第十八章平行四边形复习教案
人教版八年级下册第18章《平行四边形复习》优课教案(配套A)
第18章平行四边形复习教学设计教学流程安排教学过程设计问题与情境师生行为设计意图[联想旧知，引出课题]复习平行四边形及特殊平行四边形的定义、性质和判定方法，学生在课下复习平行四边形的相关内容，小组讨论，加深印象教师引出课题问题1：复习平行四边形的基本内容问题2：复习特殊平行四边形的内容问题3、：复习他们之间关系的转变[引出问题，回顾复习]1、如图:已知正方形ABCD的边长为8，M在DC上，DM=2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是__________ 命题角度：1. 利用正方形及最短路径相关知识求线段的长度；2、如图，在矩形ABCD中，AB=6 cm,∠ACB=30°， AC为矩形的对角线，点p为AC上一个动点，过点P分别向AB,BC作垂线，垂足为EF. 求EF 的最小长度是多少? 2. 利用矩形性质解决最小值问题．命题角度：1. 求最短路线问题；2. 求有关长度问题．通过实践操作，加深学生对相关知识的理解通过对考点的逐层分析，巩固学生对平行四边形的内容的应用[观察思考，总结规律] 3、如图，在四边形ABCD 中，AD//BC, ∠B=90°，CD=10cm，AD=15cm.BC= 21cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动。
设运动时间为ts.(1)当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形?四边形PQCD能为菱形吗? 1．教师引导学生运用所学知识解决实际问题。
2.引导学生说出解题思路，运用了哪些知识点。
学生通过组内交流分析:【变式1】平行四边形成为菱形的判定方法1、巩固所学知识，练习应用；2、针对学生素质的差异进行分层训练，既使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高，不同的学生有不同的发展。
充分锻炼学生的“形”“数”结合能力。
(2)当t为何值时，四边形ABQP为矩形?(3)若去掉∠B=90°，增加条件∠C= 60°，当t 为何值时，PQ⊥BC？【变式2】平行四边形成为矩形的判定方法平行四边形找规律型，此题主要是用来巩固平行四边形的应用[盘点反思内化提升] 1、说说你的收获和体会。
人教版八年级数学下册第十八章平行四边形《特殊平行四边形复习》教学设计
为了巩固学生对特殊平行四边形性质的理解，提高学生的几何素养，特布置以下作业：
1.必做题：
-请学生完成教材第十八章复习题中关于特殊平行四边形的题目，确保掌握基本性质和计算方法。
-从生活实际中选取一个特殊平行四边形的例子，描述其特点和应用，并画出图形，以加深对性质的理解。
-结合课堂学习，尝试编写一道应用特殊平行四边形性质解决实际问题的题目，并与同学互相交流、讨论。
（二）教学设想
1.教学方法：
-采用问题驱动的教学方法，通过设计具有挑战性的问题，激发学生的好奇心，引导他们主动探究特殊平行四边形的性质。
-运用比较、归纳、演绎等思维方法，帮助学生形成系统的知识结构，提高几何证明能力。
-利用现代信息技术，如几何画板、多媒体演示等，增强学生对几何图形的直观感受，提高空间想象力。
二、学情分析
八年级学生已经具备了一定的几何基础，对平行四边形的性质和判定方法有了一定的了解。在此基础上，他们对特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）的性质和应用已有初步的认识，但在深入理解和灵活运用方面还存在一定的困难。因此，在教学过程中，应关注以下几点：
1.学生在分析特殊平行四边形性质时，往往容易忽略性质之间的联系，需要引导他们通过比较、归纳，形成系的知识体系。
3.设计丰富的课堂活动，如小组讨论、几何画板演示、实际操作等，增强学生对特殊平行四边形性质的理解，提高学生的几何直观和空间想象力。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学学习的兴趣，培养学生积极、主动、合作的学习态度，让学生体验数学探究的乐趣。
2.培养学生严谨、细致、踏实的科学精神，使学生认识到数学的实用价值和美学价值，增强对数学的热爱。
-鼓励学生利用几何画板等工具，动态演示特殊平行四边形的性质，加深对几何图形的认识。
八年级下册第18章-平行四边形-全章教案
第十八章平行四边形18.1.1 平行四边形及其性质(一)教学目标：1．理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．2．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．3．培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力．重点、难点4．重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用．5．难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．教学过程一.温故知新：1.有两组对边__________________的四边形叫平形四边形，平行四边形用“______”表示，平行四边形ABCD记作__________。
2.如图□ABCD中，对边有______组，分别是___________________，对角有_____组，分别是_________________，对角线有______条，它们是___________________。
二.学习新知：1.自学课本P83～P84，填空：平行四边形的性质（1）边：_________________________________________________________（2）角：_________________________________________________________ 例：□ABCD 中，如果AB ∥CD ，那么AB =______，BC =______，∠A =______，∠B =______. 三.释疑提高：1.□ABCD 中，两邻角之比为1∶2，则它的四个内角的度数分别是____________.2.□ABCD 的周长是28cm ，△ABC 的周长是22cm ，则AC 的长是__________.3.如图，在□ABCD 中，M 、N 是对角线BD 上的两点，BN=DM ，请判断AM 与CN 有怎样的数量关系，并说明理由.它们的位置关系如何呢？4.如图，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，若∠EAF =60°，BE =2cm ，DF =3cm ，求□ABCD 的周长和面积.若问题改为CF =2cm ，CE =3cm ，求□ABCD 的周长和面积.四.小结归纳： 五．巩固检测NMDCBAFEDCBA18.1.1 平行四边形的性质(二)教学目标：1、理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质．2、能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题．3、培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力． 重点、难点重点：平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用． 难点：综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算． 教学过程 一.温故知新：1.平行四边形的定义是：_______________________________________________.2.所学平行四边形的性质有：平行四边形的对边______________，平行四边形的对角______________.3.如图，在□ABCD 中，BC=2AB ，M 是AD 的中点，则∠BMC =___________. 二.学习新知：1.自学课本P 85～86内容，填空：平行四边形的又一个性质是：______________________________，当图形中没有平行四边形的对角线时，往往需作出对角线. 由此得到平行四边形的性质有：（1）边：_____________ （2）角：_____________ （3）对角线：MD CBA_____________ 三.释疑提高：1.在□ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，已知AB =8cm ，BC =6cm ，△AOB 的周长是18cm ，那么△AOD 的周长是_____________.2. □ABCD 的对角线交于点O ，S △AOB =2cm 2，则S □ABCD =__________.3. □A BCD 的周长为60cm ，对角线交于点O ，△BOC 的周长比△AOB 的周长小8cm ，则AB =______cm ，BC =_______cm .4. □ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，若AC =8，AB =6，BD =m ，那么m 的取值范围是____________.5. □ABCD 中，E 、F 在AC 上，四边形DEBF 是平行四边形.求证：AE=CF .6.如图，田村有一口四边形的池塘，在它的四角A 、B 、C 、D 处均有一棵大桃树.田村准备开挖养鱼，想使池塘的面积扩大一倍，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状，请问田村能否实现这一设想？若能，画出图形，说明理由.四.小结归纳： 五．巩固检测ODCBAFE DCBADCBA18.1.2 平行四边形的判定（一）教学目标：在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题． 培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题． 重点、难点重点：平行四边形的判定方法及应用．难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用． 教学过程 一.温故知新1.如图在平行四边形ABCD 中，DB =DC ，∠A =65°，CE ⊥BD 于E ，则∠BCE = .2.如图，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，已知AE =4，AF =6，□ABCD 的周长为40，试求□ABCD 的面积。
八年级平行四边形复习教案
教案内容备课记录第十八章《平行四边形》复习课教案【教学目标】1、通过对几种平行四边形的回顾与思考，使学生梳理所学的知识，系统地复习平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定方法；2、正确理解平行四边形与各种特殊平行四边形的联系与区别，在反思和交流过程中，逐渐建立知识体系；3、引导学生独立思考，通过归纳、概括、实践等系统数学活动，感受获得成功的体验，形成科学的学习习惯。
【教学重点】1、平行四边形与各种特殊平行四边形的区别。
2、梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形的知识体系及应用方法。
【教学难点】平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定的综合运用。
