第八章 分离变数法数学物理方法 梁昆淼
数学物理方法期末复习
f
(x)
k 0
bk
sin
(k
1 )
2 l
x
bk
2 l
(k 1) x
l
f (x)sin
2 dx
0
l
12
(4)、边界条件为 f (0) 0, f (l) 0
根据边界条件 f (0) 0应将函数f(x)对区间(0,l)的端点 x=0作偶延拓。又根据边界条件f (l)=0 ，应将函数f(x) 对区间(0,l)的端点x=l作奇延拓，然后以4l为周期向整
ak
k 1
cos k x l
a0 ak
1 l
2 l
l
f (x)dx
0 l
f (x) cos
0
k x
l
dx
g(x) g(x)
4l f (0) f (l) 0
g(2l x) g(x)
f
(
x)
k 0
ak
cos
(2k
1)x 2l
ak
2 l
l 0
f (x)cos(2k 1)x dx 2l
z1 x1 iy1 z2 x2 iy2
z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 )
(2)、乘法和除法
z1z2 (x1 iy1 )( x2 iy2 )
(x1x2 y1 y2 ) i(x1 y2 x2 y1 )
z1
z1
z
* 2
z2
z2
z
* 2
(x1 iy1)(x2 iy2 )
x22
y
《数学物理方法》教学大纲
《数学物理方法》教学大纲课程名称：数学物理方法英文名称：Methods of Mathematics and Physics课程编号：09120004学时数及学分：64 学时 4学分教材名称及作者：《数学物理方法》（第三版）梁昆淼编出版社、出版时间：高等教育出版社，1995年本大纲主笔人：彭建设一、课程的目的、要求和任务本课程是物理系各专业的基础理论课，通过本课程的学习，使学生掌握处理物理问题的一些基本数学方法，为进一步学习后继课程提供必要的数学基础。
要求学生熟悉复变函数(特别是解析函数)的一些基本概念，掌握泰勒级数及洛朗级数的展开方法，利用留数定理来计算回路积分和三类实变函数的定积分；掌握傅立叶变换和拉普拉斯变换的概念及性质，并能运用拉普拉斯变换方法求解积分、微分方程。
了解三种类型的数学物理方程的导出过程，能熟练写出定解问题；掌握用行波法求解一维无界及半无界波动方程，利用分离变量法求解各类齐次及非齐次方程；了解特殊函数的常微分方程，掌握用级数解法求解二阶常微分方程，了解施图姆-刘维尔本征值问题及性质；掌握勒让德多项式、贝塞尔函数及性质，并能利用勒让德多项式求解三维轴对称拉普拉斯方程。
二、大纲的基本内容及学时分配第一部分：复变函数论（一）复变函数（5学时）复数与复数运算，复变函数，导数，解析函数重点：解析函数（二）复变函数的积分（4学时）复变函数的积分，柯西定理，不定积分，柯西公式重点：柯西定理（三）幂级数展开（7学时）复数项级数，幂级数，泰勒级数展开，解析延拓，洛朗级数展开，孤立奇点的分类重点：泰勒级数展开和洛朗级数展开（四）留数定理（5学时）留数定理，应用留数定理计算实变函数定积分重点：应用留数定理计算实变函数定积分（五）傅里叶变换（6学时）傅里叶级数，傅里叶积分与傅里叶变换，δ函数难点：δ函数（六）拉普拉斯变换（5学时）拉普拉斯变换，拉普拉斯变换的反演，应用例重点：拉普拉斯变换的应用第二部分：数学物理方程（七）数学物理定解问题（7学时）数学物理方程的导出，定解条件，达朗贝尔公式重点：写出定解问题（八）分离变数法（12学时）齐次方程的分离变数法，非齐次振动方程和输运方程，非齐次边界条件的处理，泊松方程难点：非齐次方程及非齐次边界条件的处理（九）二阶常微分方程的级数解法本征值问题（7学时）特殊函数常微分方程，常点邻域上的级数解法，正则奇点邻域上的级数解法，施图姆-刘维尔本征值问题难点：施图姆-刘维尔本征值问题（十）球函数（4学时）轴对称球函数重点：利用勒让德多项式求解球坐标系下的拉普拉斯方程（十一）柱函数（2学时）三类柱函数，贝塞尔方程(简介)三、与其它课程的关系先修课程：《高等数学》、《大学物理》四、考核方式1．期末闭卷笔试占总成绩的80％2．平时成绩(作业、课堂讨论和小论文等)占20％五、参考书目《数学物理方法》梁昆淼编高等教育出版社出版 1995(第三版)。
数物第八章课件
∑ u ( x, t )
=
∞ n=1
( An
cos
nπ at
l
+
Bn
sin
nπ at ) sin
