6.第7章 径向基函数网络
径向基函数神经网络模型及其在预测系统中的应用
径向基函数神经网络模型及其在预测系统中的应用传统的神经网络模型在处理非线性问题时存在一定的限制，而径向基函数神经网络（Radial Basis Function Neural Network，RBFNN）模型则能够有效地处理这类问题。
本文将介绍径向基函数神经网络模型的基本原理，并探讨其在预测系统中的应用。
1. 径向基函数神经网络模型的基本原理径向基函数神经网络模型是一种三层前馈神经网络，包含输入层、隐含层和输出层。
该模型通过将输入向量映射到高维特征空间，并利用径向基函数对输入数据进行非线性变换。
其基本原理如下：1.1 输入层：输入层接收原始数据，并将其传递给隐含层。
1.2 隐含层：隐含层中的神经元使用径向基函数对输入数据进行非线性变换。
径向基函数通常采用高斯函数，其形式为：φ(x) = exp(-(x-c)^2/2σ^2)其中，x为输入向量，c为径向基函数的中心，σ为径向基函数的宽度。
隐含层神经元的输出由径向基函数计算得到，表示了输入数据距离每个径向基函数中心的相似度。
1.3 输出层：输出层根据隐含层的输出和相应的权值进行计算，并生成最终的预测结果。
2. 径向基函数神经网络模型在预测系统中的应用径向基函数神经网络模型在各种预测系统中具有广泛的应用，包括金融预测、气象预测、股票价格预测等。
2.1 金融预测径向基函数神经网络模型能够对金融市场进行有效预测，例如股票价格、外汇汇率等。
通过输入历史数据，可以训练神经网络模型，利用其中的非线性变换能力来预测未来的价格走势。
实验表明，基于径向基函数神经网络模型的金融预测系统能够提供较高的准确度和稳定性。
2.2 气象预测径向基函数神经网络模型在气象预测中的应用也取得了良好的效果。
通过输入历史气象数据，神经网络模型可以学习到不同变量之间的关系，并预测未来的天气情况。
与传统的统计模型相比，径向基函数神经网络模型能够更好地捕捉到非线性因素对气象变化的影响，提高了预测的准确性。
径向基函数网络的隐式曲面方法
径向基函数网络的隐式曲面方法
李道伦;卢德唐;孔祥言;吴刚
【期刊名称】《计算机辅助设计与图形学学报》
【年(卷),期】2006(18)8
【摘要】将径向基函数网络与隐式曲面构造原理相结合,提出一种构造隐式曲面的方法.首先以描述物体曲面的隐式函数为基础构造三元显式函数,然后用径向基函数网络逼近显式函数,最后从神经网络的仿真超曲面得到描述物体的封闭曲面;并证明了在理论上此等值面可以以任意精度逼近物体曲面.该方法具有光滑度高、稳定性好,尤其适用少量采样点情形等特点.实验表明,它具有很强的造型能力.
【总页数】7页(P1142-1148)
【作者】李道伦;卢德唐;孔祥言;吴刚
【作者单位】中国科学技术大学安徽省计算与通讯软件重点实验室,合肥,230026;中国科学技术大学计算机科学与技术系,合肥,230026;中国科学技术大学安徽省计算与通讯软件重点实验室,合肥,230026;中国科学技术大学安徽省计算与通讯软件重点实验室,合肥,230026;南京财经大学电子商务重点实验室,南京,210003
【正文语种】中文
【中图分类】TP3
【相关文献】
1.简单交互式医学图像隐式曲面配准方法 [J], 马林;黄惠
2.基于广义多项式神经网络的点云数据隐式曲面重构方法 [J], 肖秀春;姜孝华;张雨
浓
3.一种三维点云自适应隐式曲面重构方法 [J], 江盟;蔡勇;张建生
4.隐式与参数曲面间的混合曲面设计方法 [J], 高旭
5.隐式曲面梯度多孔结构拓扑优化设计方法 [J], 孙鹏飞;张跃;尹鹏;刘宏磊;李宝童因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
径向基函数神经网络
径向基函数神经网络模型与学习算法1985年，Powell提出了多变量插值的径向基函数（Radical Basis Function, RBF）方法。
1988年，Moody和Darken提出了一种神经网络结构，即RBF 神经网络，属于前向神经网络类型，它能够以任意精度逼近任意连续函数，特别适合于解决分类问题。
RBF网络的结构与多层前向网络类似，它是一种三层前向网络。
输入层由信号源结点组成；第二层为隐含层，隐单元数视所描述问题的需要而定，隐单元的变换函数RBF（）是对中心点径向对称且衰减的非负非线性函数；第三层为输出层，它对输入模式的作用作出响应。
从输入空间到隐含层空间的变换是非线性的，而从隐含层空间的输出层空间变换是线性的。
RBF网络的基本思想是：用RBF作为隐单元的“基”构成隐含层空间，这样就可以将输入矢量直接（即不需要通过权接）映射到隐空间。
当RBF的中心点确定以后，这种映射关系也就确定了。
