机械模态分析作业例题
题目：完成一个综合作业(What I hear, I forgot. What I see, I remember. What I do, I understand.)
作业:如图所示的两自由振动系统,已知m 1=100kg ，m 2=5kg ，k 1=10000N/m ，
k 2=500N/m ，c 2=1N ·m-1·s ，F 1(t)=F 1e j ωt
。求：
1． 物理坐标下的振动微分方程；
2． 频响函数矩阵；
3． 频响函数的模态展式矩阵； 4． 脉冲相应函数；
5． 画出H 11（ω）的幅频特性曲线，相频特性曲线，实频特性曲线，虚频特性曲线，Nyquist 图，Bode 图； 6． 固有频率，阻尼固有频率； 7． 画出振型图；
8． 模态坐标系下的振动微分方程；
9． 模态参数：复模态质量，复模态刚度，复模态阻尼。
解：
1．振动微分方程
对质量m 1、m 2绘分离体图（如图1-1），用牛二定律列分离体在铅垂方向的力平衡方程得
12212211111
22122122
()()()()F c x x k x x k x m x c x x k x x m x ?
?
??
?
?
??
+-+--=----= （1.1）
将（1.1）整理可得：
1122112
21122
22
222200
0m x c
c x k k k x F m c c k k x x x ??????????-+-??????????
????++=?????
?????????--??
??????????
??
（1.2） 且m 1=100、m 2=5、k 1=10000、k 2=500、c 2=1，代入（1.2）得：
111122************
5000
511500
5000x x x F x x x ??????????--??????????
????++=???????
???????--????????
????
??
（1.3） 可以得出此二自由度系统振动微分方程为：()M x C x K x f t ??
?
++=
其中100
00
5M ??=?
???；111
1C -??=??-??；10500
500500
500K -??=??-??；1()0F f x ??
=????
图1-1、系统的分离体图
2．频响函数矩阵
由书P25（1.4-58）公式可知，此二自由度系统频响函数矩阵为一2×2方阵，其表达式为：
2
1
()()
H K M j C ωωω-=-+，其中100005M ??=?
???；1
111C -??
=?
?-??
；10500
500500
500K -??
=?
?-??
（2.1） 写成矩阵形式：
1
211122
2122()
()10500100500()()()5005005H H j j H H H j j ωωωω
ωωωωω
ωω-??
-+--??==?
??
?---+????
（2.2）
3．频响函数的模态展式矩阵
1）求解瑞利阻尼矩阵
由于粘性阻尼矩阵C 无法进行正交性对角化，故不能直接应用坐标变换将（1.3）解耦。由于在该题中，粘性阻尼相对很小，对于小阻尼振动系统，可以利用瑞利比例阻尼来代替粘性阻尼，以获得可对角化的阻尼矩阵。
（1）瑞利比例阻尼系数的确定
瑞利比例阻尼：C M K αβ=+，其中10000
5M ??=????；10500500500
500K -??
=??-??
；α、β 为瑞利比例阻尼系数
瑞利比例阻尼系数存在以下关系：
11
1
22
2
2222βωαξωβωαξ
ω?+=???
?+=??，其中i ω为圆频率2i i f ωπ=（i f 为系统固有频率，书中表示为0i ω）；i ξ为阻尼比0i i i
σξω=
将上式写为矩阵形式：11
1222
1
22122ωω
ξαξωβω??
???????
?
=??????????????
可得：1
11
1222
1221
22ωωξαξβωω-??
????
???
?=??????????
????
，其中2i i f ωπ=、0i i i
σξω=
（3.1）
由此可知，只要我们确定了一个系统任意两阶的固有频率及其阻尼比，就可以确定出瑞利比例阻尼系数，从而得到瑞利比例阻尼矩阵。
（2）求该二阶系统的一、二阶固有频率及其阻尼比
利用求解该系统振动微分方程
()M x C x K x f t ??
?
++=的特征值i λ来确定固有频率及其阻尼比。由书P23（1.4-43）-（1.4-46）公式为求
解步骤，下面利用Matlab 来计算固有频率0i ω和阻尼比i ξ：
编写Matlab 程序polynomial.m 求特征方程，程序如下：
syms x;
m 1=100; m2=5; k1=10000; k2=500; c2=1; M=[m1 0;
0 m2];
C=[c2 -c2;
-c2 c2];
K=[k1+k2 -k2; -k2 k2];
y=det(M*x^2+C*x+K)
解以上求得的多项式：
>> p=[500 105 102500 10000
5000000];
>> x 0=roots(p)
由特征值可得：2
0118.94528.9453ωλ==≈、1101
0.03560.00408.9453
σξω=
=
=
02211.1791ωλ==≈、
2202
0.06940.006211.1791
σξω=
=
=
（3）求瑞利比例阻尼系数及瑞利比例阻尼矩阵 根据公式（3.1）编写Matlab 程序rayleigh.m 求解特征方程，程序如下：
function Cr=rayleigh() %--计算瑞利阻尼系数alpha 和
beta--
xi1=0.0040; xi2=0.0062;
f1=8.9453; f2=11.1791;
omega1=2*pi*f1; omega2=2*pi*f2;
A=[1/(2*omega1) omega1/2;
1/(2*omega2) omega2/2]; xi=[xi1;
xi2];
x=inv(A)*xi;
alpha=x(1,1)
beta=x(2,1)
%--计算瑞利阻尼矩阵Cr(2*2)-- m1=100; m2=5; k1=10000; k2=500; M=[m1 0;
0 m2];
K=[k1+k2 -k2;
-k2 k2];
Cr=alpha*M+beta*K;
可知：瑞利比例阻尼系数-0.3004α=、4=2.374110β-?
瑞利比例阻尼矩阵-27.5422-0.1187-0.1187
-1.3830C ??
=?
???
