选修11导数及其应用习题及答案

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学案导学备课精选高中数学3.3计算导数同步练习(含解析)北师大版选修11

§3 计算导数课时目标 1.会计算函数在一个点处的导数.2.理解导函数的概念.3.了解导数公式表．1．计算函数y ＝f(x)在点x ＝x 0处的导数的步骤：(1)计算函数的增量：Δy ＝f(Δx ＋x 0)－f(x 0)(2)确定平均变化率：Δy Δx ＝0＋Δ－0Δx(3)当Δx 趋于0时，得到导数：f′(x 0)＝0lim x ∆→0－Δ－0Δx 2．导函数一般地，如果一个函数f(x)在区间(a ，b)上的每一点x 处都有导数，导数值记为f′(x)，则f′(x)＝______________________，则f′(x)为f(x)的__________，简称导数．3．导数公式表函数导函数函数导函数y ＝c (c 是常数)y′＝0 y ＝sin x y′＝cos x y ＝x α (α为实数)y′＝αx α－1 y ＝cos x y′＝－sin x y ＝a x(a>0，a≠1) y′＝a x ln a 特别地(e x )＝e xy ＝tan x y′＝1cos 2x y ＝log a x (a>0，a≠1) y′＝1x ln a特别地(ln x)′＝1x y ＝cot x y′＝－1sin 2x一、选择题1．已知函数f(x)＝13，则f′(x)等于( ) A ．－33 B ．0 C .33D . 3 2．曲线y ＝－1x 在点⎝⎛⎭⎪⎫2，－12处的切线方程为( ) A ．x －4y －4＝0 B ．x －y －4＝0C ．x －4y ＝0D ．2x －4y －4＝03．函数y ＝3x 2＋2x ＋1在点x ＝1处的导数为( )A ．3B ．7C ．8D ．14．曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( ) A ．(0,0) B ．(2,4)C .⎝ ⎛⎭⎪⎫14，116D .⎝ ⎛⎭⎪⎫12，145．函数y ＝(x －1)2的导数是( )A ．(x －1)2B ．2(x －1)C ．2(1－x)D ．－26．y ＝cos x 在点x ＝π6处的导数为( )A .32 B ．－ 32 C ．－12 D .12题号 1 2 3 4 5 6答案二、填空题7．函数y ＝5x ＋4的导数为________．8．函数f(x)＝x 2＋3x 导数为5的点是________．9．曲线y ＝ln x 在x ＝1处的切线斜率为________．三、解答题10．已知函数y ＝x 2＋4x ，求x ＝1,2处的导数值．11.已知f(x)＝log 2x ，利用导数公式求f′(2)．能力提升12．给出下列结论：①(cos x)′＝sin x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y′＝－1x ；④⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝12x x .其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．313．已知f′(x)是一次函数，x 2f′(x)－(2x －1)f(x)＝1，求f(x)的解析式．1．“函数f(x)在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x 0)是其导数y ＝f′(x)在x ＝x 0处的一个函数值，求函数在一点处的导数，一般先求出函数的导数，再计算这一点处的导数值．2．可以利用导数公式计算函数在某点处的导数．§3 计算导数知识梳理2．f′(x)=lim x ∆→＋Δ－Δx 导函数作业设计1．B2．A3．C4．D5．B6．C7．58．(1,4)9．1解析 y′＝1x，∴f′(1)＝1. 10．解 f′(1)=0lim x ∆→＋Δ－Δx=0limx ∆→＋Δ2＋＋Δ－1－4Δx =0lim x ∆→Δ2＋ΔΔx ＝6. f′(2)=0limx ∆→＋Δ－Δx =0lim x ∆→＋Δ2＋＋Δ－22－4×2Δx＝8.11．解 ∵f′(x)＝(log 2x)′＝1x ln 2＝2x ln 2， ∴f′(2)＝1ln 2. 12．B13．解由f′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数．设f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)，则f′(x)＝2ax ＋b.把f(x)，f′(x)代入方程x 2f′(x)－(2x －1)f(x)＝1中得：x 2(2ax ＋b)－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c)＝1，即(a －b)x 2＋(b －2c)x ＋c －1＝0要使方程对任意x 恒成立，则需有a ＝b ，b ＝2c ，c －1＝0，解得a ＝2，b ＝2，c ＝1，所以f(x)＝2x 2＋2x ＋1.。

高三数学选修11第三章导数及其应用专项练习(带答案)-精选教育文档

高三数学选修1-1第三章导数及其应用专项练习（带答案）导数的考察一般都伴随着函数，以下是第三章导数及其应用专项练习，希望对大家有帮助。

一、填空题1.当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数________.(填序号)①在[x0，x1]上的平均变化率;②在x0处的变化率;③在x1处的变化率;④以上都不对.2.设函数y=f(x)，当自变量x由x0改变到x0+x时，函数的增量y=______________.3.已知函数f(x)=2x2-1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+x，f(1+x))，则yx=________.4.某物体做运动规律是s=s(t)，则该物体在t到t+t这段时间内的平均速度是______________.5.如图，函数y=f(x)在A，B两点间的平均变化率是________.6.已知函数y=f(x)=x2+1，在x=2，x=0.1时，y的值为________.7.过曲线y=2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______.8.若一质点M按规律s(t)=8+t2运动，则该质点在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度是________.二、解答题9.已知函数f(x)=x2-2x，分别计算函数在区间[-3，-1]，[2,4]上的平均变化率.10.过曲线y=f(x)=x3上两点P(1,1)和Q(1+x，1+y)作曲线的割线，求出当x=0.1时割线的斜率.能力提升11.甲、乙二人跑步路程与时间关系如右图所示，试问甲、乙二人哪一个跑得快?12.函数f(x)=x2+2x在[0，a]上的平均变化率是函数g(x)=2x-3在[2,3]上的平均变化率的2倍，求a的值.参考答案1.①2.f(x0+x)-f(x0)3.4+2x解析 y=f(1+x)-f(1)=2(1+x)2-1-212+1=4x+2(x)2，yx=4x+2(x)2x=4+2x.4.s(t+t)-s(t)t解析由平均速度的定义可知，物体在t到t+t这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比.所以v=st=s(t+t)-s(t)t.5.-1解析 yx=f(3)-f(1)3-1=1-32=-1.6.0.417.1解析由平均变化率的几何意义知k=2-11-0=1.8.4.1解析质点在区间[2,2.1]内的平均速度可由st求得，即v=st=s(2.1)-s(2)0.1=4.1.9.解函数f(x)在[-3，-1]上的平均变化率为：f(-1)-f(-3)(-1)-(-3)=[(-1)2-2(-1)]-[(-3)2-2(-3)]2=-6.函数f(x)在[2,4]上的平均变化率为：f(4)-f(2)4-2=(42-24)-(22-22)2=4.10.解∵y=f(1+x)-f(1)=(1+x)3-1=3x+3(x)2+(x)3，割线PQ的斜率yx=(x)3+3(x)2+3xx=(x)2+3x+3.当x=0.1时，割线PQ的斜率为k，则k=yx=(0.1)2+30.1+3=3.31.当x=0.1时割线的斜率为3.31.11.解乙跑的快.因为在相同的时间内，甲跑的路程小于乙跑的路程，即甲的平均速度比乙的平均速度小.12.解函数f(x)在[0，a]上的平均变化率为f(a)-f(0)a-0=a2+2aa=a+2.函数g(x)在[2,3]上的平均变化率为g(3)-g(2)3-2=(23-3)-(22-3)1=2.∵a+2=22，a=2.第三章导数及其应用专项练习的全部内容就是这些，查字典数学网预祝大家取得更好的成绩。