而隐含层空间到输出空间的映射是线性的，即网络的输出是隐单元输出的线性加权和。
此处的权即为网络可调参数。
由此可见，从总体上看，网络由输入到输出的映射是非线性的，而网络输出对可调参数而言却又是线性的。
这样网络的权就可由线性方程直接解出，从而大大加快学习速度并避免局部极小问题。
1.1RBF神经网络模型径向基神经网络的神经元结构如图1所示。
径向基神经网络的激活函数采用径向基函数，通常定义为空间任一点到某一中心之间欧氏距离的单调函数。
由图1所示的径向基神经元结构可以看出，径向基神经网络的激活函数是以输入向量和权值向量之间的距离dist 作为自变量的。
径向基神经网络的激活函数的一般表达式为()2dist dist eR -= （1） dist 1x m x 2x 1h ω2h ωihωbn y图1 径向基神经元模型随着权值和输入向量之间距离的减少，网络输出是递增的，当输入向量和 权值向量一致时，神经元输出1。
在图1中的b 为阈值，用于调整神经元的灵敏度。
径向基函数（RBF）神经网络
径向基函数（RBF）神经⽹络RBF⽹络能够逼近任意的⾮线性函数，可以处理系统内的难以解析的规律性，具有良好的泛化能⼒，并有很快的学习收敛速度，已成功应⽤于⾮线性函数逼近、时间序列分析、数据分类、模式识别、信息处理、图像处理、系统建模、控制和故障诊断等。
简单说明⼀下为什么RBF⽹络学习收敛得⽐较快。
当⽹络的⼀个或多个可调参数（权值或阈值）对任何⼀个输出都有影响时，这样的⽹络称为全局逼近⽹络。
由于对于每次输⼊，⽹络上的每⼀个权值都要调整，从⽽导致全局逼近⽹络的学习速度很慢。
BP⽹络就是⼀个典型的例⼦。
如果对于输⼊空间的某个局部区域只有少数⼏个连接权值影响输出，则该⽹络称为局部逼近⽹络。
常见的局部逼近⽹络有RBF⽹络、⼩脑模型（CMAC）⽹络、B样条⽹络等。
径向基函数解决插值问题完全内插法要求插值函数经过每个样本点，即。
样本点总共有P个。
RBF的⽅法是要选择P个基函数，每个基函数对应⼀个训练数据，各基函数形式为，由于距离是径向同性的，因此称为径向基函数。
||X-X p||表⽰差向量的模，或者叫2范数。
基于为径向基函数的插值函数为：输⼊X是个m维的向量，样本容量为P，P>m。
可以看到输⼊数据点X p是径向基函数φp的中⼼。
隐藏层的作⽤是把向量从低维m映射到⾼维P，低维线性不可分的情况到⾼维就线性可分了。
将插值条件代⼊：写成向量的形式为，显然Φ是个规模这P对称矩阵，且与X的维度⽆关，当Φ可逆时，有。
对于⼀⼤类函数，当输⼊的X各不相同时，Φ就是可逆的。
下⾯的⼏个函数就属于这“⼀⼤类”函数：1）Gauss（⾼斯）函数2）Reflected Sigmoidal（反常S型）函数3）Inverse multiquadrics（拟多⼆次）函数σ称为径向基函数的扩展常数，它反应了函数图像的宽度，σ越⼩，宽度越窄，函数越具有选择性。
完全内插存在⼀些问题：1）插值曲⾯必须经过所有样本点，当样本中包含噪声时，神经⽹络将拟合出⼀个错误的曲⾯，从⽽使泛化能⼒下降。
径向基函数神经网络课件
小批量梯度下降算法
01
总结词
小批量梯度下降算法是一种折中的方法，每次使用一小批 样本来更新模型参数，既保持了计算量小的优点，又提高 了模型的稳定性。
02 03
详细描述
小批量梯度下降算法的核心思想是在每次迭代时，随机选 择一小批样本来计算损失函数，并使用梯度下降法或其他 优化方法来更新模型参数。这种方法可以平衡计算量和训 练时间的关系，同时提高模型的稳定性。
径向基函数神经网络课件
目 录
• 径向基函数神经网络概述 • 径向基函数神经网络的基本结构 • 径向基函数神经网络的学习算法 • 径向基函数神经网络的优化策略 • 径向基函数神经网络的实现细节 • 径向基函数神经网络的实例展示 • 总结与展望
01
径向基函数神经网络概述
神经网络简介
神经网络的定义
神经网络是一种模拟人脑神经元网络结构的计算模型，通过学习样 本数据来自动提取特征和规律，并完成分类、回归等任务。
02 03
详细描述
随机梯度下降算法的核心思想是在每次迭代时，随机选择一个样本来计 算损失函数，并使用梯度下降法或其他优化方法来更新模型参数。这种 方法可以大大减少计算量和训练时间。
优缺点
随机梯度下降算法的优点是计算量小，训练时间短，适用于大规模数据 集。但是，由于只使用一个样本进行更新，可能会造成模型训练的不稳 定，有时会出现训练效果不佳的情况。
2
输出层的节点数通常与输出数据的维度相等。
3
输出层的激活函数通常采用线性函数或softmax 函数。
训练过程
01
神经网络的训练过程是通过反向 传播算法实现的。
02
通过计算损失函数对网络权重的 梯度，更新权重以减小损失函数
径向基函数网络共28页文档
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
