第7章 求矩阵特征值的数值方法

+ a2 x2
+
n
aj
j=3
⎛ ⎜ ⎝
λj λ1
⎞k −1 ⎟ ⎠
xj
⎤ ⎥ ⎥⎦
⎡ max ⎢⎢⎣a1x1
+ a2 x2
+
n
aj
j=3
⎛ ⎜ ⎝
λj λ1
⎞k −1 ⎟ ⎠
xj
⎤ ⎥ ⎥⎦
可得：
Azk
+
λ1zk
→
2λ1a1 x1
max (a1x1 + a2 x2 )
(k
→
∞)
Azk
− λ1zk
→
−2λ1a2 x2
1 -0.286 0.0476
1 -0.636 0.172
1 -0.697 0.2008
1 -0.707 0.2053
1 -0.708 0.2059
27
所以，特征值
λ3
=
1 2.4825
=
0.4028
，
相应特征向量 x = (1, −0.708, −0.2059)T 。
28
4、原点位移技术
幂法的收敛速度取决于收敛因子即次大特征值与 最大特征值之比，当收敛因子越小，收敛越快。由于 一般情况下的收敛因子不是很小，所以幂法的收敛速 度是很慢的。如果经若干次幂法迭代后得到特征值的 一个粗糙近似值a和对应的粗糙特征向量x，那么取初 始位移为a,以x为初始向量，作动态原点位移的反幂 法，就可以加速收敛性。
max (a1x1 + a2 x2 )
(k
→
∞)
（属于 λ1 和 λ2 = −λ1 的特征向量）
21
例
1．
用幂法求矩阵
A
=
⎜⎛ ⎜
2 3
4 9
6 15
⎟⎞ ⎟
的按模最大的特征
⎜⎝ 4 16 36⎟⎠
值和对应的特征向量。
解：取初始向量 z0 = (1,1,1)T ，由
⎧⎪⎨mykk
= Azk−1 = max(
⎡
m
ax
⎢ ⎢⎣
a1
x1
+ a2 x2
+
n
aj
j=2
⎛ ⎜ ⎝
λj λ1
⎞ k −1 ⎟ ⎠
⎤
x
j
⎥ ⎥⎦
→
λ1
k→∞
17
∑∑ zk
=
a1 x1
+ a2 x2
+
n
aj
j =3
⎛ ⎜ ⎝
λj λ1
⎞k ⎟ ⎠
⎡ max ⎢⎢⎣a1 x1
+ a2 x2
+
n
aj
j=3
⎛ ⎜ ⎝
λj λ1
xj
⎞k ⎟ ⎠
4
定理 2．关于正交矩阵有如下结论
（1）单位矩阵是正交矩阵。
（2）若 A 为正交矩阵，则 A−1 = AT 。 （3）若 A 为正交矩阵，则 AT 也是正交矩阵。 （4）若 A 为正交矩阵，则 A = 1 或 A = −1 。 （5）若 A, B 为同阶正交矩阵，则 AB 与 BA 也是正交矩阵。
+
n
aj
j=2
⎛ ⎜ ⎝
λj λ1
⎞k −1 ⎟ ⎠
⎤
x
j
⎥ ⎥⎦
→
λ1
k → ∞ （主特征值），
15
∑∑ ( ) zk
=
a1 x1
+
n j=2
aj
⎛ ⎜ ⎝
λj λ1
⎞k ⎟ ⎠
⎡ max ⎢⎢⎣a1x1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
+
n
aj
j=2
⎛ ⎜ ⎝
λj λ1
xj
⎞k ⎟ ⎠
xj
⎤ ⎥ ⎥⎦
→
x1 max( x1)
k → ∞, a1 ≠ 0
也是属于 λ 的特征向量。
证明： A(a1x1 + a2 x2 ) = a1Ax1 + a2 Ax2 = λ (a1x1 + a2 x2 ) ，
所以． a1x1 + a2 x2 是属于 λ 的特征向量。
8
2．幂法
幂法是计算实矩阵按模最大的特征值及其对应特征 向量的一种迭代方法，主要适用于中小型矩阵和大型稀疏 矩阵。
yk
)
,
k
=
1,
2, 3......
