三个二次间关系(教师)

三个“二次”间的关系
一． 知识梳理
一．二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系
Δ＝b 2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
函数y ＝ax 2＋bx ＋c
(a >0)的图象
一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根
有两相异实根 x 1，x 2＝－b ±Δ
2a
有两相等实根 x 1＝x 2＝－b
2a
没有实根
一元二次 不等式解集
ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)
{x |x <x 1或x >x 2} (x 1＜x 2)
}2{a
b x x -
≠ R
ax 2＋bx +c <0(a >0)
{x |x 1<x <x 2}(x 1＜x 2)
φ φ
二．含参数的一元二次型的不等式：在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑： 1. 关于不等式类型的讨论：二次项系数a >0，a <0，a ＝0.
2. 关于不等式对应的方程根的讨论：二根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．
3. 关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x 1>x 2，x 1＝x 2，x 1<x 2. 三．不等式的恒成立，能成立，恰成立等问题 1. 恒成立问题
若不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f (x )min >A ； 若不等式f (x )<B 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f (x )max <B . 2. 能成立问题
若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )>A 成立，则等价于在区间D 上f (x )max >A ； 若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )<B 成立，则等价于在区间D 上f (x )min <B . 3. 恰成立问题
若不等式f (x )>A 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f (x )>A 的解集为D ； 若不等式f (x )<B 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f (x )<B 的解集为D . 四．二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根的分布
x
y
O x 1 x 2 x
y
O x 1＝x 2
x y
O
)
)
二．典例剖析
题型一 一元二次不等式的解法
【例1】1.（2013·重庆高考）关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a
＝( ) A. 52 B. 72 C. 154 D. 152
解: 法一：不等式x 2－2ax －8a 2
<0的解集为(x 1,x 2)，∴x 1，x 2是方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根．由韦达定理知⎩
⎪⎨⎪⎧
x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2，∴x 2－x 1＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4(－8a 2)＝15，又∵a >0，∴a ＝52，故选A. 解法二：由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，∵a >0，∴不等式x 2－2ax －8a 2<0的解集为(－2a,4a )，又∵不等式x 2－2ax －8a 2<0的解集为
k
k
k
(x 1，x 2)，∴x 1＝－2a ，x 2＝4a .∵x 2－x 1＝15，∴4a －(－2a )＝15，解得a ＝5
2
，故选A.
2.（2013·江西高考）下列选项中，使不等式x <1
x
<x 2成立的x 的取值范围是( )
A. (－∞,－1)
B. (－1,0)
C. (0,1)
D. (1,＋∞)
解析：当x >0时，原不等式可化为x 2<1<x 3，解得x ∈∅，当x <0时，原不等式可化为⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2>1，
x 3<1，解得x <－1，
选A.
【课堂练习1】(2012·江苏)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________.
解析 (1)由题意知f (x )＝x 2
＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a 24.∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24
.∴f (x )
＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22.又∵f (x )<c .∴⎝⎛⎭⎫x ＋a 22<c ，即－a 2－c <x <－a
2＋c . ∴⎩
⎨⎧
－a
2－c ＝m ， ①－a
2
＋c ＝m ＋6. ②②－①得2c ＝6，∴c ＝9.
题型二 含参数的一元二次不等式的解法
【例2】 1. 解不等式042
>++ax x
解：∵162
-=∆a ∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ；当4±=a 即Δ＝0时，解集为
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
≠∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，2
16
22---=a a x ，显然21x x >,
∴不等式的解集为⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或
2. 解不等式)0( 01)1(2
≠<++-a x a
a x
解：原不等式可化为：()0)1
(<--a
x a x ，令a a 1=，可得：1±=a
∴当1-<a 或10<<a 时，a a 1< ，故原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
<<a x a x 1|；
当1=a 或1-=a 时，a a 1=,可得其解集为φ；当01<<-a 或1>a 时, a a 1>,解集为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x 1|。