径向基函数络
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
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神经网络讲义第7章
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(2)在输出层，以径向基神经元的输出作为 线性网络层神经元的输入,确定线性层神经 元的权值和阈值,使之满足(解如下方程)
[ W { 2 , 1 } b { 2 } ] [ A { 1 } ;o n e s ] T
第七章 径向基网络
BP网络在训练过程中需要对网络的所有权 值和阈值进行修正,把它称之为全局逼近神经网 络。全局逼近神经网络学习速度很慢,所以在一 些实时性较强的场合(如实时控制),其应用受到 限制。径向基网络是一种局部逼近网络,对于每 个训练祥本,它只需要对少量的权值和阈值进行 修正,因此训练速度快。
R i1
wl,i pi
2 W-pT
W-pT
T 1/2
（7.3）
称之为欧几里得距离。
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径向基函数的图形和符号如图7.2 所示。
图7.2 径向基传输函数的传输特性和符号
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2. 径向基神经网络模型
径向基神经网络同样是一种前馈反向传播网络, 它有两个网络层：隐层为径向基层;输出为一线性 层,如图7.3 所示。
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7.1 径向基网络模型
径向基函数(radial basis function , RBF) 方法是在高维空间进行插值的一种技术。 Bromhead和Love在1998年率先使用该技 术,提出了神经网络学习的一种新手段。
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径向基神经元模型 径向基神经元模型如图7.1 所示。
径向基函数网络
• 正规化网络
• 其中基函数一般选用高斯函数：
• 那么：
正规化网络是一个通用逼近器，只要隐单元足够多，它就可以逼近任意M元 连续函数。且对任一未知的非线性函数，总存在一组权值使网络对该函数的 逼近效果最好。
• 广义网络
• 当基函数为高斯函数时：
RBF神经网络两种模型
• 正规化网络RN：通用逼近器 • 基本思想： • 通过加入一个含有解的先验知识的约束来控制映射函数的光滑性，若输入一
径向基函数网络
• RBF神经网络定义 • RBF神经网络工作原理 • RBF神经网络模型 • RBF神经网络学习算法 • 实例
径向基函数网络（RBF网络）
• 径向基函数是多维空间插值的传统技术，根据生物神经元具有局部响应这一 特点，将RBF引入到神经网络设计中，产生了RBF神经网络。
• RBF网络能够逼近任意的非线性函数，可以处理系统内的难以解析的规律性， 具有良好的泛化能力，并有很快的学习收敛速度，已成功应用于非线性函数 逼近、时间序列分析、数据分类、模式识别、信息处理、图像处理、系统建 模、控制和故障诊断等。
自组织选取中心算法步骤
• 1.基于K-均值聚类方法求取基函数中心
• 2.求解方差 • 3.计算隐含层和输出层之间的权值
实例
根据RBF神经网络的网络结构和工作 原理，可确定以下编程步骤及相关语言： 初始化，确定RBF网络模型的输入，输出 向量。 用newrb()函数设计一个满足一定精度的 RBF网络。
运行程序，可得到函数逼近曲线和函数逼近 外推误差曲线分别为：
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谢谢大家 ！
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下面看一个例子： 用RBF网络逼近Hermit多项式
y(x) 1.1(1 x 2x2 ) exp( x2 ) 2
6 径向基网络
y -0.832 -0.423 -0.024 0.344 1.282 3.456 x y 0 0.248 0.1 1.242 0.2 0.3 0.4 0.5
3.232 2.102 1.504 0.7 0.8 0.9
2.344 3.262 2.052 1.684 1.022 2.224 3.022 1.984
则 t= (1,1) (2,2) (2,3) (1,4) (1,5) (1,6) (1,7) (2,8) (1,9)
1 1 1 1 1 1 1 1 1
