晶格振动的经典理论
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一. 简谐晶体的经典运动。
晶 1.简谐近似 格 2. 一维单原子链，声学支 振 3.一维双原子链，光学支 动 4. 三维情形 与 二. 简谐晶体的量子理论。
晶 1. 简正坐标
体 2. 声子
的 3.晶格热容 热 4.声子态密度（晶格振动模式密度） 学 三. 晶格振动谱的实验测定—中子的非弹性散射。 性 四. 非简谐效应。 质 1. 热膨胀
2. 晶格热导率
晶格振动认识的历史： 静止晶格模型→振动形成“格波”→声子
晶格热容认识的历史： 杜隆—珀替经验规律→爱因斯坦模型→德拜模型
实验验证
固体的许多性质都可以基于静态模型来理解（即 晶体点阵模型），即认为构成固体的原子在空间做严 格的周期性排列，在该框架内，我们讨论了X 光衍射 发生的条件，以后还将在此框架内，建立能带论，计 算金属大量的平衡性质。然而它只是实际原（离）子 构形的一种近似，因为原子或离子是不可能严格的固 定在其平衡位置上的，而是在固体温度所控制的能量 范围内在平衡位置附近做微振动。只有深入地了解了 晶格振动的规律，更多的晶体性质才能得到理解。如： 固体热容，热膨胀，热传导，融化，声的传播，电导 率，压电现象，某些光学和介电性质，位移性相变， 超导现象，晶体和辐射波的相互作用等等。
晶格振动的研究始于固体热容研究，19 世纪初人们就通过
Dulong-Petit 定律
cV
E T
V
3N AkB
f
(T ),(E
3N AkBT )
认识到：热容量是原子热运动在宏观上的最直接表现，然而直到 20世纪初才由Einstein 利用Plank量子假说解释了固体热容为什 么会随温度降低而下降的现象（1907年），从而推动了固体原子 振动的研究，1912年玻恩(Born，1954年 Nobel物理学奖获得者) 和冯卡门（Von-Karman)发表了论晶体点阵振动的论文，首次使 用了周期性边界条件，但他们的研究当时被忽视了，因为同年发 表的更为简单的Debye热容理论（弹性波近似）已经可以很好的 说明当时的实验结果了，但后来更为精确的测量却表明了Debye 模型不足，所以1935年Blackman才重新利用Born和Von-Karman 近似讨论晶格振动，发展成现在的晶格动力学理论。后来黄昆先 生在晶格振动研究上成就突出，特别是1954年和Born共同写作 的《晶格动力学》一书已成为该领域公认的权威著作。
我国科学家黄昆院士在晶格振动理论上做出了重要贡献。
黄昆院士简介: （摘录）
1945-1947年，在英国布列斯托（Bristol）大学 物理系学习，获哲学博士学位；发表《稀固溶体的X 光漫散射》论文，理论上预言“黄散射”。
1948-1951年，任英国利物浦大学理论物理系博 士后研究员，这期间建立了“黄方程”，提出了声子 极化激元的概念，并与李爱扶（A.Rhys）建立了多 声子跃迁理论。
1947-1952年，与玻恩教授合著《晶格动力学》 (Dynamical Theory of Crystal Lattices)一书（英国牛津 出版社，1954年）。（2006年中文版）
黄昆对晶格动力学和声子物理学的发展做出了卓越的贡 献。他的名字与多声子跃迁理论、X光漫散射理论、晶格振 动长波唯象方程、二维体系光学声子模联系在一起。他是 “极化激元”概念的最早阐述者 。
4.1 晶格振动的经典理论
一. 一维单原子链的晶格振动 二. 一维双原子链的晶格振动 三. 三维晶体中原子的振动 四. 态密度函数 五. 近似条件与使用范围
晶格振动虽是一个十分复杂的多粒子问题，但在一定条 件下，依然可以在经典范畴求解，一维原子链的振动就是最 典型的例子，它的振动既简单可解，又能较全面地表现出 晶格振动的基本特点。
研究固体中原子的振动时的两个假设: （1）每个原子的中心的平衡位置在对应Bravais点阵的格 点上. （2）原子离开平衡位置的位移与原子间距比是小量,可以 用简谐近似.在简谐近似下,晶体中原子振动有精确解,大部 分符合实验.