3. 解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0.
解 不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0，即(ax －1)(x －2)＜0.
(1)当a ＞0时，不等式可以化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －2)＜0.①若0＜a ＜12，则1
a
＞2，此时不等式的解集为⎝⎛⎭⎫2，1a ； ②若a ＝1
2
，则不等式为(x －2)2＜0，不等式的解集为∅；
③若a ＞12，则1
a
＜2，此时不等式的解集为⎝⎛⎭⎫1a ，2. (2)当a ＝0时，不等式即－x ＋2＜0，此时不等式的解集为(2，＋∞)．
(3)当a ＜0时，不等式可以化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －2)＞0.由于1
a
＜2，故不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，1a ∪(2，＋∞)． 综上所述，当a ＜0时，不等式的解集为⎝
⎛⎭⎫－∞，1
a ∪(2，＋∞)；当a ＝0时，不等式的解集为(2，＋∞)；
当0＜a ＜12时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫2，1a ；当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a ＞12
时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫1a ，2. 【课堂练习2】 已知常数a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2－2x ＋a <0.
解 上述不等式不一定为一元二次不等式，当a ＝0时为一元一次不等式，当a ≠0时为一元二次不等式，故应对a 进行讨论，然后分情况求解． (1)a ＝0时，解为x >0。

(2)a >0时，Δ＝4－4a 2.①当Δ>0，即0<a <1时，方程ax 2
－2x ＋a ＝0的两根为1±1－a 2
a
，∴不等式的解集
为{x |1－1－a 2a <x <1＋1－a 2
a
}．
②当Δ＝0，即a ＝1时，x ∈∅；③当Δ<0，即a >1时，x ∈∅.
(3)当a <0时，①Δ>0，即－1<a <0时，不等式的解集为{x |x <1＋1－a 2a 或x >1－1－a 2
a
}．
②Δ＝0，即a ＝－1时，不等式化为(x ＋1)2>0，∴解为x ∈R 且x ≠－1.③Δ<0，即a <－1时，x ∈R .
综上所述，当a ≥1时，原不等式的解集为∅；当0<a <1时，解集为{x |1－1－a 2a <x <1＋1－a 2
a
}；
当a ＝0时，解集为{x |x >0}；当－1<a <0时，解集为{x |x <1＋1－a 2a 或x >1－1－a 2
a
}；
当a ＝－1时，解集为{x |x ∈R 且x ≠－1}；当a <－1时，解集为{x |x ∈R }．
题型三 一元二次方程的根的分布
【例3】1. 如果方程012
=--+a x x 在∈x (0，1]上有解，求a 的取值范围.
2. 已知方程01322
=-+-k x x 在∈x ),0(+∞有两个实根，求实数k 的取值范围.
3. 已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a ，如果方程
f (x )=0在区间[－1,1]上有解，求实数a 的取值范
围．
解 当a ＝0时，f (x )＝2x －3，其零点x ＝3
2
不在区间[－1,1]上．
当a ≠0时，函数f (x )在区间[－1,1]分为两种情况：
①函数在区间[－1,1]上只有一个零点，此时⎩
⎪⎨
⎪⎧
Δ＝4－8a －3－a ≥0，
f －1f 1＝a －5a －1≤0，
或
⎩⎪⎨⎪⎧
Δ＝4－8a －3－a ＝0，－1≤－12a ≤1.
解得1≤a ≤5或a ＝－3＋72.
②函数在区间[－1,1]上有两个零点，此时⎩⎪⎨⎪⎧
a ＞0，
Δ＝8a 2
＋24a ＋4＞0，－1＜－1
2a ＜1，
f 1≥0，f －1≥0
或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＜0，
Δ＝8a 2
＋24a ＋4＞0，
－1＜－1
2a ＜1，
f 1≤0，f －1≤0，
【课堂练习3】1.（2015成都一诊）若关于x 的方程042
=-+ax x 在区间]4,2[上有实数根，则实数a 的
取值范围是（ ）
A.),3(+∞-
B.]0,3[-
C.),0(+∞
D.]3,0[ 【答案】B
2. 已知函数4()log (41) ()x f x kx k R =++∈是偶函数． (1)求实数k 的值；
(2)设4()log (2)x g x a a =+,若()f x =()g x 有且只有一个实数解,求实数a 的取值范围． 解： (1)由函数()f x 是偶函数可知:()()f x f x =-, ………1分
∴44log (41)log (41)x
x
kx kx -++=+- ，化简得441
log 241
x x kx -+=-+,
即2x kx =-对一切x R ∈恒成立,∴1
2
k =-. ………………………3分
(2)函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点,即方程441
log (41)log (2)2
x x x a a +-=⋅+有且只有一个实
根…………4分
化简得:方程1
222
x x x a a +=⋅+有且只有一个实根,且20x a a ⋅+>成立, 则0a >
令20x t =>,则2(1)10a t at -+-=有且只有一个正根…………………6分
设2()(1)1g t a t at =-+-,注意到(0)10g =-<,所以 ①当1a =时, 有1t =, 合题意;
②当01a <<时,()g t 图象开口向下,且(0)10g =-<,则需满足02(1)0a t a ⎧
=->⎪-⎨⎪∆=⎩对称轴
,此时有2+22a =-222a =--(舍去)③当1a >时,又(0)1g =-,方程恒有一个正根与一个负根.综上可知,a 的取值范围是
{2+22-}∪[1,＋∞)．…10分
题型四 二次函数中的恒成立问题
【例4】已知函数1)(2
+-=ax x x f ，使0)(>x f 对任意的]1,1[-∈x 恒成立的a 的取值范围。