同样，以sim对PNN进行仿真的结果， 也只取其中元素值为1的元素，表示的是模 式分类结果和待测试样本的关系，行号表 示模式分类号，列号表示待测试样本序号 （位置），例如： net = newpnn(p,t); p=[0 0 1;… 1 -1 1]; y=sim(net,p) y= (2,1) 1 (2,2) 1 (1,3) 1 为了清晰地表示 分类结果，可采用函 数vec2ind： yc = vec2ind(y) 则 yc = 2 2 1
工具箱中， 在 MATLAB 工具箱中，创建 PNN 的函数为 newpnn。 。
值得提醒的是，第二层的目标向量T表示的是各种模式 和训练样本的关系，行号表示模式分类号，列号表示训练 样本序号（位置），若T的元素值为1，则行号即为列号所 表示的训练样本对应的模式分类号，例如，T(2,1)=1，表示 第1个训练样本的模式分类号为2；若T的元素值为0，则行 号表示的模式分类号不是列号所表示的训练样本对应的模 式分类号，例如，T(2,8)=0，表示第2类模式不是第8个训练 样本的模式分类号。newpnn只采用T中元素值为1的元素， 可以用函数ind2vec实现。 例如： p = [0 0 0 1 1 1 -1 -1 –1;… 0 1 -1 0 1 -1 0 1 -1]; tc= [1 2 2 1 1 1 1 2 1]; t = ind2vec(tc)
7_基于数学原理的神经网络
w G( p
j 1 j
Q
i
p j ) ti 1 i Q
ij G ( pi p j ) 设第j 个隐节点在第i个样本的输出为：
可矩阵表示： ,若R可逆，则解为 W 1T W T 根据Micchelli定理可得，如果隐节点激活函数采用 径向基函数，且p1 , p2 ,..., pQ 各不相同，则线性方程组 有唯一解。
p 1 p 1 w ( X X ) d p 1 P p 2 p 2 w ( X X ) d p 1 P
(7.4)
p P p P w ( X X ) d p 1 P
7
令 ip ( X i X p ) ，i=1, 2, …, P，p=1, 2, …, P， 则上述方程组可改写为
2. 反演S型函数： r
3. 拟多二次函数： r
1 r2 1 exp 2 1
r
2
2 1/ 2
σ 称为基函数的扩展常数 或宽度， σ越小，径向基 函数的宽度越小，基函数 就越有选择性。
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7.1.3 完全内插存在的问题
(1) 由于插值曲面必须通过所有训练数据点， 当训练数据中存在噪声时，神经网络将拟 合出一个错误的插值曲面，从而使其泛化 能力下降。 (2)由于径向基函数的数量与训练样本数量 相等，当训练样本数远远大于物理过程中 固有的自由度时，插值矩阵求逆时可能导 致不稳定。
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所示为N-P-l结构的RBF网，即网络具有N个输入节点，P个隐节点，l个输出节点。 其中P为训练样本集的样本数量，即隐层节点数等于训练样本数。输入层的任一节 点用i表示，隐层的任一节点用j表示，输出层的任一节点用k表示。对各层的数学描 述如下：X= (x1，x2，…，xN)T为网络输入向量；φj(X)，(j=1,2,…, P)，为任一隐节 点的激活函数，称为“基函数”,一般选用格林(Green)函数；W为输出权矩阵，其中 wjk, (j=1,2,…, P, k=1,2,…, l), 为隐层第j个节点与输出层第k个节点间的突触权值； Y=(y1，y2，…，yl) T为网络输出；输出层神经元采用线性激活函数。
神经网络 配套ppt RBF(2)
6
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RBF网络实现内插问题
• 内插问题（数值逼近）
– 给定样本数据：{p 1, t1} , { p 2, t 2} , …, {p Q, tQ } – 寻找函数，使之满足：ti = F (Pi ) ，1 ≤ i ≤ Q
• RBF网络解决内插问题
– – – – 网络隐层使用Ｑ个隐节点 把所有Ｑ个样本输入分别作为Ｑ个隐节点的数据中心 各基函数取相同的扩展常数 确定权值可解线性方程组：
∑ w radbas( P − P
j =1 j i
j
) = ti
1≤ i ≤ Q
设第j 个隐节点在第i个样本的输出为： = radbas( Pi − Pj ) , rij Rw 可矩阵表示： = t，若R可求逆，则解为：w = R −1t 。 根据Micchelli定理可得，如果隐节点激活函数采用径向基 函数，且P , P2 ,..., PQ 各不相同，则线性方程组有唯一解。 1