l
nπ
l
x
(12)
∫ An
=
2 l
l ϕ(ξ ) sin nπξ dξ
0
l
(15)
∫ Bn
=
2
nπ a
lψ (ξ ) sin nπξ dξ
0
l
(16)
系数An, Bn的值由(15)、(16)给出，则式(15)、(16)所给
∑ ϕ ( x)
=
∞ n=1
An
sin
nπ
l
x
由 ut t=0 =ψ (x), 得
∑ ψ
(x)
=
∞ n=1
Bn
nπ
l
a
sin
nπ
l
x
(13) (14)
两等式右边是正弦傅氏级数，左边是定义在(0, l)上的
函数，可将函数ϕ(x)和ψ(x)也展成正弦傅氏级数，然
后比较两边的系数就可确定An和Bn。
14
∑ ϕ ( x)
5
⎧⎪ X ′′ + λ X = 0
(5)
⎨
⎪⎩ X (0) = 0, X (l) = 0 (7)
2、求解
①当λ<0时，式(5)的通解为
X ′′ − ( − λ )2 X = 0
X = c1e −λx + c2e− −λx
由X(0)=0，得
c1 + c2 = 0
⇒ c2 = −c1
——本征值问题
y′′ − a 2 y = 0
(整理)数学物理方法
《数学物理方法》课程考试大纲一、课程说明：本课程是物理学专业的一门重要基础课程，它是继高等数学后的一门数学基础课程。
本课程的教学目的是：(1) 掌握复变函数、数学物理方程、特殊函数的基本概念、基本原理、基本解题计算方法；(2) 掌握把物理问题归结成数学问题的方法，以及对数学结果做出物理解释。
为今后学习电动力学、量子力学和统计物理等理论物理课程打下必要的数学基础。
本课程的重点是解析函数、留数定理、傅里叶变换、数学物理方程、分离变数法、傅里叶级数法、本征值问题等。
本课程的难点是把物理问题归结成数学问题，以及各种数学物理方程的求解。
二、参考教材：必读书：《数学物理方法》，梁昆淼编，高等教育出版社，1998年6月第3版。
参考书：《数学物理方法》，汪德新编，科学出版社，2006年8月第3版；《数学物理方法》，赵蕙芬、陆全康编，高等教育出版社，2003年8月第2版。
三、考试要点：第一章复变函数（一）考核知识点1、复数及复数的运算2、复变函数及其导数3、解析函数的定义、柯西-黎曼条件（二）考核要求1、掌握复数三种形式的转换。
2、掌握复变函数的导数和解析等基本概念，并掌握判断导数是否存在和函数是否解析的方法。
u 。
3、了解解析函数与调和函数的关系，并能从已知调和函数u或v，求解析函数iv第二章复变函数的积分（一）考核知识点1、复变函数积分的运算2、柯西定理（二）考核要求1、理解单通区域和复通区域的柯西定理，并能用它们来计算复变函数的积分。
2、掌握应用原函数法计算积分。
3、掌握柯西公式计算积分。
第三章幂级数展开（一）考核知识点1、幂级数的收敛半径2、解析函数的泰勒展开3、解析函数的洛朗展开（二）考核要求1、理解幂级数收敛圆的性质。
2、掌握把解析函数展开成泰勒级数的方法。
3、掌握把环域中的解析函数展开成洛朗级数的方法。
4、理解孤立奇点的分类及其类型判断。
第四章留数定理（一）考核知识点1、留数的计算2、留数定理3、利用留数定理计算实变函数定积分（二）考核要求1、掌握留数定理和留数计算方法。
(整理)数学物理方法
《数学物理方法》课程考试大纲一、课程说明：本课程是物理学专业的一门重要基础课程，它是继高等数学后的一门数学基础课程。
本课程的教学目的是：(1) 掌握复变函数、数学物理方程、特殊函数的基本概念、基本原理、基本解题计算方法；(2) 掌握把物理问题归结成数学问题的方法，以及对数学结果做出物理解释。
为今后学习电动力学、量子力学和统计物理等理论物理课程打下必要的数学基础。
本课程的重点是解析函数、留数定理、傅里叶变换、数学物理方程、分离变数法、傅里叶级数法、本征值问题等。
本课程的难点是把物理问题归结成数学问题，以及各种数学物理方程的求解。
二、参考教材：必读书：《数学物理方法》，梁昆淼编，高等教育出版社，1998年6月第3版。
参考书：《数学物理方法》，汪德新编，科学出版社，2006年8月第3版；《数学物理方法》，赵蕙芬、陆全康编，高等教育出版社，2003年8月第2版。
三、考试要点：第一章复变函数（一）考核知识点1、复数及复数的运算2、复变函数及其导数3、解析函数的定义、柯西-黎曼条件（二）考核要求1、掌握复数三种形式的转换。
