夏钶固体物理第三章

aq 改变一个2π的整数倍,两个原子的振动位移相等!
aq
或 / a q / a
一维单原子链的布里渊区
q
的取值限制在简约布里渊区
格波 — 在晶体中传播的振幅为A,频率为ω的行波，
是晶体中原子的一种集体运动形式。
n-2
n-1
2 / q
n n+1 n+2
n1 n n n1 n1 n1 2n m n1 n1 2n 注意：原子链中有N个原子，则有N个这种形式的方程
n1 n m
2· 边界条件→波恩—卡曼（Born-Von Karman）条件 ∵ 一个有限链两端的原子和内部原子有所不同
1 2 v a v a 高阶项 2
其中: 表示对平衡距离 a 的偏离 β表示恢复力系数 = 弹性系数 在简谐近似条件下， 相邻原子间的作用力
d 2v d 2v dr2 d 2 a 0
dv F d
晶格具有周期性 — 晶格的振动模具有波的形式 格波 一、一维单原子链 1· 模型与运动方程
单原子链看作是一个最简单的晶格! ① 计算相邻原子间作用力 设： (a) N 个质量为m 的原子组成一维布拉伐格子； (b) 平衡时相邻原子距离为a(晶胞体积为a或晶格 常数为a)； (c) 原子限制在沿链的方向运动，偏离格点的位移 表示为: ..., , , ,...
22 2 2 iaq iaq iaq iaq iaq iaq iaq iaq


m 2 e iaq eiaq

ω 与q 的关系称为色散关系!
振动频谱/振动谱
4.讨论：
① 格波解
nq Ae
i t naq
naq—位相因子
物理意义：相邻原子的振动位相差为 q(n+1) a – qna = aq
∴ 被限制在第一布里渊区里的q 可取N个不同的值! 又∵ 每个q 对应着一个格波 ∴ 对应着N 个独立的格波，或有N个独立的振动模式
③ 色散关系的几个重要性质
1 根据色散关系式 2 sin aq m 2

ω -π /a < q ≤ π/a
∴ 得到一维单原子晶格的色散关系曲线:
由图知， 频率ω的范围为:
∴第二项
V i 1 i
3N
i 0 0
∴ 省去二阶以上的高阶项，得到：
2 1 3N V V谐 2 i , j 1 i j
i j 0
简谐近似 — 体系的势能函数只保留至二次项，称为 简谐近似 为了使问题既简化又能抓住主要矛盾 注意：
晶格振动是典型的小振动 问题！— 经典力学观点
力学体系自平衡位臵发生微小偏移 → 该力学体系的运动属于小振动
处理小振动问题的理 论方法和主要结果
学习晶格振动的理论基础 绝热近似 简谐近似
晶格振动的经典理论
原子在平衡位臵 附近作微小振动
布拉伐格矢 R 是平衡位臵
绝热近似： 固体是有大量的原子组成 →复杂的多体问题！ 原子与原子 ∵晶体中电子和正原子实的质量相 原子与电子 差很大：W 103 ~ 105W 原子 电子 电子与电子 ∴正原子实的运动速度<< 电子 快速运动的电子能很快地适应正原子实的位臵变化 —正原子实固定在它的瞬间位臵 近似认为正原子实不动→绝热近似→正电子实和原子 运动分开 简化为 绝热近似下: 多种粒子的多体问题 多电子问题
n n1 n1 2n 验证方程: m
代 入
有下列“格波”形式的解：
表示沿链 传播的波
得到：
nq Ae
i t naq
i t naq
A:振幅,ω:波的角频率,λ:波长,q=2π/λ:波数
i t naq m i Ae i Ae m 2
有限温度下，组成晶体的原子并非固 定于格点位臵，而是以格点为平衡位 臵作热振动，这种运动称为晶格振动
3· 晶格振动的作用与学习意义： ※ 晶格振动使晶体势场偏离严格的周期性； ※ 对Bloch电子有散射作用，从而影响与电子有关的 运输性质：电导，霍尔效应，磁阻，温差电效应； ※ 晶体的比热，热膨胀和热导等热学性质直接依赖于 晶格振动； ※ 晶体的光吸收和光发射等光学性质与晶格振动有关
第一项V0 = 平衡晶格势能 = 0
V 0 i 0
2 V 1 3N V V V0 i 2 i j 高级项 i 1 i , j 1 i 0 i j 0 3N
简谐近似:
已知：晶胞包含N个原子，平衡位臵为 R； n
∴原子的瞬时位矢: Rn ' (t ) Rn n t r : 晶体中相距 r 的两个原子间的相互作用势能
则晶体的总势能函数可表示为：
3 N3 N 3N 113 N 11 t' t t' VV RR Rm RnR R R m t R'm n 'n n m m n n m 22i 1 22 i 1i 1 i 1
※ 电子-电子间通过晶格振动可出现不同于库仑力的 相互作用，形成所谓库柏对，产生超导性。
晶格动力学 是固体物理学中最基础、最重要的部分之一！
4· 晶格振动的出现及发展历程
① 起源于晶体热学性质的研究
杜隆—柏替经验规律把热容量和原子振动联系起来!
mol-1 K-1 得到：摩尔热容量为3Nk = 3R 8.3145J·
学习内容：ห้องสมุดไป่ตู้
学习的意义与目的
第一节 简谐近似 第二节 一维晶格的振动 第三节 晶体的热力学函数 第四节 晶格热容的量子理论 第五节 晶格的热传导 第六节 离子晶体中的长光学波
学习的意义与目的： 1· 回 顾：
理想化模型
组成晶体的原子被认为是固定在格点位臵(平衡位臵) 静止不动 的！
格点 2· 认 识： 有限温度(T≠0K)下，组成晶体的原子或离子围绕平衡 位臵作微小振动 ―晶格振动”
格 波
② 波恩—卡曼（Born-Von Karman）条件知
n N n
e
i Naq
即： cos Naq 1 Naq 2h(其中h为整数） e 1 即： cos Naq 1 Naq 2h(其中h为整数） 2 qNaq h 2h(其中h为整数） 即： cos 2Naq 1 Na q h
问题：与低温热容量相矛盾 — T↓,Cv↓ ② Einstein发展普朗克量子假说—量子热容量理论 得到:热容量与原子振动的具体频率有关 推动了对固体原子振动进行具体的研究! ③ 建立“格波 ”形式 → 研究晶格振动 晶格中各个原子间的振动相互间存在着固定的位 相关系— 晶格中存在着角频率ω为的平面波
一维单原子链
设： (a) N 个质量为m 的原子组成一维布拉伐格子； (b) 平衡时相邻原子距离为a(晶胞体积为a或晶格 常数为a)； (c) 原子限制在沿链的方向运动，偏离格点的位移 表示为: ..., , , ,...
n 1 n n 1
只考虑最近邻原子间的相互作用！ 原子链的相互作用能一般可表示为：
※简谐近似是晶格动力学处理许多物理问题的出发点 !
※ 对热膨胀和热传导等问题必须考虑高阶项 --- 特别是3次和4次项的作用 → 这称为非谐项或非谐作用 – V非谐
※ 具体处理问题时,把非谐项看成是对起主要作用 的简谐项的微扰! 简正振动模式：在简谐近似下, 由N个原子构成的晶体的晶格
振动, 可等效成3N个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式 称为简正振动模式 简正振动模式对应着所有的原子都以该模式的频率做振动, 它 是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动 —格波振动通常是这3N个简正振动模式的线形迭加.
偏离平衡位臵的位移矢量为 n (t )