解法1：(利用根的分布)数形结合结合)x (f 的草图可得：
⎪⎪⎩⎪
⎪
⎨⎧>--<≥-=∆<-=∆0)1(f 1
2
a 04a 04a 22或或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>≥-=∆0)1(f 12a 0
4a 2得：)2,2(:a 2a 2-<<-的取值范围是即。

解法2：转化为最值研究4
a 1)2a x ()x (f 2
2-+-=
1. 2a 204a 1)x (f ,2a 212a 12
min <<->-=≤≤-≤≤-得时即，所以2a 2<<-。

2. 若2a ,2a 0a 2)1(f )x (f ,2a 12
a
min -<->>+=-=-<-<与得时即矛盾。

3. 若
2a ,2a 0a 2)1(f )x (f ,2a 12
a
min ><>-==>>与得则时即矛盾。

综上：a 的取值范围是)2,2(-。

解法3：分离参数
1. 0x =时，不等式显然成立，即此时a 可为任意实数；
2. )0,1[x -∈时，x
1
x a 01ax x 2+>⇔>+-。

因为)0,1[x 1x )x (g -+=在上单调递减，所以
2)1(g )x (g a max -=-=>；
3. ]1,0(x ∈时，x
1
x a 01ax x 2+
<⇔>+-。

因为x 1x )x (g +=在（0，1）上单调递减，所以
2)1(g )x (g a min
==<。

综上：a 的范围是：)2,2(-。

【课堂练习4】1. 当)2,1(∈x 时，不等式042
<++mx x 恒成立.则m 的取值范围是 .
2. 已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当
x ∈[－1,＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，则a 的取值范围是________．
解析：解法一：f (x )＝(x －a )2＋2－a 2
，此二次函数图象的对称轴为x ＝a . ①当a ∈(－∞，－1)时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得－3≤a <－1；
②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，由2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1.综上所述，所求a 的取值范围为[－3,1]．
解法二：令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0
在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2
－a )≤0或⎩⎪⎨⎪
⎧
Δ>0，a <－1，g －1≥0.
解得－3≤a ≤1.所求a 的取值范围是[－3,1]．
3. 已知奇函数)(x f 的定义域为]1,1[-，当)0,1[-∈x 时，x
x f )2
1()(-=.
（1）求)(x f 在定义域上的解析式；
（2）若]2
1,0(∈x ，不等式04)()(2
≥+-x af x f 恒成立，求a 的取值范围；
（3）若]1,0(∈x ，1)(2)(412+-=x f x f y λ
的最小值为-2，求实数λ的值.
答案：（1）⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≤<=<≤--=10,20,001,)21()(x x x x f x x
；（2）23≤a ；（3）
【例5】求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围．
解：(1)将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0.令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9.因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以
①若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去．
②若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f －1>0
f 1>0，即⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－7x ＋12>0x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4.