2、掌握复变函数的导数和解析等基本概念，并掌握判断导数是否存在和函数是否解析的方法。
u 。
3、了解解析函数与调和函数的关系，并能从已知调和函数u或v，求解析函数iv第二章复变函数的积分（一）考核知识点1、复变函数积分的运算2、柯西定理（二）考核要求1、理解单通区域和复通区域的柯西定理，并能用它们来计算复变函数的积分。
2、掌握应用原函数法计算积分。
3、掌握柯西公式计算积分。
第三章幂级数展开（一）考核知识点1、幂级数的收敛半径2、解析函数的泰勒展开3、解析函数的洛朗展开（二）考核要求1、理解幂级数收敛圆的性质。
2、掌握把解析函数展开成泰勒级数的方法。
3、掌握把环域中的解析函数展开成洛朗级数的方法。
4、理解孤立奇点的分类及其类型判断。
第四章留数定理（一）考核知识点1、留数的计算2、留数定理3、利用留数定理计算实变函数定积分（二）考核要求1、掌握留数定理和留数计算方法。
数学物理方程(很好的学习教材)
数学物理方程(很好的学习教材)
二、数学物理方程的一般分类
一般分类 按自变量的个数，分为二元和多元方程； 按未知函数及其导数的幂次，分为线性微分方程和 非线性微分方程； 按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二 阶和高阶微分方程。
由能量守恒定律 c ρdx du=dQ =[q(x,t)-q(x+dx,t)]dt =-qx(x,t)dxdt
于是有 c ρut = -qx 由热传导定律 q(x,t) = -k ux(x,t) 代入前面的式子，得到 c ρut = k uxx ut = a2 uxx
a2 = k/(cρ)
数学物理方程(很好的学习教材)
四、常见数学物理方程的定解条件
波动方程
方程形u式 tt ： a2u f 定解条初 件边始界条条件件：：包第含一 位初 第类 移始 二或 ”“ 类者 和或初者始第“三速
输运方程
方程形u式 t a： 2uf 定解条边 件初 界始 条条 件件 ：： 第物 一 第理 类 始 二量 或 时 类在 者 刻 或初 的 者值 第
三类线性边界条件
第一类边界条 u(x件 ,y,： z,t)边界x0,y0,z0 f(x0,y0,z0,t)
第二类边界条件： u n边界x0,y0,z0
f(x0,y0,z0,t)
第三类边界条 u件 H： u
n边界x0,y0,z0
f(x0,y0,z0,t)
初始条件
定解条件
边界条件
数学物理方程(很好的学习教材)
u u 2u u u 2
2
yy
y数学物理方程(很好y的学y习教材) y
yyu
yy
于是，方程化为：
梁昆淼 数学物理方法教学大纲
本篇还要讨论有关的特殊函数，特别是勒让得函数的理论。特殊函 数的内容十分丰富，在数学中已成为一个独立分支，它在物理学和工程 技术中有着广泛的应用。例如静电势的球坐标解将会出现勒让得函数， 而在柱坐标下的解将会出现贝塞尔函数，量子力学中谐振子本征解为厄 密多项式，中心势的角向函数可由球谐函数构成，而库伦势的径向函数 由连带拉盖尔多项式构成等等。本大纲只较详细地涉及一类常见的特殊 函数，即勒让德函数。
本章重点：
留数定理及其计算方法。
习 题：
§4.1．（第71页）：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（2） （3），3。
§4.2．（第81—82页）1（1）（2）（5）（6），2（3）（4） （6），3（2）（4）（6）（8）。
第五章 傅立叶变换（2+1）
基本要求：
1．了解非周期函数的傅里叶积分表达式和傅立叶变换的概念。 2．掌握傅立叶变换的基本性质与方法。 3．了解提出狄拉克函数过程中的创造性思想。 4．掌握狄拉克函数的定义、基本性质和常用表达式。
本篇的教学时间为20课时，另安排1课时作为机动（可以用来复习 傅立叶级数以及学习其他需要的扩展内容）。
第一章 复变函数（6）
基本要求：
1．熟悉复数的基本概念和基本运算； 2．了解复变函数的定义，连续性； 3．了解多值函数的概念；
4．掌握复变函数的求导方法及柯西—黎曼方程； 5．了解解析函数的概念，熟悉一些简单的解析函数的表示式。 6．了解从实变函数到复变函数的推广过程中的创新思想与方法。
数学物理方法(梁昆淼)总复习
i 1 li n
复通
l
公式 2 if ( )
l
f ( z) dz z
2 if ( )
l
n f ( z) f ( z) d d z k 1 lk z
