地震作用的计算和抗震验算

２.运动方程
质点位移 质点加速度
惯性力 弹性恢复力
m x(t)
m(x xg ) m
cx kx
阻尼力
xg (t)
根据达朗贝尔原理，物体在运动中的任一瞬时，作用在物体上 的外力与惯性力相互平衡，故
运动方程
上式还可简化为
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17.7.2 单质点体系的地震作用
式中
ω——体系的圆频率；ζ——体系的阻尼比 上式是一个常系数的二阶非齐次微分方程。它的解包含两部分： 一是对应于齐次微分方程的通解，另一个是特解。前者表示自由振 动，后者表示强迫振动。 ３.自由振动 （１）自由振动方程
今以任一微分脉冲作用进行讨论，设它
在t=τ－dτ时开始作用，作用时间为
dτ，则冲量大小为 xg (t)d动量增量为
mx( ) 从动量定理，得
xg (t)d
x( ) xg (t)d
由通解式可求得当τ－dτ时，作用
一个 xg (t)d 微分脉冲的位移反应为 dx( ) e(t ) xg ( ) sin '(t )d '
4.对于位移反应谱，幅值随周期增大。
自振周期： T 2 / 体系的频率： f 1/T
体系的圆频率： 2 / T 2f
在实际结构中，阻尼比ζ的数值一般较小，其值大约在0.01~0.1之
间。因此有阻尼频率 与'无阻尼频率ω相差不大，在实际计算中可
近似地取 '
由上式可得单自由度体系自振周期的计算公式为
T 2 m / k
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17.7.2 单质点体系的地震作用
yg (t ) (ms 2 )
绝对加速度反应谱
Elcentro 1940 （N-S） 地震记录
t (s)
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17.7.2 单质点体系的地震作用
相对位移反应谱
地震反应谱的特点 1.阻尼比对反应谱影响很大 2.对于加速度反应谱，当结构周期小于某 个值时幅值随周期急剧增大，大于某个值 时，快速下降。 3.对于速度反应谱，当结构周期小于某个 值时幅值随周期增大，随后趋于常数。
时
' 1 2
单自由度体系自由振动曲线
4
17.7.2 单质点体系的地震作用
' ——有阻尼单自由度弹性体系的圆频率
阻尼越大，自振频率越慢。 比较上图中的各条曲线可知，无阻尼体系（ζ＝０）自由振动时 的振幅始终不变，而有阻尼体系自由振动的曲线则是一条逐渐衰减 的波动曲线，即振幅随时间的增加而减小，并且体系的阻尼越大， 其振幅的衰减就越快。 （２）自振周期与自振频率
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17.7.2 单质点体系的地震作用
yg (t ) (ms 2 )
位移反应谱
Elcentro 1940 （N-S） 地震记录
t (s)
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17.7.2 单质点体系的地震作用
yg (t ) (ms 2 )
相对速度反应谱
Elcentro 1940 （N-S） 地震记录
t (s)
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17.7.2 单质点体系的地震作用
质点的绝对加速度为
质点相对于地面的最大加速度反应为
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17.7.2 单质点体系的地震作用
地震反应谱：主要反映地面运动的特性 最大相对位移
最大相对速度
最大加速度 最大反应之间的关系
在阻尼比、地面运动确定后，最大反应只是结构周期的函数。 单自由度体系在给定的地震作用下某个最大反应与体系自振周 期的关系曲线称为该反应的地震反应谱。
17.7 地震作用的计算和抗震验算
17.7.1 地震作用的概念 地震作用——振动过程中作用于建筑结构上的惯性力。 结构的地震反应——结构振动时的速度、加速度及位移等。 各类建筑结构的地震作用，应满足以下要求： 1 一般情况下，应允许在建筑结构的两个主轴方向分别计算 水平地震作用并进行抗震验算，各方向的水平地震作用应由 该方向抗侧力构件承担。 2 有斜交抗侧力构件的结构，当相交角度大于 15 °时，应分 别计算各抗侧力构件方向的水平地震作用。 3 质量和刚度分布明显不对称的结构，应计入双向水平地震 作用下的扭转影响；其他情况，应允许采用调整地震作用效 应的方法计入扭转影响。 4 8、9度时的大跨度和长悬臂结构及9度时的高层建筑，应计 算竖向地震作用；
x(t) et Pdt sin 't m
其位移时程曲线如上图所示。 （２）杜哈默积分
方程的特解就是质点由外荷载引起的强迫振动，它可以从上述瞬 时冲量的概念出发来进行推导。
可将 xgFra Baidu bibliotek(t)看作随时间变化的m=1的“干扰力”，并认为是由
无穷多个连续作用的微分脉冲所组成，
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17.7.2 单质点体系的地震作用
由上式可见，结构的自振周期与其质量和刚度的大小有关。质 量越大，则其周期就越长，而刚度越大，则其周期就越短。
自振周期是结构的一种固有属性，也是结构本身一个很重要的 动力特性。 ４.强迫振动 （１）瞬时冲量及其引起的自由振动 如图，荷载Ｐ与作用时间△t 的乘积，即 Ｐ·△t 称为冲量。当作用时间为瞬时dt 时，则称Pdt为瞬时冲量。 根据动量定律，冲量等于动量的增量， 故有： Pdt mv mv0 若体系处于静止状态，则初速度为０，故 体系在瞬时冲量作用下获得的速度为： 瞬时冲量及其引起的自由振动
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17.7.2 单质点体系的地震作用
v Pdt / m
又因体系原处于静止状态，故体系的初位移为零。这样可认为 在瞬时荷载作用后的瞬间，体系的位移仍为零。也就是说，原来静
止的体系在瞬时冲量的影响下将以初速度 Pdt / m作自由振动。根据
自由振动的方程式的解，并令其中 x(0) 0, x(0) Pdt / m ，则可得：
地震作用下的质点位移分析
将所有微分脉冲作用后产生的自由振动叠加，得总位移反应
上式为杜哈默积分，它与通解之和就是微分方程的全解。即
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17.7.2 单质点体系的地震作用
由Duhamel积分可得零初始条件下质点相对于地面的位移为
最大位 移反应
质点相对于地面的速度为
质点相对于地面的最大速度反应为
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17.7.2 单质点体系的地震作用
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17.7.2 单质点体系的地震作用
１.计算简图 单自由度弹性体系：
将结构参与振动的全部质量集中于一点，用无重量的弹性直杆 支承于地面形成单质点体系，当该体系只作单向振动时，就形成了 一个单自由度体系。如等高单层厂房、水塔等
单质点弹性体系计算简图 （a）单层厂房及简化体系；（b）水塔及简化体系
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17.7.2 单质点体系的地震作用