2）求解模态矩阵（及特征矢量矩阵）
书P23已说明根据粘性比例阻尼振动系统的微分方程所求得的特征矢量与该系统无阻尼振动下求得的特征矢量相等。因此，我们可以利用求此二阶系统在无阻尼振动下的微分方程的特征矢量更简单的得出模态矩阵
改写Matlab 程序polynomial.m 求解此二阶系统在无阻尼振动下的微分方程的特征方程，程序如下：
syms x;
m1=100; m2=5; k1=10000; k2=500; M=[m1 0;
0 m2];
K=[k1+k2 -k2;
-k2 k2];
y=det(K-x^2*M) 解以上求得的多项式：
>> p=[500 -102500 5000000]; >> x0=roots(p)
可知：20180ω=、202125ω=。将其分别代入回2
()0K M ω?-=，可得：
112125005000500100??-????=?
??
?-???? 、12222000
5000500125??--??
??=?
???--????
（3.2）
求得模态矩阵[]11121
22122115
4?????????
??===?
???-??
?? 3）求解频响函数的模态展式矩阵
（1）求模态质量矩阵、模态刚度矩阵和模态阻尼矩阵
151000112250[]1405540180T
i diag m M ??????????===?
???????--???????? 151********
1180000
[]1
4500
500540
22500T
i diag k K ??-????????===?
??
?????---????????
15-27.5422-0.11871
163.30420.000963.3042
[]1
4-0.1187
-1.38305
40.000948.72060
48.7206T
i diag c C ??---??????????===≈?
??
??
??
??
?
-----??????????
（2）由此可得频响函数的模态展式为：
2
2
1
()T
i i
i i i i
H k m j c ??ωωω==
-+∑
（3.3）
写成矩阵形式为：
22
1112
2111
2212
22
22
111222111222
111222212221112212
2122
22
22
111222
111222()
()()()
()k m j c k m j c k m j c k m j c H H H H H k m j c k m j c k m j c k m j c ??????ωωωωωωωωωωωωω??????ωωωωωωωω??++
??-+-+-+-+????
==
?
?????++??-+-+-+-+??
将所求?、[]i diag m 、[]i diag k 、[]i diag c 代入：
111221
21
2122()
()1514()(1800022563.3042)(2250018048.7206)()
()5
254
16H H H j j H H ωωωωωωωωω---??????
==--?+--??
??
???-????
??
4．脉冲响应函数
对（3.3）作傅立叶逆变换，得到脉冲响应函数矩阵：
2
1
()sin i T
t
i i
di i i di
h t e
t m σ??ωω-==
∑
（4.1）
5．11()H ω的幅频、相频、实频、虚频特性曲线以及导纳图和博德图 1）11()H ω的幅频特性曲线：11()H ω与ω的关系
11()H ω=
，其中01
ωωΩ=
，i ξ为阻尼比。代入可得：
111
1
()H ω=
+
（5.1）
编写Matlab 程序figure1.m 画图，程序如下：
omega=5:.01:15;
o1=omega/sqrt(80); o2=omega/sqrt(125); k1=18000; k2=22500; xi1=0.0040; xi2=0.0062;
y11=1./(k1.*sqrt((1-o1.^2).^2+(2.*xi1.*o1).^2))+1./(k2.*sqrt((1-o2.^2).^2
+(2.*xi2.*o2).^2));
plot(omega,y11,'LineWidth',2); grid on
xlabel('频率 Hz') ylabel('幅值 mm') title('m1的一阶幅频特性')
输出图形：
2）11()H ω的相频特性曲线：11?与ω的关系
112211221222arctan arctan 11ξξ?????
-Ω-Ω=+
? ?
-Ω-Ω????
。代入可得：
11
22
20.00420.00628.945311.1791
arctan arctan 1180125ωω
?ωω????
-??-??
?
?
=+ ? ? ? ?--
?
?????
（5.2） 编写Matlab 程序figure2.m 画图，程序如下：
omega=5:.01:15;
o1=omega/sqrt(80); o2=omega/sqrt(125); k1=18000; k2=22500; xi1=0.0040; xi2=0.0062;
y11=atan((-2.*xi1.*o1)./(1-o1.^2))+atan((-2.*xi2.*o2)./(1-o2.^2)); plot(omega,y11,'LineWidth',2); axis([5 15 -2 2]) grid on
xlabel('频率 Hz') ylabel('相位角') title('m1的一阶相频特性')
输出图形：
3）11()H ω的实频特性曲线：11()R
H ω与ω的关系
()
()
()
()
2
2
1
2
11
2
2
2222221
1
11
2
2
22
11()1414R H k k ωξξ-Ω-Ω=
+-Ω
+Ω
-Ω
+Ω
。代入可得：
2
2
11
2
2
22222
2
1180
125
()1800014(0.004)2250014(0.0062)8080
125125R H ω
ω
ωωωωω-
-
=
+
???????? ? ??-+???-+?? ? ? ? ?
??????
??
（5.3）
编写Matlab 程序figure3.m 画图，程序如下：
omega=5:.01:15;
o1=omega/sqrt(80); o2=omega/sqrt(125); k1=18000; k2=22500; xi1=0.0040; xi2=0.0062;
y11=(1-o1.^2)./(k1.*((1-o1.^2).^2+(2.*xi1.*o1).^2))+(1-o2.^2)./(k2.*((1-o
2.^2).^2+(2.*xi2.*o2).^2));
plot(omega,y11,'LineWidth',2); grid on
xlabel('频率 Hz') ylabel('幅值 mm') title('m1的一阶实频特性')
输出图形：
4）11()H ω的虚频特性曲线：11()I
H ω与ω的关系
()
()
()
()
11
22
112
2
2
222221
1
11
2
2
22
22()1414I
H k k ξξωξξ-Ω-Ω=
+-Ω
+Ω
-Ω
+Ω
。代入可得：
112
2
22222
2
20.00420.00628.9453
11.1791
()1800014(0.004)2250014(0.0062)8080125125I
H ω
ω
ωωωωω-??
-??
=
+
???????? ? ??-+???-+?? ? ? ?
?
????????
