计算复杂性理论
计算复杂性理论
计算复杂性理论计算复杂性理论是计算机科学中重要的一个分支，它研究了计算问题的难度和可解性。
通过对问题的复杂性进行分析和分类，计算复杂性理论为我们提供了解决问题的指导原则和限制条件。
本文将介绍计算复杂性理论的基本概念、主要研究内容以及其在实际应用中的重要性。
一、基本概念1. P和NP问题在计算复杂性理论中，最基本的概念是P问题和NP问题。
P 问题是指可以在多项式时间内解决的问题，即存在一个算法可以在多项式时间内给出问题的正确答案。
而NP问题则是指可以在多项式时间内验证答案的问题，但尚未找到多项式时间内解决的算法。
P问题是NP问题的子集，即所有的P问题也是NP问题，但目前尚不清楚P问题和NP问题是否是相同的类。
2. NP完全性NP完全性是计算复杂性理论中的一个关键概念，它指的是一类最困难的NP问题。
一个问题被称为是NP完全的，如果它既是一个NP问题，又满足以下条件：对于任何一个NP问题，都可以用多项式时间的算法将其约化为该问题。
换句话说，如果我们能够找到一个多项式时间算法来解决一个NP完全问题，那么我们也可以用同样的算法来解决所有的NP问题。
3. NP难度除了NP完全性概念，计算复杂性理论还引入了NP难度的概念。
一个问题被称为是NP难度的，如果对于任何一个NP问题，都可以用多项式时间的算法将其约化为该问题。
虽然NP难度问题不一定是NP问题，但它们和NP完全问题一样，都是十分困难的问题。
二、主要研究内容1. 多项式时间算法计算复杂性理论的一个主要研究内容是寻找和分析多项式时间算法。
多项式时间算法是指可以在多项式时间内解决的算法，即其执行时间与输入规模呈多项式关系。
研究多项式时间算法的目标是寻找高效的解决方法，从而提高问题的可解性。
2. 算法复杂性分析算法复杂性分析是计算复杂性理论中的另一个重要内容。
通过对算法的复杂性进行全面的分析，我们可以预测算法在实际应用中的性能表现。
算法复杂性分析的主要方法包括时间复杂性分析和空间复杂性分析，通过对算法的时间和空间需求进行测量和评估，我们可以判断算法在给定条件下的可行性和效率。
第一讲：计算复杂性理论
大多数研究者认可 的包容关系
L m
计算复杂度的影响因素
简化模型：模型2
计算复杂度的影响因素
简化模型：模型3。
计算复杂度的影响因素
建模假设 例：高空抛球的运动轨迹。 ----抛物线模型 假设1.没有空气阻力； 假设2.地面是平面。 ----椭圆模型
计算复杂度的影响因素
探索空间1 探索空间1---解的近似度、满意度
例：0—10之间的整数解：1-9共9个可行解（一维） 0—10之间的实数解：精确到小数点后6位 共有107个可行解（一维）； 107n个可行解（n维）
n! 10141世紀 → 10120世紀 102551世紀 → 102530世紀
问题与算法
每个問題都可能有多个算法存在． 每个算法的计算量（速度）都不同。 例： 赝品金币問題： 问题：9個外观完全一样的金币.，有一个是假的 （重量轻）． 提问：用天秤来鉴别真伪，天秤需要使用几次？
贋品金币問題算法 問題算法
优化技术与方法
計算量(1) 計算量
＋,－,×,÷ 比較：≠，≤，≥，＜，＞ 5种基本演算都是用1step 可以实现. 実際上,×比＋多占用時間. 「四舍五入」不算基本演算.
計算量(2) 計算量
｛a1, a2,..., an｝：n個整数 Q1. 求和（1）： a1+a2+･･･+an. 1 + +a n-1 steps → O(n)算法. Q2. 求和（2）： (1) 2×a1+･･･+ 2×an , 2n-1 steps→ O(n)算法. (2) 2×(a1+･･･+an) , n steps→ O(n)算法.