，
⎪⎩zk = yk / mk
22
迭代计算得
k
0
1
2
3
4
5
yk
12 8.3571 8.1683 8.1566 8.1559 27 19.982 19.597 19.573 19.572
56 44.571 43.923 43.883 43.88
mk
56 44.571 43.923 43.883 43.88
（主特征向量）。
16
（2）当 λ1 = λ2 > ... ≥ λn 时，分两种情况进行讨论：
① λ1 = λ2 （重根， x1, x2 都是主特征向量）时
∑∑ mk
=
max( yk )
=
max( Azk−1)
=
max
⎧ ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎩
⎡
n⎛
A ⎢⎢⎣a1x1
+ a2 x2
+
aj
j =3
zk
1 0.2143 0.1875 0.186 0.1859 0.1859 1 0.4821 0.4483 0.4462 0.446 0.446
1
1
1
1
1
1
特征值为 λ1 = 43.88 ，对应特征向量为 (0.1859, 0.4460,1.0000)T 。
3、反幂法
反幂法又叫逆幂法，它是将幂法用于 A−1 ，从而求矩 阵 A 按模最小的特征值及其对应特征向量的一种方法。
非零解．
6
定理 4． λ 为方阵 A 的特征值， P (t ) 是一个多项式，则 P (λ ) 是 P ( A) 的一个特征值。 证明：设 P (t ) = amt m + am−1t m−1 + ...... + a1t + a0 ，x 是属于 λ 的
特征向量。则
( ) P A = am Am + am−1Am−1 + ...... + a1A + a0 I ， P ( A) x = am Am x + am−1Am−1x + ...... + a1Ax + a0 x
= amλ m x + am−1λ m−1x + ...... + a1λ x + a0 x = P (λ ) x
即， P (λ ) 是 P ( A) 的一个特征值
7
定理 5． λ 为方阵 A 的特征值，若 x1, x2 都是属于 λ 的特
征向量，则
( ) a1x1 + a2 x2 a1 + a2 ≠ 0
1
λn
(k
→
∞) 和 zk
→
xn (k
max( xn )
→ ∞)
。
在实际计算时，可先进行矩阵 A 的三角分解 A = LU ，则
LUyk = zk−1 。
25
例 2．用反幂法求例 1 中矩阵的按模最小特征值。
解：取初始向量 z0 = (1,1,1)T ，由迭代格式
⎧⎪⎨mAyk k==mzak−x1( yk ) , ⎪⎩zk = yk / mk
k = 1, 2," ，
26
迭代计算得
k
0
yk
mk
1
zk
1
1
1 0.875 -0.25 0.0417
2 2.0417 -1.298 0.3512
3 2.4071 -1.679 0.4834
4 2.4725 -1.748 0.5076
5 2.4825 -1.758 0.5113
0.875 2.0417 2.4071 2.4725 2.4825
xj
⎤ ⎥ ⎥⎦
，
mk = max ( Azk ) , k = 1, 2, ... ．
13
（1）
当 λ1
> λ2
≥ " ≥ λn
时，由于 λ j λ1
< 1，
⎛ ⎜ ⎝
λj λ1
⎞k ⎟ ⎠
→
0(k
→
∞)．
故有
∑∑ mk
=
max( Azk−1)
=
max
⎧ ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎩
⎡
n
A ⎢⎢⎣a1x1
⎛ ⎜ ⎝
λj λ1
⎞k −1 ⎟ ⎠
⎤
x
j
⎥ ⎥⎦
=
∑ λ1
⎡ ⎢⎣⎢a1 x1
− a2 x2
+
n
aj
j=3
⎛ ⎜ ⎝
λj λ1
⎞k ⎟ ⎠
⎤
x
j
⎥ ⎥⎦
，
∑ ⎡
max ⎢⎢⎣a1x1
+ a2 x2
+
n
aj
j=3
⎛ ⎜ ⎝
λj λ1
⎞k −1 ⎟ ⎠
⎤
x
j
⎥ ⎥⎦
20
及
∑∑ λ1zk
=
λ1
⎡ ⎢⎢⎣a1 x1
设 n 阶 矩 阵 A= (aij ) 有 n 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量
x1, x2 ,", xn ，对应的特征值分别是 λ1, λ2 ,", λn ，按模排列 为 λ1 ≥ λ2 ≥ " ≥ λn ，称 λ1 为矩阵 A 的主特征值。
9
对于任何初始向量 z0 ，构造迭代序列：
( ) zk = Azk−1 = A2zk−2 = " = Ak z0 ，
⎜ ⎝
⎡
n
max ⎢⎢⎣a1x1
+ a2 x2
+
aj
j =3
λj λ1
⎞k −1 ⎟ ⎠
x
⎛ ⎜ ⎝
λj λ1
⎞k −1 ⎟ ⎠
⎤
j
⎥ ⎥⎦
xj
⎤ ⎥ ⎥⎦
⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭⎪
，
∑∑ ( ) =
λ1
⎡
m
ax
⎢ ⎢⎣
a1
x1
+
a2
x
2
+
n j=2
a
j
⎛ ⎜ ⎝
λj λ1
⎞k ⎟ ⎠
⎤
x
j
⎥ ⎥⎦
+
a
j=2
⎡