高三数学选修11第三章导数及其应用专项练习(带答案)

高三数学选修1-1第三章导数及其应用专项练习（带答案）导数的考察一般都伴随着函数，以下是第三章导数及其应用专项练习，希望对大家有帮助。

一、填空题1.当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数________.(填序号)①在[x0，x1]上的平均变化率;②在x0处的变化率;③在x1处的变化率;④以上都不对.2.设函数y=f(x)，当自变量x由x0改变到x0+x时，函数的增量y=______________.3.已知函数f(x)=2x2-1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+x，f(1+x))，则yx=________.4.某物体做运动规律是s=s(t)，则该物体在t到t+t这段时间内的平均速度是______________.5.如图，函数y=f(x)在A，B两点间的平均变化率是________.6.已知函数y=f(x)=x2+1，在x=2，x=0.1时，y的值为________.7.过曲线y=2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______.8.若一质点M按规律s(t)=8+t2运动，则该质点在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度是________.二、解答题9.已知函数f(x)=x2-2x，分别计算函数在区间[-3，-1]，[2,4]上的平均变化率.10.过曲线y=f(x)=x3上两点P(1,1)和Q(1+x，1+y)作曲线的割线，求出当x=0.1时割线的斜率.能力提升11.甲、乙二人跑步路程与时间关系如右图所示，试问甲、乙二人哪一个跑得快?12.函数f(x)=x2+2x在[0，a]上的平均变化率是函数g(x)=2x-3在[2,3]上的平均变化率的2倍，求a的值.参考答案1.①2.f(x0+x)-f(x0)3.4+2x解析y=f(1+x)-f(1)=2(1+x)2-1-212+1=4x+2(x)2，yx=4x+2(x)2x=4+2x.4.s(t+t)-s(t)t解析由平均速度的定义可知，物体在t到t+t这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比.所以v=st=s(t+t)-s(t)t.5.-1解析yx=f(3)-f(1)3-1=1-32=-1.6.0.417.1解析由平均变化率的几何意义知k=2-11-0=1.8.4.1解析质点在区间[2,2.1]内的平均速度可由st求得，即v=st=s(2.1)-s(2)0.1=4.1.9.解函数f(x)在[-3，-1]上的平均变化率为：f(-1)-f(-3)(-1)-(-3)=[(-1)2-2(-1)]-[(-3)2-2(-3)]2=-6.函数f(x)在[2,4]上的平均变化率为：f(4)-f(2)4-2=(42-24)-(22-22)2=4.10.解∵y=f(1+x)-f(1)=(1+x)3-1=3x+3(x)2+(x)3，割线PQ的斜率yx=(x)3+3(x)2+3xx=(x)2+3x+3.当x=0.1时，割线PQ的斜率为k，则k=yx=(0.1)2+30.1+3=3.31.当x=0.1时割线的斜率为3.31.11.解乙跑的快.因为在相同的时间内，甲跑的路程小于乙跑的路程，即甲的平均速度比乙的平均速度小.12.解函数f(x)在[0，a]上的平均变化率为f(a)-f(0)a-0=a2+2aa=a+2.死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。

导数及其应用测试题(有详细答案)

《导数及其应用》一、选择题1。

0()0f x '=是函数()f x 在点0x 处取极值的:A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 2、设曲线21y x =+在点))(,(x f x 处的切线的斜率为()g x ,则函数()cos y g x x =的部分图象可以为A 。

B. C 。

D.3．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( ）4.若曲线y ＝x 2＋ax ＋b在点(0，b ）处的切线方程是x －y ＋1＝0，则（）A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1,b ＝－1 5．函数f (x ）＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x ）在x ＝－3时取得极值,则a 等于（）A ．2B ．3C ．4D ．56。

设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()221f x x x f '=+⋅，则()0f '等于（ )A 、0B 、4-C 、2-D 、27。

直线y x =是曲线ln y a x =+的一条切线，则实数a 的值为（）A ．1-B ．eC ．ln 2D ．18。

若函数)1,1(12)(3+--=k k x x x f 在区间上不是单调函数，则实数k 的取值范围（） A ．3113≥≤≤--≤k k k 或或 B ．3113<<-<<-k k 或C ．22<<-kD ．不存在这样的实数k9.函数()f x 的定义域为(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图像如图所示，则函数()f x 在(),a b 内有极小值点（ )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10.已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥,则(1)'(0)f f 的最小值为（ ) A ．3 B ．52 C ．2 D ．32二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11。