尚未确信能否用多項式時間算法求解的问题的 集合称为NP （non-deterministic polynomial）问题 某一个问题不属于NP问题的証明 如能够找到一个多項式時間算法 （簡単） 某一个问题属于NP问题的証明 可以归结为某一类既知的NP类问题（现阶段7类））
计算理论复杂性理论基础知识
计算理论复杂性理论基础知识计算理论复杂性是计算机科学中一项重要的研究领域，旨在研究计算问题的解决难度和算法的效率。
本文将介绍计算理论复杂性的基础知识，包括问题的分类、计算模型和基本概念。
一、问题的分类在计算理论复杂性中，问题可以分为两类：P类问题和NP类问题。
P类问题是可以在多项式时间内解决的问题，而NP类问题是可以在多项式时间内验证解的问题。
P类问题是计算理论中研究的主要对象，它代表了计算机科学界能够有效解决的问题。
例如，求两个数的和、排序问题等都属于P类问题。
NP类问题则代表了计算机科学界尚未找到高效解决方法的问题，它所包含的解的搜索空间非常大。
例如，旅行推销员问题、图着色问题等都属于NP类问题。
虽然目前还没有找到多项式时间内解决NP类问题的方法，但可以通过验证一个解是否正确来验证解的正确性。
二、计算模型计算理论复杂性研究中使用的计算模型主要有图灵机、非确定有限自动机和布尔电路模型。
图灵机是计算理论中最经典的计算模型之一，它由带有读写头的无限长纸带和一系列状态转移规则构成，可以模拟所有现代计算机的功能。
非确定有限自动机是另一种计算模型，它是图灵机的一种简化形式，特点是能够在某个状态下拥有多个可能的转移选项。
布尔电路模型是计算理论复杂性研究中较为特殊的一种计算模型，它通过使用与门、或门和非门等基本逻辑门来构建复杂的逻辑电路，从而解决特定的计算问题。
三、基本概念在计算理论复杂性研究中，有一些基本概念是必须了解的，包括计算问题的规模、算法的时间复杂度和空间复杂度等。
计算问题的规模指的是问题输入的大小。
例如，排序问题的规模可以是待排序数组的长度。
算法的时间复杂度是衡量算法执行所需时间的度量，通常用大O符号表示。
时间复杂度越低，表示算法的效率越高。
算法的空间复杂度是衡量算法所需内存空间的度量，也用大O符号表示。
空间复杂度越低，表示算法的内存利用率越高。
此外，还有一些复杂性理论中的重要问题，如P=NP问题、NP完全问题等，这些问题都是该领域中的研究热点。
计算机科学中的计算复杂性理论
计算机科学中的计算复杂性理论计算复杂性理论是计算机科学中的一个重要分支，研究的是计算问题的算法复杂性和计算机问题的可解性。
它帮助我们理解计算问题是否有高效的解决方法，为设计和分析算法提供了基础。
一、引言计算复杂性理论涉及到算法的效率和计算问题的可解性，对计算机科学和信息技术具有重要意义。
本文将首先介绍计算复杂性理论的起源和发展，然后重点讨论几个计算复杂性理论中的重要概念和问题。
二、计算复杂性理论的起源和发展计算复杂性理论起源于20世纪60年代，由对计算问题的可解性进行研究逐渐演化而来。
该理论的研究者，如图灵奖得主阿隆佐·邱奇、史蒂芬·库克等，提出了多个理论模型和概念，奠定了计算复杂性理论的基础。
三、计算复杂性理论的重要概念1. P问题和NP问题在计算复杂性理论中，P问题指的是可以在多项式时间内解决的问题，而NP问题则是指可以在多项式时间内验证给定解是否正确的问题。
其中，P问题是NP问题的一个子集，即P⊆NP。
2. NP完全性NP完全性是计算复杂性理论中的一个重要概念。
一个问题是NP完全的，意味着它是NP问题中最难的一类。
如果我们能够找到一个多项式时间内解决NP完全问题的算法，那么可以得出P = NP的结论，这是计算机科学中的一个重大问题。
3. 计算复杂性度量计算复杂性理论通过引入时间复杂性和空间复杂性度量来衡量算法的效率。
其中，时间复杂性度量算法执行所需的时间步数，空间复杂性度量算法所需的存储空间。
这些度量帮助我们选择具有高效率的算法，提高计算问题的解决速度。
四、计算复杂性问题的研究方法计算复杂性理论研究问题的方法主要有两种：证明方法和求解方法。
证明方法通过证明某个问题是NP完全的来研究问题难度；而求解方法则是通过设计高效的算法来解决问题。
1. 证明方法证明方法是计算复杂性理论中常用的方法之一，它使用约简技术将一个已知的NP完全问题转化为待研究问题，从而证明待研究问题也是NP完全的。
计算复杂性理论总结报告
人生有几件绝对不能失去的东西:自制的力量，冷静的头脑，希望和信心 1计算复杂性理论总结报告一、 图灵机(1) 图灵机基本模型图灵机是山图灵(Alan Mathisom Turing)在1936年提出的，它是一个通用的计算 模型。
通过图灵机，来研究递归可枚举集和部分递归函数，对算法和可计算性进行研究 提供了形式化描述工具。
图灵机的基本模型包括一个有穷控制器，一条含有无数个带方格的输入带和一个读 写头。
其直观物理模型如下图1所示。
基本图灵动作有以下三种：(1) 改写被扫描带方格内容，控制器转化为下一状态。
(2) 读写头向左移一个带方格，控制器转化为下一状态。
(3) 读写头向左移一个带方格，控制器转化为下一状态。
图1图灵机(2) 图灵机形式化定义，图灵机演算过程及语言描述定义：一个基本图灵机定义为一个七元组TM={Q,C,6,A.B,ql,F)o 其中Q 是状态集合，(图灵机所有的状态)非空有限集；C 是带符号表，(放在带方格中的符号集合)非空集；6是控制函数或过程转换函数(定义控制器)6： QxCTQxCU (R.L)； A 是输入字母表，ACC ；B 是空白符，BGC ：ql 是初始状态，qlSQ ；F 是终态集，F £ Q.TM 的扫描符号串主要山6来确定：(1)5 (q, s)二(q‘，s'); (2)8 (q, s) =(q* , R); (3)8 (q, s) =(q* , L); (4) 6 (q, s)无效，对应无定义时图灵机终止。
TM 的工作用“格局”的转换来描述。