（5.4）
编写Matlab 程序figure4.m 画图，程序如下：
omega=5:.01:15;
o1=omega/sqrt(80); o2=omega/sqrt(125); k1=18000; k2=22500; xi1=0.0040; xi2=0.0062;
y11=(1-o1.^2)./(k1.*((1-o1.^2).^2+(2.*xi1.*o1).^2))+(1-o2.^2)./(k2.*((1-o
2.^2).^2+(2.*xi2.*o2).^2));
plot(omega,y11,'LineWidth',2);
axis ([5 15 -0.0035 0.0005])
grid on
xlabel('频率 Hz') ylabel('幅值 mm')
title('m1的一阶虚频特性')
输出图形：
5）11()H ω的导纳图：11()R
H ω与11()I
H ω的关系
编写Matlab 程序figure5.m 画图，程序如下：
omega=0:.01:15;
o1=omega/sqrt(80); o2=omega/sqrt(125); k1=18000; k2=22500; xi1=0.0040; xi2=0.0062;
yR=(1-o1.^2)./(k1.*((1-o1.^2).^2+(2.*xi1.*o1).^2))+(1-o2.^2)./(k2.*((1-o2
.^2).^2+(2.*xi2.*o2).^2));
yI=(-2.*xi1.*o1)./(k1.*((1-o1.^2).^2+(2.*xi1.*o1).^2))+(-2.*xi2.*o2)./(k2
.*((1-o2.^2).^2+(2.*xi2.*o2).^2));
plot(yR,yI,'LineWidth',2); axis square grid on
xlabel('实频幅值 mm') ylabel('虚频幅值 mm')
title('m1的一阶Nyquist 图')
输出图形：
6）11()H ω的博德图：11lg ()H ω与lg ω的关系 编写Matlab 程序figure6.m 画图，程序如下：
omega=5:.01:15;
o1=omega/sqrt(80); o2=omega/sqrt(125); k1=18000; k2=22500; xi1=0.0040; xi2=0.0062;
y11=log(1./(k1.*sqrt((1-o1.^2).^2+(2.*xi1.*o1).^2))+1./(k2.*sqrt((1-o2.^2
).^2+(2.*xi2.*o2).^2)));
plot(log(omega),y11,'LineWidth',2); grid on
xlabel('频率取对数') ylabel('幅值取对数') title('m1的一阶Bode 图')
输出图形：
6．固有频率和阻尼固有频率 1）固有频率：特征值i λ的模。
*
01118.9453ωλλ===
≈
Hz *
022211.1791ωλλ===
≈ Hz
2）阻尼固有频率：特征值i λ的虚部。
18.9452d ω= Hz 211.1789d ω= Hz
7．振型图
根据（3.2）求得的模态矩阵[]11
121221
22115
4?????????
??
===?
???-??
??，可以画出系统一、二阶主振型图为：
一阶主振型图 二阶主振型图
其中：x 表示系统各点的静平衡位置
v 1表示系统在一阶模态下各点振幅比 v 2表示系统在二阶模态下各点振幅比
8．模态坐标下振动微分方程
由书P25（1.4-59）公式可以得出此二自由度系统在模态坐标下的振动微分方程为：
[][][]()T
i i i diag m y diag c y diag k y f t ???
?
++= （8.1）
其中225
0[]0180i diag m ??=????，18000
[]022500i diag k ??
=
????
，63.30420
[]048.7206i diag c -??
=
?
?-??
，
1514T
?
??=??-??
代入可写为一个解耦的方程组：
11
11222122563.304218000()
18048.720622500()
y y y F t
y y y F t
??
?
??
?
-
+=-+= （8.2）
9．复模态质量、复模态刚度、复模态阻尼
由书P30（1.5-31）公式可知，复模态质量、刚度、阻尼为： H m i i i H
m i i i H m i i i
m M k K c C ψψψψ
ψψ?=?=??=?
，其中
12i i i i ?ψ????
==??
??
为i 阶模态矢量。
（9.1）
所以复模态质量、刚度、阻尼与实模态时的一致。可得： 1）复模态质量：1
202250[]00
180m i m m diag m m ??
??==?
???????
2）复模态刚度：1
20225000
[]00
18000m i m k diag k k ??
??==?
?????
??
3）复模态阻尼：1
2063.3042
0[]0
048.7206m i m c diag c c -????==?
???-?
?
??
数值分析典型习题
特别声明：考试时需带计 算器作辅助计算 1．2015x *=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差* r e ≤-31 104 ?. 2. 01(),(), ,()n l x l x l x 是以01,, ,n x x x 为节点的拉格朗日插值基函数，则 3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =，[0123]f =，，，1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式，则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ，则A 的谱半径()A ρ= 1 ，A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=x Bx f ，迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ机械结构实验模态分析实验报告书
《机械结构实验模态分析》实验报告 开课实验室：汽车结构实验室 2019年月日 学院 姓名 成绩 课程 名称 机械结构实验模态分析 实验项目 名 称 机械结构实验模态分析 指导教师 教师评语 教师签名： 年 月 日 机械结构实验模态分析实验报告 一、实验目的和意义 模态分析技术是近年来在国内外得到迅速发展的一门新兴科学技术，广泛应用于航空、航天、机械制造、建筑、汽车等许多领域，在识别系统的动力学参数、动态优化设计、设备故障诊断等许多方面发挥了日益重要的作用。 本实验采用CCDS-1模态分析微机系统，对图1所示的框架结构进行分析。通过该实验达到如下目的： 212019 1817 16 1514 13121110 987 6 5 4 3 222120 20 202090 9090 90 90909090113 113 113 113 113 113 115 115 115 115 图1 框架结构图 详细了解CCDAS-1模态分析微机系统，并熟练掌握使用本系统的全过程，包括 了解测量点和激振点的选择。 了解模态分析实验采用的仪器，实验的连接、安装和调整。 1、 激励振时各测点力信号和响应信号的测量及利用这些测量信号求取传递函数，并分析影响传递 函数精度的因素。 2、 SSDAS-1系统由各测点识别出系统的模态参数的步骤。 3、 动画显示。 4、 灵敏度分析及含义。 通过CCDAS-1模态分析的全部过程及有关学习，能祥述实验模态的一般步骤。 通过实验和分析，大大提高综合分析能力和动手能力。