高中数学选修11导数及其应用练习卷及答案

（数学选修1-1）第一章导数及其应用[综合训练B 组]及答案一、选择题1．函数323922y x x x x 有（）A ．极大值5，极小值27-B ．极大值5，极小值11-C ．极大值5，无极小值D ．极小值27-，无极大值2．若'0()3f x =-，则000()(3)lim h f x h f x h h →+--=（）A ．3-B ．6-C ．9-D ．12-3．曲线3()2f x x x 在0p 处的切线平行于直线41y x ，则0p 点的坐标为（） A ．(1,0) B ．(2,8)C ．(1,0)和(1,4)--D ．(2,8)和(1,4)--4．()f x 与()g x 是概念在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 知足''()()f x g x =,则()f x 与()g x 知足（）A ．()f x =()g xB ．()f x -()g x 为常数函数C ．()f x =()0g x =D ．()f x +()g x 为常数函数5．函数x x y 142+=单调递增区间是（）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),21(+∞ D ．),1(+∞6．函数x xy ln =的最大值为（）A ．1-eB ．eC ．2eD ．310二、填空题1．函数2cos y x x =+在区间[0,]2π上的最大值是。

2．函数3()45f x x x =++的图像在1x =处的切线在x 轴上的截距为________________。

3．函数32x x y -=的单调增区间为，单调减区间为___________________。

4．若32()(0)f x ax bx cx d a =+++>在R 增函数，则,,a b c 的关系式为是。

5．函数322(),f x x ax bx a =+++在1=x 时有极值10，那么b a ,的值别离为________。

高考数学一轮复习第十三篇导数及其应用选修11第10节导数的概念及运算习题理含解析

高考数学一轮复习第十三篇导数及其应用选修11第10节导数的概念及运算习题理含解析【选题明细表】知识点、方法题号导数的概念与运算1,3,7导数的几何意义2,4,5,6,9,10,12简单综合问题8,11,13,14基础巩固(时间:30分钟)1.下列求导数的运算中错误的是( C )(A)(3x)′=3x ln 3(B)(x2ln x)′=2xln x+x(C)()′=(D)(sin x·cos x)′=cos 2x解析:因为()′=,C项错误.2.(2018·江西重点中学盟校第一次联考)函数y=x3的图象在原点处的切线方程为( C )(A)y=x (B)x=0(C)y=0 (D)不存在解析:函数y=x3的导数为y′=3x2,则在原点处的切线斜率为0,所以在原点处的切线方程为y-0=0(x-0),即y=0.3.(2018·达州测验)已知函数f(x)在R上可导,其部分图象如图所示,设=a,则下列不等式正确的是( B )(A)a<f′(2)<f′(4) (B)f′(2)<a<f′(4)(C)f′(4)<f′(2)<a (D)f′(2)<f′(4)<a解析:由题中图象可知,在[2,4]上函数的增长速度越来越快,故曲线上点的斜率随x的增大越来越大,所以(2,f(2)),(4,f(4))两点连线的斜率=a,在点(2,f(2))处的切线斜率f′(2)与点(4,f(4))处的切线斜率f′(4)之间,所以f′(2)<a<f′(4),故选B.4.(2018·河南适应性测试)已知直线ax-by-2=0与曲线y=x3在点P(1,1)处的切线互相垂直,则的值为( D )(A)(B)(C)-(D)-解析:由题意,y′=3x2,当x=1时,y′|x=1=3,所以×3=-1,即=-.5.(2018·鹰潭一模)已知曲线f(x)=2x2+1在点M(x0,f(x0))处的瞬时变化率为-8,则点M的坐标为.解析:因为f(x)=2x2+1,所以f′(x)=4x,令4x0=-8,则x0=-2,所以f(x0)=9,所以点M的坐标是(-2,9).答案:(-2,9)6.(2017·天津卷)已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为.解析:因为f′(x)=a-,所以f′(1)=a-1.又因为f(1)=a,所以切线l的斜率为a-1,且过点(1,a),所以切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1).令x=0,得y=1,故l在y轴上的截距为1.答案:17.如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=k x+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=x f(x),其中g′(x)是g(x)的导函数,则g′(3)= .解析:由图形可知,f(3)=1,f′(3)=-,因为g′(x)=f(x)+xf′(x),所以g′(3)=f(3)+3f′(3)=1-1=0.答案:08.函数g(x)=ln x图象上一点P到直线y=x的最短距离为.解析:设与直线y=x平行且与曲线g(x)=ln x相切的直线的切点坐标为(x0,ln x0),因为g′(x)=(ln x)′=,则1=,所以x0=1,则切点坐标为(1,0),所以最短距离为(1,0)到直线y=x的距离,即为=.答案:能力提升(时间:15分钟)9.(2018·广东广州第一次调研)已知直线y=kx-2与曲线y=xln x相切,则实数k的值为( D )(A)ln 2 (B)1 (C)1-ln 2 (D)1+ln 2解析:由y=xln x得y′=ln x+1,设切点为(x0,y0),则k=ln x0+1,因为切点(x0,y0)既在曲线y=xln x上又在直线y=kx-2上,所以所以kx0-2=x0ln x0,所以k=ln x0+,所以ln x0+=ln x0+1,所以x0=2,所以k=ln 2+1.故选D10.(2018·广东东莞二调)设函数f(x)=x3+ax2,若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0,则点P的坐标为( D )(A)(0,0) (B)(1,-1)(C)(-1,1) (D)(1,-1)或(-1,1)解析:因为f(x)=x3+ax2,所以f′(x)=3x2+2ax.因为曲线在点P(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0,所以3+2ax0=-1,因为x0++a=0,所以或当x0=1时,f(x0)=-1,当x0=-1时,f(x0)=1.所以点P的坐标为(1,-1)或(-1,1).11.若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质,下列函数中具有T性质的是( A )(A)y=sin x (B)y=ln x(C)y=e x (D)y=x3解析:若y=f(x)的图象上存在两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),使得函数图象在这两点处的切线互相垂直,则f′(x1)·f′(x2)=-1.对于A:y′=cos x,若有cos x1·cos x2=-1,则当x1=2kπ,x2=2kπ+π(k∈Z)时,结论成立;对于B:y′=,若有·=-1,则x1x2=-1,因为x1>0,x2>0,所以不存在x1,x2,使得x1x2=-1;对于C:y′=e x,若有·=-1,即=-1.显然不存在这样的x1,x2;对于D:y′=3x2,若有3·3=-1,即9=-1,显然不存在这样的x1,x2.故选A.12.(2018·广东珠海一中等六校第三次联考)已知函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为y=2x-1,则曲线g(x)=x2+f(x)在点(2,g(2))处的切线方程为.解析:由题意,知f(2)=2×2-1=3,所以g(2)=4+3=7,因为g′(x)=2x+f′(x),f′(2)=2,所以g′(2)=2×2+2=6,所以曲线g(x)=x2+f(x)在点(2,g(2))处的切线方程为y-7=6(x-2),即6x-y-5=0.答案:6x-y-5=013.若函数f(x)=x2-ax+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是. 解析:因为f(x)=x2-ax+ln x,所以f′(x)=x-a+(x>0).因为f(x)存在垂直于y轴的切线,所以f′(x)存在零点,即x+-a=0有解,所以a=x+≥2(当且仅当x=1时取等号).答案:[2,+∞)14.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9都相切,则a等于.解析:设过点(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0,),所以切线方程为y-=3(x-x0),即y=3x-2,又(1,0)在切线上,则x0=0或x0=,当x0=0时,由y=0与y=ax2+x-9相切可得a=-,当x0=时,由y=x-与y=ax2+x-9相切可得a=-1.答案:-1或-。