格局：6 ala2a3...aj-lqajaj+l...其中 qWQ, aiGC ；帯(1)若8 (q, ai)无定义，称o为停机格局；(2)若qEF,称o为接受格局；人生有几件绝对不能失去的东西:自制的力量，冷静的头脑，希望和信心__(3) 若q为初始状态，称o为初始格局;格局O到格局T的转换a 卜mt 若成立go 1 |~mlo2 卜m2。
密码学的计算复杂性理论
从前，有一个酷爱数学的年轻国王向邻国一位聪明美丽的公主求婚。 公主出了这样一道题：求出48 770 428 433 377 171的一个真因子。若国王 能在一天之内求出答案，公主便接受他的求婚。国王回去后立即开始逐个 数地进行计算，他从早到晚，共算了三万多个数，最终还是没有结果。国 王向公主求情，公主将答案相告：223 092 827是它的一个真因子。国王很 快就验证了这个数确能除尽48 770 428 433 377 171。公主说：“我再给你 一次机会，如果还求不出，将来你只好做我的证婚人了。”国王立即回国， 并向时任宰相的大数学家求教，大数学家在仔细地思考后认为这个数为17 位，则最小的一个真因子不会超过9位，于是他给国王出了一个主意：按自 然数的顺序给全国的老百姓每人编一个号发下去，等公主给出数目后，立 即将它们通报全国，让每个老百姓用自己的编号去除这个数，除尽了立即 上报，赏金万两。最后，国王用这个办法求婚成功。
– 当将一个问题分解到多个处理器上解决时，由于算法中不可避 免地存在必须串行执行的操作，从而大大地限制了并行计算机 系统的加速能力。
•设f为求解某个问题的计算存在的必须串行执行的操作占整 个最计大算 的的 加百 速分 能比 力，，则p为处理器的数目，Sp为并行计算机系统
设f=1%，p→，则Sp=100。（阿达尔定律） 串行执行操作仅占全部操作1%，解题速度最多也只能提高 一百倍。 对难解性问题而言，提高计算机系统的速度是远远不够的， 而降低算法复杂度的数量级才是最关键的问题。
读写头
状态 控制器 q
图灵在1936年提出了著名的图灵机模型(计算模型)： ▪图灵机由一个无限长的带子（被划分成均匀的方格） 、一个磁带读/写头 和一个有限状态控制器组成。 ▪在每一步计算中，图灵机从磁带上读出一个符号，并由有限状态控制器决 定是否在当前的磁带区上写入不同的符号，然后决定是否需要将磁带读/写 头向前或向后移动一位。 当前的计算机，在理论上都是可以被图灵机模拟的，其原理和图灵机是相同 的，甚至还包含了存储程序的思想。
浅谈计算复杂性理论
浅谈计算复杂性理论
计算复杂性理论是计算机科学中一个重要的领域，它有助于我们理解
计算机如何工作，帮助我们知晓如何使用计算机以有效的方式来解决各种
问题。
而在过去的几十年里，人们研究了计算机的性能，从而开发出有用
的表示，以及有效地分类计算机上的问题，这就是计算复杂性理论。
计算复杂性理论被用来表示计算机程序的复杂性以及它们的处理效率。
它不仅可以度量一个问题的复杂度，还可以度量一系列问题的复杂度，以
及不同的处理器在处理不同问题时所花费的时间。
它还可以用来分析算法
的有效性，以及在最佳的情况下使用不同算法的优劣。
计算复杂性理论目前分为不同的分支，如理论计算机科学、算法分析、最优性和可实现性。
理论计算机科学主要研究计算机能够处理任何问题的
理论基础，包括计算机中可用的空间和时间复杂度等。
算法分析是指利用
不同的技术指标，比如时间和空间复杂度，来评估算法性能的过程。
最优
性跟理论计算机科学相关，它研究给定问题的最优解，并将其复杂度限制
在最低要求。
而可实现性则专注于研究计算机中实现这些最佳解的方法和
算法。
计算复杂性理论的研究是一个新兴的研究领域。
计算机算法与复杂性理论
计算机算法与复杂性理论计算机算法与复杂性理论是计算机科学领域中至关重要的一门学科。
本文将介绍计算机算法与复杂性理论的基本概念、原理以及在计算机科学中的应用。
一、算法的定义与分类算法是指解决问题的一系列有限指令的集合。
它根据输入数据，经过有限的计算步骤，得到期望的输出结果。
算法可以分为确定性算法和非确定性算法。
确定性算法是指在给定输入后，每一步都有确定性的处理过程，最后得到确定的输出结果。
而非确定性算法则存在多种可能的计算路径和输出结果。
二、复杂性理论与问题的可计算性复杂性理论是研究算法运行时间与所处理问题规模之间关系的学科。
它主要关注的是问题的难解性及其可计算性。
根据问题的可计算性，可以将问题分为可解问题和不可解问题。
可解问题指能找到一个算法来解决，而不可解问题则是指不存在算法能够解决。
三、时间复杂性和空间复杂性时间复杂性是指算法在解决问题时所需的时间代价。
空间复杂性则是指算法在解决问题时所需的额外存储空间。
这两个复杂性指标直接影响着算法的效率和资源利用情况。
在算法设计中需要综合考虑时间复杂性和空间复杂性，寻找一个合适的平衡点。
四、常见的算法与复杂性理论问题在实际应用中，有一些常见的算法与复杂性理论问题需要重点研究和解决。
比如最短路径问题、图着色问题、背包问题等。
这些问题涉及到的算法设计和复杂性分析都具有一定的挑战性，但它们的解决对于解决实际问题非常重要。
五、应用领域计算机算法与复杂性理论在各个领域都有广泛的应用。
在人工智能领域中，算法的设计与分析是实现智能决策和优化的基础。
在网络安全领域中，复杂性理论可以帮助研究者理解和分析密码学算法的安全性。
在金融领域中，高效的算法可以提高交易速度和准确性。
此外，在计算机图形学、数据挖掘等领域中也都有广泛的应用。
六、发展趋势与挑战随着计算机科学的不断发展，计算机算法与复杂性理论也面临着一些新的挑战。
例如，随着大数据时代的到来，处理大规模数据的算法效率需要进一步提升。
计算理论计算复杂性ppt课件
3cnf: 每个子句文字数不大于3, 2cnf: 每个子句文字数不大于2
可满足问题SAT
• 可满足性问题: SAT = { <> | 是可满足的布尔公式 }
• 思想: 将字符串对应到布尔公式 利用接受的形式定义.
