第10章1静电场描述

4 0 x
2
2
E

2 0x
o
2. 设棒长为l ，x>>l， 无穷远点场强，
2 1
x
x
sin1
l1 , l12 x2
cos1
x, l12 x2
sin2
l2 , l22 x2
cos2
x, l22 x2
Ex

4 0 x
(sin 2
sin1)
1
电磁学是研究电磁现象的规律的学科 电磁学现象的定量的理论研究过程:
1、1785年库仑研究电荷之间的相互作用，即库仑定律
2、泊松、高斯等人的研究形成了静电场/静磁场理论（超距作用）
3、1786年迦伐尼发现电流，后经伏特、欧姆、法拉第等人发现了 关于电流的定律
4、1820年，奥斯特发现了电流的磁效应，很快毕奥、萨伐尔、安 培、拉普拉斯等作了进一步定量的研究
F
比值q 与检验电荷无关，反映电场本身的性质。
14
1、定义空间某点的电场强度为：E
F
q0
即单位正电荷在电场中某点受到的力
2.单位：牛顿/库仑，N·C1或伏特/米，v/m 3.方向：正检验电荷在该点的受力方向
注意几点
物理意义
r
q0
q
1、电场强度与检验电荷无关，只与场源电荷和场点 位置有关

cos2
)
24
Ex

4 0x
(sin
2

s in 1 ),
Ey

4 0x
(cos1

cos2 )
讨论: 1. 无限长均匀带电直线， θ1= -π/2, θ2=π/2,




y
Ex

[sin
4 0 x
2
sin(
)] 2

2 0 x
,
Ey




[cos( ) cos ] 0,

4 0 x
( l2 x

l1 ), x
E (l1 l2 ) 4 0x x x
Ey

4 0 x
(cos1
cos2 )

4 0 x
(
x x

x) x

0,
l q 4 0 x2 4 0 x2
相当于点电荷的电场
25
例3.均匀带电圆环半径为R，带电量为q,求：圆环轴线
8
例1.两个相同的小球，质量都是m，带等值同号电荷q,
各用长为l的丝线悬挂于一点。如图所示。设θ很小，
以致tgθ可以近似地用sinθ代。两球之间的距离x等于多
少？
解：
1 q2
tg F 4 0 x2 sin x / 2 l θ θ l
mg mg
l
简化上式：
q2
4 0mgx2
距的两个点电荷构成的复合体。
电偶极矩：
p

ql
-q p q
l
电偶极子是个很重要的物理模型，在研究 电极化、电磁波的发射和接收时都会用到。
20
解题思路及步骤：
1.建立坐标系；
2.确定电荷密度: 体 , 面, 线；
3.求电荷元电量;
4.确定电荷元的场 dE

1 4 0
dq r2
er
E
x
Ex

E
x

E
x
2Ex
E
y
Ey
P
E
y
r
2E cos
cos
l
o
x
22
2 r2 l2 4
EP 2E cos

4π 0
ql r2 l2
4 32
因为r >>l
q
所以
EP
p ql
l
ql
4π 0 r 3

q
p
4π 0 r 3
dq x
4 0 r 2 x2
3 2
x 20
rdr r2 x2
3 2
R
Ex

x 2 0
R 0
rdr
r2 x2
3 2

x 2 0

1
r2

x2

0

x 2 0
1

x

1 R2
x2


2 0
1
x
R2
上一点的场强。
dq
解：电荷元dq的场
1 dq dE 4 0 r 2 er
由场对称性 E∥=0
q R
o
E Ex2 E∥2 E x
q
E Ex 0 dEx
q
dq '
dE cos
0
cos x
r
26
E
q dq 0 4 0r 2
x r