RBF网络是个三层结构（Ｒ-S1-S2）的前馈网，其中，Ｒ代 表输入层并指出输入维数； S1代表由径向基神经元构成的隐 层并指出神经元数目； S2是线性输出层。
4
5
RBF网络结构
• RBF网络层间的连接
– 输入层到隐层之间的权值（数据中心）固定。 – 隐层到输出层之间的权值可调。
5
5
RBF网络工作原理
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5
正则化方法（改进泛化性能）
– 设有样本数据:{p 1, t1} , { p 2, t 2} , … , {p Q, tQ }, F(P)是逼近函数。 – 传统方法是最小化标准误差项来实现 1 Q E S ( F ) = ∑ (t i − F (Pi )) 2 2 i =1 – 由于从有限样本导出一个函数的解有无穷多个，该问题 是不适定的(ill-posed)。Tikhonov提出了正则化方法来解 决这类问题。就是在标准误差项的基础上，增加一个限 制逼近函数复杂性的项（称为正则化项），即 1 2 E C ( F ) = DF 2 其中，D是线性微分算子，关于解F(p)的形式的先验知识 就包含在其中，即D的选取与所解的问题有关。 D也称为 稳定因子，它使正则化问题的解稳定光滑，从而连续。
第6章径向基函数网络学习资料
例 用径向基函数映射一 个函数
p = -3:.1:3; a = radbas(p); plot(p,a)
a2
a2 = radbas(p-1.5); a3 = radbas(p+2); a4 = a + a2*1 + a3*0.5; plot(p,a,'b-',p,a2,'b--',p,a3,'b-',p,a4,'m-')
φ(||X- Xp ||)，p=1,2,......,P
Xp是函数的中心。 φ以输入空间的点X与中心Xp的距离为自 变量。故称为径向基函数。
定义F(X)为基函数的线性组合
P
F(X) wp(||XXp||)
p1
P
w 1 (|| X 1 X p ||) d 1
p 1
P
w 2 (|| X 2 X p ||) d 2
3、 调节隐层单元到输出单元间的连接权 网络的目标函数为
也就是总的平均误差函数。其中， y ˆ (xk) 是相对于 输入 x k 的实际输出， y (xk) 是相对于输入 xk 的期望 输出，N为训练样本集中的总样本数。对于RBF 神 经网络，参数的确定应能使网络在最小二乘意义下 逼近所对应的映射关系，也就是使E 达到最小；因 此，这里利用梯度下降法修正网络隐含层到输出层 的权值ω，使目标函数达到最小。
注意：由于RBF 网络的权值算法是单层进行的，它的 工作原理采用的是聚类功能，由训练得到输入数据的聚 类中心，通过σ值来调节基函数的宽度。虽然网络结构 看上去是全连结的，实际网络是局部工作的，即对输入 的一组数据，网络只有一个神经元被激活，其他神经元 被激活的程度可忽略。所以RBF网络是一个局部逼近网 络，训练速度比BP 网络快2～3 个数量级。
径向基函数神经网络
RBF神经网络两种模型
正规化网络RN 通用逼近器
基本思想： 通过加入一个含有解的先验知识的约束来 控制映射函数的光滑性，若输入一输出映射 函数是光滑的，则重建问题的解是连续的， 意味着相似的输入对应着相似的输出。
题。 局部逼近网络（MLP是全局逼近网络)，这意味着逼近一个输
入输出映射时，在相同逼近精度要求下，RBF所需的时间要比 MLP少。 具有唯一最佳逼近的特性，无局部极小。 合适的隐层节点数、节点中心和宽度不易确定。
径向基函数（RBF）
1.
Gauss（高斯）函数：r
exp
r2
2 22. 3.反演 Nhomakorabea型函数： r
中即计心为算Rc各Bi ，F个神如聚经果类网新集络的合最聚终p类中的中训基心练函不样数再本中发的心生平，变均否化值则，，返则即回所新（得的2到）聚的，类ci
进入下一轮的中心求解。
➢2.求解方差
RBF神经网络的基函数为高斯函数时，方差可由下式求解：
i
cmax 2h
,i
1,2,L
h
式中 cmax 为中所选取中心之间的最大距离。
局部逼近网络 学习速度快，有可能满足有实时性要求的应用
对网络输入空间的某个局 部区域只有少数几个连接 权影响网络的输出，则称
该网络为局部逼近网络
RBF网络的工作原理
函数逼近： 以任意精度逼近任一连续函数。一般函数都可表示成一组 基函数的线性组合，RBF网络相当于用隐层单元的输出构 成一组基函数，然后用输出层来进行线性组合，以完成 逼近功能。
哈工大智能控制神经网络课件第五课径向基函数网络(RBFN)
RBFN——迭代步骤III
第 i 步。确定 qi (1)令 k=1, 候选向量 v k p k r jk q j ，其中 r jk