求路径积分
第一类情形：沿非闭合曲线的积分
在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析 F ( z) 和 G( z) 的；当 z 在上半平面或实轴上 时， 一致地趋于零
0
1 F ( x) cos mxdx F ( x)e imx dx 2 imz
i{F ( z)e 在上半平面所有奇点留数之和}
0
1 G ( x)sin mxdx G ( x)eimx dx 2i imz {G( z)e 在上半平面所有奇点留数之和}
2
utt a uxx 0
2
(0 x , t 0)
半无界区间内的自由振动问题
u x 0 0
u t 0 ( x)
ut t 0 ( x)
奇延拓
一齐
( x)
( x)
u t 0 ( x)
x0
x0
( x)
ut t 0 ( x)
本性奇点 0 z z0 R内的洛朗级数含有无限个 z z0的负幂项
f ( z)
k k a ( z z ) k 0
z z0
lim f ( z )
不存在
如何判断极点的阶
z z0
lim[( z z0 ) f ( z )] 非零有限值
m
第八分离变数法
Am Bm 0(m 1)
29
定解问题的解为
u(,)
解的物理意义
D0
ln(
/
a)
E0
cos
E0
a2
cos
第二项：原来静电场的电势分布。
第三项：静电平衡时感应电荷的影响。
第一项：均匀带电柱体周围静电场的电势分布，在本问题中未
说明导体柱是否带电，故有此项。
30
§2. 非齐次振动方程和输运方程
l
t
Bn
sin
na
l
t n
1,2,
本征解为
u0 (x,t) A0 B0t
un
(
x,
t
)
(
An
cos
na
l
t
Bn
sin
na
l
t
)
cos
nx
l
11
例3. 一端为第一类齐次边界条件，另一端为第二类齐次 边界条件
细杆导热，初始时刻：一端温度为0度，保持不变，另一端温度 为u0，跟外界绝热，杆上温度梯度均匀。
4l 2
2a2
t
14
本征解为：
uk
C e
(
2
k
1)2
4l 2
2
a
2
t
k
sin (2k 1)
2l
x
满足泛定方程和边界条件的一般解为
u(x,t)
k 0
Ck
e
(
2k
1)2
4l 2
2a2
t
sin
(2k
1)
2l
x
根据初始条件确定叠加系数，注意此处的基本函数族
第八章分离变数法
9
第四步：解时间部分：
T ''
n2 2a2
l2
T
0
通解为：
T (t) Acos nat B sin nat ;
l
l
因此，方程（8.1.1）且满足边界条件（8.1.2）的 特解为
un
(
x, t)
An
cos
nat
l
Bn
sin
nat
l
sin
nx
l
,
(n 1,2,3)
用分离变数法得到的数学解式特别清 楚地反映了波动的这些基本概念。
2
两端固定弦的自由振动：
泛定方程 utt a2uxx 0, (0 x l)
初始条件 u |x0 0,
u |xl 0,
边界条件 u |t0 ( x), ut |t0 ( x),
(8.1.1) (8.1.2) (8.1.3)
柱外 2u 0
uxx uyy 0
u |x2 y2＝a2 0
用直角坐标，变数无法分离！ 改用极坐标
2u
2
1
u
1
2
2u
2
0
( a)
u |a 0, u(, 2 ) u(, ),
欲分离变数，不仅要求齐次方程、齐次 边界条件，还要选择合适的坐标系！
38
u
|
E0
cos
u0
Q
2
0
ln
2l
x=l边值要求
d sin nx n cosn 0
dx 2l xl 2l
2
n 2k 1, (k 0,1,2, ),
30
u(x,t)
梁昆淼 数学物理方法第8章
以下求X （1）、 < 0 仅得无意义的解
X 0
（2）、 = 0
X " X 0
X C0 D0 x D0 0
2
X ' 0
T " (t ) a T (t ) 0
T " (t ) 0
C0 任意
例：细杆热传导问题，初始一端温度为0，另一端为 u0 , 零的一端温度保持不变，另一端与外界绝热。求细杆温度
泛定方程 边界条件
ut a u xx 0
2
u ux
x 0 x l
0 0
初始条件
u t 0 u0 x / l
驻波的一般式
u ( x, t ) X ( x)T (t )
弦两端固定
(0 x l ) (0 x l )
弦两端固定，之间形成驻波 驻波的一般式
