人教九上课件_第22章_一元二次方程复习5

数字与方程
例2.有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是5.把这 个两位数的十位数字与个位数字互换后得到另一个两位 数,两个两位数的积为763.求原来的两位数.
解 : 设这个两位数的个位数字为x, 根据题意, 得
105 x x10x 5 x 736.
几何与方程

例2. 如图,在一块长92m,宽60m的矩形 耕地上挖三条水渠,水渠的宽度都相等. 水渠把耕地分成面积均为885m2的6个 矩形小块,水渠应挖多宽.
解 : 设水渠的宽度xm, 根据题意, 得
(92 2 x)60 x 6 885.
x 2 106 x 105 0,

判别式的用处
• 1.不解方程.判别方程根的情况, • 2.根据方程根的情况,确定方程中待定常数 的值或取值范围, • 3.进行有关的证明,

一元二次方程根与系数的关系 设x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）
的两个根,则有

心动
2
不如行动
公式法是这样生产的
ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
你能用配方法解方程
5.开方:根据平方根意义, b b 4ac 方程两边开平方; x . 2a 2a 6.求解:解一元一次方程; 2 b b 4ac 2 7.定解:写出原方程的解. x . b 4ac 0 .
整理得x 2 5x 6 0. 解得x1 2, x2 3. 5 x 5 2 3, 或5 x 5 3 2.
答 : 这两个数为32或23.

2.几何与方程
• 例1 .一块长方形草地的长和宽分别为20cm和 15cm,在它的四周外围环绕着宽度相等的小路.已 知小路的面积为246cm2,求小路的宽度.
1.一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整 式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以 2 化为 ax 2 bx的形式,我们把 c 0 ax bx c 0 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。


4.分解因式法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法 求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分 解因式法.
老师提示:
1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右 边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少 有一个因式等于零.”

本章知识网络
概念:---一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0) 直接开平方法:x2=p(p≥0) (mx+n)2 =p(p≥0) 解法 配方法 公式法: 因式分解法:(ax+b)(cx+d)=0 判别式:b2-4ac=0 判别式 不解方程,判别方程根的情况, 用处 求方程中待定常数的值或取值范围, 进行有关的证明, 关系: x1+x2=-b/a x1..x2=c/a 已知方程的一个根,求另一个根及字母的值, 根与系数的关系 求与方程的根有关的代数式的值, 用处 求作一元二次方程, 已知两数的和与积,求此两数 判断方程两根的特殊关系, 实际问题与一元二次方程:审,设,列.解,验,答,
例1.甲公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元.该公 司缴税的年平均增长率为多少?
解 : 设每年平均增长率为x, 根据题意, 得
40(1 x) 2 48.4.
解这个方程 : (1 x) 2 1.21, (1 x) 1.1, x 1 1.1, x1 1 1.1 10%; x2 1 1.1 0(不合题意, 舍去). 答 : 每年的平均增长率为10%.

1.直接开平方法
• 对于形如ax2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥o)的方程可 以用直接开平方法解

2.配方法
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元 二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为 配方法 用配方法解一元二次方程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项 系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的 平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
我们把代数式b 2 4ac叫做方程ax 2 bx c 0a 0的 根的判别式.用" " 来表示.即 b 2 4ac.

回顾与反思
判别式逆定理 若方程有两个 不相等的实数根,则b2-4ac＞0 若方程有两个 相等的实数根,则b2-4ac=0 若方程没有实数根,则b2-4ac＜0 若方程有两个 实数根,则b2-4ac≥0

1、
ax2+c=0
ax2+bx=0
====> 直接开平方法
====> 因式分解法 因式分解法 ax2+bx+c=0 ====> 公式法（配方法）
2、公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用， 但不一定 是最简单的，因此在解方程时我们首先考 虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单 方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）
解 : 设小路的宽度xm, 根据题意, 得
15+2x
(20 2 x)15 2 x 25 15 246.
2 x 2 35x 123 0,
20+2x
20
15
整理得 : 解得 :
41 x1 3; x2 (不合题意, 舍去). 2
答 : 小路的宽度为3m.

1.数字与方程
例1.一个两位数,它的十位数字比个位数字小3,而它的个 位数字的平方恰好等于这个两位数.求这个两位数.
解 : 设这两位数的个位数字为x, 根据题意, 得 x 2 10x 3 x. 整理得x 2 11x 30 0. 解得x1 5, x2 6. x 3 5 3 2, 或x 3 6 3 3. 答 : 这个两位数为25, 或36.
3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方 法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般 形式再选取合理的方法。
一元二次方程的根的判别式
我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键的作用.
当b 2 4ac 0时, 方程ax 2 bx c 0a 0有两个不相等的实数根
x x 1 66. 2
1 529 1 23 x , 2 2 1 23 1 23 x1 12; x2 0(不合题意, 舍去). 2 2 答 : 这次到会的人数为 12人.
思考(09年广东中考)（本题满分9分）
某种电脑病毒传播非常快，如果 一台电脑被感染，经过两轮感染后就 会有81台电脑被感染．请你用学过的 知识分析，每轮感染中平均一台电脑 会感染几台电脑？若病毒得不到有效 控制，3轮感染后，被感染的电脑会 不会超过700台？

解这个方程,得整理得:x230 x2 50 0.
4.美满生活与方程
例1.一次会议上,每两个参加会议的人都互相握了一 次手,有人统计一共握了66次手.这次会议到会的人数 是多少?
解 : 设这次到会的人数为x, 根据题意, 得
整理得 : 解得 :
x 2 x 132 0.

增长率与方程
例2.某公司计划经过两年把某种商品的生产成本降低 19%，那么平均每年需降低百分之几?
解 : 设每年平均需降低的百分数为x, 根据题意, 得
(1 x) 2 1 19%.
解这个方程 : (1 x) 2 0.81, (1 x) 0.9, x 1 0.9, x1 1 0.9 10%; x2 1 0.9(不合题意, 舍去). 答 : 每年平均需降低的百分数为10%.

美满生活与方程
例2.小明将勤工助学挣得的500元钱按一年定期存入银行,到期后取 出50元用来购买学习用品 剩下的450元连同应得的税后利息又全部 按一年定期存入银行如果存款的年利率保持不变,且到期后可得税 后本息约461元,那么这种存款的年利率大约是多少? (精确到 0.01%) .
2
b c 解 : x x 0. 1.化1:把二次项系数化为1; a a b c 2 x x . 2.移项:把常数项移到方程的右边; a a2 2 b b b c 3.配方:方程两边都加上一次项 2 x x . 系数绝对值一半的平方; a 2a 2a a 2 b b 2 4ac 4.变形:方程左分解因式, . x 2 2a 4a 右边合并同类; 当b 2 4ac 0时,
整理得 : 解得 :
x1 1; x2 105(不合题意, 舍去).
答 : 水渠的宽度为1m.
几何与方程



解 : 2.设剪下的一段为xcm, 根据题意, 得
例3. 将一条长为56cm的铁丝剪成两段,并把每一段围成 一个正方形. (1).要使这两个正方形的面积之和等于100cm2,该怎样剪? (2).要使这两个正方形的面积之和等于196cm2,该怎样剪? (3).这两个正方形的面积之和可能等于200m2吗?
3.公式法
一般地,对于一元二次方程
当b 2 4ac 0时, 它的根是 :
b b 2 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2a
ax2+bx+c=0(a≠0)