【课堂练习5】1. （2014·湘潭模拟）对于满足0≤a ≤4的实数a ，使x 2＋ax >4x ＋a －3恒成立的x 取值范围是________．
解析：原不等式等价于x 2＋ax －4x －a ＋3>0，∴a (x －1)＋x 2－4x ＋3>0，令f (a )＝a (x －1)＋x 2－4x ＋3，则函数f (a )＝a (x －1)＋x 2－4x ＋3表示直线，∴要使f (a )＝a (x －1)＋x 2－4x ＋3>0，则有f (0)>0，f (4)>0，即x 2－4x ＋3>0且x 2－1>0，得x >3或x <－1，即不等式的解集为(－∞,－1)∪(3,＋∞)．答案：(－∞,－1)∪(3,＋∞)
2. 函数)(x f 是奇函数，且在]1,1[-上单调递增，又1)1(-=-f ，若12)(2
+-≤at t x f 对所有的
]1,1[-∈a 都成立，求t 的取值范围 .
解：据奇函数关于原点对称，,1)1(=f 又1)1()(]1,1[)(max ==-f x f x f 上单调递增在
12)(2+-≤at t x f 对所有的]1,1[-∈a 都成立.因此，只需122+-at t 大于或等于上在]1,1[)(-x f 的最
大值1，
0211222≥-⇒≥+-∴at t at t 都成立对所有又]1,1[-∈a ，
即关于a 的一次函数在[-1，1]上大于或等于0恒成立，2
020
202{2
2-≤=≥⇒≥+≥-∴t t t t t t t 或或即：
),2[}0{]2,(+∞--∞∈ t
题型五 存在性问题
【例6】1. 已知m 为常数，函数为奇函数. （1）求m 的值；
（2）若，试判断的单调性（不需证明）； （3）若，存在]1,0[∈x ，使0)2()2(2≤+-+f k e e
f x x
，求实数k 的最大值．
解：（1）由，得
, ∴，即,∴…………………………4分 （2）在R 上单调递减…………7分 （3）由)2()2()2(2-=-≤-+f f k e e f x x ，得222-≥-+k e e x
x ，……9分
即222++≤x x e e
k .而22)(2++=x x e e x g 的最大值为222++e e
∴222
++≤e e k ，从而222
++=e e k ……………12分 2. 已知函数
（1）若函数在区间上存在零点，求实数a 的取值范围；
（2）当时，若对任意，总存在，使成立，求实数m 取值范围. 解：解⑴
函数图象的对称轴为直线，要使在上有零点，
则即所以所求实数a 的取值范围是. ……4分 ⑵当时，所以当时，，记.
由题意，知当时，在上是增函数，
，记.由题意，知解得 …7分
当时，在上是减函数，，记.
由题意，知解得 ……7分
综上所述，实数m 的取值范围是
【课堂练习6】 已知二次函数的最小值为，且关于的一元二次不
等式的解集为。

（Ⅰ）求函数的解析式；
2()12
x x
m f x m -=+⋅0>m )(x f 0>m 0)()(=+-x f x f 0212212=⋅+-+⋅+---x x
x x m m m m ()()02212=+--x
x m 12=m 1±=m 1212
2121)(-+=+-=x
x x x f 2
()43,()52.f x x x a g x mx m =-++=+-()y f x =[]1,1-0a =[]11,4x ∈[]21,4x ∈12()()f x g x =22()43(2)1,f x x x a x a =-++=-+-∴()f x 2x =()f x []1,1-(1)0,(1)0,f f -≥⎧⎨
≤⎩80,
0,
a a +≥⎧⎨
≤⎩80.a ∴-≤≤[]8,0-0a =22
()43(2) 1.f x x x x =-+=--[]1,4x ∈[]()1,3f x ∈-[]1,3A =-0m ≠0m >()52g x mx m =+-[]1,4[]()5,52g x m m ∴∈-+[]5,52B m m =-+A B ⊆15,352,0,m m m -≥-⎧⎪
∴≤+⎨⎪>⎩
6m ≥0m <()52g x mx m =+-[]1,4[]()52,5g x m m ∴∈+-[]52,5,C m m =+-A C ⊆152,
35,0,m m m -≥+⎧⎪
∴≤-⎨⎪<⎩
3m ≤-(][),36,.-∞-⋃+∞),,(,)(2
R c b a c bx ax x f ∈++=1-x 02
>++c bx ax ),0()2,(+∞⋃--∞)(x f y =
（Ⅱ）设其中，求函数在时的最大值 （Ⅲ）若（为实数），对任意，总存在使得成立，求实数的取值范围。