苏教选修11导数专项练习含答案

第一章导数及其应用〔1〕一、填空题1．一个物体的运动方程为s1t t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是_________________；2．函数y=x3+x的递增区间是_________________；3．f(x)ax33x22假设'(1)那么a的值等于_________________；,f4,4．函数y x44x3在区间2,3上的最小值为_________________；6．假设f(x)x3,f'(x0)3，那么x0的值为_________________；5．曲线y x34x在点(1,3)处的切线倾斜角为__________；6．函数y sinx的导数为_________________；x7．曲线y lnx在点M(e,1)处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________；8．函数y x3x25x5的单调递增区间是___________________________。

二、解答题1．求垂直于直线2x6y10并且与曲线yx33x25相切的直线方程。

2．求函数y (x a)(x b)(x c)的导数。

3．求函数f(x) x55x45x31在区间1,4上的最大值与最小值。

4．函数yax3bx2，当x1时，有极大值3；〔1〕求a,b的值；〔2〕求函数y的极小值。

1第一章导数及其应用〔2〕一、填空题1．曲线f(x)=x3+x-2在p0处的切线平行于直线y=4x-1，那么p0点的坐标为。

2．函数y4x21单调递增区间是。

lnx x3．函数y。

的最大值为x4．函数y x2cosx在区间[0,]上的最大值是。

25．函数f(x)x34x5的图像在x1处的切线在x轴上的截距为________________。

6．函数y x2x3的单调增区间为，单调减区间为___________________。

7．假设f(x)ax3bx2cxd(a0)在R增函数，那么a,b,c的关系式为是。

高中数学选修11习题答案

高中数学选修11习题答案高中数学选修11习题答案高中数学选修11是一门涉及多个数学领域的课程，包括微积分、概率论、统计学等。

这门课程的习题涉及到了各个知识点，对于学生来说是一个很好的练习机会。

在这篇文章中，我将为大家提供一些高中数学选修11习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这门课程。

1. 微积分题目：计算函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 的导数。

答案：f'(x) = 6x^2 - 6x + 4解析：根据微积分的定义，导数就是函数的斜率。

对于多项式函数来说，求导的过程就是将指数降低一次，并将指数乘以系数。

所以，对于 f(x) = 2x^3 -3x^2 + 4x - 1，我们将指数降低一次得到导数 f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。

2. 概率论题目：一个骰子被投掷两次，求得到两个相同的点数的概率。

答案：概率为 1/6解析：骰子有6个面，每个面的点数为1到6。

在两次投掷中，第一次投掷得到的点数可以是任意一个数字，而第二次投掷得到的点数必须与第一次投掷相同。

所以，第一次投掷得到的点数有6种可能，而第二次投掷得到的点数只有1种可能与第一次相同。

因此，得到两个相同的点数的概率为 1/6。

3. 统计学题目：某班级的学生身高数据如下：160cm, 165cm, 170cm, 175cm, 180cm。

求这组数据的平均值和标准差。

答案：平均值为 170cm，标准差为 7.07cm（保留两位小数）。

解析：平均值是一组数据所有数值的总和除以数据的个数。

对于这组数据来说，总和为 160 + 165 + 170 + 175 + 180 = 850，个数为 5。

所以平均值为 850/5 = 170cm。

标准差是一组数据离平均值的偏差的平方的平均值的平方根。

首先，计算每个数据点与平均值的偏差：160-170 = -10，165-170 = -5，170-170 = 0，175-170 = 5，180-170 = 10。

数学选修11导数测试题含答案(K12教育文档)

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数学选修1-1导数测试题【选择题】1．已知定义在R上的函数f(x），其导函数f′(x)的大致图象如图所示,则下列叙述正确的是( )A．f（b）>f(c）〉f（d) B．f（b)〉f（a)>f(e)C．f(c）〉f(b)〉f(a) D．f(c）〉f（e)>f（d）2．函数f（x)的定义域为R，f(－1)＝2,对任意x∈R，f ′x〉2,则f（x）〉2x＋4的解集为( ）A．（－1，1）B．（－1，＋∞） C．(－∞，－1) D．（－∞，＋∞）3．设函数f(x)＝错误!＋ln x，则（)A．x＝错误!为f(x）的极大值点 B．x＝错误!为f（x）的极小值点C．x＝2为f（x)的极大值点 D．x＝2为f（x）的极小值点4．函数f（x）＝错误!＋x2－3x－4在［0，2]上的最小值是（）A．－错误! B．－错误! C．－4 D．－错误!5．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝（)A．－2或2 B．－9或3 C．－1或1 D．－3或16．设函数f(x）＝ax2＋bx＋c（a，b,c∈R)．若x＝－1为函数f（x）e x的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f（x）的图象是（)7．已知f(x）＝x3－ax在［1，＋∞）上是单调增函数,则a的最大值是( ）A．0 B．1 C．2 D．38．设动直线x＝m与函数f(x)＝x3，g（x）＝ln x的图象分别交于点M，N，则|MN｜的最小值为( ）A。

苏教版(选修11)导数专项练习含答案分解

第一章导数及其应用（1）一、填空题1．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是_________________； 2．函数3y x x =+的递增区间是_________________；3．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于_________________； 4．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为_________________； 6．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________； 5．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 6．函数sin xy x=的导数为_________________； 7．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________；8．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。

