机械模态分析作业例题
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题目：完成一个综合作业(What I hear, I forgot. What I see, I remember. What I do, I understand.)
作业:如图所示的两自由振动系统,已知m 1=100kg ，m 2=5kg ，k 1=10000N/m ，
k 2=500N/m ，c 2=1N ·m-1·s ，F 1(t)=F 1e j ωt
。求：
1． 物理坐标下的振动微分方程；
2． 频响函数矩阵；
3． 频响函数的模态展式矩阵； 4． 脉冲相应函数；
5． 画出H 11（ω）的幅频特性曲线，相频特性曲线，实频特性曲线，虚频特性曲线，Nyquist 图，Bode 图； 6． 固有频率，阻尼固有频率； 7． 画出振型图；
8． 模态坐标系下的振动微分方程；
9． 模态参数：复模态质量，复模态刚度，复模态阻尼。
解：
1．振动微分方程
对质量m 1、m 2绘分离体图（如图1-1），用牛二定律列分离体在铅垂方向的力平衡方程得
12212211111
22122122
()()()()F c x x k x x k x m x c x x k x x m x ∙
∙
∙∙
∙
∙
∙∙
+-+--=----= （1.1）
将（1.1）整理可得：
1122112
21122
22
222200
0m x c
c x k k k x F m c c k k x x x ∙∙∙∙∙∙⎡⎤⎡⎤-+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥++=⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎣⎦
（1.2） 且m 1=100、m 2=5、k 1=10000、k 2=500、c 2=1，代入（1.2）得：
111122************
5000
511500
5000x x x F x x x ∙∙∙∙∙∙⎡⎤⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎣⎦⎣⎦
⎣⎦
（1.3） 可以得出此二自由度系统振动微分方程为：()M x C x K x f t ∙∙
∙
++=
其中100
00
5M ⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦；111
1C -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦；10500
500500
500K -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦；1()0F f x ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
图1-1、系统的分离体图
2．频响函数矩阵
由书P25（1.4-58）公式可知，此二自由度系统频响函数矩阵为一2×2方阵，其表达式为：
2
1
()()
H K M j C ωωω-=-+，其中100005M ⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦；1
111C -⎡⎤
=⎢
⎥-⎣⎦
；10500
500500
500K -⎡⎤
=⎢
⎥-⎣⎦
（2.1） 写成矩阵形式：
1
211122
2122()
()10500100500()()()5005005H H j j H H H j j ωωωω
ωωωωω
ωω-⎡⎤
-+--⎡⎤==⎢
⎥⎢
⎥---+⎣⎦⎣⎦
（2.2）
3．频响函数的模态展式矩阵
1）求解瑞利阻尼矩阵
由于粘性阻尼矩阵C 无法进行正交性对角化，故不能直接应用坐标变换将（1.3）解耦。由于在该题中，粘性阻尼相对很小，对于小阻尼振动系统，可以利用瑞利比例阻尼来代替粘性阻尼，以获得可对角化的阻尼矩阵。
（1）瑞利比例阻尼系数的确定
瑞利比例阻尼：C M K αβ=+，其中10000
5M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；10500500500
500K -⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
；α、β 为瑞利比例阻尼系数
瑞利比例阻尼系数存在以下关系：
11
1
22
2
2222βωαξωβωαξ
ω⎧+=⎪⎪⎨
⎪+=⎪⎩，其中i ω为圆频率2i i f ωπ=（i f 为系统固有频率，书中表示为0i ω）；i ξ为阻尼比0i i i
σξω=
将上式写为矩阵形式：11
1222
1
22122ωω
ξαξωβω⎡⎤
⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢
⎥
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦
可得：1
11
1222
1221
22ωωξαξβωω-⎡⎤
⎢⎥⎡⎤
⎡⎤⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎢⎥⎣⎦
，其中2i i f ωπ=、0i i i
σξω=
（3.1）
由此可知，只要我们确定了一个系统任意两阶的固有频率及其阻尼比，就可以确定出瑞利比例阻尼系数，从而得到瑞利比例阻尼矩阵。
（2）求该二阶系统的一、二阶固有频率及其阻尼比
利用求解该系统振动微分方程
()M x C x K x f t ∙∙
∙
++=的特征值i λ来确定固有频率及其阻尼比。由书P23（1.4-43）-（1.4-46）公式为求
解步骤，下面利用Matlab 来计算固有频率0i ω和阻尼比i ξ：