n
max ⎢⎢⎣a1x1 + j=2
⎛ j⎜ ⎝ aj
λj λ1
⎞k −1 ⎟ ⎠
xj
⎤ ⎥ ⎥⎦
⎛ ⎜ ⎝
λj λ1
⎞k −1 ⎟ ⎠
xj
⎤ ⎥ ⎥⎦
⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎭
，
14
∑∑ mk
=
max( Azk−1)
=
max
⎧ ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩⎪
⎡ A ⎢⎢⎣a1x1
+
n j=2
( ) max( A2zk ) = mk m +1 k+2 ， mk+1mk+2 → λ1 k → ∞ 。
19
至于特征向量，由
∑∑ Azk
=
⎡ A ⎢⎣⎢a1x1
+ a2 x2
+
n
aj
j=3
⎛ ⎜ ⎝
λj λ1
⎞k −1 ⎟ ⎠
⎤
x
j
⎥ ⎥⎦
⎡ max ⎢⎢⎣a1x1
+ a2 x2
+
n
aj
j =3
5
定理 3． λ 为方阵 A 的特征值，则 λ 是方程 λI − A =0
的根。
注．显然，若 λ 为方阵 A 的特征值，则存在向量 x ≠ 0 ，使得：
Ax = λ x ，即齐次线性方程组 (λ I − A) x = 0 有非零解，所以系
数行列式 λ I − A = 0 。属于 λ 的特征向量是 (λ I − A) x = 0 的
又设 z0 = a1x1 + a2 x2 +" + an xn ，
Ax j = λj x j ( j = 1, 2,", n) ，
∑ 因此有： zk
=
λ1k
⎡ ⎢a1 x1 ⎣
+
j
n =2
a
j
(
λj λ1
)k
⎤ xj ⎥
⎦
。
所以, zk 渐近于特征方向,但是 zk 可能无限增长或收敛于零。
10
⎜⎛ 2 0 1⎟⎞ 例如，矩阵 A = ⎜ 1 1 0⎟ ，取 z0 = (1, 0,1)T ，利用上述方法
则称 A 为正定矩阵。
2
定理 1． 设 A = (aij ) ∈ R n×n ，则下列条件等价 （1） A 为正定矩阵； （2） A 的所有特征值都是正数； （3） A 的各阶顺序主子式均大于零。
3
定义 3． 设 A = (aij ) ∈ C n×n ，且 AT A = I ，则称 A 为正交矩阵。
aj
⎛ ⎜ ⎝
⎡
n
max
⎢⎢⎣a1 x1
+
aj
j=2
λj λ1
⎞k −1 ⎟ ⎠
x
⎛ ⎜ ⎝
λj λ1
⎞k −1 ⎟ ⎠
⎤
j
⎥ ⎥⎦
xj
⎤ ⎥ ⎥⎦
⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭⎪
，
∑∑ ( ) =
λ1
⎡ max ⎢⎣⎢a1x1
+
n j=2
aj
⎛ ⎜ ⎝
λj λ1
⎞k ⎟ ⎠
xj
⎤ ⎥ ⎥⎦
⎡ max ⎢⎢⎣a1x1
第七章 求矩阵特征值的数值方法
1
1、预备知识
定义 1 设 A = (aij )n×n , 如果 AT = A ，则称 A 为对称矩阵。 定义 2 设 A = (aij ) ∈ R n×n 是对称矩阵，且对 ∀x ∈ Rn , x ≠ 0 ，
都有
n
∑ xT Ax = aij xi x j > 0 ， i, j=1
为了避免求 A−1 ，通常利用解线性方程组方法。其迭代格式
( ) 为，取初始向量 z0 z0 ∞ = 1 ， 解线性方程组得yk
⎧⎪⎨mAyk k==mzakx−1( yk ) k = 1, 2,"
⎪⎩zk = yk / mk
24
当 λ1 ≥ λ2 ≥ ... ≥ λn−1 > λn 时，有
mk
→
⎤
x
j
⎥ ⎥⎦
→ a1x1 + a2 x2 (k → ∞)
max(a1x1 + a2 x2 )
在 a1 + a2 ≠ 0 时，这是一个主特征向量。
18
② 当 λ1 = −λ2 时， λ 2 是 A2 的主特征值，故
λ1,2
=
± lim k →∞
max( A2zk ) ．
计算时，迭代可能发散，但是
A2 zk = Ayk+1 = mk+1 Azk+1 = mk+1mk+2 zk+2
⎧⎪⎨mykk
= =
Azk −1 max(
yk
)
⎪⎩zk = yk / mk
k = 1, 2,"
其中 max( yk ) 是 yk 中绝对值最大的分量（注意，不是绝对值！）．
例如， y = (2, −3,1) ，则 max ( y) = −3 ． y = (2,3, −1) ，则
max ( y) = 3 。
⎜⎝ −1 0 2⎟⎠
计算如下
k
01234567
zk
1 3 7 13 17 3 -73 -307 0 1 4 11 24 41 44 -29
1 1 -1 -9 -31 -79 -161 -249
11
为了控制 zk 的无限增长或收敛于零，利用如下幂法的计算格式。
( ) 任取初始向量 z0 , z0 ∞ = 1 ，
12
∏ 于是， zk
=
Azk −1 mk
=
A2 zk −2 mk mk−1
="=
Ak z0 = Ak z0 ，
k
mj
max( Ak z0 )
j =1
由此可得：
∑∑ zk
=
a1 x1
+
n j=2
aj
⎛ ⎜ ⎝
λj λ1
⎞k ⎟ ⎠
⎡ max ⎢⎢⎣a1x1
+
n
aj
j=2
⎛ ⎜ ⎝
λj λ1
xj
⎞k ⎟ ⎠