人教版数学必修5第三章第四节基本不等式
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D C
y
分析：
A
x
B
2 x y） min （1）面积确定，长与宽取何值，篱笆最短： 知xy, 求（
2 x y） , 求xymax （2）周长确定，长与宽取何值，菜园面积最大：知（
解：设长为 x m,宽为 y m, (1)由题知， xy 100 ，而篱笆长为 2( x y) 由基本不等式知 x y
归纳总结
2 2 a b 2ab，当且仅当 a b 1、重要不等式：一般地，
时，等号成立。
2.基本不等式：若 a 0, b 0 ，那么就有a b 2 ab a b ，等且仅当 a b 时，等号成立。 即 ab
2
例1：
（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、 宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （2）一段长为36m的篱笆所围成一个矩形菜园，问这个矩形的 长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
3.4 基本不等式
温宿二中 曾艳萍
问题引入 如图，这是在北京召开的 第24届国际数学大会的会标， 会标根据中国古代数学家赵爽 的弦图设计的，颜色的明暗使 它看上去像一个风车，代表中 国人民热情好客。
问题探索
问1：在正方形ABCD中,设AE=a,BE=b,则正 2 2 a b 方形的面积为S=————， 问2：Rt△AGB,Rt△BFC,Rt△CED,Rt△AHD 2ab 是全等三角形，它们的面积和是S’=——— 问3：S与S’有什么样的关系？ 从图形中易得， s > s’,即 a 2 + b2 > 2ab
2.已知直角三角形的面积等于50，两直角边各为多少时，两 直角边的和最小，最小值是多少？
x x0
x
1 x
例 2：
解： x 0
能力提高
12 f ( x) 3x x
已知 x 0 ，求
的最小值。
12 12 3x 2 3x 12; x x 12 当且仅当 3x,即x 2时取等号； x f ( x)最小值为 12. f ( x)
探索新知
问：观察以上图形，我们能够得到什么结论呢？
发现：当 a b 时，等号成立。
从而，我们得到：
1、重要不等式：一般地，a 2 b 2 2ab ，当且仅 当 a b 时，等号成立。
思考
若a 0, b 0, 那么我们用 a , b , 代替a, b, 得到什么结论呢？
2、基本不等式：若 a 0, b 0 ，那么就有 a b 2 ab 即 ab a b ，等且仅当 a b 时，等号成立。
证明： 要证 只要证 要证，只要证 要证，只要证
2
ab ab 2
a b 2 ab
a b 2 ab 0
分 析 法
0
a b
2
说明： （1）适用范围：a>0,b>0; （2）阐释：两数的算术平均数大于等于两数几何平均数 ; （3）当且仅当 a=b 时，等号成立。
xy 2
从而有
2( x y) 2 xy 20
等号当且仅当 x y 10 ，时成立。
2( x y) 36 ，而菜园面积为 xy （2）由题知， 由基本不等式知 xy x y 9
2
从而有
xy 81
当且仅当 x 取什么值， 1 的值最小？最小值是多少? x
4 已知 x 3, 求f ( x) x的最大值。 练习： x 3
课堂小结 1.基本不等式的形式。 2.基本不等式应注意的条件。
3.基本不等式的应用。
作业
A组 1、4；B组 2(选做)
y
分析：
A
x
B
2 x y） min （1）面积确定，长与宽取何值，篱笆最短： 知xy, 求（
2 x y） , 求xymax （2）周长确定，长与宽取何值，菜园面积最大：知（
解：设长为 x m,宽为 y m, (1)由题知， xy 100 ，而篱笆长为 2( x y) 由基本不等式知 x y
归纳总结
2 2 a b 2ab，当且仅当 a b 1、重要不等式：一般地，
时，等号成立。
2.基本不等式：若 a 0, b 0 ，那么就有a b 2 ab a b ，等且仅当 a b 时，等号成立。 即 ab
2
例1：
（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、 宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （2）一段长为36m的篱笆所围成一个矩形菜园，问这个矩形的 长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
3.4 基本不等式
温宿二中 曾艳萍
问题引入 如图，这是在北京召开的 第24届国际数学大会的会标， 会标根据中国古代数学家赵爽 的弦图设计的，颜色的明暗使 它看上去像一个风车，代表中 国人民热情好客。
问题探索
问1：在正方形ABCD中,设AE=a,BE=b,则正 2 2 a b 方形的面积为S=————， 问2：Rt△AGB,Rt△BFC,Rt△CED,Rt△AHD 2ab 是全等三角形，它们的面积和是S’=——— 问3：S与S’有什么样的关系？ 从图形中易得， s > s’,即 a 2 + b2 > 2ab
2.已知直角三角形的面积等于50，两直角边各为多少时，两 直角边的和最小，最小值是多少？
x x0
x
1 x
例 2：
解： x 0
能力提高
12 f ( x) 3x x
已知 x 0 ，求
的最小值。
12 12 3x 2 3x 12; x x 12 当且仅当 3x,即x 2时取等号； x f ( x)最小值为 12. f ( x)
探索新知
问：观察以上图形，我们能够得到什么结论呢？
发现：当 a b 时，等号成立。
从而，我们得到：
1、重要不等式：一般地，a 2 b 2 2ab ，当且仅 当 a b 时，等号成立。
思考
若a 0, b 0, 那么我们用 a , b , 代替a, b, 得到什么结论呢？
2、基本不等式：若 a 0, b 0 ，那么就有 a b 2 ab 即 ab a b ，等且仅当 a b 时，等号成立。
证明： 要证 只要证 要证，只要证 要证，只要证
2
ab ab 2
a b 2 ab
a b 2 ab 0
分 析 法
0
a b
2
说明： （1）适用范围：a>0,b>0; （2）阐释：两数的算术平均数大于等于两数几何平均数 ; （3）当且仅当 a=b 时，等号成立。
xy 2
从而有
2( x y) 2 xy 20
等号当且仅当 x y 10 ，时成立。
2( x y) 36 ，而菜园面积为 xy （2）由题知， 由基本不等式知 xy x y 9
2
从而有
xy 81
当且仅当 x 取什么值， 1 的值最小？最小值是多少? x
4 已知 x 3, 求f ( x) x的最大值。 练习： x 3
课堂小结 1.基本不等式的形式。 2.基本不等式应注意的条件。
3.基本不等式的应用。
作业
A组 1、4；B组 2(选做)