CCDAS-1系统模态分析的优缺点讨论并提出改进实验的意见。 二、测试及数据处理框图 加速度传感器 力传感器 脉冲锤 四个点由橡胶绳悬挂 1724 打印机 IBM PC 微型计算机 含AD板 CCMAS-1模态分析软件 双通道低 通滤波器 电荷放大器 电荷放大器 图2 测量及数据处理系统框图 三、实验模态分析的基本原理 对于一个机构系统，其动态特性可用系统的固有频率、阻尼和振型来描述，与模态质量和模态刚度一起通称为机械系统的模态参数。模态参数既可以用有限元的方法对结构进行简化得到，也可以通过激振实验对采集的振动数据进行处理识别得到。通过实验数据求取模态参数的方法就是实验模态分析。只要保证测试仪器的精度、实验条件和数据分析处理的精度就能获得高质量的模态参数。 一个线性系统，若在某一点j 施加激振力j F ，系统各点的振动响应为i X 1,2,...,i n =，系统任意两点的传递函数ij h 之间的关系可用矩阵表示如下： 11112122122212()... 0()...()...()...0n n j n n n nn x h h h x h h h F x h h h ωωωω?????? ???????????? =??? ??????????????? ??????M M M O M (1-1) 可记为：{}{}[]X H F = []H 称为传递函数矩阵。其中的任意元素ij h 可以通过激振实验得到 () () i ij j X h F ωω= ()i X ω，()j F ω分别表示响应i X 与激振力j F 的傅立叶变换。 测量方法是给系统施加一有限带宽频率的激振力(冲击也是一有限带宽激振力)，同时测量系统的响应，将力和响应信号进行滤波，A/D 转换并离散采样，进行双通道FFT 变换，计算出激振力j F 与响应i X 之间的传递函数ij h 。 对测量的传递函数进行曲线拟和得到模态参数，一个多自由度系统曲线拟和传递函数的解析式为：* * 1 ()[]n ijk ijk ij k k k r r h S S P S P == - --∑ (1-3)
模态分析实验报告
篇一：模态分析实验报告 模态分析实验报告 姓名：学号：任课教师：实验时间：指导老师：实验地点： 实验1传递函数的测量 一、实验内容 用锤击激振法测量传递函数。 二、实验目的 1) 掌握锤击激振法测量传递函数的方法； 2) 测量激励力和加速度响应的时间记录曲线、力的自功率谱和传递函数； 3) 分析传递函数的各种显示形式（实部、虚部、幅值、对数、相位）及相干函 数； 4) 比较原点传递函数和跨点传递函数的特征； 5) 考察激励点和响应点互换对传递函数的影响； 6) 比较不同材料的力锤锤帽对激励信号的影响； 三、实验仪器和测试系统 1、实验仪器 主要用到的实验仪器有：冲击力锤、加速度传感器，lms lms-scadas ⅲ测试系统，具体型号和参数见表1-1。 仪器名称 型号 序列号 3164 灵敏度 2.25 mv/n 100 mv/g 备注比利时 丹麦 b&k 数据采集和分析系统 lms-scadas ⅲ 2302-10 力锤 加速度传感器 表1-1 实验仪器 2 、测试系统 利用试验测量的激励信号(力锤激励信号)和响应的时间历程信号，运用数字 信号处理技术获得频率响应函数(frequency response function, frf)，得到系统的非参数模型。然后利用参数识别方法得到系统的模态参数。测试系统主要完成力锤激励信号及各点响应信号时间历程的同步采集，完成数字信号的处理和参数的识别。 测量分析系统的框图如图1-1所示。测量系统由振动加速度传感器、力锤和比利时lms公司scadas采集前端及modal impact测量分析软件组成。力锤及加速度传感器通过信号线与scadas采集前端相连，振动传感器及力锤为icp型传感器，需要scadas采集前端对其供电。scadas采集相应的信号和进行信号处理(如抗混滤波，a/d转换等)，所测信号通过电缆与电脑完成数据通讯。图1-1 测试分析系统框图 四、实验数据采集 1、振动测试实验台架 实验测量的是一段轴，在轴上安装了3个加速度传感器，如图1-2所示，轴由四根弹簧悬挂起来，使得整个测试统的频率很低，基本上不会影响到最终的测试结果。整个测试系统如下图所示：a1 a 测点2测点3测点4 图1-2 测试系统图
太原理工机械系统设计实验报告
《机械系统设计》 实验报告 姓名：马睿聪 班级：机械Z1317 学号：2013000384
实验一：采煤机的主功能及辅助功能 采煤机是一个集机械、电气和液压为一体的大型复杂系统,工作环境恶劣,如果出现故障将会导致整个采煤工作的中断,造成巨大的经济损失. 采煤机是实现煤矿生产机械化和现代化的重要设备之一.机械化采煤可以减轻体力劳动、提高安全性,达到高产量、高效率、低消耗的目的. 采煤机分锯削式、刨削式、钻削式和铣削式四种：采煤机是一个集机械、电气和液压为一体的大型复杂系统,工作环境恶劣,如果出现故障将会导致整个采煤工作的中断,造成巨大的经济损失.随着煤炭工业的发展,采煤机的功能越来越多,其自身的结构、组成愈加复杂,因而发生故障的原因也随之复杂.双滚筒采煤机综合了国内外薄煤层采煤机的成功经验,是针对我国具体国情而设计的新型大功率薄煤层采煤机. 采煤机的主要组成部分： 采煤机的类型很多，但基本上以双滚筒采煤机为主，其基本组成部分也大体相同。各种类型的采煤机一般都由下列部分组成。 （1）截割部 截割部的主要功能是完成采煤工作面的截煤和装煤，由左、右截割电机，左、右摇臂减速箱，左、右滚筒，冷却系统，内喷雾系统和弧形挡板等组成。截割部耗能占采煤机装机总功率的80%-90%，
因此，研制生产效率高和比能耗低的采煤机主要体现在截割部。 传动装置： 截割部传动装置的作用是将采煤机电动机的动力传递到滚筒上，以满足滚筒转速及转矩的要求；同时，还应具有调高功能，以适应不同煤层厚度的变化。 截割部的传动方式主要有一下几种： a）、电动机-摇臂减速箱-行星齿轮减速箱-滚筒 b）、电动机-固定减速箱-摇臂减速箱-滚筒 c）、电动机-固定减速箱-摇臂减速箱-行星齿轮减速箱-滚筒 d）、电动机-摇臂减速箱-滚筒螺旋滚筒： 螺旋滚筒是采煤机落煤和装煤的工作机构，对采煤机工作起决定性作用，消耗总装功机率的80%-90%。早期的螺旋滚筒为鼓型滚筒，现代采煤机都采用螺旋滚筒。螺旋滚筒能适应煤层的地质条件和先进的采煤方法及采煤工艺的要求，具有落煤、装煤、自开切口的功能。近些年来出现了一些新的截割滚筒，诸如滚刀式滚筒、直
数值分析习题集及答案[1].(优选)