(回顾 y 2 A cos kx cos t )
分离变量
u ( x, t ) X ( x)T (t )
utt a u xx 0
2
边界条件
u( x, t ) x0 0 u( x, t ) xl 0 u ( x, t ) X ( x)T (t ) 2 X ( x)T " (t ) a X " ( x)T (t ) 0 X (0)T (t ) 0 X (0) 0 X (l )T (t ) 0 X (l ) 0
n at n at n un ( x, t ) ( An cos Bn sin ) sin x l l l
称为本征振动
本征振动的角频率为
n a n l
数学物理方法电子教案第八章
第八章 分离变数(傅里叶级数)法§8.1 齐次方程的分离变数法(二) 例题例1 关于第二类齐次边界条件的问题 p185()()()()()()19.1.8....0............18.1.8........ (00)17.1.8..........00002l x x u x u u u u a u t t t lx xx x xx tt <<=====-====ψϕ第一步：分离变量()()()()20.1.8...............,t T x X t x u =()()()()()()22.1.8,......0,.....0021.1.8................02='='=''-''t T l X t T X T X a T X()()()23.1.8,......0,.....00='='l X X()λ-=''=''''=''XX T a T X X T a T XT a 22221.1.8得两边同除以()()()()()25.1.8.................0;23.1.8,......0,.....0024.1.8....,.........02=+''='='=+''T a T l X X X X λλ 构成本征值问题 第二步：求解本征值问题(8.1.23)和(8.1.24)()()()()()的解是方程于是得根据无意义。
得出24.1.8,0,023.1.8,,0,0,00000>==+==≡<λλλC x X D x D C x X x X ()x C x C x X λλsin cos 21+=()确定，即由积分常数23.1.8,21C C()cos sin 0212=+-=l C l C C λλλλ()，即于是无意义。
数学物理方法第(梁昆淼)部分知识点
1.复变函数 .................................................................................................................................................................. 2 1.1 复数与复数运算 ........................................................................................................................................... 2 1.2 复变函数 ....................................................................................................................................................... 2 1.3 导数 ............................................................................................................................................................... 2 1.4 解析函数 ..........................................................................................................................