二、解答题1．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3235y x x =+-相切的直线方程。

2．求函数()()()y x a x b x c =---的导数。

3．求函数543()551f x x x x =+++在区间[]4,1-上的最大值与最小值。

4．已知函数23bx ax y +=，当1x =时，有极大值3；（1）求,a b 的值；（2）求函数y 的极小值。

第一章导数及其应用（2）一、填空题1．曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为。

2．函数xx y 142+=单调递增区间是。

3．函数xxy ln =的最大值为。

4．函数2cos y x x =+在区间[0,]2π上的最大值是。

新课标人教A版选修11《导数及其应用》单元测试(含答案)

精选文档《导数及其应用》单元检测题（文科）一、选择题（此题共12题，每题4分,共48分）1 .一个物体的运动方程为S=1+t+t2此中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的刹时速度是（A）A7米/秒B6米/秒C5米/秒D8米/秒2若f(x)sin cosx,则f'()等于（A）A sinB cosC sin cos D2sin3．曲线f(x)=x3+x-2在p0处的切线平行于直线y=4x-1，则p0点的坐标为（C）A (1,0)B(2,8)C(1,0)和(1,4)D(2,8)和(1,4)4.函数f(x)2x2lnx的递加区间是（C）A.(0,1)B.(1,0)及(1,)C.(1,)D.(,1)及(0,1)2222225.f'(x)0(x (a,b))是可导函数y=f(x)在区间(a,b)内单一递加的(B)A．充足不用要条件B ．必需不充足条件C．充要条件D．非充足非必需条件6.函数y=x3-3x2-9x(-2<x<2)有（C）A 极大值5，极小值27B极大值5，极小值11C极大值5，无极小值D极小值27，无极大值7 .函数y=2x3-3x2-12x+5在区间[0,3]上最大值与最小值分别是（a）A.5,-15 B.5,-4 C.-4,-15 D.5,-168.设函数f x的导函数为f x，且f x x22x f1，则f0等于(B)A、0B、4C、2D、29 .已知函数f(x)x3ax2x1在(,)上是单一函数,则实数的取值范围是（B）A(,3][3,)B[3,3]C(,3)(3,)D(3,3)10.已知函数y f(x)的导函数y f(x)的图像以下，则y（A）A．函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点B．函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点????C．函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点x2x3O x4xx1D．函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点11．函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10,则点(a,b)为（B）A．(3,3)B．(4,11)C．(3,3)或(4,11)D．不存在12．以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，此中必定不正确的序号是（C）A．①、②B．①、③C．③、④D．①、④二、填空题（此题共4个题，每题4分，共16分）13.（1）(sinx)=（2）(e x lnx)=x14.已知函数y f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y 1x2，则2f(1) f(1)．15.若直线y b与函数f x1x34x4的图象有3个交点，则b的取值范围316.已知函数y1x3x2ax5在[1,)上老是单一函数，则a的取值范围.3精选文档精选文档三、解答题（此题共5个答题，此中17,18每题10分，19,20,21每题12分，共56分）20．设函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2时获得极值．17．求以下直线的方程：、（1）求ab的值；（1）曲线yx3x21在P(-1,1)处的切线；（2）曲线yx2过点P(3,5)的切线；（2）若关于随意的x[0，3]，都有f(x)c2建立，求c的取值范围．18、设f（x）=x3－3ax2+2bx在x=1处有极小值－1，(1)试求a、b的值;(2)求出f（x）的单一区间.21、已知函数1af(x)lnxax1(aR)x（1）当a1时，求曲线y f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；（2）当a 1时，议论f(x)的单一性. 219、某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量x(t)与每吨产品的价钱p(元/t)之间的关系式为:p=24200－12?最大5x,且生产xt的成本为:R=50000+200x(元).问该产品每个月生产多少吨才能使收益达到最大收益是多少?(收益=收入－成本)精选文档精选文档《导数及其应用》单元检测题（文科）答案一、选择题（此题共 12题，每题 4分,共48分） 1-5 AACCB6-10 CABBA 11-12BC二、填空题（此题共 4个题，每题 4分，共16分）xcosxsinx14.315.( 4 28)16.