解：的两根，，又的最小值即
, … …….（4分） （Ⅱ）
分以下情况讨论的最大值
（1）当时，在上是减函数， （6分）
（2）当时，的图像关于直线对称， ，故只需比较与的大小.
当时，即时，. （8分） 当时，即时，； .（9分） 综上所得. ….（10分）
（Ⅲ），函数的值域为
在区间上单调递增，故值域为，对任意，总存在使得成立，则 ….（14分）
三 家庭作业
1．若关于x 的不等式x 2－4x －m ≥0对任意x ∈(0,1]恒成立，则m 的最大值为 ( )．
A ．1
B ．－1
C ．－3
D ．3
解析 由已知可得m ≤x 2－4x 对一切x ∈(0,1]恒成立，又f (x )＝x 2－4x 在(0,1]上为减函数，∴f (x )min ＝f (1)＝－3，∴m ≤－3. 答案 C
2. 已知函数,(a>0),若,,使得f(x 1)= g(x 2),则实数a 的取值范围是 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
3. (2015·丽水模拟)当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x ＜0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－2,1) B ．(－4,3)
3)()(--=x x tf x F 0≥t )(x F ]2,2
3
[-
∈x )(t H k x f x g +=)()(k ),0[+∞∈m ),0[+∞∈n )()(n H m g =k 02-02=++c bx ax 是方程024)2(,0)0(=-===∴b a f c f )(x f ∴-=-,142a
b 1=a 0,2==
c b x x x f 2)(2+=∴)0(,3)12(3)2()(2
2≥--+=--+=t x t tx x x x t x F ]2,2
3
[),(-∈x x F )(t H 0=t 3)(--=x x F ]2,23[-∈x 2
3
)23()()(max -=-==F x F t H 0>t )(x F t
t t x 21
1212+-=--=4
1
22
23=+- t 211+-4141
211≤+
-t 52≥t 58)2()()(),2
3()2(max -===-≥t F t H x F F F 41211>+
-t 520<<t 2
3
43)23()()(),23()2(max --=-==-<t F t H x F F F ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥-<≤--=)
52(,58)5
20(,2343)(t t t t t H ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥-<≤--=)
52(,58)5
20(,2343)(t t t t t H )(t H ),59[+∞-k x x x g ++=2)(2),0[+∞),[+∞k ),0[+∞∈m )
,0[+∞∈n )()(n H m g =⊆+∞),[k ),59[+∞-5
9
-≥∴k 2
()2f x x x =-()2g x ax =+1[1,2]x ∀∈-2[1,2]x ∃∈-1(0,]21[,3]2
(0,3][3,)+∞
C ．(－1,2)
D ．(－3,4)
解析：选C 原不等式变形为m 2－m ＜⎝⎛⎭⎫12x
，∵函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数，∴⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭
⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m ＜⎝⎛⎭⎫12x
恒成立等价于m 2
－m ＜2，解得－1＜m ＜2. 4. （2012广东）设a ＜1，集合{}
{
}
2
0,23(1)60A x R x B x R x a x a =∈>=∈-++>，D A B =．
（1）求集合D （用区间表示）；
解析：（１）设2
()23(1)6g x x a x a =-++，其对称轴为3(1)
4
a x +=， 判别式2
19(1)483()(3)3
a a a a ∆=+-=--，(0)6g a =， ①当113
a <<时，0∆<，B=R ，(0,)D A
B ==+∞；
②当13
a ≤时，0∆≥，()0g x =
的两根为13(1)4a x +-=
，23(1)4
a x ++=，
○A 当3(1)
04(0)60a g a +⎧>⎪
⎨
⎪=>⎩即a >0时，120x x <≤，12(,)(,)B x x =-∞+∞，12(0,)(,)D x x =+∞； ○B 当3(1)
04(0)60a g a +⎧>⎪
⎨
⎪=≤⎩即10a -<≤时，120x x ≤<，2(,)D x =+∞； ○C 当
3(1)
04
a +≤即1a ≤-时，(0)0g <，120x x <<，2(,)D x =+∞； 综上所述：当113
a <<时， (0,)D =+∞；
当103a <≤
时，()
D =+∞， 当0a ≤时，)D =+∞. 5. 已知函数)4(log )(2
2+-=ax x x f .
（1）若(1)2f =，求(4)f a ；
（2）若[]0,2x ∈时，函数()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围；
※（3）函数()f x 在区间[]0,2上的最大值与最小值之差为1，求实数a 的值。