《数学物理方法》5分离变数法
（An
n1
cos
nat
l
Bn
sin
nat
l
）cos
nx
l
[例3] 杆的导热。设初始杆的一端温度为零， 另一端为u0。杆上温度梯度均匀，一端保 持零度不变，另一端与外界绝热。求杆温度
ut a 2uxx 0
a2 k
c
（0 xl）
u 0 x0
ux
0
xl
u（x，t）
t0
u0
x l
（0 xl）
[解] 设 u（x，t） X（x）T（t）
X（a） 0
C2 sin ka 0
X（x）要有非零解 C2 0 sin ka 0
ka n
k2
n2 2
a2
（n 1，2，3，）
本征值：
n
n2
a2
2
（n 1，2，3，）
本征函数：
X（n x）
sin n
a
x
Y Y 0
Y
通解：
Y（n y）
n y
Ane a
（n 1，2，3，）
X X 0
X（0） 0 X （l） 0
X X 0
X（0） 0 X （l） 0
？满足边界条件的常微分方程有非零解
（1） 0
X
d2X dx 2
0
通解：X（x） C0 D0 x
X（0） 0 X （l） 0
C0 0 D0 0
X（x） 0 0 应排除
（2） 0
设 k2
代入泛定方程和边界条件：
X（x）T （t） a2 X （x）T（t） 0
X（0）T（t） 0 X（l）T（t） 0
分离变量 X（x）T （t） a2 X （x）T（t）
数学物理方法第8章
程
aX dX X 0 cY eY ( f )Y 0
2. 变系数偏微分方程
对于变系数函数 A1(x, y),C1(x, y), D1(x, y),L
，假设存在某一个函数 P(x, y) ，0 使得方程除以
P(x, y) 后变为可分离的形式
X |x0 0
X |#34; X 0
X
|x0
X
|xl
0
(1) 0
X ( x) C1e x C2e x
X(0) 0
C1 C2 0
X(l) 0
C1e l C2e l 0
C1 C2 0
(2) 0 X(x) C1x C2
a1(x)X Y b1(y)XY a2(x)X Y b2(y)XY [a3(x) b3(y)]XY 0
a1
X X
a2
X X
a3
(b1
Y Y
b2
Y Y
b3)
上式要恒成立，只有它们均等于同一个常数，记为
，从而得到两个常微分方程
a1X a2 X (a3 ) X 0;
b1Y b2Y (b3 )Y 0
u(x) |xl ,
u x
|xl
,
第三类边界条件
u x
hu
|xl
假设具体定解问题（以弦的横振动为例）的边界 条件为齐次的：
u(0,t) 0, u(l,t) 0
u(x,t) X (x)T(t)
X (0)T(t) 0, X (l)T(t) 0
求定解问题的不恒等于零的解
须
因此得
可见，只有当边界条件是齐次的，方可分离出单变 量未知函数的边界条件．此外，进行分离变量时， 还须根据具体情况确定直角坐标系，球坐标系以及 柱坐标系．
数学物理方法课件 第八章-分离变量法-2
数学物理方法（II）3、二维拉普拉斯方程—热传导二维矩形区域的稳态热传导问题：y uu 0b散热片的横截面为一矩形，长和宽分别a b 。
它的一边y=b 为和它的边y 处于较高的温度，其它三边保持零度。
求横截面上的xa 0(0,0)xx yy u u x a yb +=<<<<⎧稳恒的温度分布000|0,|0|0,|x x a y y b u u u u u ====⎪==⎨⎪==⎩=?求出任意点(x,y )的温度分布u (x,y )?(,)sin u x b u A C e D e x ==+01n n n n a=⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦∑⎧再利用三角函数的正交性，可以得到：0 C D +=小结：（1）可以采用分离变量法(,)()()u r R r ϕϕ=Φ求解平面极坐标系中的拉普拉斯方程；（2）由周期性条件确定本征值和本征函数：2 (0,1,2,3...)()cos sin m m m m m A m B m λϕϕϕ==Φ=+在径向上的边界条件可以是非齐次的。