[1,)13.x23 ,3三、解答题（此题共5个答题，此中17,18 每题10分，19,20,21 每题12分，共 56分）17、解：（1）点P(1,1)在曲线yx 3x 21上，y /3x22xky /|－1 3－2 1x所以切线方程为 y 1x1，即x y 2 0（2）明显点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为A(x ,y )则 y 0 x 0 20 0①又函数的导数为 y /2x ，所以过 A(x 0,y 0) 点的切线的斜率为k y /|x x 0 2x 0 ，2x 0y 0 5又切线过A(x 0,y 0)、P(3,5)点，所以有x 03②，x 0 1或 x 0 5由①②联立方程组得，y 01 y 0 25 ，即切点为（1，1）时，切线斜率为 k 1 2x 0 2;；当切点为（5，25）时，切线斜率为 k 22x 0 10；所以所求的切线有两条，方程分别为y 1 2(x1)或y2510(x 5)，即y2x1或y 10x2518.解：(1)f （x ）=3x 2－6ax+2b ，由题意知3 126a 1 2b 0,36a 2b 0,1312即 23a 2b 0.3a 2b 11,解之得a=1，b=－1.经查验知切合题意 2）由（1）知f （x ）=x 3－x 2－x ，f （x ）=3x 2－2x －1=3（x+1）（x －1）.3当f （x ）>0时，x>1或x<－1，当f （x ）<0时，－1<x<1.33∴函数f （x ）的单一增区间为（－∞，－1）和（1，+∞），减区间为（－1，1）.33精选文档1219、解:每个月生产x 吨时的收益为f(x)=(24200－x)x －(50000+200x)51 3=－x+24000x －50000(x ≥0).5由f ′(x)=－3x 2+24000=0,解得x 1=200,x 2=－200(舍去).5f(x)在［0,+∞)内只有一个点x 1=200使f ′(x)=0,∴它就是最大值点 .f(x)的最大值为 f(200)=3150000(元).∴每个月生产200t 才能使收益达到最大,最大收益是 315万元.20.解：（1）f(x)6x 26ax 3b ，因为函数f(x)在x 1及x 2 获得极值，则f(1)0，f(2)0．6 6a 3b，解得a3，b 4．即24 12a 3b ．经查验知切合题意（2）由（1）可知，f(x)2x 3 9x 212x8c ，f(x)6x 2 18x 12 6(x 1)(x 2)．令f'(x) 0得x 1或x 2由f'(x)0得x 1或x 2 ；由f '(x)0得1x 2当x 在[0,3]变化时，f '(x),f(x)的变化状况以下表：x0 （0,1）1 (1,2)2 (2,3) 3f'(x)＋ 0－＋f(x)8c↗5 8c ↘4 8c↗98c则当x0，3 时，f(x)的最小值为f(0) 8c ．因为关于随意的x 0，3 ，有f(x)c 2恒建立，所以8c c 2，解得0c821.【命题立意】此题主要考察导数的观点、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力 .考察分精选文档类议论思想、数形联合思想和等价变换思想.【思路点拨】(1)依据导数的几何意义求出曲线y f(x)在点(2,f(2))处的切线的斜率；（2）直接利用函数与导数的关系议论函数的单一性,同时应注意分类标准的选择.【规范解答】（1）当a1时，f(x)lnxx 2(0,x2x2 1,x),所以fx2x x所以，f21,即曲线yf(x)在点（2，f(2))处的切线斜率为1，.又f(2)ln22,所以曲线y f(x)在点（2，f(2))处的切线方程为y(ln22)x2,即x y ln20.（2）因为f(x)1a,所以f'(x)1a1ax2x1alnxax1x a2x2x(0,),x x令g(x)ax2x1a,x(0,),（1）（2）当a0时，g(x)x1,x0,,所以当x0,1时，g x>0，此时f x0，函数f x单一递减；当x1,时，gx<0，此时fx0，函数f x单一递加.（3）当a0时，由f x0，即ax2x1a0，解得x11,x211.a①当a 1x2，gx0恒建立，此时fx0，函数f x在（0，+∞）上单一递减;时，x12②当0a110，时，112ax0,1时，gx0,此时f x0,函数f x单一递减x1,11时，gx<0,此时fx0,函数fx单一递加ax11,时，g x0，此时f x0，函数fx单一递减a③当a0时，因为110,ax0,1时，g x0,此时f x0,函数f x单一递减：x1,时，g x<0,此时f x0,函数f x单一递加.综上所述：当a0时，函数f x在0,1上单一递减;函数f x在1,上单一递加当a1时,函数f x在0,上单一递减2当0a1时，函数f x在0,1上单一递减；函数fx在1,11上单一递加；2a函数f x在11,上单一递减.a【方法技巧】1、分类议论的原由某些观点、性质、法例、公式分类定义或分类给出；(2)数的运算：如除法运算中除式不为零，在实数集内偶次方根的被开方数为非负数，对数中真数与底数的要求，不等式两边同乘以一个正数仍是负数等；含参数的函数、方程、不等式等问题，由参数值的不一样而致使结果发生改变；在研究几何问题时，因为图形的变化(图形地点不确立或形状不确立)，惹起问题的结果有多种可能.2、分类议论的原则要有明确的分类标准；对议论对象分类时要不重复、不遗漏；精选文档精选文档(3)当议论的对象不只一种时，应分层次进行. 3、分类议论的一般步骤明确议论对象，确立对象的范围；确立一致的分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；(1)逐段逐类议论，获取阶段性结果；(2)概括总结，得出结论.精选文档。