【教学模式】以题代纲，梳理知识-----变式训练，查漏补缺 -----综合训练，总结规律-----测试练习，提高效率考点呈现考点一求度数例1如图1，在□ABCD中，CE⊥AB，E为垂足．如果∠A=125°，则∠BCE=（）A.550B.350C.300D.250解析：本题只要求出∠B的度数，就可以得到∠BCE的度数，由已知□ABCD中，∠A=125°，知∠A+∠B=180°，得∠B=55°.进而得∠BCE=35°.故选B.点评：本例也可以利用对边平行、对角相等来求．考点二平行四边形的性质例2 如图2，在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD，AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（）A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm解析：本题要求△ABE 的周长，就是求AB+BE+EA 的值，而题目所给的条件是□ABCD 的AC ，BD 相交于点O ，可得AC 、BD 互相平分，即O 是BD 的中点，又OE ⊥BD 交AD 于E ，可知OE 是BD 的垂直平分线，则有BE=DE ，所以AB+BE+EA=AB+DE+EA=AB+ DA=21×20=10（cm ）.故选D ． 点评：本例利用平行四边形及线段垂直平分线的性质把所要求的三角形的周长转化为平行四边形两邻边的和，使问题得到解决.考点三 正方形的性质例3 （1）如图3，在正方形ABCD 中,点E ，F 分别在边BC 、CD 上，AE ，BF 交于点O ，∠AOF ＝90°.求证：BE ＝CF.(2) 如图4，在正方形ABCD 中，点E ，H ，F ，G 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，EF ，GH 交于点O ，∠FOH ＝90°, EF ＝4.求GH 的长.(3) 已知点E ，H ，F ，G 分别在矩形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上，EF ，GH 交于点O ，∠FOH ＝90°,EF ＝4. 直接写出下列两题的答案：①如图5，矩形ABCD 由2个全等的正方形组成，求GH 的长；②如图6，矩形ABCD 由n 个全等的正方形组成，求GH 的长(用n 的代数式表示).图5图6解析：（1）要证BE=CF ，发现它们分别在△ABE 和△BCF 中，由已知条件可以证出△ABE ≌△BCF ；第（2）可以借助（1）的解法，作出辅ABCDOE图3 图4助线，构造成（1）的形式；而（3）则是在前两问的基础对规律的总结，发现在正方形内互相垂直的两条线段相等.(1) 因为四边形ABCD 为正方形，所以AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°，所以 ∠EAB+∠AEB=90°. 因为∠EOB=∠AOF ＝90°， 所以∠FBC+∠AEB=90°， 所以∠EAB=∠FBC ，所以△ABE ≌△BCF ，所以BE=CF ．(2)如图7,过点A 作AM//GH 交BC 于M ，过点B 作BN//EF 交CD 于N,AM 与BN 交于点R ，则四边形AMHG 和四边形BNFE 均为平行四边形，所以 EF=BN,GH=AM ，因为∠FOH ＝90°, AM//GH ，EF//BN ，所以∠NRA=90°,故由(1)得, △ABM ≌△BCN ，所以AM=BN.所以GH=EF=4．(3) ① 8．② 4n ．点评：这是一道猜想题，由特殊的图形得到结论，进一步推广到在其它情况下也成立，这是今后中考常见的一个题型，需要我们认真观察、计算、猜想、推广应用.考点四 四边形的折叠例4 将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF .若AB =3，则BC 的长为（ ）A.1B.2C.2D.3解析：由对矩形的折叠过程可知，矩形ABCD 是一个特殊的矩形，否则折叠后难以得到菱形，据此，矩形的对角线等于边BC 的2倍，于是，在Rt △ABC 中利用勾股定理即可求解.由题意知AC =2BC ，在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AC 2=AB 2+BC 2，即4BC 2=AB 2+BC 2，而AB =3，所以BC =3.故应选D .点评：有关特殊四边形的折叠问题历来是中考命题的一个热点，求解时只要依据折叠的前后的图形是全等形，再结合特殊四边形的有关知识就可以解决问题.误区点拨 ABCDFEOABCD图7RNM一、平行四边形的性质用错例1如图1，在平行四边形ABCD 中，下列各式：①012180∠+∠=；②023180∠+∠=； ③034180∠+∠=；④024180∠+∠=.其中一定正确的是（ ） A ．①②③ B ．②③④ C ．①②④ D ．①③④ 错解：选B 、C 、D.剖析：平行四边形的两组对边分别平行，对角相等的性质，同时考查了平行线的，因为∠1与∠2互补，所以012180∠+∠=，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB ∥DC ，AD ∥BC ，∠2 =∠4，所以034180∠+∠=，23180∠+∠=.正解：选A.例2 如图2，平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于O 点，若AC=8，BD=6，则边长AB 取值范围为（ ）A ．1＜AB ＜7 B ．2＜AB ＜14C ．6＜AB ＜8D ．3＜AB ＜14 错解：选B.剖析：本题错误原因在于没有搞清这三条边是否在同一个三角形中就用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边来判定.在平行四边形ABCD 中，两条对角线一半与平行四边形一边组成一个三角形然后再求取值范围.正解：选A.二、运用判定方法不准确例3已知，如图3，在□ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点. 求证：（1）△AFD ≌△CEB ； （2）四边形AECF 是平行四边形. 错解：（1）在□ABCD 中，AD=CB ，AB=CD ，∠D=∠B. 因为E ，F 分别是AB 、CD 的中点，所以11,22DF CD BE AB ==，即DF=BE.在△AFD 和△CEB 中，AD=CB ，∠D=∠B ，DF=BE ，所以 △AFD ≌△CEB.（2）由（1）知，△AFD ≌△CEB ，所以∠DFA=∠BEC ，所以AF ∥CE ，即四边形ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.BACDO剖析：本例第（1）问是正确的，错在第（2）问选择证平行四边形的方法上，我们利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这个方法时，证明出现了错误.正解：（1）同上.（2）在□ABCD中，AB=CD，AB∥CD，由（1）得BE=DF，所以AE=CF.所以，四边形AECF是平行四边形.例4 如图4，在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，点E在BC上，点F 在AD上，AF=CE，EF与对角线BD相交于点O.试说明：O是BD的中点.错解：在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，所以四边形ABCD是平行四边形，又因为AF=CE，所以O是BD的中点.剖析：本例主要错在误认为O是平行四边形ABCD对角线的交点上，但我们观察图形可以发现EF与BD为四边形FBED的对角线，只要得到四边形FBED 是平行四边形，就能根据平行四边形的对角线互相平分这一性质即可得到O是BD 的中点.正解：连接FB，DE，因为AB=DC，AD=BC，所以四边形ABCD是平行四边形．所以FD∥BE．又因为AD=BC，AF=CE，所以FD=BE．所以四边形FBED是平行四边形．所以BO＝OD，即O是BD的中点．。
八年级数学下册18平行四边形复习一教案新版新人教版
第18章平行四边形复习一、复习目标1、经历平行四边形基本性质，常见判定方法的复习交流过程，使学生学会“合乎逻辑地思考”，建立知识体系，获得一定的技能基础．2、让学生理解平面几何观念的基本途径是多种多样的，感知和体验几何图形的现实意义，体验二维空间相互转换关系．3、通过对正方形的探索学习，体会它的内在美和应用美.二、课时安排1课时三、复习重难点重点：平行四边形的性质以及判定．难点：定理的综合应用．四、教学过程(一)知识梳理1、平行四边形定义：2、平行四边形的性质：3、平行四边形的判定：4、三角形的中位线概念：5、三角形的中位线三角形的第三边，且等于第三边的 .6、一个三角形有中位线。
(二)题型、技巧归纳考点一平行四边形的定义例1、如图， ABCD中，∠A=120°，则∠1= 。
考点二平行四边形的性质例2．平行四边形ABCD中，AB=6cm，AC+BD=14cm ，则△AOB的周长为多少？考点三平行四边形的判定例3、点A、B、C、D在同一平面内，从①AB//CD；②AB＝CD；③BC//AD；④BC＝AD四个条件中任意选两个，不能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（）A．①②B．②③C．①③D．③④考点四三角形中位线例4．△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，若DE＝4，AD＝3，AE＝2，则△ABC的周长为。
（三）典例精讲1.如图,在平行四边形ABCD中,已知∠ODA=90°,AC=10cm,BD=6cm,则AD的长为( )A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm2.如图,在周长为20cm的▱ABCD中,AB≠AD,AC,BD相交于点O,OE⊥BD交AD于E,则△ABE的周长为( )A.4 cmB.6 cmC.8 cmD.10 cm3.如图,在平行四边形ABCD中,AD=5cm,AB⊥BD,点O是两条对角线的交点,OD=2 cm,则AB=＿＿＿＿＿＿cm.4.如图所示,平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线分别交AD,BC于点M,N,若△CON的面积为2,△DOM的面积为4,则△AOB的面积为＿＿＿＿＿＿.5.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,如果AC=14,BD=8,AB=x,那么x的取值范围是＿＿＿＿＿＿.6.已知,如图,O为▱ABCD的对角线AC的中点,过点O作一条直线分别与AB,CD交于点M,N,点E,F 在直线MN上,且OE=OF.(1)图中共有几对全等三角形?请把它们都写出来；(2)求证:∠MAE=∠NCF.（四）归纳小结1．本节课学习了哪些主要内容？2．在平行四边形的综合应用时要注意哪些问题？（五）随堂检测1．在平行四边形ABCD中，∠A=70°，∠D= , ∠BCD=______．2.平行四边形的两邻边分别为6和8，那么其对角线应（）A．大于2， B．小于14C．大于2且小于14 D．大于2或小于123、如图，平行四边形ABCD中，AB=5，AD=8，∠ BAD 、∠ADC的平分线分别交BC于点E、F上，则EF= 。
18章平行四边形复习教案
教学重点
掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定
教学难点
平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定的综合应用
教法学法
本节课主要以“教师主导—学生主体”的教学思想为指导，“361高效课堂”的教学要求为主线，以题代纲，梳理知识；学习方式采用自主学习、小组合作交流相结合的方式，进行“探究式学习”，提升学生学习能力。
教学准备
1、多媒体课件
2、三角板
教学过程
师生活动
设计意图
教学设计
科目
数学
课题பைடு நூலகம்
18章平行四边形复习课
授课教师
单位
教材版本
新人教版
课型
复习课
教材分析
本章是学生在掌握平行线，三角形，全等三角形等有关知识，且具备初步的观察，操作等活动经验的基础上出现的。通过本节的学习使学生清楚地理解各种平行四边形的关系并掌握它们的性质与判定，进一步培养学生的合情推理能力，发展学生的逻辑思维能力与推理论证能力。
学情分析
平行四边形这一章知识点多，各种平行四边形的定义、性质、判定及一些相关定理、性质，学生对一般的平行四边形的知识掌握较好，而特殊的平行四边形的性质、判定容易混淆，特别是学生在应用它们的性质与判定的时候常出现用错、多用、少用条件的错误。
教学目标
1、进一步理解平行四边形和各种特殊的平行四边形的关系
2．掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定并综合应用
人教版八年级数学下册第18章平行四边形复习课教学设计
（二）过程与方法
1.通过复习课的教学，引导学生自主探究、合作交流，提高学生的几何逻辑思维能力。
2.利用实际问题，激发学生的兴趣，培养学生的几何直观和空间想象能力。
3.设计具有层次性的练习题，使学生在解决问题的过程中，逐步提高解题能力和技巧。
（2）从生活中寻找一个实例，运用平行四边形的性质和判定方法进行分析，并简要说明。
2.选做题：
（1）探究题目：矩形、菱形、正方形各自具有哪些独特的性质？它们之间的关系是什么？
（2）拓展题目：运用平行四边形的性质，解决以下问题：一个平行四边形的对角线互相垂直，求证该平行四边形是菱形。
3.小组合作任务：
以小组为单位，设计一道关于平行四边形的实际问题，要求包含平行四边形性质和判定方法的应用。小组成员共同讨论，解决问题，并在课堂上进行展示。
7.总结提炼，形成知识体系
在复习课结束时，引导学生总结平行四边形的知识点，形成完整的知识体系，提高学生的归纳、总结能力。