（3）拉普拉斯方程的通解为：00(,)ln u r C D rϕ∞=+叠加系数由径向上的非齐次边界条件确定()()1 +cos sin m m m m m m m C r D r A m B m ϕϕ−=++∑叠加系数由径向上的非齐次边界条件确定。
例2可以近似地认为带电云层与大地之间的静电场是均匀分布的，且电场强度E 0的方向竖直向下。
现将一个半径为a 的无限长直导线水平架设在该电场中，求导线周围的电场分布。
++带电云分析：轴其截面在平面++•取导体线的方向沿z 轴，其截面在xy 平面；•由于导体线是无线长的，可以取其一个界面进行分析另外导体线的截面个圆故y进行分析。
另外，导体线的截面一个圆，故可以采用平面极坐标系;(,)r ϕx•均匀电场的方向沿x 轴，即00xE =E e 大地/2π/2π−。
数学物理方法 第8章 分离变数法
X (0) X (l ) 0
nx n 2 2 X ( x) 1 cos 2 l l n 0,1, 2, n0 T (t ) A0 B0 t nat nat n 1
An cos l Bn sin l
例2：研究细杆导热问题，初始时刻杆的一端 温度为零度，另一端温度为 u0 ，杆上温度梯 度均匀，零度的一端保持温度不变，另一端 跟外界绝热。试求细杆上温度的变化。
四、分离变数法求解定解问题的基本步骤
线性齐次的 分离 偏微分方程 变数 齐次边界条件 初始条件 常微分方程1
解1
本征解 （解1＊解2） 解2 本征值 本征函数
常微分方程2
条件
分离变数
确定叠加系数
定解问题的解
本征值
本征解
五、付里叶级数法
nx 令 u ( x, t ) Tn (t ) sin l n 1
0 xl
——与采用分离变数法所得结果一致。
§8.2直角坐标系中有界空间上 的齐次泛定方程
例1：两端自由的均匀杆的纵振动问题
utt a u xx 0
2
0 xl
t0
ux
x0
ux
xl
0
t0
0 xl
u t 0 ( x) ut
t 0
( x)
解：由边界条件 u x
2 2 2
0 xl
n 2 2 a 2 Tn(t ) Tn (t ) 0 2 l
n 1
nat nat Tn (t ) An cos Bn sin l l
nat nat nx u ( x, t ) [ An cos Bn sin ] sin l l l n 1
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第八章 分离变数法
1. 设)(x X 满足方程0=-''X X λ和边界条件0)(')0('==l X X ，其中λ可为任意实数，试根据λ的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值λ和本征函数。
解：可分为三种情况讨论：
1) 0>λ ，解为x x e C e C x X λλ-+=21)(，由边界条件只能得到平庸解
0)(=x X ，
显然没有意义。
----------------(3分)
2) 0=λ，解为21)(C x C x X +=，代入边界条件得01=C ，于是
22,)(C C x X =为任意常数。
----------------(2分)
3) 0<λ，解为.sin cos )(21x C x C x X λλ-+-=,代入边界条件得
⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=-+---=-.0sin ,0.