• 过程: 任取ANP, 设N是A的nk时间NTM. w(|w|=n), N接受w
N有长度小于nk的接受格局序列 能填好N在w上的画面(一个nknk表格) f(w)可满足 • 结论: SAT是NP完全的
N接受w能填好N在w上的画面
# q0 w0 w1 … wn #
2)若0,1都在带上,重复以下步骤. O(n)
3) 检查带上0,1总数的奇偶性,
若是奇数,就拒绝.
O(n) log n
4) 再次扫描带,
第1个0开始,隔1个0删除1个0; O(n)
第1个1开始,隔1个1删除1个1.
总时间:
5)若带上同时没有0和1,则接受. O(n) O(nlogn)
否则拒绝.”
{0k1k|k0}TIME(nlogn)
快速验证
HP = {<G,s,t>|G是包含从s到t的 哈密顿路径的有向图}
CLIQUE={<G,k>|G是有k团的无向图} 目前没有快速算法,但其成员是可以快速验证的. 注意:HP的补可能不是可以快速验证的. 快速验证的特点: 1. 只需要对语言中的串能快速验证. 2. 验证需要借助额外的信息:证书,身份证.
• 二元可满足性问题: 2SAT = { <> | 是可满足的2cnf }
理论计算机科学中的计算复杂性理论研究毕业论文
理论计算机科学中的计算复杂性理论研究毕业论文Abstract:计算复杂性理论是理论计算机科学中的一个重要研究领域。
本文从该领域的起源、基本概念和主要研究内容三个方面探讨计算复杂性理论的重要性及其在实际应用中的作用。
首先介绍了计算复杂性理论的起源和发展历程，接着解释了计算问题、计算模型、算法和复杂性的基本概念。
随后探讨了计算复杂性理论在计算机科学中的核心问题，包括P与NP问题、NP完全性和NP难度、多项式时间可解问题等。
最后，讨论了计算复杂性理论在实际应用中的作用和价值，并对其未来发展进行了展望。
1. 引言计算复杂性理论是理论计算机科学中的一个重要研究领域，是研究计算机算法和问题的困难程度的理论基础。
自20世纪60年代以来，计算复杂性理论逐渐发展成为理论计算机科学的基石之一。
计算复杂性理论的研究成果不仅为计算机科学的发展提供了理论依据，也为解决实际问题提供了方法和策略。
2. 计算复杂性理论的起源与发展计算复杂性理论的起源可以追溯到20世纪50年代末和60年代初，其最早的研究动机源于对计算问题的困难性的认识。
此后，随着计算机技术的快速发展，计算复杂性理论逐渐形成并得到广泛应用。
计算复杂性理论的发展受益于图灵机模型、多项式时间可解、NP完全性等基本概念的提出和研究。
3. 计算问题的基本概念与模型在计算复杂性理论中，计算问题是研究的基本对象。
计算问题可以通过算法解决，而算法又可以由计算模型来描述。
计算模型是一个形式化的数学模型，用于描述计算过程中使用的有限资源和约束条件。
计算问题的本质是找到一种有效的算法来解决它，而算法的复杂度则是刻画算法的时间和空间资源使用情况的度量。
4. 计算复杂性理论的核心问题计算复杂性理论的核心问题之一是P与NP问题。
P和NP是两个重要的复杂性类，前者表示在多项式时间内可解的问题，后者表示在非确定性多项式时间内可解的问题。
P与NP问题的解答关系到计算理论的基础性问题。
另一个核心问题是NP完全性和NP难度的研究，它们是复杂性理论中的重要概念。
计算机算法复杂性理论
计算机算法复杂性理论计算机算法复杂性理论是计算机科学的重要分支之一，着重研究算法在解决问题时所需的计算资源的使用情况。
通过对算法的复杂性进行分析，可以评估算法解决实际问题的效率和可行性，并提供指导原则来选择合适的算法。
一、算法复杂性的定义和表达方式算法复杂性理论主要关注算法在最坏情况下的行为，而不是其平均行为。
为了研究算法的复杂性，一般采用大O表示法来表示算法的运行时间或空间消耗。
大O表示法给出了算法运行时间或空间消耗与问题规模的增长趋势。
例如，如果一个算法的运行时间为O(n)，表示算法的运行时间随问题规模的增加而线性增长。
二、算法复杂性的分类常见的算法复杂性分类包括时间复杂性和空间复杂性。
1. 时间复杂性时间复杂性是衡量算法运行时间消耗的指标。
常见的时间复杂性包括：- O(1)：常数时间复杂性，表示算法的运行时间不随问题规模的增加而增加。
- O(log n)：对数时间复杂性，表示算法的运行时间随问题规模的增加而增加，但增长速度相对较慢。
- O(n)：线性时间复杂性，表示算法的运行时间随问题规模的增加成线性增长。
- O(nlog n)：线性对数时间复杂性，表示算法的运行时间随问题规模的增加成线性对数增长。
- O(n^k)：多项式时间复杂性，表示算法的运行时间随问题规模的增加成多项式增长。
- O(2^n)：指数时间复杂性，表示算法的运行时间随问题规模的增加成指数增长。
2. 空间复杂性空间复杂性是衡量算法空间资源消耗的指标。
常见的空间复杂性与时间复杂性类似，也使用大O表示法来表示。
三、算法复杂性的分析方法算法的复杂性分析可以通过以下几种方法进行。
1. 渐进分析渐进分析是最常用的算法复杂性分析方法，通过关注算法在问题规模无限增长时的行为来评估其复杂性。
渐进分析的关键是确定算法运行时间或空间消耗的增长趋势。
2. 最坏情况分析最坏情况分析是一种悲观的算法复杂性评估方法，认为算法在最坏情况下的表现是最能代表其复杂性的。
可计算性与计算复杂性
可计算性与计算复杂性可计算性是研究计算问题是否具有解决方法的理论。
可计算性理论起源于上世纪30年代，由图灵（Alan Turing）等人提出。
可计算性的核心观点是，一个计算问题是否可以用一个确定的算法来解决。
如果存在一个算法解决了一些问题，那么这个问题就是可计算的。