数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出 它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若
数值分析典型例题
第一章典型例题 例3 ln2=0.…，精确到10－3的近似值是多少 解 精确到10－3＝，即绝对误差限是＝, 故至少要保留小数点后三位才可以。ln2 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 ??? ??1 -=4+2+4=+2+31 -=4++2321 321321x x x x x x x x x 解 顺序消元 ?? ?? ??????---???→???????????---????→???????????--=-?+-?+-?+1717005.555.00141 25.025.105.555.001412142141231412]b A [)3()2/1()2/3(231312r r r r r r M 于是有同解方程组 ?? ? ??-==--=++17175.555.0142332321x x x x x x 回代得解 x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 ??? ??5 =+2+23=++1=2-2+321 321321x x x x x x x x x 解 建立迭代格式 ???????+--=+--=++-=+++5223122) (2)(1)1(3 ) (3)(1)1(2 ) (3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…)
第1次迭代,k =0 X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1 ???????-=+?-?-=-=+--==+?+?-=3 532123 351515232)2(3) 2(2)2(1x x x X (2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k =2 ???????=+-?-?-==+---==+-?+-?-=1 5)3(2521 3)3(511)3(2)3(2)2(3) 3(2)3(1x x x X (3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k =3 ???????=+?-?-==+--==+?+?-=1 512121 311111212)2(3) 2(2)2(1x x x X (4)＝(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A ＝?? ?? ? ?????-122111221 于是 D ＝?? ?? ??????100010001 D －1＝D ??????????=022001000L ~ ????? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为
机械模态分析作业
机械模态分析 作业:如图1所示是一个单自由系统附件一个减振器形成的的两自由振动系统,已知m 1=105kg ，m 2=7kg ，k 1=10000N/m ，k 2=410N/m ，c 2=1.15N ·m-1·s ，F 1(t)=F 1e j ωt 。求：（简化为粘性比例阻尼进行实模态分析） 1． 物理坐标下的振动微分方程； 2． 频响函数矩阵； 3． 频响函数的模态展式矩阵； 4． 脉冲相应函数； 5． 画出H 11（ω）的幅频特性曲线，相频特性曲线，实频特性曲线， 虚频特性曲线，Nyquist 图，Bode 图； 6． 固有频率，阻尼固有频率； 7． 画出振型图； 8． 模态坐标系下的振动微分方程； 9． 模态参数：复模态质量，复模态刚度，复模态阻尼。 10.按实模态系统，给出灵敏度分析。 11.集全班同学的数据（必要的话再补做不同m 2，k 2，c 2参数下的数据，画出x1的最大振幅与m 2，k 2，c 2，的变化曲线，从而分析出减振器的最佳参数。 解： 1．振动微分方程 对质量m 1、m 2绘分离体图（如图1-1），用牛二定律列分离体在铅垂方向的力平衡方程得 1221221111122122122 ()()()()F c x x k x x k x m x c x x k x x m x ???? ? ? ?? +-+--=----= （1.1） 将（1.1）整理可得： 112 2112 21122 22 2222000m x c c x k k k x F m c c k k x x x ???????? ?? -+-?????????? ????++=??????????????--?? ? ??????????? （1.2） 且m 1=105、m 2=7、k 1=10000、k 2=410、c 2=1.15，代入（1.2）得： ?? ????=????????????+???? ? ???????????+??????????????????????0 410 410-410- 104101.15 1.15- 1.15- 15.17 0 0 1051212121F x x x x x x （1.3） 可以得出此二自由度系统振动微分方程为：()M x C x Kx f t ?? ? ++= 其中M=???? ??7 0 0 105；C=?????? 1.15 1.15- 1.15- 15.1；K=??? ???410 410- 410 - 10410；f(t)= ?? ? ???0 1F 图1-1、系统的分离体图 2．频响函数矩阵 由书P25（1.4-58）公式可知，此二自由度系统频响函数矩阵为一2×2 方阵，其表达式为： 图1 两自由度振动系统
有限元分析实验报告
武汉理工大学 学生实验报告书 实验课程名称机械中的有限单元分析 开课学院机电工程学院 指导老师姓名 学生姓名 学生专业班级机电研 1502班 2015—2016 学年第2学期
实验一方形截面悬臂梁的弯曲的应力与变形分析 钢制方形悬臂梁左端固联在墙壁，另一端悬空。工作时对梁右端施加垂直向下的30KN的载荷与60kN的载荷，分析两种集中力作用下该悬臂梁的应力与应变，其中梁的尺寸为10mmX10mmX100mm的方形梁。 1.1方形截面悬臂梁模型建立 建模环境：DesignModeler 15.0。 定义计算类型：选择为结构分析。 定义材料属性：弹性模量为2.1Gpa，泊松比为0.3。 建立悬臂式连接环模型。 （1）绘制方形截面草图：在DesignModeler中定义XY平面为视图平面，并正视改平面，点击sketching下的矩形图标，在视图中绘制10mmX10mm的矩形。（2）拉伸：沿着Z方向将上一步得到的矩阵拉伸100mm，即可得到梁的三维模型，建模完毕，模型如下图1.1所示。 图1.1 方形截面梁模型 1.2 定义单元类型： 选用6面体20节点186号结构单元。 网格划分：通过选定边界和整体结构，在边界单元划分数量不变的情况下，通过分别改变节点数和载荷大小，对同一结构进行分析，划分网格如下图1.2所示：