0)cos sin (,012212l C C l C l C C λλλλλ a) 当 λ 的取值使得 0sin ≠-l λ 时，必有 01=C ，这和上两种情况一
样没有意义。
b)当 λ 的取值使得 0sin =-l λ 时， 1C 不必为
零，这种是有意义的情况。
此时由 0sin =-l λ 得到本征值
λ:).,3,2,1(22
2 =-=⇒-=n l n n l πλλ
π 综合2）和3）两种情况得本征值).,3,2,1,0(22
2 =-=n l
n πλ 此时，本征解为.cos
)(1x l
n C x X π= ----------------(5分) 1.
2.已知复变量函数为解析函数，其实部满足
下面的条件，
(1) 试给出所满足的数学物理定解问题； (2) 试用分离变数或其它方法找到泛定方程的一个特解，并利用它将或方向上的边界条件齐次化，然后求解
；
(3) 根据求出虚部。
3.设)(x X 满足方程0=+''X X λ和边界条件'(0)'(2)0X X π==，其中λ可为任意实数，试根据λ的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值λ和本征函数。
(本小题 11 分)
解：(1) 由题意，对于常微分方程：
()()0X x X x λ''+= (1) (0)(2)0
X X π''== (2) 现在先求解X ，对0,0,0λλλ<=>三种情况进行讨论：
a) 0λ<，由(1)式的解是
12()x x X x C e C e λλ---=+
积分常数1C ，2C ，由(2)决定，即
120C C -=，22120E E C e
C e ππ----=
由此得出01=C ， 02=C 而0)(≡x X 。
无实际意义，即0λ<无可能性。
（3分）
b) 0λ=，式(1)的解是
21)(C x C x X +=
则根据(2)式，有
10C =， 1(2)0X C π'==
即2C 为任意数
此时2()X x C ≡。
（3分）
c) 0λ>，由(1)解是
12()cos sin X x C x C x λλ=+
则由(2)式，有
1s i n 20C π
λ=，20C =， 由此有
01=C 且02=C 或者 20C =和sin 20πλ=
因01=C ， 02=C 时，0)(≡x X 无实际意义。
因此，只能有
s i n 20E π=和20C =
由sin 20πλ=同时我们可以得到λ的表达式：
2
,(1,2,3)4
k k λ== (3) （4分）
对应的本征函数为： 2
1()cos ,(1,2,3)4
k X x C x k == （1分）
4. 设)(x X 满足方程0=+''X X λ和边界条件0)2/()0('==πX X ，其中λ可为任意实数，试根据λ的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值λ和本征函数。
5. 设)(x X 满足方程0=+''X X λ和边界条件0)()0(==l X X ，其中λ可为任意实数，试根据λ的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值λ。
解：可分为三种情况讨论：
4) 0<λ，微分方程解为x x e C e
C x X λλ---+=21)(，由0)0(=X 得21C C -=，由0)(=l X 得0)(1=+---l l e e C λλ，得021=-=C C ，得到平庸解0)(=x X ，显然没有意义。
----------------(3分)
5) 0=λ，解为21)(C x C x X +=，代入边界条件得021==C C ，也得到平庸解0)(=x X ，没有意义。
----------------(2分)
6) 0>λ，解为.sin cos )(21x C x C x X λλ+=,代入边界条件得
⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=.0sin ,0.0sin cos ,02
1211l C C l C l C C λλλ a) 当 λ 的取值使得 0sin ≠l λ 时，必有 02=C ，这和上两种情况一样没有意义。
b) 当 λ 的取值使得 0sin =l λ 时， C 2 不必为零，这种是有意义的情况。
此时由 0sin =l λ 得到本征值λ:
).,3,2,1(22
2 ==⇒=n l n n l πλλ
π 此时，本征解为.sin
)(2x l n C x X π= ----------------(5分)。