例如，对于给定的两个整数，判断它们是否互质是一个可计算问题，因为存在一种算法可以解决这个问题。
另一方面，对于一个不可计算的问题，不存在一个算法可以解决它，如停机问题（Halting Problem）。
计算复杂性是研究计算问题所需的资源的理论。
计算复杂性理论的主要目标是研究在给定资源限制下，一个问题是否可以在合理的时间或空间内解决。
计算复杂性关注的是问题的难解程度，即需要多少资源才能解决问题。
计算复杂性理论通过引入时间和空间复杂度来描述问题的难度。
常见的时间复杂度表示方法有大O记号，如O(n)、O(nlogn)等，表示问题的解决时间与问题规模n之间的关系。
类似地，空间复杂度表示问题所需的存储空间。
计算复杂性理论中的一个重要问题是P与NP问题。
P问题（Polynomial Time）是指可以在多项式时间内解决的问题。
换句话说，对于一个P问题，存在一个多项式时间的算法可以解决它。
例如，对于给定的两个整数，判断它们是否互质就是一个P问题，因为存在一种多项式时间的算法可以解决。
P问题是计算复杂性理论中最为理想的一类问题。
NP问题（Nondeterministic Polynomial Time）是指可以在多项式时间内验证一个解的问题。
对于一个NP问题，如果一个解被提供，可以在多项式时间内验证它的正确性。
例如，对于给定的一组整数和一个目标值，判断是否存在一组整数使得它们的和等于目标值就是一个NP问题。
虽然验证解的正确性可以在多项式时间内完成，但寻找解的过程可能需要指数时间等非多项式时间，因此NP问题被认为是一类困难问题。
P问题与NP问题之间的关系是计算复杂性理论中一个重要的开放问题，即P=NP问题。
计算机算法复杂性理论与实际应用
计算机算法复杂性理论与实际应用计算机算法是现代计算机科学的核心之一，它是解决问题的一系列指令集。
算法的优劣对计算机程序的效率和性能有着直接的影响。
在计算机算法领域，复杂性理论一直是一个重要的研究方向。
本文将探讨计算机算法复杂性理论以及它在实际应用中的重要性。
一、计算机算法复杂性理论的概述A. 算法复杂性理论的定义计算机算法复杂性理论是研究算法运行时间、空间需求以及资源消耗的一门学科。
该理论的目标是分析和描述算法在不同输入规模下的表现，以及最优算法的存在性与可行性。
B. 计算机算法复杂性理论的分类1. 时间复杂性时间复杂性是指算法执行所需的时间，包括最佳情况、最差情况和平均情况。
通常用大O表示法表示，例如O(n)、O(n^2)等。
2. 空间复杂性空间复杂性是指算法执行所需的内存空间量，包括最佳情况、最差情况和平均情况。
同样使用大O表示法表示。
3. 算法正确性与完备性算法正确性是指算法在给定输入下是否得出正确的输出。
算法完备性则是指算法是否能够解决所有该问题的实例。
4. 可计算性理论可计算性理论研究的是计算过程的可行性和限制，探讨了计算机算法概念上的极限问题。
二、计算机算法复杂性理论的实际应用A. 算法设计和优化1. 算法设计算法复杂性理论为算法设计提供了指导，通过分析和评价算法的时间和空间复杂性，可以选择合适的算法来解决问题。
2. 算法优化通过复杂性理论，可以发现算法中的瓶颈和性能瓶颈，并进行相应的优化。
这可以提高计算机程序的效率和性能，减少资源的浪费。
B. 网络流量优化1. 网络流量控制复杂性理论可以帮助我们分析和优化网络流量控制算法，以降低网络拥塞，提高网络吞吐量。
2. 网络路由算法复杂性理论可以帮助我们设计更优的网络路由算法，提高传输效率，减少数据丢失和延迟。
C. 数据压缩和加密1. 数据压缩算法算法复杂性理论为数据压缩提供了理论基础，通过算法的设计和分析，可以实现更高效的数据压缩算法。
2. 数据加密算法复杂性理论也对数据加密算法的设计和分析起到了指导作用，保障数据的安全性和隐私性。
计算复杂性理论
计算复杂性理论
复杂性理论是指研究复杂系统和复杂行为的理论，它是一种非常广泛的学科，涉及物理、生物、社会、经济等多个领域。
其基本思想是把复杂系统看作是一个复杂整体，而这个整体受到许多不同因素的影响。
复杂性理论的研究方法包括计算机模拟、可视化技术、统计分析、数学建模等，旨在从多种不同的角度分析复杂系统。
它可以帮助我们更好地理解复杂系统中的不同行为，从而更好地控制和预测这些行为。
例如，复杂性理论可以用来研究高维度的社会系统，比如说，可以利用复杂性理论来研究社会、经济和政治系统中的复杂性，从而更好地了解它们如何发展和演化。
同样，复杂性理论也可以用来研究物理系统，比如环境系统、气候系统和动力系统。
另外，复杂性理论也被广泛应用于生物学领域，比如利用复杂性理论来研究生物系统，如生物多样性、生态系统、行为学等，以及利用复杂性理论来探索疾病的发展历程、行为变化以及治疗策略等。
总之，复杂性理论是一种非常有用的理论工具，它可以帮助我们更好地理解复杂系统，从而更好地控制它们。
它也可以用来研究社会、物理和生物等领域中的复杂性，这些研究对于改善我们的生活有着
重要的意义。
数学的计算复杂性
数学的计算复杂性数学是一门研究数量、结构、变化和空间等概念的科学，它作为一门基础学科，在现代社会发挥着重要的作用。
数学中的计算复杂性是指在特定的算法下解决数学问题所需的计算步骤的数量和时间的增长率。
计算复杂性理论是近代计算机科学的重要分支，它关注的是如何评估和分析算法的效率和可行性。
一、计算复杂性的概念和意义计算复杂性的研究始于20世纪上半叶，它的基本思想是通过对计算问题进行形式化建模和分析，以便对问题的解决方案的效率进行评估。
计算复杂性理论的发展具有深远的理论和实践意义。
首先，计算复杂性理论可以帮助我们理解问题的可解性。