图1.2 网格划分 1.21 定义边界条件并求解 本次实验中，讲梁的左端固定，将载荷施加在右端，施以垂直向下的集中力，集中力的大小为30kN观察变形情况，再将力改为50kN，观察变形情况，给出应力应变云图，并分析。 （1）给左端施加固定约束； （2）给悬臂梁右端施加垂直向下的集中力； 1.22定义边界条件如图1.3所示： 图1.3 定义边界条件 1.23 应力分布如下图1.4所示： 定义完边界条件之后进行求解。
数值分析作业思考题汇总
￥ 数值分析思考题1 1、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。 2、相对误差在什么情况下可以用下式代替 3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。 4、取 ，计算 ，下列方法中哪种最好为什么（1）(3 3-，（2）(2 7-，（3） ()3 1 3+ ，（4） ()6 1 1 ，（5）99- , 数值实验 数值实验综述：线性代数方程组的解法是一切科学计算的基础与核心问题。求解方法大致可分为直接法和迭代法两大类。直接法——指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算可求得方程组的精确解的方法，因此也称为精确法。当系数矩阵是方的、稠密的、无任何特殊结构的中小规模线性方程组时，Gauss消去法是目前最基本和常用的方法。如若系数矩阵具有某种特殊形式，则为了尽可能地减少计算量与存储量，需采用其他专门的方法来求解。 Gauss消去等同于矩阵的三角分解，但它存在潜在的不稳定性，故需要选主元素。对正定对称矩阵，采用平方根方法无需选主元。方程组的性态与方程组的条件数有关，对于病态的方程组必须采用特殊的方法进行求解。 数值计算方法上机题目1 1、实验1. 病态问题 实验目的： 算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”和“坏”之别。所谓坏问题就是问题本身的解对数据变化的比较敏感，反之属于好问题。希望读者通过本实验对此有一个初步的体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 $ r e x x e x x ** * ** - == 141 . ≈)61
数值分析典型习题资料
数值分析典型习题
特别声明：考试时需带计 算器作辅助计算 1．2015x *=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差* r e ≤ -31 104 ?. 2. 01(),(),,()n l x l x l x L 是以01,,,n x x x L 为节点的拉格朗日插值基函数，则 3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =，[0123]f =，，，1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式，则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ，则A 的谱半径()A ρ= 1 ，A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=L x Bx f ，迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ机械振动实验报告
《机械振动基础》实验报告 （2015年春季学期） 姓名 学号 班级 专业机械设计制造及其自动化报告提交日期2015.05.07 哈尔滨工业大学
报告要求 1.实验报告统一用该模板撰写，必须包含以下内容： (1)实验名称 (2)实验器材 (3)实验原理 (4)实验过程 (5)实验结果及分析 (6)认识体会、意见与建议等 2.正文格式：四号字体，行距为1.25倍行距； 3.用A4纸单面打印；左侧装订； 4.报告需同时提交打印稿和电子文档进行存档，电子文档由班长收 齐，统一发送至：liuyingxiang868@https://www.360docs.net/doc/737347250.html,。 5.此页不得删除。 评语： 教师签名： 年月日
实验一报告正文 一、实验名称：机械振动的压电传感器测量及分析 二、实验器材 1、机械振动综台实验装置(压电悬臂梁) 一套 2、激振器一套 3、加速度传感器一只 4、电荷放大器一台 5、信号发生器一台 6、示波器一台 7、电脑一台 8、NI9215数据采集测试软件一套 9、NI9215数据采集卡一套 三、实验原理 信号发生器发出简谐振动信号，经过功率放大器放大，将简谐激励信号施加到电磁激振器上，电磁激振器振动杆以简谐振动激励安装在激振器上的压电悬臂梁。压电悬臂梁弯曲产生电流显示在示波器上，可以观测悬臂梁的振动情况；另一方面，加速度传感器安装在电磁激振器振动杆上，将加速度传感器与电荷放大器连接，将电荷放大器与数据采集系统连接，并将数据采集系统连接到计算机（PC机）上，操作NI9215数据采集测试软件，得到机械系统的振动响应变化曲线，可以观测电磁激振器的振动信号，并与信号发生器的激励信号作对比。实验中的YD64-310型压电式加速度计测得的加速度信号由DHF-2型电荷放大器后转变为一个电压信号。电荷放大器的内部等效电路如图1所示。 q
数值分析典型例题
第一章典型例题 例3…，精确到10－3的近似值是多少？ 解 精确到10－3＝，即绝对误差限是?＝, 故至少要保留小数点后三位才 可以。ln2? 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 解 顺序消元 于是有同解方程组 回代得解 x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 解 建立迭代格式 ??? ????+--=+--=++-=+++5223122)(2)(1)1(3) (3)(1)1(2 )(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…) 第1次迭代,k =0 X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1 X (2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k =2 X (3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k =3