8.拓展延伸，激发兴趣
设计一些拓展性问题和实际应用题，激发学生的学习兴趣，提高学生的创新思维和解决问题的能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动：利用多媒体展示一组生活中常见的平行四边形实物图片，如建筑物的立面、操场上的跑道等，引导学生观察并说出这些图形的共同特征。
人教版八年级数学下册第18章平行四边形复习课教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握平行四边形的性质，如对边平行且相等、对角线互相平分等，并能运用这些性质解决实际问题。
2.培养学生运用平行四边形的判定方法，如两组对边分别平行、一组对边平行且相等、对角线互相平分等，识别和构造平行四边形。
人教版八年级下册数学第18章《平行四边形》教案
-特殊平行四边形的性质和判定：矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形的性质和判定方法，以及它们在实际问题中的应用。
-平行四边形的面积计算：掌握平行四边形面积计算公式（底乘以高），并能应用于实际计算。
举例：
在讲解平行四边形性质时，可以通过实际操作教具或动态软件演示，让学生直观地看到对边平行且相等、对角相等等现象，从而加深理解。
3.提升几何直观：通过画图、观察、操作等实践活动，增强学生对几何图形的直观感知，提高几何直观能力。
4.培养数学抽象：让学生从具体实例中抽象出平行四边形的性质，培养数学抽象素养。
5.强化数学运算：在学习平行四边形面积计算过程中，提高学生的数学运算能力，特别是对特殊平行四边形的灵活运用。
三、教学难点与重点
首先，对于平行四边形判定方法的理解和应用，部分学生仍然存在困难。在接下来的教学中，我需要加强对这一部分的讲解和练习，通过更多具体的实例和图形，帮助学生更好地理解和运用。
其次，在实践活动环节，我发现学生们在分组讨论时，有些小组的讨论并不充分，部分学生参与度不高。为了提高学生的参与度，我打算在下次课堂上尝试采用更多互动性强的教学方式，如小组竞赛、角色扮演等，激发学生的学习兴趣。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与平行四边形相关的实际问题，如如何计算平行四边形的面积。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用纸片拼出平行四边形，并测量其面积。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
人教版初中数学八年级下册第十八章《平行四边形》复习教案
《平行四边形》1、菱形的两条对角线长分别是6厘米和8厘米，则菱形的边长为厘米。
2、顺次连结矩形ABCD各边中点所成的四边形是。
3、若正方形ABCD的对角线长10厘米，那么它的面积是平方厘米。
4、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，轴对称图形有：，中心对称图形的有：，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是：。
（二）归纳整理，形成体系1、性质判定，列表归纳2、基础练习：（1）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）A ．对角线相等 （距、正） B. 对角线平分一组对角 （菱、正） C ．对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 （菱、正）（2）、正方形具有，矩形也具有的性质是（ ）A ．对角线相等且互相平分 B. 对角线相等且互相垂直 C. 对角线互相垂直且互相平分 D. 对角线互相垂直平分且相等（3）、如果一个四边形是中心对称图形，那么这个四边形一定（ ） A ．正方形 B ．菱形 C ．矩形 D ．平行四边形 都是中心对称图形，A 、B 、C 都是平行四边形（4）、矩形具有，而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对边平行且相等 D. 内角和为3600（5）、正方形具有而矩形不具有的特征是（ ） A. 内角为3600 B. 四个角都是直角 C. 两组对边分别相等 D. 对角线平分对角二、查漏补缺 例题1已知：如图1，□ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ， EF 过点O 与AB 、CD 分别交于点E 、F ． 求证：OE=OF ．BC例题2已知：如图，在正方形ABCD ，E 是BC 边上一点，F 是CD 的中点，且AE = DC + CE ．求证：AF 平分∠DAE ．巩固练习一、选择题1.如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD =6，BD =4，CD =3，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点，则四边形EFGH 的周长是（ ） A ．7 B ．9 C ．10 D ．112.已知□ABCD 的周长为32，AB=4，则BC=（ ）. A.4 B.12 C.24 D.283.在□ABCD 中，点E 为AD 的中点，连接BE ，交AC 于点F ，则AF ：CF ＝（ ） A ．1：2 B ．1：3 C ．2：3 D ．2：54.四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，给出下列四组条件：①AB ∥CD ，AD ∥BC ；②AB =CD ，AD =BC ；③AO =CO ，BO =DO ；④AB ∥CD ，AD =BC ．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组A DE例25.如图（二）所示，ABCD Y 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且AB ≠AD ，则下列式子不正确的是（ ） A.AC ⊥BD B.AB ＝CD C. BO=OD D.∠BAD=∠BCD6.如图，在平行四边形 ABCD 中(AB≠BC )，直线EF 经过其对角线的交点O ,且分别交AD 、BC 于点M 、N ，交BA 、DC 的延长线于点E 、F ，下列结论：①AO=BO ；②OE=OF ； ③△EAM ∽△EBN ；④△EAO ≌△CNO ，其中正确的是( ) A. ①② B. ②③ C. ②④ D.③④二、填空题1.如图，在□ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，∠ABC ＝60°，过BC 的中点E 作EF ⊥AB ，垂足为点F ，与DC 的延长线相交于点H ，则△DEF 的面积是 .2.如图，D ，E ，F 分别为△ABC 三边的中点，则图中平行四边形的个数为________．9题图ABCEM N OH F ECBAABCDEF3. 如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AC 、BD 相交于点O.若AC=6，则线段AO 的长度等于___________.4. 如图，在□ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，点E 是AB 的中点，OE ＝3cm ，则AD 的长是__________cm ．5.如图，□ ABCD 中，E 是BA 延长线上一点，AB ＝AE ，连结CE 交AD 于点F ，若CF 平分∠BCD ，AB ＝3，则BC的长为 ．三、解答题1.如图，已知E 、F 是□ABCD 对角线AC 上的两点，且BE ⊥AC ，DF ⊥AC .（1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）请写出图中除△ABE ≌△CDF 外其余两对全等三角形（不再添加辅助线）．F E A B CD2. 如图，E F 、是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的点，CE AF ，请你猜想：线段BE 与线段DF 有怎样的关系？并对你的猜想加以证明。
第十八章平行四边形复习教案范文
《平行四边形》复习课教案（36、37、38）【教学目标】1、通过对几种平行四边形的回顾与思考，使学生梳理所学的知识，系统地复习平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定方法；2、正确理解平行四边形与各种特殊平行四边形的联系与区别，在反思和交流过程中，逐渐建立知识体系；3、引导学生独立思考，通过归纳、概括、实践等系统数学活动，感受获得成功的体验，形成科学的学习习惯。
【教学重点】1、平行四边形与各种特殊平行四边形的区别。
2、梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形的知识体系及应用方法。
【教学难点】平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定的综合运用。
【教学模式】以题代纲，梳理知识-----变式训练，查漏补缺 -----综合训练，总结规律-----测试练习，提高效率【教具准备】三角板、实物投影仪、电脑、自制课件。
【教学过程】一、以题代纲，梳理知识（一）开门见山，直奔主题同学们，今天我们一起来复习《平行四边形》的相关知识，先请同学们迅速地完成下面几道练习题，请看大屏幕。
（二）诊断练习1、根据条件判定它是什么图形，并在括号内填出，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O：(1) AB＝CD,AD＝BC （平行四边形）(2)∠A＝∠B＝∠C＝90°（矩形）(3)AB＝BC，四边形ABCD是平行四边形（菱形）(4)OA＝OC＝OB＝OD ，AC⊥BD （正方形）(5) AB＝CD, ∠A＝∠C ( ？ )2、菱形的两条对角线长分别是6厘米和8厘米，则菱形的边长为5厘米。
3、顺次连结矩形ABCD各边中点所成的四边形是菱形。
4、若正方形ABCD的对角线长10厘米，那么它的面积是50平方厘米。
5、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，轴对称图形有：矩形、菱形、正方形，中心对称图形的有：平行四边形、矩形、菱形、正方形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是：矩形、菱形、正方形。
（二）归纳整理，形成体系1、性质判定，列表归纳2、基础练习：（1）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（C）A．对角线相等（距、正） B. 对角线平分一组对角（菱、正）C．对角线互相平分 D. 对角线互相垂直（菱、正）（2）、正方形具有，矩形也具有的性质是（A）A．对角线相等且互相平分 B. 对角线相等且互相垂直C. 对角线互相垂直且互相平分D. 对角线互相垂直平分且相等（3）、如果一个四边形是中心对称图形，那么这个四边形一定（D） A．正方形B．菱形C．矩形 D．平行四边形都是中心对称图形，A、B、C都是平行四边形3（4）、矩形具有，而菱形不一定具有的性质是（ B ）A. 对角线互相平分B. 对角线相等C. 对边平行且相等D. 内角和为3600问：菱形的对角线一定不相等吗？错，因为正方形也是菱形。
18章平行四边形小结与复习教案【2023春人教版八下数学优质备课】
回顾与思考：本章我们主要学习了平行四边形的性质定理、判定定理;探索并证明了三角形的中位线定理，介绍了平行线问距离的概念;通过平行四边形边、角的特殊化，获得了特殊的平行四边形——矩形、菱形和正方形，了解了它们之间的关系;根据它们的特殊性，得到了这些特殊的平行四边形的性质定理和判定定理.在学习这些知识的过程中，我们采用了从一般到特殊的研究方法:利用图形的性质定理与判定定理之间的关系，通过证明性质定理的逆命题，得到了图形的判定定理,这些方法在今后的学习中都是很有用的.请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧。