在数学中并不是所有的问题都能找到有效的解决方案，有些问题可能是不可解的，也就是说不存在一种算法可以得出问题的解。
计算复杂性的研究可以帮助我们判断一个问题是否可解，从而提醒我们在解决问题时的合理性和可行性。
其次，计算复杂性理论可以指导我们设计高效的算法。
现实生活中，我们经常遇到需要解决大规模计算问题的情况，如图像处理、数据分析和网络优化等。
通过研究计算复杂性，我们可以找到更好的方法来设计算法，降低问题求解的计算复杂性，提高计算效率。
最后，计算复杂性理论对计算机科学的发展具有重要意义。
20世纪中叶，计算机科学经历了飞速发展，计算机的各个方面不断取得突破性的进展。
计算复杂性理论为计算机科学提供了坚实的理论基础，推动了计算机科学的研究和应用。
二、计算复杂性的分类和评估标准计算复杂性可以分为时间复杂性和空间复杂性两个方面。
1. 时间复杂性：时间复杂性是指算法所需的计算步骤的数量和时间的增长率。
它可以通过计算算法的最坏情况时间复杂性来评估。
常用的时间复杂性评估标准有“大O记法”，即用一个函数来描述算法运行时间与输入规模的关系，通常情况下我们希望算法的时间复杂度尽可能低。
2. 空间复杂性：空间复杂性是指算法所需的存储空间的数量和增长率。
它可以通过计算算法所需的最大存储空间来评估。
与时间复杂性类似，我们通常希望算法的空间复杂度尽可能低。
数学专业的复杂性理论与算法
数学专业的复杂性理论与算法数学是一门独特而抽象的学科，它探索着世界的奥秘和数学概念的内在联系。
在数学专业中，复杂性理论与算法是一个重要的研究领域，它涉及了计算机科学、信息论和数学自身的交叉研究。
本文将从理论与应用两个方面介绍数学专业的复杂性理论与算法。
一、复杂性理论复杂性理论是数学专业中一门重要的学科，它研究问题的复杂性与可解性。
复杂性理论关注于问题的计算难度以及解决问题所需的计算资源。
具体而言，复杂性理论主要研究以下几个方面：1. 多项式时间复杂性理论多项式时间复杂性理论是复杂性理论的一个重要分支，研究的是问题的计算复杂度。
它通过使用多项式时间的算法来描述问题的可解性。
在多项式时间复杂性理论中，有著名的P与NP问题，即判断问题的结果是否能在多项式时间内验证。
这是目前计算机科学中最重要和最困难的问题之一。
2. NP完全性理论NP完全性理论是复杂性理论中的一个核心概念，它是指一个问题既属于NP问题集合，又属于最困难的问题集合。
如果一个问题是NP完全的，那么它的计算复杂度将是指数级的，不太可能在多项式时间内解决。
例如，旅行商问题和背包问题就是NP完全问题的典型例子，它们在实际应用中具有重要的意义。
3. 复杂性分类体系复杂性分类体系是复杂性理论的一个核心内容，它用来对问题的复杂性进行分类与描述。
复杂性分类体系通过研究不同类型问题之间的关系，以及问题在不同资源限制下的可解性，来划分问题的复杂性等级。
常见的分类体系包括时间复杂性分类体系、空间复杂性分类体系以及非确定性复杂性分类体系等。
二、复杂性算法复杂性算法是应用于解决复杂性问题的一种计算方法。
它通过设计高效的算法来解决问题，并尽量减少计算资源的消耗。
复杂性算法主要有以下几个方面的研究：1. 近似算法近似算法是一种灵活的算法设计方法，它通过在限制时间内找到一个有限的解，来逼近最优解。
近似算法的设计目标是在可接受的误差范围内，尽可能快速地得到问题的解。
例如，旅行商问题的近似算法能够有效地求解近似最优的旅行路径，效果在实际应用中被广泛验证。
3 计算复杂性理论
计算复杂性理论（Computational complexity theory）是计算理论的一部分，研究计算问题时所需的资源，比如时间和空间，以及如何尽可能的节省这些资源。
目录[隐藏]• 1 简介• 2 历史• 3 基本概念和工具o 3.1 计算模型与计算资源o 3.2 判定性问题和可计算性o 3.3 算法分析o 3.4 复杂性类o 3.5 归约• 4 NP与P关系问题及相关理论o 4.1 NP和P的定义o 4.2 NP与P关系问题o 4.3 NP完备理论o 4.4 电路复杂性o 4.5 其它NP与P关系问题相关的理论• 5 理论与实践• 6 参考•7 外部链接[编辑]简介计算复杂性理论所研究的资源中最常见的是时间（要通过多少步才能解决问题）和空间（在解决问题时需要多少内存）。
其他资源亦可考虑，例如在并行计算中，需要多少并行处理器才能解决问题。
时间复杂度是指在计算机科学与工程领域完成一个算法所需要的时间，是衡量一个算法优劣的重要参数。
时间复杂度越小，说明该算法效率越高，则该算法越有价值。
空间复杂度是指计算机科学领域完成一个算法所需要占用的存储空间，一般是输入参数的函数。
它是算法优劣的重要度量指标，一般来说，空间复杂度越小，算法越好。
我们假设有一个图灵机来解决某一类语言的某一问题，设有X个字（word）属于这个问题，把X放入这个图灵机的输入端，这个图灵机为解决此问题所需要的工作带格子数总和称为空间。
复杂度理论和可计算性理论不同，可计算性理论的重心在于问题能否解决，不管需要多少资源。
而复杂性理论作为计算理论的分支，某种程度上被认为和算法理论是一种“矛”与“盾”的关系，即算法理论专注于设计有效的算法，而复杂性理论专注于理解为什么对于某类问题，不存在有效的算法。
[编辑]历史在20世纪50年代，Trahtenbrot和Rabin的论文被认为是该领域最早的文献。
而一般说来，被公认为奠定了计算复杂性领域基础的是Hartmanis和Stearns的1960年代的论文On the computational complexity of algorithms。
