浅谈条件概率

目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key Words (1)引言 (1)1.条件概率的定义及意义 (1)1.1条件概率的定义 (1)1.2几何直观意义 (1)1.3 概率直观意义 (2)2.条件概率的性质及算法 (2)2.1 条件概率的性质 (2)2.2条件概率的算法 (3)3.条件概率系列公式的关系探讨 (4)3.1乘法公式 (4)3.2全概率公式 (4)3.3贝叶斯公式 (5)3.4 系列公式使用的技巧 (5)3.5例题解析 (6)4.结束语 (9)参考文献 (10)浅谈条件概率学生姓名：李青烨 学号：20090401057 数学与计算机科学系 数学与应用数学 指导老师：王瑞瑞 职称：讲师摘 要：条件概率是“概率论与数理统计”课程的重要知识之一，文章从条件概率的定义及意义、性质及算法和条件概率系列公式的联系，以及公式使用的规则和技巧，这三方面来分析、探讨条件概率．关键词：条件概率;乘法公式;全概率公式;贝叶斯公式Abstract : Conditional probability is one of the important knowledge of the probability theory and mathematical statistics course, This article analyses and discusses conditional probability from meaning of conditional probability , quality, algorithm , the connection of serial formulas of conditional probability and some rules and skills about the using of these formulas.Key Words : Conditional probability ；Multiply formula ；Probability formula ； Bayesian formula引言概率论与数理统计是研究随机现象的数量规律性的学科，而条件概率又是概率论与数理统计一个重要知识点．本文从条件概率的定义及意义、性质及算法和条件概率系列公式的联系，乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式使用的规则和技巧，这三方面来分析、探讨条件概率．1.条件概率的定义及意义1.1条件概率的定义若),,(P F Ω是一个概率空间，F B ∈，且0)(>B P 则对任意的F A ∈，称(|)P A B)()(B P AB P =为已知事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率． 条件概率的意义，可以从以下二个方面来阐述. 1.2几何直观意义我们可以用单位正方形来表示样本空间Ω,用正方形内任一封闭曲线围成的图形表示事件，而把图形的面积理解为相应事件的概率．设Ω⊆Ω⊆B A , (见图1）事件A 的无条件概率(或称为绝对概率)为)|()(Ω=A P A P .(注意1)(=ΩP )．几何直观上，相当于A 在空间Ω中所占的比例.图1 条件概率的维恩图对于条件概率)()()|(B P AB P B A P =，实际上是仅局限于B 事件这个范围来考察A 事件发生的概率，几何直观上，相当于A 在B 内的那部分AB 在B 中所占的比例． 1.3 概率直观意义条件概率)|(B A P 与无条件概率)(B P 亦可解释为后验概率，)(B P 可解释为试验前人们根据以往积累的资料和经验，对事件B 发生的(绝对)可能性大小的认识．而现在经过试验，我们获得了A 事件已发生的这个新信息．那么，这个新的信息将要求我们并且有助于我们重新审视或估价事件B 发生的可能性大小的重新认识，故可解释为后验概率．2.条件概率的性质及算法2.1 条件概率的性质如果0)(>A P ，条件概率具有如下性质： (1) 对任意事件B ，有 0)|(≥A B P ；(2) 1)|(=ΩA P ,(|)0P A ∅=；(3) 对任意可列个两两互不相容事件 ,,,,21n A A A 有()∑∑∞=∞==11|)|(i i i i A A P A A P ；(4) 对于一般的事件1A 与2A ，有);|()|()|()|(212121A A A P A A P A A P A A A P -+=(5) ;1)|()|(=+A B P A B P(6) 当A B ⊂ 时，有)()()|(A P B P A B P = ；当A B ⊃时，有.1)|(=A B P2.2条件概率的算法条件概率的计算通常有两种方法：一种是利用条件概率公式 )()()|(A P BA P A B P =在原样本空间Ω中计算；二种是根据直观在缩小的样本空间中直接计算，即就是在 附加条件 “事件A 已经发生”的情况下，直接计算事件B 发生的概率即可得)|(A B P . 例１ 掷二颗骰子,已知二颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率．【分析】 容易判断这是一个条件概率，下面用两种方法计算，一种是按条件概率公式在原样本空间中计算，一种是在缩小的样本空间中计算.