1,你能概述一下研究平行四边形的思路和方法吗?2.平行四边形有哪些性质?如何判定一个四边形是平行四边形?3.矩形、菱形、正方形除了具有平行四边形的性质外，分别还具有哪些性质?如何判定一个四边形是矩形、菱形、正方形?你能总结一下研究这些性质和判定的方法吗?4.本章我们利用平行四边形的性质，得出了三角形的中位线定理,你能仿照这一过程，再得出一些其他几何结论吗?本章学习了哪些特殊的四边形？是按照什么顺序学习这些四边形的？请说说这些四边形之间的关系．各种平行四边形的研究中，它们各自的研究内容、研究步骤、研究方法有什么共同点？能列表说明吗？各种平行四边形的研究中，它们各自的研究内容、研究步骤、研究方法有什么共同点？能列表说明吗？（1）本章研究内容：各种平行四边形的边、角、对角线的特征；（2）研究步骤：下定义→探性质→研判定；（3）研究方法：观察、猜想、证明；建立当前图形（平行四边形）与三角形的联系；从性质定理的逆命题的讨论中研究判定定理；类比、一般到特殊．【课堂探究案】 考点讲练考点一 平行四边形的性质与判定例1 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AG ∥CD 交BC 于点G ，点E 、F 分别为AG 、CD 的中点，连接DE 、FG.(1)求证：四边形DEGF 是平行四边形；(2)如果点G 是BC 的中点，且BC ＝12，CD ＝10，求四边形AGCD 的面积.(1)证明：∵ AG ∥CD ，AD ∥BC∴ 四边形AGCD 是平行四边形∴ AG=CD∵ E 、F 分别为AG 、CD 的中点∴ EG=21AG ，DF=21CD ∴ EG=DF 且EG ∥DF∴ 四边形DEGF 是平行四边形(2)解：∵ 点G 是BC 的中点，BC=12∴ BG=CG=21BC=6 ∵ 四边形AGCD 是平行四边形∴ AG=CD=10在R t △ABG 中，根据勾股定理2222610-=-=BG AG AB =8∴ S 四边形AGCD =6×8=48例2 如图，在□ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在边DA 的延长线上，且AF ＝CE ，EF 与AB 交于点G.(1)求证：AC ∥EF ；(2)若点G 是AB 的中点，BE ＝6，求边AD 的长.(1)证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形∴ AD ∥BC∴ AF ∥CE又∵ AF=CE∴ 四边形AFEC 是平行四边形∴ AC ∥EF(2)解：∵ AD ∥BC ，∴ ∠F=∠BEG ，∠FAG=∠B∵ 点G 是AB 的中点，∴ AG=BG∴ △AGF ≌△BGE (AAS)∴ AF=BE=6∴ CE=AF=6∴ BC=BE+CE=12∵ 四边形ABCD 是平行四边形∴ AD=BC=12考点二 三角形的中位线与R t △斜边上的中线例3 如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，AH 是边BC 上的高.(1)求证：四边形ADEF 是平行四边形；(2)求证：∠DHF ＝∠DEF.证明：(1)∵ 点D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点∴ DE 、EF 都是△ABC 的中位线∴ DE ∥AC ，EF ∥AB∴ 四边形ADEF 是平行四边形(2)∵ 四边形ADEF 是平行四边形∴ ∠DEF=∠BAC∵ D ，F 分别是AB ，CA 的中点，AH 是边BC 上的高∴ DH 、FH 分别是R t △ABH 和R t △ACH 斜边上的中线∴ DH=AD ，FH=AF∴ ∠DAH=∠DHA ，∠FAH=∠FHA∵ ∠DAH+∠FAH=∠BAC∠DHA+∠FHA=∠DHF∴ ∠DHF=∠BAC∴ ∠DHF=∠DEF考点三 特殊平行四边形的性质与判定例4 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE ∥BD ，过点D 作DE ∥AC ，两线相交于点E.(1)求证：四边形AODE 是菱形；(2)连接BE ，交AC 于点F.若BE ⊥DE 于点E ，求∠AOD 的度数.(1)证明：∵ AE ∥BD ，DE ∥AC∴ 四边形AODE 是平行四边形∵ 四边形ABCD 是矩形∴ AC=BD ，OA=21AC ，OD=21BD ∴ OA=OD∴ 四边形AODE 是菱形(2)解：连接OE.由(1)得，四边形AODE 是菱形，∴ AE=AO=BO∵ AE ∥BO ，∴ 四边形AEOB 是平行四边形∵ BE ⊥DE ，DE ∥AC ，∴ BE ⊥AO∴ 四边形AEOB 是菱形∴ AE=AB=BO∴ AB=BO=AO∴ △AOB 是等边三角形∴∠AOD=180°-60°=120°例5如图，已知在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE.(1)试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由；(2)当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论. 解：(1)四边形BECF是菱形.理由如下：∵ EF垂直平分BC，∴ BF=CF，BE=CE∴∠3=∠1∵∠ACB=90°，∴∠3+∠A=90°，∠1+∠2=90°∴∠2=∠A，∴ CE=AE∴ BE=AE∵ CF=AE∴ BE=CE=CF=BF∴四边形BECF是菱形(2)当∠A=45°时，四边形BECF是正方形.证明：∵∠A=45°，∠ACB=90°∴∠CBA=45°∵四边形BECF是菱形∴∠EBF=2∠CBA=90°∴菱形BECF是正方形【课堂检测案】一、分类讨论思想例6 在一个平行四边形中，若一个角的平分线把一条边分成长是2cm和3cm的两条线段，求该平行四边形的周长是多少.解：如图，∵在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE．又∠ABE=∠CBE,∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE．(1)当AE=2时，则平行四边形的周长=2×(2+5)=14．(2)当AE=3时，则平行四边形的周长=2×(3+5)=16．例7 如图，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，BC=10cm，AB=8cm，求：（1）FC的长；（2）EF的长．解：（1）由题意得AF=AD=10cm，在Rt△ABF中，∵AB=8，∴BF=6cm，∴FC=BC-BF=10-6=4(cm)．（2）由题意可得EF=DE，可设DE的长为x，在Rt△EFC中，(8-x)2+42=x2，解得x=5，即EF的长为5cm．例8 如图，平行四边形ABCD中，AC、BD为对角线，其交点为O，若BC=6，BC 边上的高为4，试求阴影部分的面积．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，OB=OD.∵AB∥CD，选做题：教科书第69页复习题18第14题．。
人教版八年级数学下册第18章 平行四边形复习教案
人教版八年级数学下册第18章平行四边形复习教案【思维导图】【教学目标】知识与技能目标1.掌握平行四边形的概念,性质及判定,会判定一个四边形是平行四边形.2.理解矩形、菱形和正方形的概念及它们与平行四边形之间的联系.3.掌握矩形、菱形和正方形的性质和判定,并能灵活运用它们解决问题.过程与方法目标1.在反思和交流的过程中,逐渐建立知识体系,让知识更加系统化.2.通过例题分析,提高学生熟练掌握平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质和判定方法,提高学生的逻辑思维能力.情感、态度与价值观目标引导学生独立思考,通过归纳、概括、实践等数学活动,感受获得成功的体验,形成科学的学习习惯.【教学重点】理解平行四边形与特殊平行四边形的区别和联系,梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形的知识体系及应用方法.【教学难点】平行四边形与特殊平行四边形的定义、性质、判定的综合运用.【知识梳理夯实知识基础】专题一平行四边形的判定、性质及其应用【专题分析】在中考中常围绕平行四边形的概念、判定及性质命题,以选择题、填空题或解答题的形式出现,单独考查性质或者判定的情况较少,一般将平行四边形的判定和性质结合起来综合考查,解决这类问题应熟练掌握平行四边形的概念、判定方法和性质以及三角形等有关知识.例1已知△ABC中,AB=AC,D为△ABC所在平面内的一点,过D作DE∥AB,DF∥AC,DE,DF分别交直线AC、直线AB于点E,F.(1)如图(1),当点D在线段BC上时,通过观察,分析线段DE,DF,AB之间的数量关系,并说明理由;(2)当点D在直线BC上,其他条件不变时,试猜想线段DE,DF,AB之间的数量关系(请直接写出等式,不需证明);(3)如图(2),当点D是△ABC内一点时,过D作DE∥AB,DF∥AC,DE分别交直线AC、直线BC于点E,G,DF交直线AB于F.试猜想线段DE,DF,DG与AB之间的数量关系(请直接写出等式,不需证明).〔解析〕(1)先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形AEDF是平行四边形,则DE=AF.再根据平行线及等腰三角形的性质得出∠FDB=∠B,由等角对等边得到DF=FB,从而可得DE+DF=AF+FB=AB.(2)当点D 在直线BC上时,分三种情况:①当点D在CB延长线上时,如图①,先证明四边形AEDF是平行四边形,则DE=AF,再证明∠FDB=∠FBD,由等角对等边得到DF=FB,从而可得AB=AF－BF=DE－DF;②当点D在线段BC上时,同(1)可得,AB=DE＋DF;③当点D在BC的延长线上时,如图②,先证明四边形AEDF是平行四边形,则DF=AE,再证明∠CDE=∠DCE,由等角对等边得到CE=DE,从而可得AB=AC=AE －CE=DF－DE.(3)先证明四边形AEDF是平行四边形,则DF=AE,再证明∠EGC=∠C,由等角对等边得到EG=DE＋DG=CE,从而可得AB=AC=EC＋AE=DE ＋DG＋DF.解:(1)DE+DF=AB.理由如下:∵DE∥AB,DF∥AC,∴四边形AEDF是平行四边形,∴DE=AF.∵DF∥AC,∴∠FDB=∠C,∵AB=AC,∴∠C=∠B,∴∠FDB=∠B,∴DF=FB,∴DE+DF=AF+FB=AB.(2)当点D在直线BC上时,分三种情况:①当点D在CB延长线上时,如图①,AB=DE－DF;②当点D在线段BC上时,同(1)可得,AB=DE＋DF;③当点D在BC的延长线上时,如图②,AB=DF－DE.(3)AB=DE＋DG＋DF.[解题策略]本题考查了平行四边形的判定与性质,平行线的性质,等腰三角形中等角对等边,综合性较强,难度适中.(2)中分情况讨论是解题的关键.【跟踪练习1】△ABC是等边三角形,点D是边BC上的一点,以AD为边作等边三角形ADE,过点C作CF∥DE交AB于点F.(1)若点D是BC边的中点(如图①),求证EF=CD.(2)在(1)的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比.(3)若点D是BC边上的任意一点(除B,C外,如图②),那么(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.〔解析〕(1)根据△ABC和△AED是等边三角形,D是BC的中点,ED∥CF,可证明△ABD≌△CAF,进而可证明四边形EDCF是平行四边形.(2)在(1)的条件下可直接写出△AEF和△ABC的面积比.(3)根据ED∥FC及题意得出∠ACF=∠BAD,从而可证明△ABD≌△CAF,得出AD=ED=CF,进而可证明四边形EDCF是平行四边形,即可得出EF=DC.证明:(1)∵△ABC是等边三角形,D是BC的中点,∴AD⊥BC,且∠DAB=∠BAC=30°,∵△AED是等边三角形,∴AD=AE=ED,∠ADE=60°,∴∠EDB=90°-∠ADE=90°-60°=30°,∵ED∥CF,∴∠FCB=∠EDB=30°,∵∠ACB=60°,∴∠ACF=∠BAD=30°,又∵∠B=∠FAC=60°,AB=CA,∴△ABD≌△CAF,∴AD=CF,∵AD=ED,∴ED=CF,又∵ED∥CF,∴四边形EDCF是平行四边形,∴EF=CD.解:(2)△AEF和△ABC的面积比为1∶4.(3)成立.证明如下:∵ED∥FC,∴∠EDB=∠FCB,∵∠AFC=∠B+∠FCB=60°+∠FCB,∠BDA=∠ADE+∠BDE=60°+∠BDE,∴∠AFC=∠BDA.又∵∠B=∠FAC=60°,AB=CA,∴△ABD≌△CAF,∴AD=FC,∵AD=ED,∴ED=CF,又∵ED∥CF,∴四边形EDCF是平行四边形,∴EF=DC.专题二矩形的判定、性质及其应用【专题分析】在中考中有的单独考查矩形的性质,有的单独考查矩形的判定,但二者结合起来考查较多,可以以选择题、填空题或解答题的形式出现.例2如图,O是矩形ABCD的对角线的交点,E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD上的点,且AE=BF=CG=DH.