X (4)＝(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭 代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A ＝?? ?? ? ?????-122111221 于是 D ＝?? ?? ??????100010001 D －1 ＝D ?? ?? ? ?????=022001000L ~ ?? ?? ? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为 B 0＝?? ?? ? ?????--=??????????-??????????-=+--022101220022101220100010001)U ~L ~(D 1 得到矩阵B 0的特征根03,2,1=λ，根据迭代基本定理4，雅可比迭代法收敛。 高斯－赛德尔迭代矩阵为 G ＝－U ~ )L ~D (1-+ ＝－?? ?? ??????----=??????????-??????????---=??????????-??????????-2003202200001002201200110010001002201220110011 解得特征根为?1=0，?2,3=2。由迭代基本定理4知，高斯－赛德尔迭代发散。 例5 填空选择题： 1. 用高斯列主元消去法解线性方程组 作第1次消元后的第2，3个方程分别为 。
机床实验模态分析综述
机床的模态分析方法综述 甄真 (北京信息科技大学机电工程学院，北京100192) 摘要：模态分析是研究机械结构动力特性的一种近代方法，是结构动态设计及设备的故障诊断的重要方法。机床在工作时,由于要承受各种变载荷而产生振动,其精度和寿命会受到影响。因此有必要对机床进行模态分析,了解其动态特性,以便进一步分析和改进。本文概述了模态分析的概念、研究意义及发展历史，介绍了机床模态分析的研究现状, 从理论方法与试验方法两方面指出了其关键技术以及研究发展方向。 关键词：模态分析；动态特性；机床；理论方法；实验方法 Summary of the model analysis method of machine tool ZHEN Zhen (Beijing Information Science & Technology University, Mechanical and Electrical Engineering College, Beijing, 100192) Abstract：Modal analysis is a modern method to study the dynamic characteristics of mechanical structure. It’s an important method in structure dynamic design and fault diagnosis of equipment.Its accuracy and lifetime will be affected due to withstand all kinds of variable load and vibration when the machine tool works.So it is necessary to make modal analysis and to understand the dynamic characteristics for machine tool in order to further analyze and improve. This paper summarizes the concept, significance and history of modal analysis and introduces the research status of model analysis of machine tool. It also points out the key technology and research direction in this field from two aspects of theoretical method and experimental method. Key words:model analysis; dynamic characteristics; machine tool; theoretical method; experimental method 0 引言 模态是指机械结构的固有振动特性，每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型。模态分析是一种研究机械结构动力的方法，是系统辨别方法在工程振动领域中的应用。振动模态是弹性结构的固有的、整体的特性。如果通过模态分析法搞清楚了结构物在某一个易受影响的频率范围内各阶主要模态的特性，就可预言结构在此频段内在外部或内部各种振源作用下实际响应。因此，模态分析是结构动态设计及设备的故障诊断的重要方法[1]。 模态分析将构件的复杂振动分解为许多简单而独立的振动，并用一系列模态参数来表征的过程。根据线性叠加原理，一个构件的复杂振动是由无数阶模态叠加的结果。在这些模态中。模态分析最终目标是识别出系统的模态参数，为结构系统的振动特性分析、振动故障诊断和预报以及结构动力特性的优化设计提供依据。模态分析主要分为3类方法：一是，基于计算机仿真的有限元分析法；二是，基于输入(激励)输出(响应)模态试验的试验模态分析法；三是，基于仅有输出(响应)模态试验的运行模态分析法。有限元分析属结构动力学正问题，但受无法准确描述复杂边界条件、结构物理参数和部件连接状态等不确定性因素的限制难以达到很高的精度。第二、三类方法属结构动力学反问题，基于真实结构的模态试验。因而能得到更准确
模态分析实验报告
研究生学院 机械工程专业硕士结课作业 课程题目：机械结构模态分析实验 指导老师： 姓名： 学号： 2015年08月23日
一、概述 模态分析是研究结构动力特性一种近代方法，是系统辨别方法在工程振动领域中的应用。模态是机械结构的固有振动特性，每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型。这些模态参数可以由计算或试验分析取得，这样一个计算或试验分析过程称为模态分析。这个分析过程如果是由有限元计算的方法取得的，则称为计算模态分析；如果通过试验将采集的系统输入与输出信号经过参数识别获得模态参数，称为试验模态分析。通常，模态分析都是指试验模态分析。 振动模态是弹性结构固有的、整体的特性。通过模态分析方法搞清楚了结构物在某一易受影响的频率范围内的各阶主要模态的特性，就可以预言结构在此频段内在外部或内部各种振源作用下产生的实际振动响应。因此，模态分析是结构动态设计及设备故障诊断的重要方法。 机器、建筑物、航天航空飞行器、船舶、汽车等的实际振动模态各不相同。模态分析提供了研究各类振动特性的一条有效途径。首先，将结构物在静止状态下进行人为激振，通过测量激振力与响应并进行双通道快速傅里叶变换（FFT）分析，得到任意两点之间的机械导纳函数（传递函数）。用模态分析理论通过对试验导纳函数的曲线拟合，识别出结构物的模态参数，从而建立起结构物的模态模型。根据模态叠加原理，在已知各种载荷时间历程的情况下，就可以预言结构物的实际振动的响应历程或响应谱。 模态分析的经典定义：将线性定常系统振动微分方程组中的物理坐标变换为模态坐标，使方程组解耦，成为一组以模态坐标及模态参数描述的独立方程，以便求出系统的模态参数。坐标变换的变换矩阵为模态矩阵，其每列为模态振型。模态分析的最终目标是识别出系统的模态参数，为结构系统的振动特性分析、振动故障诊断和预报以及结构动力特性的优化设计提供依据。 