j 1 i 1
pk , q j q j,q j
，
ˆ (2)计算 g i
vk t vk vk
T
T
，k
ˆ2 T gi vk vk t t
T
；
(3)返回(1), 直至 P 的所有 s 个分量计算结束。 (1)取对应 k 最大的索引，令其为 k * 。最终选取 q i = v k * 。
(4) 重复上述步骤
MATLAB RBFN: RBFN设计函数
RBFN设计和训练合一 net = newrbe(P,T,SPREAD)
对每一个输入样本对应一个RBF神经元； Spread控制RBF形状，^光滑 当出现Rank deficient时，应减小spread重新 设计
MATLAB RBFN: RBFN设计函数(2)
RBFN——计算方法
P 为方阵且非奇异时有解： w P 1 t
ˆ P 为长方阵(数据远多于未知数个数)，有 w P t 。
根据矩阵的 QR 分解，代入前式，有
t Q R w Q g ，g=Rw
s
或记为 t
q g ，即 t 在一组基 qi 上的分解。
i i i 1
ˆ 同样根据最小二乘法有： g Q Q Q T t 1Q T t 。
[net,tr] = newrb(P,T,GOAL,SPREAD,MN,DF)
自动计算RBF神经元个数； GOAL为最小误差； MN：最大神经元数目；DF：每次递增数
newrb创建过程
以所有样本输入网络，找到误差最大样本； 增加一个(或多个)隐含层神经元，中心值c 与该样本向量相同； 重新调整w,使误差最小； 如果误差满足要求或神经元数量足够多，退 出，否则继续上述过程；
6.第7章 径向基函数网络
>> rand('state',pi); >> w=rand(3,2); % 3个向量 >> p=rand(2,4); >> Z=dotprod(w,p) % 4个向量 % 计算内积
6.径向基神经网络相关函数详解
netprod——乘积网络输入函数 N=netprod({Z1,Z2,...,Zn}) 返回Z1，Z2，。。。对应元素的乘积 求三个2*3矩阵的积 >> rand('state',pi); >> a=rand(2,3) >> b >> c=rand(2,3) >> d=netprod({a,b,c}) >> a.*b.*c % 验算 % 第一个矩阵
隐含层是非线性的，采用径向基函数作为基函数，从而将 输入向量空间转换到隐含层空间，使原来线性不可分的问题 变得线性可分，输出层则是线性的。
1.径向基神经网络的两种结构
径向基函数：有多种形式，其中 最为常用的，是高斯函数
( X -X i )
x1 Ф1 x2 w1J wi1 wiJ wNJ w11 wN1 y1
扩充性能好。网络的学习过程简单，增加或减少类别模式时 不需要重新进行长时间的训练学习
5.广义回归神经网络
广义回归神经网络（General Regression Neural Network，GRNN）是 径向基网络的另外一种变形形式
广义回归网络以径向基网络为基础，因此具有良好的非线性逼近性能， 与径向基网络相比，训练更为方便
广义回归神经网络尤其适合解决曲线拟合的问题
在MATLAB中newgrnn函数可以方便的实现GRNN网络
径向基函数网络算法在分类问题中的应用
径向基函数网络算法在分类问题中的应用随着计算机技术的不断发展和深入，人工智能技术越来越受到人们的重视和关注。
其中，机器学习算法作为人工智能的一个重要分支，其应用广泛。
在很多分类问题中，径向基函数网络算法作为一种常用的机器学习算法，其性能表现优异，得到了广泛的应用。
一、径向基函数网络算法简介径向基函数网络算法（Radial Basis Function Network，简称RBFN）是一种人工神经网络算法。
它的核心思想是将高维空间中的数据映射到低维空间中，通过对映射后的数据进行分类来解决分类问题。
RBFN算法的基本结构包括输入层、隐藏层和输出层。
其中，隐藏层是一个非线性的映射函数，它利用径向基函数将输入数据从高维转化到低维，同时隐藏层的神经元数量也是一个关键参数，它的大小会直接影响分类器的性能。
当数据映射到低维空间后，就可以使用输出层的线性分类器来对数据进行分类。
二、径向基函数网络算法的优点1.非线性逼近能力强径向基函数网络算法通过使用非线性映射函数实现了非线性变换，使得它具有很好的逼近复杂函数的能力。
因此，它在解决高维复杂问题方面比其他线性分类器具有更好的性能。
2.分类速度快与其他机器学习算法相比，径向基函数网络算法在分类时的速度较快。
这是因为它在训练时能够快速地找到合适的分类器，从而大大缩短了分类时间。
3.容易并行化处理随着计算机硬件和软件的不断发展，多核处理器的应用越来越普遍。
对于很多大规模数据处理的应用，径向基函数网络算法能够被很好地并行化处理。