(1)求证四边形EFGH是矩形;(2)若E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点,且DG⊥AC,OF=2 cm,求矩形ABCD 的面积.〔解析〕(1)首先证明四边形EFGH是平行四边形,然后再证明HF=EG.(2)根据题意求出矩形ABCD的宽CD和长BC,然后根据矩形面积公式求解.证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OB=OC=OD,∵AE=BF=CG=DH,∴AO-AE=OB-BF=CO-CG=DO-DH,即OE=OF=OG=OH,∴四边形EFGH是平行四边形,又OF+OH=OE+OG,即FH=EG,∴四边形EFGH是矩形.解:(2)∵G是OC的中点,∴GO=GC.∵DG⊥AC,∴∠DGO=∠DGC=90°.又∵DG=DG,∴△DGC≌△DGO,∴CD=OD.∵F是BO中点,OF=2 cm,∴BO=4 cm.∵四边形ABCD是矩形,∴DO=BO=4 cm,∴DC=4 cm,DB=8 cm,∴CB==4(cm)∴矩形ABCD的面积=4×4=16(cm2).[解题策略]本题主要考查矩形的判定,首先要判定四边形是平行四边形,然后证明对角线相等.【跟踪练习2】如图,在四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=CD,CE⊥AD,垂足为E.求证AE=CE.〔解析〕作BF⊥CE于F,证明Rt△BCF≌Rt△CDE,可得到BF=CE,只需证明BF=AE,即可说明AE=CE.证明:作BF⊥CE于F,∵∠BCF+∠DCE=90°,∠D+∠DCE=90°,∴∠BCF=∠D,又BC=CD,∠BFC=∠CED=90°,∴Rt△BCF≌Rt△CDE,∴BF=CE,又∠BFE=∠AEF=∠A=90°,∴四边形ABFE是矩形,∴BF=AE,∴AE=CE.[规律方法]在证明两条线段相等时,常利用等腰三角形的性质,或者将要求证的两条线段转化到两个三角形中证明三角形全等.专题三菱形的判定、性质及其应用【专题分析】考查菱形的判定、性质的题目,一般以选择题、填空题或解答题的形式出现,单独考查这个知识点的情况较少,一般与直角三角形的知识综合考查.例3 如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E是CD上一点,BE交AC于F,连接DF.(1)求证∠BAC=∠DAC,∠AFD=∠CFE;(2)若AB∥CD,求证四边形ABCD是菱形;(3)在(2)的条件下,试确定E点的位置,使∠EFD=∠BCD,并说明理由.〔解析〕(1)利用已知条件和公共边,证得△ABC≌△ADC,即可证明∠BAC=∠DAC;再证明△ABF≌△ADF,得到∠AFB=∠AFD,再利用对顶角相等,易知结论;(2)由平行线的性质和(1)中结论,易知∠DAC=∠ACD,所以AD=CD,进而证得AB=CB=CD=AD,即可证明结论;(3)当BE⊥CD时,由(2)可知BC=CD,∠BCF=∠DCF,利用△BCF≌△DCF,证得∠CBF=∠CDF,再利用等角的余角相等即可证明∠EFD=∠BCD.证明:(1)∵AB=AD,CB=CD,AC=AC,∴△ABC≌△ADC.∴∠BAC=∠DAC,∵AB=AD,∠BAF=∠DAF,AF=AF,∴△ABF≌△ADF.∴∠AFB=∠AFD,又∵∠CFE=∠AFB,∴∠AFD=∠CFE.(2)∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD.又∵∠BAC=∠DAC,∴∠DAC=∠ACD.∴AD=CD.∵AB=AD,CB=CD,∴AB=CB=CD=AD.∴四边形ABCD是菱形.解:(3)当BE⊥CD时,∠EFD=∠BCD.理由如下:∵四边形ABCD为菱形,∴BC=CD,∠BCF=∠DCF.又∵CF为公共边,∴△BCF≌△DCF,∴∠CBF=∠CDF.∵BE⊥CD,∴∠BEC=∠DEF=90°,从而可知∠EFD=∠BCD.[规律方法](1)证明两条线段相等或两角相等,常用的方法就是先证得三角形全等或从已知图形的性质出发,利用已知的特殊四边形或全等形,推出结论.(2)对于条件探索性问题,一般我们要从结论入手进行分析,得出符合结论的条件,确定思路,进而进行推理论证.【跟踪练习3】如图所示,DE是▱ABCD中∠ADC的平分线,EF∥AD,交DC 于F.(1)求证四边形AEFD是菱形;(2)如果∠BAD=60°,AD=5,求菱形AEFD的面积.〔解析〕(1)可先证明四边形DAEF是平行四边形,再由角的关系求得∠AED=∠1,根据等角对等边得AD=AE,再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形AEFD是菱形.(2)由已知求得两条对角线的长,根据菱形的面积等于两条对角线的积的一半,求得菱形的面积.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴DF∥AE,∵EF∥AD,∴四边形DAEF是平行四边形,∵DE是∠ADC的平分线,∴∠1=∠2,∵DF∥AE,∴∠2=∠AED,∴∠AED=∠1.∴AD=AE.∴四边形AEFD是菱形.解:(2)∵∠BAD=60°,∴△AED为等边三角形.∴DE=AD=AE=5,连接AF,与DE相交于O,则EO=,∴OA==,∴AF=5.=DE·AF=×5×5=.∴S菱形AEFD[解题策略]此题主要考查菱形的性质和判定以及面积的计算,使学生能够灵活运用菱形知识解决有关问题.专题四正方形的判定、性质及其应用【专题分析】涉及正方形的题目,一般综合性较强,可以与矩形、菱形结合起来,也可以与等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形和三角形全等的知识结合起来考查,还可以与坐标系等知识结合起来考查,可以以选择题、填空题或解答题的形式出现.例4如图,四边形ABCD是正方形,BE⊥BF,BE=BF,EF与BC交于点G.(1)求证AE=CF.(2)若∠ABE=55°,求∠EGC的大小.〔解析〕本题考查了等腰直角三角形、正方形的性质,“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”,全等三角形的性质与判定,解题的关键是证明△ABE≌△CBF.(1)用SAS证明△ABE≌△CBF.(2)∠EGC=∠EBG+∠BEF,而∠EBG=90°-∠ABE,△BEF是等腰直角三角形,从而可求∠EGC的度数.证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=90°.∵BE⊥BF,∴∠EBF=90°,从而可知∠ABE=∠CBF.∵AB=BC,∠ABE=∠CBF,BE=BF,∴△ABE≌△CBF,∴AE=CF.解:(2)∵BE=BF,∠EBF=90°,∴∠BEF=45°,∵∠ABC=90°,∠ABE=55°,∴∠GBE=35°,∴∠EGC=∠EBG+∠BEG=80°.[归纳总结]证明线段相等,通常转化成证明这两条线段所在的三角形全等得到对应线段相等.本题要充分利用正方形的性质“四条边相等;四个内角都等于90°;对角线互相垂直平分且相等,每一条对角线平分一组对角;正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形等”,并根据题意选取合适的性质加以运用.等腰直角三角形的两锐角相等,为45°,底边上的高、中线、顶角的平分线重合.三角形全等的判定方法:SAS,ASA,AAS,SSS,HL(只适用于直角三角形),根据图中的条件选取合适的方法证明三角形全等是关键.【跟踪练习4】在正方形ABCD外侧作直线AP,点B关于直线AP的对称点为E,连接BE,DE,其中DE交直线AP于点F.(1)依题意补全图(1);(2)若∠PAB=20°,求∠ADF的度数;(3)如图(2),若45°<∠PAB<90°,用等式表示线段AB,FE,FD之间的数量关系,并证明.〔解析〕对于(1),按照要求作出图形即可;对于(2),由四边形ABCD为正方形可得AB=AD,结合轴对称的性质,连接AE,得到两个等腰三角形△ABE和△ADE,进而使问题获解;对于(3),可以在(2)的基础上,进一步寻找线索,其中EF与FD都与点F有关,围绕这个关键点,结合轴对称的性质,连接BF,可得∠BFD是直角,最后根据勾股定理求解.解:(1)如图(1)所示.(2)如图(2),连接AE,∵点E是点B关于直线PA的对称点,∴∠PAB=∠PAE,AE=AB.∵∠PAB=20°,∴∠PAE=20°,∠BAE=40°.∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°,∴AE=AD,∠EAD=∠BAE+∠BAD=130°,∴∠ADF=∠AED=(180°-∠EAD)=25°.(3)如图,连接AE,BF,BD,设BF与AD的交点为点G.由轴对称知FE=FB,AE=AB,又∵AF=AF,∴△AEF≌△ABF,∴∠ABF=∠AEF.∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°,∴AE=AD,∴∠AEF=∠ADF,∴∠ABF=∠ADF,∵∠AGB=∠DGF,∴∠DFG=∠BAG=90°.在Rt△ABD中,AB2+AD2=BD2,∴2AB2=BD2.在Rt△BFD中,BF2+FD2=BD2,∴EF2+FD2=BD2,∴EF2+FD2=2AB2.专题五三角形的中位线定理【专题分析】单独考查三角形中位线知识的题目多以选择题和填空题的形式出现,与平行四边形、三角形等知识综合的题目多以解答题的形式出现.例5如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,过点E作EF∥AB,交BC于点F.(1)求证四边形DBFE是平行四边形;(2)当△ABC满足什么条件时,四边形DBFE是菱形?为什么?〔解析〕(1)由三角形中位线定理,得DE∥BC.又EF∥AB,故得结论.(2)四边形DBFE是平行四边形,则只要有一组邻边相等即可,故可选择条件AB=BC.证明:(1)∵D,E分别是AB,AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC.又∵EF∥AB,∴四边形DBFE是平行四边形.解:(2)本题答案不唯一.当AB=BC时,四边形DBFE是菱形.理由如下:∵D是AB的中点,∴BD=AB.由(1)知DE是△ABC的中位线,∴DE=BC.∵AB=BC,∴BD=DE.又∵四边形DBFE是平行四边形,∴四边形DBFE是菱形.【跟踪练习5】如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N,延长BN交AC于点D,已知AB=10,BC=15,MN=3.(1)求证BN=DN;(2)求△ABC的周长.〔解析〕(1)证明△ABN≌△ADN,即可得出结论.(2)先判定MN是△BDC的中位线,从而得出CD的长,由(1)可得AD=AB=10,从而计算周长.证明:(1)在△ABN和△ADN中,∴△ABN≌△ADN(ASA),∴BN=DN.解:(2)∵△ABN≌△ADN,∴AD=AB=10,又∵点M是BC中点,BN=DN,∴MN是△BDC的中位线,∴CD=2MN=6,故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41.[解题策略]本题考查了三角形的中位线定理,一般出现高与角平分线重合的情况,都可以找到等腰三角形.专题六直角三角形斜边上的中线的性质【专题分析】这个知识点运用较多,可以以选择题、填空题或解答题的形式出现,单独考查这个知识点的情况较少,一般与其他知识综合考查.例6如图,在△ABC中,点D在AB上,且CD=CB,点E为BD的中点,点F为AC 的中点,连接EF交CD于点M,连接CE,AM.(1)求证EF=AC.(2)若∠BAC=45°,求线段AM,DM,BC之间的数量关系.〔解析〕(1)根据等腰三角形的“三线合一”及CD=CB,点E为BD的中点,可得△AEC是直角三角形,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,由点F为AC的中点,可得结论;(2)当∠BAC=45°时,可得△AEC为等腰直角三角形,由线段垂直平分线的性质可得AM=CM,再由CD=CB,得AM+DM=BC.证明:(1)∵CD=CB,E为BD的中点,∴CE⊥BD,∴∠AEC=90°.又∵F为AC的中点,∴EF=AC.解:(2)∵∠BAC=45°,∠AEC=90°,∴∠ACE=∠BAC=45°,∴AE=CE.又∵F为AC的中点,∴EF⊥AC,∴EF为AC的垂直平分线,∴AM=CM,∴AM+DM=CM+DM=CD.又∵CD=CB,∴AM+DM=BC.【跟踪练习6】如图所示,一根长为2a的木棍(AB)斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上,设木棍的中点为P.