模态分析技术的应用可归结为以下几个方面： 1) 评价现有结构系统的动态特性； 2) 在新产品设计中进行结构动态特性的预估和优化设计； 3) 诊断及预报结构系统的故障； 4) 控制结构的辐射噪声； 5) 识别结构系统的载荷 二、实验的基本过程 1、动态数据的采集及频响函数或脉冲响应函数分析 （1）激励方法。试验模态分析是人为地对结构物施加一定动态激励，采集各点的振动响应信号及激振力信号，根据力及响应信号，用各种参数识别方法获取模态参数。激励方法不同，相应识别方法也不同。目前主要由单输入单输出（SISO）、单输入多输出（SIMO）多输入多输出（MIMO）三种方法。以输入力的信号特征还可分为正弦慢扫描、正弦快扫描、稳态随机（包括白噪声、宽带噪声或伪随机）、瞬态激励（包括随机脉冲激励）等。 （2）数据采集。SISO方法要求同时高速采集输入与输出两个点的信号，用不断移动激励点位置或响应点位置的办法取得振形数据。SIMO及MIMO的方法则要求大量通道数据的高速并行采集，因此要求大量的振动测量传感器或激振器，试验成本较高。 （3）时域或频域信号处理。例如谱分析、传递函数估计、脉冲响应测量以及滤波、相关分析等。
心得体会 机械原理实验心得体会
机械原理实验心得体会 机械原理实验心得体会 机械原理课程设计心得体会 十几天的机械原理课程设计结束了，在这次实践的过程中学到了一些除技能以外的其他东西,领略到了别人在处理专业技能问题时显示出的优秀品质,更深切的体会到人与人之间的那种相互协调合作的机制,最重要的还是自己对一些问题的看法产生了良性的变化. 在社会这样一个大群体里面,沟通自然是为人处世的基本,如何协调彼此的关系值得我们去深思和体会.在实习设计当中依靠与被依靠对我的触及很大,有些人很有责任感,把这样一种事情当成是自己的重要任务,并为之付出了很大的努力,不断的思考自己所遇到的问题.而有些人则不以为然,总觉得自己的弱势…..其实在生活中这样的事情也是很多的,当我们面对很多问题的时候所采取的具体行动也是不同的,这当然也会影响我们的结果.很多时候问题的出现所期待我们的是一种解决问题的心态,而不是看我们过去的能力到底有多强,那是一种态度的端正和目的的明确,只有这样把自己身置于具体的问题之中,我们才能更好的解决问题. 在这种相互协调合作的过程中,口角的斗争在所难免,关键是我们如何的处理遇到的分歧,而不是一味的计较和埋怨.这不仅仅是在类似于这样的协调当中,生活中的很多事情都需要我们有这样的处理能力,面对分歧大家要消除误解,相互理解,增进了解,达到谅解…..也许很多问题没有想象中的那么复杂,关键还是看我们的心态,那种处理和解决分歧
的心态,因为毕竟我们的出发点都是很好的.课程设计也是一种学习同事优秀品质的过程,比如我组的纪超同学,人家的确有种耐得住寂寞的心态.确实他在学习上取得了很多傲人的成绩,但是我所赞赏的还是他追求的过程,当遇到问题的时候,那种斟酌的态度就值得我们每一位学习,人家是在用心造就自己的任务,而且孜孜不倦,追求卓越.我们过去有位老师说得好,有有些事情的产生只是有原因的,别人能在诸如学习上取得了不一般的成绩,那绝对不是侥幸或者巧合,那是自己付出劳动的成果的彰显,那是自己辛苦过程的体现.这种不断上进,认真一致的心态也必将导致一个人在生活和学习的各个方面做的很完美,有位那种追求的锲而不舍的过程是相同的,这就是一种优良的品质,它将指引着一个人意气风发,更好走好自己的每一步. 在今后的学习中,一定要戒骄戒躁,态度端正,虚心认真….要永远的记住一句话:态度决定一切. 一、温故而知新。课程设计发端之始，思绪全无，举步维艰，对于理论知识学习不够扎实的我深感“书到用时方恨少”，于是想起圣人之言“温故而知新”，便重拾教材与实验手册，对知识系统而全面进行了梳理，遇到难处先是苦思冥想再向同学请教，终于熟练掌握了基本理论知识，而且领悟诸多平时学 习难以理解掌握的较难知识，学会了如何思考的思维方式，找到了设计的灵感。二、思路即出路。当初没有思路，诚如举步维艰，茫茫大地，不见道路。在对理论知识梳理掌握之后，茅塞顿开，柳暗花明，思路如泉涌，高歌“条条大路通罗马”。顿悟，没有思路便无出路，
数值分析习题集及答案Word版
数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?
数值分析典型例题
数值分析典型例题 例1 对下列各数写出具有5位有效数字的近似值。236.478, 0.00234711, 9.000024, 9.0000343 10?. 解：按照定义，以上各数具有5位有效数字的近似值分别为：236.478， 0.0023471， 9.0000， 9.0000310?。 注意: *x =9.000024的5位有效数字是9.0000而不是9，因为9 是1位有效数字。 例2 指出下列各数具有几位有效数字。2.0004， -0.00200， -9000， 9310?， 23 10-?。 解：按照定义，以上各数的有效数字位数分别为5， 3， 4，1，1 例3 已测得某物体行程* s 的近似值s=800m ，所需时间* s 的近似值为t=35s ，若已知m s s s t t 5.0||,05.0||**≤-≤-，试求平均速度v 的绝对误差和相对误差限。 解：因为t s v /=，所以)()(1)()()(2t e t s s e t t e t v s e s v v e -=??+??≈ 从 而 05.00469.035 800 5.0351|)(||||)(|1|)(|22≤≈+?≤+≤t e t s s e t v e 同样v v e v e r )()(≈)()()()(t e s e t e v t t v s e v s s v r r r -=??+??= 所以00205.035 05 .08005.0|)(||)(||)(|≈+≤+≤t e s e v e r r r 因此绝对误差限和相对误差限分别为0.05和0.00205。 例4试建立积分20,,1,05 =+=n dx x x I n n 的递推关系，并研究它的误差 传递。 解：151 --= n n I n I ……………………………………………..…...(1) 5ln 6ln 0-=I ，计算出0I 后可通过（1）依次递推计算出1I ,…,20I 。 但是计算0I 时有误差0e ，由此计算出的1I ,…,20I 也有误差，由（1）可 知近似值之间的递推关系为 151 --= n n I n I ……………………………………………….…..(2) （1）-（2）可得 01)5(5e e e n n n -=-=-，由0I 计算n I 时误差被放大了n 5倍。所以（1）不稳 定。 （1） 可以改写为 n I I n n 51 511+ -=- ……………………………………… （3） 如果能先求出20I ，则依次可以求出19I ,…,0I ，计算20I 时有误差，这样根据（3）计算19I ,…,0I 就有误差，误差传播为 n n n e e ?? ? ??-=-511 ，误差依次减少。 例5 用二分法求解方程012)(23=+--=x x x x f 在区间[0,1]内的1个实根，要求有3为有效数字。 解：因为0)1()0(