一. 一维单原子链的振动
运动方程：
考虑N个质量为 m 的同种原子组成的一维单原子链。设平 衡时相邻原子间距为 a（即原胞大小），在 t 时刻第 n 个原子 偏离其平衡位置的位移为 n
n2
n 1
n
n 1
n2
为了建立起运动方程，我们首先要对原子之间的相互作用力 做些讨论，设在平衡时，两原子的相互作用势为V(a)，产生 相对位移（例如 n1 n ）后势能发生变化是V(a+δ) ， 将它在平衡位置附近做泰勒展开：
V (r)
V (a
)
V (a)
dV dr
a
1 2
d2V dr2
a
2
1
3!
d3V dr3
a
3
首项是常数，可取为能量零点，由于平衡时势能取极小值，第
二项为零，简谐近似下，我们只取到第三项，即势能展开式
中的二阶项（δ2项），而忽略三阶及三阶以上的项，显然， 这只适用于微振动，即δ值很小的情况。此时，恢复力：
f
dV dr
d2V dr2
a
相当于把相邻原子间的相互作用力看 作是正比于相对位移的弹性恢复力。
β称为恢复力常数
d2V dr2
a
如只考虑最近邻原子间的相互作用，第 n 个原子受到的力：
fn f1 f2 n n1 n n1 n1 n1 2n
于是第n个原子的运动方程可写为：
m
d 2n
dt 2
n1 n1 2n
一维原子链上的每个原子，忽略边界原子的区别，应 有同样的方程，所以它是和原子数目相同的 N个联立的线 性齐次方程。
方程的解：这样的线性齐次方程应有一个波形式的解：
nq Aeitnaq
q 2
A是振幅，ω 是角频率，q 是波数，λ 是波长，naq 是第n
个原子的位相因子，将试解代入方程求解。
m2 Aeitnaq Aeitn1aq Aeitn1aq 2Aeitnaq
晶 1.简谐近似 格 2. 一维单原子链，声学支 振 3.一维双原子链，光学支 动 4. 三维情形 与 二. 简谐晶体的量子理论。
晶 1. 简正坐标
体 2. 声子
的 3.晶格热容 热 4.声子态密度（晶格振动模式密度） 学 三. 晶格振动谱的实验测定—中子的非弹性散射。 性 四. 非简谐效应。 质 1. 热膨胀
2. 晶格热导率
晶格振动认识的历史： 静止晶格模型→振动形成“格波”→声子
晶格热容认识的历史： 杜隆—珀替经验规律→爱因斯坦模型→德拜模型
实验验证
固体的许多性质都可以基于静态模型来理解（即 晶体点阵模型），即认为构成固体的原子在空间做严 格的周期性排列，在该框架内，我们讨论了X 光衍射 发生的条件，以后还将在此框架内，建立能带论，计 算金属大量的平衡性质。然而它只是实际原（离）子 构形的一种近似，因为原子或离子是不可能严格的固 定在其平衡位置上的，而是在固体温度所控制的能量 范围内在平衡位置附近做微振动。只有深入地了解了 晶格振动的规律，更多的晶体性质才能得到理解。如： 固体热容，热膨胀，热传导，融化，声的传播，电导 率，压电现象，某些光学和介电性质，位移性相变， 超导现象，晶体和辐射波的相互作用等等。
晶格振动的研究始于固体热容研究，19 世纪初人们就通过
Dulong-Petit 定律
cV
E T
V
3N AkB
f
(T ),(E
3N AkBT )
认识到：热容量是原子热运动在宏观上的最直接表现，然而直到 20世纪初才由Einstein 利用Plank量子假说解释了固体热容为什 么会随温度降低而下降的现象（1907年），从而推动了固体原子 振动的研究，1912年玻恩(Born，1954年 Nobel物理学奖获得者) 和冯卡门（Von-Karman)发表了论晶体点阵振动的论文，首次使 用了周期性边界条件，但他们的研究当时被忽视了，因为同年发 表的更为简单的Debye热容理论（弹性波近似）已经可以很好的 说明当时的实验结果了，但后来更为精确的测量却表明了Debye 模型不足，所以1935年Blackman才重新利用Born和Von-Karman 近似讨论晶格振动，发展成现在的晶格动力学理论。后来黄昆先 生在晶格振动研究上成就突出，特别是1954年和Born共同写作 的《晶格动力学》一书已成为该领域公认的权威著作。