法一 设A ={二颗骰子点数之和为7}，B ={二颗中有一颗为1点}，于是所求 概率为,)()()|(A P BA P A B P =由于样本空间}6,2,1,),,{( ==Ωj i j i 中基本事件总数为36，)},1,6(),6,1{(=AB )},1,6(),2,5(),3,4(),4,3(),5,2(),6,1{(=A 故由古典概率公式,61366)(,181362)(====A P AB P 所以)|(A B P ,3161181==法二 将两颗骰子点数之和为7的所有可能情况，即事件A 作为样本空间，此 时基本事件总数为6；有利事件数，即在A 中有一个为1点的情况共有2种，故)|(A B P ,3162==3.条件概率系列公式的关系探讨条件概率系列公式即条件概率、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式．这四个公式是以条件概率公式为起点，以乘法公式和全概率公式为媒介，以贝叶斯公式为终点的一组关联公式，是沿着一条路子走下来的，是一棵藤上开着的四朵美丽的花． 3.1乘法公式设),,(P F Ω是一个概率空间，F B A ∈,由条件概率公式 )()()|(A P AB P A B P =知 (1) 当)|()()(,0)(A B P A P AB P A P =>, (2) 当)|()()(,0)(B A P B P AB P B P =>. (3) 概率乘法公式可以推广到多个事件的情形:如果,0)(121>-n A A A P F A A n ∈,,1 ,2≥n 则有)|()|()|()()(12121312121-=n n n A A A A P A A A P A A P A P A A A P . 概率论的重要研究课题之一是希望从已知的简单事件的概率推算出未知的复杂事件的概率．为达到这个目的，经常把一个复杂事件分解为若干个互不相容的简单事件之和，再通过分别计算这些简单事件的概率．最后，利用概率的可加性得到最终结果．这里，全概率公式起着重要作用． 3.2全概率公式全概率公式是指若n A A A ,,,21 为一完备事件组,()0i P A > ),,2,1( =i 则对于任意事件B ,有)|()()(1i ni i A B P A P B P ∑==，全概率公式的直观意义是:某事件B 的发生有各种可能的原因i A ),,2,1( =i 并且这些原因两两不能同时发生,如果B 是由原因i A 所引起的,若B 发生时,i BA 必同时发生,因而()P B 与()i P BA ),2,1( =i 有关,且等于其总和11()()(|)n ni i i i i P BA P A P B A ===∑∑,全概率的全就是总和的含义,当然这个总和要能求出来,需已知概率()i P BA 或已知各原因i A 发生的概率()i P A 及在i A 发生的条件下B 的条件概率(|)i P B A ),,2,1( =i 通俗地说,事件B 发生的可能性,就是其原因i A 发生的可能性与在i A 发生的条件下事件B 发生的可能性的乘积之和. 3.3贝叶斯公式贝叶斯公式是指若n A A A ,,,21 为一完备事件组,且()0i P A > ( ,2,1=i ),则对任何概率非零的事件B ,有1()(|)()(|)(|)()()(|)i i i i i njjj P A P B A P A P B A P A B P B P A P B A ===∑.在理论研究和实际中还会遇到一类问题,这就是需要根据试验发生的结果找原因,看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用,解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式.贝叶斯公式的意义是导致事件B 发生的各种原因可能性的大小,称之为后验概率. 3.4 系列公式使用的技巧条件概率公式作为这组系列公式的头一个．还是较好理解和掌握的，一般从题目当中能判断出要求的目标是事件是否具有附加条件，从而选择正确的公式． 是否使用乘法公式，判断起来也较容易，但是具体使用时，存在公式(2)与公式(3)的选择问题．其实，用乘法公式计算)(AB P 时，哪一个事件先发生，就选择以那个事件为条件的公式，如事件A 先发生，就选择公式(2)，计算)(AB P ．应用全概率公式的关键是建立样本空间的正确划分(即构造一个正确的完备事件组)，然后计算各个概率和条件概率．最后代入全概率公式．全概率公式是求复杂事件概率的有利工具．贝叶斯公式往往与全概率公式同时使用，全概率公式一般用于“由因求果”问题，而贝叶斯公式一般用于 “执果寻因”问题，在使用时要分清是什么问题，确定应用哪个公式．3.5例题解析例 2 一袋中有r 只红球，t 只白球，每次从袋中任取一只球，观察后放回并且放入a 只同色球．若在袋中连续取球四次，求第一，二次取到红球且第三,四次取到白球的概率．解：以)4,3,2,1(=i A i 表示第i 次取到红球事件，则所求事件的概率为：)(4321A A A A P =t r r + a t r a r +++ a t r t 2++ a t r a t 3+++ =.)3)(2)()(()()(a t r a t r a t r t r a t t a r r +++++++++例3 设一人群中有37.5％的人血型A 为型，20.9％的人为B 型，33.7％的人为O 型，7.9％的人为AB 型，已知能允许输血的血型配对如表1，现在在人群中任选一人为输血者，再选一个为受血者，问输血能成功的概率是多少？ 