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课程地位
• 本课程为信息安全专业以及与通信相关的各专业 的本科生奠定一定的数学基础，提高他们认识、 分析和解决信息安全问题的能力。本课程是学科 基础课，系统的介绍与信息安全理论与技术相关 的数学知识以及一些常用的计算方法，并通过一 些应用实例使学生了解数学知识在信息安全中的 应用，同时通过这些实例帮助学生更好的理解抽 象的数学知识，为进一步应用数学知识解决信息 安全领域的理论与实践问题奠定扎实的数学基础。
計算量(4)
Q5. ｛a1, a2,..., an｝：n個整数
求其和为最大的部分集合.
所有的部分集合的和进行比較 2n (n-1) +(2n-1) → O(n2n)算法.
计算量的膨胀(1)
10行×10列棋盘上米粒的数量 （第1格内放1粒米，以后每格顺次增加1倍……)
格序号 米粒数 重量 (kg)
第一讲：计算复杂性
•计算复杂性的概念 •计算量的表示 •算法与计算量 •计算复杂性 •影响计算复杂性的因素
计算复杂性的概念（1）
计算复杂性理论（Computational complexity theory）是计算理论的一部分，研究计算问题时 所需的资源，比如时间和空间，以及如何尽可能 的节省这些资源。 • 计算复杂性理论所研究的资源中最常见的是时 间（要通过多少步才能解决问题）和空间（在解 决问题时需要多少内存）。其他资源亦可考虑， 例如在并行计算中，需要多少并行处理器才能解 决问题。
n! 10141世紀 → 10120世紀 10255題都可能有多个算法存在． • 每个算法的计算量（速度）都不同。 例： • 赝品金币問題： • 问题：9個外观完全一样的金币.，有一个是 假的（重量轻）． • 提问：用天秤来鉴别真伪，天秤需要使用 几次？
• n 10 100 1,000 10,000 • n 10-5秒 10-4秒 10-3秒 0.01秒 • n2 10-4秒 0.01秒 1秒 100秒 • n3 0.001秒 1秒 16.6分 277時間 • 2n 0.001秒 1014世紀 10284世紀 • n! 0.036秒 10141世紀 102551世紀 • 宇龄： 宇宙的年齢 1.5×108 世紀 （１５０億年）
信息安全数学
北京工业大学信息学部
2017.2
课程简介
• 为了解决信息通信系统信息的非授权访问，密码 技术被广泛的用于通信系统的各个层面。现代密 码技术是以数学为基础发展起来的，其中数论和 代数结构是解决现代密码关键技术的理论基础。 而现有各学科教学体制中缺乏专门介绍密码以及 信息安全所涉及的数学知识的课程。因此，为了 适应信息技术发展的需求，将信息安全相关的数 学作为一门独立的基础课程，为解决信息安全理 论与实践问题提供数学基础。
计算机速度增加的效果（2）
计算速度 1 2 10 100 1000 10000 100000 1000000
O(2n) 100 101 103 107 110 113 117 120
1秒可以求解问题的规模 O(n) O(n2) O(n5) 100 100 100 200 141 115 1000 316 158 10000 1000 251 100000 3162 398 1000000 10000 631 10000000 31623 1000 100000000 100000 1585
计算机速度增加的效果（1）
• • • • • • • • 10秒間的計算量？ 100MIPS 10倍 100倍 1000倍 n 107 108 109 1010 n2 3千 1万 3万 10万 n3 215 462 1千 2千 2n 23 27 30 33 n! 10 11 12 13 1000倍⇒ 1step 用 10-9秒 ⇒ 10-9秒 光可以行进30cm
历史回顾
在20世纪50年代，Trahtenbrot和Rabin的论文被认为是该领 域最早的文献。而一般说来，被公认为奠定了计算复杂性领 域基础的是Hartmanis和Stearns的1960年代的论文On the computational complexity of algorithms。在这篇论文中， 作者引入了时间复杂性类TIME(f(n))的概念，并利用对角线 法证明了时间层级定理（Time Hierarchy Theorem）。 在此之后，许多研究者对复杂性理论作出了贡献。期间重要 的发现包括：对随机算法的去随机化（derandomization） 的研究，对近似算法的不可近似性（hardness of approximation）的研究，以及交互式证明系统（Interactive proof system）理论和零知识证明（Zero-knowledge proof） 等。特别的复杂性理论对近代密码学的影响非常显著，而最 近，复杂性理论的研究者又进入了博弈论领域，并创立了 “算法博弈论”（algorithmic game theory）这一分支。
1 9 18 27 36 45 54 63 72 81
1 256 131072 67108864 34359738368 17592186044416 9007199254740992 4611686018427387904 2361183241434822606848 1208925819614629174706176
Q2. 求和（2）：
(1) 2×a1+･･･+ 2×an , 2n-1 steps→ O(n)算 法. (2) 2×(a1+･･･+an) , n steps→ O(n)算
計算量(3)
Q3. 計算：a1b1+･･･+anbn.