这使得它在分布式计算环境下的并行计算有着很好的应用前景。
三、径向基函数网络算法在分类问题中的应用实例1.手写数字识别手写数字识别是图像处理中一个经典的问题，很多机器学习算法都会应用于此类问题中。
在手写数字识别中，数据的特征维度很高，而且数据本身也很复杂。
径向基函数网络算法可以有效地解决这类问题，在很多实验中表现出了良好的分类效果。
2.互联网安全领域在互联网安全领域，径向基函数网络算法被广泛用于恶意代码检测、垃圾邮件过滤等问题中。
径向基函数网络
RBF：组合线性 GRNN：纯线性
PNN：竞争
可以实现函数逼近、系统建模和分类功能 可直接创建，速度快
GRNN 隐藏层 W1 B1 线性层 W2 P 0.8326 /srpead T RBF 可调 0.8326 /srpead 可调
B2
无
可调
GRNN的构建
函数：net
实现：
隐藏层权值置为P 隐藏层阈值置为0.8326/srpead 线性层权值置为T
= newgrnn(P,T,SPREAD)
径向基神经网络结构
两层前馈网络 隐藏层为径向基神经元层 输出层为线性层
径向基神经网络特点分析
对于单个神经元，输入与权值的距离越近
输出越大，即只对某个局部有响应 半衰距离spread：调节响应局部的衰减特性
n w p b
阈值b调整响应局部的映射（范围） a radbas (n) 隐藏层径向基神经元的个数确定了响应局
第七章 径向基函数网络
径向基函数
Radial Basis Function－RBF 径向基函数又称为辐射基函数 常用形式：高斯函数－radbas 关键参数：半衰期
radbas(n) e
n2
径向基神经元
特殊的功能：输入矢量p和权值w之间的距离乘以 阈值b
n w p b a radbas (n)
通过LW×a1＝n2进行合并 a1（Q×1）；LW（K×Q）；n2（K×1）
比较n2中的各个分量，认为属于样本属于最
大分量所对应的那个类
PNN的构建
函数：net 实现：
隐藏层权值置为P
= newpnn(P,T,SPREAD)
径向基函数神经网络学习动态
4 wh r
3 h
o
i 1
N i 1
N
hi hi
e || x1 c h || 0
2
4 wh r
2 h
e
hi
ohi ( xi c h ) 0
T
2(eh 1 wh oh ) oh
河南科技大学
HUST
通过上面三个式子我们可以得到：
HUST
河南科技大学
HUST
河南科技大学
• 概念： • 最小网络结构：在能对给定目标函数或训 练样本实现给定精度学习的RBF网络中， 称具有最少隐节点的网络为最小网络。 • 隐节点重合：算法收敛时，如果两个隐节 点具有相同的中心和宽度，则称这两个隐 节点重合，如果隐节点还具有相同的输出 权值，则称这两个隐节点完全重合。 • 隐节点外移：算法收敛前，某隐节点对样 本输出矢量不等于0，而算法收敛时该隐节 点的数据中心位于样本输入区域以外，且 其宽度也已经不足以影响输入区域的样本， 导致输出等于0的现象称为隐节点外移
T
2 h
o o
T h
c h
T h
oh oh
rh
2 h
rh
2 ( eh 1 wh oh ) oh
(1)
河南科技大学
其中
o 2 r
2 h T h
c h
[ oh1 ( x1 c h ), oh 2 ( x 2 c h ), , ohN ( x N c h )]
人工神经网络
Artificial Neural Networks ANN
李晓强 Email：sxxqli@ 河南科技大学
HUST
河南科技大学
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4.概率神经网络
PNN网络的优点 Ø训练容易，收敛速度快，从而非常适用于实时处理。
Ø 可以实现任意的非线性逼近，用PNN网络所形成的判决曲面 与贝叶斯最优准则下的曲面非常接近。
Ø 只要有充足的样本数据，概率神经网络都能收敛到贝叶斯分 类器，没有BP网络的局部极小值问题
Ø 扩充性能好。网络的学习过程简单，增加或减少类别模式时 不需要重新进行长时间的训练学习
在实际应用中，一般都采用广义径向基函数网络。
2.径向基神经网络的学习算法
I
ykj 0 j ij ( X k , X i ), j 1, 2,, J i 1
Ø 确定隐含层结点中心 Ø 隐含层中基函数的标准差 Ø 网络权值（隐含层到输出层）
随机选取固定中心、自组织选取中心、有监督选取中心、正交最小二乘法
dmax
2n
dmax 所选取的中心之间的最大距离 n为隐含节点的个数
网络权值可以采用伪逆法 ω = G+d G为隐含层输出，d为输出层的期望输出
3.径向基神经网络与多层感知器的比较