表1 输血者 受血者A BAB OA√ × × √ B× √ × √ AB√ √ √ √ O×××√( 其中√表示允许输血，×表示不允许输血.)【分析】 实验过程可分成两个阶段进行，第一阶段是选择输血者，其结果共有四种情况，但具体出现哪一个未知；第二阶段是选择受血者，其结果共有两个:发生的概率，故用全概率公式.解：设)4,3,2,1(=i B i 表示“从人群中任选一人，其血型分别为AB B A ,,和O 型” ，S 表示“受血者输血成功” ，由已知条件知%,9.20)(%,5.37)(21==B P B P%,7.33)(%,9.7)(43==B P B P另外，由血型配对表知，若输血者血型为A 型，则受血者可以是A 型或AB 型,于是成功的概率为 %,4.45)()()|(311=+=B P B P B S P类似可得%,8.28)()()|(322=+=B P B P B S P%,9.7)()|(33==B P B S P.1%100)()|(414===∑=i i B P B S P由全概率公式得.5737.0)|()()(41==∑=i i i B S P B P S P例4 设在n 张彩票中有k 张奖券，求第三个人摸到奖券的概率是多少？解: 设i A 表示事件“第i 人摸到奖券”，n i ,,2,1 =，现在目的是求)(3A P ,因为k 不确定所以用数学归纳法.又因1A 与1A 是两个概率大于0 的事件：,1=k,1)(,1)(11nn A P n A P -==,11)|(,0)|(1212-==n A A P A A P由全概率公式得)|()()|()()(1211212A A P A P A A P A P A P +=11101-⋅-+⋅=n n n n ,1n =)|()()|()()|()()(213212321313A A A P A A P A A P A P A A P A P A P ++=2112100-⋅--⋅-++=n n n n n.1n = 用类似的方法可得.1)(...)(4nA P A P n=== ,2=k ,2)(,2)(11nn A P n A P -==)|()()|()()(1211212A A P A P A A P A P A P +=122112-⋅-+-⋅=n n n n n ,2n =+++=)|()()|()()|()()(2132121321213213A A A P A A P A A A P A A P A A A P A A P A P)|()(21321A A A P A A P1322221122122210--⋅-⋅-+-⋅-⋅-+--⋅⋅-+=n n n n n n n n n n n n n.2n = 用类似的方法可得 .2)()(4n A P A P n ===有归纳法得当有)(n k ≤张奖券，则可得.)()()(21n kA P A P A P n ==== 这说明购买彩票时，不论先买后买，中彩机会是均等的.例5 用某种试剂检查食品的卫生情况，记事件B 为 “被检查的食品不卫生”，事件A 为“试验呈阳性”，由经验知：A P (|99.0)=B ,P (A |B )=0.95；而已知04.0)(=B P ．现检查出一批食品的结果呈阳性．求这些食品确实不卫生的概率．解： 这是一个执果寻因问题，已知试验结果呈阳性，可能是确实不卫生也可是试验有误．由贝叶斯公式，得)|(A B P =)()(A P AB P = )|()()|()()|()(B A P B P B A P B P B A P B P + =.452.005.096.099.004.099.004.0=⨯+⨯⨯本题说明，虽然概率)|(B A P 与P (A |B )都较高，但以此来确定食品不卫生仍然是不够正确的．4.结束语概率论与数理统计是研究随机现象的数量规律性的学科，条件概率是概率论中一个既重要又实用的概念，本文主要介绍了条件概率的意义、性质，算法和条件概率系列公式，探讨了乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式三者之间的关系、使用的规则和技巧.全概率公式提供了计算复杂事件概率的一条有效途径，使一个复杂事件的概率计算问题化繁为简，在乘法公式和全概率公式的基础上得出了贝叶斯公式，为解决实际问题提供了方法，使我可以在遇到很多概率问题时熟练的应用和使用全概率公式和贝叶斯公式，这体现了全概率公式和贝叶斯公式在应用和实践中的重要的作用.参考文献[1] 魏宗舒等编．概率论与数理统计教程[M]．北京：高等教育出版社，1983．[2] 复旦大学编．概率论[M]．北京：人民教育出版，1979．[3] 复旦大学教研室.概率论[M].北京:高等教育出版社,1979.[4] 孙清华赵德修．新编概率论与数理统计题解[M]．武汉：华中科技大学出版社，2000．[5] 濮晓龙等编.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，2004.[6] 来向荣程维虎编.简明概率论教程[M].北京：北京工业大学出版社，2001．[7] 曹显兵编．概率论与数理统计学习指导[M]．北京：世界图书出版公司，2003．[8] 缪铨生.概率与数理统计[M].上海: 华东师范大学出版社,1997.[9] 章昕.概率统计辅导[M].北京:机械工业出版社,2002.10。