若木棍A端沿墙下滑,且B端沿地面向右滑行.(1)请判断木棍滑动的过程中,点P到点O的距离是否变化,并简述理由.(2)在木棍滑动的过程中,当滑动到什么位置时,△AOB的面积最大?简述理由,并求出面积的最大值.〔解析〕(1)木棍滑动的过程中,点P到点O的距离不会变化.根据是在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半;(2)当△AOB的斜边上的高等于中线OP 时,△AOB的面积最大,再求解.解:(1)不变.理由如下:在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半,∵斜边AB不变,∴斜边上的中线OP不变.(2)当△AOB的斜边上的高等于中线OP时,即△AOB为等腰直角三角形时,面积最大,理由如下:如图,设高为h,若h与OP不相等,则总有h<OP,∵AB长度不变,∴根据三角形的面积公式,有h与OP相等时,△AOB的面积最大,此时,S△AOB= AB·h=×2a·a=a2.∴△AOB的最大面积为a2.[解题策略]此题利用了在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半,理解△AOB的面积在什么情况下最大是解决本题的关键.专题七折叠问题【专题分析】折叠问题,由于四边形中的每一个知识点都可以涉及,且经常与三角形全等,等腰三角形,等边三角形,直角三角形等知识综合,因此可以以选择题、填空题或解答题的形式出现.例7 对一张矩形纸片ABCD进行折叠,具体操作如下:第一步:先对折,使AD与BC重合,得到折痕MN,展开;第二步:再一次折叠,使点A落在MN上的点A'处,并使折痕经过点B,得到折痕BE,同时,得到线段BA',EA',如图(1);第三步:再沿EA'所在的直线折叠,点B落在AD上的点B'处,得到折痕EF,同时得到线段B'F,展开,如图(2).(1)求证∠ABE=30°;(2)求证四边形BFB'E为菱形.〔解析〕(1)根据点M是AB的中点判断出A'是EF的中点,然后判断出BA'垂直平分EF,根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BE=BF,再根据等腰三角形三线合一的性质可得∠A'BE=∠A'BF,根据翻折的性质可得∠ABE=∠A'BE,然后根据矩形的四个角都是直角计算即可得证;(2)根据翻折变换的性质可得BE=B'E,BF=B'F,然后得出BE=B'E=B'F=BF,再根据四条边都相等的四边形是菱形证明.证明:(1)∵对折后AD与BC重合,折痕是MN,∴点M是AB的中点,从而可知A'是EF的中点,∵∠BA'E=∠A=90°,∴BA'垂直平分EF,∴BE=BF,∴∠A'BE=∠A'BF,由翻折的性质,得∠ABE=∠A'BE,∴∠ABE=∠A'BE=∠A'BF,∴∠ABE=×90°=30°.(2)∵沿EA'所在的直线折叠,点B落在AD上的点B'处,∴BE=B'E,BF=B'F,∵BE=BF,∴BE=B'E=B'F=BF,∴四边形BFB'E为菱形.[思维模式]解答折叠问题的一般思路:分清折叠前后的对应边、对应角、对称轴,利用对称轴是对应点所连线段的垂直平分线寻找相等的线段或角,再进行相关的计算或证明.【跟踪练习7】矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E是BC边上一点,连接AE,把∠B 沿AE折叠,使点B落在点B'处,当△CEB'为直角三角形时,求BE的长.解:(1)点B'落在AD上时,∠B'EC=90°.∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠B=90°,AD∥BC,由折叠可知∠AB'E=∠B=90°,AB=AB',可知四边形ABEB'为正方形,∴BE=AB=3.(2)点B'落在AC上时,∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=90°﹒由折叠可知∠AB'E=∠B=90°,AB=AB'=3,BE=B'E,∴∠EB'C=90°﹒在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,∴AC==5,∴CB'=AC-AB'=5-3=2.设B'E=BE=x,则CE=4-x,在Rt△B'CE中,由勾股定理得x2+22=(4-x)2,解得x=,即BE=﹒[归纳总结]探索动态与存在性问题的综合题,首先利用存在性的不同情况进行分类讨论;再确定位置,画出相应的图形;利用几何图形的性质、勾股定理等解决问题,求出存在性的条件.专题八四边形中的动点问题以及图形变换问题【专题分析】动点问题,一般难度较大,综合性强,常常以选择题、填空题的形式出现,分值为3分,大都将四边形的问题转化成三角形的问题解决.例8如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.(1)求证CE=CF;(2)若点G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?为什么?〔解析〕(1)由DF=BE,四边形ABCD为正方形可证得△CEB≌△CFD,从而证出CE=CF.(2)由(1)得CE=CF,∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,即∠ECF=∠BCD=90°,又∠GCE=45°,所以可得∠GCE=∠GCF,故可证得△ECG≌△FCG,故EG=FG=GD+DF.又因为DF=BE,所以可证出GE=BE+GD成立.证明:(1)在正方形ABCD中,BC=CD,∠B=∠CDF,∵BE=DF,∴△CBE≌△CDF(SAS).∴CE=CF.解:(2)GE=BE+GD成立.理由如下:由(1)得△CBE≌△CDF,∴∠BCE=∠DCF,∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,即∠ECF=∠BCD=90°.又∵∠GCE=45°,∴∠GCF=∠GCE=45°.∵CE=CF,∠GCE=∠GCF,GC=GC,∴△ECG≌△FCG(SAS).∴GE=GF.∴GE=DF+GD=BE+GD.[归纳总结]本题(2)问属于证明线段和差的问题,实质上是证明两条线段相等,注意运用平行四边形和特殊平行四边形的性质.在需要时,添加适当辅助线构造三角形,利用全等三角形的性质解决问题.【跟踪练习8】如图,在菱形ABCD中,AB=4 cm,∠ADC=120°,点E,F同时由A,C两点出发,分别沿AB,CB方向向点B匀速移动(到点B停止),点E的速度为1 cm/s,点F的速度为2 cm/s,经过t s,△DEF为等边三角形,则t的值为.〔解析〕连接BD,如图.由已知条件得到△ADB是等边三角形,再由经过t s,△DEF为等边三角形,可推导出△ADE与△BDF全等,根据全等三角形的对应边相等,可得AE=BF,列出方程即可求解.在菱形ABCD中,∠ADC=120°,AB=AD,∠DAB=180°-∠ADC=60°,∴△ADB是等边三角形,∴AD=DB,∠ADB=60°,∵△DEF为等边三角形,∴DE=DF,∠EDF=60°,∴∠ADB-∠EDB=∠EDF-∠EDB,即∠ADE=∠BDF.在△ADE和△BDF中, ∴△ADE≌△BDF(SAS),∴AE=BF,∵AE=t cm,CF=2t cm,∴BF=(4-2t)cm,∴t=4-2t,解得t=.故填.[解题策略]本题是动点问题.以菱形为背景,菱形中有一个内角为120度,连接较短的一条对角线,就有2个等边三角形.两个动点经过运动,在菱形内部与菱形的一个顶点构成等边三角形,可以从全等三角形的探寻着手,构造出正确的方程再求解.专题九数形结合思想【专题分析】在四边形这一章中,数形结合思想应用广泛.一般以选择题、填空题或解答题的形式出现,有时需要自己结合题意画图,使问题的解决更加直观,解题效率事半功倍.例9菱形ABCD中,若对角线长AC=8 cm,BD=6 cm,则边长AB=cm.〔解析〕根据菱形的对角线互相垂直平分,求出对角线长的一半,然后利用勾股定理列式计算即可得解.如图,设AC,BD交于点O,∵菱形ABCD中,对角线长AC=8 cm,BD=6 cm,∴AO=AC=4 cm,BO=BD=3 cm.∵菱形的对角线互相垂直,∴在Rt△AOB中,AB===5(cm).故填5.[归纳总结]本题考查了菱形的性质和勾股定理,需要自己画图,让问题迎刃而解.【跟踪练习9】如图,有一矩形纸片ABCD,AB=8,AD=17,将此矩形纸片折叠,使顶点A落在BC边的A'处,折痕所在直线同时经过边AB,AD(包括端点),设BA'=x,则x的取值范围是.〔解析〕本题考查了翻折变换的性质,勾股定理的应用,难点在于判断出BA'的最小值与最大值时的情况,作出图形更形象直观.作出图形,根据矩形的对边相等可得BC=AD,CD=AB,当折痕经过点D时,根据翻折的性质可得A'D=AD,利用勾股定理列式求出A'C,再求出BA';当折痕经过点B时,根据翻折的性质可得BA'=AB,此两种情况为BA'的最小值与最大值的情况,然后写出x的取值范围即可.∵四边形ABCD是矩形,AB=8,AD=17,∴BC=AD=17,CD=AB=8.①当折痕经过点D时,如图(1).由翻折的性质得A'D=AD=17,在Rt△A'CD中,A'C===15.∴BA'=BC-A'C=17-15=2.②当折痕经过点B时,如图(2).由翻折的性质得BA'=AB=8.∴x的取值范围是2≤x≤8.故填2≤x≤8.[归纳总结]一般是先根据折叠得出对应的图形全等,对应的线段相等,对应的角相等,再根据勾股定理及直角三角形的相关知识计算线段的长度,问题便迎刃而解.专题十方程思想【专题分析】在本章中,方程思想应用广泛.一般以选择题、填空题的形式出现,每个小题3分,一般是四边形的知识与勾股定理结合起来考查.例10如图,矩形ABCD 中,AB =8,点E 是AD 上的一点,AE =4,BE 的垂直平分线HF 交BC 的延长线于点F ,连接EF 交CD 于点G ,若G 是CD 的中点,则BC 的长是 . 〔解析〕 本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质,解题的关键是通过勾股定理列出方程再求解.∵G 是CD 的中点,∴DG =CG =4.在△DGE 与△CGF 中, ∴△DGE ≌△CGF.∴CF =DE ,FG =EG.令BC =AD =x ,则CF =DE =x -4,∴BF =2x -4.在Rt △DGE 中,根据勾股定理可得EG ==.∵HF 垂直平分BE ,∴EF =BF ,∴(2x -4)2=4[(x -4)2+42],解得x =7.故填7.【跟踪练习10】如图，将边长为2cm 的两个互相重合的正方形纸片按住其中一个不动，另一个绕点B 顺时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°），若两正方形重为334cm 2，则这个旋转角度为_________叠部分的面积度．〔解析〕设A′D′与CD 的交点为E ，连接BE ；由于A′B=BC ，易证得△A′BE ≌△CBE ，因此两者的面积相等，即可根据△CBE 的面积求得CE 的值，从而通过解直角三角形求出∠CBE 、∠CBA′的度数，进而可求得旋转角的度数．解：设A′D′与CD 的交点为E ，连接BE ．∵A′B=BC ，BE=BE ，∴Rt △A′BE ≌Rt △CBE ．（HL ）∴∠A′BE=∠EBC ，且S △BA′E =S △BCE =332． 在Rt △BCE 中，BC=2，则：S △BCE =21×2×CE=332，∴CE=332． ∴tan ∠EBC=BC EC =33，即∠EBC=30°． ∴∠A′BC=2∠EBC=60°，∠ABA′=90°－∠A′BC=30°．故旋转的角度为30°．[点评]此题主要考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形的面积、解直角三角形等相关知识，综合性较强．【跟踪练习11】 如图,在矩形ABCD 中,AD =3AB ,点G ,H 分别在AD ,BC 上,连接BG ,DH ,且BG ∥DH ,当AG= AB 时,四边形BHDG 为菱形.〔解析〕 根据四边形BHDG 为菱形可以得到四条边都相等,设其边长为x ,利用勾股定理列方程求解即可得到答案.在矩形ABCD 中,AD =3AB ,不妨设AB =1,则AD =3,∵四边形BHDG 为菱形,∴BG =GD ,不妨设BG =GD =x ,则AG =3-x ,在Rt △ABG 中,12+(3-x )2＝x 2,解得x =35,∴AG ＝AD －GD ＝3AB －35AB ＝34AB .专题十一 分类讨论思想【专题分析】分类讨论思想的应用广泛,应用时,常常运用数形结合法,先画出所有几何图形,再分类讨论,解决问题.可以以选择题、填空题或解答题的形式出现.