高中数学电子题库第四章§2 导数在实际问题中的应用2.2 北师大版选修11

1.函数f (x )＝x 3－3x (|x |＜1)，则f (x )( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，也无最小值 D ．无最大值，但有最小值解析：选C.f ′(x )＝3x 2－3，∵x 2＜1，∴x 2－1＜0，即f ′(x )＜0恒成立．∴f (x )在(－1，1)内为减函数．∴无最大值，也无最小值．2.(2012·南阳质检)已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件解析：选C.因为y ′＝－x 2＋81，所以当x ＞9时，y ′＜0；当x ∈(0，9)时，y ′＞0，所以函数y ＝－13x 3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以x ＝9是函数的极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x ＝9处取得最大值．3.某箱子的容积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫60－x 2(0＜x ＜60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为________．解析：V (x )＝30x 2－12x 3，∴V ′(x )＝60x －32x 2＝－32x (x －40)．∵x ∈(0，40)时，V ′(x )＞0，x ∈(40，60)时，V ′(x )＜0，∴x ＝40时，V (x )有极大值也是最大值．答案：404.(2012·淮北检测)函数f (x )＝2x 3－6x 2＋a (a 为常数)在[－2，2]上的最大值为5，那么此函数在[－2，2]上的最小值为________．解析：f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)．由f ′(x )＝0得x ＝0或2.∵f (0)＝a ，f (2)＝a －8，f (－2)＝a －40.∴a ＝5. 此函数[－2，2]上的最小值是5－40＝－35. 答案：－35[A 级基础达标]1.函数f (x )＝1x ＋1＋x (x ∈[1，3])的值域为( ) A ．(－∞，1)∪(1＋∞)B ．[32，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，134D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，134 解析：选D.f ′(x )＝－1（x ＋1）2＋1＝x 2＋2x（x ＋1）2，又x ∈[1，3]，所以f ′(x )＞0在[1，3]上恒成立，即函数在[1，3]上单调递增，所以函数的最大值是f (3)＝134，最小值是f (1)＝32，故选D. 2.(2012·汉中检测)已知函数f (x )的图像过点(0，－5)，它的导数f ′(x )＝4x 3－4x ，则当f (x )取得极大值－5时，x 的值应为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：选B.∵f ′(x )＝4x 3－4x ，∴f (x )＝x 4－2x 2＋c .∵f (x )过点(0，－5)，∴f (x )＝x 4－2x 2－5.又f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝±1，且－1＜x ＜0或x ＞1时， f ′(x )＞0；0＜x ＜1时，f ′(x )＜0. ∴x ＝0时取得极大值－5.3.当函数f (x )＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上取得最大值时，x ＝( )A ．0 B.π6 C.π3 D.π2解析：选B.f ′(x )＝1＋2(－sin x )，令f ′(x )＝0，解得sin x ＝12.∵0≤x ≤π2，∴x＝π6.当0≤x ＜π6时，f ′(x )＞0，函数是增加的；当π6＜x ≤π2时，f ′(x )＜0，函数是减少的，∴当x ＝π6时，函数取得极大值，也是最大值．4.函数y ＝ln xx的最大值为________．解析：函数的定义域为(0，＋∞)，y ′＝（ln x ）′x －ln x ·x ′x 2＝1－ln x x2，令y ′＝0，得x ＝e ，当x ＞e 时，y ′＜0；当0＜x ＜e 时，y ′＞0，所以x ＝e 是函数的极大值点，也是最大值点，故y max ＝ln e e ＝1e.答案：1e5.(2012·商洛测试)用总长为14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器的底面的一边比高长0.5 m ，则当高为______米时，容器的容积最大．解析：由题意直接列出函数表达式，再用导数求最值，设高为x 米，则V ＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )， V ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6＝0，解15x 2－11x －4＝0，得x ＝1，x ＝－415(舍去)．答案：16.在经济学中，生产x 单位产品的成本称为成本函数，记为C (x )；出售x 单位产品的收益称为收益函数，记为R (x )；R (x )－C (x )称为利润函数，记为P (x )．(1)设C (x )＝10－6x 3－0.003x 2＋5x ＋1000，生产多少单位产品时，边际成本C ′(x )最低？(2)设C (x )＝50x ＋10000，产品的单价p ＝100－0.01x ，怎样定价可使利润最大？解：(1)C ′(x )＝3×10－6x 2－0.006x ＋5，记g (x )＝C ′(x )．由g ′(x )＝6×10－6x －0.006＝0，解得x ＝1000.结合C ′(x )的图像可知，当x ＝1000时，边际成本最低． ∴生产1000单位产品时，边际成本最低．(2)由p ＝100－0.01x ，得收益函数R (x )＝x (100－0.01x )，则利润函数P (x )＝R (x )－C (x )＝100x －0.01x 2－(50x ＋10000)＝－0.01x 2＋50x －10000.由P ′(x )＝－0.02x ＋50＝0，解得x ＝2500.结合P (x )的图像可知，当x ＝2500时，利润最大，此时p ＝100－0.01×2500＝75. ∴当产品的单价为75时，利润最大．[B 级能力提升]7.(2012·西安质检)设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为( )A.3VB.32VC.34VD ．23V解析：选C.设直棱柱的底面边长为a ，高为h . 则34a 2·h ＝V ，∴h ＝4V 3a2. 则表面积S (a )＝3ah ＋32a 2＝43V a ＋32a 2.S ′(a )＝－43Va2＋3a .令S ′(a )＝0，得a ＝34V .当0＜a ＜34V 时S ′(a )＜0，当a ＞34V 时，S ′(a )＞0.当a ＝34V 时，S (a )最小．8.(2011·高考湖南卷)设直线x ＝t 与函数f (t )＝x 2，g (x )＝ln x 的图像分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52 D.22解析：选D.|MN |的最小值，即函数h (x )＝x 2－ln x 的最小值，h ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x，显然x ＝22是函数h (x )在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t ＝22. 9.(2012·淮北检测)已知函数f (x )＝x ln x ．若对于任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 不等式2f (x )≤－x 2＋ax －3恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意知，2x ln x ≤－x 2＋ax －3，则a ≥2ln x ＋x ＋3x .设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x(x＞0)，则h ′(x )＝2x ＋1－3x 2＝（x ＋3）（x －1）x 2.当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1时，h ′(x )＜0，h (x )单调递减；当x ∈(1，e]时，h ′(x )＞0，h (x )单调递增．由h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－2＋1e ＋3e ，h (e)＝2＋e ＋3e ，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －h (e)＝2e －2e－4＞0，可得h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＞h (e)．所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 时，h (x )的最大值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e＝－2＋1e ＋3e.故a ≥－2＋1e＋3e.答案：a ≥－2＋1e＋3e10.(2011·高考北京卷)已知函数f (x )＝(x －k )e x . (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0，1]上的最小值．解：(1)f ′(x )＝(x －k ＋1)e x. 令f ′(x )＝0，得x ＝k －1.f (x )与f ′(x )的变化情况如下：所以，f (x )的单调递减区间是(－∞，k －1)；单调递增区间是(k －1，＋∞)． (2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (0)＝－k ；当0＜k －1＜1，即1＜k ＜2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1，1]上单调递增，所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1；当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0，1]上单调递减，所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.11.(创新题)某工厂统计资料显又知道每一件正品盈利a 元，每生产一件次品损失a2(a ＞0)元．(1)将该厂日盈利额表示成日产量x 件的函数；(2)为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？(3≈1.7)解：(1)由b 与x 的对应规律得次品率为b ＝2100－x (x ∈N ，1≤x ≤89)．故日产量x 件中，次品数为bx 件，正品数为(x －bx )件，则日盈利额为T ＝a (x －bx )－a 2bx ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3x 100－x (x ∈N ，且1≤x ≤89)．(2)T ′＝a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－3（100－x ）＋3x （100－x ）2＝a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－300（100－x ）2. 令T ′＝0，则100－x ＝103，x ＝100－103，当1≤x ≤100－103时，T ′＞0，函数递增，当100－103＜x ≤89时，T ′＜0.函数递减．所以当x ＝100－103≈83时，T 取最大值．因此，要获得最大盈利，该厂的日产量应定为83件．。