解答 (1) (1)2f =⇒()
52
log 21a a -=⇒=所以(4)(4)f a f ==162log 4=……………………3分
(2) 即：当[]0,2x ∈时2
40x ax -+>恒成立，当0x =时，a R ∈
当(]0,2x ∈时,2
40x ax -+>恒成立，22
44
4x ax x a x x x
+⇔<+⇔<=+，当(]0,2x ∈时恒成立 即：min 44a x x ⎡
⎤<+=⎢⎥⎣
⎦，所以(),4a ∈-∞………………7分
(3) 令2
()4h x x ax =-+由（2）知，(),4a ∈-∞
(i)若(],0a ∈-∞，则()h x 的对称轴02a x =≤，则min max ()(0)4()(2)82h x h h x h a ==⎧⎨==-⎩,所以()82max 2
min 2()log ()log 4
a f x f x -⎧=⎪⎨
=⎪⎩
8224a
-⇒
= 0a ⇒=,
(ii)若()0,2a ∈，则()h x 的对称轴()0,12
a
x =
∈，则 2
min max ()()424()(2)82a a h x h h x h a ⎧==-
⎪⎨⎪==-⎩,所以()282max 244min 2
()log ()log a a f x f x -⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎧=⎪⎨⎪=⎩282244
a a -⇒=- 24004a a a ⇒-=⇒=或,与()0,2a ∈矛盾
（iii ）若[)2,4a ∈，则()h x 的对称轴[)1,22a x =∈，则2
min max ()()424()(0)4
a a h x h h x h ⎧==-
⎪⎨⎪==⎩
所以244min 4
max ()log ()log a a
a f x f x ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
⎧
⎪
=⎨⎪=⎩
，根据题意，有2
24
44444
22
2
log log 1log 1a
a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝⎭
-=⇒=
2
24282244
a a a ⇒
=⇒=⇒=±-
,其中22a =满足条件，综上：22a =或0a =…………12分 6. 已知函数)1,0(24
1)(≠>+-=a a a
a x f x 且是定义在(-∞,+∞)上的奇函数.
(1)求a 的值；
(2)求函数)(x f 的值域；
(3)当]1,0(∈x ，22)(-≥x
x tf 恒成立，求实数t 的取值范围.[高&考%资(源、网 c] [解析] (1)∵f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,即f(-x)=-f(x)恒成立,∴f(0)=0. 即1-4
2×a 0＋a
=0, 解得a=2.
(2)∵y=2x －12x ＋1,∴2x =1＋y 1－y ,由2x >0知1＋y
1－y
>0, ∴-1<y<1,即f(x)的值域为(-1,1).
(3)不等式tf(x)≥2x
-2即为t·2x －t 2x ＋1
≥2x
-2. 即:(2x )2-(t+1)·2x +t -2≤0.设2x =u, ∵x ∈(0,1],∴u ∈(1,2].
∵u ∈(1,2]时
u 2-(t+1)·u+t -2≤0
恒成立. ∴⎩
⎪⎨⎪⎧
12－
t ＋1×1＋t －2≤0
22
－t ＋1×2＋t －2≤0
,解得t≥0.
5. [2014·江苏卷] 已知函数f (x )＝e x ＋e －
x ，其中e 是自然对数的底数． (1)证明：f (x )是R 上的偶函数．
(2)若关于x 的不等式mf (x )≤e －
x ＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围．
(3)已知正数a 满足：存在x 0∈[1，＋∞)，使得f (x 0)<a (－x 30＋3x 0
)成立．试比较e a －1与a e －1的大小，并证明你的结论．(此问不做)
解： (1)证明：因为对任意 x ∈R ，都有f (－x )＝e －x ＋e －(－x )＝e －
x ＋e x ＝f (x )，所以f (x )是R 上的偶函数．
(2)由条件知 m (e x ＋e －x －1)≤e －x －1在(0，＋∞)上恒成立．令 t ＝e x
(x >0)，则 t >1，
所以 m ≤－t －1t 2－t ＋1
＝－1
t －1＋1t －1
＋ 1
对任意 t >1成立．
因为t －1＋1t －1＋ 1≥2 （t －1）·1t － 1
＋1＝3, 所以 －1t －1＋1t －1
＋ 1
≥－1
3，
当且仅当 t ＝2, 即x ＝ ln 2时等号成立．因此实数 m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－1
3.
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。