例11如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,四边形OABC 是矩形,点A ,C 的坐标分别为A (10,0),C (0,4),点D 是OA 的中点,点P 为线段BC 上的点.小明同学写出了一个以OD 为腰的等腰三角形ODP 的顶点P 的坐标(3,4),请你写出其余所有符合这个条件的P 点坐标: .〔解析〕 根据点A ,C 的坐标求出OA ,OC 的长,再根据线段中点的定义求出OD =5,过点P 作PE ⊥x 轴于E ,由已知点P (3,4)判断出OP =OD ,再根据PD =OD 利用勾股定理求得DE 的长,然后分点E 在点D 的左边与右边两种情况求出OE ,然后写出点P 的坐标即可.∵A (10,0),C (0,4),∴OA =10,OC =4.∵点D 是OA 的中点,∴OD =OA =×10=5.过点P 作PE ⊥x 轴于E ,如图,则PE =OC =4,∵P (3,4),∴OP ==5,∴此时OP =OD.当PD =OD 时,由勾股定理得DE =3,若点E 在点D 的左边,则OE =5-3=2,此时,点P 的坐标为(2,4).若点E 在点D 的右边,则OE =5+3=8,此时,点P 的坐标为(8,4).综上所述,其余的点P 的坐标为(2,4)或(8,4).故填(2,4)或(8,4).[归纳总结] 本题是代数与几何的综合题,用到的数学思想方法较多,如数形结合思想、转化思想、分类讨论思想等.做题时要灵活运用数学思想来解决问题,结合图形会由点的坐标转化为线段的长度,根据分类讨论思想以OD 为腰的等腰三角形分OP =OD ,DP =OD 两种情况,同时DP =OD 时,点P 的坐标又分两种情况.要想正确地解答此题,必须综合利用矩形、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识解决问题.【跟踪练习12】在校园文化建设活动中,需要裁剪一些菱形来美化教室.现有平行四边形ABCD 的邻边长分别为1,a (a >1)的纸片,先减去一个菱形,余下一个四边形,在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形,又余下一个四边形,…,依此类推,请画出剪3次后余下的四边形是菱形的裁剪线的各种示意图,并求出a 的值.〔解析〕 本题重点考查了学生的操作能力和数学中分类讨论思想的应用,解题的关键是掌握裁剪时的横竖组合.裁剪方向有横向和竖向两种,根据裁剪次数和a >1,可分为3竖;2竖一横;1竖两横;1竖1横1竖共四种情况,画出图形后利用菱形的性质求解.如图(1),此时a =4.如图(2),此时a =2+21=25.如图(3),此时a =1+31=34.如图(4),此时a =1+32=35.(1) (2) (3) (4)[归纳总结] 对于图形分割类问题,一般要抓住分割时的要求,通过分类讨论的方法找到分割的所有可能的结果.。
第十八章《平行四边形》复习教案
第18章平行四边形复习导学案【学习目标】1、学生梳理所学的知识，系统地复习平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定方法，三角形的中位线定理等；2、正确理解平行四边形与各种特殊平行四边形的联系与区别，在反思和交流过程中，逐渐建立知识体系；【重点】1、平行四边形与各种特殊平行四边形的区别。
2、梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形、三角形的中位线定理的知识体系及应用方法。
【难点】平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定的综合运用。
【复习过程】一、归纳整理，形成体系（一）、性质判定，列表归纳（二）诊断练习1.菱形的两条对角线长分别是6厘米和8厘米，则菱形的边长为，面积为 .2.若正方形ABCD 的对角线长10厘米，那么它的面积是 50 平方厘米。
3.矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）A.对角线相等B. 对角线平分一组对角C.对角线互相平分D. 对角线互相垂直 4.正方形具有，矩形也具有的性质是（ ）A.对角线相等且互相平分B. 对角线相等且互相垂直C.对角线互相垂直且互相平分D.对角线互相垂直平分且相等 5.矩形具有，而菱形不一定具有的性质是（ ）A. 对角线互相平分B. 对角线相等C. 对边平行且相等D. 内角和为36006.正方形具有而矩形不具有的特征是（ ）A. 内角为3600B. 四个角都是直角C. 两组对边分别相等D. 对角线平分对角 二、查漏补缺，讲练结合例题1：已知：如图1，□ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ， EF 过点O 与AB 、CD 分别交于点E 、F ．求证：OE=OF ．变式1．在图1中，连结哪些线段可以构成新的平行四边形？为什么？变式2．在图1AB 、CDF ，这时仍有OE=OF 吗？变式3．在图1中，若改为过A 作AH⊥BC，垂足为H ，连结HO 并延长交AD 于G ，连结GC ，则四边形AHCG是什么四边形？为什么？B CBBCB F变式4．在图1中，若GH⊥BD，GH 分别交AD 、BC 于G 、H ，则四边形BGDH 是什么四边形？为什么？例题2:已知：如图，在正方形ABCD ，E 是BC 边上一点，F 是CD．求证：AF 平分∠DAE．证法一：（延长法）延长EF ，交AD 的延长线于G ,证法二：（延长法）延长BC ，交AF 的延长线于点G,思考：如果用“截取法”，即在AE上取点G ，使AG=AD ，再连结GF 、EF （如图2-3），这样能证明吗？三、思维拓展，总结规律顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是____________ 顺次连接矩形各边中点所得的四边形是_____ 顺次连接菱形各边中点所得的四边形是______请你说说把具有什么特点的四边形的各边中点连接起来能得到正方形呢？四、课堂小结，领悟思想方法EF。
八年级数学下册-18章平行四边形 总复习 教案
18章平行四边形总复习教案【教材分析】教学目标知识技能1.能进一步明确特殊四边形间的区别与联系；2.能熟练应用特殊四边形的性质和判定进行有关的证明与计算.过程方法发展学生学习数学中的转换、化归思维方法，体会特殊四边形的性质与常用的判别方法．情感态度在回顾与思考的过程中，让学生进一步领会特殊与一般的关系，•逐渐理解类比、转化等一些重要的数学思想．重点进一步明确特殊四边形间的区别与联系，熟悉特殊的平行四边形的性质和判定.难点能熟练应用特殊四边形的性质和判定进行有关的证明与计算.【教学流程】环节导学问题师生活动二次备课知识回顾一、回顾练习1．菱形具有而矩形不具有的性质是( )A．对角相等B．四边相等C．对角线互相平分D．对角线相等2.下列说法错误的是（）A．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形B．每组邻边都相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．四个角都相等的四边形是矩形3. 已知四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形，需要增加的条件是____ _____ _（只需要填一个你认为正确的条件即可）.二.回顾四边形与特殊四边形的关系，画出关系图：教师出示问题，学生回顾整理：1..B2.C3. AD=BC或AB∥CD本组题着重检查学生平行四边形、矩形、菱形、正方形性质及判定理解和掌握情况，让学生尝试回答，教者适时补充．第3题是开放型问题，答案不唯一，有效地检查学生对平行四边形判定的掌握情况．教者可以从学生完成正确率上判断学生掌握情况，为下一步复习埋下伏笔．综合例1 如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，若MA＝MC.(1)求证：CD＝AN；(2)若AC⊥DN，∠CAN＝30°，MN＝1，求四边形ADCN的面积．教师出示例题1学生自主探究合作交流，展示评价教师适时点拨解：(1)证明：∵AB∥CN，∴∠1＝∠2.运用[解析] (1) 利用“AAS”或者“ASA”证明△AMD≌△CMN，得AD＝CN，然后利用AD＝CN，AD∥CN证明四边形ADCN是平行四边形．(2)利用直角三角形的性质得AN的长，然后利用勾股定理求得AM的长，从而计算出Rt△AMN的面积，而S平行四边形ADCN＝4S△AMN.[归纳总结] 当有一组对边平行，在证明四边形是平行四边形时，有两条路可选：其一是证明这组对边相等，其二是证明另一组对边平行．平行四边形面积的计算可利用底×高，也可利用S平行四边形ADCN＝2S大△＝4S小△.例2.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．(1)求证：CE=CF.(2)若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？(1)证明∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△CBE≌△CDF(SAS)．∴CE=CF．(2)GE=BE+GD成立．理由是：∵由(1)得：△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF，∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠BCD=∠ECF=90°，又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．在△AMD和△CMN中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2，MA＝MC，∠AMD＝∠CMN，∴△AMD≌△CMN，∴AD＝CN.又∵AD∥CN，四边形ADCN为平行四边形，∴CD＝AN.(2)∵AC⊥DN，∠CAN＝30°，MN＝1，∴AN＝2MN＝2.在Rt△AMN中，AM＝AN2－MN2＝22－12＝ 3.∴S△AMN＝12AM·MN＝12×3×1＝32.∵四边形ADCN是平行四边形，∴S平行四边形ADCN＝4S△AMN＝4×32＝2 3.教师出示例2.教师要求学生先尝试独立思考，再小组讨论、交流.∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，∴△ECG≌△FCG．∴GE=GF．∴GE=GF=DF+GD=BE+GD．矫正补偿1.如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合）且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是.2如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C和点C′重合，若AB=2，则C′D的长为( )A.1B.2C.3D.43．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，阅读下列材料，回答问题：⑴连接AC、BD，由三角形中位线的性质定理可证四边形EFGH是.⑵对角线AC、BD满足条件时，四边形EFGH是矩形。
新人教版第18章平行四边形章末复习教案
