高一数学对数与对数函数

单调递减，选C.
1.对数
(1)一般的，如果ax=N(a>0且a≠１)，那么 数x叫做① 以a为底N的对数 ，记作 ② x=logaN ,其中a叫做对数的③底数 ,N 叫做④ 真数 .
(2)以10为底的对数叫做⑤ 常用对数 ,记 作⑥ lgN .
(3)以e为底的对数叫做⑦ 自然对数 ,记作 ⑧ lnN .
由已知得,a0+loga1+a1+loga2=a
loga2=-1
a=
1 2
.
5.已知f(x)=|log3x|，则下列不等式成 立的是( C)
A.f( 1 )>f(2)
2
C.f( 1 )>f(1 )
43
B.f( 1 )>f(3)
3
D.f(2)>f(3)
作 函 数 f(x)=|log3x| 的 图象，可知f(x)在（0，1）上
·2007·
新疆 王新敞
奎屯
2.把原函数作变量代换化归为二次函数，然 后用配方法求指定区间上的最值是指数函 数与对数函数的常见题型.
3.解含对数的函数问题时要首先考虑定 义域，去掉对数符号要注意其限制条 件，注意在等价转化的原则下化简、 求解，对含参数问题注意分类讨论.
课后再做好复习巩固. 谢谢！
再见！
王新敞 特级教师 源头学子小屋 wxckt@ 新疆奎屯
-
1 )<0,
x2 1
x2 1 x1 1 1
故k的取值范围为( 10 ,1).
题型三 指数、对数函数的综合问题
例3设f(x)=log 1 1 ax为奇函数，a为常数.来自2（1）求a的值；
x
1
（2）求证：f(x)在(1,+∞)内单调递增；
（3）若对于[3,4]上的每一个x的值，不等 式f(x)>( 1 )x+m恒成立，求实数m的取值 范围. 2
(1)因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x)
log 1 2
1 ax
1 x
=
ax
1
1
=-log ax >0
1 ax
1
2 x 1
x 1 x 1
1-a2x2=1-x2 a±1.
经检验，a=-1（a=1舍去）.
（2）定义法.
任取x1>x2>1，所以x1-1>x2-1>0， 所fl以(oxg0)在<12 xx（11x121111>，l<o+gx∞2122)上1xx22单11 调,xx即11 递11f(<增x1.)xx>22 f(11x2)，所以
20 增函数.
21 减函数 .
5.反函数
指数函数y=ax(a>0且a≠１)与对数函数 y=logax(a>0且a≠１)互为 22 反函,它数们 的图象关于直线 23 y=对x 称，指数 函 数 y=ax(a>0 且 a≠ １ ) 的 定 义 域 为 {x|x∈R} ， 值 域 为 {y|y>0}, 对 数 函 数 y=logax(a>0 且 a≠ １ ) 的 定 义 域 为 {x|x>0}，值域为{y|y∈R}.
A.2 B.1 C.12 D.loga2
由f(x)=logax知f(x12)-f(x22)=2[f(x1)-f(x2)]=2.
3.函数y=log 1(x2-2x)的定义域是 (-∞,0)∪(2,+2∞) ,单调递减区间
是(2,+∞) .
4.函数f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上1的最大 值和最小值之和为a,则a的值是 2 .
典例精讲
题型一 指数、对数函数的运算问题
例1 指数、对数函数的运算问题
(1)设函数f(x)=
( 1 )x (x≥4)
2
1
f(x+1)
(2)设3a=4b=36,则b1
+2
a
(x<4),则f(log23)= =1 .
24 ;
（1）因为log23<2，
所以f(log23)=f(1+log23)=f(2+log23)=
所以
kx 1 x 1
>0，即k>
1 10
.
又f(x)=lg
kx 1 x 1
k
=lg(k+x
1 1
),
对任意的x1、x2,当10≤x1<x2时,有f(x1)<f(x2),
即lg(k+
得 k 1
x1 1
又因为
x<k11x1k12>)1<1 l1,g即(k(,+所k-xk12以)1(1k)x<1,11.1
题型二 对数函数的性质问题
例2 已知函数f(x)=lg kx 1 (k∈R且
k>0)，若函数f(x)在［1x0,1+∞)上单调 递增，求k的取值范围.
分析这是一道含参数的对数结构的复
合函数问题，根据函数f(x)的增减性， 分析出真数的范围，转化为对数函数的 大小比较问题.
因为函数f(x)在［10,+∞)上单调递增,
(4)负数和零没有对数;loga1=⑨ 0 , logaa=⑩ 1 . 2.对数的运算性质
(1)如果a>0且a≠１,M>0,N>0,那么
①loga(MM·N)= ②loga N = 12 ③logaMn= 13
11 logaM+logaN
logaM-logaN ; nlogaM .
;
(2)对数的换底公式及恒等式
第6讲
对数与对数函数
理解对数的概念及其运算性质； 了解对数换底公式，能将一般对数 转化成自然对数或常用对数；了解 对数的概念；理解对数函数的性质， 会画指数函数的图象；了解指数函 数与对数函数互为反函数.
1.log2sin12
+log2cos
12
的值为(
D
)
A.-4 B.4 C.2 D.-2
2.函数f(x)=logax(a>0,a≠1),若f(x1)-f(x2)=1,则 f(x12)-f(x22)等于( A )
①logab=
logc b logc a
(a>0且a≠１,c>0
且c≠１,b>0);
②alogaN=N(a>0且a≠１)； ③ 3.对lo数gan函bm数=mn logab(a>0且a≠１,m、n∈N*).
一般的,我们把函数 14 y=logax (a>0且a≠１)叫做
对数函数,其中x是自变量，函数的定义域 为 15 (0,+∞) .
4.对数函数的图象与性质 a>1
图象
0<a<1
定义域 值域
{x|x>0} {y|y∈R}
当x=1时，y=0,即过定点(1,0)
当x>1时, 16 y>0; 当x>1时, 18 y<0 ;
性 当0<x<1时, 17 y<0. 当0<x<1时, 19 y>0 .
质 在(0，+∞)上是
在(0，+∞)上是
（3）对于[3,4]上的每一个x的值，不等式
f(x)>( 1 )x+m
2 令g(x)=f(x)-(
1
)x，
2
f(x)-( 1)x>m恒成立. 2
由（2）知，g(x)在[3,4]上是单调递增函数，
所以m<g(3)=-
9 ,即m的取值范围是(-∞,-
9
).
8
8
方法提炼
1.比较两个对数的大小的基本方法是构造相 应的对数函数，若底数不相同时，可运用 换底公式化为同底数的对数，还要注意与0 比较或与１比较.
f(183×+lo13g=232)1=4(.12
)3+log23=(
1 2
)3·( 1
2
)log23=
（2）由3a=4b=36得a=log336,b=log436,再根据
换底公式得
1
1
所以a=la2o+g33b16==2lloogg336633+,lbo=gl3o6g4=43l6o=g36lo(3g326×44.)=1.