2n-1 steps. Q4. 2个ｎ×ｎ阶矩阵相乘. n2(2n-1) steps（ n2(n+n-1)）.
O(n10) 100 107 126 158 200 251 316 398
平行（并列）計算的场合
0.5 cm 见方小碎片，覆盖地球表面需要 2.0×1019個. 与100MIPS的单个計算機相比，能加速多少？ n 2n 100 1014世紀 → 0.85 秒 1,000 . 10284世紀 → 10263世紀
贋品金币問題算法
• 使用2次天秤,就可以鉴别出假币.
１ 2 3
4 5 6
左边軽
7
8 9
平衡
右边軽
１ 2 3 １
左边軽
中有偽币
7 2 3
平衡 右边軽
8 9
中有偽币
4 5 6
中有偽币
１
3
2
7
8
9
4
5
6
计算量的表示法: 上界值表示法
• O記号：(Big O Notation)
•定义: O(f(n)) 读作order f(n), 或阶 f(n)
– 可满足：C中所有的子句在 t 下为真 n O ( 2 ) • 计算复杂度：
例2：货郎担问题
（Traveling salesman problem)
• 给定n个城市，任意两个城市间有路相连， 一个货郎从一个城市出发，不重复的遍历 所有的城市并回到起点，求一条路程最短 的路径。 W : E R • 加权完全图 G (V , E ) ，| V | n， ， W (C )} 求Hamilton圈 Ch，使得W (C ) w(e) min{ O(n!) • 计算复杂度：
绪论
• 信息系统安全包含以下四个方面： 1. 设安备全：设备的稳定性、可靠性、可用 性 2. 数据安全：数据的秘密性、完整性、可用 性 3. 内容安全：信息内容在政治上是健康的， 符合国家法律法规、符合中华民族优良的 道德规范 4. 行为安全：行为的秘密性、行为的完整性、 行为的可控性（以确保信息安全）
h eCh i
用有限時間可以求解，但计算时间太长，成本太高 优化技术与方法
計算量(1)
＋,－,×,÷ 比較：≠，≤，≥，＜，＞
5种基本演算都是用1step 可以实现. 实际上,×比＋多占用時間. 「四舍五入」不算基本演算.
計算量(2)
｛a1, a2,..., an｝：n個整数 Q1. 求和（1）： a1+a2+･･･+an. n-1 steps → O(n)算 法.
• 数学 1. 密码学——代数、数论、概率统计。 2. 安全协议——逻辑学 3. 信息对抗——博弈论 • 信息论、控制论和系统论 • 计算理论：可计算理论和计算复杂性理论
主要内容及时间安排
• 计算复杂性（6课时） • 因式分解困难问题及其所涉及的数论基础（28课 时） • 离散对数问题及其现代数学基础（10课时） • 逻辑学基础（6课时） • 量子力学基础（2课时） • 总复习（2课时） • 闭卷考试：平时20%+试卷80% • 答疑：每周三下午2-4点，信西404A。
信息安全的内涵
• 信息系统的硬件系统安全和操作系统安全 是信息系统安全的基础，密码和网络安全 等技术是信息系统安全的关键技术。 • 为了表述简单直接将信息系统安全简称为 信息安全。 • 信息安全学科是研究信息获取、信息存储、 信息传输和信息处理中的信息安全保障问 题的一门新兴学科。
信息安全学科的性质
•
计算复杂性的概念（2）
•时间复杂度是指在计算机科学与工程领域完成 一个算法所需要的时间，是衡量一个算法优劣 的重要参数。时间复杂度越小，说明该算法效 率越高，则该算法越有价值。 •空间复杂度是指计算机科学领域完成一个算法 所需要占用的存储空间，一般是输入参数的函 数。它是算法优劣的重要度量指标，一般来说， 空间复杂度越小，算法越好。我们假设有一个 图灵机来解决某一类语言的某一问题，设有X 个字（word）属于这个问题，把X放入这个图 灵机的输入端，这个图灵机为解决此问题所需 要的工作带格子数总和称为空间。
即： g(n)=O(f(n)) –表示对于任意定数c 和 m，以及对所有 n＞m，