高中数学电子题库第四章§2 导数在实际问题中的应用2.1 北师大版选修11

1.(2012·南阳测试)某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2 s 内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s (t )＝－13t 3－4t 2＋20t ＋15，则s ′(1)的实际意义为( )A ．汽车刹车后1 s 内的位移B ．汽车刹车后1 s 内的平均速度C ．汽车刹车后1 s 时的瞬时速度D ．汽车刹车后1 s 时的位移解析：选C.由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度． 2.(2012·驻马店质检)某旅游者爬山的高度h (单位：m)是时间t (单位：h)的函数，关系式是h ＝－100t 2＋800t ，则他在2 h 这一时刻的高度变化的速度是( )A ．500 m/hB ．1000 m/hC ．400 m/hD ．1200 m/h解析：选C.∵h ′＝－200t ＋800，∴当t ＝2 h 时，h ′(2)＝－200×2＋800＝400(m/h)．3.物体的运动方程是s (t )＝4t －0.3t 2，则从t ＝2到t ＝4的平均速度是________．解析：由题意可得，Δt ＝4－2＝2，Δs ＝(4×4－0.3×42)－(4×2－0.3×22)＝11.2－6.8＝4.4，∴平均速度为Δs Δt ＝4.42＝2.2.答案：2.24.若某段导体通过的电量Q (单位：C)与时间t (单位：s)的函数关系为Q ＝f (t )＝120t 2＋t －80，t ∈[0，30]，则f ′(15)＝________，它的实际意义是____________________．解析：Q ′＝f ′(t )＝110t ＋1，令t ＝15，则f ′(15)＝52 (C/s)，这表示t ＝15 s 时的电流强度，即单位时间内通过的电量．答案：52 C/s t ＝15 s 时的电流强度为52C/s[A 级基础达标]1.圆的面积S 是半径r 的函数，S ＝πr 2，那么在r ＝3这一时刻面积的变化率是( ) A ．6 B ．9 C ．9π D ．6π解析：选D.S ′＝2πr ，∴S ′(3)＝6π.2.(2012·宝鸡检测)自由落体的运动公式是s ＝12gt 2(g 为重力加速度)，则物体在下落3s 到4 s 之间的平均变化率是(取g ＝10 m/s 2)( )A ．30B ．32C ．35D ．40解析：选C.v ＝Δs Δt ＝12g ×42－12g ×324－3＝72g ＝35.3.某公司的盈利y (元)和时间x (天)的函数关系是y ＝f (x )，假设f ′(x )＞0恒成立，且f ′(10)＝10，f ′(20)＝1，则这些数据说明第20天与第10天比较( )A ．公司已经亏损B ．公司的盈利在增加，增加的幅度变大C ．公司在亏损且亏损幅度变小D ．公司的盈利在增加，但增加的幅度变小解析：选D.导数为正说明盈利是增加的，导数变小说明增加的幅度变小了，但还是增加的．4.人体血液中药物的质量浓度c ＝f (t )(单位：mg/mL)随时间t (单位：min)变化，若f ′(2)＝0.3，则f ′(2)表示________________________________________________________________________________________________________________________________________________. 答案：服药2 min 时血液中药物的质量浓度以每分钟0.3 mg/mL 的速度增加5.(2012·西安调研)一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝3t 2＋t ，则速度v ＝10时的时刻t ＝________．解析：s ′＝6t ＋1，则v (t )＝6t ＋1，令6t ＋1＝10，则t ＝32.答案：326.氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体．如果最初有500克氡气，那么t天后，氡气的剩余量为A (t )＝500×0.834t.(1)氡气的散发速度是多少？(2)A ′(7)的值是什么(精确到0.1)？它表示什么意义？解：(1)A ′(t )＝500×0.834t×ln 0.834.(2)A ′(7)＝500×0.8347×ln 0.834≈－25.5，它表示7天时氡气散发的瞬时速度．[B 级能力提升]7.(2012·宜春调研)细杆AB 的长为20 cm ，M 为细杆AB 上的一点，AM 段的质量与A 到M 的距离的平方成正比，当AM ＝2 cm 时，AM 的质量为8 g ，那么当AM ＝x cm 时，M 处的细杆线密度ρ(x )为( )A ．2xB ．3xC ．4xD ．5x解析：选C.当AM ＝x cm 时，设AM 的质量为f (x )＝kx 2，因为f (2)＝8，所以k ＝2，即f (x )＝2x 2，故细杆线密度ρ(x )＝f ′(x )＝4x ，故选C.8.某人拉动一个物体前进，他所做的功W 是时间t 的函数W ＝W (t )，则W ′(t 0)表示( ) A ．t ＝t 0时做的功 B ．t ＝t 0时的速度 C ．t ＝t 0时的位移 D ．t ＝t 0时的功率答案：D9.(2012·西安测试)酒杯的形状为倒立的圆锥(如图)，杯深8 cm ，上口宽6 cm ，水以20 cm 3/s 的流量倒入杯中，当水深为4 cm 时，水升高的瞬时变化率为________．解析：设水深为h 时，水面半径为r ，则h 8＝r 3，∴r ＝38h ，经过t s 后，水的体积为20t ，则20t ＝13π(38h )2·h ，即h (t )＝ 320×643πt ，∴h ′(t )＝13 320×643πt －23.又h ＝4时，r ＝32，V ＝3π，∴t ＝3π20，h ′(320π)＝809π.答案：809πcm/s10.将1 kg 铁从0 ℃加热到t ℃需要的热量Q (单位：J)：Q (t )＝0.000297t 2＋0.4409t . (1)当t 从10变到20时函数值Q 关于t 的平均变化率是多少？它的实际意义是什么？ (2)求Q ′(100)，并解释它的实际意义．解：(1)当t 从10变到20时，函数值Q 关于t 的平均变化率为Q （20）－Q （10）20－10≈0.4498，它表示在铁块的温度从10 ℃增加到20 ℃的过程中，平均每增加1 ℃，需要吸收热量约为0.4498 J.(2)Q ′(t )＝0.000594t ＋0.4409，则Q ′(100)＝0.5003，它表示在铁块的温度为100 ℃这一时刻每增加1 ℃，需要吸收热量0.5003 J.11.某食品厂生产某种食品的总成本C (单位：元)和总收入R (单位：元)都是日产量x (单位：kg)的函数，分别为C (x )＝100＋2x ＋0.02x 2，R (x )＝7x ＋0.01x 2，试求边际利润函数以及当日产量分别为200 kg ，250 kg ，300 kg 时的边际利润，并说明其经济意义．解：(1)根据定义知，总利润函数为L (x )＝R (x )－C (x )＝5x －100－0.01x 2，所以边际利润函数为L ′(x )＝5－0.02x .(2)当日产量分别为200 kg ，250 kg ，300 kg 时，边际利润分别为L ′(200)＝1(元)，L′(250)＝0(元)，L′(300)＝－1(元)．其经济意义是：当日产量为200 kg时，再增加1 kg，则总利润可增加1元；当日产量为250 kg时，再增加1 kg，则总利润无增加；当日产量为300 kg时，再增加1 kg，则总利润反而减少1元．由此可得到：当企业的某一产品的生产量超过了边际利润的零点时，反而会使企业“无利可图”．。