Ø 径向基神经网络是三层网络（输入层、隐含层、输出层），只有一个隐 含层，而多层感知器则可以有多个隐含层 Ø 径向基神经网络的隐含层和输出层完全不同，隐含层采用非线性函数 （径向基函数）作为基函数，而输出层采用线性函数，两者作用不同。 Ø 径向基神经网络的基函数计算的是输入向量与基函数中心之间的欧式距 离（两者取差值，再取欧几里德范数），而多层感知器的隐单元的激励函 数则计算输入向量与权值的内积 Ø 多层感知器对非线性映射全局逼近 ，径向基函数局部逼近
net=newr网络的一个特点就是：隐含节点的个数等于输入训 练样本的个数。因此如果训练样本的个数N过大，网络的计算 量将是惊人的，从而导致过低的效率甚至根本不可实现。
解决的方案是用Galerkin方法来减少隐含层神经单元的个 数，此时求得的解是较低维数空间上的次优解 。这就是广义 网络
用。
由三层构成的前向网络 。
Ø径向基网络
Ø 第一层为输入层，节点个数等于输入的维数；
Ø概率神经网络
Ø 第二层为隐含层，节点个数视问题的复杂度而定； Ø广义回归网络模式分类 Ø 第三层为输出层，节点个数等于输出数据的维数。 和函数逼近
隐含层是非线性的，采用径向基函数作为基函数，从而将 输入向量空间转换到隐含层空间，使原来线性不可分的问题 变得线性可分，输出层则是线性的。
test=1:.2:10;
out=sim(net,test);
% 对新的输入值test计算相对应的函数值
figure(1);hold on;plot(test,out,'b-');
legend('输入的数据','拟合的函数');
n
CMi k
i0
6.径向基神经网络相关函数详解
newrbe——设计一个严格的径向基网络 ————正则化RBF网络
6.径向基神经网络相关函数详解
newrb——设计一个径向基函数网络. 函数创建一个径向基函数网络，该网络向隐含层添加隐含节点，直到 均方误差满足要求为止
net=newrb(P,T,goal,spread,MN,DF)
P是R*Q输入矩阵：每列一个输入样本 T是S*Q期望输出矩阵：每列一个输出样本 goal是标量，为指定的均方误差，缺省值为0 spread也是标量，表示径向基函数的扩散速度，缺省值为1
4.概率神经网络
概率神经网络（Probabilistic Neural Networks，PNN）在模式 分类问题中获得了广泛应用 。
概率神经网络可以视为一种径向基神经网络，在RBF网络的 基础上，融合了密度函数估计和贝叶斯决策理论。在某些易满足的
条件下，以PNN实现的判别边界渐进地逼近贝叶斯最佳判定面。
5.广义回归神经网络
广义回归神经网络（General Regression Neural Network，GRNN）是 径向基网络的另外一种变形形式
广义回归网络以径向基网络为基础，因此具有良好的非线性逼近性能， 与径向基网络相比，训练更为方便
广义回归神经网络尤其适合解决曲线拟合的问题
在MATLAB中newgrnn函数可以方便的实现GRNN网络
6.径向基神经网络相关函数详解
生成正弦函数，加入均匀分布的噪声，再用newrb建立 径向基函数进行拟合。
P=1:.5:10;
rand('state',pi);
T=sin(2*P)+rand(1,length(P));
% 给正弦函数加噪声
plot(P,T,'o')
% net=newrb(P,T);
net=newrb(P,T,0,0.6);
第7章 径向基函数网络
编者
Outline
n 1.径向基神经网络的两种结构 n 2.径向基神经网络的学习算法 n 3.径向基神经网络与多层感知器的比较 n 4.概率神经网络 n 5.广义回归神经网络 n 6.径向基神经网络相关函数详解 n 7.径向基网络应用实例
1.径向基神经网络的两种结构
Broomhead和Lowe根据生物神经元具有局部响应的原理，将 径向基函数引入到神经网络中。很快，RBF网络被证明对非线性 网络具有一致逼近的性能，在不同行业和领域逐步得到了广泛应
贝叶斯：通过先验 概率求后验概率。
p c1
x
p c1 p x
px
c1
4.概率神经网络
概率神经网络由输入层、隐含层、 求和层和输出层组成
Ø 第一层为输入层，用于接收来自训练样本的值，将数据传递给隐含层 Ø 径向基层，每一个隐含层的神经元节点拥有一个中心，该层接收输入 层的样本输入，计算输入向量与中心的距离，最后返回一个标量值 Ø 求和层把隐含层中属于同一类的隐含神经元的输出做加权平均 Ø 输出层取求和层中最大的一个作为输出的类别
1.径向基神经网络的两种结构
径向基函数：有多种形式，其中 最为常用的，是高斯函数
( X -Xi )
输入层
隐含层
输出层（线性）
1.正则化网络是一个通用逼近器，这意味着，只要有足够多的隐 含节点，它就可以以任意精度逼近任意多远连续函数。
2.给定一个未知的非线性函数f，总可以选择一组系数，使得网络 对f的逼近是最优的。