥GF ，AD=GF
平行四边形ADGE AE ∥DG
又EH ∥B1D1，GF ∥B1D1 EH ∥GF
故得平面AEH ∥平面BDGF
略证：建立如图所示的
z D1 G
空间直角坐标系o-xyz F
? 则求得平面AEF 的法向 A1
E
量为 n ? (2,2,1)
z D1
A1
C1 B1
oD
y C
A
x
?B
同理可得平面?CB1D?1的法向量为m ? (? 1,1,1)
则显然有 n ? ? m
Fra Baidu bibliotek
即得两平面BDA1和CB1D1的法向量平行 所以 平面BDA1∥CB1D1
例3.在正方体ABCD-
D1 G
A1B1C1D1中，E、F、
H
G、H分别是A1B1、 A1
E
B1C1、C1D1、D1A1的
A
MN∥平面AC.
（１）M是中点，N是中点
C1 B1
N C
Q RB
MN∥RQ
MN∥平面AC
法（２）
D1
作PP 1⊥AB于P1，
C1
作MM 1 ⊥AB于M1，A1 P 连结QP 1，
B1
作NN1⊥ QP 1于N1， 连结M1N1
MN
NN1∥PP 1 MM 1∥AA1
D
N1
Q
C
A
P1 M1
B
又NN1、MM 1均等于边长的一半
C1
设正方形边长为1， A1
B1
则向量 DA1 ? (1,0,1)
DB ? (1,1,0)
oD
y C
设平面?BDA1的法向量 A 为 n ? ( x, y, z ) 则有x
B
x+z=0
x=1
令x=1,则得方程组的解为 y=-1
x+y=0
?
z=-1
故平面BDA1的法向量为 n ? (1,? 1,? 1)
? 可设 DA ? i, AB ? j, AP ? k , PA ? 1 P
N
分别以 i, j, k 为坐标向量建立空间直角坐标系A ? xyz D
C
A(0,0,0), B(0,1,0), C(? 1,1,0), D(? 1,0,0),
P(0,0,1) M (0, 1 ,0), N (? 1 , 1 , 1)
空间向量 在立体几何中的应用
前段时间我们研究了用空间向量求 角(包括线线角、线面角和面面角 )、求 距离(包括线线距离、点面距离、线面 距离和面面距离 )
今天我来研究如何利用空间向量来 解决立体几何中的有关证明及计算问 题。
复习空间向量(一)
一、空间向量的运算及其坐标运算的掌握
是平面向量的推广 , 有关运算方法几 乎一样,只是 “二维的”变成 “三维的”了.
故MM 1N1N是平行四边形，故MN∥M1N1
MN∥平面AC
证明：建立如图
所示的空间直角
坐标系o-xyz 设正方形边长为
2，A1
z D1
P
C1 B1
又A1P=BQ=2x 则P(2，2x，2)、
Q(2-2x，2，0)
故N(2-x, 1+x, 1),而
A
M(2, 1, 1)
x
MN
o D
Cy Q
B
所以向量?MN ? (-x, x, 0)，又平?面AC的法? 向量为 n ? (0, 0, 1)，∴ MN? n ? 0 ∴MN ? n
建立空间直角坐标,系设正方体的棱长2为.
A(2,0,0),B(2,2,0A)'(,2,0,2)
E
E(0,2,1),F(1,1,0)
A' F ? (?1,1,?2),DB ? (2,2,0), DE ? (0,2,1)
Y
A' F ? DB ? (?1,1,?2)?(2,2,0) ? 0
F
A' F ? DE ? (?1,1,?2)?(0,2,1)? 0