我国科学家黄昆院士在晶格振动理论上做出了重要贡献。
黄昆院士简介: （摘录）
1945-1947年，在英国布列斯托（Bristol）大学 物理系学习，获哲学博士学位；发表《稀固溶体的X 光漫散射》论文，理论上预言“黄散射”。
1948-1951年，任英国利物浦大学理论物理系博 士后研究员，这期间建立了“黄方程”，提出了声子 极化激元的概念，并与李爱扶（A.Rhys）建立了多 声子跃迁理论。
1947-1952年，与玻恩教授合著《晶格动力学》 (Dynamical Theory of Crystal Lattices)一书（英国牛津 出版社，1954年）。（2006年中文版）
黄昆对晶格动力学和声子物理学的发展做出了卓越的贡 献。他的名字与多声子跃迁理论、X光漫散射理论、晶格振 动长波唯象方程、二维体系光学声子模联系在一起。他是 “极化激元”概念的最早阐述者 。
4.1 晶格振动的经典理论
一. 一维单原子链的晶格振动 二. 一维双原子链的晶格振动 三. 三维晶体中原子的振动 四. 态密度函数 五. 近似条件与使用范围
晶格振动虽是一个十分复杂的多粒子问题，但在一定条 件下，依然可以在经典范畴求解，一维原子链的振动就是最 典型的例子，它的振动既简单可解，又能较全面地表现出 晶格振动的基本特点。
研究固体中原子的振动时的两个假设: （1）每个原子的中心的平衡位置在对应Bravais点阵的格 点上. （2）原子离开平衡位置的位移与原子间距比是小量,可以 用简谐近似.在简谐近似下,晶体中原子振动有精确解,大部 分符合实验.
一. 一维单原子链的振动
运动方程：
考虑N个质量为 m 的同种原子组成的一维单原子链。设平 衡时相邻原子间距为 a（即原胞大小），在 t 时刻第 n 个原子 偏离其平衡位置的位移为 n
n2
n 1
n
n 1
n2
为了建立起运动方程，我们首先要对原子之间的相互作用力 做些讨论，设在平衡时，两原子的相互作用势为V(a)，产生 相对位移（例如 n1 n ）后势能发生变化是V(a+δ) ， 将它在平衡位置附近做泰勒展开：
V (r)
V (a
)
V (a)
dV dr
a
1 2
d2V dr2
a
2
1
3!
d3V dr3
a
3
首项是常数，可取为能量零点，由于平衡时势能取极小值，第
二项为零，简谐近似下，我们只取到第三项，即势能展开式
中的二阶项（δ2项），而忽略三阶及三阶以上的项，显然， 这只适用于微振动，即δ值很小的情况。此时，恢复力：
f
dV dr
d2V dr2
a
相当于把相邻原子间的相互作用力看 作是正比于相对位移的弹性恢复力。
β称为恢复力常数
d2V dr2
a
如只考虑最近邻原子间的相互作用，第 n 个原子受到的力：
fn f1 f2 n n1 n n1 n1 n1 2n
于是第n个原子的运动方程可写为：
m
d 2n
dt 2
n1 n1 2n
一维原子链上的每个原子，忽略边界原子的区别，应 有同样的方程，所以它是和原子数目相同的 N个联立的线 性齐次方程。
方程的解：这样的线性齐次方程应有一个波形式的解：
nq Aeitnaq
q 2
A是振幅，ω 是角频率，q 是波数，λ 是波长，naq 是第n
个原子的位相因子，将试解代入方程求解。
m2 Aeitnaq Aeitn1aq Aeitn1aq 2Aeitnaq