学段：八年级学科：数学八年级下册（2）四边形与各种特殊四边形之间的关系：【教学说明】教师同学生一同复习回顾，整理成上述知识结构图，加深对知识的领悟.三、释疑解惑，加深理解1.平行四边形，矩形，菱形，正方形的边、角、对角线分别有哪些性质？与同伴交流.2.如何判定一个四边形是平行四边形、矩形、菱形、正方形？3.平行四边形、矩形、菱形、正方形等四边形的面积与平行线间距离有着密切联系.比较上面几种四边形，它们之间的面积有什么联系和区别？它们的面积与三角形的面积又有怎样的联系？四、典例精析，复习新知例1 （1）如图，在ABCD，BE⊥AD于E，若∠ABE=50°，则∠C=______.第（1）题图第（2）题图（2）如图，ABCD中，AB⊥AC，∠ABD=35°，对角线AC，BD相交于点O.将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC、AD于E，F，当四边形BEDF 是菱形时，直线AC绕点O顺时针至少旋转_______.【分析】在（1）中由BE⊥AD于E，∠ABE=50°，得∠A=40°，由平行四边形的对角相等知∠C=∠A＝40°;在（2）中，当四边形BEDF是菱形时，应有EF⊥BD 于O，即∠BOF=90°，又∠ABD=35°，AB⊥AC，有∠AOB=55°，这样∠AOF=35°，即直线AC绕点O顺时针至少应旋转35°，才能使四边形BEDF为菱形.例2 （1）如图，矩形ABCD中，AD=2AB=4，将纸片折叠，使点C落在AD上的点E处，折痕为BF，则DE=_______.第（1）题图第（2）题图（2）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=13，AC=10.过点D作DE∥AC交BC 的延长线于点E，则△BDE的周长为.【分析】（1）中，应有BE=BC=AD=2AB=4，从而易得224223AE=-=，故DE=AD-AE=4-23；（2）中，由菱形性质有AO=12AC=5，AC⊥BD，又AB=13，故2212OB AB OA=-=.因此BD=2BO=24，又DE∥AC，CE∥AD，知四边形ACED为平行四边形，有CE=AD，又AD=CD=BC，从而在Rt△BDE 中，有BE=2CD=26，又DE=AC=10，故△BDE的周长为：24+26+10=60.例3 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，沿Rt△ABC的中位线DE剪切一刀后，用得到的△ADE和直角梯形DBCE拼图，下列图形①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形，一定能拼出的是（）A.只有①②B.只有③④C.只有①③D.①②③④【分析】令DE=a，则BC=2DE=2a，∵∠ADE=∠B=90°，∠A=30°，∴AE=2DE=2a，223AD AE DE a DB=-==，∴DB≠BC.显然，将Rt△ADE的AE边与CE边重合，向外可拼成一个矩形，不能拼成正方形；将AD与DB重合，点E在ED 延长线上时，可拼成一个平行四边形，因而一定能拼出的图形只有①③.例4如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN.(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；(2)①当AM为何值时，四边形AMDN是矩形；②当AM为何值时，四边形AMDN是菱形.【分析】(1)∵四边形ABCD是菱形，∴ND∥AM，∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME.又∵点E是AD 边的中点，∴DE=AE，∴△NDE≌△MAE，∴ND=MA，∴四边形AMDN是平行四边形；（2）①当AM的值为1时，四边形AMDN是矩形.理由如下：∵AM=1=12AD=AE=ED，又∵∠EAM=60°，∴△AEM为等边三角形.∴∠AEM=60°，∴∠EDM=30°，∴∠AMD=90°，∴四边形AMDN是矩形；②当AM的值为2时，四边形AMDN是菱形.理由如下：∵AM=2，∴AM=AD=2，∴△AMD是等边三角形，∴AM=DM，∴四边形AMDN是菱形.例5 如图，矩形纸片ABCD，连接AC，且AC ＝45，若AD：AB＝1：2，将纸片折叠使B与D 重合，折痕为EF，求折叠后纸片重合部分的面积.解：令AD=x （x ＞0），AB ＝2x ，在矩形ABCD 中，CD ＝AB.在Rt △ADC 中，AC ＝45，∴AD 2+CD 2=AC 2，∴222245x x +=（）（），∴x=4，∴AD＝4.在矩形ABCD 中，OD=OB ，ED ∥BF ，∴∠EDO=∠FBO ，∠DEO=∠BFO ，∴△DOE ≌△BOF ，∴DE=BF.而由折叠知DF=BF ，∴DF=DE.令DF ＝y ，则DE=BF=y ，AF ＝8-y.在Rt △ADF 中，22248y y +-（）＝，∴y=5.∴S △DEF =12·DE·AD ＝12×5×4＝10. 【教学说明】第1、2、3、4题学生可轻松完成，因而让学生自主探究，独立完成，教师巡视，对有困难学生给予帮助，锻炼学生分析问题、解决问题的能力，增强逻辑推理能力.第5题需教师予以分析、点拨，开拓学生思维，最后予以评讲.五、师生互动，课堂小结通过复习，你有哪些收获？还有哪些疑问？与同伴交流.【教学说明】对于学生的质疑，老师或当堂解释，或课后个别辅导，使不同的学生都能有所收获.六、作业1.布置作业：从教材“复习题18”中选取.2.完成练习册中本课时练习.。
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《平行四边形》复习课教案(2课时)
【教学目标】
1、通过对几种平行四边形的回顾与思考，使学生梳理所学的知识，系统地复习平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定方法；
2、正确理解平行四边形与各种特殊平行四边形的联系与区别，在反思和交流过程中，逐渐建立知识体系；
3、引导学生独立思考，通过归纳、概括、实践等系统数学活动，感受获得成功的体验，形成科学的学习习惯。
【教学重点】
1、平行四边形与各种特殊平行四边形的区别。
2、梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形的知识体系及应用方法。
【教学难点】
平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定的综合运用。
【教学模式】
以题代纲，梳理知识-----变式训练，查漏补缺 -----综合训练，总结规律-----测试练习，提高效率
【教具准备】三角板、实物投影仪、电脑、自制课件。
【教学过程】
一、以题代纲，梳理知识
（一）开门见山，直奔主题
同学们，今天我们一起来复习《平行四边形》的相关知识，先请同学们迅速地完成下面几道练习题，请看大屏幕。
（二）诊断练习
1、根据条件判定它是什么图形，并在括号内填出，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O：
(1) AB＝CD,AD＝BC （平行四边形）
(2)∠A＝∠B＝∠C＝90°（矩形）
(3)AB＝BC，四边形ABCD是平行四边形（菱形）
(4)OA＝OC＝OB＝OD ，AC⊥BD （正方形）
(5) AB＝CD, ∠A＝∠C ( ？ )
2、菱形的两条对角线长分别是6厘米和8厘米，则菱形的边长为5厘米。
3、顺次连结矩形ABCD各边中点所成的四边形是菱形。
4、若正方形ABCD的对角线长10厘米，那么它的面积是50平方厘米。
5、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，轴对称图形有：矩形、菱形、正方形，中心对称图形的有：平行四边形、矩形、菱形、正方形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是：矩形、菱形、正方形。
（二）归纳整理，形成体系
1、性质判定，列表归纳
2、基础练习：
（1）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（C）
A．对角线相等（距、正） B. 对角线平分一组对角（菱、正）
C．对角线互相平分 D. 对角线互相垂直（菱、正）
（2）、正方形具有，矩形也具有的性质是（A）
A．对角线相等且互相平分 B. 对角线相等且互相垂直
C. 对角线互相垂直且互相平分
D. 对角线互相垂直平分且相等
（3）、如果一个四边形是中心对称图形，那么这个四边形一定（D） A．正方形B．菱形C．矩形 D．平行四边形
都是中心对称图形，A、B、C都是平行四边形
（4）、矩形具有，而菱形不一定具有的性质是（ B ）
A. 对角线互相平分
B. 对角线相等
C. 对边平行且相等
D. 内角和为3600
问：菱形的对角线一定不相等吗？错，因为正方形也是菱形。
（5）、正方形具有而矩形不具有的特征是（ D ）
A. 内角为3600
B. 四个角都是直角
C. 两组对边分别相等
D. 对角线平分对角 问：那么正方形具有而菱形不具有的特征是什么？对角线相等
2、集合表示，突出关系
二、查漏补缺，讲练结合 （一）一题多变，培养应变能力 〖例题1〗
已知：如图1，□ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ， EF 过点O 与AB 、CD 分别交于点E 、F ． 求证：OE=OF ． 证明: ∵
变式1．在图1中，连结哪些线段可以构成新的平行四边形？为什么？
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
变式2．在图1中，如果过点O 再作GH ，分别交AD 、BC 于G 、H ，你又能得到哪些新的平行四边形？为什么？
B
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
变式3．在图1中，若EF 与AB 、CD 的延长线分别交于点E 、F ，这时仍有OE=OF 吗？你还能构造出几个新的平行四边形？
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
变式4．在图1中，若改为过A 作AH ⊥BC ，垂足为H ，连结HO 并延长交AD 于G ，连结GC ，则四边形AHCG 是什么四边形？为什么？
可由变式1可知四边形AHCG 是平行四边形， 再由一个直角可得四边形AHCG 是矩形。
变式5．在图1中，若GH ⊥BD ，GH 分别交AD 、BC 于G 、H ，则四边形BGDH 是什么四边形？为什么？
可由变式1可知四边形BGDH 是平行四边形，
再由对角线互相垂直可得四边形BGDH 是菱形。
变式6．在变式5中，若将“□ABCD ”改为“矩形ABCD
G 、H ，则四边形BGDH 是什么四边形？若AB=6，BC=8，你能求出GH ABCD 对折，使B 、D 重合，求折痕
GH 的长。
）
略解：∵AB=6，BC=8 ∴BD=AC=10。
设OG = x ，则BG = GD=252+x ． 在Rt △ABG 中，则勾股定理得： AB 2 + AG
2 = BG 2 ，
即(
)(
)
2
2
2
2
2
252586+=+-+x x
，
解得 4
15
=x ．
∴GH = 2 x = 7.5．
（二）一题多解，培养发散思维 〖例题2〗
已知：如图，在正方形ABCD ，E 是BC 边上一点， F
是CD 的中点，且AE = DC + CE ．
B
E
F
F F B
C
求证：AF 平分∠DAE ．
证法一：（延长法）延长EF ，交AD 的延长线于G （如图2-1）。
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD=CD ，∠C=∠ADC=90°（正方形四边相等，四个角都是直角） ∴∠GDF=90°， ∴∠C =∠GDF
在△EFC 和△GFD 中 ⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠DF CF GDF C 2
1 ∴△EFC ≌△GFD （ASA ）
∴CE=DG ，EF=GF
∵AE = DC + CE ， ∴AE = AD + DG = AG ， ∴AF 平分∠DAE ．
证法二：（延长法）延长BC ，交AF 的延长线于G （如图2-2
） ∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD // BC ，DA=DC ，∠FCG=∠D=90°
（正方形对边平行，四边相等，四个角都是直角） ∴∠3=∠G ，∠FCG=90°， ∴∠
FCG =∠D
在△FCG 和△
FDA 中 ⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠DF CF D FCG 2
1 ∴△△FCG 和△FDA （ASA ）
∴
CG=DA ∵AE = DC + CE ，
∴AE = CG + CE = GE ， ∴∠4 =∠G ，
∴∠3 =∠4， ∴AF 平分∠DAE ．
思考：如果用“截取法”，即在AE 上取点G ，
B C G
使AG=AD，再连结GF、EF（如图2-3），这样能证明吗？
三、综合训练，总结规律
（一）综合练习，提高解题能力
1．在例2中，若将条件“AE = DC + CE”和结论
“AF平分∠DAE”对换，
所得命题正确吗？为什么？你有几种证法？
2．已知：如图，在□ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
G、H分别是BC、AD的中点．
求证：四边形EGFH是平行四边形．（用两种方法）
（二）课堂小结，领悟思想方法
1．一题多变，举一反三。
经常在解题之后进行反思——改变命题的条件，或将命题的结论延伸，或将条件和结论互换，往往会有意想不到的收获。
也只有这样，才能做到举一反三，提高应变能力。
2．一题多解，触类旁通。
在平时的作业或练习中，通过一题多解，你不仅可以从中对比选出最优方法，提高自己在应考中的解题效率，而且还能开阔你的思维，达到触类旁通的目的。
3．善于总结，领悟方法。
数学题目本身蕴含着许多数学思想方法，只要你善于总结，就能真正掌握、提炼出其中的数学方法，才能不断提高自己分析问题、解决问题的能力。
四、课后反思。