r
dE'
dE
dq 4π0r
2
er
线电荷： dq dl

E

l
dl 4 0r
2
er
面电荷： dq dS

E
S
dS 4 0r
2
er
体电荷： dq dV
19

E
V
ρdV 4 0r 2 er
4. 电偶极子
电偶极子： 大小相等，符号相反且存在一微小间
电场E
电荷q2
电场是电荷周围存在的一种特殊物质。
12
2）场的物质性体现在： a.给电场中的带电体施以力的作用。
b.当带电体在电场中移动时，电场力作功，表明电场 具有能量。
c.变化的电场以光速在空间传播，表明电场具有动量
3）电场与实物有何不同?
电场与实物之间的不同在于电场具有叠加性。 电场是一种客观存在，是物质存在的一种形式。 静电场(electrostatic field）：相对于观察者静止 的电荷周围产生的电场。
29
例5.一带电细线弯成半径为 R 的半圆形，电荷线密度为 =0sin，式中 为半径为 R 与 x 轴所成的夹角，0 为一常数， 如图所示，试求环心 o 处的电场强度。
q
/2

0,
x
2R 2
2R
2
x
o 2R
27
2
例4.求一半径为 R、电荷面密度为 的均匀带电圆盘在其轴线
上任一点的场强.
解：以盘心为原点，x 轴沿轴线方向，如图
dr
所示，在任意半径 r 处取一宽为 dr 的圆环，
其电量
dq 2rdr
ro
x
R
dEx


n
E E1 E2 En Ei
i 1
p
q0
F2
F1
证毕
Fi
17
3.场强分布与场源电荷的关系
1.点电荷的场强
E

F q

1 4 0
q r2
er
e r r 表示 的单位矢量。
r
的方向：从源点指向场点。
p
求场点 E
r位矢
q O 场源
真空中两个静止点电荷相互作用力F 的大小与这两个点
电荷所带电荷量 q1和q2 的乘积成正比，与它们之间的距离 r 的平方成反比。作用力F 的方向沿它们的连线方向，同
号相斥，异号相吸。
q2
F
r
F

1
4π 0
q1q2 r2
er
q1 er
F
0：真空中的介电常数（真空电容率）
0 8.851012 N1m2C2
5、1831年法拉第发现了有名的电磁感应现象，并提出了场和力线 的概念，进一步结实了电报与磁的联系
6、麦克斯韦集前人之大成，加上他的关于感应电场和位移电流的 假说，建立了以一套方程组为基础的完整的宏观的电磁场理论
2
电磁学介绍宏观电磁场的基本规律
主要内容有
1、电场的描述及其规律
2、磁场的描述及其规律

x 2l
FT
qx
q
mg
解出x得：
q2l
x3
2 0mg
9
例2.经典的氢原子中电子绕核旋转，质子质量 Mp = 1.6710-27 kg , 电子质量 me= 9.1110-31 kg , 求 电子与质子间的库仑力Fe与万有引力F引之比。
解：库仑力大小
Fe
1
4 0
q1q2 r2

1
4 0
13
二、电场强度
描写电场性质的物理量。 1.电场强度的定义
电场 q0 F Ea
+
出发点:从电场的电荷受力出发，引入一描述电场的物理量。
1. 检验电荷：q 本身携带电荷足够小；是点电荷。 2. 将q 放在点 q1, q2, q3,...qn 电荷系产生的电场中，
q受到的作用力为 F 。
5.求场强分量Ex、Ey、EZ；
Ex dEx , Ey dEy , EZ dEZ
求总场 E
E
2 x

E
2 y

EZ
2
21
例1.求电偶极子中垂线上一点的电场强度。
电电解偶偶：极极E子矩：: E一p 对等Eq量l 异号的点电荷Ex系E。
由对称性分析Ey=0
7
静电力的叠加原理：
库仑定律是一个矢量方程， 它满足叠加原理。

F0

n i 1
F0i

n i 1
1 4 0
q0qi r02i
er0i
q1 rO
rO1
3
q3 rO4
q4
qo
rO 2 q2
库仑定律的适用范围：库仑定律适用于真空中点电荷 的相互作用力。
对于较大的带电体间的作用力可用积分法计算。
1 4 0
λ(x / cos2 θ)dθ (x / cosθ)2
cosθ