在平衡位臵展开成泰勒级数：
2 V 1 3N V V V0 i 2 i j 高级项 i 1 i , j 1 i 0 i j 0 3N
2
Ae Ae

t n 1 i it n 1 aq aq
Ae Ae
i taq n 1aq i t naq i t i t n 1
2 Ae 2 Ae

m m ee ee 22 eiaq cosaq i sin aq 2 cosaq 1 m e e 2 cos 22 aq 11 e iaq cos aq i sin aq cos aq 2 cosaq 1 2 2 1 cosaq 2 22 44 1 22 2 1 m 4 sin cos aq 1 aq 2 1 1 cos aq sin aq 2 2 2 2 m m 1 cosaq m m sin 22aq m m 2 1 2 sin aq 11 m 2 22 sin sin1 aq aq 2 m msin 22aq m 2
n 1 n n 1
a
(n-2) (n-1)
(a)
(a) 平衡位置
格波 晶格具有周期性 — 晶格的振动模具有波的形式 (b) 瞬时位置和位移 (b) 一、一维单原子链
μn-1 1· 模型与运动方程 a+μn+1- μn
n
(n+1) (n+2)
单原子链看作是一个最简单的晶格! ① 计算相邻原子间作用力
i Naq
1
e Ae
i Naq
i t naq 1
Ae
i t n N aq
/a q /a Na -/a 2 q /a q h -N/2 h N/2 即共有N个 -N/2 h N/2 即共有N个不同的值 Na
n n1
a
(n+2) (n-1)
n (n+1) (n+2) (b) μn-1 a+μn+1- μn (a)
受到的力: F左 n n1 右（n+1)原子： 右 n1 n 受到的力: F n1 n 右 ∴第n个原子的运动方程：
0< ω ≤ 2(β/m)1/2
② 考察第n个原子的运动方程，它受到左右两个近邻 原子对它的作用力：
a
(n-2) (n-1) n (n+1) (n+2)
(a)
(b) μn-1 a+μn+1- μn
左（n-1)原子：
左 a'a
a' a n n1
左 a'a n n1
左（n-1)原子： 左
∴ 有不同形式的运动方程
方程的解很复杂！
结果：选择波恩—卡曼（Born-Von Karman）条件 对于一维原子链，边界条件可形象规定为： 用连接体内原子相同的弹簧 将链两端的原子连在一起！
作用：并未改变运动方程的解， 只是原胞标数由n增加N，满足
e
i Naq
1
一维链的B-K边界条件
对于一维原子链，边界条件的数学表达式：n N n 3· 格波解与色散关系