λ cosθdθ 4 0x
y
Ex

4 0x
2 cosdθ
1

4
0
x
(s
in

2

s
in
1
)
o
同样可得：
x
2 1
x
Ey

4 0x
2 1
sin
θdθ

4 0x
(cos1
2、电场强度的大小等于单位正电荷在电场中所受的力
3、q<0时电场强度的方向沿 -r 方向。
15
2.场强迭加原理 （1）独立作用原理：各个点电荷电场作用是相互独 立的，一个场不影响另一个场的作用。
（2）叠加原理：点电荷系电场中空间某点的场强为 各个点电荷在该点单独存在时产生的场强的矢量和。

n
x
dE∥
x dE x
dE
r 与 x 都为常量
x
E 4 0r3
q 0
dq
ห้องสมุดไป่ตู้

4
0
(x
qx 2
R
2
)3
/
2
讨论:
1.环心处：x=0, E=0
2.当 x >> R, (x 2 R 2 )3 /2 x 3
dq q
R o dq '
r
x
x
dE x
dE∥ d E
3.场强E极大4值1位0 置xq2：令相dd当Ex 于E0点, d电dx 荷4的 0场(xq2xRR2)23
2.点电荷系的场强
E3
E
2
p
E1
r1
q1

r3
r2
q3
q2
18

E
n i 1
Ei

1 4 0
n i 1
qi ri2
er
3．连续分布的电荷电场中的电场强度
dE
电荷元dq在P 点的场强：
dE

dq 4π0r 2
er
dq P

带电体在P点的场强： E
同种电荷相斥，异种电荷相吸
5
电荷量：物体带电荷的多少。
q ne n = 1，2，3，…
电荷量单位： 库仑（C）
元电荷量： e 1.6021019 C
电荷守恒定律：在一个孤立系统中，无论发生了怎
样的物理过程，电荷不会创生，也不会消失，只能从 一个物体转移到另一个物体上。
6
2 库仑定律
真空中的库仑定律：
cos ,
o
dEy

1 4 0
λdy r2
s
in

r x / cos , y xtgθ,
dy

c
x os2
θ
dθ
r
P dEx 2
1 x
x

dE
dEy
23
r x / cos , y xtgθ,
dy x dθ cos2 θ
dEx

1 4 0
λdy cosθ r2

x2

28
讨论
E

2 0
[1
(R2
x

x2
)
1 2
]
1.当
x R,
E
x
i，E

2 0 x
2 0
无限大带电平面附近的电场，可看成是均匀场，场强垂直于 板面，正负由电荷的符号决定。
2.当 x R,
E

R2 4 0x2

q
4 0x2
在远离带电圆面处，相当于点电荷的场强。
例2.电荷均匀分布在一根长直细棒上，此棒电荷线密度 为λ。试计算距细棒垂直距离为x的P点的场强。已知细
棒两端和P点的连线与X轴的夹角分别为yθ1和θ2。
解:线电荷密度λ dq dy
dE

1 4 0
dq r2
er
1
4 0
λdy r 2 er
dq
dEx

1 4 0
λdy r2
E E1 E2 En Ei
i 1
16
场强迭加原理

n
E E1 E2 En Ei
证明：
i 1


检验电荷受力 F F1 F2 Fn
两边除q0
q1


qi q2
F F1 F2 Fn
q0 q0 q0
q0
3、电场和磁场的相互联系——电磁感应和电磁波
在现代社会中，电磁学的理论及应用都是非常 普遍的。其中包括场（电磁场）和路（电路）两个 部份。本课程的内容以电磁场为主。
3
静电场
电荷 库仑定律
4
电荷 库仑定律
1 电荷
带电现象：物体经摩擦后对轻 微物体有吸引作用的现象。
两种电荷： • 硬橡胶棒与毛皮摩擦后 所带的电荷为负电荷。 • 玻璃棒与丝绸摩擦后所带的电荷为正电荷。 电荷的基本性质：
e2 r2
万有引力大小
F引

G
m1m r2
2

G
m
pm r2
e
Fe F引

1
4 0G
e2 m pm e

2.26
10 39
10
电场 电场强度
11
一、电场
电荷间的相互作用力靠什么来传播呢？
1）电荷是通过电场来作用的。 电场的基本性质：对处在其中的其它电荷会产生作 用力，该力称为电场力。
电荷q1